Việc giải các bài tập hình học là điều kiện tốt để thựchiện các mục đích của dạy học toán ở trường phổ thông, được thể hiện thôngqua các chức năng của bài tập toán học là : chức năng dạy
Trang 1ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
Trang 2ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS CAO THỊ HÀ
THÁI NGUYÊN - 2014
Trang 3LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nàokhác
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014
Tác giả luận văn
Nguyễn Mạnh Hùng
Xác nhận
của trưởng khoa chuyên môn
Xác nhậncủa Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS Cao Thị Hà
Trang 4LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS.TS Cao Thị Hà Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất đến cô Cô đã tận tình hướng dẫn, hết lòng giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn.
Em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong Tổ bộ môn Phương pháp giảng dạy môn Toán Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Đại học Sư phạm Hà Nội; Ban Chủ nhiệm khoa Toán, Ban Chủ nhiệm khoa Sau Đại học Trường Đại học
Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập, thực hiện và hoàn thành luận văn.
Dù đã rất cố gắng, xong luận văn cũng không tránh khỏi khỏi những hạn chế và thiếu sót Tác giả mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014
Tác giả luận văn
Nguyễn Mạnh Hùng
Trang 5MỤC LỤC
Trang
Trang 6Trang phụ bìa
Lời cam đoan i
Lời cảm ơn ii
Mục lục iii
Danh mục các từ viết tắt iv
MỞ ĐẦU 1
CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5
1.1 Chứng minh Toán học 5
1.1.1 Khái niệm 5
1.1.2 Cấu trúc của một phép chứng minh 6
1.1.3 Các phép chứng minh toán học
7 1.1.4 Các bước giải một bài toán hình học 15
1.2 Vai trò của chứng minh hình học trong việc phát triển năng lực tư duy của học sinh 26
1.2.1 Khái niệm tư duy 26
1.2.2 Những điều kiện ảnh hưởng đến năng lực tư duy
27 1.2.3 Rèn luyện các thao tác của tư duy cho HS trong DH hình học 28
1.2.4 Bồi dưỡng năng lực phán đoán cho HS trong học tập môn Toán: 38
1.2.5 Bồi dưỡng năng lực quan sát toán học cho HS trong DH Hình học ở trường phổ thông 42
1.3 Thực trạng việc dạy và học hình học ở trường phổ thông
44 1.4 Kết luận chương 1 46
CHƯƠNG II MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH CHO HỌC SINH THPT QUA DẠY HỌC HÌNH HỌC 47
2.1 Cơ sở xây dựng biện pháp : 47
Trang 72.2 Một số biện pháp phát triển năng lực chứng minh cho HS trong DH Hình
học 47
2.2.1 Biện pháp 1: Tập luyện cho HS nắm được cấu trúc của một phép chứng minh một cách tàng ẩn 47
2.2.2 Biện pháp 2 : Tập luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trong chứng minh 54
2.2.3 Biện pháp 3 : Chú trọng phân bậc hoạt động chứng minh hình học 62
2.3 Kết luận chương 2 70
CHƯƠNG III THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 71
3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm 71
3.1.1 Mục đích thực nghiệm 71
3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm
71 3.2 Nội dung thực nghiệm 71
3.3 Tổ chức thực nghiệm: 71
3.3.1 Đối tượng thực nghiệm 71
3.3.2 Tiến trình thực nghiệm 72
3.3.3 Nội dung các đề kiểm tra 94
3.4 Phân tích kết quả thực nghiệm 96
3.4.1 Phân tích định tính 96
3.4.2 Phân tích định lượng 97
3.5 Kết luận chung về thực nghiệm 99
KẾT LUẬN 101
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 103
Trang 8DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
Viết tắt Viết đầy đủ
Trang 91 Lí do chọn đề tài
MỞ ĐẦU
Trang 10Phát triển tư duy cho HS trong quá trình học tập là một mục tiêu quantrọng của quá trình DH môn Toán ở trường phổ thông Việc nghiên cứunhững vấn đề lí luận về việc phát triển năng lực tư duy cho HS trong quá trình
DH Toán đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Những nghiên cứu vềcác biểu hiện của năng lực tư duy của HS cho thấy, năng lực chứng minh toánhọc của HS là một trong các năng lực tư duy quan trọng của HS Trong khithực hiện hoạt động chứng minh toán học người học không chỉ được pháttriển kĩ năng phân tích, tổng hợp, khái quát hóa mà họ còn được rèn luyệnmột cách thường xuyên năng lực tư duy lôgic Thông qua hoạt động chứngminh toán học còn hình thành cho người học khả năng nhìn nhận vấn đề mộtcách sâu sắc với những dẫn chứng xác thực chứ không nhìn nhận vấn đề mộtcách phiến diện, hời hợt và thiếu căn cứ
Hình học là một ngành của toán học, nó nghiên cứu hình dạng, kíchthước và vị trí của các hình trong không gian Bộ môn hình học ở trường phổthông có hai đặc trưng cơ bản : thứ nhất nó có tính lôgíc chặt chẽ kết hợp vớibiểu tượng trực quan sinh động, thứ hai là mối liên hệ giữa hình học thuầntúy với hình học thực tế, trong đó hình học thuần túy lấy hình học thực tế làmđiểm xuất phát để trừu tượng hóa đồng thời kiểm nghiệm tính đúng đắn của
nó Đó là con đường lôgíc đến thực tiễn
Trong chương trình môn Toán ở trường THPT, nội dung hình họcchiếm một phần rất quan trọng Việc DH hình học ở trường THPT khôngchỉ cung cấp cho người học những kiến thức về các đối tượng hình học vàcác mối quan hệ giữa chúng mà nó còn là những cơ hội để rèn luyện nănglực tư duy, phẩm chất trí tuệ, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề vàkhả năng vận dụng các kiến thức hình học vào thực tiễn cuộc sống cho
HS Muốn vậy, việc dạy học hình học ở trường phổ thông phải thể hiệnđược hai đặc trưng trên
Trang 11Trong DH hình học thì các bài tập hình học ở trường phổ thông làmột phương tiện có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp họcsinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo,ứng dụng vào thực tiễn Việc giải các bài tập hình học là điều kiện tốt để thựchiện các mục đích của dạy học toán ở trường phổ thông, được thể hiện thôngqua các chức năng của bài tập toán học là : chức năng dạy học, chức nănggiáo dục, chức năng phát triển và chức năng kiểm tra Đặc biệt, các bài toánchứng minh trong hình học có tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện tư duylogic cho học sinh, nó vừa giúp học sinh nắm vững kiến thức vừa giúp họcsinh rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh… Hơnnữa, việc chứng minh bài tập hình học còn là một phương tiện quan trọng trogviệc phát triển năng lực tư duy logic cho HS
Tuy vậy, thực tiễn DH hình học ở trường phổ thông cho thấy năng lựcchứng minh các bài tập hình học của học sinh còn nhiều bất cập Nhiều họcsinh không hiểu được các lời chứng minh, không nắm được các phương phápchứng minh hình học cũng như không nhận ra được các quy tắc logic được sửdụng trong các chứng minh Trong khi đó những nghiên cứu về việc phát triểnnăng lực chứng minh hình học cho HS trường THPT cũng chưa được nhiềutác giả quan tâm nghiên cứu Từ những thực trạng trên và từ vai trò của bàitập hình học trong việc phát triển năng lực tư duy cho HS Vì vậy, tôi lựachọn đề tài “PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH CHO HỌC SINHTHPT TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC”
2 Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu nhằm đề xuất một số biện pháp sư phạm trong việc pháttriển năng lực chứng minh cho học sinh thông qua dạy học hình học ở trườngphổ thông
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề lí luận về chứng minh toán học và phát triển
năng lực chứng minh toán học cho học sinh trường THPT
Trang 12triển
Tìm hiểu thực trạng dạy học hình học ở trường THPT theo hướng phát
năng lực chứng minh cho học sinh
Đề xuất một số BPSP nhằm phát triển năng lực chứng minh toán họccho
HS trường THPT thông qua dạy học hình học
Tổ chức dạy thực nghiệm để minh chứng cho tính hiệu quả và tính
Trang 13khả thi của các BPSP đã đề xuất
4 Khách thể và đối tượng nhiên cứu
Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học Hình học ở trường phổ
thông
Đối tượng nghiên cứu: Năng lực chứng minh toán học của HS trong dạy học Hình học ở trường phổ thông
5 Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận
+ Nghiên cứu tài liệu về phương pháp giảng dạy môn Toán, liên quan đến dạy học chứng minh định lí toán học
+ Nghiên cứu Sách giáo khoa, Sách giáo viên và các tài liệu có liên quan đến vấn đề này
Phương pháp điều tra: Nhằm tìm hiểu thực trạng về khả năng chứng minh toán học của học sinh
Phương pháp quan sát: Nhằm tìm hiểu thực trạng việc tổ chức dạy học chứng minh hình học cho học sinh trường THPT
Phương pháp thực nghiệm :Tổ chức dạy thực nghiệm một số tiết
ởTrung học Phổ thông Thu thập kết quả khảo sát bài kiểm tra của học sinh saumỗi tiết dạy thực nghiệm, thống kê kết quả đạt được, phân tích để bước đầuđánh giá hiệu quả của các BPSP nhằm phát triển năng lực chứng minh toánhọc cho học sinh
Trang 146 Giả thuyết khoa học
Nếu đề xuất được một số BPSP có tính khả thi trong việc phát triển nănglực chứng minh cho học sinh qua dạy học hình học thì sẽ góp phát triển nănglực chứng minh toán học cho học sinh, đồng thời góp phần nâng cao đượchứng thú trong học tập môn hình học đối với học sinh phổ thông
7 Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gòm 3 chương
Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2 Một số biện pháp sư phạm phát triển năng lực chứng minh
hình cho học sinh thông qua dạy học hình học
Chương 3 Thử nghiệm sư phạm
Trang 15mực đã được chấp nhận trong lĩnh vực đó) rằng một p h át b i ểu t o án h ọ c l àđúng đắn Chứng minh có được từ lập l u ận s u y d i ễ n , chứ không phải là tranhluận kiểu q u y nạp hoặc theo kinh nghiệm” Có nghĩa là, một chứng minh phảibiểu diễn cho thấy một phát biểu là đúng với mọi trường hợp, không có ngoại
lệ Một mệnh đề chưa được chứng minh nhưng được chấp nhận đúng đượcgọi là một p h ỏng đ oá n
Một mệnh đề đã được chứng minh thường được gọi là đ ị nh l ý , một khi định
lý đã được chứng minh, nó có thể được dùng làm nền tảng để chứng minh cácmệnh đề khác Một định lý cũng có thể được gọi là bổ đ ề , đặc biệt nếu nóđược dự định dùng làm bước đệm để chứng minh một định lý khác
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [12] thì “Chứng minh một mệnh đề T là tìm ra
Trang 17đúng Do vậy, cấu trúc của một phép chứng minh toán học bao gồm : Luận đề
- luận cứ - luận chứng
1.1.2 Cấu trúc của một phép chứng minh
Mọi phép chứng minh logic đều gồm có 3 bộ phận :
a) Luận đề : Nó trả lời cho câu hỏi : “Chứng minh cái gì?” Như vậy ta
có thể hiểu “luận đề” chính là kết luận của mệnh đề
b) Luận cứ: Là những tiên đề, định nghĩa, định lý đã biết, giả thiết (của
mệnh đề cần chứng minh) được đưa ra làm tiền đề cho mỗi suy luận Nó trảlời cho câu hỏi : “Chứng minh dựa vào cái gì ?”
c) Luận chứng : Là những quy tắc suy luận lôgíc được sử dụng trong
chứng minh Nó trả lời cho câu hỏi : “chứng minh bằng cách nào, theo nhữngqui tắc suy luận nào?”
Ví dụ 1 : Chứng minh mệnh đề : “Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi
qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song songvới hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó)’’
Ta sẽ đi chứng minh mệnh đề này, muốn vậy ta chuyển mệnh đề trên sangngôn ngữ toán học như sau: Cho hai đường thẳng d1 // d 2
,nếu
Trang 19Chứng minh : Nếu d không trùng với d
1 hoặc d 2 thì ba mặt phẳng ( ) , (
)
Trang 20đồng quy).Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Như vậy qua chứng minh mệnh đề trên ta thấy:
- Luận đề : d // d1 // d2 hoặc h d d1
oặc
- Luận cứ : + Các giả thiết của mệnh đề
+ Khái niệm hai đường thẳng song song, giao tuyến của hai mặt phẳng và các tính chất kèm theo
+ Định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng : Giả sử ( )
1.1.3 Các phép chứng minh toán học
Trong Toán học người ta có các phép chứng minh như sau:
Trang 21a) Phép chứng minh diễn dịch : Phép chứng minh diễn dịch là phép
chứng minh mà dựa trên các tiền đề đã biết (được gọi là các luận cứ) vànhững quy tắc suy luận (được gọi là các luận chứng) để suy ra điều phải
Trang 22chứng minh (được gọi là các luận đề) Trong phép chứng minh diễn dịchngười ta chia thành hai loại : phép chứng minh trực tiếp và phép chứng minhgián tiếp (hay còn gọi là chứng minh phản chứng)
*) Phép chứng minh trực tiếp: Phép chứng minh trực tiếp là dựa
trên các luận cứ, những qui tắc suy luận để rút ra luận đề Cơ sở của chứng
minh trực tiếp là các quy tắc suy luận (Modus ponens).
Ta có thể hiểu phép chứng minh này như sau: Giả sử ta phải chứng minhmệnh đề A B là đúng (A là giả thiết, B là kết luận), ta lập các mệnh đềmới
A1, A2, …, An gọi là các mệnh đề trung gian và chứng minh các mệnh đề sauđây đúng:
Kẻ đường chéo AC, chia hình bình
hành ABCD ra làm hai tam giác ABC và
Trang 23(so le trong) (ii) chứng minh
tương tự, ta được: BAC ACD
Trang 24(iii) Nếu hai tam giác có một cạnh bằng nhau kề với hai góc bằng nhau từng đôi một thì hai tam giác đó bằng nhau.
Hai tam giác ABC và ADC có
cạnh AC chung
ACD theo chứng minh trên
Vậy hai tam giác đó bằng nhau theo trường hợp g – c – g
(iv) Nếu hai tam giác bằng nhau thì đối diện với các cặp góc bằng nhau
cụ thể như trên để học sinh lĩnh hội quy tắc đó một cách ẩn tàng
Thông thường khi vận dụng quy tắc 1, nếu A B là một định nghĩa
hay định lí thì người ta thường trình bày vắn tắt không nhắc lại định nghĩa hay
định lý đó Vì vậy, đoạn chứng minh trên có thể được viết ngắn gọn như sau:
Kẻ đường chéo AC chia hình bình hành ABCD thành hai tam giác ABC và ADC.
AD // BC (giả thiết)
Trang 25CAD ACB (chứng minh trên).
Trang 26Vậy ABC CDA (g – c – g)
Tức là: AH AC cos HAC AH AB cos
hay b.sin C c.sin B
Trang 27Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O Chứng
minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB và COD tiếp xúc ngoàivới nhau
Giải :
Phân tích:
Gọi M, N lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại
tiếp hai tam giác AOB và COD M
Trang 28Suy ra: MOD NOB , dẫn tới ba điểm M, O, N thẳng hàng (2)
Từ (1) và (2) Suy ra: MN = MO + ON, tức là đoạn nối tâm bằng tổng hai bán kính nên các đường tròn (M) và (N) tiếp xúc ngoài với nhau
Như vậy qua việc chứng minh trên ta đã nhấn mạnh và làm nổi bật cho họcsinh quy tắc kết luận lôgíc rất thông dụng là A B , A Giáo viên cần quan
phép chứng minh này thường được sử dụng để trình
bày phép chứng minh hầu hết các định lý trong sách
giáo khoa hoặc trình bày bài giải một bài toán nói chung và lời giải một bàitoán chứng minh hình học nói riêng Tuy nhiên về phương diện sư phạm phépchứng minh này thường thiếu tự nhiên, vì học sinh không hiểu lí do vì sao (tìm
Trang 29đâu ra, làm sao phải tìm) lại bắt đầu từ A Để khắc phục nhược điểm này đòi
hỏi trong quá trình chứng minh giáo viên phải thường xuyên sử dụng phápphân tích đi lên để giúp người học tìm ra lời giải
+ Phép chứng minh gián tiếp:
Trong thực tế, để chứng minh mệnh đề A B là đúng, nếu ta chứng
minh trực tiếp thì việc chứng minh có thể rất khó khăn Do vậy để chứng minh
Trang 30phản chứng B là sai, tức là B là đúng ta suy ra điều này mâu thuẩn với giả
thiết A hoặc mâu thuẫn với mệnh đề đúng đã biết Điều đó chứng tỏ mệnh đề
A
là sai Vậy kết luận B đúng (theo luật mâu thuẫn) Cơ sở của phép
chứng minh này là ta sử dụng mệnh đề phủ định và sử dụng các phép suy luận diễn dịch ở trên.
Ví dụ 5: Chứng minh định lí đảo của định lí “góc tạo bởi tia tiếp tuyến và
dây cung” cụ thể là ta cần chứng minh: Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm
trênđường tròn, một cạnh chứa dây cung AB) có số đo bằng một nữa số đo củacung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là mộttia tiếp tuyến của đường tròn
Bài này ta có thể chứng minh trực tiếp hoặc gián tiếp, tuy nhiên ta có thểtrình bày cách chứng minh theo phương pháp chứng minh gián tiếp (chứngminh phản chứng) như sau:
Giả sử tia Ax không phải là tiếp tuyến của (O)
Gọi M là giao điểm thứ hai của Ax với (O) Theo giả thiết ta có:
BAM 1 sđ AB (1)
2
Trang 32Vẽ tia tiếp tuyến Ax’ với (O) nên BAx ' 1
sđ AB2
Ta có BAx 1 sđ AB
(gt) Vậy
2
Suy ra: Ax trùng với tia Ax’ hay Ax là tiếp tuyến của (O)
b) Chứng minh quy nạp: Phép chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán
học, gọi tắc là chứng minh quy nạp cũng là một phương pháp chứng minhthường gặp trong Toán học Nội dung của phương pháp này như sau:
Giả sử phải chứng minh mệnh đề P(n) nào đó đúng với mọi số tự nhiên n
(P(n) là hàm mệnh đề với số tự nhiên), với n a, trong đó a là số tự nhiên chotrước Ta tiến hành theo các bước như sau:
Bước 1: chứng minh mệnh đề đúng với n = a
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k a) nào đó Ta chứng minh mệnh
đề đúng với n = k + 1, nghĩa là P ( k ) P ( k 1), P ( k
)
P(k 1)Bước 3: Kết luận P(n) đúng với mọi n a
Cơ sở lí luận của phương pháp này là:
Theo bước 1: mệnh đề P(n) đúng với n = a
Theo bước 2: ta có P(a) đúng P(a+1) đúng
P(a+1) đúng P(a+2) đúng
…Phép suy luận không thể dừng lại, nên P(n) đúng n a
Ví dụ 6: Ta xét bài toán sau:
Cho hai đường thẳng song song Trên mỗi đường thẳng lấy n điểm và
kẻ những đoạn thẳng nối các điểm không cùng trên một đường thẳng Số đoạn
Trang 33thẳng nhiều nhất có thể kẻ được là bao nhiêu để cho chúng không cắt nhau ở trong phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng đã cho.
Ta nhận thấy, mặc dù bài toán này khong cho rõ việc chứng minh mệnh
Trang 34đề dạng P(n) nhưng dễ nhận thấy trong giả thiết của bài toán người ta đề cậpđến việc kẻ n điểm, nên thực tế là ta có thể phải chứng minh với mệnh đề
nghĩ đến phương pháp quy nạp
Ta có thể phát biểu một bài toán mở rộng của bài toán trên như sau:Cho hai đường thẳng song song Trên đường thẳng thứ nhất ta ghi k điểm theo thứ tự từ trái sang phải là A1, A2, …, Ak và trên đường thẳng thứ hai, taghi n điểm theo thứ tự từ trái sang phải là B1, B2, …, Bn
Thật vậy: Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp như sau:
Với k = 1 và n = 1: mệnh đề hiển nhiên đúng
Giả sử (*) đúng với k + n = m, ta chứng minh (*) đúng khi k + n = m
+ 1
Trang 35Xem hai điểm cuối Ak và Bn Đoạn thẳng AkBn không cắt bất kỳ đoạnthẳng AiBj khác, i = 1, 2, …, (k – 1) và j = 1, 2, …, (n – 1), do đó tập hợpnhững đoạn thẳng thoả yêu cầu của bài toán phải chứa đoạn thẳng AkBn Nếunhư cả hai điểm Ak và Bn đều được nối với một vài điểm nào đó thì chúng sẽcắt nhau Do đó một trong hai điểm Ak và Bn không nối với các điểm khác.Giả sử Ak không nối với những điểm Bs, s < n còn lại mà chỉ nối với Bn.
Với (k – 1) + n điểm A1, A2, …, Ak – 1 và B1, B2, …, Bn, từ giả thiết quinạp, ta kẻ được tối đa là:
(k – 1) + n – 1 = k + n – 2 đoạn thẳng không cắt nhau Từ đó, ta suy ra:với các điểm A1, A2, …, Ak và B1, B2, …, Bn có thể kẻ được tối đa:
( k + n – 2) + 1 = k + n – 1 đoạn thẳng không cắt nhau đpcm
1.1.4 Các bước giải một bài toán hình học
Cũng như việc giải một bài toán thông thường, quy trình giải một bàitoán chứng minh hình học cũng thường phải trải qua các bước sau đây (theoG.Polia [ 17]):
a) Tìm hiểu đề toán:
Theo quan điểm của chúng tôi, để giải được một bài toán, trước hếtngười học phải hiểu đề bài và ham thích giải bài toán đó Vì thế, bước quantrong nhất trong việc giải một bài toán là giáo viên cần giúp học sinh tìm hiểu
đề bài và chú ý gợi đông cơ, khơi gợi trí tò mò, hứng thú cho các em Để hiểu
rõ đề toán trong một bài toán hình học, trước hết người học cần:
- Nắm vững mọi khái niệm đề cập trong bài toán Cần phải nhớ lạiđịnh nghĩa của các khái niệm đó hoặc có thể định nghĩa khái niệm đó bằngnhững cách khác như thế nào?
- Phải nắm rõ giả thiết và kết luận của bài toán Nghĩa là bài toán chonhững gì? Ta phải chứng minh điều gì? Phải tìm cái gì? (làm rõ luận đề vàmột phần luận cứ của bài toán)
Trang 36- Dựa vào bài toán đã cho, vẽ hình mô tả nội dung bài toán Hình vẽ sẽgiúp ta hiểu được đề toán một cách cụ thể và rõ ràng hơn Hình vẽ còn tácdụng gợi ý cho việc tìm ra các giải pháp, cách giải và phát triển trí tưởngtượng không gian Nếu cần thiết ta phải vẽ thêm đường phụ cho bài toán Khi
vẽ hình cho bài toán cần lưu ý:
+ Hình vẽ phải mang tính tổng quát, không nên vẽ hình trong trườnghợp đặc biệt, vì như thế dễ gây ngộ nhận
+ Nên thể hiện những điều đã cho và những điều cần tìm trên hình vẽ(nếu có thể)
+ Để làm nổi bậc các đường, các hình, trong hình vẽ có sử dụng nétđậm, nét nhạt với màu sắc khác nhau, nét liền hay nét đứt
+ Dựa vào hình vẽ, ghi giả thiết, kết luận của bài toán Việc ghi giảthiết, kết luận giúp ta nắm vững hơn nội dung bài toán, chuẩn bị tốt cho cácbước tiếp theo
b) Tìm tòi lời giải bài toán:
Việc tìm tòi lời giải bài toán là một bước quan trọng bậc nhất tronghoạt động giải toán Điều cơ bản của bước này là biết định hướng đúng để tìm
ra được nhanh chóng hướng giải bài toán Để tìm tòi lời giải bài toán cần:
* Hãy nghĩ đến những bài toán có liên quan: Những bài toán liên quan có
thể là những bài toán tương tự với những bài toán đã cho hoặc là những bàitoán tổng quát hơn bài toán đã cho, hoặc là trường hợp đặc biệt của bài toán
đã cho, hoặc những bài toán liên quan chứa đựng một phần giả thiết hoặc mộtphần kết luận của bài toán cần chứng minh Nghĩ đến những bài toán liênquan để tìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp giải các bài toán đó
Ví dụ 7: Cho tam giác nhọn ABC, xác định một tam giác MPQ có chu vi bé
nhất, nội tiếp tam giác ABC (có nghĩa là các đỉnh M, N, P của tam giác MNPlần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, BA của tam giác ABC)
Bài toán trên cho ta gợi nhớ đến bài toán quen thuộc sau đây ở lớp 8:
Trang 37Bài toán liên quan: Cho góc nhọn xOy và một điểm M nằm trong góc đó.Hãy xác định điểm A, B lần lượt nằm trên hai tia Ox, Oy sao cho chu vi của
Trang 38tam giác ABM bé nhất.
Bài toán này được giải quyết như sau:
Gọi M’, M” là các điểm đối xứng với
M lần lượt qua Ox, Oy Gọi A, B lần lượt là
giao điểm của M’M”với Ox và Oy O
Ta có: chu vi tam giác MAB bằng:
MA + MB + AB = M’A + M”B + AB
= M’M”
y M"
B B'
M A' A x
M'
Với hai điểm A’, B’ bất kì khác A, B trên tia Ox, Oy ta có chu vi tam giác MA’B’ bằng:
MA’ + MB’ + A’B’ = M’A’ + M”B’ + A’B’
> M’M” vì đường gấp khúc M’A’B’M” bao giờ cũng
có độ dài lớn hơn đường thẳng M’M”
Vậy các điểm A, B như đã xác định ở trên tạo thành một tam giác có chu
vi bé nhất thoả yêu cầu đề toán
Từ bài toán đó và cách giải của nó ta tìm thấy lời giải của bài toán ban
Gọi MPQ là tam giác nội tiếp tam giác
M' Q P M"
ABC thoả yêu cầu đề toán
Gọi M’, M” lần lượt là các điểm đối xứng
của M qua AB, AC: B M C
Khi đó ta có:
MP + PQ + QM = M”P + PQ + QM’
Vì M”P + PQ + QM’ M’M” nên ta suy ra nếu đã chọn điểm M trên BC thìchu vi tam giác MPQ bé nhất khi và chỉ khi các điểm M’, Q, P, M” thẳng hàng và chu vi của tam giác đó bằng độ dài M’M”
Trang 39Vậy với mỗi vị trí của M trên cạnh BC ta xác định được một tam giác MPQ
Suy ra M là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC
Bằng cách lập luận tương tự ta có P và Q là đường cao hạ từ B và C củatam giác ABC
Ví dụ 8: Cho hình thang ABCD với hai cạnh AB và CD song song Hai
đường chéo AC và BD cắt nhau tại O
Trang 40a Chứng minh rằng S AOB COD S 1 S
2 ABCD
b Với điều kiện nào của các cạnh AB và CD thì tổng các diện tích tam giác AOB và COD nhỏ nhất?
Để chứng minh bài toán này ta cần cho học sinh xét bài tập sau:
Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm M tuỳ ý Đường thẳng qua M vàsong song với AB cắt AC ở P Đường thẳng A
qua M và song song với AC cắt AB tại Q P