Ren luyen va phat trien nang luc chung minh cho hoc sinh ppt

Các bước giải bài toán hình học...30 CHƯƠNG 2: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HÌNH HỌC.. Xuất phát từ tầm quan trọng của bộ môn Toán và tình hình thực tế của

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TIỀN GIANG

KHOA SƯ PHẠM

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

GVHD: ThS VÕ HOÀI NHÂN TRUNG

SV: NGUYỄN VĂN BÉ TƯ MSSV: 209121013

LỚP: ĐHSP LT TOÁN K09 HỆ: CHÍNH QUI

TIỀN GIANG - 2010

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TIỀN GIANG

KHOA SƯ PHẠM

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

Người hướng dẫn khoa học:

Thạc sĩ: VÕ HOÀI NHÂN TRUNG

Người thực hiện:

NGUYỄN VĂN BÉ TƯ

Lớp: ĐHSP LT TOÁN K09Hệ: Chính qui

Khóa: 2009 - 2011MSSV: 209121013

TIỀN GIANG - 2010

Để nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn Toán ở trường phổ thông, đặcbiệt là phân môn hình học Việc rèn luyện và phát triển năng lực chứng minh củahọc sinh mang tính chất quyết định

Qua nhiều năm nghiên cứu và được sự hướng dẫn nhiệt tình của quý thầy côtrong khoa sư phạm, tôi chọn và thực hiện đề tài “RÈN LUYỆN VÀ PHÁTTRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠYHỌC HÌNH HỌC”

Đề Mục Trang

A – MỞ ĐẦU 1

B- NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1- RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CỦA HỌC SINH 3

1 Khái niệm tư duy 3

2 Những điều kiện ảnh hưởng đến năng lực tư duy 4

3 Các hình thức tư duy trong môn toán 5

4 Các cấp độ tư duy của học sinh trong hình học 5

5 Rèn luyện các hình thức tư duy 7

6 Bồi dưỡng nâng cao năng lực phán đoán 16

7 Bồi dưỡng năng lực quan sát Toán học 19

8 Một vài nhận xét về dạy học Toán ở trường phổ thông hiện nay 21

9 Các phương pháp chứng minh 22

10 Các bước giải bài toán hình học 30

CHƯƠNG 2: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HÌNH HỌC .42

1 Phát triển năng lực chứng minh thông qua dạy học định lí 42

2 Phát triển năng lực chứng minh trong dạy giải bài tập Hình học 53

C - KẾT LUẬN 67

Tài liệu tham khảo 68

A – MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học có vai trò to lớn trong đời sống và trong khoa học kĩ thuật Trongnhà trường phổ thông, toán học chiếm một vị trí hết sức quan trọng Toán họccùng với các bộ môn khác góp phần rèn luyện cho học sinh thành những con ngườiphát triển toàn diện Bên cạnh đó, toán học còn giúp học sinh hiểu và nắm đượcmột cách chính xác, vững chắc có hệ thống các tri thức cơ bản và rèn luyện chohọc sinh kỹ năng vận dụng kiến thức đó để giải quyết các tình huống khác nhautrong cuộc sống

Trong những năm gần đây, việc áp dụng đổi mới phương pháp dạy và họctrong trường phổ thông nói chung và đối với môn Toán nói riêng, việc đổi mới nộidung và hình thức trình bày của sách giáo khoa đã khơi dậy cho học sinh hứng thúhọc tập, giúp học sinh học Toán nhẹ nhàng, hào hứng và có kết quả Tuy nhiên,đối với môn Toán hình học đã có không ít học sinh rất sợ, nhất là các bài toánchứng minh hình học Các em thường không có kĩ năng phân tích đề, kĩ năng vẽhình, kĩ năng phân tích chứng minh Khi gặp bài Toán chứng minh hình học các

em thường không biết bắt đầu từ đâu, giải quyết bài toán bằng cách nào cho đúng?

Do đó, sự hướng dẫn tường tận của giáo viên là một việc làm hết sức cần thiết vàkhông thể thiếu

Xuất phát từ tầm quan trọng của bộ môn Toán và tình hình thực tế của nhàtrường, với mong muốn giúp học sinh học tốt hơn để có được nền tảng vững chắccho những năm học sau nên tôi chọn đề tài: “RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂNNĂNG LỰC CHỨNG MINH CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC HÌNHHỌC”

2 Đối tượng nghiên cứu

Giáo viên và học sinh trường THCS Long Định

3 Mục đích nghiên cứu

Nhằm tìm các biện pháp chủ yếu và có tính khả thi trong việc phát triển năng lực chứng minh cho học sinh qua dạy học hình học

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu chương trình Sách giáo khoa, sách bài tập ở phân môn hìnhhọc để tìm hiểu nội dung và hệ thống bài tập

Tìm hiểu quá trình học tập môn hình học của học sinh hiện nay và khảnăng giải các bài tập liên quan đến chứng minh Trao đổi với giáo viên dạytoán ở trường phổ thông về vấn đề này cũng như biện pháp nhằm nâng caonăng lực chứng minh của học sinh

Tổ chức dạy thực nghiệm một số tiết hình học có nội dung liên quan đếnchủ đề đã lựa chọn

5 Phương pháp nghiên cứu

 Nghiên cứu lí luận

Nghiên cứu tài liệu về phương pháp giảng dạy môn Toán, liên quan đếndạy học chứng minh và chứng minh định lí

Nghiên cứu Sách giáo khoa, Sách giáo viên và các tài liệu có liên quanđến vấn đề này

• Phương pháp điều tra phỏng vấn

Phát phiếu điều tra nhằm tìm hiểu thực trạng về khả năng chứng minhmột định lí hay chứng minh một bài toán Hình học ở học sinh

B- NỘI DUNG CHƯƠNG 1:

RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CỦA HỌC SINH

1 KHÁI NIỆM TƯ DUY

Ý thức của con người bắt nguồn từ thuộc tính phổ biến của vật chất là thuộctính phản ánh, mà bộ óc người là một dạng vật chất tiến hóa cao nhất trong giới tựnhiên, với hệ thống thần kinh phức tạp, tinh vi, nhạy cảm, có năng lực phản ánhsáng tạo rất cao Chính nhờ năng lực ấy mà nảy sinh ra ý thức bộ não của conngười Theo Mác, ý thức là cái vật chất được di chuyển vào óc người và được cảibiến trong đó Ý thức là hình ảnh chủ quan của thế giới khách quan, là sản phẩmcủa quá trình nhận thức hiện thực khách quan thông qua hoạt động thực tiễn củacon người Nhận thức là hoạt động phản ánh, là sự xâm nhập vào sự vật để “hiểu

sự vật”, “nắm bắt” những quan hệ, những quy luật, những khuynh hướng của nó

“Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan”

“Tư duy là một quá trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ- quá trình

tìm tòi sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần hay khái quát thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó Tư duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó”

Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp nhau K K Plantonov đưa

ra sơ đồ minh họa: Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Giải quyết vấn đề Hoạt động tư duy mới

2 NHỮNG ĐIỀU KIỆN ẢNH HƯỞNG ĐẾN NĂNG LỰC TƯ DUY

Cơ sở của năng lực tư duy bao hàm cả mặt tự nhiên - sinh học và mặt xã hội

- tinh thần Do đó, năng lực tư duy mạnh về loại hình nào, cao hay thấp, được pháttriển như thế nào, phụ thuộc vào rất nhiều điều kiện, yếu tố phức tạp của từngngười và môi trường đời sống xã hội mà họ hoạt động trong đó Cụ thể là:

Thứ nhất, năng lực tư duy phụ thuộc vào đặc tính bẩm sinh do cấu tạo của

hệ thần kinh trung ương, tâm sinh lý ở từng người Đây là cơ sở sinh học của nănglực tư duy không thể coi nhẹ Khoa sinh vật học, di truyền học ngày nay đã xácđịnh sự thông minh của con người có cơ sở từ huyết thống, từ đặc điểm của hệthần kinh, từ đặc điểm của nhóm máu, từ gen di truyền Ăngghen cũng coi nănglực tư duy lý luận chỉ là một đặc tính bẩm sinh dưới dạng năng lực của người ta

mà có thôi Tuy nó chỉ ở dạng khả năng, tức là như một khả năng vốn có bắt nguồntừ năng lực phản ánh của óc người, nhưng không có khả năng thì không có hiệnthực

Thứ hai, năng lực tư duy phụ thuộc vào phương thức sản xuất, môi trường

văn hóa, xã hội với tư cách là những yếu tố tạo nhu cầu cho sự phát triển tư duy,

và cũng thể hiện trình độ tư duy mà con người đã đạt được Năng lực tư duy phảiđược phát triển trong môi trường xã hội dân chủ, tự do, phát triển cá tính, cung cấpnhiều chiều thông tin, có tình huống, mâu thuẫn cần giải quyết thì mới phát triển tưduy

Thứ ba, Năng lực tư duy phụ thuộc vào trình độ khoa học và nghệ thuật của xã

hội mà loài người đạt được trong quá trình sáng tạo và sử dụng Đồng thời, năng lực

tư duy cũng phụ thuộc trực tiếp vào hoạt động giáo dục, đào tạo, tiếp thu tri thức mộtcách tự giác và suy ngẫm, thử nghiệm vận dụng tri thức (tri thức nội dung và tri thứcphương pháp) Tính độc lập tương đối và tính năng động của tư duy được tạo ra trựctiếp từ tác động của những nhân tố trí tuệ trong giáo dục, đặc biệt là công nghệ đàotạo

Thứ tư, điều kiện, nhân tố cơ bản ảnh hưởng đến năng lực tư duy xét đến

cùng là hoạt động thực tiễn Hoạt động là nguồn gốc của mọi năng lực, đặc biệt lànăng lực tư duy, chính thông qua hoạt động và bằng hoạt động mà tư duy phản ánh

được phương thức, quy luật tồn tại của sự vật, hiện tượng, tạo ra phương thức nộidung mới trong năng lực tư duy và rèn luyện cho tư duy một năng lực phát triển vàgiải quyết vấn đề.

Thứ năm, nhu cầu, lợi ích - động cơ, cảm xúc tâm sinh lý của chủ thể cũng

ảnh hưởng trực tiếp đến động cơ hoạt động để hình thành rèn luyện và nâng caonăng lực tư duy Đây là động lực bên trong rất quan trọng quyết định nhân cáchcủa con người cả về mặt đạo đức, bản lĩnh và tư duy

Trong tất cả các điều kiện, nhân tố nói trên, nhân tố xã hội và sự rèn luyện

bản thân giữ vai trò quyết định Nhân tố bẩm sinh rất quan trọng nhưng là khả năng.

Không có môi trường thực tiễn, không thông qua học tập phấn đấu thì khả năng sẽ

bị mai một dần Chính nhờ hoạt động xã hội trong quá trình tiếp thu, tập luyện nângcao trình độ trí tuệ và phương pháp tư duy khoa học trong học tập và kinh nghiệmthực tiễn đã biến khả năng bẩm sinh của năng lực tư duy thành hiện thực Đồng thờinhân tố tinh thần cũng tạo thành một cơ sở mới của năng lực tư duy Đến lượt nó,năng lực này phải tiếp tục được phát huy sử dụng mới có tính hiện thực Với ý nghĩa

ấy, có thể nói “di truyền xã hội” bao gồm cả hai yếu tố tự nhiên - sinh học và yếu tố

xã hội - thực tiễn là yếu tố trực tiếp và chủ yếu tạo thành nguồn gốc của năng lực tưduy

3 CÁC HÌNH THỨC TƯ DUY TRONG MÔN TOÁN

Những khái niệm, phạm trù là hình thức cơ bản của tư duy, mà nhờ đó tưduy không ngừng đi sâu vào bản chất của thế giới vật chất Hoạt động của tư duycòn là hoạt động sử dụng, vận dụng những khái niệm, phạm trù đã có để sáng tạo

ra những khái niệm, phạm trù mới, để phản ánh các quan hệ tất yếu, các quy luậtcủa thế giới khách quan Chính vì thế, các hình thức tư duy trong môn Toán là kháiniệm toán học, các định lý, nguyên lý toán học, các suy luận, suy lý

4 CÁC CẤP ĐỘ TƯ DUY CỦA HỌC SINH TRONG HÌNH HỌC

Theo Hiele Van P.H, việc tiếp thu hình học của học sinh trải qua 5 cấp độ và

sự chuyển biến từ trình độ này sang trình độ khác xảy dưới sự hướng dẫn chứkhông phải tự phát theo sự phát triển sinh lí

4.1 Cấp độ 1: Hình dung

Đặc trưng của cấp độ này là học sinh tri giác các hình như là một tổng thể và

sự phân biệt hình này hình kia bằng dạng của chúng

Ở giai đoạn này, nếu ta cho học sinh tiếp xúc với một số hình như hình vuông,hình chử nhật, hình bình hành, hình thoi, hình tam giác, hình tròn, … và nói rõ têngọi tương ứng của các hình đó, thì sau một số lần lặp đi lặp lại học sinh có thểnhận biết hình bằng trực giác, phân biệt hình này với hình kia cũng nhờ vào trựcgiác, nhưng các em chưa thấy được mối liên hệ giữa các hình đó

Bằng quan sát, đo đạc, gấp giấy, cắt giấy,… học sinh có thể nhận biết một sốtính chất đơn giản của các hình

Việc dạy hình học ở cấp độ này phù hợp với học sinh bậc Tiểu học

4.2 Cấp độ 2: Phân tích

Học sinh đã biết phân tích những mối quan hệ các hình hoặc giữa các yếu tốcủa từng hình, qua đó có thể nhận biết tính chất của các hình bằng quan sát, đođạc, gấp – cắt giấy, … bằng con đường quy nạp, nhờ thực nghiệm

Phân tích được một số đặc điểm của hình Mỗi hình hình học đại diện cho mộtsố tính chất và được nhận biết thông qua các tính chất ấy Các tính chất được nhận

ra bằng kinh nghiệm

Việc dạy học hình học ở cấp độ này có thể áp dụng cho học sinh lớp đầu cấpTHCS (lớp 6, 7)

4.3 Cấp độ 3: Suy diễn không hình thức

Đặc trưng của cấp độ này là học sinh biết thiết lập các mối quan hệ giữa cácyếu tố của các hình hoặc từng hình, rút ra các tính chất của hình bằng con đườnglôgíc Các em đã hiểu sự phân loại, sắp xếp các hình theo một dấu hiệu nhất định,

có thể từ tính chất này tìm ra tính chất khác của hình bằng con đường suy diễnlôgíc

Việc dạy học ở cấp độ này phù hợp với học sinh từ lớp 7 đến lớp 9

4.4 Cấp độ 4: Suy diễn

Ở cấp độ này học sinh có thể nhận biết được cấu tạo lôgíc của hình học theophương pháp tiên đề, bằng trừu tượng hóa các hình ảnh của một loại thực tế khách

quan nhất định Học sinh có thể hiểu bản chất của khái niệm cơ bản, tiên đề, định

lý, các quy tắc và các phương pháp suy luận để xây dựng hình học

Việc dạy học hình học ở cấp độ này phù hợp với học sinh THPT

4.5 Cấp độ 5: Chặt chẽ

Đặc trưng của cấp độ này là học sinh có thể so sánh các hệ hình học khácnhau, có thể làm trong một hệ hình học mà không cần mô hình cụ thể Việc xâydựng hình học với các đối tượng và tương quan cơ bản hoàn toàn trừu tượng, kếtquả của sự khái quát hóa nhiều loại thực tiễn khác nhau: điểm, đường thẳng,đường tròn, mặt phẳng, tuy bây giờ vẫn mang tên gọi như trước nhưng mangnhiều nội dung thực tế khác nhau Chẳng hạn: điểm có thể là điểm như ta hiểu ởtrình độ thứ tư nhưng cũng có thể hiểu là số, là màu sắc, là âm thanh, hay là mộttrạng thái nào đấy Chỉ ở những năm cuối chương trình đại học thì mới có thể thựchiện được trình độ tư duy hoàn toàn trừu tượng về hình dạng không gian

Tóm lại, mức độ tư duy về hình dạng không gian của học sinh THCS tươngđương trình độ thứ ba, cho nên một trong những yêu cầu quan trọng của việc dạy

và học hình học là rèn luyện tư duy lôgíc cho người học

Những điều kiện tiên quyết để có tư duy lôgíc về hình học là học sinh phảinắm vững hệ thống kiến thức cơ bản về hình học (các tiên đề, các khái niệm, định

lý, các khái niệm dẫn xuất thể hiện qua các định nghĩa,…) Do vậy, trước khi đềcập đến vấn đề rèn luyện tư duy lôgíc và phát triển năng lực chứng minh của họcsinh thì công việc đầu tiên rất quan trọng là phải bàn đến tư duy lĩnh hội, ghi nhớ

hệ thống kiến thức cơ bản của chương trình Biết vận dụng kiến thức toán học vàothực tiễn, vào các bài tập Vì không nắm được kiến thức, không vận dụng đượckiến thức để giải quyết vấn đề thì không thể suy luận diễn dịch từ những điều đãbiết đến những vấn đề mới, vấn đề chưa biết

5 RÈN LUYỆN CÁC HÌNH THỨC TƯ DUY

Để giải quyết thành công bài toán hình học, điều quan trọng nhất đối vớingười dạy và học là phải biết xây dựng tri thức mới xuất phát từ những tri thức banđầu Để đạt được điều này giáo viên dạy toán cần rèn luyện cho học sinh các thaotác tư duy như khả năng suy đoán và tưởng tượng, tư duy lôgíc và ngôn ngữ chính

xác, những yếu tố cấu thành năng lực trí tuệ , những tố chất cần phải có để học tậpmôn toán, cũng như những tố chất mà trong học toán mang lại.

5.1 Phân tích và tổng hợp:

Phân tích là phân chia thật sự hay bằng tưởng tượng một đối tượng nhận thức

ra thành các yếu tố, thành từng bộ phận để việc xem xét các bộ phận này được dễdàng hơn

Tổng hợp là tổ hợp bằng tưởng tượng hay thật sự các yếu tố riêng rẽ nào đó

làm thành một chỉnh thể, nhằm liên kết những kết quả đã xem xét được ở từng bộphận của một hệ thống để việc xem xét cả hệ thống được toàn diện hơn

Trong quá trình học toán, làm toán luôn gắn liền thao tác tư duy phân tích vớitổng hợp

Tổng hợp tiến hành trên cơ sở phân tích Đặc trưng của tổng hợp là thông quaphương thức liên hệ giữa các bộ phận, yếu tố, phương diện, nhân tố và tầng thứ củađối tượng nghiên cứu mà hình thành nên một nhận thức mới có tính chỉnh thể Vì thế,không thể hiểu đơn giản tổng hợp là tập hợp một cách đơn giản các bộ phận của đốitượng nghiên cứu, mà là kết hợp một cách hữu cơ giữa chúng Giáo viên Toán cầnnắm vững lý luận về phân tích, tổng hợp và phải thành thạo phân tích và tổng hợp để

có năng lực tư duy về suy luận này, đồng thời hướng dẫn, rèn luyện học sinh có khả

năng phân tích và tổng hợp Trong hoạt động giải toán, trước hết phải quan sát mộtcách tổng hợp để nhận dạng bài toán thuộc loại gì cần huy động những kiến thức nào,sau đó phân tích cái đã cho và cái phải tìm, hoặc phân tích ra nhiều bài toán nhỏ, phântích các mối liên hệ giữa các yếu tố để tìm lời giải Thông thường khi tìm tòi lời giải,

ta dùng phương pháp phân tích nhiều hơn, nhưng khi trình bày lời giải, ta dùngphương pháp tổng hợp cho gọn Các kiến thức trong sách giáo khoa thường đượctrình bày theo phương pháp tổng hợp cho cô đọng, súc tích Khi dạy học toán, giáoviên nên có những câu hỏi dẫn dắt phân tích để rèn luyện kỹ năng phân tích cho họcsinh

Ví dụ 1:

Chứng minh rằng nếu một hình lăng trụ có các mặt bên là hình chữ nhật thì cạnh bên vuông góc với đáy

Ta có thể thực hiện cả phân tích và tổng hợp, quá trình này được mô tả như sau:

+ Liên kết hai kết quả (1) và (2) ta có AA’  (ABCD)

Ở bước này ta nhìn A’A với tư cách là cạnh bên của hình lăng trụ, khác với haibước trước, nhìn A’A với tư cách là cạnh của hình chữ nhật ta có điều phải chứngminh

Tác dụng trong dạy học toán

Từ ví dụ đơn giản trên, ta thấy rằng phân tích và tổng hợp là hai thao tác tư duytrái ngược nhau nhưng lại liên hệ chặt chẽ với nhau trong một thể thống nhất: đó làquá trình nhận thức

Do đó trong dạy học toán, phân tích và tổng hợp có tác dụng to lớn như sau.+ Nhờ phân tích mà học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, nhữngtrường hợp riêng lẻ nằm trong một khái niệm, một định lí…

+ Từ những thuộc tính riêng lẻ của một số các đối tượng nào đó, học sinh tổnghợp lại để nhận biết chính xác, đầy đủ một khái niệm, một định lí hay một vấn đề

Phân tích:

Ta nhận thấy BH là đường cao trong

tam giác ABD, CK là đường cao trong tam

giác ACE Vậy để chứng minh BH = CK ta

cần chứng minh ABD = ACE

Để chứng minh ABD = ACE ta cần

chứng minh hai cặp cạnh và góc xen giữa chúng bằng nhau

Tổng hợp để trình bày lời giải:

Xét hai tam giác ABD và ACE ta có:

BD = CE (gt)

ABD ACE (cùng bù với góc hai bằng nhau là ABC và ACB)

AB = AC ( tam giác ABC cân tại A)

Suy ra: ABD = ACE

Mà BH và CK là hai đường cao tương ứng nên BH = CK

Khi dạy khái niệm:

Tập cho học sinh phân tích các thuộc tính bản chất của mỗi khái niệm để từ

đó tổng hợp lại để hiểu sâu sắc hơn khái niệm đó, đồng thời giúp học sinh biếtphân biệt khái niệm này với các khái niệm khác hoặc để tìm ra mối liên hệ giữacác khái niệm gần gũi nhau

Ví dụ 3:

Phân tích các thuộc tính bản chất của khái niệm “Tia phân giác của góc” để hiểu sâu sắc hơn khái niệm này (Toán 6) như sau:

• Oz là tia phân giác của góc xOy nếu (và chỉ nếu):

Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy

E D

A

C B

• Oz là tia phân giác của góc xOy nếu (và chỉ nếu)

2

xOy xOz zOy 

Khi dạy học định lí

Khi dạy định lí phải tập cho học sinh biết phân tích giả thiết và kết luận, phântích để thấy các bước, các ý trong khi chứng minh, để thấy và phân biệt sự giốngnhau và khác nhau giữa các định lí gần gũi nhau

Ví dụ 4:

Phân tích để thấy sự giống nhau và khác nhau giữa các định lí nhận biết mộthình bình hành: có hai cặp cạnh đối bằng nhau từng đôi một, có hai đường chéocắt nhau tại trung điểm của mỗi đường…

Phân tích, tổng hợp còn có thể được hiểu theo nghĩa sau:

• Phân tích là sự suy nghĩ nhằm liên kết giữa cái đã biết (giả thiết) với cái cầntìm, cần chứng minh (kết luận) theo chiều đi từ cái cần tìm, cần chứng minh đến

cái đã biết (đi từ KẾT LUẬN đến GIẢ THIẾT)

Sơ đồ của phép phân tích là:

B  An  An-1 …  A1 ANhư vậy để chứng minh mệnh đề B đúng ta cần chứng minh mệnh đề A đúng,

để chứng minh mệnh đề A đúng ta cần chứng minh mệnh đề A1 đúng

…

Để chứng minh mệnh đề An -1 đúng ta cần chứng minh mệnh đề An đúng

• Tổng hợp là sự suy nghĩ nhằm liên kết giữa cái đã biết với cái cần tìm (hoặc

điều phải chứng minh) theo chiều đi từ cái đã biết đến cái cần tìm ( đi từ GIẢ THIẾT đến KẾT LUẬN)

Sơ đồ của phép tổng hợp là:

A A1 …  An-1 An BNghĩa là từ giả thiết A ta suy ra kết luận B thông qua chuổi quá trình phân tích

và tổng hợp để trình bài bài giải

Khi dạy học sinh giải bài tập toán, cần phải

+ Nhìn bao quát một cách tổng hợp, xem bài toán đã cho thuộc loại nào? Phân tích cái đã cho và cái cần tìm…

+ Thực hiện phân tích và tổng hợp xen kẽ nhau Sau khi phân tích được một số

ý thì tổng hợp lại để xem ta có thu được điều gì bổ ích không? Còn thiếu yếu tốnào nữa?

+ Tách bài toán đã cho (thường là khó hơn) thành nhiều bài toán thành phần,bài toán đặc biệt đơn giản hơn và dễ hơn, cuối cùng tổng hợp lại để có kết quả

Ví dụ 5 :

Cho hình vuông ABCD, dựng các hình vuông

ABEF và ADGH nằm phía ngoài hình vuông

ABCD Chứng minh rằng AC = HF

Nhờ so sánh mà học sinh hiểu sâu hơn, hiểu đúng và đầy đủ những thuộctính của các đối tượng được phản ánh trong một khái niệm, một định lý,…

Nhờ so sánh mà học sinh thấy được mối liên hệ giữa các đối tượng

Giúp tiến hành các thao tác tương tự trong giải chứng minh bài tập

So sánh (định nghĩa) khái niệm hai tam giác bằng nhau với khái niệm hai tamgiác đồng dạng

So sánh các trường hợp (định lí) bằng nhau của hai tam giác với các trườnghợp đồng dạng của hai tam giác

5.3 Khái quát hóa và đặc biệt hóa:

Khái quát hóa là suy luận chuyển từ khảo sát một tập hợp đối tượng đến mộttập hợp đối tượng lớn hơn, chứa tập hợp ban đầu làm tập con

Khái quát hóa là dùng trí óc tách ra cái chung trong các đối tượng, hiện tượng,

sự kiện Muốn khái quát hóa phải so sánh nhiều đối tượng với nhau để rút ra kếtluận cái chung từ đó ta có thể khái quát hóa để có một tính chất hay một phươngpháp riêng

Đặc biệt hóa là xét một trường hợp cụ thể riêng biệt nằm trong cái chung

Ví dụ 7:

Để có định lí về tổng số đo các góc trong tam giác, ta có thể tiến hành nhưsau:

+ Đầu tiên hãy yêu cầu mỗi học sinh vẽ một tam giác vào giấy, dùng thước

đo góc đo các góc của tam giác đó và tính tổng của chúng

+ Cho học sinh nêu kết quả, giáo viên thống kê các kết quả lên bảng

Kết quả mong muốn thu được là tần suất tổng các góc của tam giác bằng 1800

là phổ biến Từ đó có thể nêu một giả thuyết tổng quát “Trong một tam giác, tổngcác góc bằng 1800”

Cần lưu ý là khái quát hóa chỉ cho ta dự đoán, mệnh đề rút ra bằng khái quáthóa có thể đúng hoặc sai, nó sẽ phải được chứng minh hoặc bác bỏ Việc bác bỏmột dự đoán khái quát có liên quan đến việc thử xem dự đoán khái quát đó cóđúng không trong các trường hợp riêng đơn giản Việc làm này gọi là đặc biệt hóa

c Khái quát hóa và đặc biệt hóa có tác dụng to lớn trong dạy học toán Nógiúp cho học sinh có một cái nhìn bao quát, thấy được cái chung trong nhiều cáiriêng lẻ, rút ra cái chung để vận dụng rộng hơn

Đây là một con đường phát minh, sáng tạo và kiểm chứng giả thuyết

Lưu ý rằng: các giả thuyết rút ra được từ khái quát hóa có thể đúng và có thểsai Vì vậy phải chứng minh.

5.4 Trừu tượng hóa và cụ thể hóa:

Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm khôngbản chất Sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây chỉ mang tính chất tươngđối, nó phụ thuộc vào mục đích hành động

Cụ thể hóa là tìm ví dụ minh họa cho cái chung đó Tức là ta tìm một cáiriêng mà cái riêng này thỏa mản tính chất, điều kiện của cái chung đã xác định

Ví dụ 8:Hình thành khái niệm hình vuông

• Hình thành biểu tượng hình vuông

+ Cho học sinh (lớp 1) quan sát một tấm bìa có hình dạng “hình vuông”, saukhi giới thiệu “tấm bìa này có hình dạng hình vuông, gọi tắt là hình vuông” rồi cất

đi khi đó trong trí nhớ của các em sẽ lưu lại hình ảnh một “hình vuông” cụ thể vớiđầy đủ các yếu tố về chất liệu, màu sắc, kích thước và vị trí đặt “hình vuông”.+ Bây giờ lại cho học sinh quan sát cùng một lúc nhiều “hình vuông” khácnhau về chất liệu, màu sắc, kích thước và vị trí đặt Khi cất đi, trong trí óc các em

đã có biểu tượng về “hình vuông”, không phụ thuộc vào chất liệu, màu sắc, kíchthước và vị trí đặt Lúc này nếu ta cho học sinh lựa chọn “hình vuông” trong các

đồ chơi gồm nhiều loại “tứ giác”, làm bằng các chất liệu khác nhau, màu sắc, kíchthước khác nhau thì các em sẽ nhặt ra được đúng “hình vuông” như mong muốn

• Mô tả trực quan khái niệm hình vuông

+ Sau khi học sinh đã được học thêm các khái niệm về hai đường thẳng songsong, hai đường thẳng vuông góc (lớp 3), giáo viên vẽ hình vuông trên bảng, họcsinh vẽ trên giấy Sau đó bằng thực nghiệm học sinh mô tả được bằng lời : “hìnhvuông là hình có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông”

Đây là một quá trình trừu tượng hóa : từ các mô hình bằng bìa, bằng gỗ vớicác màu sắc, kích thước khác nhau ta đã thay bởi hình vẽ tượng trưng hình vuôngvới các thuộc tính cơ bản là : tứ giác có các cạnh bằng nhau, các góc vuông

• Định nghĩa khái niệm bằng lôgíc chặt chẽ

+ Lên THCS, khái niệm hình vuông được định nghĩa một cách chặt chẽ vềmặt lôgíc : “Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau”.Đây lại là bước trừu tượng hóa cao hơn, từ sự trừu tượng hóa ở bước trên.

c Trừu tượng hóa và cụ thể hóa có tác dụng to lớn trong dạy học toán Nhờtrừu tượng hóa mà ta có được các khái niệm toán học và các tính chất của chúng.Trừu tượng hóa giúp cho học sinh có một cái nhìn bao quát, thấy được cái chungtrong nhiều cái riêng lẻ, rút ra cái chung để vận dụng rộng hơn

5.5 Tính độc lập:

Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện vấn đề, tựmình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hoànthiện kết quả đạt được Tính độc lập liên hệ mật thiết với tính phê phán của tư duy.Tính chất sau thể hiện ở khả năng đánh giá nghiêm túc những ý nghĩ và tư tưởngcủa người khác và của bản thân mình có tinh thần hoài nghi khoa học biết đặt

những câu hỏi “tại sao?”, “như thế nào?”,…đúng chổ đúng lúc.

5.6 Tư duy lôgíc và ngôn ngữ chính xác

Do đặc điểm của khoa học toán học, môn Toán có tiềm năng quan trọng đểkhai thác và rèn luyện cho học sinh tư duy lôgíc Nhưng tư duy không thể tách rờingôn ngữ, luôn luôn gắn bó chặt chẽ với nhau Tư duy phải được thể hiện qua cáchình thức ngôn ngữ, đối với toán là các thuật ngữ, ký hiệu, … toán học

Ví dụ như các thuật ngữ: điểm, đường thẳng, mặt phẳng,… các ký hiệu toánnhư: , , ,    , Mỗi thuật ngữ, ký hiệu đều chứa đựng một nội dung xácđịnh Do vậy, hiểu đúng, viết đúng, diễn đạt đúng là một yêu cầu quan trọng trongdạy và học toán

Việc phát triển tư duy lôgíc và ngôn ngữ chính xác ở học sinh qua môn toán

có thể thực hiện theo ba hướng liên quan chặc chẽ với nhau:

 Làm cho học sinh nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết

lôgíc: và, hoặc, nếu … thì, phủ định, những lượng từ tồn tại và khái quát, …

 Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với định nghĩa

 Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc lậptiến hành chứng minh

6 BỒI DƯỠNG NÂNG CAO NĂNG LỰC PHÁN ĐOÁN

Phán đoán là dựa vào điều đã biết, đã thấy để suy xét rút ra nhận định về điềuchưa biết, chưa xảy ra, hình thức tư duy trong đó các khái niệm kết hợp với nhau,khái niệm này vạch rõ nội dung thuộc tính của khái niệm kia

Phán đoán là bước ngoặt từ dữ kiện sang kết luận Phương thức tư duy này là

vô cùng quan trọng trong quá trình học tập của học sinh Phán đoán không nhữnggiúp ta phát hiện vấn đề mới mà trong việc giải quyết các vấn đề giảm được nhữngbước đi mày mò, vòng vèo, giúp ta biết căn cứ vào dữ liệu và mục tiêu cần giảiquyết để có được dự báo, phán đoán chính xác Bồi dưỡng năng lực phán đoánchính là bồi dưỡng cho học sinh năng lực phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề.Người giáo viên Toán phải có năng lực phán đoán ở mức thông hiểu và vận dụngthì mới gọi là có năng lực chuyên môn nghiệp vụ, đồng thời có năng lực tự họccao Có thể đưa ra cách bồi dưỡng năng lực phán đoán như sau:

(1) Quan sát tốt để đưa ra phán đoán

Ví dụ 9: hãy tính diện tích miền gạch sọc trong các hình a, b, c sau đây:

cb

a

R = 1.5

r = 1 80°

R = 1.5

r = 1

1.5 1.5

Diện tích miền gạch sọc trong hình a là vành khăn Học sinh quan sát nhận ra diện tích trong các hình là:

Hình a Sa = SR – Sr= (R2 – r2) = (1.52 – 12) = 5

4

(cm2)

Hình b Diện tích phần gạch sọc bằng diện tích hình quạt có bán kính R trừ cho diện tích hình quạt có bán kính r với góc ở tâm là 800

Diện tích phần gạch sọc ở hình c) bằng hiệu diện tích hình vuông cạnh 3 cm với diện tích hình tròn bán kính 1,5cm.

Vậy S  32  1,52  1,9( cm2)

(2) Từ thực nghiệm (quy nạp) để phán đoán

Ví dụ 10: Cho đoạn thẳng AB và góc (00  180 )0 Tìm quỹ tích các

điểm M thoả mãn AMB  

Hoạt động thực nghiệm:

Hoạt động 1: Vẽ ba điểm N1, N2, N3 sao cho    0

AN B AN B AN B   Chứng minh các điểm N1, N2, N3 nằm trên đường tròn đường kính AB

Hoạt động 2: Vẽ một góc trên bìa cứng, cắt góc đó ra, ta được một mẫu bìacứng, đóng hai chiết đinh ở hai vị trí A và B trên một miếng gỗ phẳng Dịchchuyển tấm bìa trong khe hở sao cho hai cạnh của góc luôn dính sát vào hai chiếcđinh ở hai vị trí A và B

Đánh dấu các vị trí M1, M2, , M10 của đỉnh góc

Qua thực hành dự đoán quỹ đạo chuyển động của M, từ đó tìm ra quỹ tích M

(3) Từ so sánh để đưa ra phán đoán: Quy nạp và diễn dịch là một chỉnh thể, trong

cấu trúc của quá trình suy luận logic đi từ cá biệt đến cái chung, rồi lại từ cái chung đi đếncái cá biệt Nhưng quá trình này phải được hoàn thành trên cơ sở một số rất lớn cái cá biệt

để có thể quy nạp thành một giả thuyết có tính quy luật Không có bước quy nạp này sẽkhông có bước diễn dịch tiếp theo So sánh thì lại khác, so sánh là phương pháp đi từ cábiệt đến cá biệt, tuy logic không chặt chẽ, nhưng tính sáng tạo lại rất lớn So sánh bao gồmhai thành phần: phát hiện những đặc điểm chung và nhưng đặc điểm khác nhau ở một sốđối tượng Việc phát hiện những đặc điểm chung thường diễn ra trong quá trình khái quáthóa

(4) Thông qua vấn đề đã biết biến thành dạng chung hoặc dạng riêng để

phán đoán Cơ sở triết học của phương pháp là mối quan hệ biện chứng giữa cái

chung và cái riêng, cái đơn nhất

Ví dụ 11: Để giải quyết một số các bài toán chứng minh, ta thường quy về

sự chứng minh hai hình nào đó bằng nhau, cơ bản nhất là sự bằng nhau của cácđoạn thẳng, các góc, các tam giác

Cách 1: Hai tam giác ACD và HEA

Có hai cặp cạnh bằng nhau: AD = AH, DC = EA

Hai góc CDA và EAH có các cạnh tương ứng vuông góc ADAH và AE  DC nên bằng nhau Vậy tam giác ACD bằng Tam giác HEA

Cách 2: Thực hiện phép quay tâm A, góc quay 900, điểm D biến thành H, C biến thành C’, A biến thành A Theo tính chất bảo tồn độ dài và góc của phép quay

ta có: AC’ = AC và HC’ = CD Và CD = AB = AE nên HC’ = AE Ngoài ra vì gócquay bằng 900 nên HC’AB, suy ra: HC// AE

Từ đó tứ giác AFHC’ là một hình bình hành Vậy FH = AC’ = AC

(5) Phán đoán nhờ tương tự

Cũng như phân tích và tổng hợp, học sinh phổ thông cũng đã quen thuộc với

phép tương tự Trong quá trình dạy học toán THCS và THPT, giáo viên cũng đã chú ý

tập luyện các hoạt động tương tự cho học sinh trong học toán Hoạt động phép tương tựrất đa dạng, các em thường được làm quen phép suy luận này trong các trường hợp làchuyển từ một trường hợp này sang một trường hợp riêng khác

Người giáo viên Toán cần nắm vững lý luận và hoạt động thành thạo phépsuy luận tương tự Một mặt, để hướng dẫn học sinh hoạt động suy luận tương tự

trong toán học Mặt khác, phát triển năng lực tư duy cho học sinh Cơ sở tâm lý

của tương tự là quá trình liên tưởng trong tư duy, phép tương tự chủ yếu là thôngqua liên tưởng so sánh để thực hiện Khái niệm “tương tự” rất đa dạng, có thể sửdụng tương tự để tìm cách chứng minh, phát biểu dự đoán vấn đề mới, dự đoáncách giải,…tùy theo góc độ nào để mà xem xét đối tượng Dự đoán nhờ tương tự

G H

E

F

có thể được mô tả như sau: Nếu A và B là hai đối tượng tương tự với nhau và A có

thuộc tính S thì ta dự đoán B cũng có thuộc tính S.

Dự đoán nhờ tương tự có thể đúng có thể sai Muốn khẳng định dự đoán đó

là đúng (hoặc là sai) thì phải chứng minh bằng suy diễn

7 BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC QUAN SÁT TOÁN HỌC

7.1 Phải có mục đích quan sát rõ ràng Muốn phát hiện vấn đề, thì phải quan

sát khoa học Muốn quan sát đối tượng một cách khoa học thì người học phảichuẩn bị đầy đủ về tâm lý và đặc biệt là phải có tri thức cơ sở cho quan sát Khihọc sinh có tri thức khoa học cơ sở, thì quan sát toán học sẽ có mục đích rõ ràng,việc tự học và rèn luyện nghiệp vụ sư phạm Toán sẽ có hiệu quả hơn

Ví dụ 12:

Nhiều học sinh khi đọc sách giáo khoa hay bài giảng rất thụ động, thườngđọc đi đọc lại nhiều lần bài học, chỉ coi trọng việc thuộc bài trong sách, bài giảng,

ít khi tự hỏi, tự lật đi lật lại vấn đế, không coi trọng việc phát hiện vấn đề trong

học tập Thậm chí nhiều học sinh cầm sách, bài giảng là đọc ngay không biết quansát để tìm ra những hướng dẫn tự học, nhận thức được cấu trúc của bài giảng, củagiáo khoa Có nhiều nguyên nhân, nhưng nguyên nhân quan trọng là những họcsinh đó chưa biết phương pháp quan sát, quan sát còn hời hợt, chưa gắn quan sátvới suy nghĩ, chưa coi trọng quan sát toán học

Quan sát toán học có hai mục đích: thứ nhất, để thu nhận kiến thức mới và vận dụng kiến thức giải bài tập; thứ hai, cung cấp và rèn luyện tri thức phương

pháp

Làm thế nào để nâng cao tính mục đích trong quan sát? Trước hết, điều rất quan

trọng là học sinh phải có ý định quan sát, tức là quan sát để làm gì, để tìm ra cái gì Ý

định này phải do chủ thể là học sinh tự xác lập, giáo viên là người hướng dẫn Vai tròcủa giáo viên thể hiện: giúp học sinh xác định mục tiêu bằng cách nêu vấn đề; hướngdẫn mục tiêu cần chú ý, cần nắm của cả môn học, chương, bài học; nhấn mạnh nhữngtừ quan trọng, những sơ đồ, những vấn đề cần hệ thống…

7.2 Nắm vững phương pháp quan sát khoa học Để học sinh học Toán tốt

và người giáo viên toán trở thành thầy dạy Toán giỏi ở trường phổ thông thì trước

hết phải thành thạo phương pháp quan sát toán học để dạy cho học sinh cách quansát toán học Khi quan sát vừa dùng mắt nhìn, vừa phải suy nghĩ Hai yếu tố nàykết hợp chặt chẽ với nhau trong quá trình học tập Bởi vì, quan sát thì phải có mụcđích, trong quá trình chuẩn bị thì phải xác định quan sát cái gì, trong quá trìnhquan sát thì phải so sánh, phân tích, quy nạp để có thể có được kết luận đúng.Quan sát xong thì giải quyết vấn đề, sau đó lại phải suy nghĩ về kết quả quan sátđược.

7.3 Quan sát toán học như thế nào

7.3.1 Tập trung trí lực tìm đặc điểm bản chất: Phải căn cứ vào mục đích quan

sát để tìm đặc điểm của sự vật, vấn đề cần quan sát Thông qua đặc điểm để phát hiệnđược quy luật, tri thức mới, cách giải quyết vấn đề Các đặc điểm cần chú ý: quan sátcác chữ số và đặc điểm; quan sát nhận biết cấu trúc định nghĩa, định lý; quan sát đặcđiểm và kết cấu của dãy phép tính; quan sát đặc điểm và kết cấu của một công thức,biểu thức toán học; quan sát đặc điểm của biểu đồ hình vẽ; quan sát cấu trúc của vănbản toán học…

7.3.2 Chú ý đến từng chi tiết Quan sát là phải chi tiết để nhận biết được tất cả

các tình huống có thể xảy ra

7.3.3 Quan sát để so sánh, để dự đoán: Khi người ta so sánh, dự đoán,

thường nhìn vào chỗ tương tự hoặc giống nhau của sự vật, nhưng ngoài chỗ giốngnhau hoặc tương tự, thì còn nhiều chỗ khác nhau hoặc tương phản mà nhiều lúc ta

ít chú ý hoặc chưa biết So sánh là phương pháp đi từ cái riêng đến cái riêng, từ cái

cá biệt đến cái cá biệt, tuy rằng về mặt logic chưa thật chặt chẽ nhưng nó có sứcsáng tạo rất to lớn Vì thế, để phát triển năng lực dự đoán cho học sinh, giáo viênphải hướng dẫn học sinh phương pháp so sánh, quan sát toán học gắn liền với sosánh

Như vậy, ta nhận thấy rằng nhiều khi chính quá trình mò mẫm dự đoán lạigợi ý cho các biến đổi, cách thêm, bớt, kẻ đường phụ, đối với bước suy luậnlôgíc Nói cách khác thì vai trò của dự đoán là rất quan trọng, nếu quan sát tốt, nhờ

dự đoán mà ta biết kẻ đường phụ như thế nào cho hợp lý Nhiều khi, dự đoán cònliên quan đến linh cảm, trực giác nữa

7.3.4 Quan sát để tổng quát hóa, đặc biệt hóa

Do tính phức tạp, tính đa dạng, phong phú của các vấn đề Toán học, đồngthời tính phức tạp của hiện tượng dạy học Toán, mà người giáo viên toán phảithường xuyên rèn luyện cho học sinh tính khách quan, kiên trì, cẩn thận, lâu dài thựchiện quan sát Giáo viên cần tạo cơ hội thường xuyên giúp học sinh quan sát để có

dự đoán Cần có những câu hỏi có tính sư phạm cao dẫn dắt học sinh quan sát.Trong dạy học môn Toán, việc sử dụng hợp lý các phương tiện dạy học trựcquan tượng trưng đóng một vai trò vô cùng quan trọng, các phương tiện trực quantượng trưng không chỉ tham gia vào quá trình hình thành khái niệm mà còn hỗ trợ đắclực cho dạy học định lý, dạy học giải bài tập toán,

Thường xuyên quan sát mới xuất hiện trực giác (linh cảm) Phải đặt mình vào

vai trò chủ thể bên trong khi quan sát, từ đó rèn luyện tư duy trực giác.

8 MỘT VÀI NHẬN XÉT VỀ DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNGHIỆN NAY

Trong thực tế dạy học Toán, giáo viên chưa coi trọng hợp lý việc rèn luyệnkhả năng suy diễn, vẫn còn tồn tại các vấn đề sau (Tóm tắt theo Luận án Tiến sĩcủa Nguyễn Văn Thuận):

Thứ nhất, vẫn còn nặng về lối “thầy giảng, trò nghe” Chẳng hạn, khi dạy định

lý vẫn còn thiên về lối giảng Khi dạy một định lý, thầy tiến hành như nêu nội dungđịnh lý, nêu giả thiết, kết luận, nêu cách chứng minh định lý, học sinh ít hoạt động.Quá trình dạy học như vậy là quá trình tuyến tính, không thích hợp

Thứ hai, thầy giáo thường “bao biện” làm thay, suy diễn thay học sinh Thứ ba, Có những bước suy diễn mà với thầy giáo thì rất “tầm thường”, bởi

thế nhầm tưởng rằng với học sinh cũng dễ như thế, do đó thầy lướt qua rất nhanh,không để cho học sinh suy nghĩ “Thực ra thì không phải như vậy, trước khi trìnhbày một kiến thức nào đó thì thầy giáo đã làm việc với khá nhiều lần rồi, nhưngđối với học sinh, thì đây là lần đầu tiên được tiếp xúc với nó” (Trần Thúc Trình(chủ biên), Một số vấn đề rèn luyện tư duy trong việc dạy Hình học lớp Sáu, NxbGiáo dục, Hà Nội)

Thứ tư, chưa sử dụng hệ thống câu hỏi và bài tập một cách hợp lý, mềm dẻo

và linh hoạt đối với từng đối tượng học sinh Nhiều bài tập còn trùng lặp về dạng,chỉ đòi hỏi áp dụng theo công thức Còn thiếu những câu hỏi và bài tập rèn luyệnkỹ năng suy luận diễn dịch, chưa khai thác triệt để những tình huống có thể pháttriển khả năng suy diễn cho học sinh

Thứ năm, chưa khai thác tốt mối liên hệ giữa các chủ đề kiến thức với nhau

thông qua những bước suy diễn không cần phức tạp “Logic của Toán học khôngchỉ bao gồm các diễn đạt và chứng minh riêng lẻ, mà còn ở tính hệ thống và hoànchỉnh của nó” Theo GS Nguyễn Bá Kim: “Để dạy một tri thức nào đó, thầy giáokhông thể trao ngay cho học sinh điều thầy muốn dạy, cách làm tốt nhất thường làcài đặt tri thức đó vào những tình huống thích hợp để học sinh chiếm lĩnh nó thôngqua hoạt động tự giác, tích cực chủ động và sáng tạo”

Do đó, để hình thành và phát triển kỹ năng suy diễn cho học sinh, thì: “Điềucốt yếu của phương pháp dạy học là thiết lập môi trường có dụng ý sư phạm đểngười học có thể học tập trong hoạt động, học tập bằng thích nghi”

9 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC

9.1 Lượt đồ chứng minh

Nếu từ các tiên đề A1, A2, …, An ta rút ra kết luận B bằng cách vận dụngcác quy tắc auy luận thì ta bảo B là kết luận hợp lôgic của các tiên đề A1, A2,

…, An và suy luận đó là suy luận hợp lôgic

Nếu các tiên đề A1, A2, …, An đều đúng thì ta gọi kết luận B là một kếtluận chứng minh và suy luận đó gọi là một phép chứng minh

Mọi phép chứng minh lôgic đều gồm 3 bộ phận:

Luận đề: là mệnh đề cần phải chứng minh Nó trả lời cho câu hỏi “chứng

minh cái gì ?”, ta còn gọi luận đề là kết luận

Luận cứ: là những tiên đề, định nghĩa, định lí đã biết được đưa ra làm

tiên đề trong mỗi suy luận Nó trả lời cho câu hỏi: “Chứng minh dựa vào cáigì?” Trong mỗi bài toán chứng minh, luận cứ còn là các dữ kiện , các quan hệ

đã cho trong bài toán

Luận chứng: là những phép suy luận được sử dụng trong chứng minh.

Nó trả lời cho câu hỏi: “Chứng minh như thế nào ?”, “theo những qui tắc suyluận nào ?”

9.2 Các phương pháp chứng minh

9.2.1 Chứng minh trực tiếp:

Chứng minh trực tiếp là đưa ra luận cứ, những qui tắc suy luận để rút ra

luận đề Cơ sở của chứng minh trực tiếp là các qui tắc suy luận kết luận (Modus ponens) và suy luận bắc cầu

Giả sử ta phải chứng minh mệnh đề A  B là đúng (A là giả thiết, B làkết luận), ta lập các mệnh đề mới A1, A2, …, An gọi là các mệnh đề trung gian

và chứng minh các mệnh đề sau đây đúng: A  A1, A1  A2, …,

An  B Tức là ta đã vận dụng liên tiếp các quy tắc kết luận sau:

Kẻ đường chéo AC, chia hình bình hành

ABCD ra làm hai tam giác ABC và ADC

(i) Nếu hai đường thẳng song song với

nhau thì chúng tao thành một cát tuyến hai góc so le trong bằng nhau

AD // BC (theo giả thiết)

Vậy CAD ACB   (so le trong)

(ii) chứng minh tương tự, ta được: BAC  ACD

(iii) Nếu hai tam giác có một cạnh bằng nhau kề với hai góc bằng nhau từng đôi một thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hai tam giác ABC và ADC có

cạnh AC chung

CAD ACB

và BAC  ACD theo chứng minh trên

Vậy hai tam giác đó bằng nhau theo trường hợp g – c – g

(iv) nếu hai tam giác bằng nhau thì đối diện với các cặp góc bằng nhau lànhững cặp cạnh bằng nhau

Hai tam giác ABC và ADC bằng nhau, mặt khác hai cạnh AD và BC đối diệnvới hai góc bằng nhau BAC ACD, hai cạnh AB và CD đối diện với hai góc bằngnhau CAD ACB  

(1) Giáo viên cần nhấn mạnh sơ đồ (1) thông qua những ví dụ cụ thể

như trên để học sinh lĩnh hội quy tắc đó một cách ẩn tàng

Thông thường khi vận dụng quy tắc 1, nếu A Blà một định nghĩa hay định

lí thì người ta thường trình bày vắn tắc không nhắc lại định nghĩa hay định lý đó

Vì vậy, đoạn chứng minh trên có thể được viết ngắn gọn như sau:

Trước hết, kẻ đường chéo AC chia hình bình hành ABCD thành hai tam giác ABC và ADC.

AD // BC (giả thiết)

Nên CAD ACB   (hai góc so le trong)

Chứng minh tương tự ta được:

 

CAD ACB (chứng minh trên)

Vậy ABCCDA (g – c – g)

AB CD

  và BCDA

Ví dụ 14: chứng minh định lý sau:

Với mọi tam giác ABC ta có:

GT ABC có

BC = a, AC = b, AB = cKL

H H

Vì cosHAC sinCvà cosHAB sinB nên AC.sinC AB.sinB

hay b.sinC c sinB

Vì sin ,sinC Bđều khác 0 nên

B  C

Ví dụ 15:

Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau

tại O Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam

giác AOB và COD tiếp xúc ngoài với nhau

M

O C B

Để chứng minh hai đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB và COD tiếp xúcngoài với nhau Ta cần chứng minh ba điểm M, N, O thẳng hàng và MN = MO +

ON, tức là đoạn thẳng nối tâm bằng tổng hai bán kính

Ta cần lưu ý với học sinh rằng nếu hai tam giác bằng nhau thì bán kính củahai đường tròn ngoại tiếp bằng nhau

Ta có thể trình bày bài giải như sau:

Suy ra: MOD NOB   , dẫn tới ba điểm M, O, N thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) Suy ra: MN = MO + ON, tức là đoạn nối tâm bằng tổng haibán kính nên các đường tròn (M) và (N) tiếp xúc ngoài với nhau

Như vậy qua việc chứng minh trên ta đã nhấn mạnh và làm nổi bậc cho

học sinh quy tắc kết luận lôgíc rất thông dụng là A B A,

B



, giáo viên cần quan

tâm dùng những ví dụ cụ thể bác bỏ những sai lầm do học sinh thường ngộnhận:

,

A B B A

Tóm lại: phép chứng minh trực tiếp ưu điểm nổi bậc là trình bài gọn gàng,chặt chẽ, có hệ thống Do vậy phép chứng minh này thường được sử dụng đểtrình bày phép chứng minh một định lý trong sách giáo khoa hoặc trình bày bài

giải một bài toán nói chung và lời giải một bài toán chứng minh hình học nóiriêng Tuy nhiên về phương diện sư phạm phép chứng minh này thiếu tự nhiên,

vì học sinh không hiểu lí do vì sao (tìm đâu ra, làm sao phải tìm) lại bắt đầu từ A

9.2.2 Chứng minh gián tiếp:

Chứng minh gián tiếp là chứng minh một mệnh đề khác sai Cơ sở của phép

chứng minh này là phép suy luận phản chứng

Giả sử, ta cần chứng minh mệnh đề A B là đúng, với A là giả thiết, là mệnh

đề đã cho là đúng, ta phải chứng minh B đúng.

Giả thiết phản chứng là B ta suy ra A , điều này mâu thuẩn với giả thiết A

hoặc mâu thuẩn với mệnh đề đúng đã biết Vậy kết luận B đúng (theo luật mâuthuẩn)

Ví dụ 17:

Chứng minh định lí đảo của định lí “góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung”

cụ thể là:

Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB)

có số đo bằng một nữa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên tronggóc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn

Bài này ta có thể chứng minh trực tiếp hoặc gián tiếp, ở đây tôi xin trình bàycách chứng minh theo phương pháp gián tiếp (chứng

minh phản chứng)

Giả sử tia Ax không phải là tiếp tuyến của (O)

Gọi M là giao điểm thứ hai của Ax với (O) Theo

Từ (1) và (2) ta thấy vô lý

Vậy Ax là tiếp tuyến của (O)

Ta có thể phản chứng như sau:

A

M

Giả sử Ax không phải là tiếp tuyến của (O).

Vẽ tia tiếp tuyến Ax’ với (O) nên  1

' 2

BAx  sđAB

Ta có  1

2

BAx  sđAB (gt) Vậy BAx BAx   '

Suy ra: Ax trùng với tia Ax’ hay Ax là tiếp tuyến của (O)

9.2.3 Chứng minh quy nạp

Phép chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học, gọi tắc là chứngminh quy nạp cũng là một phương pháp chứng minh thường gặp

Nội dung của phương pháp này như sau:

Giả sử phải chứng minh mệnh đề P(n) nào đó đúng với mọi số tự nhiên n(P(n) là hàm mệnh đề về số tự nhiên), với na, trong đó a là số tự nhiên chotrước

Ta tiến hành theo các bước như sau:

Bước 1: chứng minh mệnh đề đúng với n = a

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k (ka) nào đó Ta chứng minh mệnh

đề đúng với n = k + 1, nghĩa là P k( )P k P k(( 1)1), ( )P k

Bước 3: Kết luận P(n) đúng với mọi n  a

Cơ sở lí luận của phương pháp này là:

Theo bước 1: mệnh đề P(n) đúng với n = a

Theo bước 2: ta có P(a) đúng  P(a+1) đúng

P(a+1) đúng  P(a+2) đúng

…Phép suy luận không thể dừng lại, nên P(n) đúng n  a

Ví dụ 18:

Cho hai đường thẳng song song Trên mỗi đường thẳng lấy n điểm và kẻnhững đoạn thẳng nối các điểm không cùng trên một đường thẳng Số đoạn thẳngnhiều nhất có thể kẻ được là bao nhiêu để cho chúng không cắt nhau ở trong phầnmặt phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng đã cho

Đây là bài toán mà chủ yếu là phần lí luận mà ta sẽ chứng minh bằng phươngpháp qui nạp.

Ta hãy mở rộng bài toán theo một cách khác:

Cho hai đường thẳng song song Trên đường thẳng thứ nhất ta ghi k điểm theo thứ tự từ trái sang phải là A1, A2, …, Ak và trên đường thẳng thứ hai, ta ghi n điểm theo thứ tự từ trái sang phải là B1, B2, …, Bn

Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp

 Với k = 1 và n = 1: mệnh đề hiển nhiên đúng

 Giả sử (*) đúng với k + n = m, ta chứng minh (*) đúng khi k + n = m + 1.Xem hai điểm cuối Ak và Bn Đoạn thẳng AkBn không cắt bất kỳ đoạn thẳng

AiBj khác, i = 1, 2, …, (k – 1) và j = 1, 2, …, (n – 1), do đó tập hợp những đoạnthẳng thoả yêu cầu của bài toán phải chứa đoạn thẳng AkBn Nếu như cả hai điểm

Ak và Bn đều được nối với một vài điểm nào đó thì chúng sẽ cắt nhau Do đó mộttrong hai điểm Ak và Bn không nối với các điểm khác Giả sử Ak không nối vớinhững điểm Bs, s < n còn lại mà chỉ nối với Bn

Với (k – 1) + n điểm A1, A2, …, Ak – 1 và B1, B2, …, Bn, từ giả thiết qui nạp, ta

kẻ được tối đa là:

(k – 1) + n – 1 = k + n – 2 đoạn thẳng không cắt nhau Từ đó, ta suy ra: vớicác điểm A1, A2, …, Ak và B1, B2, …, Bn có thể kẻ được tối đa:

( k + n – 2) + 1 = k + n – 1 đoạn thẳng không cắt nhau  đpcm

10 CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC

Quy trình giải một bài toán thường phải trải qua các bước sau đây:

 Tìm hiểu đề toán

 Tìm tòi lời giải của bài toán

 Trình bày lời giải của bài toán

 Nhìn lại bài toán

10.1 Tìm hiểu đề toán

Để giải được một bài toán, trước phải hiểu đề bài và ham thích giải bài toán

đó Vì thế cần giúp học sinh tìm hiểu đề và chú ý gợi đông cơ, khơi gợi trí tò mò,hứng thú cho các em

10.1.1 Để hiểu rõ đề toán, trước hết cần nắm vững mọi khái niệm đề cậptrong bài toán Cần phải nhớ lại định nghĩa, các khái niệm đó hoặc có thể địnhnghĩa khái niệm đó bằng những cách khác như thế nào?

10.1.2 Phải nắm rõ giả thiết và kết luận của bài toán Nghĩa là bài toáncho những gì? Ta phải chứng minh điều gì? Phải tìm cái gì?

10.1.3 Dựa vào bài toán đã cho, vẽ hình mô tả nội dung bài toán Hìnhvẽ sẽ giúp ta hiểu được đề toán một cách cụ thể và rõ ràng hơn Hình vẽ còn tácdụng gợi ý cho việc tìm ra các giải pháp, cách giải và phát triển trí tưởng tượngkhông gian Nếu cần thiết ta phải vẽ thêm đường phụ cho bài toán

Khi vẽ hình cho bài toán cần lưu ý:

Hình vẽ phải mang tính tổng quát, không nên vẽ hình trong trường hợp đặcbiệt, vì như thế dễ gây ngộ nhận

Nên thể hiện những điều đã cho và những điều cần tìm trên hình vẽ

Để làm nổi bậc các đường, các hình, trong hình vẽ có sử dụng nét đậm, nétnhạc với màu sắc khác nhau, nét liền hay nét đứt

10.1.4 Dựa vào hình vẽ, ghi giả thiết, kết luận của bài toán Việc ghi giảthiết, kết luận giúp ta nắm vững hơn nội dung bài toán, chuẩn bị tốt cho các bướctiếp theo

10.2 Tìm tòi lời giải bài toán

Việc tìm tòi lời giải bài toán là một bước quan trọng bậc nhất trong hoạt độnggiải toán Điều cơ bản của bước này là biết định hướng đúng để tìm ra được nhanhchóng hướng giải bài toán

Sau đây tôi xin đề xuất một số biện pháp giúp tìm tòi lời giải bài toán:

10.2.1 Hãy nghĩ đến những bài toán có liên quan:

Những bài toán liên quan có thể là những bài toán tương tự với những bàitoán đã cho hoặc là những bài toán tổng quát hơn bài toán đã cho, hoặc là trườnghợp đặc biệt của bài toán đã cho, hoặc những bài toán liên quan chứa đựng mộtphần tính chất của bài toán cần chứng minh Nghĩ đến những bài toán liên quan đểtìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp giải các bài toán đó

Ví dụ 19: Cho tam giác nhọn ABC, xác định một tam giác MPQ có chu vi bénhất, nội tiếp tam giác ABC (có nghĩa là các đỉnh M, N, P của tam giác MNP lầnlượt nằm trên các cạnh BC, CA, BA của tam giác ABC)

Bài toán trên cho ta gợi nhớ đến bài toán quen thuộc sau đây ở lớp 8:

Bài toán liên quan:

Cho góc nhọn xOy và một điểm M nằm trong góc đó Hãy xác định điểm A,

B lần lượt nằm trên hai tia Ox, Oy sao cho chu vi của tam giác ABM bé nhất.Bài toán này được giải quyết như sau:

Gọi M’, M” là các điểm đối xứng với

M lần lượt qua Ox, Oy Gọi A, B lần lượt là

giao điểm của M’M”với Ox và Oy

Ta có: chu vi tam giác MAB bằng:

MA + MB + AB = M’A + M”B + AB

= M’M”

Với hai điểm A’, B’ bất kì khác A, B

trên tia Ox, Oy ta có chu vi tam giác MA’B’ bằng:

MA’ + MB’ + A’B’ = M’A’ + M”B’ + A’B’

> M’M” vì đường gấp khúc M’A’B’M” bao giờ cũng có

độ dài lớn hơn đường thẳng M’M”

x

y

A B

M'

M"

O

M B'

A'

Vậy các điểm A, B như đã xác định ở trên tạo thành một tam giác có chu vi

bé nhất thoả yêu cầu đề toán

Từ bài toán đó và cách giải của nó ta tìm thấy lời giải của bài toán ban đầunhư sau:

Gọi MPQ là tam giác nội tiếp tam giác ABC thoả yêu cầu đề toán

Gọi M’, M” lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB, AC:

Khi đó ta có:

MP + PQ + QM = M”P + PQ + QM’

suy ra nếu đã chọn điểm M trên BC thì

chu vi tam giác MPQ bé nhất khi và chỉ

khi các điểm M’, Q, P, M” thẳng hàng

và chu vi của tam giác đó bằng độ dài M’M”

Vậy với mỗi vị trí của M trên cạnh BC ta xác định được một tam giác MPQ

Suy ra M là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC

Bằng cách lập luận tương tự ta có P và Q là đường cao hạ từ B và C của tamgiác ABC

Ví dụ 20:

Cho hình thang ABCD với hai cạnh AB và CD song song Hai đường chéo

AC và BD cắt nhau tại O

A

M

b Với điều kiện nào của các cạnh AB và CD thì tổng các diện tích tam giácAOB và COD nhỏ nhất?

Để chứng minh bài toán này ta cần cho học sinh xét bài tập sau:

Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm M tuỳ ý Đường thẳng qua M vàsong song với AB cắt AC ở P Đường thẳng qua M và song song với AC cắt AB

tại Q Chứng minh rằng 1

Khi đó, MQ = MG suy ra:

QBM = GHM (g.c.g)

Từ đó, ta có: 2S APMQ S AKGQ S ABHK S ABC

Xét tương tự cho trường hợp MB > MC

Từ bài toán trên và với giả thiết đã cho ta suy ra rằng diện tích hình bình hành

APMQ đạt giá trị lớn nhất khi M là trung điểm của của BC và 1

2

G H

K Q

P

A

M