SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng khai thác hình chiếu của điểm trên đường thẳng để giải quyết một số bài toán cực trị hình học

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMĐỀ TÀI: "RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG KHAI THÁC HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM TRÊN ĐƯỜNG THẲNG ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC"... Chính vì vậy tôi chọn đề tà

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

"RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG KHAI THÁC HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM TRÊN ĐƯỜNG THẲNG ĐỂ GIẢI QUYẾT

MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC"

phức tạp trừu tượng khó giải quyết Chính vì vậy tôi chọn đề tài : “Rèn luyện cho học sinh kĩ năng khai thác hình chiếu của điểm trên đường thẳng để giải một số bài toán cực trị hình học”.Với những khai thác rất cơ bản về tính chất hình chiếu của điểm trên đường

thẳng đã mở ra các hướng giải quyết rất đơn giản cho một số bài toán cực trị có liên quanđến khoảng cách Từ đó sẽ làm cho học sinh có cách nhìn khác vễ các bài toán cực trịhình học tạo hứng thú trong học tập, tăng khả năng tìm tòi, sáng tạo khai thác các tínhchất hình học vào giải toán Quy các bài toán lạ, phức tạp về các bài toán đã biết cáchgiải

PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Thực trạng vấn đề.

Khi gặp các bài toán về cực trị hình học học sinh thường lúng túng trong hướng giảiquyết và ngại học phần này

2 Phương pháp nghiên cứu.

Đề tài đã sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp

3 Đối tượng.

ôn tập cho học sinh lớp 10 và ôn thi đại học cho học sinh lớp 12 trường THPT BaĐình

1 Cho đường thẳng , điểm A thuộc , điểm M không thuộc .

Gọi H là hình chiếu của M trên 

Đó là hai hướng khai thác linh hoạt từ tính chất cơ bản d(M; ) MA

2 Phương pháp tìm toạ độ hình chiếu của điểm trên đường thẳng

Cho đường thẳng và điểm M, gọi H là hình chiếu của M trên  Điểm H được xác địnhnhư sau:

Cách 1:

+Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với 

+Toạ độ giao điểm của đường thẳng d và chính là điểm H cần tìm

A

M



Cách 2:

+Gọi toạ độ điểm H(x;y) Do H  nên toạ độ H biểu thị theo một biến x

+Do HM  nên MH u 0 ( ulà một vectơ chỉ phương của)

Suy ra toạ độ điểm H

B Một số dạng toán cơ bản

Khai thác tính chất của hình chiếu của điểm trên đường thẳng có nhiều bài toán cực trị vềhình học phẳng đã được giải quyết rất ngắn gọn và độc đáo dễ vận dụng tạo cho học sinhhứng thú hơn trong học tập Giúp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Các bài tập được chọn trong đề tài này có thể bắt nguồn từ các bài tập trong sách giáokhoa và sách bài tập Mức độ bài tập được nâng dần lên, quy lạ thành quen và có sự tổngquát hóa bài toán sau mỗi dạng toán Các dạng toán được phân chia sao cho học sinh dễtiếp thu và vận dụng linh hoạt trên cơ sỏ hai hướng khai thác cơ bản từ tính chất d(M; )

 MA

Dạng 1: Tìm toạ độ điểm.

1.Bài toán 1: Cho đường thẳng và hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc đường thẳng 

sao cho vectơ ua MAb MB (a+b 0) có độ dài nhỏ nhất

Phương pháp: Chọn điểm I sao cho a IAb IB0 suy ra điểm I cố định

Ta có ua MAb MBa(MI IA)b(MI IB)(ab)MI

 u  a  b MI

u nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trênđường thẳng

Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Cho đường thẳng : x-y-2 = 0 và hai điểm A(1;2), B(-1;0) Tìm toạ độ điểm Mthuộc đường thẳng  sao cho vectơ uMAMB có độ dài nhỏ nhất

Giải

Chọn điểm I sao cho IA  IB  0 I(0;1)

(điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB)

2

01

y

x y

x

y x

3(  là điểm cần tìm

Ví dụ 2: Cho đường thẳng : 2x- y+1 = 0 và hai điểm A(-1;2), B(1;4) Tìm toạ độ điểm

M thuộc đường thẳng  sao cho vectơ u2MA 3MB có độ dài nhỏ nhất

Giải

Chọn điểm I sao cho 2IA 3IB0 I(5;8)

1

2

021

2

y

x y

19( là điểm cần tìm

Nhận xét: Từ bài toán 1 ta có thể nâng mức độ khó của bài toán bằng cho thêm điểm C,xét vectơ ua1MAa2MBa3MC (a1+ a2+ a3 0)

và cũng câu hỏi như trên

Ví dụ 3 (b.37sbt) Cho tam giác ABC và đường thẳng d Tìm toạ độ điểm M trên đườngthẳng d sao cho vectơ uMAMB2MC có độ dài nhỏ nhất

Giải

Chọn điểm I sao cho IA  IB  2 IC  0  điểm I cố định

Ta có : uMAMB2MC4MI  u 4MI

u nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đườngthẳng 

Nhận xét: Từ các ví dụ đó có thể giải quyết bài toán tổng quát :

Bài toán tổng quát:

Cho n điểm A1, A2, , An(nN, n 1 ) và đường thẳng  Tìm điểm M thuộc sao cho

1 1

nMA a a

MA a

nên có thể biểu thị toạ độ điểm M theo một biến Do đó u là biểu thức bậc hai theo biến

đó Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của u và toạ độ của điểm M Tuy nhiên cách này đôikhi phức tạp về mặt tính toán, dễ sai sót còn cách trình bày trên học sinh dễ tiếp thu vàtrình bày không phức tạp về mặt tính toán tạo hứng thú tìm tòi sáng tạo cho học sinh giảitoán

*Các bài tập tương tự.

Cho các điểm A(-1;2), B(0;1), C(3;5), D(-4;3) Tìm các điểm M, N, E, F sao cho cácvectơ sau có độ dài nhỏ nhất:

u2MA 5MB

u  2 NA  NB  3 NC

u  EA  EB  EC  ED

u  3 FA  4 FB  FC  2 FD

2.Bài toán 2: Cho đường thẳng và hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc đường thẳng 

sao cho biểu thức :

X aMA2 bMB2 ( Với a+ b > 0 ) đạt giá trị nhỏ nhất

X aMA2 bMB2 ( Với a+ b < 0) đạt giá trị lớn nhất

Phương pháp: Chọn điểm I sao cho a IAb IB0 suy ra điểm I cố định

Ta có: X a MA2 b MB2 a(MI IA) 2 b(MI IB) 2

2 2

2

2 2

2

) (

) (

2 )

(

bMB aMA

MI b a

MB b MA a IB b IA a MI MI

b a

Ví dụ 1: Cho đường thẳng : 2x- y- 1 = 0 và hai điểm A(3;1), B(-2;2) Tìm toạ độ điểm

M thuộc đường thẳng  sao cho biểu thức X  2MA2 MB2 đạt giá trị nhỏ nhất

4)

) 3

4 ( 2

42

012

y

x y

x

y x

6( là điểm cần tìm

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x- 3y+ 2= 0 và hai điểm A(2;1), B(-3;2) Tìm toạ độ điểm

N thuộc đường thẳng d sao cho biểu thức Y MA2  2MB2 đạt giá trị lớn nhất

Giải

Chọn điểm I sao cho IA 2IB0 I(-8;3)

Ta có : Y MA2  2MB2   MI2 IA2  2IB2

Do các điểm A, B, I cố định nên biểu thức X lớn nhất khi và chỉ khi độ dài MI nhỏ nhấthay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng .

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng là:

0 21 3

0 ) 3 (

1 )

13 0

21 3

0 2 3

x

y x

Vậy M )

2

3

; 2

13 (   là điểm cần tìm

Nhận xét: Từ bài toán 1 ta có thể nâng mức độ khó của bài toán bằng cho thêm điểm C và

3

2 2

2

a

X    và cũng câu hỏi như trên

Ví dụ 3 Cho tam giác ABC với A(1;2), B(3;-2), C(5;3) Gọi M là trung điểm của AB, G

là trọng tâm của tam giác ABC Tìm toạ độ điểm P trên đường thẳng BC sao cho biểuthức X PA2 PG2 PM2 đạt giá trị nhỏ nhất

Giải

Ta có M(2;0), G(3;1)

Phương trình đường thẳng BC: 5x- 2y- 19= 0

Chọn điểm I sao cho IAIGIM 0 I(2;1) (I là trọng tâm tam giác AGM)

Ta có : X PA2 PG2 PM2 3PI2 IA2 IG2 IM2

Do các điểm A, G, M cố định nên biểu thức X nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài PI nhỏ nhấthay điểm P là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng .

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng là:

09520)1(5

192

5

0952

y

x y

x

y x

113( là điểm cần tìm

Nhận xét: Từ các ví dụ đó có thể giải quyết bài toán tổng quát :

Bài toán tổng quát:

Cho n điểm A1, A2, , An(nN, n 1 )và đường thẳng 

Tìm điểm M thuộc sao cho biểu thức 2

1

2 1

nên có thể biểu thị toạ độ điểm M theo một biến Do đó X là biểu thức bậc hai theo biến

đó Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của X và toạ độ của điểm M Tuy nhiên

cách này đôi khi phức tạp về mặt tính toán, dễ sai sót còn cách trình bày trên học sinh dễtiếp thu và trình bày không phức tạp về mặt tính toán tạo hứng thú trong học tập, tăng khảnăng tìm tòi sáng tạo cho học sinh khi giải toán.

3.Bài toán 3: Cho đường thẳng và hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc đường thẳng 

sao cho MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất

Phương pháp:

AM



+)Nếu hai điểm A, B nằm khác phía đối với 

thì MA+ MBAB

Suy ra MA+ MB nhỏ nhất bằng AB khi M = AB 

+)Nếu hai điểm A, B nằm cùng phía đối với 

Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua đường thẳng 

Ví dụ 1: Cho đường thẳng : 3x- 4y+1= 0 và hai điểm A(1;2), B(-1;0)

Tìm điểm M thuộc đường thẳng sao cho MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất

B



Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng là: 4(x-1)+ 3(y-2) = 0 4x + 3y - 10 = 0

Toạ độ hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng là nghiệm của hệ :

)25

34

;25

37(25

3425370

1

4

3

010

3

4

H y

x y

49

)

Phương trình đường thẳng A1B là: 9x - 37y + 9 = 0

Toạ độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ :

143

09379

y

x y

x

y x

1



) là điểm cần tìm

Ví dụ 2:(b.3sgk tr 118) Cho đường thẳngd: x - y + 2 = 0 và điểm A(2;0)

Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho chu vi tam giác OMA đạt giá trị nhỏ nhất Giải

Chu vi tam giác OAM bằng: OA + OM + AM

Vì OA = 2 không đổi nên chu vi tamgiác OAM nhỏ nhất khi OM + MA nhỏ nhất

Nhận thấy hai điểm O, A nằm cùng phía đối với d

Gọi O1 là điểm đối xứng với O qua đường thẳng d Ta có MO= MO1  MA+ MO =

y

x y

x

y

x

Phương trình đường thẳng O1A là: x + 2y- 2 = 0

Toạ độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ :

2

022

y

x y

x

y x

2



) là điểm cần tìm

*Các bài tập tương tự.

Bài 1: Cho các điểm A(2;4), B(-4;7) C(-1;0)

a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AB sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất

b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng AC sao cho NA + NC đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 2: Cho tam giác A(-2;1), B(4;5), C(-1;0) Gọi H là trực tâm của tam giác

a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AB sao cho chu vi tam giác MHC đạt giá trị nhỏnhất

b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng AC sao cho chu vi tam giác NBO đạt giá trị nhỏnhất

4.Bài toán 4: Cho đường thẳng và hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc đường thẳng 

sao cho MA  MB đạt giá trị lớn nhất

+)Nếu hai điểm A, B nằm khác phía đối với 

gọi A1 là điểm đối xứng với A qua đường thẳng 

Ta có MA = A1M  MA MB MA1  MB A1B

Suy ra MA  MB lớn nhất bằng A1B khi M = A1B

Ví dụ minh hoa:

Ví dụ 1:(b.40bsbt -tr106)

Cho hai điểm P(1;6), Q(-3;-4) và đường thẳng : 2x- y- 1 = 0

Tìm toạ độ điểm N trên sao cho NP  NQ lớn nhất

.

19

9 0

1 2

0 7 2 5

x

y x

Vậy N(-9;-19) là điểm cần tìm

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: 2x- y +1 = 0 và điểm A(1;2), B(0;3) Tìm điểm M thuộcđường thẳng d sao cho MA  MB lớn nhất

Giải

Nhận thấy hai điểm A, B nằm khác phía đối với d

Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d Ta có MA = A1M 

B A MB MA

3(5

30

AH d     ( u d (1;2)là một vectơ chỉ phương của d)

Do H là trung điểm của AA1 nên A1(

5

12

;5

1)

2 0

3 3

0 1 2

y

x y

x

y x

Vậy M(

5

9

; 5

2) là điểm cần tìm

*Các bài tập tương tự.

Bài1: Cho các điểm A(0;1), B(-3;8), C(-3;3), D(9;5)

a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AB sao cho MC  MO lớn nhất

b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng CD sao cho NA  NB nhỏ nhất

Bài 2: Cho tam giác A(-1;1), B(-4;3), C(0;1) Gọi H, K lần lượt là chân đường cao, chânđường phân giác kẻ từ đỉnh A và đỉnh C, I là trung điểm của AC

a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AC sao cho MH  MK lớn nhất

b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng BI sao cho NH  NK lớn nhất

DạngII: Viết phương trình đường thẳng

1.Bài toán 1: Cho hai điểm A, B Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A saocho khoảng cách từ B đến  là lớn nhất

Phương pháp:

Gọi H là hình chiếu của B trên 

Ta có: d(B;)BH AB

Suy ra d( B; )lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi

A trùng với H hay đường thẳng đi qua A

và vuông góc với AB

Ví dụ minh hoạ:

A

B



Ví dụ 1: Cho hai điểm A(1:2), B(-1;3) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm Asao cho khoảng cách từ B đến  là lớn nhất.

Giải

Gọi H là hình chiếu của B trên 

Ta có: d(B;)BH AB

Suy ra d( B; ) lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi A trùng với H hay đường thẳng đi qua

A và vuông góc với AB

 Phương trình đường thẳng là: 2x - y = 0

Vậy đường thẳng : 2x - y = 0 thoả mãn yêu cầu

Ví dụ 2(b.41 sbt-tr106): Cho đường thẳngm: (m-2)x+ (m-1)y+ 2m-1 = 0

và điểm A(2;3)

a.Chứng minh rằng mluôn đi qua một điểm cố định với mọi m

b.Tìm m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng mlà lớn nhất

12

02

012

)2(

o

o

o o

o o

o o o

o

y

x y

x

y x

m y

x m y

x

Vậy m luôn đi qua điểm cố định M(1;-3) với mọi m

b.Gọi H là hình chiếu của A trên m

Ta có :d(A;m)AH AM

Suy ra d(A;m)lớn nhất bằng AM khi và chỉ khi H trùng với M hay AM  m

Lại có AM (1;6), m có vectơ chỉ phương u(1 m;m 2)

.5

110

1()2

Gọi H là trung điểm của MN thì IH  MN Ta có MN= 2MH= 2 R 2 IH2

Do đó MN nhỏ nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất

Mà IH  IA nên IH lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với A hay  IH

Suy ra phương trình đường thẳng  là : 7x - 2y + 7 = 0

Vậy đường thẳng  cần tìm là :7x - 2y + 7 = 0

Nhận xét: Từ bài toán 1 ta có thể thay đổi cách hỏi để làm bài toán phức tạp hơn nhưngbản chất vẫn là bài toán 1 như ví dụ 3 Sự thay đổi như vậy làm cho học sinh linh hoạthơn, tư duy sáng tạo hơn.

* Các bài tập tương tự.

Bài 1: Cho đường thẳngm: mx+ (m-1)y- 1= 0 và điểm A(2;3)

Tìm m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng mlà lớn nhất

Bài 2: Cho đường tròn (c): 2 2 2 4 0

Từ bài toán 1 ta có thể nâng mức độ khó của bài toán lên ở bài toán 2 sau đây

Bài toán 2: Cho ba điểm A, B, C Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A saocho d(B;)+ d(C;) lớn nhất

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi BC 

+)Nếu B, C nằm về một phía so với 

Gọi N là trung điểm của BC

B



N C



B

C

Suy ra: d(B;)+ d(C;)= 2d(N;)2NA

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi NA 

So sánh giá trị của BC và 2NA suy ra đường thẳng cần tìm

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi BC 

+)Nếu B, C nằm về một phía so với.Gọi N là trung điểm của BC,

toạ độ N(3;4)  d(B;)+ d(C;)=2d(N;)2NA

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi NA 

Ta có BC= 116, 2NA=2 13 Suy ra d(B;)+ d(C;) lớn nhất bằng 116 khi và chỉkhi BC 

Phương trình đường thẳng là : 5(x-1)+ 2(y-1)= 0 5x+ 2y- 7= 0

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là : 5x+ 2y- 7= 0

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với A(1;1), B(3;2), C(7;10) Viết phương trình đường thẳng

đi qua điểm A sao cho d(B;)+ d(C;) lớn nhất

Giải:

Xét hai trường hợp:

+Nếu B, C nằm về hai phía so với .Gọi M=BC 

 d(B;)+ d(C;)BM CM BC

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi BC 

+Nếu B, C nằm về một phía so với.Gọi N là trung điểm của BC,

toạ độ N(5;6) d(B;)+ d(C;)= 2d(N;)2NA

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi NA 

Ta có BC= 80, AN= 45  BC< 2AN

Suy ra d(B;)+ d(C;) lớn nhất khi và chỉ khi NA 

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: 4x+ 5y- 9= 0

Nhận xét: Từ bài toán 2 có thể giải quyết bài toán phức tạp hơn sau đây:

Ví dụ 3: Cho ba điểm M(-1;0), N(-2;1), P(1;3) Viết phương trình đường thẳng đi quađiểm M sao cho 2d(N;)+3d(P;) lớn nhất

Giải:

Chọn hai điểm N1, P1 sao cho: MN1  2 MN , MP1  3 MP

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi N1P1  

+Nếu N1, P1 nằm về một phía so với 

Gọi J là trung điểm của N1P1, toạ độ J(1;

2

11)

Suy ra d(N1;)+d(P1;) lớn nhất khi và chỉ khi AJ 

Phương trình đường thẳng là : 4(x+1) + 11(y-0) = 0 4x + 11y + 4 = 0

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là : 4x+11y+ 4 = 0

Nhận xét: Cách giải khai thác tính chất hình học để giải quyết Cách trình bày đơn giản

về tình toán, phát huy tính sáng tạo trong tư duy

Các bài toán dạng này còn có thể giải quyết bằng cách biến đổi đưa về tìm giá trị lớn nhấtcủa hàm số

*)

Bài toán tổng quát:

Cho 3 điểm A, B, C Viết phương trình đường thẳng đi qua A sao cho biểu thức ad(B;

)+ bd(C;) đạt giá tri lớn nhất (a > 0, b > 0)

Hướng dẫn:

Chọn hai điểm B1, C1 thỏa mãn : AB1 a AB,AC1 b AC

Suy ra: ad(B;)+ bd(C;)= d(B1;)+ d(C1;)

Bài toán trở thành: viết phương trình đường thẳng đi qua A sao cho biểu thức d(B1;)+d(C1;) đạt giá tri lớn nhất(bài toán 1)