SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMĐỀ TÀI: "RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG KHAI THÁC HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM TRÊN ĐƯỜNG THẲNG ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC"... Chính vì vậy tôi chọn đề tà
Trang 1SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG KHAI THÁC HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM TRÊN ĐƯỜNG THẲNG ĐỂ GIẢI QUYẾT
MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC"
Trang 2phức tạp trừu tượng khó giải quyết Chính vì vậy tôi chọn đề tài : “Rèn luyện cho học sinh kĩ năng khai thác hình chiếu của điểm trên đường thẳng để giải một số bài toán cực trị hình học”.Với những khai thác rất cơ bản về tính chất hình chiếu của điểm trên đường
thẳng đã mở ra các hướng giải quyết rất đơn giản cho một số bài toán cực trị có liên quanđến khoảng cách Từ đó sẽ làm cho học sinh có cách nhìn khác vễ các bài toán cực trịhình học tạo hứng thú trong học tập, tăng khả năng tìm tòi, sáng tạo khai thác các tínhchất hình học vào giải toán Quy các bài toán lạ, phức tạp về các bài toán đã biết cáchgiải
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1 Thực trạng vấn đề.
Khi gặp các bài toán về cực trị hình học học sinh thường lúng túng trong hướng giảiquyết và ngại học phần này
2 Phương pháp nghiên cứu.
Đề tài đã sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp
3 Đối tượng.
ôn tập cho học sinh lớp 10 và ôn thi đại học cho học sinh lớp 12 trường THPT BaĐình
Trang 31 Cho đường thẳng , điểm A thuộc , điểm M không thuộc .
Gọi H là hình chiếu của M trên
Đó là hai hướng khai thác linh hoạt từ tính chất cơ bản d(M; ) MA
2 Phương pháp tìm toạ độ hình chiếu của điểm trên đường thẳng
Cho đường thẳng và điểm M, gọi H là hình chiếu của M trên Điểm H được xác địnhnhư sau:
Cách 1:
+Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với
+Toạ độ giao điểm của đường thẳng d và chính là điểm H cần tìm
A
M
Trang 4Cách 2:
+Gọi toạ độ điểm H(x;y) Do H nên toạ độ H biểu thị theo một biến x
+Do HM nên MH u 0 ( ulà một vectơ chỉ phương của)
Suy ra toạ độ điểm H
B Một số dạng toán cơ bản
Khai thác tính chất của hình chiếu của điểm trên đường thẳng có nhiều bài toán cực trị vềhình học phẳng đã được giải quyết rất ngắn gọn và độc đáo dễ vận dụng tạo cho học sinhhứng thú hơn trong học tập Giúp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
Các bài tập được chọn trong đề tài này có thể bắt nguồn từ các bài tập trong sách giáokhoa và sách bài tập Mức độ bài tập được nâng dần lên, quy lạ thành quen và có sự tổngquát hóa bài toán sau mỗi dạng toán Các dạng toán được phân chia sao cho học sinh dễtiếp thu và vận dụng linh hoạt trên cơ sỏ hai hướng khai thác cơ bản từ tính chất d(M; )
MA
Dạng 1: Tìm toạ độ điểm.
1.Bài toán 1: Cho đường thẳng và hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc đường thẳng
sao cho vectơ ua MAb MB (a+b 0) có độ dài nhỏ nhất
Phương pháp: Chọn điểm I sao cho a IAb IB0 suy ra điểm I cố định
Ta có ua MAb MBa(MI IA)b(MI IB)(ab)MI
u a b MI
u nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trênđường thẳng
Trang 5Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Cho đường thẳng : x-y-2 = 0 và hai điểm A(1;2), B(-1;0) Tìm toạ độ điểm Mthuộc đường thẳng sao cho vectơ uMAMB có độ dài nhỏ nhất
Giải
Chọn điểm I sao cho IA IB 0 I(0;1)
(điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB)
2
01
y
x y
x
y x
3( là điểm cần tìm
Ví dụ 2: Cho đường thẳng : 2x- y+1 = 0 và hai điểm A(-1;2), B(1;4) Tìm toạ độ điểm
M thuộc đường thẳng sao cho vectơ u2MA 3MB có độ dài nhỏ nhất
Giải
Trang 6Chọn điểm I sao cho 2IA 3IB0 I(5;8)
1
2
021
2
y
x y
19( là điểm cần tìm
Nhận xét: Từ bài toán 1 ta có thể nâng mức độ khó của bài toán bằng cho thêm điểm C,xét vectơ ua1MAa2MBa3MC (a1+ a2+ a3 0)
và cũng câu hỏi như trên
Ví dụ 3 (b.37sbt) Cho tam giác ABC và đường thẳng d Tìm toạ độ điểm M trên đườngthẳng d sao cho vectơ uMAMB2MC có độ dài nhỏ nhất
Giải
Chọn điểm I sao cho IA IB 2 IC 0 điểm I cố định
Trang 7Ta có : uMAMB2MC4MI u 4MI
u nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đườngthẳng
Nhận xét: Từ các ví dụ đó có thể giải quyết bài toán tổng quát :
Bài toán tổng quát:
Cho n điểm A1, A2, , An(nN, n 1 ) và đường thẳng Tìm điểm M thuộc sao cho
1 1
nMA a a
MA a
nên có thể biểu thị toạ độ điểm M theo một biến Do đó u là biểu thức bậc hai theo biến
đó Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của u và toạ độ của điểm M Tuy nhiên cách này đôikhi phức tạp về mặt tính toán, dễ sai sót còn cách trình bày trên học sinh dễ tiếp thu vàtrình bày không phức tạp về mặt tính toán tạo hứng thú tìm tòi sáng tạo cho học sinh giảitoán
*Các bài tập tương tự.
Cho các điểm A(-1;2), B(0;1), C(3;5), D(-4;3) Tìm các điểm M, N, E, F sao cho cácvectơ sau có độ dài nhỏ nhất:
Trang 8u2MA 5MB
u 2 NA NB 3 NC
u EA EB EC ED
u 3 FA 4 FB FC 2 FD
2.Bài toán 2: Cho đường thẳng và hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc đường thẳng
sao cho biểu thức :
X aMA2 bMB2 ( Với a+ b > 0 ) đạt giá trị nhỏ nhất
X aMA2 bMB2 ( Với a+ b < 0) đạt giá trị lớn nhất
Phương pháp: Chọn điểm I sao cho a IAb IB0 suy ra điểm I cố định
Ta có: X a MA2 b MB2 a(MI IA) 2 b(MI IB) 2
2 2
2
2 2
2
) (
) (
2 )
(
bMB aMA
MI b a
MB b MA a IB b IA a MI MI
b a
Trang 9Ví dụ 1: Cho đường thẳng : 2x- y- 1 = 0 và hai điểm A(3;1), B(-2;2) Tìm toạ độ điểm
M thuộc đường thẳng sao cho biểu thức X 2MA2 MB2 đạt giá trị nhỏ nhất
4)
) 3
4 ( 2
42
012
y
x y
x
y x
6( là điểm cần tìm
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x- 3y+ 2= 0 và hai điểm A(2;1), B(-3;2) Tìm toạ độ điểm
N thuộc đường thẳng d sao cho biểu thức Y MA2 2MB2 đạt giá trị lớn nhất
Giải
Chọn điểm I sao cho IA 2IB0 I(-8;3)
Ta có : Y MA2 2MB2 MI2 IA2 2IB2
Trang 10Do các điểm A, B, I cố định nên biểu thức X lớn nhất khi và chỉ khi độ dài MI nhỏ nhấthay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng .
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng là:
0 21 3
0 ) 3 (
1 )
13 0
21 3
0 2 3
x
y x
Vậy M )
2
3
; 2
13 ( là điểm cần tìm
Nhận xét: Từ bài toán 1 ta có thể nâng mức độ khó của bài toán bằng cho thêm điểm C và
3
2 2
2
a
X và cũng câu hỏi như trên
Ví dụ 3 Cho tam giác ABC với A(1;2), B(3;-2), C(5;3) Gọi M là trung điểm của AB, G
là trọng tâm của tam giác ABC Tìm toạ độ điểm P trên đường thẳng BC sao cho biểuthức X PA2 PG2 PM2 đạt giá trị nhỏ nhất
Giải
Ta có M(2;0), G(3;1)
Phương trình đường thẳng BC: 5x- 2y- 19= 0
Chọn điểm I sao cho IAIGIM 0 I(2;1) (I là trọng tâm tam giác AGM)
Ta có : X PA2 PG2 PM2 3PI2 IA2 IG2 IM2
Trang 11Do các điểm A, G, M cố định nên biểu thức X nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài PI nhỏ nhấthay điểm P là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng .
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng là:
09520)1(5
192
5
0952
y
x y
x
y x
113( là điểm cần tìm
Nhận xét: Từ các ví dụ đó có thể giải quyết bài toán tổng quát :
Bài toán tổng quát:
Cho n điểm A1, A2, , An(nN, n 1 )và đường thẳng
Tìm điểm M thuộc sao cho biểu thức 2
1
2 1
nên có thể biểu thị toạ độ điểm M theo một biến Do đó X là biểu thức bậc hai theo biến
đó Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của X và toạ độ của điểm M Tuy nhiên
Trang 12cách này đôi khi phức tạp về mặt tính toán, dễ sai sót còn cách trình bày trên học sinh dễtiếp thu và trình bày không phức tạp về mặt tính toán tạo hứng thú trong học tập, tăng khảnăng tìm tòi sáng tạo cho học sinh khi giải toán.
3.Bài toán 3: Cho đường thẳng và hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc đường thẳng
sao cho MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất
Phương pháp:
AM
Trang 13+)Nếu hai điểm A, B nằm khác phía đối với
thì MA+ MBAB
Suy ra MA+ MB nhỏ nhất bằng AB khi M = AB
+)Nếu hai điểm A, B nằm cùng phía đối với
Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua đường thẳng
Ví dụ 1: Cho đường thẳng : 3x- 4y+1= 0 và hai điểm A(1;2), B(-1;0)
Tìm điểm M thuộc đường thẳng sao cho MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất
B
Trang 14Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng là: 4(x-1)+ 3(y-2) = 0 4x + 3y - 10 = 0
Toạ độ hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng là nghiệm của hệ :
)25
34
;25
37(25
3425370
1
4
3
010
3
4
H y
x y
49
)
Phương trình đường thẳng A1B là: 9x - 37y + 9 = 0
Toạ độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ :
143
09379
y
x y
x
y x
1
) là điểm cần tìm
Ví dụ 2:(b.3sgk tr 118) Cho đường thẳngd: x - y + 2 = 0 và điểm A(2;0)
Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho chu vi tam giác OMA đạt giá trị nhỏ nhất Giải
Chu vi tam giác OAM bằng: OA + OM + AM
Vì OA = 2 không đổi nên chu vi tamgiác OAM nhỏ nhất khi OM + MA nhỏ nhất
Nhận thấy hai điểm O, A nằm cùng phía đối với d
Trang 15Gọi O1 là điểm đối xứng với O qua đường thẳng d Ta có MO= MO1 MA+ MO =
y
x y
x
y
x
Phương trình đường thẳng O1A là: x + 2y- 2 = 0
Toạ độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ :
2
022
y
x y
x
y x
2
) là điểm cần tìm
*Các bài tập tương tự.
Bài 1: Cho các điểm A(2;4), B(-4;7) C(-1;0)
a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AB sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất
b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng AC sao cho NA + NC đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 2: Cho tam giác A(-2;1), B(4;5), C(-1;0) Gọi H là trực tâm của tam giác
a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AB sao cho chu vi tam giác MHC đạt giá trị nhỏnhất
b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng AC sao cho chu vi tam giác NBO đạt giá trị nhỏnhất
Trang 164.Bài toán 4: Cho đường thẳng và hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc đường thẳng
sao cho MA MB đạt giá trị lớn nhất
+)Nếu hai điểm A, B nằm khác phía đối với
gọi A1 là điểm đối xứng với A qua đường thẳng
Ta có MA = A1M MA MB MA1 MB A1B
Suy ra MA MB lớn nhất bằng A1B khi M = A1B
Ví dụ minh hoa:
Ví dụ 1:(b.40bsbt -tr106)
Cho hai điểm P(1;6), Q(-3;-4) và đường thẳng : 2x- y- 1 = 0
Tìm toạ độ điểm N trên sao cho NP NQ lớn nhất
Trang 17.
19
9 0
1 2
0 7 2 5
x
y x
Vậy N(-9;-19) là điểm cần tìm
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: 2x- y +1 = 0 và điểm A(1;2), B(0;3) Tìm điểm M thuộcđường thẳng d sao cho MA MB lớn nhất
Giải
Nhận thấy hai điểm A, B nằm khác phía đối với d
Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d Ta có MA = A1M
B A MB MA
3(5
30
AH d ( u d (1;2)là một vectơ chỉ phương của d)
Do H là trung điểm của AA1 nên A1(
5
12
;5
1)
2 0
3 3
0 1 2
y
x y
x
y x
Trang 18
Vậy M(
5
9
; 5
2) là điểm cần tìm
*Các bài tập tương tự.
Bài1: Cho các điểm A(0;1), B(-3;8), C(-3;3), D(9;5)
a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AB sao cho MC MO lớn nhất
b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng CD sao cho NA NB nhỏ nhất
Bài 2: Cho tam giác A(-1;1), B(-4;3), C(0;1) Gọi H, K lần lượt là chân đường cao, chânđường phân giác kẻ từ đỉnh A và đỉnh C, I là trung điểm của AC
a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AC sao cho MH MK lớn nhất
b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng BI sao cho NH NK lớn nhất
DạngII: Viết phương trình đường thẳng
1.Bài toán 1: Cho hai điểm A, B Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A saocho khoảng cách từ B đến là lớn nhất
Phương pháp:
Gọi H là hình chiếu của B trên
Ta có: d(B;)BH AB
Suy ra d( B; )lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi
A trùng với H hay đường thẳng đi qua A
và vuông góc với AB
Ví dụ minh hoạ:
A
B
Trang 19Ví dụ 1: Cho hai điểm A(1:2), B(-1;3) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm Asao cho khoảng cách từ B đến là lớn nhất.
Giải
Gọi H là hình chiếu của B trên
Ta có: d(B;)BH AB
Suy ra d( B; ) lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi A trùng với H hay đường thẳng đi qua
A và vuông góc với AB
Phương trình đường thẳng là: 2x - y = 0
Vậy đường thẳng : 2x - y = 0 thoả mãn yêu cầu
Ví dụ 2(b.41 sbt-tr106): Cho đường thẳngm: (m-2)x+ (m-1)y+ 2m-1 = 0
và điểm A(2;3)
a.Chứng minh rằng mluôn đi qua một điểm cố định với mọi m
b.Tìm m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng mlà lớn nhất
12
02
012
)2(
o
o
o o
o o
o o o
o
y
x y
x
y x
m y
x m y
x
Vậy m luôn đi qua điểm cố định M(1;-3) với mọi m
b.Gọi H là hình chiếu của A trên m
Trang 20Ta có :d(A;m)AH AM
Suy ra d(A;m)lớn nhất bằng AM khi và chỉ khi H trùng với M hay AM m
Lại có AM (1;6), m có vectơ chỉ phương u(1 m;m 2)
.5
110
1()2
Gọi H là trung điểm của MN thì IH MN Ta có MN= 2MH= 2 R 2 IH2
Do đó MN nhỏ nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất
Mà IH IA nên IH lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với A hay IH
Suy ra phương trình đường thẳng là : 7x - 2y + 7 = 0
Vậy đường thẳng cần tìm là :7x - 2y + 7 = 0
Trang 21Nhận xét: Từ bài toán 1 ta có thể thay đổi cách hỏi để làm bài toán phức tạp hơn nhưngbản chất vẫn là bài toán 1 như ví dụ 3 Sự thay đổi như vậy làm cho học sinh linh hoạthơn, tư duy sáng tạo hơn.
* Các bài tập tương tự.
Bài 1: Cho đường thẳngm: mx+ (m-1)y- 1= 0 và điểm A(2;3)
Tìm m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng mlà lớn nhất
Bài 2: Cho đường tròn (c): 2 2 2 4 0
Từ bài toán 1 ta có thể nâng mức độ khó của bài toán lên ở bài toán 2 sau đây
Bài toán 2: Cho ba điểm A, B, C Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A saocho d(B;)+ d(C;) lớn nhất
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi BC
+)Nếu B, C nằm về một phía so với
Gọi N là trung điểm của BC
B
N C
B
C
Trang 22Suy ra: d(B;)+ d(C;)= 2d(N;)2NA
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi NA
So sánh giá trị của BC và 2NA suy ra đường thẳng cần tìm
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi BC
+)Nếu B, C nằm về một phía so với.Gọi N là trung điểm của BC,
toạ độ N(3;4) d(B;)+ d(C;)=2d(N;)2NA
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi NA
Ta có BC= 116, 2NA=2 13 Suy ra d(B;)+ d(C;) lớn nhất bằng 116 khi và chỉkhi BC
Phương trình đường thẳng là : 5(x-1)+ 2(y-1)= 0 5x+ 2y- 7= 0
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là : 5x+ 2y- 7= 0
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với A(1;1), B(3;2), C(7;10) Viết phương trình đường thẳng
đi qua điểm A sao cho d(B;)+ d(C;) lớn nhất
Trang 23Giải:
Xét hai trường hợp:
+Nếu B, C nằm về hai phía so với .Gọi M=BC
d(B;)+ d(C;)BM CM BC
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi BC
+Nếu B, C nằm về một phía so với.Gọi N là trung điểm của BC,
toạ độ N(5;6) d(B;)+ d(C;)= 2d(N;)2NA
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi NA
Ta có BC= 80, AN= 45 BC< 2AN
Suy ra d(B;)+ d(C;) lớn nhất khi và chỉ khi NA
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: 4x+ 5y- 9= 0
Nhận xét: Từ bài toán 2 có thể giải quyết bài toán phức tạp hơn sau đây:
Ví dụ 3: Cho ba điểm M(-1;0), N(-2;1), P(1;3) Viết phương trình đường thẳng đi quađiểm M sao cho 2d(N;)+3d(P;) lớn nhất
Giải:
Chọn hai điểm N1, P1 sao cho: MN1 2 MN , MP1 3 MP
Trang 24Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi N1P1
+Nếu N1, P1 nằm về một phía so với
Gọi J là trung điểm của N1P1, toạ độ J(1;
2
11)
Suy ra d(N1;)+d(P1;) lớn nhất khi và chỉ khi AJ
Phương trình đường thẳng là : 4(x+1) + 11(y-0) = 0 4x + 11y + 4 = 0
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là : 4x+11y+ 4 = 0
Trang 25Nhận xét: Cách giải khai thác tính chất hình học để giải quyết Cách trình bày đơn giản
về tình toán, phát huy tính sáng tạo trong tư duy
Các bài toán dạng này còn có thể giải quyết bằng cách biến đổi đưa về tìm giá trị lớn nhấtcủa hàm số
*)
Bài toán tổng quát:
Cho 3 điểm A, B, C Viết phương trình đường thẳng đi qua A sao cho biểu thức ad(B;
)+ bd(C;) đạt giá tri lớn nhất (a > 0, b > 0)
Hướng dẫn:
Chọn hai điểm B1, C1 thỏa mãn : AB1 a AB,AC1 b AC
Suy ra: ad(B;)+ bd(C;)= d(B1;)+ d(C1;)
Bài toán trở thành: viết phương trình đường thẳng đi qua A sao cho biểu thức d(B1;)+d(C1;) đạt giá tri lớn nhất(bài toán 1)