Rèn luyện kĩ năng giải toán về phương trình đường thẳng trong không gian cho học sinh lớp 12 tỉnh Lai Châu

1. Lý do chọn đề tài Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán, nó có vai trò giá mang hoạt động của học sinh. Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Vì vậy, rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh là một vấn đề quan trọng trong dạy học, là một trong những mục tiêu dạy học môn Toán, cần phải được tiến hành có kế hoạch, thường xuyên, hệ thống, bền bỉ, liên tục. Thông qua rèn luyện kĩ năng, học sinh biết vận dụng những kiến thức được học vào luyện tập, qua đó giúp học sinh hiểu sâu, nắm vững kiến thức, đồng thời góp phần phát triển năng lực trí tuệ, những kĩ năng cần thiết cho cuộc sống. Trong chương trình toán phổ thông, phương pháp tọa độ trong không gian nói chung, phương trình đường thẳng trong không gian nói riêng là một trong những nội dung quan trọng. Lớp bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian là lớp bài toán hay và không quá khó. Để làm tốt bài toán này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức hình học không gian, mối quan hệ giữa đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. Là dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều trong các đề thi tốt nghiệp THPT và thi vào Cao đẳng, Đại học nên yêu cầu học sinh phải làm tốt được dạng toán này là hết sức cần thiết. Tuy nhiên thực tế trong quá trình dạy học cho thấy học sinh còn gặp nhiều khó khăn và dễ mắc sai lầm khi giải toán. Các em dễ nhầm lẫn khi giải bài toán dạng này với bài toán viết phương trình mặt phẳng, nhẫm lẫn với phương trình đường thẳng trong mặt phẳng. Hơn nữa bài học Phương trình đường thẳng trong không gian trong sách giáo khoa Hình học lớp 12 chỉ đưa ra một cách chung chung chưa phân dạng cụ thể tường minh. Vì vậy việc hệ thống hóa và phân dạng các dạng bài tập cơ bản để cho số đông học sinh có thể tiếp thu tốt phương trình đường thẳng là việc làm cần thiết.

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 2

4 Giả thuyết khoa học 2

5 Đóng góp của luận văn 2

6 Phương pháp nghiên cứu 3

7 Cấu trúc luận văn 3

PHẦN NỘI DUNG 4

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Một số vấn đề về kĩ năng 4

1.1.1 Kĩ năng là gì? 4

1.1.2 Đặc điểm, sự hình thành kĩ năng 4

1.1.3 Kĩ năng giải toán 5

1.2 Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh 6

1.2.1 Các yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh 6

1.2.2 Biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh qua môn Toán 7

1.2.3 Ba bước rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS 8

1.2.4 Tổ chức quá trình hoạt động đảm bảo học sinh tham gia tích cực, chủ động, sáng tạo trong quá trình rèn luyện kĩ năng 9

1.3 Dạy học giải bài tập toán học 10

1.3.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học 10

1.3.2 Các yêu cầu đối với lời giải 10

1.3.3 Giải một bài toán theo bốn bước của Polya 11

1.4 Tình hình dạy và học môn Toán của giáo viên, học sinh tỉnh Lai Châu 15

1.4.1 Những thuận lợi, khó khăn trong học tập môn Toán của HS tỉnh Lai Châu 15

1.4.2 Mục tiêu, yêu cầu, nội dung dạy học phương trình đường thẳng trong không gian -hình học 12-ban cơ bản 17

1.5 Kết luận chương 1 20

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN 21

VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 21

2.1 Rèn luyện kĩ năng giải toán xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian 21

2.1.1 Bài toán về hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau 21

2.1.2 Bài toán về hai đường thẳng vuông góc 30

2.2 Rèn luyện kĩ năng giải toán viết phương trình đường thẳng trong không gian liên quan đến yếu tố định tính 31

2.2.1 Viết phương trình đường thẳng biết yếu tố song song 32

2.2.2 Viết PT đường thẳng biết yếu tố vuông góc 53

2.2.3 Các bài toán khác về viết phương trình đường thẳng 60

2.3 Rèn luyện kĩ năng giải toán viết PT đường thẳng trong không gian liên quan đến yếu tố định lượng 92

2.3.1 Viết PT đường thẳng liên quan đến góc 92

2.3.2 Viết PT đường thẳng liên quan đến khoảng cách 98

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 109

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 111

3.1 Mục đích, tổ chức thực nghiệm 111

3.1.1 Mục đích thực nghiệm 111

3.1.2 Tổ chức thực nghiệm 111

3.2 Nội dung, kết quả thực nghiệm 111

3.2.1 Nội dung thực nghiệm 111

3.2.2 Kết quả thực nghiệm 112

3.3 Kết luận chương 3 113

KẾT LUẬN 114

TÀI LIỆU THAM KHẢO 115

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán, nó có vai trò giá manghoạt động của học sinh Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạtđộng nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc,phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổbiến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ

Vì vậy, rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh là một vấn đề quan trọng trong dạyhọc, là một trong những mục tiêu dạy học môn Toán, cần phải được tiến hành có kếhoạch, thường xuyên, hệ thống, bền bỉ, liên tục Thông qua rèn luyện kĩ năng, họcsinh biết vận dụng những kiến thức được học vào luyện tập, qua đó giúp học sinhhiểu sâu, nắm vững kiến thức, đồng thời góp phần phát triển năng lực trí tuệ, những

kĩ năng cần thiết cho cuộc sống

Trong chương trình toán phổ thông, phương pháp tọa độ trong không giannói chung, phương trình đường thẳng trong không gian nói riêng là một trongnhững nội dung quan trọng Lớp bài toán viết phương trình đường thẳng trongkhông gian là lớp bài toán hay và không quá khó Để làm tốt bài toán này đòi hỏihọc sinh phải nắm vững kiến thức hình học không gian, mối quan hệ giữa đườngthẳng, mặt phẳng và mặt cầu Là dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều trong các đề thi tốtnghiệp THPT và thi vào Cao đẳng, Đại học nên yêu cầu học sinh phải làm tốt đượcdạng toán này là hết sức cần thiết

Tuy nhiên thực tế trong quá trình dạy học cho thấy học sinh còn gặp nhiềukhó khăn và dễ mắc sai lầm khi giải toán Các em dễ nhầm lẫn khi giải bài toándạng này với bài toán viết phương trình mặt phẳng, nhẫm lẫn với phương trình

đường thẳng trong mặt phẳng Hơn nữa bài học Phương trình đường thẳng trong không gian trong sách giáo khoa Hình học lớp 12 chỉ đưa ra một cách chung chung

chưa phân dạng cụ thể tường minh Vì vậy việc hệ thống hóa và phân dạng các dạngbài tập cơ bản để cho số đông học sinh có thể tiếp thu tốt phương trình đường thẳng

là việc làm cần thiết

Xuất phát từ những lí do trên mà tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:

“ Rèn luyện kĩ năng giải toán về phương trình đường thẳng trong không

gian cho học sinh lớp 12 tỉnh Lai Châu”

2 Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Tìm ra một số biện pháp có hiệu quả nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán chohọc sinh lớp 12 tỉnh Lai Châu khi dạy học nội dung phương trình đường thẳng trongkhông gian, đồng thời thiết kế một số giáo án dạy học đối với chủ đề phương trìnhđường thẳng trong không gian

2.2 Các nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận về kĩ năng, kĩ năng giải toán, rèn luyện kĩ nănggiải toán, phương pháp dạy học giải bài tập toán

- Tìm hiểu tình hình dạy và môn Toán của GV và HS tỉnh Lai Châu

- Phân loại dạng toán – Phương pháp giải một số dạng toán phương trìnhđường thẳng trong không gian

- Đưa ra một số biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán phương trình đườngthẳng trong không gian cho học sinh lớp 12 tỉnh Lai Châu

- Thiết kế một số giáo án dạy học phần phương trình đường thẳng trongkhông gian có hướng dẫn

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Quá trình dạy học chủ đề phương trình đường thẳng trong không gian ở lớp

12 tỉnh Lai Châu

4 Giả thuyết khoa học

Nếu áp dụng hợp lý một số biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán phươngtrình đường thẳng trong không gian thì học sinh sẽ có kĩ năng giải toán dạng này tốthơn, đồng thời sẽ phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, qua

đó nâng cao chất lượng dạy và học ở trường phổ thông

5 Đóng góp của luận văn

- Trình bày tổng quan về kĩ năng, kĩ năng giải toán, rèn luyện

kĩ năng giải toán, dạy học giải bài tập toán học

- Tìm hiểu tình hình dạy và học môn Toán của giáo viên, họcsinh tỉnh Lai Châu.

- Đề xuất một số biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán viếtphương trình đường thẳng trong không gian cho học sinh lớp 12tỉnh Lai Châu

6 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận : Nghiên cứu các tài liệu lý luận vềphương pháp dạy và học, đặc biệt là các tài liệu viết về rèn luyện kĩ năng giải toáncho học sinh

- Phương pháp điều tra quan sát: tiến hành dự giờ, trao đổi, tham khảo ý kiếnmột số đồng nghiệp có kinh nghiệm trong giảng dạy, tìm hiểu thực tiễn việc dạy vàhọc nội dung phương trình đường thẳng trong không gian cho HS lớp 12 tỉnh LaiChâu Đặc biệt là về mặt rèn luyện kĩ năng giải toán

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: thực nghiệm giảng dạy một số giáo ánsoạn theo hướng của đề tài nhằm đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả của đề tài

7 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục, luận văn gồm bachương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Rèn luyện kĩ năng giải toán về phương trình đường thẳng trongkhông gian

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

PHẦN NỘI DUNGChương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Một số vấn đề về kĩ năng

1.1.1 Kĩ năng là gì?

Theo từ điển Hán Việt của Phan Huy Các hoặc từ điển Tiếng Việt của HoàngPhê thì kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn trong đó khảnăng được hiểu là “sức đã có” (về mặt nào đó) để làm tốt công việc

Theo tâm lý học, kĩ năng là khả năng thực hiện có hiệu quả một hành động nào

đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định Nếu ta tạm thời tách tri thức và

kĩ năng để xem xét riêng từng cái thì tri thức thuộc phạm vi nhận thức, thuộc khả năng

“biết”, còn kĩ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc khả năng “biết làm”

1.1.2 Đặc điểm, sự hình thành kĩ năng

a) Trong vận dụng, ta thường chú ý đến những đặc điểm của kĩ năng:

- Bất cứ kĩ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó là kiến thức, bởi

vì cấu trúc của kĩ năng bao gồm: hiểu mục đích biết cách thức đi đến hiệu quả hiểu những điều kiện để triển khai cách thức đó

Kiến thức là cơ sở của kĩ năng Khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộctính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thứcvới tư cách của hành động ([2, tr3])

Kĩ năng được hoàn thành và phát triển trong hoạt động Kĩ năng và tri thứcđược thống nhất trong hoạt động Tri thức là cần thiết để tiến hành hành động, độthành thạo của thao tác là kĩ năng, các thao tác này dưới sự kiểm tra của tri thức.Con đường đi từ chỗ có tri thức đến có kĩ năng tương ứng là con đường luyện tậptrong hoạt động, bằng cách tiến hành những thao tác tương ứng với kĩ năng, nộidung luyện tập rất phong phú và đa dạng ([2, tr3])

Kĩ năng không có tính ổn định Có nghĩa là nếu thường xuyên luyện tập thì

kĩ năng phát triển và đạt đến trình độ nhuần nhuyễn nhưng nếu không luyện tập thì

kĩ năng dần dần biến mất ([2, tr4])

Trong thực tiễn giảng dạy tác giả nhận thấy có nhiều HS học thuộc lý thuyết

nhưng không vận dụng được lý thuyết vào bài tập, không biết lựa chọn định lý nàophù hợp với bài toán mà mình cần giải Nguyên nhân của hiện tượng đó là kĩ năngchưa được hình thành.

b) Sự hình thành kỹ năng

Theo từ điển giáo dục học, để hình thành được kĩ năng trước hết cần có kiếnthức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thựchiện được hành động theo đúng mục đích, yêu cầu…

1.1.3 Kĩ năng giải toán.

Kĩ năng giải bài tập toán (kĩ năng giải toán) là khả năng sử dụng những trithức toán học đã học để giải các bài tập toán học ([5, tr5])

Do sự trừu tượng hóa trong toán học diễn ra trên nhiều cấp độ, nên trong khi dạyhọc môn toán cần rèn luyện cho học sinh những kĩ năng trên ba bình diện khác nhau:

+ Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán;

+ Kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào các môn học khác nhau;

+ Kĩ năng vận dụng toán học vào đời sống ([10, tr42]);

Kĩ năng trên bình diện thứ nhất là một sự thể hiện mức độ thông hiểu tri thứctoán học Không thể hình dung một người hiểu tri thức toán học mà lại không biếtvận dụng chúng để làm toán ([10, tr43])

Kĩ năng trên bình diện thứ hai thể hiện vai trò công cụ của toán học đối vớinhững môn học khác, điều này thể hiện mối liên môn giữa các môn học trong nhàtrường và đòi hỏi người giáo viên dạy toán cần có quan điểm tích hợp trong việcdạy học môn toán ([10, tr43])

Kĩ năng bình diện thứ ba là một mục tiêu quan trọng của môn toán Nó cũngcho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa toán học và đời sống ([10, tr43])

Lấy ví dụ minh họa khi dạy nội dung phương trình đường thẳng trong khônggian ở lớp 12

Kĩ năng trên bình diện thứ nhất là học sinh cần nắm vững tri thức được trìnhbày trong SGK, biết vận dụng vào giải các bài toán liên quan Sau khi học xong bàiphương trình đường thẳng trong không gian HS tiếp tục khai thác những ứng dụngcủa phương pháp tọa độ trong việc giải những bài toán hình học và bài toán đại số,

chẳng hạn như giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ, …

Kĩ năng trên bình diện thứ hai, HS hiểu được hệ tọa độ trong không gian cónhiều ứng dụng trong các môn học khác

Kĩ năng trên bình diện thứ ba, HS biết hệ tọa độ trong không gian nói chung,phương trình đường thẳng nói riêng có ứng dụng nhiều trong thực tiễn như là trongxây dựng, trong việc xác định các đường, mặt song song hay vuông góc, góc,khoảng cách,…

Có thể chia kĩ năng giải toán thành hai loại, tương ứng với hai loại bài tậptoán học: Kĩ năng giải bài tập toán học cơ bản, kĩ năng giải bài tập toán học tổnghợp ([5, tr5])

Có thể chia kĩ năng theo ba mức độ khác nhau:

- Biết làm: Nắm được quy trình giải một bài tập toán học cơ bản nào đótương tự như mẫu, nhưng chưa nhanh

- Làm thành thạo: Giải nhanh, ngắn gọn, chính xác theo cách giải như bàilàm mẫu nhưng có biến đổi

- Làm một cách mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Đưa ra những cách giải ngắn gọn,độc đáo khác lời giải mẫu do biết vận dụng vốn kiến thức, kĩ năng đã học không chỉ vớinhững bài toán cơ bản mà cả với những bài tập toán học mới ([5, tr5])

1.2 Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh

1.2.1 Các yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh

Việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh phải nhằm vào việc biến các kiếnthức và kĩ năng cơ bản trong từng chương, từng mục thành kiến thức và kĩ năng tổng hợp

và hoàn chỉnh để chuẩn bị cho mọi hoạt động học tập, lao động và nghề nghiệp cho họcsinh Do đó, rèn luyện kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học vào thực tế màtrước hết là kĩ năng giải toán cần đạt được một số yêu cầu sau đây:

+ Giúp HS hình thành và nắm vững mạch kiến thức cơ bản xuyên suốtchương trình

+ Coi trọng việc rèn luyện kĩ năng tính toán

+ Giúp học sinh phát triển năng lực trí tuệ

+ Giúp học sinh rèn luyện các phẩm chất đạo đức và thẩm mĩ ([2, tr5])

1.2.2 Biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh qua môn Toán

Kĩ năng giải toán trên cơ sở tri thức toán học bao gồm: Tri thức sự vật, trithức phương pháp, tri thức giá trị Trong đó tri thức phương pháp ảnh hưởng trựctiếp tới việc rèn luyện kĩ năng Sau khi học sinh nắm vững lý thuyết trong quá trìnhthực hiện các hoạt động toán học thì kĩ năng hình thành ([2, Tr6])

Kĩ năng giải toán được hình thành trong quá trình học sinh giải bài tập Songmuốn quá trình luyện tập đạt kết quả cao thì cần phải tổ chức quá trình luyện tậphợp lý Có nghĩa là trước tiên giáo viên cần soạn hệ thống bài tập có chủ định, sau

đó tổ chức học sinh hoạt động một cách tích cực, tự giác trong quá trình luyện tập([2, Tr6])

Hệ thống bài tập thỏa mãn những yêu cầu sau:

+ Quán triệt mục tiêu dạy học Khi thiết kế bài tập phải luôn bám sát nộidung chương trình SGK Cần căn cứ vào mục tiêu của bài học để lựa chọn nhữngbài tập nhằm rèn luyện những kĩ năng tương ứng hướng vào thực hiện mục tiêuchung của chương trình môn toán ([2, Tr6])

+ Phát huy tính tích cực của học sinh Bài tập phù hợp với trình độ nhận thứchiện tại của HS, không quá khó và không quá dễ nhằm mục đích gợi mở, kích thíchnhằm gây hứng thú để gợi ra nhu cầu nhận thức của học sinh Bài tập phải phân bậc

từ đơn giản đến phức tạp nhằm mục đích rèn luyện những kĩ năng cơ bản và những

kĩ năng nâng cao ([2, Tr6])

+ Đảm bảo tính chính xác, khoa học, giúp học sinh củng cố và khắc sâu kiếnthức đã học đồng thời gợi mở, đặt vấn đề cho nội dung tiếp theo ([2, Tr6])

Trong dạy học toán, người ta thường sử dụng một số biện pháp sau đây đểrèn luyện kĩ năng giải toán cho HS:

+ Biện pháp 1: Trang bị cho HS đầy đủ các tri thức (khái nhiệm, tính chất,định lý…) chính xác về môn Toán

+ Biện pháp 2: Hình thành và rèn luyện cho HS phương pháp giải toán (trithức phương pháp)

+ Biện pháp 3: Xác định một số kĩ năng cần thiết khi giải toán (đi kèm vớinhững hoạt động đối với từng dạng toán)

+ Biện pháp 4: Lựa chọn một số bài tập có chủ định (ý đồ sư phạm, phân tích

và dẫn dắt hoạt động) và một số bài tập luyện tập để tổ chức, hướng dẫn HS tiếnhành các bước giải bài toán, thông qua đó rèn luyện cho HS những kĩ năng giải toáncần thiết và phát triển tư duy thuật giải ([19, tr7])

Để giúp HS có kĩ năng giải bài tập về phương trình đường thẳng trong khônggian trước tiên cần phải trang bị hệ thống kiến thức lý thuyết cơ bản và đầy đủ Trên

cơ sở lý thuyết đã được trang bị, HS cần học cách vận dụng lý tuyết đó vào giải cácbài tập cụ thể GV cần phân loại bài tập một cách có hệ thống Từ việc phân dạngbài tập, xác định những kĩ năng cơ bản, GV sẽ xây dựng cho HS quy trình giải cácdạng toán, từ đó giúp HS tích luỹ được những kinh nghiệm thông qua quá trình giảimột dạng toán cụ thể Vì vậy trong luận văn này, tác giả đặc biệt quan tâm đến việcxây dựng một hệ thống bài tập theo từng chủ đề, sắp xếp hệ thống bài tập đó từ dễđến khó, từ đơn giản đến phức tạp

1.2.3 Ba bước rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS

Để rèn luyện kĩ năng giải bài tập toán học cho HS ta cần xác định từng kĩnăng cụ thể trong mỗi dạng bài tập và mức độ yêu cầu tương ứng Một kĩ năng cóthể gồm nhiều kĩ năng riêng lẻ Việc hình thành từng kĩ năng riêng lẻ có thể chiathành các bước như sau:

+ Bước 1: Giải bài tập mẫu để HS nắm được các thao tác cơ bản (có thể GVtrình bày hoặc gợi ý để HS làm)

+ Bước 2: Luyện tập giải một số bài tập toán học tương tự bài tập mẫu, nhằmgiúp HS thành thạo các thao tác cơ bản Việc luyện tập này có thể tiến hành ngay ởmột bài học, cũng có thể rải rác ở một số bài hoặc bài tập ở nhà

+ Bước 3: Luyện tập một số bài tập tổng hợp, nhằm rèn luyện cho HS vậndụng phối hợp, linh hoạt các thao tác giải toán Các bài tập dạng này thường đượcsắp xếp từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó, giúp HS hình thành và phát triểncác kĩ năng ngày một tốt hơn ([5, tr6])

Ví dụ: Để hình thành kĩ năng xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong

không gian, ta có thể cho HS lần lượt giải các bài toán sau, dựa theo 3 bước ở trên:

Bài 1: Xét vị trí tương đối của d:

133

(Với bài này HS chỉ cần giải bài toán theo mẫu)

Bài 2: Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương

(Bài này HS chỉ cần giải tương tự bài mẫu)

Bài 3: Cho hai đường thẳng:

2: ; ' :

- Giáo viên có tác động điều chỉnh quá trình hoạt động của học sinh Ví dụgiúp học sinh vượt qua khó khăn, phân tích một bài toán thành một bài toán đơngiản hơn, đưa ra câu hỏi giúp học sinh định hướng giải bài toán hoặc cung cấp chohọc sinh tri thức về phương pháp giải bài toán

+ Đối với những bài toán có thuật giải Giáo viên cần căn cứ vào yêu cầu

chung của chương trình cũng như tình hình thực tế để thông báo tường minh thuậtgiải hoặc thông báo tri thức phương pháp trong quá trình hoạt động.

+ Đối với những bài toán chưa có hoặc không có thuật giải: Giáo viên vần hướnghọc sinh suy nghĩ, tìm tòi lời giải Qua đó trang bị cho học sinh một số tri thức vềphương pháp giải toán Thông qua dạy học sinh giải một số bài toán điển hình để họcsinh nắm được cách thức, kinh nghiệm tiến tới có kĩ năng giải quyết lớp bài toán

- Giáo viên giúp học sinh xác nhận tri thức đã đạt được trong quá trình hoạtđộng và đưa ra những bình luận cần thiết để học sinh hiểu tri thức đó một cách đầy

đủ hơn

1.3 Dạy học giải bài tập toán học

1.3.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

Theo [10], vai trò của bài tập thể hiện ba bình diện: Mục tiêu, nội dung,phương pháp

Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu dạy học Bài tập toán học ở trường phổ

thông góp phần thực hiện các mục tiêu môn toán cụ thể là:

* Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau củaquá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn;

* Phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thànhnhững phẩm chất trí tuệ;

* Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chấtcủa người lao động mới

Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá mang

hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội dung

để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần

lý thuyết

Thứ ba, trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang

hoạt động để người học kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thựchiện các mục tiêu dạy học khác Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổchức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủđộng và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

1.3.2 Các yêu cầu đối với lời giải

Theo [10], để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần nắmvững các yêu cầu của lời giải Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng là tốt Nóinhư vậy là bao hàm đủ các ý cần thiết, nhưng quá cô đọng Để thuận tiện cho việcthực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học sinh, cóthể cụ thể hóa các yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận những yếu tố trùng lặp nhấtđịnh trong các yêu cầu chi tiết:

(i) Kết quả đúng, kể cả ở các bước trung gian

(ii) Lập luận chặt chẽ

(iii) Lời giải đầy đủ

(iv) Ngôn ngữ chính xác

(v) Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật

(vi) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất

(vii) Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đềBốn yêu cầu (i), (ii), (iii) và (iv) là các yêu cầu cơ bản (v) là yêu cầu về mặttrình bày, còn (vi) và (vii) là những yêu cầu đề cao

1.3.3 Giải một bài toán theo bốn bước của Polya

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya(1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, cóthể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

* Phát biểu đề bài dưới dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán;

* Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh;

* Có thể dùng công thức, ký hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.Khi hướng dẫn HS tìm hiểu nội dung đề bài, GV thường đưa ra những câuhỏi phát vấn dạng:

+ Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thể thỏa mãn các điềukiện cho trước hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn?

+ Hãy vẽ hình Sử dụng ký hiệu thích hợp

+ Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện Có thể diễn tả các điều kiện

đó thành công thức hay không?

Bước 2: Tìm cách giải

* Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biếnđổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặccái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũtương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó

có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán chứng minhphản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích,…

* Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệthóa kết quả tìm được đối chiếu với một số tri thức có liên quan,…

* Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lý nhất.Trong quá trình đi tìm lời giải cần đặt những câu hỏi dạng:

+ Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một dạnghơi khác?

+ Hãy xét kỹ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùngcái chưa biết hay có cái cho biết tương tự?

+ Bạn có biết một bài toán nào có liên quan không? Có thể áp dụng một định

lý nào hay không?

+ Thấy được một bài toán có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi, có thể sửdụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hãy sử dụng phương phápgiải bài toán đó Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới áp dụng được bàitoán đó hay không?

+ Có thể phát biểu bài toán một cách khác hay không? Một cách khác nữa?Quay về những định nghĩa

+ Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra thì hãy thử giải một bài toán cóliên quan và dễ hơn hay không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng?Một bài toán tương tự? Bạn có thể giải một phần của bài toán hay không? Hãy giữlại một phần điều kiện khác có thể giúp bạn xác định được cái phải tìm hay không?

Có thể thay đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho cáiphải tìm mới và cái đã cho mới được gần nhau hơn không?

+ Bạn đã sử sụng mọi cái đã cho hay chưa? Đã sử dụng hết các điều kiện haychưa? Đã để ý một khái niệm chủ yếu trong bài toàn chưa?

+ Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Có thể kiểm tra từng bước, thấy mỗi bướcđều đúng không? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán hay không?

+ Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếp ngaykết quả không?

+ Nếu tìm được nhiều cách giải thì hãy so sánh các cách giải đó để tìm ra lờigiải ngắn gọn nhất

Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chươngtrình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Để có một lời giải chặt chẽ ta cần thực hiện theo các bước sau:

+ Nắm lại toàn bộ cách giải đã tìm ra trong quá trình suy nghĩ đã nêu ở bước 2.+ Trình bày lại lời giải sau khi đã lược bỏ những yếu tố dự đoán, phát hiện,những yếu tố lệch lạc nhất thời, và đã điều chỉnh những chỗ cần thiết

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

* Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

* Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng có

GV: Bài toán yêu cầu gì?

HS: Bài toán yêu cầu viết PTĐT d cắt d 1 và d 2 đồng thời đi qua điểm M cho trước Bước 2: Tìm cách giải

GV: Các yếu tố để viết PTĐT?

HS: 1 điểm và 1 VTCP

GV: Từ giả thiết tìm các yếu tố đó

HS: + Yếu tố điểm: M

+ VTCP: Giả sử d cắt d 1 và d 2 lần lượt tại , A B Ta có VTCP của d là: AB

hoặc AM hoặc 

AN

GV: Nêu cách tìm VTCP của đường thẳng?

HS: Sử dụng điều kiện hai VTCP cùng phương

Bước 3: Trình bày lời giải

122

GV: Tìm cách giải khác: Xác định hai mp phân biệt cùng chứa đường thẳng d HS: Đường thẳng d đi qua A và cắt đường thẳng d nên d thuộc mp1  P đi qua A và chứa d1

Đường thẳng d đi qua A và cắt đường thẳng d nên d thuộc mp 2  Q đi qua

A và chứa d2

Do đó, đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của hai mp(P) và (Q)

GV: Chú ý cho HS trong cách giải trên, ta mới lập luận d chứa trong mặt

phẳng  P xác định bởi A và d và d chứa trong mặt phẳng (Q) xác định bởi A và1 2

d Như vậy sẽ có khả năng d không cắt d hoặc 1 d Do đó phải kiểm tra xem d2

có cắt hai đường thẳng đó không

Cách 3

Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, chứa d 1

Bước 2: Tìm giao điểm N = d 2 (P)

(Nếu (P) // d2 thì bài toán vô nghiệm)

Bước 3: Lập phương trình đường thẳng AN

Bước 4: Kiểm tra: Nếu AN // d 1 thì bài toán vô nghiệm, nếu MN cắt d 1 suy ra đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng MN

1.4 Tình hình dạy và học môn Toán của giáo viên, học sinh tỉnh Lai Châu

1.4.1 Những thuận lợi, khó khăn trong học tập môn Toán của HS tỉnh Lai Châu

đã học lớp 10 Do đó HS dễ tiếp thu kiến thức mới

- Kiến thức liên quan như là khái niệm đường thẳng và các quan hệ về góc,khoảng cách, vị trí tương đối giữa đường với đường thẳng, đường thẳng với mặtphẳng,… HS đã được học ở hình học lớp 11 và chương đầu của hình học lớp 12 nên

HS dễ tiếp thu vì đã có cơ sở để trực quan

- Khi giải bài toán hình học tổng hợp thì HS cần phải vẽ hình, nhiều trườnghợp phải vẽ thêm các đường phụ Nhưng khi giải bài toán phương pháp tọa độ thìkhông nhất thiết phải vẽ hình vì chỉ cần dựa trên các phương trình biểu thị chúng là

có thể giải được bài toán

- Sự mở rộng từ phương trình đường thẳng trong mặt phẳng (lớp 10) sangphương trình đường thẳng trong không gian (lớp 12) gây ra một số “chướng ngại”

cho HS Ví dụ cho phương trình 2x + y – 4 = 0 nếu xét trong hệ trục Oxy là phương trình đường thẳng nhưng nếu xét trong hệ trục Oxyz là phương trình mặt phẳng,

đường thẳng trong không gian không có vectơ pháp tuyến như trong mặt phẳng…

- Việc nhận thức khái niệm và tính chất cũng khó khăn cho HS trong giải

toán Nếu HS hiểu trong PTTS của đường thẳng tất cả các tham số đều ký hiệu là t

thì sẽ gây nhầm lẫn khi tìm giao điểm của hai đường thẳng đó

- Học sinh thường có biểu hiện ngộ nhận và mắc phải những sai lầm như:+ Hai đường thẳng vuông góc thì HS cũng thừa nhận luôn là vuông góc tức

+ Nhầm lẫn góc giữa hai đường thẳng luôn bằng góc giữa hai VTCP

- Quan hệ giữa các đối tượng hình học (như tính góc, khoảng cách, xét vị trítương đối) được mô tả bằng các công thức, trong đó có những công thức phức tạpnhư công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (Chương trình nâng cao), ban

cơ bản lại đưa về tính độ dài đoạn vuông góc chung Điều này gây cho học sinh khónhớ và dễ nhầm khi tính toán

- Khó khăn bộc lộ trong định hướng giải, cách giải đối với các bài toánkhông gian: Khó tìm ra cách giải, nhưng xem lời giải thì thấy dễ hiểu Để tháo gỡ

vấn đề này, giáo viên có thể tiến hành bằng cách xây dựng các quy trình và phươngpháp thực hiện giải toán.

- Vấn đề các dạng khác nhau của đáp số: Học sinh thường lúng túng khi viếtphương trình của đường thẳng, mặt phẳng bằng những cách khác nhau và có các kếtquả có vẻ như khác nhau Cần làm cho học sinh nhớ lại khái niệm về sự tươngđương của hai phương trình (hoặc hai hệ phương trình) Bằng cách dùng phép biếnđổi tương đương ta có thể đưa một hệ phương trình về một hệ có vẻ rất khác, nhưngvẫn là tương đương, nghĩa là tập nghiệm của hai hệ là như nhau Cần lưu ý thêmcho HS là ta có thể chọn nhiều điểm khác nhau trên đường thẳng  làm điểm M0

cho trước và nhiều VTCP (tỉ lệ với nhau) nên cùng một đường thẳng  có nhiềuPTTS khác nhau

- Vấn đề giải hệ phương trình: Hều hết các bài toán trong chương này đềuliên quan đến việc giải hệ phương trình nhiều ẩn số, nhưng HS còn lúng túng trongcách giải và sau khi giải hệ xong đã vội kết luận về quan hệ hình học mà quên mấtrằng phải xét thêm cả các yếu tố khác nữa Ví dụ để tìm vị trí tương đối của haiđường thẳng d và d’ được cho bởi phương trình tham số, ta có thể giải hệ sáuphương trình để tìm số nghiệm của hệ đó Nếu hệ vô nghiệm thì ta chỉ có thể kếtluận rằng hai đường thẳng đó song song hoặc chéo nhau mà thôi Cần phải xét thêm

các vectơ chỉ phương của d và d ’ mới có thể đi đến kết luận cuối cùng

1.4.2 Mục tiêu, yêu cầu, nội dung dạy học phương trình đường thẳng trong không gian -hình học 12-ban cơ bản

a) Nội dung phương trình đường thẳng trong không gian

Phương trình tham số của đường thẳng Điều kiện để hai đường thẳng chéonhau, cắt nhau, song song hoặc vuông góc với nhau

Về các nội dung đã cắt bỏ so với trương trình cũ

- Không trình bày phương trình tổng quát của đường thẳng, mà chỉ nói đếnphương trình tham số và chính tắc của đường thẳng mà thôi Thực ra thì trong SGK

không đưa thuật ngữ phương trình tổng quát của đường thẳng, nhưng về bản chất

thì vẫn gặp dạng phương trình đó Chẳng hạn khi cho phương trình của hai mặt

thẳng giao tuyến.

- Không trình bày chùm mặt phẳng và phương trình của nó Bởi vậy nhiềubài toán nếu dùng chùm mặt phẳng thì rất thuận tiện, nay phải dùng cách khác

- Từ công thức về khoảng cách giữa hai điểm và công thức về khoảng cách

từ một điểm đến một mặt phẳng, các công thức khác về khoảng cách không đượcnêu ra Tuy vậy, SGK có các ví dụ và bài tập, qua đó học sinh có thể biết được cáchtính các khoảng cách đó

b) Chuẩn kiến thức, kĩ năng học sinh cần đạt được

Về kiến thức: Biết PTTS của đường thẳng Điều kiện để hai đường thẳngchéo nhau, cắt nhau, song song hoặc vuông góc với nhau

Về kĩ năng: Biết cách viết PTTS của đường thẳng Biết cách sử dụng phươngtrình của hai đường thẳng để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng đó

c) Một số yêu cầu nội dung dạy học PTĐT trong không gian

- Trước tiên cần phải trang bị hệ thống kiến thức lý thuyết cơ bản và đầy đủ.Phần phương pháp tọa độ trong không gian là phần củng cố và tiếp tục phát triểnnhững nội dung quen thuộc mà học sinh đã được học ở lớp 10, đồng thời cũng cần

có những lưu ý cần thiết để thấy được sự phát triển của phương pháp đó trongkhông gian Trong phần này, các khái niệm như điểm, vectơ thực hiện tương tự như

đã thực hiện trong mặt phẳng với chú ý rằng tọa độ của một điểm hay tọa độ củamột vectơ trong không gian là một bộ ba số

- Việc trang bị thêm cho học sinh lớp 12 một công cụ mới là phương pháptọa độ trong không gian để nghiên cứu hình học là một việc làm cần thiết giúp họcsinh suy luận, khái quát, tập tư duy trừu tượng, đồng thời có thêm những công cụmới để làm toán và tư duy trong các lĩnh vực mới mẻ của các ngành khoa học Tuynhiên chúng ta cần tập cho học sinh hiểu rõ bản chất các khái niệm, tập suy luậnmột cách chính xác, tránh được các thói quen tư duy một cách hình thức, máy móc,không khoa học và thiếu trách nhiệm

- Khi dạy về phương pháp tọa độ trong không gian nói chung, phương trình

đường thẳng trong không gian nói riêng cần thường xuyên ôn lại những kiến thức cóliên quan đến phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Tuy nhiên, cần hết sức tránh gây ra

những hiểu lầm không đáng có Ví dụ như phương trình Ax + By + C = 0 trong mặt phẳng Oxy là phương trình của một đường thẳng, nhưng trong không gian Oxyz, phương trình có biểu thị một mặt phẳng song song với trục Oz (hoặc chứa Oz);

- Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là một côngthức quan trọng Trong các bài tập khi cần tính khoảng cách giữa hai mặt phẳngsong song hoặc tính khoảng cách từ một đường thẳng bất kì đến một mặt phẳngsong song với đường thẳng đó, chúng ta cần phải dùng đến công thức này Khi học

về công thức này, GV cần giúp HS nhớ lại công thức tính khoảng cách từ một điểmđến một đường thẳng trong hình học phẳng Việc làm này giúp HS thấy được sựtương tự của hai công thức tính khoảng cách trong mặt phẳng và trong không gian

- Chú trọng cả hai kĩ năng “đọc” và “viết” phương trình đường thẳng Chẳng

thì học sinh phải viết được tọa độ điểm đó là M(t; 2-4t; -3-3t)

+ Kĩ năng viết PT đường thẳng còn thể hiện ở kĩ năng chuyển đổi giữa 2dạng PT: PTTS và phương trình chính tắc

- Trong chương trình hình học không gian, không đề cập đến dựng hìnhtrong không gian, vì vậy khi diễn đạt nên tránh từ “dựng” Chẳng hạn, tránh nói

rằng: “dựng AH vuông góc với BC”, ta nói: “Gọi H là hình chiếu của A trên BC”.

- Vấn đề giải hệ phương trình: Hều hết các bài toán trong chương này đềuliên quan đến việc giải hệ phương trình nhiều ẩn số Học sinh cần thành thạo cáchgiải, có thể dùng máy tính Tuy vậy cũng nên chú ý hai tình huống:

+ Cách giải hệ phương trình có ẩn số nhiều hơn số phương trình.

+ Kết luận về số nghiệm của hệ chưa đủ để kết luận về quan hệ hình học Ví dụ

để tìm vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d ’ được cho bởi PTTS, ta có thể giải hệ

gồm sáu phương trình để tìm số nghiệm của hệ đó Nếu hệ vô nghiệm thì ta chỉ có thểkết luận rằng hai đường thẳng đó song song hoặc chéo nhau mà thôi Cần phải xét thêm

các vectơ chỉ phương của d và d ’ mới có thể đi đến kết luận cuối cùng

- Vấn đề trực quan trong giảng dạy:

+ Nên chú ý đúng mức tới yếu tố trực quan: hình vẽ, bảng biểu,… Vềnguyên tắc, khi giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ ta không cần tớihình vẽ Nhưng nhiều khi hình vẽ có thể giúp cho học sinh đưa ra được phươngpháp giải hợp lí

+ Để làm ví dụ, ta xét bài toán “Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 0 có tọa độ đã cho, và cắt hai đường thẳng d 1 , d 2 có phương trình đã cho”.

Ta làm cho học sinh thấy rằng đường thẳng d (nếu có) phải là giao tuyến của hai mặt phẳng: mp(d 1 ,M) và mp(d 2 ,M) Hơn thế nữa qua hình vẽ HS cũng thấy rằng phải kiểm tra điều kiện giao tuyến đó phải cắt d 1 , d 2 trước khi đưa ra đáp số của bàitoán (Tất nhiên bài toán trên có thể giải bằng cách khác)

- Để HS ôn tập tốt, GV nên cho HS làm các tóm tắt, tổng kết theo từng vấn

đề, có thể lập thành các bảng biểu, sơ đồ tư duy cho dễ nhớ Cần hệ thống hóa cácdạng toán và phương pháp giải tương ứng, nhằm rèn luyện kĩ năng, Ví dụ: tóm tắtcác vị trí tương đối của hai đường thẳng, các dạng toán viết PTĐT,…

- Giáo viên cần tạo điều kiện thuận lợi cho HS được tăng cường, thảo luậntrên lớp: Qua trao đổi, thảo luận các em sẽ hiểu bản chất của vấn đề hơn, học được

ở thầy, ở bạn cách suy nghĩ, giải quyết vấn đề, thấy được đúng, sai trong cách nghĩ,cách làm

1.5 Kết luận chương 1

Trong chương này, tôi đã trình bày một số vấn đề lý luận liên quan đến kĩnăng giải toán cho học sinh nói chung, kĩ năng giải toán phương trình đường thẳngtrong không gian nói riêng Đồng thời cũng nêu ra một số thuận lợi, khó khăn của

HS tỉnh Lai Châu khi giải toán dạng này Từ những lý luận trên làm cơ sở để tôi đưa

ra biện pháp rèn luyện kĩ năng trong chương 2

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN

VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Trong luận văn này chúng tôi quan tâm đến việc rèn luyện kĩ năng giải toánphương trình đường thẳng trong không gian ở một số dạng sau đây (Không đặt ravấn đề phân chia một cách triệt để và hoàn toàn đầy đủ)

2.1 Rèn luyện kĩ năng giải toán xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

2.1.1 Bài toán về hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau

Hoạt động 1: Tổ chức cho học sinh nhắc lại kiến thức cơ bản:

Tích có hướng và tính chất của tích có hướng:

d:

0 0 0

' ' '' ' '' ' '

 d cắt d  '

, ' ' 0, ' 0

 d ≡ d  '

' '

Cách 1: Bước 1: Xác định VTCP a của d và VTCP ' a của d’.

Bước 2: Xét sự cùng phương của hai vectơ chỉ phương

a a không cùng phương Khi đó hai đường thẳng đã

cho cắt nhau hoặc chéo nhau

Có 1 nghiệm Không cùng phương d cắt d ’

Từ đó ta có thể xét vị trí tương đối của hai đường thẳng theo cách 2 như sau:

- Nếu hệ có một nghiệm duy nhất thì d cắt d ’

- Nếu hệ có vô số nghiệm thì d trùng với d ’

- Nếu hệ vô nghiệm và a, 'a cùng phương thì d song song với d ’

- Nếu hệ vô nghiệm và a, 'a không cùng phương thì d và d ’ chéo nhau

Chú ý:

- Để giải hệ (*) ta đi giải hệ gồm PT (1) và (2) (Hoặc (1) và (3), hoặc (2) và

(3)), rồi thế t và t’ vào PT còn lại.

- Trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau thì ta chỉ cần giải hệ PT (*) với 1nghiệm duy nhất tìm được mà không nhất thiết phải xét mối quan hệ giữa hai VTCP

- Cách lấy một điểm thuộc đường thẳng d:

* Ý nghĩa của tham số t:

+ Ứng với mỗi một giá trị cụ thể của tham số t cho ta tọa độ một điểm thuộc

đường thẳng

+ Ứng với mỗi điểm thuộc đường thẳng ta tìm được một giá trị tham số t

tương ứng

* Như vậy, từ PTTS của đường thẳng d:

0 0 0

+ Nếu đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng

 P A x B y C z D: 1  1  1  1 0 và  Q A x B y C z D: 2  2  2  2 0 thì cho x0, giải

hệ phương trình gồm phương trình hai mp (P), (Q) với x0 tìm được y, z  tọa

độ M d

(Cũng có thể cho y = 0 hoặc z = 0 hay một giá trị tùy ý khác).

* GV hướng dẫn HS lập sơ đồ tư duy “Cách xét vị trí tương đối của hai

đường thẳng trong không gian” để học sinh dễ dàng ghi nhớ cách làm (Phụ lục 1)

Hoạt động 2: Tổ chức cho học sinh luyện tập

PHIÊU HỌC TẬP

Bài 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d:

133

113

Bước 3: Lấy M1;3;0d , thay tọa độ điểm M vào phương trình đường

thẳng 2 ta được:

' '

cùng phương Do đó d và 2 song song

c) Cách 1: §êng th¼ng d ®i qua ®iÓm M( 1;3;0) vµ cã VTCP (1; 1;3)u 

§êng th¼ng  ®i qua ®iÓm 3 M '( 1;4; 1) vµ cã vect¬ chØ ph¬ng

Giải (1) và (2) được t = -2, s = 1, thay vào (3) được -9 = -1 (Vô lí).

Chứng tỏ hệ vô nghiệm Vậy hai đường thẳng d và 3 song song hoặc chéo nhau

d có VTCP u   (1; 1;3), 3 có VTCP u3  ( 2;1;3).

Ta thấy u u , 3 không cùng phương nên d và 3 chéo nhau

- Tổ chức thành các nhóm học tập và thi giải toán nhanh giữa các nhóm

Bài 2: Chứng minh hai đường thẳng d:

  Thay giá trị t , t vào (3) thấy'

thỏa mãn Vậy hai đường thẳng d và d’ cắt nhau tại M(3;7;18).

Nhận xét: Đây là bài tập chứng minh hai đường thẳng cắt nhau, đồng thời lại yêu cầu tìm giao điểm của hai đường thẳng đó Do vậy ta lựa chọn cách 2

Bài 3: CMR hai đường thẳng d: 2

Đường thẳng d qua điểm A(0;2;1).

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: a  1;1;1

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương: a ' 2;2;2

Do 1 1 1

2  2 2 nên hai VTCP cùng phương (*)

Ta chứng minh điểm A(0;2;1) thuộc d nhưng không thuộc d’ (**)

Thật vậy, thế tọa độ điểm A vào phương trình của d’ ta được

suy ra A không thuộc d’.

Từ (*), (**) suy ra d và d’ song song với nhau.

- Để CM hai đường thẳng song song ta chứng minh hai VTCP cùng phương

và một điểm thuộc đường thẳng này nhưng không thuộc đường thẳng kia.

Bài 4: (Bài toán về phương trình đường thẳng chứa tham số):

Cho hai đường thẳng:

Nhận xét: Cũng giống như các bài toán có tham số khác trong đại số, giải tích,

lượng giác,…các bài toán có tham số trong hình học nói chung và phương trình đường thẳng nói riêng đều tuân thủ theo quy tắc giải một bài toán hình học thuần túy, rồi sau

đó tìm các giá trị thích hợp của tham số để thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài tập tương tự:

Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các

phương trình sau đây:

Chứng minh d và d’ là hai đường thẳng chéo nhau

Bài 3: Cho hai đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau đây:

21

Xác định m để d và d’ là 2 đường thẳng chéo nhau

Bài 4: Cho hai đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau đây:

Xác định m để d song song với d’

Bài 5: Cho hai đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau đây:

2.1.2 Bài toán về hai đường thẳng vuông góc

Cần nhớ: Hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau  a a d d' 0

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: a   1; 3;2

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương: a ' 2;2;2

Ta có: ' 1.2 3.2 2.2 0a a     

Vậy: Đường thẳng d và đường thẳng d’ vuông góc với nhau.

Bài 2: Cho hai đường thẳng d:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: a  1;1;1

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương: a'a;2; 3 



d và d’ vuông góc với nhau  ' 0 a a   1.a2.1 3.1 0   a1

Từ hai bài tập trên GV yêu cầu HS tự rút ra phương pháp CM hai đường thẳng vuông góc.

Phương pháp: Để CM hai đt vuông góc với nhau ta đi chứng minh tích vô

hướng của hai VTCP của hai đường thẳng đó bằng 0.

Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho hai đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau đây:

21

Hoặc nếu lập được phương trình hai mặt phẳng chứa đường thẳng đó thì bằng cáchtham số hóa một thành phần tọa độ để tìm hai thành phần tọa độ còn lại theo tham

số ta sẽ có được phương trình đường thẳng cần tìm Dưới đây là một số vấn đềthường gặp của bài toán trên:

2.2.1 Viết phương trình đường thẳng biết yếu tố song song

Trong phần này luận văn đề cập đến việc rèn luyện kĩ năng viết phương trìnhđường thẳng mà việc xác định một VTCP của đường thẳng được tiến hành bằngmột số cách làm sau:

Cách 1: Tìm một vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng cần

viết phương trình

Cách 2: Sử dụng tích vô hướng để tìm VTCP của đường thẳng.

Cách 3: Tìm VTCP liên quan đến xét sự cùng phương của hai vectơ (Tức từ

việc phân tích giả thiết ta sẽ thấy xuất hiện hai vectơ cùng là VTCP của đườngthẳng cần viết phương trình nhưng tọa độ cụ thể chưa có ngay)

2.2.1.1 Viết phương trình đường thẳng liên quan đến việc tìm VTCP theo

định nghĩa (Tức là tìm một vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng cần

viết PT)

Hoạt động 1: Tổ chức cho học sinh nhắc lại kiến thức cơ bản liên quan

Vectơ chỉ phương của đường thẳng:

* u  0 và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d thì u là vectơ chỉ

phương của đường thẳng d.

* u là chỉ phương của d thì ku cũng là chỉ phương của d ( k ≠ 0)

Phương trình của đường thẳng :

Nếu điểm M(x 0 ; y 0 ; z 0 )d và VTCP của d là u(a; b; c) thì :

* Phương trình tham số của đường thẳng d là :

0 0 0

Một số trường hợp cơ bản để xác định toạ độ VTCP của một đường thẳng :

TH1: Nếu đường thẳng cho dưới dạng tham số  d :

0 0 0

 

là VTPT của mặt phẳng (P))

Hoạt động 2: Tổ chức cho học sinh luyện tập

PHIÊU HỌC TẬP

Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết PTTS và phương trình

chính tắc của d biết d đi qua điểm M(-2; 1; -4) và có chỉ phương là u=(-3;2;-1)

Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của d

biết d đi qua A(1; 2; -3) và B(-2; 2; 0)

Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của

đường thẳng d biết d đi qua điểm A(2; -5; 3) và song song với d’

Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của d

biết d đi qua A(-2; 4; 3) và vuông góc với (): 2x - 3y – 6z + 19 = 0

Giải bốn bài tập trên Từ đó rút ra phương pháp giải dạng toán này?

Tổ chức HS học tập hợp tác:

+ HS nhận phiếu học tập, độc lập suy nghĩ

+ Hoạt động thảo luận nhóm: Trao đổi về cách suy nghĩ của bản thân Thốngnhất ý kiến và đại diện nhóm trình bày kết quả

+ GV hướng dẫn HS (khi cần thiết) phân tích các yếu tố đã cho của đườngthẳng và cách tìm các yếu tố còn lại rồi cho HS kết luận vấn đề:

(Phiếu học tập trên )

Dạng 1 : Viết phương trình đường thẳng

d biết d đi qua điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) và có

vec tơ chỉ phương u= (a; b; c)

Phân tích: + Yếu tố điểm: M

+ VTCP: u

Bài 1: PTTS của d là :

2 3

1 24

Dạng 2: Viết PTTS của đường thẳng d

biết d đi qua hai điểm A, B cho trước.

Phân tích: + Yếu tố điểm: A hoặc B

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng

d đi qua điểm M và song song với đường

Nhận xét: Qua ba bài tập 2, 3, 4 cho ta thấy bài toán viết phương trình

đường thẳng ở dạng trên không cho sẵn tọa độ vectơ chỉ phương u ngay mà phải dựa vào các giả thiết khác nhau để suy ra tọa độ vectơ chỉ phương Vì vậy cần nhấn mạnh cho học sinh tầm quan trọng của việc nắm một số trường hợp cơ bản để xác định VTCP của đường thẳng đã nêu trên.

Bài tập tương tự:

Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 2; 1) và B(1;

-1; 3) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB (Đề thi tốt nghiệp BTTHPT lần 1 năm 2007)

Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm E(1; 2; 3) và mặt phẳng ( )

có phương trình x + 2y – 2z + 6 = 0 Viết phương trình tham số của đường thẳng (  )

đi qua điểm E và vuông góc mặt phẳng ( ) (Đề thi tốt nghiệp 2007 Lần 1)

Bài 3: Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình tham số của đường

thẳng  biết  đi quaA3; 2; 1   và song song với đường thẳng

Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi

qua A(0;1;1), vuông góc với đường thẳng d 1 và cắt đường thẳng d 2 cho bởi:

Câu hỏi 2: Giả sử d cắt d tại B Hãy xác định dạng tọa độ của điểm B phụ thuộc2

một giá trị tham số? Có nhận xét gì về giá của vectơ AB so với đường thẳng d ?1

Câu hỏi 3: Nêu mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng d với VTCP của đường

thẳng d ?1

Câu hỏi 4: Rút ra phương pháp giải?

Câu hỏi 5: Tìm cách giải khác?

Tổ chức HS học tập hợp tác:

- Phương trình tham số của đường thẳng cho ta dạng tọa độ của mọi điểm

thuộc đường thẳng đó Do vậy, tìm một điểm thuộc đường thẳng quy về tìm một giá

trị của tham số Như vậy để tìm một điểm thuộc đường thẳng d thỏa mãn một điều

kiện cho trước ta cần:

+ Biến đổi phương trình đường thẳng d về dạng tham số:

0 0 0

+ Điểm M thuộc đường thẳng d thì M có tọa độ x0at y; 0at z; 0at

+ Từ giả thiết đã cho lập được một PT, giải PT rồi thay t tìm được vào tọa độ M.

*Mối quan hệ giữa VTCP 

với B là giao điểm của d với d 2 Để tìm tọa độ điểm B ta

giải phương trình một ẩn được thiết lập từ giả thiết d d1  u u d 10

Phương pháp :

Bước 1: Xác định tọa độ VTCP của d theo tham số

Gọi B d d2, khi đó B d 2 nên suy ra tọa độ của điểm B theo tham số t