Dựa trên những tư tưởng chủ đạo của quan điểm hoạt động cần phân bậc hoạt động chứng minh để điều khiển học sinh học tập hoạt động này. Sự phân bậc theo một tiêu chí bao quát là căn cứ vào tính độc lập của hoạt động của học sinh thể hiện ở ba mức độ:
a) Hiểu chứng minh :
Tức là yêu cầu người học đọc một lời chứng minh một bài toán và phải tìm được các luận cứ (các khái niệm, định lí được dùng trong chứng minh đó), phân tích để tìm ra các quy tắc logic dùng trong đó. Hoặc các ví dụ mà lời chứng minh bị đảo lộn và yêu cầu HS sắp xếp lại cho đúng.
Ví dụ 43 : Cho học sinh đọc lời chứng minh bài toán sau :
Chứng minh rằng nếu tam giác có hai trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó
là tam giác cân. Chứng minh:
BE là đường trung tuyến EA = EC CF là đường trung tuyến FA = FB
Gọi G là trọng tâm của ABC nên BG = 2GE, CG = 2GF. BF = CF (gt) FG = EG; BG = CG BG = 2GE; CG = 2GF xét BGF và CGE ta có: BG = CG BGF = CGE FG = EG
GT ABC; BE, CF là các đường trung tuyến BE = CF KL ABC cân G E F C B A
Nên BGF = CGE (c.g.c). Suy ra: BF = CE. FA = FB; EA = EC AB = AC BF = CE
Vậy ABC cân tại A.
Yêu cầu học sinh chỉ ra được luận cứ (khái niệm trung điểm của đoạn thẳng, đường trung tuyến của tam giác,hai tam giác bằng nhau) phân tích để tìm ra quy tắc logic trong đó : Ta thấy rằng cách chứng minh trên dựa vào quy tắc suy luận sau đây: “nếu mệnh đề (pq) và mệnh đề p đúng thì mệnh đề q đúng”. Mệnh đề (pq) ở đây là: “nếu tam giác có hai trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân”
Ví dụ 44 : Xét bài toán : “ Cho ABC với trọng tâm G, trực tâm H và tâm
đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh ba điểm G, H, O thẳng hàng và
2
GH GO.’’
* Lời giải đúng của bài toán trên là :
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Khi đó :
+ MN, NP, PM là các đường trung bình của ABC và MN // AB, NP//BC, PM//AC
+ O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC nên OM BC, ON CA, OP AB GT ABC có trọng tâm G , trực tâm H và O
là tâm đường tròn ngoại tiếp
KL G, H, O thẳng hàng và GH 2GO P N G M H O C A B
Như vậy ta có :
+ OM NP ; ON PM ; OP MN O là trực tâm của MNP + V(G,–2)(MNP) = ABC
V(G,–2)(O) = H
GH 2GO G, H, O thẳng hàng, ta được điều phải chứng minh. * Xáo trộn lời giải bài toán trên :
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
+ OM NP ; ON PM ; OP MN O là trực tâm của MNP + G là trọng tâm ABC nên GA2GM;GB2GN;GP2GC
+ MN, NP, PM là các đường trung bình của ABC và MN // AB, NP//BC, PM//AC
+ O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC nên OM BC, ON CA, OP (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
AB
+ V(G,–2)(MNP) = ABC
V(G,–2)(O) = H
GH 2GO G, H, O thẳng hàng, ta được điều phải chứng minh. * Yêu cầu HS sắp xếp lại để được lời giải đúng.
b) Trình bày lại đƣợc chứng minh :
Tức là yêu cầu HS trình bày lại lời chứng minh của một bài toán mà họ đã được đọc. bằng cách sắp xếp lại lời chứng minh, hoặc có thể bằng cách chứng minh khác gần với cách chứng minh đã đọc.
Ví dụ 45 : Cho HS đọc lời chứng minh bài toán sau :
“ Trong hình vuông ABCD lấy điểm E sao cho ECD là tam giác cân tại đỉnh E, có các góc tại đỉnh C và D bằng 150
Chứng minh:
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Ta có CED cân tại E E MN. Suy ra EAB cân tại E
Giả sử EAB không phải là tam giác đều. Vậy tồn tại điểm F MN, F ≠ E, sao cho FAB là tam giác đều. Suy ra FA AB FA AD
AB AD
. Vậy FAD cân tại F. Và 1800 300 0 75 2 ADE . Suy ra: 0 0 0 90 75 15 CDF .
Như vậy có hai tia DF và DE trùng nhau cùng tạo với tia DC một góc 150 và cùng nằm về một phía đối với đường thẳng CD. Nên đây là điều vô lí.
Vậy EAB đều
* Yêu cầu HS tìm cách chứng minh khác tương tự Cách 2 :
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Ta có CED cân tại E E MN.
Suy ra EAB cân tại E EA = EB (1) Lấy điểm I nằm trong hình vuông ABCD sao cho AID cân có các góc ở đỉnh A và D đều bằng 150
. Suy ra 0 0 0 0
180 15 15 150
AID
Ta có: CED = AID (g.c.g) nên ED = ID
0 0 0 0
90 15 15 60
IDE
Suy ra IDE là tam giác đều ID = IE và 0 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
60 EID nên: E M N B A C D F 1500 600 I E M N B A C D
Vậy AIE = AID (c.g.c) AE = AD = AB. (2) Từ (1) và (2) suy ra: AEB đều.
Ví dụ 46 : Hướng dẫn HS đọc lời giải bài toán sau và yêu cầu tìm ra nhiều
cách giải tương tự :
“Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến CD. Trên tia đối của tia BA
lấy điểm K sao cho BK = BA. Chứng minh rằng CD = 2 1
CK ” * Cách 1 :
Gọi E là trung điểm của AC BE là đường trung bình của AKC
BE = 2 1 CK (1) Xét BDC và CEB có : BD = 2 1 AB = 2 1 AC = CE ; cạnh BC chung ; ECB DBC BDC = BDC suy ra BD = CE (2) Từ (1) và (2) suy ra CD = 2 1 CK (đpcm)
* Cách 2 :
Trên tia đối của tia CA lấy điểm M sao cho CA = CM ; CD là đường trung
bình của ABM CD = 2 1 BM (1) Xét KBC và MCB có : cạnh BC chung ; KBCMCB; KB = AB = AC = CM như vậy KBC = MCB CK = BM (2) Từ (1) và (2) suy ra CD = 2 1 CK (đpcm)
c) Độc lập tiến hành chứng minh thông qua việc sử dụng các bài tập có phân bậc
Ví dụ 47 : Yêu cầu học sinh độc lập chứng minh lần lượt các bài toán sau :
Bài toán 1:
Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Gọi M là trung điểm của đường cao AH, D là giao điểm của cạnh AB với đường thẳng CM. Chứng minh rằng 1
3
AD AB
Lời giải:
Ta có: ABC cân tại A, nên AB = AC AH là đường cao
Gọi E là trung điểm BD, ta có:
BE ED BH CH E D M A
Suy ra: EH // CD + Trong AEH ta có: // AM MH MD EH
MD là đường trung bình của AEH. Suy ra: AD = DE Vậy ta có: AD DE AD DE EB DE EB hay AD13AB.
Nhận xét: Dữ kiện “đường cao AH” được sử dụng để có BH = HC mà không cần đến điều kiện 0
90
AHC . Nếu thay dữ kiện này bởi “trung tuyến AM” thì ta có bài toán mới, khi đó điều kiện tam giác ABC cân không cần thiết. ta có bài toán sau:
Bài toán 2: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Gọi H là trung điểm cảu AM, D là giao điểm của AB và CH. Chứng minh 1
3
AD AB. Với bài toán này được giải tương tự như trên
Xét bài toán đảo của bài toán 2, ta có:
Bài toán 3:
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Gọi D là một điểm thuộc cạnh
AB sao cho 1 3
AD AB. Gọi H là giao điểm của CD và AM. Chứng minh rằng
H là trung điểm của AM.
Lời giải:
Kẻ ME // CD (E AB), trong tam giác BCD, ta có: // BM MC EM ME CD là đường trung bình
Suy ra: BE = ED.
E D H M B A C
Theo giả thiết ta có 1 3 (*)
3
AD ABAB AD .
Mà AD = AB – BD = AB – 2DE AB = AD + 2DE. Thế vào (*) ta được AD = DE.
Vậy trong AEM ta có: // AD DE DH ME CD là đường trung bình AH = HM. Nhận xét 2:
Từ kết quả của bài toán 3 ta thấy:
+ CD đi qua trung điểm của AM. Nếu lấy K trên cạnh AC sao cho 1
3
AK AC thì tương tự BK cũng đi qua trung điểm H của AM. Từ nhận xét ta có bài toán sau:
Bài toán 4:
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Các điểm A, K lần lượt nằm trên
các cạnh AB và AC sao cho 1 3
AD AB và 1
3
AK AC. Chứng minh rằng các đường thẳng AM, BK và CD đồng quy.
Việc giải bài toán này tương tự như những bài toán trên. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Trên cạnh AB xác định các điểm D, E sao cho AD = DE = EB.
Trên cạnh AC xác định các điểm K, Q sao cho AK = KQ = QC. Gọi H là giao điểm của AM và BK,
ta có MQ // BK
Trong tam giác AMQ ta có:
AK KQ Q E D H M B A C K
Chứng minh tương tự, ta có CD đi qua trung điểm H của AM. Vậy AM, BK và CD đồng quy tại trung điểm H của AM.
Tóm lại, thực chất việc dạy học các bài tập dạng chứng minh cũng giống như dạy học định lí. Dù vậy việc dạy học định lí hay là giải bài tập đều nhằm mục đích là hình thành ở học sinh khả năng chứng minh hình học.
Ba mức độ này chỉ so sánh được với nhau đối với cùng một bài toán. Thật vậy, hiểu chứng minh ở một bài toán khó rất có thể khó khăn hơn độc lập chứng minh ở một bài toán dễ.
2.3 Kết luận chƣơng 2
Trong Chương 2, Luận văn đã góp phần làm rõ tiềm năng của việc phát triển năng lực chứng minh hình học cho học sinh thông qua dạy học Hình học; đặc biệt là đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm làm rõ hơn tính khả thi của phương hướng dạy học này, góp phần quan trọng vào việc hoàn thành nhiệm vụ giáo dục toàn diện trong giai đoạn hiện nay.
CHƢƠNG III. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1. Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm
3.1.1 Mục đích thực nghiệm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành để kiểm nghiệm tính đúng đắn của giả thuyết khoa học, kiểm nghiện tính khả thi, tính hiệu quả của một số biện pháp đã đề xuất trong luận văn, đồng thời kiểm tra năng lực vận dụng kiến thức hình học vào thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông.
3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm
+ Thiết kế giáo án đã đề ra và tổ chức giờ dạy thực nghiệm tại trường THPT Hiệp Hòa số 2, xã Bắc Lý , huyện Hiệp Hòa, tỉnh Bắc Giang.
+ Kiểm tra và đánh giá kết quả thực nghiệm thông qua thái độ, khả năng nhận thức của học sinh.
3.2 Nội dung thực nghiệm.
Trong chương 1 đã đề cập đến năng lực chứng minh hình học cho học sinh trung học phổ thông bao gồm nhiều khía cạnh, nhiều mặt. Các biện pháp trong chương 2 cũng chỉ góp phần vào việc phát triển năng lực chứng minh Hình học cho học sinh. Do đó trong thực nghiệm sư phạm không đề cập hết nội dung của các biện pháp này mà chỉ thể hiện được một vài nội dung cụ thể của từng biện pháp. Vì vậy chúng tôi chọn những bài dạy trong chương trình thuận lợi cho việc tích hợp các tình huống bồi dưỡng năng lực chứng minh. Từ đó chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm bài: “Các hệ thức lượng trong tam giác” (2t) Sách giáo khoa Hình học 10 (Chương trình Chuẩn) ; bài “Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song”(1t) và bài “Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng”(1t) Sách giáo khoa lớp 11(Chương trình chuẩn).
3.3. Tổ chức thực nghiệm:
3.3.1 Đối tượng thực nghiệm
b) Thời gian thực nghiệm: Thực nghiệm được tiến hành theo 2 đợt :
Từ 15/11/2014 đến ngày 20/01/2014 và từ 09/03/2014 đến ngày 20/03/2014.
c) Đối tƣợng thực nghiệm: Thực nghiệm được tiến hành trên 2 khối, khối 10
và khối 11. - Khối 11:
+ Lớp thực nghiệm là HS lớp 11A8, trường THPT Hiệp Hòa số 2, xã Bắc Lý , huyện Hiệp Hòa, tỉnh Bắc Giang.Giáo viên giảng dạy lớp 11A8 là thầy Nguyễn Trung Kiên.
+ Lớp đối chứng là HS lớp 11A6, trường THPT Hiệp Hòa số 2, xã Bắc Lý , huyện Hiệp Hòa, tỉnh Bắc Giang. Giáo viên giảng dạy lớp đối chứng là cô Đỗ Thu Hường
Hai lớp này có sĩ số và học lực tương đương nhau. - Khối 10: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
+ Lớp thực nghiệm là lớp 10A1, trường THPT Hiệp Hòa số 2, xã Bắc Lý , huyện Hiệp Hòa, tỉnh Bắc Giang. Giáo viên dạy lớp thực nghiệm là thầy Vũ Văn Công
+ Lớp đối chứng là lớp 10A3, trường THPT Hiệp Hòa số 2, xã Bắc Lý , huyện Hiệp Hòa, tỉnh Bắc Giang.Giáo viên dạy lớp đối chứng là thầy Lê Văn Minh
- Việc giảng dạy được tiến hành giảng dạy theo kế hoạch bài dạy đã được thiết kế theo định hướng đổi mới PPDH nhằm phát triển năng lực chứng minh cho học sinh. Sau mỗi tiết học ấy, cho các em làm bài kiểm tra 10 phút nhằm khảo sát mức độ nắm bài cũng như khả năng vận dụng kiến thức mới của các em qua tiết học.
3.3.2 Tiến trình thực nghiệm
- Thiết kế bài soạn và tiến hành giảng dạy 2 tiết thuộc sách giáo khoa Hình học 10 (Chương trình chuẩn) và 2 tiết thuộc sách giáo khoa Hình học
lớp 11( chương trình chuẩn) .Bài soạn của mỗi tiết dạy đảm bảo các nội dung: - Xác định rõ trọng tâm, kĩ năng cần đạt được của bài
- Tính phù hợp về thời gian và trình độ nhận thức chung của học sinh về chứng minh Hình học .
- Các câu hỏi và gợi ý sử dụng trong quá trình dạy học giúp học sinh phát triển năng lực chứng minh Hình học và áp dụng vào bài Toán cụ thể. Dưới đây là các giáo án thực nghiệm :
GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM 1
§3. HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC (tiết 1)
I. MỤC TIÊU: 1. Kiến thức:
Nắm được các định lí côsin, định lí sin trong tam giác.
Nắm được các công thức tính độ dài trung tuyến, diện tích tam giác.
2. Kĩ năng:
Biết vận dụng các định lí côsin, định lí sin để tính cạnh hoặc góc của một tam giác.
Biết sử dụng công thức tính độ dài trung tuyến và tính diện tích tam giác.
Biết giải tam giác và biết thực hành việc đo đạc trong thực tế.
3. Thái độ:
Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Vận dụng kiến thức đã học vào thực tế.
II. CHUẨN BỊ:
Giáo viên: Giáo án. Hình vẽ minh hoạ.
Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ.
III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp.
2. Kiểm tra bài cũ: (3')
Câu hỏi : Nhắc lại định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ?
3. Giảng bài mới: Hoạt động của
Giáo viên Hoạt động của Học sinh Ghi bảng (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hoạt động 1: Ôn tập hệ thức lƣợng trong tam giác vuông
Cho HS nhắc lại các hệ thức lượng trong tam giác vuông. Các nhóm lần lượt thực hiện yêu cầu. B A C H b c a b’ c’ h I. Hệ thức lƣợng trong tam giác vuông