13 DẠNG TOÁN về PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I.. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1.. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1... GÓC GIỮA CÁC ĐƯỜNG TH

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỬA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN:

1 Véctơ a
=(a a1; 2;a3) là véc tơ chỉ phương (VTCP) của (∆) ⇔ (∆) // giá của a

2 Nhận xét: Nếu a
là một VTCP của (∆) thì ka
(k ≠ 0) cũng là VTCP của (∆)

tức là (∆) có vô số VTCP

II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1 Phương trình tham số: Phương trình đường thẳng (∆) đi qua M0(x0, y0, z0)

và có VTCP a
=(a a1; 2;a3): ( )

0 1

0 2

0 3

x x a t

y y a t t

z z a t













2 Phương trình chính tắc: Phương trình đường thẳng (∆) đi qua M0(x0, y0, z0)

và có VTCP a
=(a a1; 2;a3): 0 0 0

3 Phương trình tổng quát: Phương trình đường thẳng (∆) tổng quát là giao

tuyến của hai mặt phẳng 1 1 1 1

0 0

A x B y C z D

A x B y C z D





 với A1:B1:C1≠ A2:B2:C2

4 Phương trình đường thẳng (∆) đi qua 2 điểm M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2):

5 Chuyển dạng phương trình tổng quát sang dạng tham số, chính tắc:

Cho (∆):

( )

( )

A x B y C z D

A x B y C z D





 (A1:B1:C1 ≠A2:B2:C2)

⇒VTPT của hai mặt phẳng là ( )

1 1 1 1

, , , ,

 =





=



⇒ VTCP a
= n n
1,
2

Tìm điểm M0(x0, y0, z0) ∈ (α) ∩ (β) ⇒ 0 0 0

Đặt tỉ số này bằng t suy ra dạng tham số mathvn.com

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

Facebook.com/mathvcom

III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1 Vị trí tương đối của 2 đường thẳng:

Cho (∆1) đi qua M1(x1; y1, z1) với VTCP u
=(a a1, 2,a3),

(∆2) đi qua M2(x2; y2, z2) với VTCP là v
=(b b b1, 2, 3)

Nếu [u v, ]⋅M M1 2 ≠0



thì ( ) (∆1 , ∆2) chéo nhau

Nếu [u v, ]⋅M M1 2 =0



và a1:a2:a3 ≠b1:b2:b3 thì (∆1), (∆2) cắt nhau

Nếu [ ] 1 2

1 2 3 1 2 3

u v M M









và hệ phương trình của

( ) ( )

1

2

 ∆





∆

 vô nghiệm thì (∆1), (∆2) song song nhau

Nếu [ ] 1 2

1 2 3 1 2 3

u v M M









và hệ phương trình của ( )

( )

1

2

 ∆





∆

 có nghiệm thì (∆1), (∆2) trùng nhau

2 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:

Cho (∆) đi qua M0(x0; y0, z0) với VTCP u
=(a b c, , ) và mp(α):

0

Ax+By+Cz+D= với VTPT n
=(A B C, , )

Nếu n u

⋅ ≠0 ⇔ Aa+Bb+Cc≠ thì (∆) cắt (α) 0

Nếu //n
u
⇔a b c: : =A B C: : thì (∆) ⊥ (α)

Nếu

( )

0

0

n u

M

⋅ =





∉ α



⇔

0

0

Aa Bb Cc





Nếu

( )

0

0

n u

M

⋅ =





∈ α



⇔

0

0

Aa Bb Cc





mathvn.com

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

IV GÓC GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1 Góc giữa 2 đường thẳng:

Cho (∆1) đi qua M1(x1; y1, z1) với VTCP u
=(a a1, 2,a3),

(∆2) đi qua M2(x2; y2, z2) với VTCP là v
=(b b b1, 2, 3)

Góc giữa ( ( ) (∆1 , ∆2) )= ϕ ∈[0, 90° xác định bởi: ]

1 1 2 2 3 3

⋅

2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Cho (∆) đi qua M0(x0; y0, z0) với VTCP u
=(a b c, , ) và mp(α):

0

Ax+By+Cz+D= với VTPT n
=(A B C, , )

Góc giữa (( ) ( )∆ , α )= ϕ ∈[0, 90° xác định bởi: ]

3 Góc giữa hai mặt phẳng:

Góc giữa 2 mặt phẳng (α1): A x1 +B y1 +C z1 +D1 = và (α0 2):

A x+B y+C z+D = là ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90°) thỏa mãn:

với n n
1,
2 là 2 VTPT của (α1), (α2)

V KHOẢNG CÁCH

1 Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng:

Cho (∆) đi qua M0(x0; y0, z0) với VTCP u
=(a b c, , ) Khoảng cách từ điểm

M1(x1; y1, z1) đến đường thẳng (∆) là: ( ( )) 0 1

d M

u

∆ =



2 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:

Cho (∆1) đi qua M1(x1; y1, z1) với VTCP u
=(a a1, 2,a3),

(∆2) đi qua M2(x2; y2, z2) với VTCP là v
=(b b b1, 2, 3)

Giả sử ( ) (∆1 , ∆2) chéo nhau, khi đó ( ) [ ]

[ ]

1 2

1 2

, ( ),( )

,

u v M M d

u v

⋅



mathvn.com

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

3 Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng:

Khoảng cách từ M0(x0, y0, z0) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D= là: 0

d M

α =

VI CÁC DẠNG BÀI TẬP

1 Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng

( )

1

2

 ∆





∆

 ;

( ) ( )

 ∆



 α

 hoặc sử dụng dấu hiệu nhận

biết qua hệ thức của các véctơ

Bài 1 Xét vị trí tương đối bằng 2 cách khác nhau:

9

3

x t

y t

=



= − +



;

1 2

1

= +







= +



 với mặt

phẳng ( )α : 2x+ y− − = z 2 0

x y z



∆ 

phẳng ( )α :x+y+2z− = 1 0

Bài 4 Cho 3 đường thẳng:

3

2

5

x t

y

x y z

=



 +

− + + =



a Xét vị trí tương đối của các cặp 2 đường thẳng với nhau

b Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với (∆mathvn.com1), cắt (∆2) và (∆3)

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

2 Dạng 2: Xác định hình chiếu vuông góc của 1 điểm M lên mặt phẳng (ααα)

Phương pháp:

Viết phương trình tham số của đường thẳng (∆) qua M và (∆) ⊥(α)

Giao điểm H của (∆) và (α) là hình chiếu vuông góc của M lên (α)

Bài 1 Tìm hình chiếu vuông góc của M(1; 2;−3) lên ( )α :x+ y−3z+ = 5 0

3 Dạng 3: Xác định điểm đối xứng với điểm M cho trước qua mặt phẳng (ααα)

Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên (α)

Giả sử M(x 1 , y 1 , z 1 ), H(x 0 , y 0 , z 0 ), khi đó điểm M’ đối xứng M qua (α) là

(2 0 1, 2 0 1, 2 0 1)

M′ x −x y −y z −z

Bài 1 Xác định điểm đối xứng với điểm M(13; 2; 3) qua mặt phẳng (α):

x + y – 3z + 5 = 0

4 Dạng 4: Xác định hình chiếu vuông góc của 1 điểm M lên đường thẳng (∆∆∆)

Phương pháp 1: Viết PT mặt phẳng (α) qua M và (α) ⊥ (∆)

Giao điểm H của (∆) và (α) là hình chiếu vuông góc của M lên (∆)

Phương pháp 2: Viết PT tham số của (∆) ⇒ Tọa độ H theo tham số t

MH⊥u



là véctơ chỉ phương của (∆) GPT MH u

⋅ =0

⇒ tham số t ⇒ Tọa độ H

Bài 1 Xác định hình chiếu vuông góc của M(−1; −1; 1) lên đường thẳng (∆):

{x= +1 t y; = +2 t z; = − −3 3t}

5 Dạng 5: Xác định điểm đối xứng với điểm M cho trước qua đường thẳng (∆∆∆)

Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên (∆)

Giả sử M(x 1 , y 1 , z 1 ), H(x 0 , y 0 , z 0 ), khi đó điểm M’ đối xứng M qua (∆) là

(2 0 1, 2 0 1, 2 0 1)

M′ x −x y −y z −z

Bài 1 Xác định điểm đối xứng với điểm M(0; 2; −1) lên đường thẳng (∆):

{x= +1 t y; = +2 t z; = −3 3t}

6 Dạng 6:

Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng (∆∆∆) lên mặt phẳng (ααα)

Phương pháp:

TH1: (∆) ⊥mathvn.com (α) ⇒ Hình chiếu vuông góc của (∆) lên (α) là điểm H≡ (∆) ∩ (α)

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

TH2: (∆) ⊂ (α) ⇒ Hình chiếu vuông góc của (∆) lên (α) là đường thẳng (∆)

TH3: (∆) không vuông góc với (α), (∆) ⊄ (α):

C1: Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa (∆) và (β) ⊥ (α)

Hình chiếu vuông góc của (∆) lên (α) là đường thẳng (∆’) = (β) ∩ (α) C2: Lấy 2 điểm A, B phân biệt thuộc (∆)

Xác định hình chiếu vuông góc của A, B lên (α) là H 1 , H 2

Hình chiếu vuông góc của (∆) lên (α) là đường thẳng (∆’) ≡ H 1 H 2

C3: Nếu (∆) cắt (α): Xác định A ≡ (∆) ∩ (α) Lấy M bất kì ∉ (∆) và M ≠ A Xác định hình chiếu vuông góc H của M lên (α)

Hình chiếu vuông góc của (∆) lên (α) là (∆’) ≡ AH





lên mặt phẳng (α): 2x – y + z – 1 = 0

7 Dạng 7: Xác định hình chiếu song song của đường thẳng (∆∆1 ) lên (ααα)

theo phương (∆∆2 ) cắt (ααα)

Phương pháp:

TH1: (∆1 ) // (∆2 ) ⇒ Hình chiếu song song của (∆1 ) lên (α) theo phương (∆2 ) là

điểm H≡ (∆1 ) ∩ (α)

TH2: (∆1 ) và (∆2 ) không song song:

Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa (∆1 ) và // (∆2 )

Hình chiếu song song của (∆1 ) lên (α) theo phương (∆2 ) là (∆) = (β) ∩ (α)

Bài 1 Xác định hình chiếu song song của đt (∆1):

x y z





x− y+ z− = theo phương (∆2): 1 1 2

y

8 Dạng 8: VPT đường thẳng (∆∆∆) qua M và cắt (∆∆1 ), (∆∆2 ) với (∆∆1 ), (∆∆2 ) chéo nhau và không đi qua M

Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M chứa (∆1 )

Nếu cho (∆1 ) dưới dạng tổng quát thì nên viết phương trình (α) dưới dạng chùm Nếu (∆1 ) dạng tham số thì lấy 2 điểm A, B mathvn.com∈ (∆1 )

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

⇒ Phương trình (α) qua 3 điểm A, B, M

Nếu (α) // (∆2 ) thì bài toán vô nghiệm Nếu (α) cắt (∆2 ) thì tìm N = (∆2 ) ∩ (α) Nếu MN // (∆1 ) thì bài toán vô nghiệm, nếu MN cắt (∆1 ) suy ra đường thẳng cần tìm là (∆) ≡ MN

Phương pháp 2: Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M chứa (∆1 ),

mặt phẳng (β) qua M chứa (∆2 )

Xét (∆) = (α) ∩ (β) Nếu (∆) cắt (∆1 ) và (∆2 ) thì đường thẳng (∆) là đường thẳng cần tìm Nếu (∆) // (∆1 ) hoặc (∆2 ) thì bài toán vô nghiệm

Bài 1 VPT ĐT (∆) qua M(1; 3; 0) và (∆) cắt (∆1):

2 0

y

x z

− =





− − =

(∆2): {x= +1 2 ,t y= −3 t z, = +4 t}

9 Dạng 9: VPT đường thẳng (∆∆∆) cắt (∆∆1 ), (∆∆2 ) và song song với (∆∆3 )

Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa (∆1 ) và // (∆3 ),

mặt phẳng (β) chứa (∆2 ) và // (∆3 )

Nếu (α) // (β) thì bài toán vô nghiệm Nếu (α) cắt (β) thì xét (∆) = (α) ∩ (β) Nếu (∆) cắt (∆1 ) và (∆2 ) thì đường thẳng (∆) là đường thẳng cần tìm

Nếu (∆) // (∆1 ) hoặc (∆2 ) thì bài toán vô nghiệm

Phương pháp 2: Viết phương trình tham số của (∆1 ) theo t 1 , của (∆2 ) theo t 2 Lấy M ∉ (∆1 ), N ∉(∆2 ) ⇒ Tọa độ M, N theo t 1 , t 2 ⇒ MN
theo t 1 , t 2

Xác định t 1 , t 2 sao cho MN // (∆3 ) ⇒ Đường thẳng (∆) cắt (∆1 ), (∆2 ) và song

song với (∆3 ) là (∆) ≡ MN

Phương pháp 3: Gọi M(x 0 , y 0 , z 0 ) là giao điểm của (∆) và (∆1 )

(∆) nhận VTCP của (∆3 ) làm VTCP ⇒ Phương trình tham số của (∆) theo x 0 , y 0 , z 0

(∆) cắt (∆2 ) suy ra hệ ( )

( 2)

 ∆





∆

 có nghiệm ⇒ x 0 , y 0 , z 0 ⇒ Phương trình (∆)

Bài 1 VPT đường thẳng (∆) cắt (∆1):

2 0

y

x z

− =





− − =

 , (∆2):

{x= +mathvn.com1 2 ,t y= −3 t z, = +4 t} và // với trục Oz

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

Bài 2 VPT ĐT (∆) cắt (∆1): 2 2 1

y

y

và // (∆3): 1 3 2

y

−

10 Dạng 10: VPT đường thẳng (∆∆∆) qua M và vuông góc (∆∆1 ), cắt (∆∆2 ) trong

đó M ∉∉∉ (∆∆1 ), (∆∆2 )

Phương pháp: Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M và ⊥ (∆1 ), mặt phẳng (β) qua M chứa (∆2 )

Nếu (α) // (β) thì bài toán vô nghiệm Nếu (α) cắt (β) thì xét (∆) = (α) ∩ (β) Nếu (∆) cắt (∆2 ) thì đường thẳng (∆) là đường thẳng cần tìm

Nếu (∆) // (∆2 ) thì bài toán vô nghiệm

y

cắt (∆2):

x y z







11 Dạng 11: VPT đường vuông góc chung của 2 đường thẳng (∆∆1 ), (∆∆2 ) chéo nhau

a TH đặc biệt: (∆1 ) ⊥ (∆2 ):

Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa (∆1 ) và (α) ⊥ (∆2 )

2

M = ∆ ∩ α , H là hình chiếu vuông góc của M lên (∆1 )

⇒ MH là đường vuông góc chung của (∆1 ), (∆2 )

b Phương pháp 1: Viết phương trình (∆1 ), (∆2 ) dưới dạng tham số

Lấy M∈(∆1), N∈(∆2 ) ⇒ Tọa độ M, N theo

1, 2

t t ⇒ MN
theo

1, 2

t t

MN là đường vuông góc chung của (∆1 ), (∆2 )

⇒ MN⊥ ∆( )1 ,MN⊥ ∆( 2) ⇒

1, 2

t t ⇒ MN

c Phương pháp 2: Gọi a a
1,
2 là VTCP của (∆1 ) và (∆2 )

⇒ Đường vuông góc chung (∆) có VTCP

1, 2

a
= a a

 Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa (∆1 ) và // (∆), mặt phẳng (β) chứa (∆2 )

và // (∆) ⇒ (∆mathvn.com) = (α) ∩ (β)

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

Bài 1 Cho A(6; 3; 0), B(−2; 9; 1), S(0; 5; 8)

Viết phương trình đường vuông góc chung của SB, OA

Bài 2 Viết phương trình đường vuông góc chung của

( )1

3 0 :

1 0

x y z

y z



+ − =

:

1 0

y z



− + =



Bài 3 Viết phương trình đường vuông góc chung của

( )

1

1

1 2

3 3

= +







= − +



và ( )

2

2

2

1 3

= +





∆  = − +



= +



Bài 4 VPT đường vuông góc chung của

( )1

:



 và (∆2):{x= − +1 3 ;t y= − −3 2 ;t z= −2 t}

Bài 5 Cho ( )1

2

2

z t

= +







=



và ( 2)

:

3 0

y



− =

Viết phương trình mặt phẳng cách đều (∆1) và (∆2)

12 Dạng 12: Các bài toán về khoảng cách

12.1 Tính khoảng cách:

y

Bài 2 Cho A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(4;−1; 1) Tính khoảng cách từ A đến BC Bài 3 Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng

4 0

x y

x y z

+ =





Bài 4 Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng

2

y



−



Bài 5 Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Bài 6. Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (α): 2x + y + z – 1 = 0

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

Bài 7 Cho A(5; 7;−2), B(3;1;1), C(9; 4;−4)

Tính khoảng cách từ D(−1; 5; 0) đến (ABC)

12.2 Tìm điểm biết khoảng cách cho trước:

Bài 1. Cho (α): x + 2y – 2z – 2 = 0

Tìm M∈Oy sao cho khoảng cách từ M đến (α) bằng 4

Bài 2. Cho A(1;−2; 0) Tìm M∈Oz sao cho khoảng cách từ M đến

(α): 3x – 2y + 6z + 9 = 0 bằng MA

Bài 3. Cho (α): x + y + z + 5 = 0

x y z





 sao cho d M( ,( )α )= 3

Bài 4. Cho (α): 12x – 16y + 15z + 1 = 0 và (β): 2x + 2y – z – 1 = 0

Tìm M∈Ox cách đều (α) và (β)

12.3 Các bài toán về tổng, hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất:

a Dạng 1: Cho 2 điểm A x y z( 1, 1, 1) (;B x2,y2,z2)

Tìm M∈(P): ax+by+cz+d = để (MA + MB) min 0

Phương pháp: Xác định vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng

cách tính các đại lượng: t A =ax1 +by1+cz1+d; t B =ax2 +by2 +cz2 +d

Nếu t t A B < 0 ⇔ A, B khác phía đối với (P) Gọi M 0 ≡ (AB)∩ (P), khi đó

MA + MB ≥ AB = M 0 A + M 0 B

Nếu t t A B > 0 ⇔ A, B cùng phía đối với (P) Lấy A 1 đối xứng A qua (P)

Gọi M 0 ≡ (A 1 B)∩ (P) Khi đó MA + MB = MA 1 + MB ≥ A 1 B = M 0 A 1+ M 0 B

b Dạng 2: Cho 2 điểm A x y z( 1, 1, 1) (;B x2,y2,z2)

Tìm M∈(P): ax+by+cz+d = để |MA – MB| max 0

Phương pháp: Xác định vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng

cách tính các đại lượng: t A =ax1 +by1+cz1+d; t B =ax2 +by2 +cz2 +d

Nếu t t A B > 0 ⇔ A, B cùng phía đối với (P) Gọi M 0 ≡ (AB)∩ (P), khi đó |MA – MB| ≤ AB = | M 0 A – M 0 B|

Nếu t t A B < 0 ⇔ A, B khác phía đối với (P) Lấy A 1 đối xứng A qua (P)

Gọi M 0≡ (A 1 B)mathvn.com∩ (P).Khi đó |MA – MB| = |MA 1 – MB| ≤ A 1 B = | M 0 A 1 – M 0 B|

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

b Dạng 3: Cho 2 điểm A x y z( 1, 1, 1) (;B x2,y2,z2)

Tìm M∈(∆) cho trước sao cho (MA + MB) min

Phương pháp: Xác định tọa độ các điểm A’, B’ là hình chiếu tương ứng của

các điểm A, B lên (∆) Gọi M 0 là điểm chia đoạn A’B’ theo tỉ số

0

0

k






Ta chứng minh MA + MB ≥ M 0 A + M 0 B

Thật vậy, gọi A 1∈(P) = ((∆), B) sao cho A 1 khác phía B so với (∆) và thỏa mãn

( )

1

1

'

A A AA

A A

=





⊥ ∆

0 1

M A

A A

B B M B

′

′

=







⇒ A 1 , M 0 ,B thẳng hàng

⇒ MA + MB = MA 1 + MB ≥ A 1 B = M 0 A 1+ M 0 B = M 0 A + M 0 B

Bài 1 Cho A(−7; 4; 4), B(−6; 2; 3)

Tìm M∈(P): 3x – y – 2z + 19 = 0 để (MA + MB) min;|MA – MB| max

Bài 2 Cho A(1; 2; 3), B(4; 4; 5)

Tìm M∈ mặt phẳng Oxy sao cho: (MA + MB) min; |MA – MB| max

Bài 3 Cho A(1; 0; 2), B(2; −1; 3)

Tìm M∈( )P :x−2y+ − = để (MA + MB) min; |MA – MB| max z 4 0

Bài 4 Cho A(1; 3; −2), B(13; 7; −4)

Tìm M∈( )P :x−2y+2z− = để (MA + MB) min; |MA – MB| max 9 0

Bài 5 Cho A(1; 2;−1), B(2− 2; 2; 3− )

5 0

x y z

y z



∆  + − =

Bài 6 Cho A(1; 1; 0), B(3;−1; 4)

y

− sao cho (MA + MB) min

1;2; 1 7; 2;3

A

B





−

2

:

y

− sao cho (MA + MB) min

Bài 8 Cho A(2; 3; 0) và B(0;− 2; 0)

2 0

x y z

x y z



∆ 

mathvn.com

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

13 Dạng 13: Các bài toán về góc

Bài 1 Xác định góc giữa 2 mặt phẳng ( )P1 :x+ +y 2z+ =4 0,( )P2 : 2x+ + + = y z 1 0

Bài 2 Cho tứ diện ABCD với A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C(−1; 0;−2), D(−2; 1; 1)

Tính góc của mỗi cặp cạnh đối của ABCD; Tính góc ((AB); (BCD))

Bài 3 Cho ( )P1 : 3x−y− + = , z 2 0 ( )P2 :x+2y+ − = , z 3 0

( )P3 :− +x 3y−2z+ = Gọi (∆) là giao tuyến của (P1 0 1) và (P2)

Tính góc giữa (∆) với giao tuyến của (P1), (P3) và với mặt phẳng (P3)

Bài 4 Cho ( )1

:

x y

− − =



2

1

y

= +





∆  = −

 = +



Tìm m để:

a Góc giữa (∆1) và (∆2) bằng 45° b Góc giữa (∆1) và (∆2) bằng 60° Khi đó tính góc giữa (P) với (∆2) biết rằng (P) ⊥ (∆1)

Bài 5 Cho A(0;−2; −2), B(−1; −1; 0), C(−2; −2; 0), D( 1; 1; 0)

2

a Tính góc giữa ((ABC); (ABD))

b Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng (AD) và (BC)

14 Bài mẫu Trong hệ Oxyz cho A(1; 4; 2); B(−1; 2; 4) và ( ): 1 2

y

−

1 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho:

a) MA+MB




nhỏ nhất; b) MA2 +MB2 nhỏ nhất;

c) MA+MB nhỏ nhất d) Diện tích tam giác AMB nhỏ nhất

2 VPT mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất

3 VPT mặt phẳng (Q) chứa (d) và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất

4 VPT mặt phẳng (R) chứa đường thẳng (d) và tạo với trục Oy góc lớn nhất

5 Trong số các đường thẳng đi qua A và cắt đường thẳng (d), viết phương

trình các đường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến nó là lớn nhất? nhỏ nhất?

Giải

1 M(1−t;− +2 t; 2t)∈ ⇒ d MA=(t ; 6−t; 2−2 ,t) MB= − +( 2 t; 4−t; 4−2t)

a MA+MB= − +( 2 2 ; 10t −2 ; 6t −4t)




MA+MB = t− +




Do đó MA+MB




nhỏ nhất khi t = 2 và lúc đó M(−1; 0; 4)

mathvn.com

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam