Biện pháp 2: Tập luyện cho học sinh những hoạt động thành phần

trong chứng minh

Trong giảng dạy định lý, việc phát triển năng lực chứng minh của học sinh và vận dụng vào giải toán được phân chia ra từng mức độ từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, từ tri giác và biểu tượng đến việc nắm bắt nội dung định lý vận dụng vào giải toán, hình thành kỹ năng, kỹ xảo trong chứng minh Toán học.

Ví dụ 35: Quá trình giảng dạy chứng minh hai tam giác bằng nhau và vận dụng hai tam giác bằng nhau gồm bốn mức độ từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, từ tri giác và biểu tượng đến việc nắm bắt nội dung định lý, hình thành kỷ năng kỷ xảo trong làm toán.

 Mức độ 1: Học sinh hiểu định lý và nắm rõ nội dung định lý, xác định được giả thiết kết luận của bài toán, vẽ hình và biểu diễn các mối quan hệ giữa các đại lượng trên hình vẽ. Ở mức độ 1 có 3 dạng bài tập:

 Dạng 1: Bổ sung thêm điều kiện vào hình vẽ để hai tam giác bằng nhau theo trường hợp quy định.

Ví dụ 36 : Ở hình bên hai tam giác ABC và

DEF có AB = DE ;A = D  . Ta cần biết thêm điều kiện gì để khẳng định hai tam giác trên bằng nhau theo trường hợp:

+ cạnh - góc – cạnh. + góc – cạnh – góc.

 Dạng 2: Vận dụng các định lý đã học để thêm vào chổ trống bằng nội dung thích hợp để hai tam giác bằng nhau theo trường hợp quy định.

Ví dụ 37 : Điền vào dấu…bằng nội dung thích hợp:

a) Nếu hai tam giác ABC và EFG có AB = EF; B = F; BC = FG thì… b) Nếu hai tam giác ABC và EFG có AB = FG; A = F; AC = FE thì… c) Nếu hai tam giác XYZ và TUV có X = V; XY = VT; Y = T thì… d) Nếu hai tam giác MNL và IJK có MN = IK; ML = IJ; NL = KJ thì…  Dạng 3: Học sinh xác định giả thiết kết luận của một bài toán, chứng minh hai tam giác bằng nhau, vẽ được hình và biểu diễn mối quan hệ hình học giữa các đại lượng.

Ví dụ 38 : Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi

đoạn. Chứng minh rằng: a) AC = BD. b) AD // BC.

Hãy xác định giả thiết kết luận của bài toán và vẽ hình.

Để hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải bài toán chứng minh hình học giáo viên phải trải qua các bước sau:

F D

A E

C

Bước 1: Nghiên cứu kỹ đề toán: đọc kỹ đề toán để hiểu rõ đề bài cho những gì? yêu cầu chứng minh điều gì? từ đó viết tóm tắt dưới dạng giả thiết kết luận.

Bước 2: Tìm hiểu nội dung giả thiết. Dựa vào những kiến thức đã học tìm xem từ nội dung của giả thiết ta có thể suy ra các quan hệ gì? Chẳng hạn đề bài cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn ta suy ra O là trung điểm của AB, O là trung điểm của CD.

O là trung điểm của AB  OA = OB O là trung điểm của CD  OC = OD

Bước 3: Phân tích kết luận. Tìm xem để đi đến kết luận ta cần phải chứng minh điều gì? Trong các điều ấy điều gì đã biết? Điều nào cần chứng minh? Chẳng hạn đề yêu cầu chứng minh AC = BD.

Cần chứng minh  ACO =  BDO, ta đã biết: AO = BO,CO = DO Ta cần chứng minh AOC  BOD

Sau khi đã phân tích nội dung giả thiết và kết luận học sinh viết tóm tắt dưới dạng kí hiệu toán học và vẽ hình.

GT OA = OB OC = OD KL AC = BD AD // BC O C B A D

 Mức độ 2: Học sinh biết phân tích một bài toán hình học từ kết luận của đề bài tìm ra những điều kiện, yếu tố còn thiếu để dẫn đến kết luận hai tam giác bằng nhau. Ở mức độ 2 có 2 dạng bài tập:

 Dạng 1: Học sinh phải tìm điều kiện còn lại từ giả thiết của đề bài suy luận từ tính chất trung điểm của đoạn thẳng (trung tuyến tam giác), tia phân giác của góc (phân giác của tam giác)…

Ví dụ 39 : Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA

xác định điểm D sao cho MA = MD. Chứng minh AB // DC. GT  ABC có trung tuyến

AM

MA = MD KL AB // DC

Phân tích đi lên:

Để chứng minh AB // DC ta cần chứng minh: 

BAM so le trong CDM (1) 

BAM = CDM (2)

Điều (1) dễ dàng học sinh nhận biết qua vị trí góc. Để chứng minh điều (2) ta cần chứng minh điều gì? Chứng minh ABM = DCM

Hai tam giác này đã có yếu tố nào bằng nhau? MA = MD (gt)

BM = CM (vì AM là trung tuyến) Còn cần chứng minh điều gì?

Chứng minh AMB CMD ; dễ dàng nhận ra vì AMB CMD, đối đỉnh.

 Dạng 2: Học sinh phải tìm điều kiện còn lại từ hai tam giác bằng nhau đã cho trước hoặc đã chứng minh trước.

D M B

A

D H

A

B C

Ví dụ 40 : Cho tam giác ABC có góc B tù.Vẽ đường cao AH của ABC. Trên tia AH lấy điểm D sao cho H là trung điểm của AD.

a) Chứng minh rằng BH là tia phân giác của góc ABD. b) Chứng minh ABC = DBC.

Giả thiết , kết luận của bài toán :

Để chứng minh ABC = DBC ta đã có: BC là cạnh chung. cần chứng minh thêm   ABC DBC (1) AB = DB (2)

Để chứng minh điều (1) ta cần chứng minh ABH DBH

Mà ABH DBH do BH là tia phân giác của ABD (chứng minh ở câu a) Để chứng minh điều (2) ta cần chứng minh ABH = DBH (3)

Hai tam giác này có AH = DH (gt) HB là cạnh chung

  0

AHB = DHB90

 Mức độ 3: Học sinh biết vận dụng hai tam giác bằng nhau để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau, hai đường thẳng song song. Ở mức độ 3 có 3 dạng bài tập:

 Dạng 1: Sử dụng trường hợp bằng nhau của hai tam giác để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.

GT ABC

Đường cao AH HA = HD

KL BH là tia phân giác ABD

 Dạng 2: Sử dụng trường hợp bằng nhau của hai tam giác để chứng minh hai góc bằng nhau.

 Dạng 3: Sử dụng trường hợp bằng nhau của hai tam giác để chứng minh hai đoạn thẳng song song.

Ví dụ 41 : Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi

đoạn.

Dạng 1: Chứng minh AC = BD.

Để chứng minh AC = BD đòi hỏi học sinh phải biết cách sắp xếp AC và BD vào hai tam giác nào, sau đó chứng minh chúng bằng nhau. Để học sinh biết cách sắp xếp AC và BD vào hai tam giác giáo viên cần hướng dẫn học sinh phân tích kết luận kết hợp với điều kiện của giả thiết.

Dạng 2: Chứng minh ADB = BCA  . 

BCA vào hai tam giác ADB và BCA, chứng minh chúng bằng nhau.

Xét ADB và BCA có: AB là cạnh chung.

Cần cm thêm CAB = DBA  (1) BD = CA (2)

Học sinh cần phân tích chứng minh (1) dựa vào hai tam giác bằng nhau.  Dạng 3: chứng minh AC // BD ; AD // BC.

Thực chất dạng 3 là để giáo viên cũng cố thêm cho học sinh dạng 2 và kết hợp dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song. Qua dạng toán này học sinh phải nắm vững dấu hiệu hai đường thẳng song song, đặc biệt là dấu hiệu 1.

 Mức độ 4: Vận dụng các trường hợp bằng nhau của hai tam giác để chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau theo trường hợp đặc biệt 1 & 2, tính độ dài đoạn thẳng. Vận dụng các trường hợp bằng nhau đặc biệt của hai tam giác vuông để chứng minh hai tam giác bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng

O

C B

I' N' N M I D B A C

 Dạng 1: Vận dụng các trường hợp bằng nhau của hai tam giác để chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau theo trường hợp đặc biệt 1 & 2.

Trường hợp 1: (định lý 1) Cho ABC và A’B’C’ có   0

A = A' = 90 ; BC = B’C’; B = B'  . Chứng minh ABC = A’B’C’.

Trường hợp 2: (định lý 2) Cho ABC và A’B’C’ có   0

A = A' = 90 ; BC = B’C’; AC = A’C’.

Đây là định lý mà phần chứng minh tương đối khó đối với học sinh nó kết hợp giữa hai trường hợp bằng nhau: cạnh – cạnh – cạnh; cạnh – góc – cạnh, để đi đến ABC = A’B’C’. Đòi hỏi trình độ học sinh phải nắm thành thạo mức độ 1 và mức độ 2 mới có thể theo kịp bài học

 Dạng 2: Vận dụng các trường hợp bằng nhau đặc biệt của hai tam giác vuông để chứng minh hai tam giác bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau, tính độ dài đoạn thẳng, biết kẻ thêm đường phụ.

Ví dụ 42 :

Bài 1: Cho ABC có AD là trung tuyến. BE và CF lần lượt là đường cao của ABD và ACD. Chứng minh BE = CF.

Bài 2: Cho ABC. Từ trung điểm D của cạnh BC ta kẻ một đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A tại điểm I. Đường vuông góc đó cắt tia AB ở M và cắt tia AC ở N. a) Chứng minh rằng BM = CN. b) Đặt AB =c; AC =b. Tính AM,BM theo b và c. Lời giải: a) Chứng minh rằng BM = CN. Xét AMI và ANI ta có:   0 AIM = AIN = 90 AI là cạnh chung

 

MAI = NAI (AI là phân giác) Suy ra: AMI = ANI (g.c.g)

 AM = AN (1)

Từ B kẻ BN’ // MN cắt AI tại I’ (N’ AC) Xét ABI’ và AN’I’ ta có:

 

BAI'= N'AI' (AI là phân giác) AI’ là cạnh chung

  0

BI'N = N'I'A = 90 Suy ra: ABI’= AN’I’ (g.c.g)

 AB = AN’ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BM = NN’ (3) Trong BN’C ta có:

DN // BN’

D là trung điểm BC

 N là trung điểm N’C hay N’N = CN (4) Từ (3) và (4)  BM = CN

b) Tính AM,BM theo b và c.

Ta có AM = AB + BM= AB + CN = AN + CN = AC = b Ta có BM = AM – AB = b – c

Để tập luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trong chứng minh tốt, trước hết giáo viên cần có ý thức tập luyện cho học sinh những hoạt động trí tuệ chung: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, … thường xuất hiện như hoạt động thành phần trong chứng minh.

Tiếp theo, cần tập luyện cho học sinh những quy tắc kết luận lôgíc thường dùng. Những quy tắc này không được hình thành tường minh trong nội dung môn Toán ở trường phổ thông, học sinh lĩnh hội chúng một cách tìm ẩn thông