skkn tìm tòi PHƯƠNG PHÁP GIẢI các bài TOÁN về hệ PHƯƠNG TRÌNH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Chuyên đề: Tìm tòi phương phápNGUYỄN giải HỮU toán vềCẢNH hệ phương trình TRƯỜNG THPT Mã số: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: TÌM TÒI PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Người thực hiện: NGUYỄN THỊ HỒNG VÂN Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục:  - Phương pháp dạy học môn: TOÁN  - Lĩnh vực khác:  Có đính kèm:  Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác Năm học: 2015-2016 Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải toán hệ phương trình SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I.THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ Tên: Nguyễn Thị Hồng Vân Ngày tháng năm sinh: 18/09/1978 Nam, nữ: Nữ Địa chỉ: 71/32, tổ 9, KP1, Phường Long Bình Tân, TP Biên Hoà, Tỉnh Đồng Nai Điện thoại: 0613834289 (CQ)/ 0613832425 (NR); ĐTDĐ: 0974 669 039 Fax: E-mail: hongvan@nhc.edu.vn Chức vụ: tổ trưởng chuyên môn Nhiệm vụ giao: giảng dạy môn Toán lớp 10A2, 12A7,10A8 chủ nhiệm lớp 10A2 Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị cao nhất: thạc sỹ - Năm nhận bằng: 2013 - Chuyên ngành đào tạo: Toán giải tích III KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy học Số năm có kinh nghiệm: 15 năm - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: Phân loại phương pháp giải dạng tập tích vô hướng Phân loại phương pháp giải dạng tập công thức lượng giác Dạy học theo chủ đề vận dụng vào giải phương trình lượng giác Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải toán hệ phương trình TÌM TÒI PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: - Mục tiêu dạy học môn toán không đòi hỏi người giáo viên cần phải truyền đạt tri thức mà phải giúp cho em rèn luyện kĩ bản, phát triển tư - Nhằm nâng cao lực giảng dạy, tổ chức hoạt động giáo dục cho giáo viên, đáp ứng yêu cầu đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo, Bộ Giáo dục Đào tạo chủ trương đổi hoạt động sinh hoạt chuyên môn nhà trường - Dạy học theo chủ đề cấp trung học phổ thông cố gắng tăng cường tích hợp kiến thức, làm cho kiến thức (các khái niệm) có mối liên hệ mạng lưới nhiều chiều, tích hợp vào nội dung học ứng dụng kỹ thuật đời sống thông dụng làm cho nội dung học có ý nghĩa hơn, “thổi thở” sống ngày hôm vào kiến thức cổ điển, nâng cao chất lượng “cuộc sống thật” - Với mục tiêu giáo dục đặt định hướng đổi phương pháp giảng dạy, với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy có hiểu biết sâu sắc, truyền thụ cho học sinh mảng kiến thức liên quan đến “hệ phương trình” có hiệu nhất, giúp em định hướng phương pháp giải, chinh phục câu giải hệ phương trình đề thi học sinh giỏi khối 10,12 đặc biệt đề thi tốt nghiệp THPT để dành điểm 9, 10 chọn chuyên đề nghiên cứu “Tìm tòi phương pháp giải toán hệ phương trình” II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN - Nghiên cứu sở lý luận cách tiếp cận dạy học theo chủ đề Mục tiêu giáo dục theo định hướng phát triển lực học sinh việc dạy học ý nhiều đến việc tạo hội cho học sinh tham gia vào hoạt động học tập, trình học tập tiến hành hoạt động thông qua hoạt động, vấn đề, tập, tình cụ thể đưa yêu cầu học sinh giải Qua em có hội tìm tòi vấn đề yêu thích, kiến thức phát huy tối đa, khắc sâu - Mô hình dạy học theo hướng đổi tuỳ thuộc vào điều kiện, hoàn cảnh trường, lớp mà khuyến khích sáng tạo giáo viên, giáo viên tổ chức dạy học cho mục tiêu đạt có hiệu chất lượng - Các kiến thức hệ phương trình tổng hợp từ sách giáo khoa hành sách tham khảo Kĩ giải toán đòi hỏi tư duy, sáng tạo Mục tiêu giúp cho em học sinh thấy kiến thức trọng tâm, nắm vững dạng toán phương pháp giải dạng toán Ngoài ra, em tiếp cận với kiến thức có tính nâng cao để chuẩn bị cho kì thi sau - Chuyên đề trình bày gồm toán minh hoạ tập đề nghị Mỗi toán đưa ra, trình bày tìm tòi lời giải theo hai hướng Hướng thứ biến đổi hai phương trình cho hệ phương trình tích, sau dùng Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải toán hệ phương trình phép biến đổi tương đương để giải tiếp toán Hướng thứ hai sử dụng phương pháp hàm số Với đối tượng học sinh lớp 10, hướng dẫn cho em tiếp cận theo hướng thứ em chưa học phần “ứng dụng đạo hàm” Với đối tượng học sinh lớp 12, định hướng tìm tòi lời giải hai hướng để em có nhìn hơn, tự tin lĩnh vực - Các kết chuyên đề chủ yếu có sẵn sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, thân tìm hiểu, trình bày lại theo bố cục - Các giải pháp mà đưa có tác động khắc phục số hạn chế đơn vị mình, giải pháp thay phần giải pháp có mà thực có hiệu III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP  x3 + y + x + x − y + = Bài toán 1: Giải hệ phương trình  ( x − 1) y + + ( x + 6) y + = x − x + 12 y • Định hướng tìm tòi lời giải Hướng Từ phương trình thứ hệ, ta biến đổi phương trình ( x + 1)3 + 3( x + 1) = y + y ⇔ ( x + − y )[( x + 1) + y ( x + 1) + y + 3] = Từ suy x + = y Sau thay y = x + vào phương trình thứ hai, ta nhận phương trình ẩn x Bằng phép biến đổi tương đương ta tìm giá trị x Hướng Từ phương trình thứ hệ, ta biến đổi phương trình ( x + 1)3 + 3( x + 1) = y + y Quan sát phương trình ta nhận thấy dùng phương pháp hàm số để giải phương trình cách xét hàm số f (t ) = t + 3t với t ∈ R Bằng phương pháp hàm số chứng tỏ x + = y Sau thay y = x + vào phương trình thứ hai, ta nhận phương trình ẩn x Bằng phép biến đổi tương đương ta tìm giá trị x • Lời giải Cách Điều kiện: y ≥ −1 Ta có: x3 + y3 + 3x + x − y + = ⇔ ( x + 1)3 + 3( x + 1) = y + y ⇔ ( x + 1)3 − y + 3( x + − y ) = ⇔ ( x + − y )[( x + 1) + y ( x + 1) + y + 3] = Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải toán hệ phương trình x +1− y = ⇔ 2 ( x + 1) + y ( x + 1) + y + = ( vô nghiêm ) ⇔ y = x +1 Thay y = x + vào phương trình thứ hai hệ cho, ta ( x + 1) x + + ( x + 6) x + = x + x + 12 ⇔ ( x + 1) ( ) x + − + ( x + 6) ( ) x + − = x2 + 2x − ( x + 1)( x − 2) ( x + 6)( x − 2) + = ( x − 2)( x + 4) x+2+2 x+7 +3 x+6   x +1 ⇔ ( x − 2)  + ÷ = ( x − 2)( x + 4) x + +3  x+2+2 x+6  x +1  ⇔ ( x − 2)  + − ( x + 4)  = x+7 +3  x+2+2  x = ⇔  x +1 x+6  + = x + (2)  x + + x+7 +3 x =2⇒ y =3 Ta có y ≥ −1 nên x ≥ −2 x +1 x+6 ≤ −1 2 x+2+2 x+7 +3 Do phương trình (2) vô nghiệm Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = ( 2;3) Cách Điều kiện: y ≥ −1 Ta có: x + y + x + x − y + = ⇔ ( x + 1)3 + 3( x + 1) = y + y (1) Xét hàm số f (t ) = t + 3t ¡ Vì f '(t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ ¡ nên hàm số đồng biến ¡ Do phương trình (1) trở thành f ( x + 1) = f ( y ) hay x + = y Thay vào phương trình thứ hai hệ cho, ta ( x + 1) x + + ( x + 6) x + = x + x + 12 ⇔ ⇔ ( x + 1) ( ) x + − + ( x + 6) Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân ( ) x + − = x2 + 2x − Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải toán hệ phương trình ( x + 1)( x − 2) ( x + 6)( x − 2) + = ( x − 2)( x + 4) x+2+2 x+7 +3 x+6   x +1 ⇔ ( x − 2)  + ÷ = ( x − 2)( x + 4) x + + x + +   x+6  x +1  ⇔ ( x − 2)  + − ( x + 4)  = x+7 +3  x+2+2  x = ⇔  x +1 x+6  + = x + (2)  x + + x+7 +3 x =2⇒ y =3 Ta có y ≥ −1 nên x ≥ −2 x +1 x+6 ≤ −1 2 x+2+2 x+7 +3 Do phương trình (2) vô nghiệm Vậy hệ cho có nghiệm x = 2, y = ⇔  x 12 − y + y (12 − x ) = 12 (1) Bài toán 2: Giải hệ phương trình  (2)  x − x − = y − ( Trích đề thi đại học khối A, A1 năm 2014 ) • Định hướng tìm tòi lời giải Hướng Từ phương trình đầu hệ ta biến đổi phương trình y (12 − x ) = 12 − x 12 − y Sau bình phương hai vế phương trình ta phương trình mới: y = 12 − x với x ≥ Thay y = 12 − x vào phương trình thứ hai hệ ta được: x − x − = 10 − x Từ phương trình giải tìm x Nhớ ý phải thử lại nghiệm vào hệ ta có sử dụng phép biến đổi bình phương hai vế phương trình để bỏ nghiệm ngoại lai Hướng −2 ≤ x ≤ 2 ≤ y ≤ 12 Điều kiện:  Với điều kiện hệ, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho cặp số ta có: x 12 − y ≤ x + 12 − y Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân y (12 − x ) ≤ y + 12 − x 2 Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải toán hệ phương trình Nên x 12 − y + y (12 − x ) ≤ 12 x ≥ Do phương trình (1) ⇔   y = 12 − x Đến nút thắt toán giải tiếp tục giải toán cách thay y = 12 − x vào phương trình thứ hai hệ ta được: x − x − = 10 − x Từ phương trình giải tìm x , từ suy y • Lời giải Cách −2 ≤ x ≤ 2 ≤ y ≤ 12 Điều kiện:  Từ phương trình đầu hệ ta có: x 12 − y + y (12 − x ) = 12 ⇔ y (12 − x ) = 12 − x 12 − y Bình phương hai vế phương trình ta được: y (12 − x ) = 144 − 24 x 12 − y + x (12 − y ) ⇔ 12 y = 144 − 24 x 12 − y + 12 x ⇔ 12 − y − x 12 − y + x = ⇔ ( 12 − y − x ) =0 ⇔ 12 − y − x = x ≥ ⇔ 12 − y = x x ≥ ⇔  y = 12 − x Thay y = 12 − x vào phương trình thứ hai hệ ta được: x − x − = 10 − x ⇔ x3 − x − = ( ) 10 − x − ⇔ ( x − 3)( x + x + 1) = 2(9 − x ) 10 − x +  2( x + 3)  ⇔ ( x − 3)  x + x + + =0 10 − x +   Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải toán hệ phương trình ⇔ x−3= ⇔ x=3  x + 3x + ≥ 2( x + 3)  >0 Vì x ≥ nên ta có  2( x + 3) Do x + 3x + + > 10 − x +   10 − x + Với x = ta y = Thử lại: thay x = 3, y = vào hệ phương trình cho thấy thoả mãn Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = (3;3) Cách −2 ≤ x ≤ 2 ≤ y ≤ 12 Điều kiện:  x + 12 − y Ta có x 12 − y ≤ y + 12 − x y (12 − x ) ≤ 2 Nên x 12 − y + y (12 − x ) ≤ 12 x ≥ Do phương trình (1) ⇔   y = 12 − x Thay y = 12 − x vào phương trình (2) ta x − x − = 10 − x ⇔ x3 − x − = ( ⇔ ( x − 3)( x + x + 1) = ) 10 − x − 2(9 − x ) 10 − x +  2( x + 3)  ⇔ ( x − 3)  x + x + + =0 10 − x +   ⇔ x−3= ⇔ x=3  x + 3x + ≥ 2( x + 3)  >0 Vì x ≥ nên ta có  2( x + 3) Do x + 3x + + >0 10 − x +   10 − x + Với x = ta y = Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = (3;3)  x − − − y = y − x + x − y + Bài toán 3: Giải hệ phương trình   x − x + y − − x + = − y • Định hướng tìm tòi lời giải Hướng 1: Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải toán hệ phương trình Từ phương trình đầu hệ: x − − − y = y − x + x − y + (1) Ta nhận thấy vế trái phương trình thêm bớt lượng liên hợp x − − 3− y = x + y −5 x − + 3− y Mặt khác nhận thấy vế phải phương trình đưa dạng tích y − x + x − y + = ( x + y − 5)(− x + y − 1) Khi phương trình (1) đưa phương trình tích Đến nút thắt toán tháo gỡ Hướng 2: Khi quan sát phương trình thứ hệ, chuyển x vế y vế ta được: x − − − y = y − x2 + x − y + ⇔ ( x − x + 4) + x − = − y + (9 − y + y ) ⇔ ( x − 2) + x − = (3 − y ) + − y Đến ta nghĩ đến việc sử dụng phương pháp hàm số để giải toán cách xét hàm f (t ) = t + t với t ≥ • Lời giải Cách Điều kiện: x ≥ 2, y ≤ 3, x − x + y − ≥ Từ phương trình đầu hệ ta có: ⇔ x − − − y = y − x2 + x − y + x+ y −5 = ( x + y − 5)(− x + y − 1) x − + 3− y   ⇔ ( x + y − 5)  + ( x − y + 1)  =  x − + − y  ⇔ x+ y −5 = ⇔ y = 5− x Vì x ≥ 2, y ≤ nên x − y + ≥ Do + ( x − y + 1) > x − + 3− y Thay y = − x vào phương trình thứ hai hệ ta được: x − x + 3(5 − x) − − x + = − (5 − x) ⇔ x − x + 10 − x + = x − ⇔ x − x + 10 = x + + x − ⇔ x − x + 10 = x + + 2( x − 2) x + + ( x − 2) Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải toán hệ phương trình ⇔ (2 x − 4) x + = x − x + ⇔ x − 12 x + 42 x − 36 x + = ⇔ ( x − x) + 6( x − x) + = ⇔ x − x = −3 x = + ⇔  x = − x = 3+ ⇒ y = 2− x = − không thoả mãn x ≥ Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = (3 + 6;2 − 6) Cách Điều kiện: x ≥ 2, y ≤ 3, x − x + y − ≥ Từ phương trình đầu hệ ta có: x − − − y = y − x + x − y + (1) ⇔ ( x − x + 4) + x − = − y + (9 − y + y ) ⇔ ( x − 2) + x − = (3 − y ) + − y Xét hàm số f (t ) = t + t với t ≥ Ta có f '(t ) = 2t + t Nhận thấy f '(t ) > 0, ∀t > Do hàm số f (t ) đồng biến [0; +∞) Khi f ( x − 2) = f (3 − y ) ⇒ x − = − y nghiệm phương trình (1) Thay y = − x vào phương trình thứ hai hệ ta được: x − x + 3(5 − x) − − x + = − (5 − x) ⇔ x − x + 10 − x + = x − ⇔ x − x + 10 = x + + x − ⇔ x − x + 10 = x + + 2( x − 2) x + + ( x − 2) ⇔ (2 x − 4) x + = x − x + ⇔ x − 12 x + 42 x − 36 x + = ⇔ ( x − x) + 6( x − x) + = ⇔ x − x = −3 x = + ⇔  x = − x = 3+ ⇒ y = 2− x = − không thoả mãn x ≥ Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh 10 Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải toán hệ phương trình Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = (3 + 6;2 − 6)  y + 2( x + 1) x + x + = x − x Bài toán 4:Giải hệ phương trình   xy + = y x + • Định hướng tìm tòi lời giải Hướng Từ phương trình thứ hai hệ: xy + = y x + , ta rút y theo x Từ phương trình thứ hệ thay theo biến x ta ( phương trình ) x + + x + 2( x + 1) x + x + = x − x Quan sát phương trình ta đưa phương trình dạng tích số Khi toán giải Hướng Từ phương trình thứ hai hệ: xy + = y x + , ta rút y theo x Từ phương trình thứ hệ thay theo biến x ta ( phương trình ) x + + x + 2( x + 1) x + x + = x − x ⇔ + x x + + ( x + 1) x + x + + x = Quan sát phương trình ta nhận thấy x x + 2;( x + 1) x + x + có vai trò nên dùng phương pháp hàm số để giải ( ) phương trình cách xét hàm số f (t ) = t + t + với t ∈ ¡ • Lời giải Cách Từ phương trình thứ hai hệ: xy + = y x + ⇔y ) ( x2 + − x = ⇔ y= x +2−x ⇔ y = x2 + + x Thay y = x + + x vào phương trình thứ hệ ta được: ⇔ ( y + 2( x + 1) x + x + = x − x ) x + + x + 2( x + 1) x + x + = x − x Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh 11 Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải toán hệ phương trình ⇔ x + + x x + + x + 2( x + 1) x + x + − x + x = ⇔ + x x + + ( x + 1) x + x + + x = ⇔ (2 x + 1) + x ⇔ (2 x + 1) − ( ) x + − x + x + + (2 x + 1) x + x + = x(2 x + 1) x + + x + 2x + x 2 + (2 x + 1) x + x + =   ⇔ (2 x + 1) 1 − + x2 + 2x + ÷= x2 + + x2 + x +   2 x + = ⇔ x 1 − + x + x + = (vô nghiêm) 2 x + + x + 2x +  ⇔x=− Thay x = − vào phương trình y = x + + x ta y =   Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) =  − ;1÷   Cách Từ phương trình thứ hai hệ: xy + = y x + 2 ⇔ y= x2 + − x ⇔ y = x2 + + x Thay y = x + + x vào phương trình thứ hệ ta được: ( ) x + + x + 2( x + 1) x + x + = x − x ⇔ x + + x x + + x + 2( x + 1) x + x + − x + x = ⇔ + x x + + ( x + 1) x + x + + x = ⇔ ( x + 1) 1 + ( x + 1) +  = (− x) 1 + (− x) +  (1)     ) ( Xét hàm số f (t ) = t + t + với t ∈ ¡ Ta có f '(t ) = + t + + t2 t2 + Nhận thấy f '(t ) > 0, ∀t ∈ ¡ Do hàm số f (t ) đồng biến ¡ Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh 12 Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải toán hệ phương trình Khi f ( x + 1) = f (− x) ⇔ x + = − x ⇔ x = − nghiệm phương trình (1) vào phương trình y = x + + x ta y =   Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) =  − ;1÷   Thay x = − 3.2 Bài tập đề nghị ( )( )  x + x2 + y + y + =  Bài toán 5:Giải hệ phương trình  12 y − 10 y + = x + • Định hướng tìm tòi lời giải Hướng 1: Từ phương trình thứ hệ ta sử dụng phép nhóm liên hợp để đưa phương trình tích )( y+ x + = 2( y ( x+ ⇔ x+ x2 + ⇔ x + 2y = ) +1 − y) y2 + = 2 y − x2 y + + x2 +   2y − x ⇔ ( x + 2y)  − 1 =  y + + x +  Đến ta chứng minh phương trình 2y − x y2 + + x2 + − = vô nghiệm Thay y = − x vào phương trình thứ hai hệ ta 3x + x + = x3 +   ⇔ (3 x + x) 1 + =0 3 3 x + + ( x + 1) x + + ( x + 1)   > với x Chứng minh + 3 x + + ( x + 1) x + + ( x + 1) 1  Đáp số: Hệ có nghiệm (0;0)  −1; ÷ 2  Hướng Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh 13 Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải toán hệ phương trình Từ phương trình thứ hệ ta có )( y+ x + = 2( y ( x+ ⇔ x+ x2 + ) +1 − y) y2 + = 2 ⇔ x + x + = −2 y + ( −2 y ) +4 Phương trình sử dụng phương pháp hàm số với việc xét hàm số f (t ) = t + t + 4, t ∈ ¡ Chứng tỏ hàm số f (t ) đồng biến ¡ Từ f ( x) = f (−2 y ) ⇔ x = −2 y , tiếp tục giải hướng   3  x − ( y + y) = y  y + − Bài toán 6: Giải hệ phương trình    3 2 x − 12 y = xy (1 + y ) x ÷ y • Định hướng tìm tòi lời giải Hướng Điều kiện x,y để hệ có nghĩa Biến đổi hệ cho cách chia hai vế phương trình thứ hệ cho y ta hệ sau:  x 3 x = ( y + 1)3 + y + (1)  ÷ + y  y    x x 2  y ÷ − 12 = y ( y + 1)    Từ phương trình (1) ta biến đổi phương trình tích x  ÷+  y x = ( y + 1)3 + y + y x x ⇔  ÷ − ( y + 1)3 = y + − y  y   x   x  x  x ⇔ − y + ÷1 +  − y + ÷  ÷ + ( y + 1) + ( y + 1) ÷ = ÷ y  y    y    y   x ⇔ − y +1 = y Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh 14 Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải toán hệ phương trình Ta chứng minh phương trình:   x   x  x 1+  − y + ÷ ÷ + ( y + 1) + ( y + 1)  = vô nghiệm cách kết hợp y   y   y  với điều kiện ban đầu hệ Sau thay x = y y + vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình  2  x  x ÷ −  ÷ − 12 = y  y x ⇔ =2 y Đáp số: Hệ có nghiệm ( x; y ) = (2;1) Hướng Biến đổi hệ cho cách chia hai vế phương trình thứ hệ cho y ta hệ sau:  x 3 x = ( y + 1)3 + y + (1)  ÷ + y  y    x x 2  y ÷ − 12 = y ( y + 1)    Từ phương trình thứ hệ ta sử dụng phương pháp hàm số cách xét hàm số f (t ) = t + t , ∀t ≥ Chứng tỏ hàm số f (t ) đồng biền [0; +∞)  x ÷ = f ( y + 1) ⇔ y   Từ f  x = y y + , tiếp tục giải hướng IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Nội dung đề tài sử dụng để dạy bồi dưỡng học sinh giỏi khối 10 với định hướng giải thứ dạy luyện thi cho học sinh khối 12 với hai hướng giải để em chinh phục điểm 9,10 đề thi V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG - Trên vài kinh nghiệm nhỏ tiếp cận dạy học theo chủ đề mảng kiến thức liên quan đến hệ phương trình Tuy chưa đem lại hiệu cao cho toàn thể học sinh song thân trình tìm tòi, đúc kết qua nhiều năm đứng lớp Thiết nghĩ, giáo viên thường xuyên gom nhặt, tích lũy, Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh 15 Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải toán hệ phương trình xếp khoa học thảo luận, chia sẻ, mở rộng kiến thức hiệu dạy học môn từ nâng lên - Cuối xin cảm ơn toàn thể thầy cô giáo tổ Toán – trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình nghiên cứu - Mặc dù có nhiều cố gắng hạn chế mặt kiến thức thời gian nên sai sót điều khó tránh khỏi, kính mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn VI DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Ts Lê Xuân Sơn (chủ biên) (2013), Giới thiệu giải chi tiết Bộ đề thi thử trọng tâm, nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội Nguyễn Thanh Tuyên (chủ biên) (2016), Thần tốc luyện đề THPT quốc gia 2016, nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội Người thực Nguyễn Thị Hồng Vân Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh 16 Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải toán hệ phương trình SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh ––––––––––– CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc –––––––––––––––––––––––– Biên Hoà, ngày 24 tháng 05 năm 2016 PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2016 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Tìm tòi phương pháp giải toán hệ phương trình Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Hồng Vân Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Đơn vị: trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Họ tên giám khảo 1: Trần Thị Lan Anh Chức vụ: giáo viên tổ Toán Đơn vị: trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Số điện thoại giám khảo: 0974 074054 * Nhận xét, đánh giá, cho điểm xếp loại sáng kiến kinh nghiệm: Tính Thay phần giải pháp có với mức độ tốt Điểm: 4,0/6,0 Hiệu Có minh chứng thực tế để thấy hiệu giải pháp tác giả thay phần giải pháp có đơn vị Điểm: 5,0/8,0 Khả áp dụng Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh 17 Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải toán hệ phương trình Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng Điểm: 5,0/6,0 Tổng số điểm:14/20 Xếp loại: Khá GIÁM KHẢO Trần Thị Lan Anh SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh ––––––––––– CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc –––––––––––––––––––––––– Biên Hoà, ngày 24 tháng 05 năm 2016 PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2016 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Tìm tòi phương pháp giải toán hệ phương trình Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Hồng Vân Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Đơn vị: trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Họ tên giám khảo 2: Mai Thị Hải Chức vụ: giáo viên tổ Toán Đơn vị: trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Số điện thoại giám khảo: 0915 750255 * Nhận xét, đánh giá, cho điểm xếp loại sáng kiến kinh nghiệm: Tính Thay phần giải pháp có với mức độ tốt Điểm: 4,0/6,0 Hiệu Có minh chứng thực tế để thấy hiệu giải pháp tác giả thay phần giải pháp có đơn vị Điểm: 5,5/8,0 Khả áp dụng Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh 18 Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải toán hệ phương trình Đã áp dụng thực tế đạt hiệu Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực Điểm: 5,0/6,0 Tổng số điểm:14,5/20 Xếp loại: Khá GIÁM KHẢO Mai Thị Hải SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Độc lập - Tự - Hạnh phúc Biên Hòa, ngày 25 tháng 05 năm 2016 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2015-2016 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Tìm tòi phương pháp giải toán hệ phương trình Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Hồng Vân Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào ô tương ứng, ghi rõ tên môn lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học môn: Toán - Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác:   Sáng kiến kinh nghiệm triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành  Tính (Đánh dấu X vào ô đây) - Đề giải pháp thay hoàn toàn mới, bảo đảm tính khoa học, đắn  - Đề giải pháp thay phần giải pháp có, bảo đảm tính khoa học, đắn  - Giải pháp gần áp dụng đơn vị khác chưa áp dụng đơn vị mình, tác giả tổ chức thực có hiệu cho đơn vị  Hiệu (Đánh dấu X vào ô đây) - Giải pháp thay hoàn toàn mới, thực toàn ngành có hiệu cao  Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh 19 Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải toán hệ phương trình - Giải pháp thay phần giải pháp có, thực toàn ngành có hiệu cao  - Giải pháp thay hoàn toàn mới, thực đơn vị có hiệu cao  - Giải pháp thay phần giải pháp có, thực đơn vị có hiệu  - Giải pháp gần áp dụng đơn vị khác chưa áp dụng đơn vị mình, tác giả tổ chức thực có hiệu cho đơn vị  Khả áp dụng (Đánh dấu X vào ô dòng đây) - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong quan, đơn vị, sở GD&ĐT Trong ngành  - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong quan, đơn vị, sở GD&ĐT  Trong ngành  - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong quan, đơn vị, sở GD&ĐT Trong ngành  Khá  Xếp loại chung: Xuất sắc  Đạt  Không xếp loại  Tôi xin cam kết chịu trách nhiệm không chép tài liệu người khác chép lại nguyên văn nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ NGƯỜI THỰC HIỆN SKKN XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN Nguyễn Thị Hồng Vân THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh 20 Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải toán hệ phương trình Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh 21 [...]... đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( x; y ) = (3 + 6;2 − 6)  y 2 + 2( x + 1) x 2 + 2 x + 3 = 2 x 2 − 4 x Bài toán 4 :Giải hệ phương trình   xy + 2 = y x 2 + 2 • Định hướng tìm tòi lời giải Hướng 1 Từ phương trình thứ hai của hệ: xy + 2 = y x 2 + 2 , ta có thể rút y theo x Từ phương trình thứ nhất của hệ thay theo biến x ta được ( phương trình. .. Cảnh 12 Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình Khi đó f ( x + 1) = f (− x) ⇔ x + 1 = − x ⇔ x = − 1 là nghiệm duy nhất của 2 phương trình (1) 1 vào phương trình y = x 2 + 2 + x ta được y = 1 2  1  Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x; y ) =  − ;1÷  2  Thay x = − 3.2 Bài tập đề nghị ( )( )  x + x2 + 4 y + y 2 + 1 = 2  Bài toán 5 :Giải hệ phương trình  12 y 2 −... THPT Nguyễn Hữu Cảnh 19 Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình - Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao  - Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả cao  - Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả  - Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn... 14 Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình Ta có thể chứng minh phương trình: 2   x   x  x 1+  − y + 1 ÷ ÷ + ( y + 1) + ( y + 1) 2  = 0 vô nghiệm bằng cách kết hợp y   y   y  với điều kiện ban đầu của hệ Sau đó thay x = y y + 1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được phương trình  2  3 2 x  x ÷ −  ÷ − 12 = 0 y  y x ⇔ =2 y Đáp số: Hệ có nghiệm (... một phần giải pháp đã có với mức độ tốt Điểm: 4,0/6,0 2 Hiệu quả Có minh chứng thực tế để thấy được hiệu quả giải pháp của tác giả thay thế một phần giải pháp đã có tại đơn vị Điểm: 5,5/8,0 3 Khả năng áp dụng Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh 18 Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả Đưa ra các giải pháp khuyến... kinh nghiệm: 1 Tính mới Thay thế một phần giải pháp đã có với mức độ tốt Điểm: 4,0/6,0 2 Hiệu quả Có minh chứng thực tế để thấy được hiệu quả giải pháp của tác giả thay thế một phần giải pháp đã có tại đơn vị Điểm: 5,0/8,0 3 Khả năng áp dụng Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh 17 Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu... 4 x Quan sát phương trình này ta có thể đưa phương trình về dạng tích số Khi đó bài toán đã được giải quyết Hướng 2 Từ phương trình thứ hai của hệ: xy + 2 = y x 2 + 2 , ta có thể rút y theo x Từ phương trình thứ nhất của hệ thay theo biến x ta được ( phương trình ) 2 x 2 + 2 + x + 2( x + 1) x 2 + 2 x + 3 = 2 x 2 − 4 x ⇔ 1 + x x 2 + 2 + ( x + 1) x 2 + 2 x + 3 + 2 x = 0 Quan sát phương trình này ta... 2015-2016 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Hồng Vân Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: Toán - Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác:   Sáng kiến kinh... về mảng kiến thức liên quan đến hệ phương trình Tuy chưa đem lại hiệu quả cao cho toàn thể học sinh song đối với bản thân là cả một quá trình tìm tòi, đúc kết qua nhiều năm đứng lớp Thiết nghĩ, mỗi giáo viên chúng ta thường xuyên gom nhặt, tích lũy, sắp Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh 15 Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình xếp khoa học và cùng nhau... hai của hệ ta được 2 3x 2 + 5 x + 2 = 2 3 x3 + 1   2 ⇔ (3 x 2 + 3 x) 1 + =0 2 3 3 3 3 x + 1 + ( x + 1) x + 1 + ( x + 1)   2 > 0 với mọi x Chứng minh được 1 + 3 3 x + 1 + ( x + 1) 3 x 3 + 1 + ( x + 1) 2 1  Đáp số: Hệ có nghiệm (0;0) và  −1; ÷ 2  Hướng 2 Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh 13 Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình Từ phương trình