Để giải quyết thành công bài toán nói chung và bài toán hình học nói riêng, điều quan trọng nhất đối với người dạy và học là phải biết xây dựng tri
thức mới xuất phát từ những tri thức ban đầu. Để đạt được điều này giáo viên dạy toán cần rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy như khả năng suy đoán và tưởng tượng, tư duy lôgíc và ngôn ngữ chính xác, những yếu tố cấu thành năng lực trí tuệ, những tố chất cần phải có để học tập môn toán, cũng như những tố chất mà trong học toán mang lại.
a) Phân tích và tổng hợp
Phân tích và tổng hợp được nhìn nhận dưới nhiều góc độ, chẳng hạn dưới góc độ của ngôn ngữ học, tâm lí học hoặc giáo dục học. Theo quan điểm của giáo dục học (Theo Nguyễn Bá Kim [11] ) ta có thể hiểu về phân tích và tổng hợp như sau:
- Phân tích: Là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những bộ phân riêng lẻ.
- Tổng hợp: Là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật liên kết nhiều vật thành một hệ thống.
Vậy phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng là hai mặt của một quá trình thống nhất.
Ví dụ 13 : Khi ta phải chứng minh: “Trong một hình lăng trụ có các mặt bên là các hình chữ nhật thì cạnh bên vuông góc với đáy”. Ta thực hiện như sau:
Tách một bên là ADD’A’ của lăng trụ ra khỏi các mặt khác, ta thấy: ADD’A’ là hình chữ nhật
nên AA’ A’D (1) (phân tích)
Tách mặt bên A’B’BA ra khỏi các mặt khác, tương tự ta có AA’AB (2) (phân tích)
Liên kết (1) và (2) ta có AA’ (ABCD).
A D A C D A C’D A B A B’D A A’ DA D’ DA
Ở đây ta nhìn AA’ với tư cách là cạnh bên của hình lăng trụ chứ không phải là cạnh của hình chữ nhật, ta có điều phải chứng minh (tổng hợp).
Tuy nhiên ở mức độ cao hơn, phân tích và tổng hợp còn bao hàm một ý nghĩa khác như sau:
+ Tổng hợp là sự suy nghĩ nhằm liên kết giữa cái đã biết với cái cần tìm (hoặc điều phải chứng minh) theo chiều đi từ cái đã biết đến cái cần tìm. Như vậy có thể hiểu, trong toán học, ở mức độ này thì tổng hợp có thể hiểu là văn phong để trình bày một lời giải của bài tập hay định lí toán học.
Ví dụ 14: Ta quay trở lại bài toán trên: Để chứng minhAA' ( ABCD) ta trình bày lời chứng minh như sau:
Do ABCD A B C D. ' ' ' ' là hình lăng trụ đứng (theo giả thiết) nên ta có tứ giác A D AD ' ' là hình chữ nhật nên ta có AA'AD (1)
Hoàn toàn tương tự ta có tứ giác ABB A' ' là hình chữ nhật nên ta có
'
AA AB (2)
Mà AB AD, (ABCD) và ABA D A (3) Từ (1), (2) và (3) ta có AA' ( ABCD)
Sơ đồ của phép tổng hợp là: A0 A1 A2... An1 An, trong đó A0 là cái đã biết, An là cái cần tìm; A0 A1 hiểu là nếu A0 thì A1.
+ Phân tích là sự suy nghĩ nhằm liên kết giữa cái đã biết và cái cần tìm theo chiều đi từ cái cần tìm đến cái đã biết.
Ví dụ 15:
Có AA' ( ABCD) khi có AA'AB và có AA'AD
Có AA'AD khi có (AA D D' ' ) là hình chữ nhật hoặc hình vuông, điều này đúng vì ABCD A B C D. ' ' ' ' là hình lăng trụ đứng
Có AA'AB khi có (AA B B' ' ) là hình chữ nhật hoặc hình vuông, điều này đúng vì ABCD A B C D. ' ' ' ' là hình lăng trụ đứng. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Vậy ta có AA' ( ABCD)
Sơ đồ phép phân tích: An An1 An2 ...A2 A1 A0. An An1 hiểu là: có
n
A khi có An1
Như vậy, trong quá trình học toán, làm toán luôn gắn liền thao tác tư duy phân tích với tổng hợp. Tổng hợp tiến hành trên cơ sở phân tích. Đặc trưng của tổng hợp là thông qua phương thức liên hệ giữa các bộ phận, yếu tố, phương diện, nhân tố và tầng thứ của đối tượng nghiên cứu mà hình thành nên một nhận thức mới có tính chỉnh thể. Vì thế, không thể hiểu đơn giản tổng hợp là tập hợp một cách đơn giản các bộ phận của đối tượng nghiên cứu, mà là kết hợp một cách hữu cơ giữa chúng. Giáo viên Toán cần nắm vững lý luận về phân tích, tổng hợp và phải thành thạo phân tích và tổng hợp để có năng lực tư duy về suy luận này, đồng thời hướng dẫn, rèn luyện học sinh có khả năng phân tích và tổng hợp. Trong hoạt động giải toán, trước hết phải quan sát một cách tổng hợp để nhận dạng bài toán thuộc loại gì cần huy động những kiến thức nào, sau đó phân tích cái đã cho và cái phải tìm, hoặc phân tích ra nhiều bài toán nhỏ, phân tích các mối liên hệ giữa các yếu tố để tìm lời giải. Thông thường khi tìm tòi lời giải, ta dùng phương pháp phân tích nhiều hơn, nhưng khi trình bày lời giải, ta dùng phương pháp tổng hợp cho gọn. Các kiến thức trong sách giáo khoa thường được trình bày theo phương pháp tổng hợp cho cô đọng, súc tích. Khi dạy học toán, giáo viên nên có những câu hỏi dẫn dắt phân tích để rèn luyện kỹ năng phân tích cho học sinh.
Ví dụ 16: Chứng minh rằng nếu một hình lăng trụ có các mặt bên là hình chữ nhật thì cạnh bên vuông góc với đáy.
• Phân tích
+ Tách mặt bên A’D’DA của hình lăng trụ ra khỏi các mặt khác, thấy nó là hình chữ nhật ta có: AA’
AD (1)
+ Tách mặt bên A’B’BA của hình lăng trụ ra khỏi các mặt khác, thấy nó là hình chữ nhật ta có:
AA’ AB (2) • Tổng hợp
+ Liên kết hai kết quả (1) và (2) ta có AA’ (ABCD).
Ở bước này ta nhìn A’A với tư cách là cạnh bên của hình lăng trụ, khác với hai bước trước, nhìn A’A với tư cách là cạnh của hình chữ nhật ta có điều phải chứng minh .
Tác dụng trong dạy học toán
Từ ví dụ đơn giản trên, ta thấy rằng phân tích và tổng hợp là hai thao tác tư duy trái ngược nhau nhưng lại liên hệ chặt chẽ với nhau trong một thể thống nhất: đó là quá trình nhận thức.
Do đó trong dạy học toán, phân tích và tổng hợp có tác dụng to lớn như sau. + Nhờ phân tích mà học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trường hợp riêng lẻ nằm trong một khái niệm, một định lí…
+ Từ những thuộc tính riêng lẻ của một số các đối tượng nào đó, học sinh tổng hợp lại để nhận biết chính xác, đầy đủ một khái niệm, một định lí... hay một vấn đề có tính chất toán học nào đó.
Đây là hai thao tác cơ bản được luôn luôn sử dụng để tiến hành những thao tác khác.
Ví dụ 17: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Kẻ BH vuông góc với AD, kẻ CK vuông góc với AE. Chứng minh rằng: BH = CK
D C D' C' A A' B' B
Phân tích:
Ta nhận thấy BH là đường cao trong tam giác ABD, CK là đường cao trong tam giác ACE. Vậy để chứng minh BH = CK ta cần chứng minh ABD = ACE.
Để chứng minh ABD = ACE ta
cần chứng minh hai cặp cạnh và góc xen giữa chúng bằng nhau. Tổng hợp để trình bày lời giải:
Xét hai tam giác ABD và ACE ta có: BD = CE (gt)
ABD ACE (cùng bù với góc hai bằng nhau là ABC và ACB) AB = AC ( tam giác ABC cân tại A)
Suy ra: ABD = ACE
Mà BH và CK là hai đường cao tương ứng nên BH = CK.
Khi dạy khái niệm: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Tập cho học sinh phân tích các thuộc tính bản chất của mỗi khái niệm để từ đó tổng hợp lại để hiểu sâu sắc hơn khái niệm đó, đồng thời giúp học sinh biết phân biệt khái niệm này với các khái niệm khác hoặc để tìm ra mối liên hệ giữa các khái niệm gần gũi nhau.
Ví dụ 18:
Phân tích các thuộc tính bản chất của khái niệm “Tia phân giác của góc” để hiểu sâu sắc hơn khái niệm này (Toán 6) như sau:
• Oz là tia phân giác của góc xOy nếu (và chỉ nếu): Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy
xOz zOy
• Oz là tia phân giác của góc xOy nếu (và chỉ nếu)
K H E D A C B
xOz zOy
xOz zOy xOy
• Oz là tia phân giác của góc xOy nếu (và chỉ nếu)
2
xOy
xOz zOy
Khi dạy học định lí
Khi dạy định lí phải tập cho học sinh biết phân tích giả thiết và kết luận, phân tích để thấy các bước, các ý trong khi chứng minh, để thấy và phân biệt sự giống nhau và khác nhau giữa các định lí gần gũi nhau.
Ví dụ 19: Phân tích để thấy sự giống nhau và khác nhau giữa các định lí nhận biết một hình bình hành: có hai cặp cạnh đối bằng nhau từng đôi một, có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường…..
Khi dạy học sinh giải bài tập toán, cần phải
+ Nhìn bao quát một cách tổng hợp, xem bài toán đã cho thuộc loại nào? Phân tích cái đã cho và cái cần tìm…
+ Thực hiện phân tích và tổng hợp xen kẽ nhau. Sau khi phân tích được một số ý thì tổng hợp lại để xem ta có thu được điều gì bổ ích không? Còn thiếu yếu tố nào nữa?
+ Tách bài toán đã cho (thường là khó hơn) thành nhiều bài toán thành phần, bài toán đặc biệt đơn giản hơn và dễ hơn, cuối cùng tổng hợp lại để có kết quả.
Ví dụ 20 : Cho hình vuông ABCD, dựng các hình (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
vuông ABEF và ADGH nằm phía ngoài hình vuông ABCD. Chứng minh rằng AC = HF.
Phân tích:
Muốn chứng minh AC = HF, ta chứng minh
ABC = HAF H G F E D A B C
Để chứng minh ABC = HAF ta cần chứng minh: AB = HA, BC = AF và ABC HAF
Mà đề bài đã cho ABCD, ABEF và ADGH là các hình vuông cạnh có cùng độ dài, nên bài toán được chứng minh.
b) So sánh: So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật hiện tượng. Muốn vậy ta phải phân tích các dấu hiệu thuộc tính của chúng, đối chiếu chúng với nhau rồi tổng hợp lại để xem sự giống và khác nhau.Nhờ so sánh mà học sinh hiểu sâu hơn, hiểu đúng và đầy đủ những thuộc tính của các đối tượng được phản ánh trong một khái niệm, một định lý,… Nhờ so sánh mà học sinh thấy được mối liên hệ giữa các đối tượng.
Ví dụ 21: So sánh định nghĩa khái niệm hình vuông và hình chữ nhật.
Ta có định nghĩa hình chữ nhật như sau: “Hình chữ nhật là hình bình hành có một góc vuông”.
Ta có định nghĩa hình vuông như sau: “Hình vuông là một hình bình hành có một góc vuông và có hai cạnh kề là bằng nhau”.
Như vây hình vuông và hình chữ nhật có các đặc điểm chung là chúng đều là một hình bình hành và có một góc vuông. Chúng khác nhau ở chỗ là: Hình vuông có hai cạnh kề bằng nhau còn hình chứ nhật thì không.
Vậy từ những đặc điểm chung đó ta có thể rút ra các đặc điểm chung khác của hình chữ nhật và hình vuông là:
+ Có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau
+ Có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường + Có 4 góc vuông
+ các đường chéo đòng thời là các đường phân giác trong của 4 góc. Những đặc điểm khác nhau là:
+ Hai đường chéo của hình vuông cắt nhau tạo thành 4 tam giác vuông cân bằng nhau
+ Hình vuông luôn luôn có đường tròn ngoại tiếp
c) Khái quát hóa và đặc biệt hóa
- Khái quát hóa là suy luận chuyển từ khảo sát một tập hợp đối tượng đến một tập hợp đối tượng lớn hơn, chứa tập hợp ban đầu làm tập con. Khái quát hóa là dùng trí óc tách ra cái chung trong các đối tượng, hiện tượng, sự kiện. Muốn khái quát hóa phải so sánh nhiều đối tượng với nhau để rút ra kết luận cái chung từ đó ta có thể khái quát hóa để có một tính chất hay một phương pháp riêng.
- Đặc biệt hóa là xét một trường hợp cụ thể riêng biệt nằm trong cái chung.
Ví dụ 22: Để có định lí về tổng số đo các góc trong tam giác, ta có thể tiến hành như sau:
+ Đầu tiên hãy yêu cầu mỗi học sinh vẽ một tam giác vào giấy, dùng thước đo góc đo các góc của tam giác đó và tính tổng của chúng.
+ Cho học sinh nêu kết quả, giáo viên thống kê các kết quả lên bảng. Kết quả mong muốn thu được là tần suất tổng các góc của tam giác bằng 1800 là phổ biến. Từ đó có thể nêu một giả thuyết tổng quát “Trong một tam giác, tổng các góc bằng 1800”
Cần lưu ý là khái quát hóa chỉ cho ta dự đoán, mệnh đề rút ra bằng khái quát hóa có thể đúng hoặc sai, nó sẽ phải được chứng minh hoặc bác bỏ. Việc bác bỏ một dự đoán khái quát có liên quan đến việc thử xem dự đoán khái quát đó có đúng không trong các trường hợp riêng đơn giản. Việc làm này gọi là đặc biệt hóa.
Khái quát hóa và đặc biệt hóa có tác dụng to lớn trong dạy học toán. Nó giúp cho học sinh có một cái nhìn bao quát, thấy được cái chung trong nhiều cái riêng lẻ, rút ra cái chung để vận dụng rộng hơn. Khái quát hóa là một con đường quan trọng trong phát minh, sáng tạo và kiểm chứng giả thuyết. Tuy nhiên ta cần lưu ý rằng: các giả thuyết rút ra được từ khái quát hóa có thể đúng và có thể sai. Vì vậy phải chứng minh.
d) Trừu tượng hóa và cụ thể hóa
- Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất. Sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây chỉ mang tính chất tương đối, nó phụ thuộc vào mục đích hành động. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Cụ thể hóa là tìm ví dụ minh họa cho cái chung đó. Tức là ta tìm một cái riêng mà cái riêng này thỏa mản tính chất, điều kiện của cái chung đã xác định.
Ví dụ 23: Hình thành khái niệm hình vuông • Hình thành biểu tượng hình vuông
+ Cho học sinh lớp 3 quan sát một tấm bìa có hình dạng “hình vuông”, sau khi giới thiệu “tấm bìa này có hình dạng hình vuông, gọi tắt là hình vuông” rồi cất đi khi đó trong trí nhớ của các em sẽ lưu lại hình ảnh một “hình vuông” cụ thể với đầy đủ các yếu tố về chất liệu, màu sắc, kích thước và vị trí đặt “hình vuông”.
+ Bây giờ lại cho học sinh quan sát cùng một lúc nhiều “hình vuông” khác nhau về chất liệu, màu sắc, kích thước và vị trí đặt. Khi cất đi, trong trí óc các em đã có biểu tượng về “hình vuông”, không phụ thuộc vào chất liệu, màu sắc, kích thước và vị trí đặt. Lúc này nếu ta cho học sinh lựa chọn “hình vuông” trong các đồ chơi gồm nhiều loại “tứ giác”, làm bằng các chất liệu khác nhau, màu sắc, kích thước khác nhau thì các em sẽ nhặt ra được đúng “hình vuông” như mong muốn.
• Mô tả trực quan khái niệm hình vuông
+ Sau khi học sinh đã được học thêm các khái niệm về hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc (lớp 3), giáo viên vẽ hình vuông trên bảng, học sinh vẽ trên giấy. Sau đó bằng thực nghiệm học sinh mô tả được bằng lời như sau: “hình vuông là hình có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông”.
Đây là một quá trình trừu tượng hóa : từ các mô hình bằng bìa, bằng gỗ với các màu sắc, kích thước khác nhau ta đã thay bởi hình vẽ tượng trưng hình vuông với các thuộc tính cơ bản là : tứ giác có các cạnh bằng nhau, các góc vuông.
• Định nghĩa khái niệm bằng lôgíc chặt chẽ.
+ Lên THCS, khái niệm hình vuông được định nghĩa một cách chặt