SKKN Phương trình giải phương trình chứa căn trong chương trình Toán ở trường Trung học Phổ Thông

Một số phương pháp giải phương trình chứa căn trong chương trình toán ở trường trung học phổ thông.. Trong chương trình giải tích cấp ba, nội dung giải phương trình, bất phương trình chứ

Một số phương pháp giải phương trình chứa căn trong chương trình toán ở trường trung học phổ thông

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Trong chương trình giải tích cấp ba, nội dung giải phương trình, bất phương trình chứa căn chiếm một vị trí không nhiều, nhưng nó lại là kiến thức cơ bản cho việc giải các phương trình bất phương mũ, phương trình bất phương trình lôgarit, là một trong những bài toán trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông cũng như trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng

Ưu điểm của phương pháp này giúp cho học sinh có được một số phương pháp để giải phương trình chứa căn

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy các em học sinh hay gặp khó khăn khi giải các bài toán có chứa căn Các em thường không biết bắt đầu từ đâu do trong quá trình học, nội dung kiến thức sách giáo khoa cung cấp quá ít dạng, trong khi đề thi tuyển sinh đại học hay là đề thi học sinh giỏi thì có quá nhiều dạng lạ, điều đó làm cho học sinh gặp nhiều khó khăn Do đó tôi chọn đề tài này nhằm giúp các em học sinh có thêm tư liệu để nghiên cứu Nhằm giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về giải phương trình chứa căn, có kỹ năng để

giải các bài toán liên quan đến phương trình chứa căn, tôi chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình chứa căn trong chương trình toán ở trường trung học phổ thông”

II Mục đích nghiên cứu

- Chỉ ra cho học sinh thấy những phương pháp khác nhau để giải một phương trình

có chứa căn

- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo

III Nhiệm vụ nghiên cứu

- Đánh giá thực tế quá trình vận dụng giải bài tập có liên quan đến việc giải phương trình chứa căn, các bài toán liên quan để có được bài giải toán hoàn chỉnh và chính xác

IV Đối tượng nghiên cứu

- Các bài toán liên quan đến phương trình chứa căn

V Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ PHÁP LÝ CỦA ĐỀ TÀI

I Cơ sở lý luận

Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và phạm vi nghiên cứu của đề tài)

1.1 Các công thức cơ bản của phương trình chứa căn:

Các công thức cơ bản của phương trình:

a) DẠNG CƠ BẢN:

1)√ {

2) √ √ {

3)√

4) √ √ √ {

√ √

b) CÁC DẠNG KHÁC:

Đặt điều kiện cho √ là A 0 nâng cả 2 vế lên luỹ thừa tương ứng để khử căn thức

Lưu ý:

{

1.2 Tính chất của các căn thức bậc hai:

1) Nếu a 0, b 0 thì √ √ √

2) Nếu a 0, b 0 thì √ √ √

3) Nếu a 0, b > 0 thì √ √

√

4) Nếu a 0, b < 0 thì a a

II Cơ sở pháp lý

- Dựa trên những khái niệm, định nghĩa, định lí, các công thức cơ bản đã học trong quá trình giải phương trình chứa căn

Một số phương pháp giải phương trình chứa căn trong chương trình toán ở trường trung học phổ thông

- Dựa trên những kết quả đúng đắn và những chân lí hiển nhiên đã được chứng minh, thừa nhận

CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

Trong thực tế, khi học sinh học giải phương trình chứa căn thường gặp phải những khó khăn sau:

- Sách giáo khoa chỉ giới thiệu một số dạng cơ bản

- Khi cần tìm sách hướng dẫn thì cũng không có sách nào biên soạn đầy đủ các dạng

CHƯƠNG III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ

NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

I Biện pháp thực hiện

Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên cứu đề tài, tôi

đã đưa ra các biện pháp như sau:

1 Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt

- Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó

- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí

- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng

- Hệ thống lại các dạng bài tập trong cùng chủ đề, cho các bài tập tương tự cho học sinh luyện tập

2 Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp

- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh,

- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề

- Phương pháp: phương pháp giải toán

3 Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )

- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế

- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh

- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán Chẳng hạn sử dụng bảng phụ,

phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, các hình vẽ, hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng

4 Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá

- Tự luận với 6 mức độ nhận thức: nhận biết - thông hiểu - vận dụng - phân tích - tổng hợp - đánh giá

- Giáo viên đánh giá học sinh

- Học sinh đánh giá học sinh

5 Phương pháp dạy học

Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai lầm thường mắc phải khi giải các bài toán về phương trình bất phương trình chứa căn Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập

6 Phân dạng bài tập và phương pháp giải

- Hệ thống kiến thức cơ bản

- Phân dạng bài tập và phương pháp giải

- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao

- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả

mới, bài toán mới Nhằm làm cho học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo hơn

II Nghiên cứu thực tế

1 DẠNG CƠ BẢN:

3) 4)

2 CÁC DẠNG KHÁC:

Đặt điều kiện cho là A 0 nâng cả 2 vế lên luỹ thừa tương ứng để khử căn thức

Lưu ý: A = B A2n+1=B2n+1. A = B

Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình hay hệ phương trình đơn giản

Dạng 1) Dạng cơ bản:

Ví dụ

4 2 xx  x 2

Giải

2

4 2 xx  x 2

0 2

B

A B

A B

 







0 ( 0)

A hay B

A B





3

3 A B AB

0 0

2

A

 







2n A 

A B









Một số phương pháp giải phương trình chứa căn trong chương trình toán ở trường trung học phổ thông

2

2

2

3

x

x x x

x hay x x

 



 







 











 

Khi giải phương trình cơ bản này chỉ cần học sinh vận dụng đúng những công thức đã học

Để giải tốt cho dạng toán này học sinh chỉ cần nhận cho được dạng của phương trình rồi giải Qua mỗi lần biến đổi tương đương học sinh cần nhìn lại dạng toán mới trước khi nâng lên lũy thừa lần tiếp theo để tránh sai sót

Bài tập áp dụng:

Dạng 2) Bình phương 2 vế(có thể đặt ẩn số phụ):

Ở dạng toán này đòi hỏi học sinh phải cẩn thận hơn trong quá trình giải vì đây không phải dạng toán cơ bản, mà đây là những bài toán có dạng gần như cơ bản Do đó trong quá trình giải cần phải chú ý kỹ điều kiện bài toán, nếu không rất dễ dẫn đến những sai sót là không thể tránh khỏi

Ví dụ:

1

2

2

1

6

3

1

1

1

x=5 v x=-3

5

x

x

x

x

x x

x

x





  



   









 







 







 



 

Bài tập áp dụng:

7x  1 2 x 4

2

4 6  x x  x 4

11x  3 2  x 9x  7 x 2

5 5 4

x   x

x  x x  x

3x  1 4  x 1

10 3 4 23

x   x x

6 Đs: x=-1/2

15 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:

(B-2006) Đs:m 9/2

Dạng 3) Đặt ẩn số phụ đưa về phương trình bậc hai,ba,4:

Khi gặp một số phương trình phức tạp thì chúng ta phải sử dụng phương pháp đặt ẩn số phụ với mục đích làm giảm sự phức tạp của bài toán, thường thì chúng ta đặt t là biểu thức chứa căn bậc hai, t là tổng các căn hay t là căn bậc cao hơn trong tổng căn Từ đó ta dễ nhận ra được sự quen thuộc của bài toán mà có thể tìm ra được cách giải nhanh hơn Những dạng toán này các em học sinh thường hay gặp khó khăn ở điều kiện của bài toán Để tránh được những khó khăn này đòi hỏi các em phải có kinh nghiệm trong quá trình giải toán.Trước tiên, các em hãy xem xét sự cần thiết của điều kiện cho từng bài toán cụ thể, thông thường thì khi đặt ẩn phụ thì ta chỉ quan tâm đến điều kiện cho ẩn phụ, cho đến khi nào quay lại ẩn chính thì ta mới quan tâm đến điều kiện cho ẩn chính Nếu thấy điều kiện cho bài toán quá phức tạp thì ta có thể khoan xét đến điều kiện, trừ những bài toán sử dụng tính đơn điệu của hàm số, ta hãy tiếp tục giải bài toán cho đến khi nào thật sự cần điều kiện thì mới xét đến điều kiện

Ví dụ:

1 (x-3)(x+1)+4(x-3) = 5

3

x

x



Phương trình trở thành 2

t   t

t hay t

Với t = 1 ta có 1 (x 3) 1

3

x x



 



3x   4 1 2x x 3

11 11 4

x  x x x 

2 1 2 1 2

x x   x x  

3x    2x 8 3x   2x 15  7

2 7 2 2 3 2 3 19

x   x x   x x  x

3  x x  2  x x  1 1 5

2



2 (x 1)(2 x)   1 2x 2x 1

2 2

2



2

2

2 2 2 1

x mx  x



1 3

x x





Một số phương pháp giải phương trình chứa căn trong chương trình toán ở trường trung học phổ thông

2

1

0

3

3

3

x

x

x

x

x

hay x x

 



 



   







 







 



  

Với t = -5 ta có 5 (x 3) 1

3

x x



  



2

1

0

3

1

1

x

x

x

x

x

hay x x

 



 



   



 



 



 



 



  

Vậy phương trình có hai nhiệm là: x =

Bài tập áp dụng :

5 x2 + = 12 Đs: x=

7 x2 +x +12 = 36 Đs:x=3

1  5,x  1 29

2 (x 4)(x  1) 3 x    5x 2 6

2 3

x  x

x x   x x  

2 6

2

2x  1 x  3x  1 0, (xR) 2

1

x

2

3x  2 x  1 4x  9 2 3x   5x 2

2

2x  3 x  1 3x 2 2x    5x 3 16

3x 2 5 x 1 120

3

417x2  2x2  1 1  1

2 2

3 x x x x

1 2

1

2

x x  x   x x

2

3 2 x 6 2 x 4 4x 10 3 x

Dạng 4) Đặt ẩn phụ nửa vời:

Có một số bài toán khi ta đặt ẩn số phụ thì rất khó để chuyển hết theo một ẩn số phụ, vì làm như vậy thì bậc của phương trình sẽ cao dẫn đến việc giải khó khăn Nên đôi khi ta không thể đưa hết theo một ẩn, khi đó chúng ta coi những x còn lại như tham số và tiến hành giải tìm ẩn phụ theo x Từ đó ta được phương trình mới giải tiếp tìm x và kết thúc bài toán

8x 11x 3 2x 2x 3x 1

Phương trình trở thành: 2

4t 2xt  x 1 0 (1)

x

x x

Với 1

2



Với 1

2

x

t 

ta có

2

1

x

x x



Vậy nghiệm của phương trình là: 3 3 1

8

x  hay x

Bài tập áp dụng:

Dạng 5) Ứng dụng hằng đẳng thức:

Trong quá trình giải phương trình chứa căn, nhiều khi sử dụng các hằng đẳng thức quen thuộc lại rất hữu dụng cho việc giải phương trình Trước hết ta nhắc lại các hằng đẳng thức quen thuộc: 2 2 2

sinh nên chú ý đến các số hạng chứa căn bậc hai thông thường là 2ab Thường thì ta đưa phương trình về một trong hai dạng sau:

Dạng 1: 2 2

.

A B  A B hay A B

Dạng 2: 2 2 0

0

0

A

B





Ví dụ 1 Giải phương trình sau:

2

Phân tích: Từ số hạng 2 x 3 gợi cho ta nghĩ đến 2ab trong hằng đẳng thức Do đó ta sẽ

làm xuất hiện hằng đẳng thức 2

x  x   x  Lời giải Phương trình đã cho tương đương với 2

x  x  

2 1

Một số phương pháp giải phương trình chứa căn trong chương trình toán ở trường trung học phổ thông

2

2

2

2

3 1 3x

1

x

3

1

x

3

9x -5x-2=0

x

x

x

x

x

   

 

   



 







  



    



 



 





 







1

18

x hay x  

Bài tập áp dụng:

Dạng 6) Đoán nghiệm chứng minh nghiệm duy nhất:

Khi giải phương trình ,không phải khi nào cũng giải trực tiếp mà đôi lúc chúng ta phải đoán nghiệm, chứng minh nghiệm đoán được là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho Đoán nghiệm có thể thử với các số đặc biệt hay sử dụng máy tính với lệnh shift solve để tìm nghiệm đặc biệt Sau đó ta sử dụng các phương pháp đã học, phương pháp đánh giá hay sử dụng tính đơn điệu của hàm số mà chứng minh nghiệm duy nhất

Ví dụ:

Phân tích: bài toán này không có dạng đặc biệt nhưng có một nghiệm đặc biệt rất dễ đoán là

x = 1 Kỹ thuật dự đoán nghiệm đặt biệt thường là những số làm cho căn bậc hai là số

nguyên

2

x x  x x x  x

3

2 1 2 1

2

y

2 x  2 2 x  1 x  1 4

5

2 2 1 2 2 1

2

x

2 1 2 1 2

1 2 2 1 2 2 1

x  x  x  x 

4 8

4

x

2 15 3 2 2 8

x   x  x 

Lời giải: 2 2

x     x 

3(x 1) 0

x

Ta chứng minh rằng

    vô nghiệm

2

1

x

x

 

2

    hiển nhiên

Tương tự

2

1

1

x x

  Suy ra VT  1 hay 2 2

    vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1

Bài tập áp dụng:

2 (x+3) =x2-x-12 Đs:x = -3

Dạng 7) Đặt ẩn số phụ đƣa về hệ đối xứng loại I:

Nhiều khi, việc giải một phương trình là khó khăn, nhưng nếu ta đưa về việc giải một hệ phương trình thì bài toán trở nên đơn giản hơn.Sau đây, tôi giới thiệu một cách giải phương trình nhờ vào việc đưa về hệ phương trình đối xứng loại I Như vậy các em phải biết cách

giải hệ phương trình đối xứng loại I

Hệ đối xứng loại I với

Cách giải: Đặt S= x+y và P =xy giải tìm S,P điều kiện S2

4P

Suy ra x,y là nghiệm của ptrình t2 –St +P=0

Ví dụ :

y x y  x hay x y 

2

3 2 1

3 2

x



2

10 x

2x  1 x x   2 (x 1) x    2x 3 0

2

x  x x x  x

2 (1 x) 16x 17  8x  15x 23

2

(x 1) x x   2 2x 2

2

2 7 2 1 8 7 1

x  x x     x x

2

( ; ) 0 ( ; ) 0

f x y

g x y





( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )

f x y f y x

g x y g y x







x x x x 

Một số phương pháp giải phương trình chứa căn trong chương trình toán ở trường trung học phổ thông

Ta được hệ phương trình



Đặt

P x y

 



 

 ta có hệ phương trình



2

9

hay

S P

Với 5

4

S

P





 

 ta có

hay



Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 1; x = 4

Bài tập áp dụng:

Dạng 8) Đặt ẩn số phụ đưa về hệ đối xứng loại II

Tương tự cách giải đưa về hệ đối xứng loại I thì ta cũng có thể đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại II

Đối với phương trình có dạng: (với p=a; b+ =b)

Đặt t+ = , ta có hệ đối xứng loại 2:

Ví dụ :

Đặt y 32x 1  y3 2x 1

Ta có hệ phương trình

3

3

y

  





 

3

hay x

3

1

2 2x 1 0

x y

x hay x x



  



Vậy nghiệm của phương trình là: x=1;x=

Bài tập áp dụng:

4

Dạng 9) Phương pháp đưa về các biểu thức đồng dạng cho các phương trình dạng:

312 x 314 x 2

  nax

b

n n







x   x

2

 

2

2

B1: Viết pt về dạng

B2: lấy (b2 +pa2) chia cho p,học sinh tự chọn p, chọn kết quả là số hữu tỉ đẹp

B3: Thay kết quả vào phương trình (1) giải tìm a nếu đúng thì dừng nếu sai làm lại B2 B4: đặt ẩn phụ đưa ra phương trình tích rồi giải

Phương trình chứa căn bậc 3 làm tương tự

Phương pháp này cũng dùng cho dạng sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình

1 Ví dụ 1: Giải phương trình: 2

B1: Ta viết phương trình về dạng: 4 0 2 4 0

B2: Ta lập bảng

4

2x 8  2x 8 (2xa) 2xa

         ta đồng nhất phương trình này với phương trình đề bài ta được a = 4 Khi đó phương trình được viết lại có dạng đồng dạng như sau:

2

2x 8  2x 8 (2x 4) 2x 4

2

Với 2x 5   2x 8   0

2

2

5

x

2

5

x

2

x



 





 



 





 



 



 

 

a x a x a b x b x b

3

a x a x a x a b x b x b x b

Một số phương pháp giải phương trình chứa căn trong chương trình toán ở trường trung học phổ thông

Với 2x   4 2x 8   0

2

2

4

x

 



 



 



 



 

 

Vậy : 9 13

4

x  

 hay 7 17

4

x  



B2: Ta lập bảng

3 1

3

          ta đồng nhất phương trình này với phương trình đề bài ta được a = -5 Khi đó phương trình được viết lại có dạng đồng dạng như sau:

3 3

3

2

x

x

x

4

Bài tập áp dụng:

x  x  x  x

3 3

3 2 3 2

x   x 

2

5 5

x  x  

1 2 2 1

2

x  

