SKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình

SKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trìnhSKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trìnhSKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trìnhSKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trìnhSKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trìnhSKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trìnhSKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trìnhSKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trìnhSKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trìnhSKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trìnhSKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trìnhSKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trìnhSKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trìnhSKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU CẢNH Mã số: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: TÌM TỊI PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH (phần 2) Người thực hiện: NGUYỄN THỊ HỒNG VÂN Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục:  - Phương pháp dạy học mơn: TỐN  - Lĩnh vực khác:  Có đính kèm:  Mơ hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác Năm học: 2016-2017 SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I.THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ Tên: Nguyễn Thị Hồng Vân Ngày tháng năm sinh: 18/09/1978 Nam, nữ: Nữ Địa chỉ: 71/32, tổ 9, KP1, Phường Long Bình Tân, TP Biên Hồ, Tỉnh Đồng Nai Điện thoại: 0613834289 (CQ)/ 0613832425 (NR); ĐTDĐ: 0974 669 039 Fax: E-mail: hongvan@nhc.edu.vn Chức vụ: tổ trưởng chuyên môn Nhiệm vụ giao: giảng dạy mơn Tốn lớp 11A2, 12A4,12A10 Đơn vị cơng tác: Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị cao nhất: thạc sỹ - Năm nhận bằng: 2013 - Chuyên ngành đào tạo: Tốn giải tích III KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chun mơn có kinh nghiệm: Dạy học Số năm có kinh nghiệm: 17 năm - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: Phân loại phương pháp giải dạng tập tích vơ hướng Phân loại phương pháp giải dạng tập công thức lượng giác Dạy học theo chủ đề vận dụng vào giải phương trình lượng giác Tìm tòi phương pháp giải tốn hệ phương trình (phần 1) TÌM TỊI PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ( phần 2) I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: - Dạy học theo chủ đề cấp trung học phổ thông cố gắng tăng cường tích hợp kiến thức, làm cho kiến thức (các khái niệm) có mối liên hệ mạng lưới nhiều chiều, tích hợp vào nội dung học ứng dụng kỹ thuật đời sống thông dụng làm cho nội dung học có ý nghĩa hơn, “thổi thở” sống ngày hôm vào kiến thức cổ điển, nâng cao chất lượng “cuộc sống thật” - Đặt ẩn phụ kỹ thuật phổ biến giải hệ phương trình, trường hợp đặt khơng phải hiểu rõ Với mục tiêu giáo dục đặt định hướng đổi phương pháp giảng dạy, với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy có hiểu biết sâu sắc, truyền thụ cho học sinh mảng kiến thức liên quan đến “hệ phương trình” có hiệu nhất, giúp em định hướng phương pháp giải, chinh phục câu giải hệ phương trình đề thi học sinh giỏi khối 10,12 chọn chuyên đề nghiên cứu “Tìm tòi phương pháp giải tốn hệ phương trình” II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN - Nghiên cứu sở lý luận cách tiếp cận dạy học theo chủ đề Mục tiêu giáo dục theo định hướng phát triển lực học sinh việc dạy học ý nhiều đến việc tạo hội cho học sinh tham gia vào hoạt động học tập, trình học tập tiến hành hoạt động thông qua hoạt động, vấn đề, tập, tình cụ thể đưa yêu cầu học sinh giải Qua em có hội tìm tòi vấn đề u thích, kiến thức phát huy tối đa, khắc sâu - Các kiến thức hệ phương trình tổng hợp từ sách giáo khoa hành sách tham khảo Kĩ giải toán đòi hỏi tư duy, sáng tạo Mục tiêu giúp cho em học sinh thấy kiến thức trọng tâm, nắm vững dạng toán phương pháp giải dạng toán Ngồi ra, em tiếp cận với kiến thức có tính nâng cao để chuẩn bị cho kì thi sau - Chuyên đề trình bày gồm hai phần: + Phần một: gồm toán minh hoạ tập đề nghị Mỗi tốn đưa ra, chúng tơi trình bày tìm tòi lời giải theo hai hướng Hướng thứ biến đổi hai phương trình cho hệ phương trình tích, sau dùng phép biến đổi tương đương để giải tiếp toán Hướng thứ hai sử dụng phương pháp hàm số Với đối tượng học sinh lớp 10, hướng dẫn cho em tiếp cận theo hướng thứ em chưa học phần “ứng dụng đạo hàm” Với đối tượng học sinh lớp 12, chúng tơi định hướng tìm tòi lời giải hai hướng để em có nhìn hơn, tự tin lĩnh vực Phần chúng tơi trình bày sáng kiến kinh nghiệm năm học trước + Phần hai: gồm toán minh hoạ tập đề nghị Mỗi tốn đưa ra, chúng tơi trình bày kỹ thuật đặt ẩn phụ dạng toán thường hay dùng phương pháp - Các kết chuyên đề chủ yếu có sẵn sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, thân tìm hiểu, trình bày lại theo bố cục - Các giải pháp mà chúng tơi đưa có tác động khắc phục số hạn chế đơn vị mình, giải pháp thay phần giải pháp có mà chúng tơi thực có hiệu III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP Bài tốn 1: Giải hệ phương trình  x + − y x + y = y   x ( x + y − 2) + x − = y • Định hướng tìm tòi lời giải Điều kiện: x + y ≥ Từ phương trình đầu hệ, suy x + = y x + y + y (1) Ta biến đổi phương trình thứ hai hệ x ( x + y − 2) + x − = y ⇔ x ( x + y − 2) + ( x + y − ) = y ⇔ ( x + 1) ( x + y − 2) = y Thay x + = y x + y + y vào phương trình ta y ( ) x + y + ( x + y − 2) = y (2) Xét y = xem coi hệ có thoả mãn khơng ? Với y ≠ , chia hai vế phương trình (2) cho y ta phương trình ( ) x + y + ( x + y − 2) = Sau đặt t = x + y (t ≥ 0) , ta phương trình bậc ba theo t t + t − 2t − = Giải phương trình tìm t , suy giá trị x + y Sau thay vào giải hệ phương trình  x2 + = y Giải hệ ta tìm x, y  x + y =  • Lời giải Điều kiện: x + y ≥  x + − y x + y = y Ta có   x ( x + y − 2) + x − = y  x + = y x + y + y  x + = y x + y + y ⇔ ⇔  x ( x + y − 2) + x + y − = y ( x + 1) ( x + y − 2) = y  x2 + = y x + y + (1)  Với y = , ta có (1) ⇔ x + = ( vơ nghiệm) Do ⇔ (2) hệ cho vô nghiệm  y x + y + ( x + y − 2) = y  Với y ≠ , ta có (2) ⇔ x + y + ( x + y − 2) = ( ( ) ) ( ) Đặt t = x + y (t ≥ 0) , phương trình trở thành (t + 1)(t − 2) = ⇔ t + t − 2t − = ⇔ t = Do x + y = ⇔ x + y = Khi hệ cho trở thành  −3 +  x =    11 − y=  2  x +1 = 3y y = 4− x  x + = ( − x )  ⇔ ⇔ ⇔    y = − x −3 − x + y =  x + x − 11 =  x =    11 +  y =    53 53 53 53  −3 + 53 11 − 53   −3 − 53 11 + 53  ; ; ÷ ÷ ÷,  ÷ 2 2     Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y )  Bài toán 2: Giải hệ phương trình 1 + xy − x y + x y − x = y  1 + x − = 3 x − y • Định hướng tìm tòi lời giải Điều kiện: x ≥ Từ điều kiện đầu hệ suy x = (1 − x)(1 + x − y )(1 + x ) = ⇔   y = x +1 Với x = 1, thay vào phương trình thứ hai hệ tìm y Với y = x + , thay vào phương trình thứ hai hệ ta nhận phương trình ẩn theo x 1+ x +1 = 33 x −1 Để giải phương trình ta cần đặt ẩn phụ t = x − 1, (t ≥ 0) ta phương trình theo t t = 2t − 3t + = ⇔  t = − (lo¹i)  Với t = thay vào ta tìm giá trị x , từ suy y • Lời giải Ta có + xy − x y + x y − x = y ⇔ ( − x ) + ( xy − y ) + ( x y − x y ) = ⇔ ( – x ) ( x + x + x + 1) + y ( x –1) + x y ( x –1) = ⇔ ( – x ) ( x3 + x + x + – y – x y ) = ⇔ ( – x ) ( + x ) + x ( + x ) – y ( + x )  = ⇔ ( – x ) ( + x2 ) ( + x – y ) = x = ⇔  y = x +1 Với x = , thay vào phương trình thứ hai hệ ta 53 ⇔ y= = 33 − y ⇔ − y = − 27 27 y = x + Với , thay vào phương trình thứ hai hệ ta 1+ x −1 = 33 x −1 Đặt t = x − 1, (t ≥ 0) Khi phương trình trở thành t = 1 + 2t = 3t ⇔ 2t − 3t + = ⇔ ( t – 1) ( 2t + 1) = ⇔  −1 t = (lo¹i)  Với t = 1, ta có t − = ⇔ x = suy y =  53  Vậy hệ cho có nghiệm (x;y) 1; ÷ (2;3)  27  3 2 Bài tốn 3: Giải hệ phương trình  x + xy − 3x + y =  2  x + 3x y − x + y = • Định hướng tìm tòi lời giải: Chia vế phương trình đầu hệ cho x, ta y y  = ⇔  x + ÷+ y = x x  Chia vế phương trình thứ hai hệ cho x , ta x + y −3+ y2 y  x + 3y − + = ⇔  x + ÷ + y = x x  t + y = y Nhận thấy đặt t = x + hệ phương trình trở thành  x t + y = Giải hệ tìm t y, suy x, y • Lời giải: Với x = , thay vào hệ cho ta y = Với x ≠ , ta có y  x + + y =3   x + xy − x + y =  x ⇔ ⇔  2 2 y  x + 3x y − x + y = x + 3y + =5  x2  Đặt t = x + y  x+ + y =3   x  ( x + y ) + y =  x  y hệ trở thành x y = 3−t t + y = y = 3−t  ⇔ 2 ⇔  t = −1  ⇔ 2 t + y = t − t − =  t =  Với t = −1, y = ta có Với t = 2, y = ta có  t = −1   y =  t =    y = y  y =  x + = −1 ⇔  x   x + x + = ( v« nghiƯm )  y = y  y =1 x = x + = ⇔  ⇔  x  y =1 x − 2x +1 =  y = Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) là: ( 0;0 ) , ( 1;1) Bài tốn 4: Giải hệ phương trình:  x + xy + y = + 3x  2  x + x y + xy + y = + 15 x • Định hướng tìm tòi lời giải Biến đổi đồng thời hai phương trình hệ ta  x + y − = 3x − xy  x + y − = 3x − xy (1) ⇔   2 2  x + x y + y − = 5(3 x − xy ) ( x + y ) − = 5(3x − xy ) (2) Khi thay 3x – xy = x + y – vào phương trình thứ hai hệ ta (2) ⇔ ( x + y ) – = ( x + y – 2) (3) Đặt t = x + y Phương trình (3) trở thành: t – = ( t – ) Giải phương trình tìm t, suy x, y • Lời giải:  x + xy + y = + x  2  x + x y + xy + y = + 15 x  x + y − = x − xy ⇔  2  x + x y + y − = 5(3 x − xy )  x + y − = 3x − xy ⇔  2 ( x + y ) − = 5(3 x − xy )  x + y − = x − xy ⇔  2 ( x + y ) − = 5( x + y − 2) (3) Đặt t = x + y phương trình (3) trở thành: t = t – = ( t – ) ⇔ t – 5t + = ⇔  t = Với t = ta có hệ phương trình 2 3 x − xy = x =  y = − x  y = − x ⇔ ⇔ ⇔     3x − x(2 − x ) =  x + x = y = x + y = Với t = ta có hệ phương trình  y = − x 3x − xy = x =  y = − x ⇔ ⇔  ⇔   2 3 x − x(3 − x ) =  x − = y = x + y = Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) ( 0;2 ) , ( 1;2 ) Bài toán 5: Giải hệ phương trình  y2 + = 2x − y − x x    y + + 2x − = • Định hướng tìm tòi lời giải: Điều kiện: x > Với điều kiện x > phương trình thứ hệ, ta chia vế phương trình cho x ta y2 + phương trình − x y2 + −2=0 x Giải phương trình ta y2 + = −1 (vô nghiệm) x y2 + =2 x y2 + 2 = ⇔ y + = x ⇔ y + = x –1 x Thay y + = x –1 vào phương tình thứ hai hệ ta phương trình 4x −1 + 2x −1 = Ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ a = x + b = x − ta tìm x • Lời giải: Điều kiện: x > y2 + y2 + = 2x − ⇔ − x x Với điều kiện x > ta có y − x Đặt t = y2 + x y2 + − = (1) x ( t ≥ 0) t = −1 (lo¹i) t = Khi phương trình (1) trở thành t − t − = ⇔  Với t = y2 + 2 = ⇔ y + = 4x ⇔ y + = 4x −1 x Thay y + = x − vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình x − + x − = (*) u = x − Đặt  v = x − ,u ≥ Ta hệ phương trình u + v = u = − v u = − v u = ⇔ ⇔ ⇔  3 v = u − 2v = (1 − v ) − 2v =  v − v + 2v =  x − = u = 4 x − = 1 ⇔ ⇔x= Với  ta có  v = 2 x − =  x − = Với x = suy y = 1  Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y )  ;0 ÷ 2  Bài tốn 6: Giải hệ phương trình  x y (1 + y ) + x y (2 + y ) + xy − 30 =  2  x y + x(1 + y + y ) + y − 11 = (Trích đề thi thử ĐH lần – trường ĐHSP Hà Nội – trường THPT chuyên) • Định hướng tìm tòi lời giải: Biến đổi đồng thời hai phương trình hệ, hệ cho trở thành Khi đó, đặt u = x + y, v = xy  xy ( x + y )( x + y + xy ) = 30   xy ( x + y ) + xy + x + y = 11 uv(u + v) = 30 uv + u + v = 11  Thay vào hệ trên, ta hệ phương trình hai ẩn theo u , v  Giải hệ tìm u.v u + v , sau tìm x, y • Lời giải:  x y (1 + y ) + x y (2 + y ) + xy − 30 = Ta có  2  x y + x(1 + y + y ) + y − 11 =  xy ( x + xy + y ) + x y ( x + y ) = 30 ⇔   xy ( x + y ) + xy + x + y = 11  xy ( x + y ) + x y ( x + y ) = 30 ⇔  xy ( x + y ) + xy + x + y = 11  xy ( x + y )( x + y + xy ) = 30 ⇔   xy ( x + y ) + xy + x + y = 11 u = x + y Đặt  Hệ trở thành v = xy (uv) − 11uv = 30 uv(u + v) = 30 u + v = 11 − uv ⇔ ⇔    uv + u + v = 11 uv(11 − uv) = 30 u + v = 11 − uv  uv =  uv =   u + v = ⇔  uv = ⇔   uv = u + v = 11 − uv    u + v = uv = , ta có u + v = Với   xy =  x + y = X =1 X =  Khi x, y nghiệm phương trình X − X + = ⇔  Do x = 1, y = x = 5, y =  x =  uv =  xy = y = ⇔  Với  , ta có   x = u + v = x + y =    y = Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) ( 1;5 ) , ( 5;1) , ( 2;3) , ( 3;2 ) Bài toán 7: Giải hệ phương trình  11x − y − y − x =  7 y − x + y − 26 x = (Trích đề thi thử đại học lần thứ trường THPT chuyên Nguyễn Huệ) • Định hướng tìm tòi lời giải Từ phương trình thứ hai hệ, ta có y − x + y − 26 x = ⇔ y − x − 2(11x − y ) + 4( y − x ) = u = 11x − y , u ≥ 0, v ≥ Nhận thấy, đặt  v = y − x  u − v = Thay vào hệ ta hệ phương trình hai ẩn theo u, v  2 7v − 2u + 4v = Giải hệ tìm u, v sau tìm x, y • Lời giải 11x − y ≥ y − x ≥ Điều kiện:  Ta có  11x − y − y − x =  11x − y − y − x = ⇔  7 y − x + y − 26 x = 7 y − x − 2(11x − y ) + 4( y − x) = u = 11x − y Đặt  v = y−x , u ≥ 0, v ≥ Hệ trở thành u = v +  u − v = u = v + u = v + u = v = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔     2 2 v = 7v − 2u + 4v = 7v − 2(v + 1) + 4v = 2v + 3v − =   v = − ( lo¹i)    x=  11x − y =  11x − y =  ⇔ ⇔ Khi đó, ta có  y − x =  y =  y − x =  1 3 Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y )  ; ÷ 2 2 3.2 Bài tập đề nghị Bài toán 8: Giải hệ phương trình 1 + x + xy = y  2 1 + x y = y (Trích đề thi thử ĐH lần trường THPT Nguyễn Tất Thành) • Đình hướng tìm tòi lời giải + Nhận thấy, thay y = vào phương trình thứ hai hệ phương trình vô nghiệm + Với y ≠ , chia vế phương trình thứ hệ cho y phương trình thứ hai hệ cho y , ta nhận hệ phương trình 10  −3 +  x =    11 − y=  2  x +1 = 3y y = 4− x  x + = ( − x )  ⇔ ⇔ ⇔    y = − x −3 − x + y =  x + x − 11 =  x =    11 +  y =    53 53 53 53  −3 + 53 11 − 53   −3 − 53 11 + 53  ; ; ÷ ÷ ÷,  ÷ 2 2     Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y )  Bài tốn 2: Giải hệ phương trình 1 + xy − x y + x y − x = y  1 + x − = 3 x − y • Định hướng tìm tòi lời giải Điều kiện: x ≥ Từ điều kiện đầu hệ suy x = (1 − x)(1 + x − y )(1 + x ) = ⇔   y = x +1 Với x = 1, thay vào phương trình thứ hai hệ tìm y Với y = x + , thay vào phương trình thứ hai hệ ta nhận phương trình ẩn theo x 1+ x +1 = 33 x −1 Để giải phương trình ta cần đặt ẩn phụ t = x − 1, (t ≥ 0) ta phương trình theo t t = 2t − 3t + = ⇔  t = − (lo¹i)  Với t = thay vào ta tìm giá trị x , từ suy y • Lời giải Ta có + xy − x y + x y − x = y ⇔ ( − x ) + ( xy − y ) + ( x y − x y ) = ⇔ ( – x ) ( x + x + x + 1) + y ( x –1) + x y ( x –1) = ⇔ ( – x ) ( x3 + x + x + – y – x y ) = ⇔ ( – x ) ( + x ) + x ( + x ) – y ( + x )  = ⇔ ( – x ) ( + x2 ) ( + x – y ) = x = ⇔  y = x +1 Với x = , thay vào phương trình thứ hai hệ ta 53 ⇔ y= = 33 − y ⇔ − y = − 27 27 y = x + Với , thay vào phương trình thứ hai hệ ta 24 1+ x −1 = 33 x −1 Đặt t = x − 1, (t ≥ 0) Khi phương trình trở thành t = 1 + 2t = 3t ⇔ 2t − 3t + = ⇔ ( t – 1) ( 2t + 1) = ⇔  −1 t = (lo¹i)  Với t = 1, ta có t − = ⇔ x = suy y =  53  Vậy hệ cho có nghiệm (x;y) 1; ÷ (2;3)  27  3 2 Bài tốn 3: Giải hệ phương trình  x + xy − 3x + y =  2  x + 3x y − x + y = • Định hướng tìm tòi lời giải: Chia vế phương trình đầu hệ cho x, ta y y  = ⇔  x + ÷+ y = x x  Chia vế phương trình thứ hai hệ cho x , ta x + y −3+ y2 y  x + 3y − + = ⇔  x + ÷ + y = x x  t + y = y Nhận thấy đặt t = x + hệ phương trình trở thành  x t + y = Giải hệ tìm t y, suy x, y • Lời giải: Với x = , thay vào hệ cho ta y = Với x ≠ , ta có y  x + + y =3   x + xy − x + y =  x ⇔ ⇔  2 2 y  x + 3x y − x + y = x + 3y + =5  x2  Đặt t = x + y  x+ + y =3   x  ( x + y ) + y =  x  y hệ trở thành x y = 3−t t + y = y = 3−t  ⇔ 2 ⇔  t = −1  ⇔ 2 t + y = t − t − =  t =  Với t = −1, y = ta có Với t = 2, y = ta có  t = −1   y =  t =    y = y  y =  x + = −1 ⇔  x   x + x + = ( v« nghiƯm )  y = 25 y  y =1 x = x + = ⇔  ⇔  x  y =1 x − 2x +1 =  y = Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) là: ( 0;0 ) , ( 1;1) Bài toán 4: Giải hệ phương trình:  x + xy + y = + 3x  2  x + x y + xy + y = + 15 x • Định hướng tìm tòi lời giải Biến đổi đồng thời hai phương trình hệ ta  x + y − = 3x − xy  x + y − = 3x − xy (1) ⇔   2 2  x + x y + y − = 5(3 x − xy ) ( x + y ) − = 5(3x − xy ) (2) Khi thay 3x – xy = x + y – vào phương trình thứ hai hệ ta (2) ⇔ ( x + y ) – = ( x + y – 2) (3) Đặt t = x + y Phương trình (3) trở thành: t – = ( t – ) Giải phương trình tìm t, suy x, y • Lời giải:  x + xy + y = + x  2  x + x y + xy + y = + 15 x  x + y − = x − xy ⇔  2  x + x y + y − = 5(3 x − xy )  x + y − = 3x − xy ⇔  2 ( x + y ) − = 5(3 x − xy )  x + y − = x − xy ⇔  2 ( x + y ) − = 5( x + y − 2) (3) Đặt t = x + y phương trình (3) trở thành: t = t – = ( t – ) ⇔ t – 5t + = ⇔  t = Với t = ta có hệ phương trình 2 3 x − xy = x =  y = − x  y = − x ⇔ ⇔ ⇔     3x − x(2 − x ) =  x + x = y = x + y = Với t = ta có hệ phương trình  y = − x 3x − xy = x =  y = − x ⇔ ⇔  ⇔   2 3 x − x(3 − x ) =  x − = y = x + y = Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) ( 0;2 ) , ( 1;2 ) Bài tốn 5: Giải hệ phương trình  y2 + = 2x − y − x x    y + + 2x − = 26 • Định hướng tìm tòi lời giải: Điều kiện: x > Với điều kiện x > phương trình thứ hệ, ta chia vế phương trình cho x ta y2 + phương trình − x y2 + −2=0 x Giải phương trình ta y2 + = −1 (vô nghiệm) x y2 + =2 x y2 + 2 = ⇔ y + = x ⇔ y + = x –1 x Thay y + = x –1 vào phương tình thứ hai hệ ta phương trình 4x −1 + 2x −1 = Ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ a = x + b = x − ta tìm x • Lời giải: Điều kiện: x > y2 + y2 + = 2x − ⇔ − x x Với điều kiện x > ta có y − x Đặt t = y2 + x y2 + − = (1) x ( t ≥ 0) t = −1 (lo¹i) t = Khi phương trình (1) trở thành t − t − = ⇔  Với t = y2 + 2 = ⇔ y + = 4x ⇔ y + = 4x −1 x Thay y + = x − vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình x − + x − = (*) u = x − Đặt  v = x − ,u ≥ Ta hệ phương trình u + v = u = − v u = − v u = ⇔ ⇔ ⇔  3 v = u − 2v = (1 − v ) − 2v =  v − v + 2v =  x − = u = 4 x − = 1 ⇔ ⇔x= Với  ta có  v = 2 x − =  x − = Với x = suy y = 1  Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y )  ;0 ÷ 2  Bài tốn 6: Giải hệ phương trình  x y (1 + y ) + x y (2 + y ) + xy − 30 =  2  x y + x(1 + y + y ) + y − 11 = (Trích đề thi thử ĐH lần – trường ĐHSP Hà Nội – trường THPT chuyên) • Định hướng tìm tòi lời giải: 27 Biến đổi đồng thời hai phương trình hệ, hệ cho trở thành Khi đó, đặt u = x + y, v = xy  xy ( x + y )( x + y + xy ) = 30   xy ( x + y ) + xy + x + y = 11 uv(u + v) = 30 uv + u + v = 11  Thay vào hệ trên, ta hệ phương trình hai ẩn theo u , v  Giải hệ tìm u.v u + v , sau tìm x, y • Lời giải:  x y (1 + y ) + x y (2 + y ) + xy − 30 = Ta có  2  x y + x(1 + y + y ) + y − 11 =  xy ( x + xy + y ) + x y ( x + y ) = 30 ⇔   xy ( x + y ) + xy + x + y = 11  xy ( x + y ) + x y ( x + y ) = 30 ⇔  xy ( x + y ) + xy + x + y = 11  xy ( x + y )( x + y + xy ) = 30 ⇔   xy ( x + y ) + xy + x + y = 11 u = x + y Đặt  Hệ trở thành v = xy (uv) − 11uv = 30 uv(u + v) = 30 u + v = 11 − uv ⇔ ⇔    uv + u + v = 11 uv(11 − uv) = 30 u + v = 11 − uv  uv =  uv =   u + v = ⇔  uv = ⇔   uv = u + v = 11 − uv    u + v = uv = , ta có u + v = Với   xy =  x + y = X =1 X =  Khi x, y nghiệm phương trình X − X + = ⇔  Do x = 1, y = x = 5, y =  x =  uv =  xy = y = ⇔  Với  , ta có   x = u + v = x + y =    y = Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) ( 1;5 ) , ( 5;1) , ( 2;3) , ( 3;2 ) Bài toán 7: Giải hệ phương trình  11x − y − y − x =  7 y − x + y − 26 x = (Trích đề thi thử đại học lần thứ trường THPT chuyên Nguyễn Huệ) • Định hướng tìm tòi lời giải Từ phương trình thứ hai hệ, ta có 28 y − x + y − 26 x = ⇔ y − x − 2(11x − y ) + 4( y − x ) = u = 11x − y , u ≥ 0, v ≥ Nhận thấy, đặt  v = y − x  u − v = Thay vào hệ ta hệ phương trình hai ẩn theo u, v  2 7v − 2u + 4v = Giải hệ tìm u, v sau tìm x, y • Lời giải 11x − y ≥ y − x ≥ Điều kiện:  Ta có  11x − y − y − x =  11x − y − y − x = ⇔  7 y − x + y − 26 x = 7 y − x − 2(11x − y ) + 4( y − x) = u = 11x − y Đặt  v = y−x , u ≥ 0, v ≥ Hệ trở thành u = v +  u − v = u = v + u = v + u = v = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔     2 2 v = 7v − 2u + 4v = 7v − 2(v + 1) + 4v = 2v + 3v − =   v = − ( lo¹i)    x=  11x − y =  11x − y =  ⇔ ⇔ Khi đó, ta có  y − x =  y =  y − x =  1 3 Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y )  ; ÷ 2 2 3.2 Bài tập đề nghị Bài tốn 8: Giải hệ phương trình 1 + x + xy = y  2 1 + x y = y (Trích đề thi thử ĐH lần trường THPT Nguyễn Tất Thành) • Đình hướng tìm tòi lời giải + Nhận thấy, thay y = vào phương trình thứ hai hệ phương trình vơ nghiệm + Với y ≠ , chia vế phương trình thứ hệ cho y phương trình thứ hai hệ cho y , ta nhận hệ phương trình 29 1  1 x x + + x =5 + + x =  y y y y   ⇔   x +  − x =  + x2 = ÷   y y y   u = x + y  Khi đó, đặt  Hệ trở thành v = x  y  u + v =  u − v = u = u = − Giải hệ phương trình ẩn u, v ta   v = v = 10 u = ta có v = +Với   x = 1  x =    x − 3x + =  x + y =  = − x  y =     x = ⇔y ⇔ 1 ⇔ ⇔     x=2  x =  x(3 − x ) = y =  y = 3− x      y  3− x   y = u = − + Với  ta có v = 10   x + x + 10 = ( v« nghiƯm) 1  x + y = −5 = − − x    ⇔y ⇔ 1   x = 10  x(−5 − x) = 10  y = −5 − x    y Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y )  1; ÷, ( 2;1)  2 Bài tốn 9: Giải hệ phương trình  x + y =   x + + y + = (Trích đề thi thử ĐH lần thứ năm 2010 trường THPT Nguyễn Tất Thành) • Định hướng tìm tòi lời giải Điều kiện: x ≥ 0, y ≥ Đặt t = y , t ≥ Suy t = y Thay vào phương trình đầu hệ ta x = − t Với điều kiện ≤ t ≤ x = ( − t ) 2 Thay x = ( − t ) y = t vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình theo ẩn t ( − t ) + + t + = với ≤ t ≤ ⇔ t − 6t + 14 = − t + Vì ≤ t ≤ nên hai vế phương trình khơng âm 30 Bình phương vế phương trình ta t − 6t + 14 = 25 − 10 t + + t + ⇔ t + = 3t + Vì ≤ t ≤ nên hai vế phương trình khơng âm Bình phương vế phương trình ta  13 t= 25 ( t + 3) = 9t + 49 + 42t ⇔ 16t − 42t + 26 = ⇔   t =  121   x = 64 13 x = ( − t ) ⇔ + Với t = ta có   y = t  y = 169  64 x = +Với t = ta có  y =1 2 Đáp số: Hệ cho có nghiệm ( x; y )  121 ; 169 ÷, ( 4;1)  64 64  Bài tốn 10: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm  x + y + 2( x + y ) =   xy ( x + 2)( y + 2) = m (Trích đề thi thử ĐH đợt - Trung tâm BDVH Thăng Long Chùa Bộc - Hà Nội) • Định hướng tìm tòi lời giải Biến đổi đồng thời hai phương trình cho hệ, hệ trở thành ( x + x ) + ( y + y ) =   2 ( x + x ) ( y + y ) = m Với nhận xét x + x = ( x + 1) − ≥ −1 y + y = ( y + 1) − ≥ −1 2  u = x + x , u ≥ −1, v ≥ −1 Đặt  v = y + y   u + v = , u ≥ −1, v ≥ −1 u + v = m Khi hệ phương trình trở thành  Hệ cho có nghiệm u + v =  ⇔ u.v = m có nghiệm u ≥ −1, v ≥ −1  ⇔ X − X + m = có nghiệm X , X ≥ −1 ∆ = − m ≥  ⇔  X = + − m ≥ −1   X = − − m ≥ −1 Giải bất phương trình ta nhận giá trị m cần tìm là: −3 ≤ m < Bài tốn 11: Giải hệ phương trình 31  2x 2y + =3  x  y  x − y + xy =  (Trích đề thi thử ĐH lần thứ trường THPT chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội) • Định hướng tìm tòi lời giải Điều kiện: xy > Đặt t = x ,t >0 y Phương trình thứ hệ trở thành 2t + Giải phương trình, ta tìm t = =3 t ,t = 2 x 2 = ⇔ y = 2x , ta có y 2 Khi thay y = x vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình x − x − = Giải phương trình tìm x , sau suy y Với t = Với t = , lập luận tương tự ta phương trình x + x − =  Đáp số: Hệ cho có nghiệm ( x; y ) ( −1; −2 ) ,  ;3 ÷, ( 2;1) ,  −3; − ÷ 2   2 IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Nội dung đề tài sử dụng để dạy bồi dưỡng học sinh giỏi khối 10 khối 12 V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG - Trên vài kinh nghiệm nhỏ tiếp cận dạy học theo chủ đề mảng kiến thức liên quan đến hệ phương trình Tuy chưa đem lại hiệu cao cho tồn thể học sinh song thân q trình tìm tòi, đúc kết qua nhiều năm đứng lớp Thiết nghĩ, giáo viên thường xuyên gom nhặt, tích lũy, xếp khoa học thảo luận, chia sẻ, mở rộng kiến thức hiệu dạy học mơn từ nâng lên - Cuối xin cảm ơn toàn thể thầy giáo tổ Tốn – trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình nghiên cứu - Mặc dù có nhiều cố gắng hạn chế mặt kiến thức thời gian nên sai sót điều khó tránh khỏi, kính mong nhận ý kiến đóng góp q thầy để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn VI DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Ts Lê Xuân Sơn (chủ biên) (2013), Giới thiệu giải chi tiết Bộ đề thi thử trọng tâm, nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội Nguyễn Thanh Tuyên (chủ biên) (2016), Thần tốc luyện đề THPT quốc gia 2016, nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội 32 Người thực Nguyễn Thị Hồng Vân 33 SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh ––––––––––– CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc –––––––––––––––––––––––– Biên Hoà, ngày 23 tháng 05 năm 2017 PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2017 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Tìm tòi phương pháp giải tốn hệ phương trình ( phần hai ) Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Hồng Vân Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Đơn vị: trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Họ tên giám khảo 1: Trần Thị Lan Anh Chức vụ: giáo viên tổ Toán Đơn vị: trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Số điện thoại giám khảo: 0974 074054 * Nhận xét, đánh giá, cho điểm xếp loại sáng kiến kinh nghiệm: Tính Thay phần giải pháp có với mức độ tốt Điểm: 4,0/6,0 Hiệu Có minh chứng thực tế để thấy hiệu giải pháp tác giả thay phần giải pháp có đơn vị Điểm: 5,5/8,0 Khả áp dụng Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng Điểm: 5,0/6,0 Tổng số điểm:14,5/20 Xếp loại: Khá GIÁM KHẢO Trần Thị Lan Anh 34 SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh ––––––––––– CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc –––––––––––––––––––––––– Biên Hoà, ngày 24 tháng 05 năm 2017 PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2017 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Tìm tòi phương pháp giải tốn hệ phương trình ( phần hai ) Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Hồng Vân Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Đơn vị: trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Họ tên giám khảo 2: Nguyễn Thị Tú Dương Chức vụ: giáo viên tổ Toán Đơn vị: trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Số điện thoại giám khảo: 0915 750255 * Nhận xét, đánh giá, cho điểm xếp loại sáng kiến kinh nghiệm: Tính Thay phần giải pháp có với mức độ tốt Điểm: 4,0/6,0 Hiệu Có minh chứng thực tế để thấy hiệu giải pháp tác giả thay phần giải pháp có đơn vị Điểm: 5,0/8,0 Khả áp dụng Đã áp dụng thực tế đạt hiệu Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực Điểm: 5,0/6,0 Tổng số điểm:14/20 Xếp loại: Khá GIÁM KHẢO Nguyễn Thị Tú Dương 35 SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Độc lập - Tự - Hạnh phúc Biên Hòa, ngày 25 tháng 05 năm 2017 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2016-2017 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Tìm tòi phương pháp giải tốn hệ phương trình ( phần hai ) Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Hồng Vân Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Đơn vị: trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào ô tương ứng, ghi rõ tên môn lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học mơn: Tốn - Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác:   Sáng kiến kinh nghiệm triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành  Tính (Đánh dấu X vào ô đây) - Đề giải pháp thay hoàn toàn mới, bảo đảm tính khoa học, đắn  - Đề giải pháp thay phần giải pháp có, bảo đảm tính khoa học, đắn  - Giải pháp gần áp dụng đơn vị khác chưa áp dụng đơn vị mình, tác giả tổ chức thực có hiệu cho đơn vị  Hiệu (Đánh dấu X vào ô đây) - Giải pháp thay hoàn toàn mới, thực tồn ngành có hiệu cao  - Giải pháp thay phần giải pháp có, thực tồn ngành có hiệu cao  - Giải pháp thay hoàn toàn mới, thực đơn vị có hiệu cao  - Giải pháp thay phần giải pháp có, thực đơn vị có hiệu  - Giải pháp gần áp dụng đơn vị khác chưa áp dụng đơn vị mình, tác giả tổ chức thực có hiệu cho đơn vị  Khả áp dụng (Đánh dấu X vào dòng đây) - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong quan, đơn vị, sở GD&ĐT Trong ngành  - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong quan, đơn vị, sở GD&ĐT  Trong ngành  - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong quan, đơn vị, sở GD&ĐT Trong ngành  36 Xếp loại chung: Xuất sắc  Khá  Đạt  Không xếp loại  Tôi xin cam kết chịu trách nhiệm không chép tài liệu người khác chép lại nguyên văn nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ NGƯỜI THỰC HIỆN SKKN Nguyễn Thị Hồng Vân XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN Nguyễn Thị Tú Dương THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ 37 38 ... theo chủ đề vận dụng vào giải phương trình lượng giác Tìm tòi phương pháp giải tốn hệ phương trình (phần 1) TÌM TỊI PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ( phần 2) I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:... theo chủ đề vận dụng vào giải phương trình lượng giác Tìm tòi phương pháp giải tốn hệ phương trình (phần 1) 21 TÌM TỊI PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ( phần 2) II LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:... hướng tìm tòi lời giải + Nhận thấy, thay y = vào phương trình thứ hai hệ phương trình vơ nghiệm + Với y ≠ , chia vế phương trình thứ hệ cho y phương trình thứ hai hệ cho y , ta nhận hệ phương trình