Phát triển năng lực chứng minh cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học hình học

Trong DH hình học thì các bài tập hình học ở trường phổ thông là một phương tiện có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS CAO THỊ HÀ

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014

Tác giả luận văn

Nguyễn Mạnh Hùng

Xác nhận

của trưởng khoa chuyên môn

Xác nhận của Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS Cao Thị Hà

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS.TS Cao Thị Hà Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất đến cô Cô đã tận tình hướng dẫn, hết lòng giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn

Em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong Tổ bộ môn Phương pháp giảng dạy môn Toán Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Đại học Sư phạm Hà Nội; Ban Chủ nhiệm khoa Toán, Ban Chủ nhiệm khoa Sau Đại học Trường Đại học

Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập, thực hiện và hoàn thành luận văn

Dù đã rất cố gắng, xong luận văn cũng không tránh khỏi khỏi những hạn chế và thiếu sót Tác giả mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014

Tác giả luận văn

Nguyễn Mạnh Hùng

MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Danh mục các từ viết tắt iv

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Chứng minh Toán học 5

1.1.1 Khái niệm 5

1.1.2 Cấu trúc của một phép chứng minh 6

1.1.3 Các phép chứng minh toán học 7

1.1.4 Các bước giải một bài toán hình học 15

1.2 Vai trò của chứng minh hình học trong việc phát triển năng lực tư duy của học sinh 26

1.2.1 Khái niệm tư duy 26

1.2.2 Những điều kiện ảnh hưởng đến năng lực tư duy 27

1.2.3 Rèn luyện các thao tác của tư duy cho HS trong DH hình học 28

1.2.4 Bồi dưỡng năng lực phán đoán cho HS trong học tập môn Toán: 38

1.2.5 Bồi dưỡng năng lực quan sát toán học cho HS trong DH Hình học ở trường phổ thông 42

1.3 Thực trạng việc dạy và học hình học ở trường phổ thông 44

1.4 Kết luận chương 1 46

CHƯƠNG II MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH CHO HỌC SINH THPT QUA DẠY HỌC HÌNH HỌC 47

2.1 Cơ sở xây dựng biện pháp : 47

2.2 Một số biện pháp phát triển năng lực chứng minh cho HS trong DH Hình học 47

2.2.1 Biện pháp 1: Tập luyện cho HS nắm được cấu trúc của một phép chứng minh một cách tàng ẩn 47

2.2.2 Biện pháp 2 : Tập luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trong chứng minh 54

2.2.3 Biện pháp 3 : Chú trọng phân bậc hoạt động chứng minh hình học 62

2.3 Kết luận chương 2 70

CHƯƠNG III THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 71

3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm 71

3.1.1 Mục đích thực nghiệm 71

3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 71

3.2 Nội dung thực nghiệm 71

3.3 Tổ chức thực nghiệm: 71

3.3.1 Đối tượng thực nghiệm 71

3.3.2 Tiến trình thực nghiệm 72

3.3.3 Nội dung các đề kiểm tra 94

3.4 Phân tích kết quả thực nghiệm 96

3.4.1 Phân tích định tính 96

3.4.2 Phân tích định lượng 97

3.5 Kết luận chung về thực nghiệm 99

KẾT LUẬN 101

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 103

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt Viết đầy đủ

DH Toán đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Những nghiên cứu về các biểu hiện của năng lực tư duy của HS cho thấy, năng lực chứng minh toán học của HS là một trong các năng lực tư duy quan trọng của HS Trong khi thực hiện hoạt động chứng minh toán học người học không chỉ được phát triển kĩ năng phân tích, tổng hợp, khái quát hóa mà họ còn được rèn luyện một cách thường xuyên năng lực tư duy lôgic Thông qua hoạt động chứng minh toán học còn hình thành cho người học khả năng nhìn nhận vấn đề một cách sâu sắc với những dẫn chứng xác thực chứ không nhìn nhận vấn đề một cách phiến diện, hời hợt và thiếu căn cứ

Hình học là một ngành của toán học, nó nghiên cứu hình dạng, kích thước và vị trí của các hình trong không gian Bộ môn hình học ở trường phổ thông có hai đặc trưng cơ bản : thứ nhất nó có tính lôgíc chặt chẽ kết hợp với biểu tượng trực quan sinh động, thứ hai là mối liên hệ giữa hình học thuần túy với hình học thực tế, trong đó hình học thuần túy lấy hình học thực tế làm điểm xuất phát để trừu tượng hóa đồng thời kiểm nghiệm tính đúng đắn của

nó Đó là con đường lôgíc đến thực tiễn

Trong chương trình môn Toán ở trường THPT, nội dung hình học chiếm một phần rất quan trọng Việc DH hình học ở trường THPT không chỉ cung cấp cho người học những kiến thức về các đối tượng hình học và các mối quan hệ giữa chúng mà nó còn là những cơ hội để rèn luyện năng lực tư duy, phẩm chất trí tuệ, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề và khả năng vận dụng các kiến thức hình học vào thực tiễn cuộc sống cho

Trong DH hình học thì các bài tập hình học ở trường phổ thông là một phương tiện có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng vào thực tiễn Việc giải các bài tập hình học là điều kiện tốt để thực hiện các mục đích của dạy học toán ở trường phổ thông, được thể hiện thông qua các chức năng của bài tập toán học là : chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển và chức năng kiểm tra Đặc biệt, các bài toán chứng minh trong hình học có tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện tư duy logic cho học sinh, nó vừa giúp học sinh nắm vững kiến thức vừa giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh… Hơn nữa, việc chứng minh bài tập hình học còn là một phương tiện quan trọng trog việc phát triển năng lực tư duy logic cho HS

Tuy vậy, thực tiễn DH hình học ở trường phổ thông cho thấy năng lực chứng minh các bài tập hình học của học sinh còn nhiều bất cập Nhiều học sinh không hiểu được các lời chứng minh, không nắm được các phương pháp chứng minh hình học cũng như không nhận ra được các quy tắc logic được sử dụng trong các chứng minh Trong khi đó những nghiên cứu về việc phát triển năng lực chứng minh hình học cho HS trường THPT cũng chưa được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Từ những thực trạng trên và từ vai trò của bài tập hình học trong việc phát triển năng lực tư duy cho HS Vì vậy, tôi lựa chọn đề tài “PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH CHO HỌC SINH THPT TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu nhằm đề xuất một số biện pháp sư phạm trong việc phát triển năng lực chứng minh cho học sinh thông qua dạy học hình học ở trường phổ thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số vấn đề lí luận về chứng minh toán học và phát triển năng lực chứng minh toán học cho học sinh trường THPT

 Tìm hiểu thực trạng dạy học hình học ở trường THPT theo hướng phát triển

năng lực chứng minh cho học sinh

 Đề xuất một số BPSP nhằm phát triển năng lực chứng minh toán học cho

HS trường THPT thông qua dạy học hình học

 Tổ chức dạy thực nghiệm để minh chứng cho tính hiệu quả và tính khả thi của các BPSP đã đề xuất

4 Khách thể và đối tượng nhiên cứu

 Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học Hình học ở trường phổ

thông

 Đối tượng nghiên cứu: Năng lực chứng minh toán học của HS trong

dạy học Hình học ở trường phổ thông

5 Phương pháp nghiên cứu

 Phương pháp nghiên cứu lí luận

+ Nghiên cứu tài liệu về phương pháp giảng dạy môn Toán, liên quan đến dạy học chứng minh định lí toán học

+ Nghiên cứu Sách giáo khoa, Sách giáo viên và các tài liệu có liên quan đến vấn đề này

 Phương pháp điều tra: Nhằm tìm hiểu thực trạng về khả năng chứng minh toán học của học sinh

 Phương pháp quan sát: Nhằm tìm hiểu thực trạng việc tổ chức dạy học chứng minh hình học cho học sinh trường THPT

 Phương pháp thực nghiệm :Tổ chức dạy thực nghiệm một số tiết ở Trung học Phổ thông Thu thập kết quả khảo sát bài kiểm tra của học sinh sau mỗi tiết dạy thực nghiệm, thống kê kết quả đạt được, phân tích để bước đầu đánh giá hiệu quả của các BPSP nhằm phát triển năng lực chứng minh toán học cho học sinh

6 Giả thuyết khoa học

Nếu đề xuất được một số BPSP có tính khả thi trong việc phát triển năng lực chứng minh cho học sinh qua dạy học hình học thì sẽ góp phát triển năng lực chứng minh toán học cho học sinh, đồng thời góp phần nâng cao được

hứng thú trong học tập môn hình học đối với học sinh phổ thông

7 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gòm 3 chương

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Một số biện pháp sư phạm phát triển năng lực chứng minh

hình cho học sinh thông qua dạy học hình học

Chương 3 Thử nghiệm sư phạm

lệ Một mệnh đề chưa được chứng minh nhưng được chấp nhận đúng được gọi là một phỏng đoán

Một mệnh đề đã được chứng minh thường được gọi là định lý, một khi định

lý đã được chứng minh, nó có thể được dùng làm nền tảng để chứng minh các mệnh đề khác Một định lý cũng có thể được gọi là bổ đề, đặc biệt nếu nó được dự định dùng làm bước đệm để chứng minh một định lý khác

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [12] thì “Chứng minh một mệnh đề T là tìm ra một dãy hữu hạn A1,A2, ,A n thỏa mãn các điều kiện sau :

+ Mỗi A i (i=1, 2, , )n của dãy đó là một tiên đề, hoặc định nghĩa, hoặc

suy ra từ một số trong các A1, A2, , Ai1 nhờ những quy tắc kết luận lôgic

+ An chính là mệnh đề T

Như vậy có thể hiểu : Chứng minh toán học là quá trình suy luận hợp lôgic xuất phát từ các tiền đề đã biết là đúng (các tiền đề có thể là các tiên đề, các

đúng Do vậy, cấu trúc của một phép chứng minh toán học bao gồm : Luận đề

- luận cứ - luận chứng

1.1.2 Cấu trúc của một phép chứng minh

Mọi phép chứng minh logic đều gồm có 3 bộ phận :

a) Luận đề : Nó trả lời cho câu hỏi : “Chứng minh cái gì?” Như vậy ta

có thể hiểu “luận đề” chính là kết luận của mệnh đề

b) Luận cứ: Là những tiên đề, định nghĩa, định lý đã biết, giả thiết (của

mệnh đề cần chứng minh) được đưa ra làm tiền đề cho mỗi suy luận Nó trả lời cho câu hỏi : “Chứng minh dựa vào cái gì ?”

c) Luận chứng : Là những quy tắc suy luận lôgíc được sử dụng trong

chứng minh Nó trả lời cho câu hỏi : “chứng minh bằng cách nào, theo những qui tắc suy luận nào?”

Ví dụ 1 : Chứng minh mệnh đề : “Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi

qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó)’’

Ta sẽ đi chứng minh mệnh đề này, muốn vậy ta chuyển mệnh đề trên sang ngôn ngữ toán học như sau: Cho hai đường thẳngd1// d2,nếu

Chứng minh : Nếu d không trùng với d1 hoặc d2 thì ba mặt phẳng (),()

và (d1,d2) phân biệt,khi đó theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có

2 1 2

2

1

1 2

(vì d1 // d2 nên ba đường thẳng đó không

đồng quy).Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Như vậy qua chứng minh mệnh đề trên ta thấy:

- Luận đề : d//d1//d2hoặc hd  d1oặc d  d2

- Luận cứ : + Các giả thiết của mệnh đề

+ Khái niệm hai đường thẳng song song, giao tuyến của hai mặt phẳng và các tính chất kèm theo

+ Định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng : Giả sử ()và ()lần lượt

đi qua hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau, gọi d là giao tuyến của )

( và () khi đó áp dụng định lý về giao tuyến của 3 mặt phẳng (), () và (d1,d2) thì rõ ràng d//d1//d2 hoặc d d1 hoặc d d2 Đó chính là điều phải chứng minh

- Luận chứng : Trong phép chứng minh trên ta sử dụng quy tắc lôgic

A B A,

B

Þ

1.1.3 Các phép chứng minh toán học

Trong Toán học người ta có các phép chứng minh như sau:

a) Phép chứng minh diễn dịch : Phép chứng minh diễn dịch là phép

chứng minh mà dựa trên các tiền đề đã biết (được gọi là các luận cứ) và

chứng minh (được gọi là các luận đề) Trong phép chứng minh diễn dịch người ta chia thành hai loại : phép chứng minh trực tiếp và phép chứng minh gián tiếp (hay còn gọi là chứng minh phản chứng)

*) Phép chứng minh trực tiếp: Phép chứng minh trực tiếp là dựa

trên các luận cứ, những qui tắc suy luận để rút ra luận đề Cơ sở của chứng

minh trực tiếp là các quy tắc suy luận (Modus ponens)

Ta có thể hiểu phép chứng minh này như sau: Giả sử ta phải chứng minh mệnh đề A  B là đúng (A là giả thiết, B là kết luận), ta lập các mệnh đề mới

A1, A2, …, An gọi là các mệnh đề trung gian và chứng minh các mệnh đề sau đây đúng:

Kẻ đường chéo AC, chia hình bình

hành ABCD ra làm hai tam giác ABC và

ADC

(i) Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng tao thành một cát tuyến hai góc so le trong bằng nhau

AD // BC (theo giả thiết)

Vậy CAD  ACB (so le trong)

(ii) chứng minh tương tự, ta được: BAC ACD

(iii) Nếu hai tam giác có một cạnh bằng nhau kề với hai góc bằng nhau từng đôi một thì hai tam giác đó bằng nhau

Hai tam giác ABC và ADC có

cạnh AC chung

CADACB

và BAC ACD theo chứng minh trên

Vậy hai tam giác đó bằng nhau theo trường hợp g – c – g

(iv) Nếu hai tam giác bằng nhau thì đối diện với các cặp góc bằng nhau

là những cặp cạnh bằng nhau

Hai tam giác ABC và ADC bằng nhau, mặt khác hai cạnh AD và BC đối diện với hai góc bằng nhau BAC ACD, hai cạnh AB và CD đối diện với hai góc bằng nhau CAD  ACB

(1) Giáo viên cần nhấn mạnh sơ đồ (1) thông qua những ví dụ

cụ thể như trên để học sinh lĩnh hội quy tắc đó một cách ẩn tàng

Thông thường khi vận dụng quy tắc 1, nếu ABlà một định nghĩa hay định lí thì người ta thường trình bày vắn tắt không nhắc lại định nghĩa hay định lý đó Vì vậy, đoạn chứng minh trên có thể được viết ngắn gọn như sau:

Kẻ đường chéo AC chia hình bình hành ABCD thành hai tam giác ABC và ADC

AD // BC (giả thiết)

Nên CAD ACB (hai góc so le trong)

Chứng minh tương tự ta được:BACACD

Hai tam giác ABC và ADC có: AC cạnh chung; BAC ACD (chứng minh

CADACB (chứng minh trên)

Vậy ABC CDA (g – c – g)

AB CD

  và BCDA

Ví dụ 3: Chứng minh định lý sau:

Với mọi tam giác ABC ta có:

sin sin sin

Tức là: AH AC. .cosHACAH AB. .cosHAB  AC.cosHAC  AB.cosHAB

Vì cos HAC  sin Cvà cos HAB  sin B nên AC.sinCAB.sinB

hay b.sinCc.sinB

Vì sin ,sinC Bđều khác 0 nên

Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O Chứng

minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB và COD tiếp xúc ngoài

với nhau

Giải :

Phân tích:

Gọi M, N lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại

tiếp hai tam giác AOB và COD

Suy ra: MOD NOB, dẫn tới ba điểm M, O, N thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) Suy ra: MN = MO + ON, tức là đoạn nối tâm bằng tổng hai bán kính nên các đường tròn (M) và (N) tiếp xúc ngoài với nhau

Như vậy qua việc chứng minh trên ta đã nhấn mạnh và làm nổi bật cho học sinh quy tắc kết luận lôgíc rất thông dụng là A B A,

B

 Giáo viên cần quan tâm dùng những ví dụ cụ thể bác bỏ những sai lầm do học sinh thường ngộ nhận đó là:

phép chứng minh này thường được sử dụng để trình

bày phép chứng minh hầu hết các định lý trong sách

giáo khoa hoặc trình bày bài giải một bài toán nói chung và lời giải một bài

N

M

O

C B

O

B A

M

đâu ra, làm sao phải tìm) lại bắt đầu từ A Để khắc phục nhược điểm này đòi hỏi

trong quá trình chứng minh giáo viên phải thường xuyên sử dụng pháp phân tích đi lên để giúp người học tìm ra lời giải

+ Phép chứng minh gián tiếp:

Trong thực tế, để chứng minh mệnh đề ABlà đúng, nếu ta chứng minh trực tiếp thì việc chứng minh có thể rất khó khăn Do vậy để chứng minh

AB là đúng ta có thể chứng minh mệnh đề BA là đúng và do vậy theo lí thuyết mệnh đề thì ta có ngay AB là đúng Tức là: Giả sử, ta cần chứng minh mệnh đề AB là đúng, với A là giả thiết Để chứng minh mệnh đề này

là mệnh đề đã cho là đúng, ta phải chứng minh B đúng Muốn vậy ta giả thiết

phản chứng B là sai, tức là B là đúng ta suy ra điều này mâu thuẩn với giả

thiết A hoặc mâu thuẫn với mệnh đề đúng đã biết Điều đó chứng tỏ mệnh đề

BA là sai Vậy kết luận B đúng (theo luật mâu thuẫn) Cơ sở của phép

chứng minh này là ta sử dụng mệnh đề phủ định và sử dụng các phép suy luận diễn dịch ở trên

Ví dụ 5: Chứng minh định lí đảo của định lí “góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung” cụ thể là ta cần chứng minh: Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB) có số đo bằng một nữa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một

tia tiếp tuyến của đường tròn

Bài này ta có thể chứng minh trực tiếp hoặc gián tiếp, tuy nhiên ta có thể trình bày cách chứng minh theo phương pháp chứng minh gián tiếp (chứng minh phản chứng) như sau:

Giả sử tia Ax không phải là tiếp tuyến của (O)

Gọi M là giao điểm thứ hai của Ax với (O) Theo giả thiết ta có:

Giả sử Ax không phải là tiếp tuyến của (O)

Vẽ tia tiếp tuyến Ax’ với (O) nên  ' 1

2

BAx  sđAB

Ta có  1

2

BAx sđAB (gt) Vậy BAx BAx '

Suy ra: Ax trùng với tia Ax’ hay Ax là tiếp tuyến của (O)

b) Chứng minh quy nạp: Phép chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán

học, gọi tắc là chứng minh quy nạp cũng là một phương pháp chứng minh

thường gặp trong Toán học Nội dung của phương pháp này như sau:

Giả sử phải chứng minh mệnh đề P(n) nào đó đúng với mọi số tự nhiên n (P(n) là hàm mệnh đề với số tự nhiên), với na, trong đó a là số tự nhiên cho trước

Ta tiến hành theo các bước như sau:

Bước 1: chứng minh mệnh đề đúng với n = a

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k (ka) nào đó Ta chứng minh mệnh

Bước 3: Kết luận P(n) đúng với mọi n  a

Cơ sở lí luận của phương pháp này là:

Theo bước 1: mệnh đề P(n) đúng với n = a

Theo bước 2: ta có P(a) đúng P(a+1) đúng

P(a+1) đúng P(a+2) đúng

… Phép suy luận không thể dừng lại, nên P(n) đúng n  a

Ví dụ 6: Ta xét bài toán sau:

thẳng nhiều nhất có thể kẻ được là bao nhiêu để cho chúng không cắt nhau ở trong phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng đã cho

Ta nhận thấy, mặc dù bài toán này khong cho rõ việc chứng minh mệnh

đề dạng P n( ) nhưng dễ nhận thấy trong giả thiết của bài toán người ta đề cập đến việc kẻ n điểm, nên thực tế là ta có thể phải chứng minh với mệnh đề dạng P n( ) Do vậy, một trong các hướng chứng minh cho bài toán này là ta nghĩ đến phương pháp quy nạp

Ta có thể phát biểu một bài toán mở rộng của bài toán trên như sau: Cho hai đường thẳng song song Trên đường thẳng thứ nhất ta ghi k điểm theo thứ tự từ trái sang phải là A1, A2, …, Ak và trên đường thẳng thứ hai, ta ghi n điểm theo thứ tự từ trái sang phải là B1, B2, …, Bn

(D') (D)

Thật vậy: Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp như sau:

 Với k = 1 và n = 1: mệnh đề hiển nhiên đúng

 Giả sử (*) đúng với k + n = m, ta chứng minh (*) đúng khi k + n = m + 1

Xem hai điểm cuối Ak và Bn Đoạn thẳng AkBn không cắt bất kỳ đoạn thẳng AiBj khác, i = 1, 2, …, (k – 1) và j = 1, 2, …, (n – 1), do đó tập hợp những đoạn thẳng thoả yêu cầu của bài toán phải chứa đoạn thẳng AkBn Nếu như cả hai điểm Ak và Bn đều được nối với một vài điểm nào đó thì chúng sẽ cắt nhau Do đó một trong hai điểm Ak và Bn không nối với các điểm khác Giả sử Ak không nối với những điểm Bs, s < n còn lại mà chỉ nối với Bn Với (k – 1) + n điểm A1, A2, …, Ak – 1 và B1, B2, …, Bn, từ giả thiết qui nạp, ta kẻ được tối đa là:

(k – 1) + n – 1 = k + n – 2 đoạn thẳng không cắt nhau Từ đó, ta suy ra: với các điểm A1, A2, …, Ak và B1, B2, …, Bn có thể kẻ được tối đa:

( k + n – 2) + 1 = k + n – 1 đoạn thẳng không cắt nhau  đpcm

1.1.4 Các bước giải một bài toán hình học

Cũng như việc giải một bài toán thông thường, quy trình giải một bài toán chứng minh hình học cũng thường phải trải qua các bước sau đây (theo G.Polia [ 17]):

a) Tìm hiểu đề toán:

Theo quan điểm của chúng tôi, để giải được một bài toán, trước hết người học phải hiểu đề bài và ham thích giải bài toán đó Vì thế, bước quan trong nhất trong việc giải một bài toán là giáo viên cần giúp học sinh tìm hiểu

đề bài và chú ý gợi đông cơ, khơi gợi trí tò mò, hứng thú cho các em Để hiểu

rõ đề toán trong một bài toán hình học, trước hết người học cần:

- Nắm vững mọi khái niệm đề cập trong bài toán Cần phải nhớ lại định nghĩa của các khái niệm đó hoặc có thể định nghĩa khái niệm đó bằng những cách khác như thế nào?

- Phải nắm rõ giả thiết và kết luận của bài toán Nghĩa là bài toán cho những gì? Ta phải chứng minh điều gì? Phải tìm cái gì? (làm rõ luận đề và một phần luận cứ của bài toán)

- Dựa vào bài toán đã cho, vẽ hình mô tả nội dung bài toán Hình vẽ sẽ giúp ta hiểu được đề toán một cách cụ thể và rõ ràng hơn Hình vẽ còn tác dụng gợi ý cho việc tìm ra các giải pháp, cách giải và phát triển trí tưởng tượng không gian Nếu cần thiết ta phải vẽ thêm đường phụ cho bài toán Khi

vẽ hình cho bài toán cần lưu ý:

+ Hình vẽ phải mang tính tổng quát, không nên vẽ hình trong trường hợp đặc biệt, vì như thế dễ gây ngộ nhận

+ Nên thể hiện những điều đã cho và những điều cần tìm trên hình vẽ (nếu có thể)

+ Để làm nổi bậc các đường, các hình, trong hình vẽ có sử dụng nét đậm, nét nhạt với màu sắc khác nhau, nét liền hay nét đứt

+ Dựa vào hình vẽ, ghi giả thiết, kết luận của bài toán Việc ghi giả thiết, kết luận giúp ta nắm vững hơn nội dung bài toán, chuẩn bị tốt cho các bước tiếp theo

b) Tìm tòi lời giải bài toán:

Việc tìm tòi lời giải bài toán là một bước quan trọng bậc nhất trong hoạt động giải toán Điều cơ bản của bước này là biết định hướng đúng để tìm

ra được nhanh chóng hướng giải bài toán Để tìm tòi lời giải bài toán cần:

* Hãy nghĩ đến những bài toán có liên quan: Những bài toán liên quan có

thể là những bài toán tương tự với những bài toán đã cho hoặc là những bài toán tổng quát hơn bài toán đã cho, hoặc là trường hợp đặc biệt của bài toán

đã cho, hoặc những bài toán liên quan chứa đựng một phần giả thiết hoặc một phần kết luận của bài toán cần chứng minh Nghĩ đến những bài toán liên quan để tìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp giải các bài toán đó

Ví dụ 7: Cho tam giác nhọn ABC, xác định một tam giác MPQ có chu vi bé

nhất, nội tiếp tam giác ABC (có nghĩa là các đỉnh M, N, P của tam giác MNP lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, BA của tam giác ABC)

Bài toán trên cho ta gợi nhớ đến bài toán quen thuộc sau đây ở lớp 8:

Bài toán liên quan: Cho góc nhọn xOy và một điểm M nằm trong góc đó Hãy xác định điểm A, B lần lượt nằm trên hai tia Ox, Oy sao cho chu vi của tam giác ABM bé nhất

Bài toán này được giải quyết như sau:

Gọi M’, M” là các điểm đối xứng với

M lần lượt qua Ox, Oy Gọi A, B lần lượt là

giao điểm của M’M”với Ox và Oy

Ta có: chu vi tam giác MAB bằng:

MA + MB + AB = M’A + M”B + AB

= M’M”

Với hai điểm A’, B’ bất kì khác A, B trên tia Ox, Oy ta có chu vi tam giác MA’B’ bằng:

MA’ + MB’ + A’B’ = M’A’ + M”B’ + A’B’

> M’M” vì đường gấp khúc M’A’B’M” bao giờ cũng

có độ dài lớn hơn đường thẳng M’M”

Vậy các điểm A, B như đã xác định ở trên tạo thành một tam giác có chu

vi bé nhất thoả yêu cầu đề toán

Từ bài toán đó và cách giải của nó ta tìm thấy lời giải của bài toán ban đầu như sau:

Gọi MPQ là tam giác nội tiếp tam giác

ABC thoả yêu cầu đề toán

Gọi M’, M” lần lượt là các điểm đối xứng

của M qua AB, AC:

M'

M"

O

M B'

A'

P Q

A

M

Suy ra M là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC

Bằng cách lập luận tương tự ta có P và Q là đường cao hạ từ B và C của tam giác ABC

Ví dụ 8: Cho hình thang ABCD với hai cạnh AB và CD song song Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O

Để chứng minh bài toán này ta cần cho học sinh xét bài tập sau:

Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm M tuỳ ý Đường thẳng qua M và song song với AB cắt AC ở P Đường thẳng

qua M và song song với AC cắt AB tại Q

Chứng minh rằng 1

2

S  S , và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là trung điểm của

K Q

P

A

M

AB cắt BC tại H và cắt QM kéo dài tại G

Khi đó, MQ = MG suy ra:

QBM = GHM (g.c.g)

Từ đó, ta có: 2S APMQ S AKGQ S ABHK S ABC

Xét tương tự cho trường hợp MB > MC

Cho tam giác ABC Trên cạnh

BC lấy điểm M tuỳ ý Đường thẳng

qua M và song song với AB cắt AC ở

P Đường thẳng qua M và song song

với AC cắt AB tại Q Tìm vị trí của M để SAPMQđạt giá trị lớn nhất Tính

Xét tam giác AEC, có AODF là hình bình hành nội tiếp, nên theo ví dụ trên ta có:

12

AOB EFD

Ta lại có: S AOD S BOC S ADF Suy ra:

Từ (1), (2) và (3) ta có:

12

b Theo kết quả ví dụ xét trên, thì tổng diện tích hai tam giác OAB và OCD nhỏ nhất khi O, D lần lượt là trung điểm của AC và CE, nghĩa là AB = ED =

CD tức là ABCD là hình bình hành

* Tìm cách lấy thêm các điểm phụ, vẽ thêm các đường phụ thậm trí là dựng

thêm các hình phụ Các điểm phụ, đường phụ và hình phụ này nhiều khi giúp ta tìm ra các mối quan hệ mới, từ đó giải quyết yêu cầu đạt ra của bài toán

Ví dụ 9: Cho góc xOy Một tứ giác

ABCD có A, B nằm trên Ox; C, D nằm

trên Oy sao cho AB = CD Gọi M và N

là trung điểm hai cạnh AD và BC

M'

B'

A'

N M

D

O

B C

A

sẽ chứa tia phân giác Oz

Từ nhận xét đó ta suy ra cách vẽ thêm các đường phụ cho hình như sau: Trên tia Oy ta lấy hai điểm A’ và B’ sao cho OA’ = OA và OB’ = OB Khi đó AA’B’B là hình thang cân Gọi M’ và N’ là trung điểm các cạnh AA’ và BB’ thì M’, N’ nằm trên tia Oz

Vẽ thêm hình phụ xuất phát từ yêu cầu đề toán

Từ M kẻ tia Mx’ // Ox và tia My’ // Oy và chứng minh rằng MN là phân giác của góc x’My’

Từ B kẻ tia Bt song song với AD cắt

tia My’ tại P

Từ C kẻ tia Ct’ song song với AD cắt

Từ đó ta có tam giác MPQ là tam giác cân tại M và chứng minh được

MN là phân giác của góc PMQ

x

y

z x'

y' P

Q

M

N D

O

B C

A

Cách 3:

Nhận xét: Nếu lấy đường thẳng (d)

Oz, để MN song song với Oz thì

MN  (d)

Ta vẽ hình phụ như sau:

Lấy trên tia Ox và Oy hai điểm R, S

sao cho OR = OS, ta được tam giác ORS cân tại O Do đó Oz RS

N M

O K L

H' H

* Tìm tòi lời giải bằng cách xét một số trường hợp đặc biệt hay tương tự:

Có thể tìm tòi lời giải bằng cách xét một số trường hợp đặc biệt hay tương

tự Việc xét các trường hợp này có thể giúp học sinh dự đoán được kết quả cần tìm

Ví dụ 11: Cho hai điểm cố định B, C Với mỗi điểm A trên mặt phẳng ta ta

dựng các hình vuông ACPQ và ABRS sao cho các góc định hướng PCA và ABR cùng bằng 2

2 k

 Chứng minh rằng đường thẳng PR luôn luôn đi qua

một điểm cố định

Phân tích tìm tòi lời giải:

Trước hết ta xác định điểm nào là điểm cố định

Xét hai vị trí đặc biệt của đường thẳng PR: ABvà AC

Tuy nhiên hãy thử giải toán với một hạn chế là điểm A thay đổi trên đoạn BC

I

O J R

P Q

S

Gọi I, J lần lượt là tâm hình vuông ABRS và ACPQ thì I và J là trung điểm của hai cạnh AR và AP của tam giác vuông PAR

Nếu O là trung điểm PR thì OI // AP nên O nằm trên đường chéo BS

Tương tự OJ // AR nên O nằm trên đường chéo CQ

Suy ra BOC là tam giác vuông cân đỉnh O và góc định hướng BOC

2 k

Vậy điểm O hoàn toàn xác định và PR đi qua O Kết hợp với

O là trung điểm của PR

Từ đó suy ra lời giải trong trường hợp tổng quát như sau:

Gọi O là điểm sao cho BOC là tam giác vuông cân đỉnh O và góc định hướng BOC bằng 2

Khi đó QBoQC biến điểm P thành điểm R

Gọi D1, D2, D3 lần lượt là các phép đối xứng qua các đường thẳng OC,

CB và OB thì QC = D2oD1 và QB = D3oD2

Vậy QBoQC = D3oD2oD2oD1 = D3oD1

Vì hai trục OC và OB của hai phép đối xứng D1 và D3 là vuông góc với nhau nên tích QBoQC là phép đối xứng qua O Vì phép đối xứng đó biến P thành R nên O là trung điểm của PR

Ví dụ 12: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng ta lấy theo thứ tự các điểm

D và E trên các đoạn thẳng BA và CA sao cho BD = CE Gọi M, N là trung

điểm của BC và DE, đường thẳng qua MN lần lượt cắt AB và AC tại P và Q

Phân tích tìm lời giải:

Gọi O là trung điểm của DC, khi đó:

Muốn chứng minh NPB MQC ta chứng minh

QPAMQC (1) Muốn chứng minh (1) ta chứng minh

Vì O là trung điểm DC và MB = MC, ND = NE nên (4) đã biết

Vậy muốn giải bài toán trên ta xuất phát từ (4) trình bày ngược lên (1) Như vậy, trong khi tìm tòi lời giải bài toán chứng minh hình học ta thường sử dụng sơ đồ phân tích ngược Tức là để chứng minh mệnh đề A của bài toán ta rất khó khăn trong việc tìm tòi lời giải thông qua sơ đồ phân tích thuận, ta có thể phân tích tìm tòi lời giải bài toán bắt đầu từ kết quả cần chứng minh

Giả sử để chứng minh được mệnh đề A ta cần có mệnh đề An đúng, để

có An đúng ta cần chứng minh An-1 đúng, …, để chứng minh A2 đúng ta cần

có mệnh đề A1 đúng Mà A1 là giả thiết mà bài toán đã cho là đúng Vậy ta có

A đúng

c) Trình bày lời giải bài toán:

Khi đã biết cách giải bài toán cần phải trình bày lời giải một cách chính xác, mạch lạc, gọn gàng và sáng sủa Trình tự trình bày bài toán có thể khác

(4)

1.2.1 Khái niệm tư duy

Theo quan điểm triết học tư duy biện chứng (xem [13]) thì : Tư duy là sản phẩm cao nhất của dạng vật chất được tổ chức một cách đặc biệt ở bộ não,

là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan vào bộ não con người Sản phẩm của quá trình tư duy được phẩn ánh trong các khái niệm, phán đoán, lý luận, Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và bảo đảm phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối quan hệ phù hợp quy luật của thực tại

- Các đặc điểm của tư duy : Tư duy có các đặc điểm sau (xem [13]):+ Tư duy là sản phẩm của bộ não con người, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan

+ Kết quả của quá trình tư duy là một khái niệm, một phán đoán thường được thể hiện thông qua ngôn ngữ

+ Khó khăn lớn nhất của tư duy là khả năng phân biệt sự tồn tại độc lập của đối tượng được phản ánh,với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động suy nghĩ của con người nhằm phản ánh đối tượng

+ Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo

+ Khách thể trong hoạt động của tư duy được phản ánh ở nhiều mức độ

khác nhau, từ thuộc tính này đến thuộc tính khác, phụ thuộc vào chủ thể của hoạt động tư duy,

1.2.2 Những điều kiện ảnh hưởng đến năng lực tư duy

Cơ sở của năng lực tư duy bao hàm cả mặt tự nhiên - sinh học và mặt xã hội - tinh thần Do đó, năng lực tư duy mạnh về loại hình nào, cao hay thấp, được phát triển như thế nào, phụ thuộc vào rất nhiều điều kiện, yếu tố phức tạp của từng người và môi trường đời sống xã hội mà họ hoạt động trong đó Cụ thể là:

Thứ nhất, năng lực tư duy phụ thuộc vào đặc tính bẩm sinh do cấu tạo

của hệ thần kinh trung ương, tâm sinh lý ở từng người Đây là cơ sở sinh học của năng lực tư duy không thể coi nhẹ Khoa sinh vật học, di truyền học ngày nay đã xác định sự thông minh của con người có cơ sở từ huyết thống, từ đặc điểm của hệ thần kinh, từ đặc điểm của nhóm máu, từ gen di truyền Ăngghen cũng coi năng lực tư duy lý luận chỉ là một đặc tính bẩm sinh dưới dạng năng lực của người ta mà có thôi Tuy nó chỉ ở dạng khả năng, tức là như một khả năng vốn có bắt nguồn từ năng lực phản ánh của óc người, nhưng không có khả năng thì không có hiện thực ([14])

Thứ hai, năng lực tư duy phụ thuộc vào phương thức sản xuất, môi

trường văn hóa, xã hội với tư cách là những yếu tố tạo nhu cầu cho sự phát triển tư duy, và cũng thể hiện trình độ tư duy mà con người đã đạt được Năng lực tư duy phải được phát triển trong môi trường xã hội dân chủ, tự do, phát triển cá tính, cung cấp nhiều chiều thông tin, có tình huống, mâu thuẫn cần giải quyết thì mới phát triển tư duy

Thứ ba, Năng lực tư duy phụ thuộc vào trình độ khoa học và nghệ thuật

của xã hội mà loài người đạt được trong quá trình sáng tạo và sử dụng Đồng thời, năng lực tư duy cũng phụ thuộc trực tiếp vào hoạt động giáo dục, đào tạo,

thức nội dung và tri thức phương pháp) Tính độc lập tương đối và tính năng động của tư duy được tạo ra trực tiếp từ tác động của những nhân tố trí tuệ trong giáo dục, đặc biệt là công nghệ đào tạo

Thứ tư, điều kiện, nhân tố cơ bản ảnh hưởng đến năng lực tư duy xét đến

cùng là hoạt động thực tiễn Hoạt động là nguồn gốc của mọi năng lực, đặc biệt là năng lực tư duy, chính thông qua hoạt động và bằng hoạt động mà tư duy phản ánh được phương thức, quy luật tồn tại của sự vật, hiện tượng, tạo ra phương thức nội dung mới trong năng lực tư duy và rèn luyện cho tư duy một năng lực phát triển và giải quyết vấn đề

Thứ năm, nhu cầu, lợi ích - động cơ, cảm xúc tâm sinh lý của chủ thể cũng

ảnh hưởng trực tiếp đến động cơ hoạt động để hình thành rèn luyện và nâng cao năng lực tư duy Đây là động lực bên trong rất quan trọng quyết định nhân cách của con người cả về mặt đạo đức, bản lĩnh và tư duy

Trong tất cả các điều kiện, nhân tố nói trên, nhân tố xã hội và sự rèn luyện bản thân giữ vai trò quyết định Nhân tố bẩm sinh rất quan trọng nhưng

nó là khả năng, là tiền đề ban đầu Không có môi trường thực tiễn, không thông qua học tập phấn đấu thì khả năng và những tiền đề ban đầu đó của con người sẽ bị mai một dần Chính nhờ hoạt động xã hội trong quá trình tiếp thu, tập luyện nâng cao trình độ trí tuệ và phương pháp tư duy khoa học trong học tập và kinh nghiệm thực tiễn đã biến khả năng bẩm sinh của năng lực tư duy thành hiện thực Đồng thời nhân tố tinh thần cũng tạo thành một cơ sở mới của năng lực tư duy Đến lượt nó, năng lực này phải tiếp tục được phát huy sử dụng mới có tính hiện thực Với ý nghĩa ấy, có thể nói “di truyền xã hội” bao gồm cả hai yếu tố tự nhiên - sinh học và yếu tố xã hội - thực tiễn là yếu tố trực tiếp và chủ yếu tạo thành nguồn gốc của năng lực tư duy

1.2.3 Rèn luyện các thao tác của tư duy cho HS trong DH hình học

Để giải quyết thành công bài toán nói chung và bài toán hình học nói riêng, điều quan trọng nhất đối với người dạy và học là phải biết xây dựng tri

thức mới xuất phát từ những tri thức ban đầu Để đạt được điều này giáo viên dạy toán cần rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy như khả năng suy đoán và tưởng tượng, tư duy lôgíc và ngôn ngữ chính xác, những yếu tố cấu thành năng lực trí tuệ, những tố chất cần phải có để học tập môn toán, cũng như những tố chất mà trong học toán mang lại

a) Phân tích và tổng hợp

Phân tích và tổng hợp được nhìn nhận dưới nhiều góc độ, chẳng hạn dưới góc độ của ngôn ngữ học, tâm lí học hoặc giáo dục học Theo quan điểm của giáo dục học (Theo Nguyễn Bá Kim [11] ) ta có thể hiểu về phân tích và tổng hợp như sau:

- Phân tích: Là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những bộ phân riêng lẻ

- Tổng hợp: Là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật liên kết nhiều vật thành một hệ thống

Vậy phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng là hai mặt của một quá trình thống nhất

Ví dụ 13 : Khi ta phải chứng minh: “Trong một hình lăng trụ có các mặt

bên là các hình chữ nhật thì cạnh bên vuông góc với đáy” Ta thực hiện như sau: Tách một bên là ADD’A’ của lăng trụ ra khỏi

các mặt khác, ta thấy: ADD’A’ là hình chữ nhật

nên AA’ A’D (1) (phân tích)

Tách mặt bên A’B’BA ra khỏi các mặt khác,

tương tự ta có AA’AB (2) (phân tích)

Liên kết (1) và (2) ta có AA’ (ABCD)

A

CD

tổng hợp và phải thành thạo phân tích và tổng hợp để có năng lực tư duy về suy luận này, đồng thời hướng dẫn, rèn luyện học sinh có khả năng phân tích và tổng

hợp Trong hoạt động giải toán, trước hết phải quan sát một cách tổng hợp để nhận dạng bài toán thuộc loại gì cần huy động những kiến thức nào, sau đó phân tích cái đã cho và cái phải tìm, hoặc phân tích ra nhiều bài toán nhỏ, phân tích các mối liên hệ giữa các yếu tố để tìm lời giải Thông thường khi tìm tòi lời giải,

ta dùng phương pháp phân tích nhiều hơn, nhưng khi trình bày lời giải, ta dùng phương pháp tổng hợp cho gọn Các kiến thức trong sách giáo khoa thường được trình bày theo phương pháp tổng hợp cho cô đọng, súc tích Khi dạy học toán, giáo viên nên có những câu hỏi dẫn dắt phân tích để rèn luyện kỹ năng phân tích cho học sinh

Ví dụ 16: Chứng minh rằng nếu một hình lăng trụ có các mặt bên là hình chữ nhật thì cạnh bên vuông góc với đáy

Ta có thể thực hiện cả phân tích và tổng hợp, quá trình này được mô tả

+ Liên kết hai kết quả (1) và (2) ta có AA’  (ABCD)

Ở bước này ta nhìn A’A với tư cách là cạnh bên của hình lăng trụ, khác với hai bước trước, nhìn A’A với tư cách là cạnh của hình chữ nhật ta có điều phải chứng minh

Tác dụng trong dạy học toán

Từ ví dụ đơn giản trên, ta thấy rằng phân tích và tổng hợp là hai thao tác tư duy trái ngược nhau nhưng lại liên hệ chặt chẽ với nhau trong một thể thống nhất: đó là quá trình nhận thức

Do đó trong dạy học toán, phân tích và tổng hợp có tác dụng to lớn như sau + Nhờ phân tích mà học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trường hợp riêng lẻ nằm trong một khái niệm, một định lí…

+ Từ những thuộc tính riêng lẻ của một số các đối tượng nào đó, học sinh tổng hợp lại để nhận biết chính xác, đầy đủ một khái niệm, một định lí hay một vấn đề có tính chất toán học nào đó

Đây là hai thao tác cơ bản được luôn luôn sử dụng để tiến hành những thao tác khác

Ví dụ 17: Cho tam giác ABC cân tại A Trên tia đối của tia BC lấy điểm D,

trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE Kẻ BH vuông góc với

AD, kẻ CK vuông góc với AE Chứng minh rằng: BH = CK

Phân tích:

Ta nhận thấy BH là đường cao trong

tam giác ABD, CK là đường cao trong

tam giác ACE Vậy để chứng minh BH =

CK ta cần chứng minh ABD = ACE

Để chứng minh ABD = ACE ta

cần chứng minh hai cặp cạnh và góc xen giữa chúng bằng nhau

Tổng hợp để trình bày lời giải:

Xét hai tam giác ABD và ACE ta có:

BD = CE (gt)

ABD ACE (cùng bù với góc hai bằng nhau là ABC và ACB)

AB = AC ( tam giác ABC cân tại A)

Suy ra: ABD = ACE

Mà BH và CK là hai đường cao tương ứng nên BH = CK

Khi dạy khái niệm:

Tập cho học sinh phân tích các thuộc tính bản chất của mỗi khái niệm để từ

đó tổng hợp lại để hiểu sâu sắc hơn khái niệm đó, đồng thời giúp học sinh biết phân biệt khái niệm này với các khái niệm khác hoặc để tìm ra mối liên hệ giữa các khái niệm gần gũi nhau

Ví dụ 18:

Phân tích các thuộc tính bản chất của khái niệm “Tia phân giác của góc” để hiểu sâu sắc hơn khái niệm này (Toán 6) như sau:

• Oz là tia phân giác của góc xOy nếu (và chỉ nếu):

Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy

xOz  zOy

• Oz là tia phân giác của góc xOy nếu (và chỉ nếu)

K H

E D

A

C B