SKKN Tọa độ của điểm, phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Lý do chọn đề tài Trong chương trình toán lớp 10, học sinh được học về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và bước đầu biết vận dụng kiến thức cơ bản vào giải một sốbài tập trong SGK.. Đề

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN MỚI

TỪ MỘT BÀI TOÁN BAN ĐẦU

THANH HÓA NĂM 2013

CẤU TRÚC ĐỀ TÀI

II Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 02

1 Đối tượng nghiên cứu 02

2 Phạm vi nghiên cứu 02

I Cở sở lý luận của vấn đề 03

II Thực trạng của vấn đề 03III Biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề 04

1 Kiến thức lý thuyết cần củng cố 04

3 Phát triển bài toán mới từ một bài toán ban đầu 07

4 Các bài toán tham khảo 12

5 Kiểm nghiệm đề tài 16

C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 18

D TÀI LIỆU THAM KHẢO 19

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lý do chọn đề tài

Trong chương trình toán lớp 10, học sinh được học về phương pháp tọa

độ trong mặt phẳng và bước đầu biết vận dụng kiến thức cơ bản vào giải một sốbài tập trong SGK

Đề thi vào Đại học, Cao đẳng và THCN luôn có dạng bài tập về phươngpháp tọa độ trong mặt phẳng, các bài tập này khó hơn nhiều so với bài tập trongSGK, đứng trước những bài toán này học sinh thường lúng túng không xác địnhđược đường lối và phương pháp giải, một bộ phận học sinh cho rằng bài toánnày không có trong chương trình phổ thông hoặc chưa được thầy, cô dạy cáchgiải toán nhiều học sinh không tránh khỏi tâm trạng hoang mang mất phươnghướng, các em cho rằng, quá nhiều dạng toán như thế thì làm sao nhớ hết cácdạng toán và cách giải các dạng toán đó, nếu bài toán đó không thuộc dạng toán

đã gặp thì không thể giải được

Vì thế, tôi đã chọn một bài toán rất cơ bản trong chương trình toán lớp 10

và từ bài toán này theo hướng thay đổi giả thiết của bài toán để tạo ra một số bàitoán mới nhưng vẫn liên quan với bài toán ban đầu về phương pháp giải (Nhữngbài tập này thường gặp trong các đề thi vào Đại học, Cao đẳng và THCN)

II Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

1 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh lớp 10 qua các năm giảngdạy từ trước đến nay

2 Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là: “Tọa độ của điểm, phương trình

đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ”.

Hy vọng bài viết này sẽ giúp các em học sinh có cơ sở suy luận, biết qui

lạ về quen, biết cách rèn luyện và hoàn thiện phương pháp tư duy toán học, giúpcác em có thêm niềm tin, sự say mê toán học và vững vàng hơn khi đứng trướcmột bài toán khó

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I Cơ sở lý luận của vấn đề

Khi giải một bài toán, ngoài yêu cầu đọc kỹ đầu bài, phân tích giả thiếtbài toán, học sinh còn cần phải chú ý đến nhiều yếu tố khác như: nhận dạng bàitoán, nội dung kiến thức nào liên quan đến bài toán đặt ra, tìm mối liên hệ giữabài toán đã cho với bài toán cơ bản đã biết cách giải, trình bày bài toán như thếnào cho chính xác và lôgic có như thế mới có thể giải quyết được nhiều bàitoán mà không gặp phải khó khăn

Trong các kì thi, học sinh thường gặp các bài tập khó hơn nhiều so vớicác bài tập trong SGK Thực tế, phần lớn các bài toán đều thuộc một dạng toánnào đó mà các em đã biết cách giải, các bài toán đó được tạo ra từ một bài toánban đầu mà ta gọi là bài toán mới

Bài toán mới có thể là bài toán hoàn toàn mới, cũng có thể là sự mở rộng,đào sâu những bài toán đã biết Thực tế khó có thể tạo ra một bài toán hoàn toànkhông có quan hệ gì về nội dung hoặc về phương pháp với những bài toán đãbiết VÌ VẬY ĐỂ TẠO RA MỘT BÀI TOÁN TỪ BÀI TOÁN BAN ĐẦUthường có các con đường sau:

1 Lập bài toán tương tự

2 Lập bài toán đảo

3 Thêm một số yếu tố rồi đặc biệt hóa

4 Bớt một số yếu tố rồi khái quát hóa

5 Thay đổi một số yếu tố

II Thực trạng của vấn đề

Trong SGK và SBT, phần lớn các bài tập mới chỉ đáp ứng được mục tiêucủng cố kiến thức cơ bản cho học sinh trong khi đó phần bài tập nâng cao, bàitập tổng hợp còn ít Mặt khác, thời lượng dành cho các bài tập này không nhiềunên học sinh ít được luyện tập vì vậy kỹ năng giải toán của học sinh chưa cao

Trong các kì thi, học sinh thường gặp các bài tập khó hơn nhiều so vớicác bài tập trong SGK, để giải loại bài tập này học sinh không chỉ nắm vữngcách giải, thành thạo kỹ năng giải toán mà còn phải kết hợp nhiều kỹ năng khácnhư: khái quát hóa, tương tự hóa, trừu tượng hóa

Sau nhiều năm giảng dạy, tôi nhận thấy học sinh có thể giải được hầu hếtcác bài tập trong SGK cũng như nắm được các kiến thức cơ bản nhưng khi đứngtrước một bài toán khó (Bài tập nâng cao, tổng hợp kiến thức) các em vẫn lúngtúng do đó chưa phát hiện được dạng toán, chưa tìm ra phương pháp giải Đặcbiệt có em còn cho rằng chưa từng gặp bài toán này

III Biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề của đề tài

Từ thực trạng trên, từ một bài toán rất cơ bản trong chương trình toán lớp

10 theo hướng thay đổi giả thiết của bài toán đã tạo ra 6 bài toán mới từ bài toánban đầu nhưng có cùng một phương pháp giải

Tuy nhiên, để đề tài đạt kết quả theo tôi giáo viên cần củng cố cho họcsinh một số kiến thức cơ bản cụ thể như sau:

1 Kiến thức lý thuyết cần củng cố

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy

* Cho A(x ; y );B(x ; y ),1 1 2 2 M(x; y)là trung điểm của AB thì tọa độ điểm M được

* Cho A(x ; y );B(x ; y );C(x ; y ) là ba đỉnh của một tam giác,1 1 2 2 3 3 G(x; y)là trọng

tâm ABC thì tọa độ điểm G được xác định:

* Phương trình tổng quát của đường thẳng d: ax by c 0(a   2b20) (*)trong

đó n (a;b) là một véc tơ pháp tuyến của d

* Phương trình đường thẳng d đi qua M (x ; y ) và có vectơ pháp tuyến (VTPT)0 0 0

* Mối liên hệ giữa VTPT và VTCP của đường thẳng d là : n u   n.u 0 

Nếu một VTPT của d là n (a;b) thì có thể chọn VTCP của d là u ( b;a) hoặc u (b; a). 

* Nếu M d thì tọa độ điểm M được biểu diễn như sau:

- Đường thẳng d có phương trình cho ở dạng (**) thì M(x0u t; y1 0u t ).2

- Đường thẳng d có phương trình cho ở dạng (*) thì tọa độ điểm M có thể

biểu diễn như sau:M t; at c ,

* Một số dạng toán cơ bản viết phương trình đường thẳng

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M (x ; y ) và biết VTCP0 0 0hoặc VTPT cho trước

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm hai điểm phân biệt

1 1 2 2

A(x ; y );B(x ; y ),

Cách 1: AB (x 2 x ; y1 2 y )1

là một VTCP của d

- Chọn điểm đi qua là A (hoặc B)

- Áp dụng dạng 1 viết phương trình đường thẳng d

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (x ; y ) và song song0 0 0

với đường thẳng cho trước

Giả sử d’ cho trước có phương trình là: ax by c 0(a   2b20)

- Tìm VTPT của d’, VTPT của d’ cũng là VTPT của đường thẳng d

- AD dạng 1

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (x ; y ) và vuông góc0 0 0

với đường thẳng cho trước

+ Giả sử d’ cho trước có phương trình là: ax by c 0(a   2b20)

- Áp dụng dạng 1 viết phương trình đường thẳng d

+ d vuông góc với đường thẳng đi quaA(x ; y );B(x ; y )1 1 2 2

- AB (x2 x ; y1 2 y )1



là một VTPT của d

- Áp dụng dạng 1 viết phương trình đường thẳng d

Chú ý : Trong trường hợp này học sinh hay nhầm lẫn với bài toán viết

2 Bài toán cơ sở (Bài toán ban đầu)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết: trọng tâm G(1;1)đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC có phương trình lần lượt là: x 4y 8 0   ,2x 7y 1 0   Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Giải

+ Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

x 4y 8 0 x 4

A( 4;1)2x 7y 1 0 y 1

+ Từ giả thiết B AB;C AC  suy ra B(b;b 8),C(c; 1 2c)

Phân tích bài toán

Trong bài toán trên:

+ Giả thiết 1: Tọa độ trọng tâm G cho ta thiết lập mối quan hệ giữa tọa độ các

đỉnh của tam giác ABC

+ Giả thiết 2: Cho phương trình đường thẳng chứa hai cạnh AB và AC để xác

định được tọa độ điểm A và biểu diễn được tọa độ hai điểm B, C theo một tham

số (vì B, C lần lượt thuộc AB, AC)

Ta có thể phát triển bài toán này theo hướng thay đổi từng giả thiết 1, 2hoặc thay đổi đồng thời giả thiết 1 và 2 để được một bài toán mới Các bài toánnày đều có điểm chung về phương pháp giải là:

Biểu diễn được tọa độ các đỉnh của tam giác

Lập hệ thức liên hệ tọa độ các đỉnh của tam giác dẫn đến việc giải một hệphương trình

3 Phát triển bài toán mới từ một bài toán ban đầu

a) Hướng 1: (Thay đổi giả thiết 1)

Thay tọa độ trọng tâm G bằng giả thiết cho biết tọa độ trung điểm M củacạnh BC

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết: M( ;1)7

2 là trungđiểm của cạnh BC, đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC có phương trình lần lượtlà: x 4y 8 0,   2x 7y 1 0   Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Giải

+ Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

x 4y 8 0 x 4

A( 4;1)2x 7y 1 0 y 1

b) Hướng 2: (Thay đổi giả thiết 2)

Trong hướng phát triển này có thể thay đổi giả thiết như sau:

Hướng 2.1

Thay phương trình đường thẳng chứa hai cạnh AB và AC bằng giả thiếtcho biết tọa độ điểm A và phương trình của hai đường thẳng bất kỳ d1, d2 lầnlượt đi qua hai đỉnh còn lại của tam giác

Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết: đỉnh A( 4;1) ,trọng tâm G(1;1), B và C lần lượt thuộc hai đường thẳng d : x 2y 10 01    ,

Thay phương trình đường thẳng chứa hai cạnh AB và AC bằng giả thiếtcho biết tọa độ điểm A và phương trình đường thẳng chứa đường cao đi qua B

hoặc C (Hướng 2.1: cho biết phương trình của hai đường thẳng đi qua đỉnh

hai đỉnh B và C Trong hướng phát triển này ẩn đi phương trình của một đường thẳng đi qua B hoặc C).

Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết: đỉnh A( 4;1) ,trọng tâm G(1;1), đường thẳng chứa đường cao BH có phương trình là:7x 2y 22 0.   Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC

Giải

+ Đường thẳng chứa cạnh AC đi qua A và vuông góc với BH, đường thẳng nàynhận u (7; 2)  làm vectơ chỉ phương suy ra vectơ n (2;7) là vectơ pháp tuyếncủa AC, phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là:

2(x 4) 7(y 1) 0    2x 7y 1 0  + Từ giả thiết B BH;C AC  suy ra B(b;7b 22),C(c; 1 2c)

trong của góc B hoặc C (Như hướng 2: ẩn đi phương trình của một đường

thẳng đi qua B hoặc C nhưng đường thẳng này khó xác định hơn so với đường thẳng xác định ở hướng 2.2).

Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết: đỉnh A( 4;1) ,trọng tâm G(1;1), đường thẳng chứa đường phân giác trong của góc B cóphương trình là: x y 1 0.   Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC

+ Gọi E là điểm đối xứng của A qua phân giác trong d: x y 1 0   của góc B Ta

có EA vuông góc với d, phương trình của EA là: x 4 t (t R)

+ Đường thẳng BC qua M và E có phương trình là: 4x y 13 0  

+ Từ giả thiết B d;C BC  suy ra B(b;b 1),C(c;4c 13) 

+ G là trọng tâm tam giác ABC do đó : A B C G

cạnh AB hoặc AC (Như hướng 2: nhưng trong hướng phát triển này không

cho biết phương trình đường thẳng đi qua hai đỉnh B và C).

Bài 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết: đỉnh A( 4;1) ,trọng

tâm G(1;1), đường trung trực của cạnh AC có phương trình là: 14x 4y 7 0.  

Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC

Giải

+ Gọi  là đường thẳng trung trực của cạnh AC, khi đó đường thẳng chứa cạnh

AC đi qua A(- 4; 1) và vuông góc với , đường thẳng này nhận u (7; 2)  làmvectơ chỉ phương suy ra vectơ n (2;7) là vectơ pháp tuyến của AC, phươngtrình đường thẳng chứa cạnh AC là: 2(x 4) 7(y 1) 0    2x 7y 1 0  

+ Gọi M là trung điểm của AC, tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

114x 4y 7 0 x 1

M( ;0)2

c) Hướng 3: (Thay đổi giả thiết 1 và 2)

Thay phương trình đường thẳng chứa hai cạnh AB và AC bằng giả thiếtcho biết tọa độ điểm A, thay tọa độ trọng tâm G và phương trình của hai đườngthẳng đi qua hai đỉnh B và C bẳng giả thiết cho biết phương trình hai đườngthẳng chứa hai đường trung tuyến đi qua B và C

Bài 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biếtA( 4;1), phươngtrình đường thẳng chứa các đường trung tuyến xuất phát từ hai đỉnh B và C lầnlượt là:d : 2x 3y 1 01     , d : x y 2 0.2    Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tamgiác ABC

Như vậy, từ việc thay đổi giả thiết của bài toán ta đã tạo ra 6 bài toán mới

từ bài toán ban đầu, các bài toán mới này vẫn có mối quan hệ với bài toán banđầu về phương pháp giải

4 Các bài toán tham khảo

a) Bài toán tham khảo có lời giải

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết: trọng tâm

G( 2; 1)  , đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC có phương trình lần lượt là:

4x y 15 0   ,2x 5y 3 0   Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Giải

+ Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

4x y 15 0 x 4

A( 4;1)2x 5y 3 0 y 1

Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết: M( 1; 2)  là trungđiểm của cạnh BC, đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC có phương trình lần lượtlà: 4x y 15 0   ,2x 5y 3 0   Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Giải

+ Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

4x y 15 0 x 4

A( 4;1)2x 5y 3 0 y 1

+ Đường thẳng chứa cạnh AC đi qua A và vuông góc với BH, đường thẳng nàynhận u (5; 2)  làm vectơ chỉ phương suy ra vectơ n (2;5) là vectơ pháp tuyếncủa AC, phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là:

Giải

+ Gọi  là đường thẳng trung trực của cạnh AC, khi đó đường thẳng chứa cạnh

AC đi qua A(- 4; 1) và vuông góc với , đường thẳng này nhận u (5; 2)  làmvectơ chỉ phương suy ra vectơ n (2;5) là vectơ pháp tuyến của AC, phươngtrình đường thẳng chứa cạnh AC là: 2(x 4) 5(y 1) 0    2x 5y 3 0  

+ Gọi M là trung điểm của AC, tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

310x 4y 15 0 x 3

M( ;0)2

Bài 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết: đỉnh A(- 4; 1),

phương trình đường trung tuyến xuất phát từ hai đỉnh B và C lần lượt là:

1

d : 2x y 3 0    ,d : y 1 02   Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Giải

+ Từ giả thiết B d ;C d 1  2suy ra B(b;2b 3),C(c; 1) 

+ Tọa độ điểm G là nghiệm của hệ phương trình

b) Các bài toán luyện tập

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết: trọng tâm G( ; )7 4

3 3 ,đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC có phương trình lần lượt là: 5x 3y 2 0    ,

2x 7y 5 0   Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Đáp số: A(- 1; -1), B(2; 4) và C(6; 1).

Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết: M( ; )1 3

3 2 là trungđiểm của cạnh BC, đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC có phương trình lần lượtlà: 3x 2y 10 0   ,3x 4y 22 0   Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Đáp số: A(0; 5), B(-2; 2) và C(3; 1).

Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết: đỉnh A( 1;3) ,

Bài 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết: đỉnh A( 4;1) ,trọng tâm G( 2; 1)  , đường trung trực của cạnh AC có phương trình là:10x 4y 15 0.   Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC

Bài 7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết: đỉnh A( 1; 1), 

phương trình đường trung tuyến xuất phát từ hai đỉnh B và C lần lượt là:

1

d : 8x y 20 0   ,d : x 11y 17 02    Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Đáp số: A(-1; -1), B(2; 4) và C(6; 1).

5 Kiểm nghiệm đề tài

Bài viết này hoàn thành sau khi đã được kiểm nghiệm qua thực tế ở cáclớp 10 trong nhiều năm học tại các buổi học ôn tập

Trước khi dạy, hầu hết các em đều lúng túng, không xác định đượcđường lối giải toán, không biết cách suy luận tìm tòi hướng giải toán, rất ít em

có thể giải trọn vẹn một bài toán đặt ra

Sau khi dạy

Hiệu quả thấy rõ đối với phần đông học sinh, nhất là các em học sinh cóhọc lực từ trung bình khá trở lên đều rất hứng thú và tiếp thu bài tốt

Kết quả thực nghiệm

Trước khi dạy, kết quả như sau: