SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng khai thác hình chiếu của điểm trên đường thẳng để giải quyết một số bài toán cực trị hình học

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG KHAI THÁC HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM TRÊN ĐƯỜNG THẲNG ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC" 1 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Bài toán cực trị hình học là những bài toán khó đối với học sinh THPT chính vì vậy trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh thường ngại làm những bài tập dạng này. Để học sinh tiếp cận tốt mảng bài tập về cực trị hình học thì trước hết phải làm cho học sinh thấy được một số bài toán cực trị hình học thực chất là những bài toán hình học phẳng cơ bản dễ khai thác với kiến cơ bản dễ áp dụng chứ không phải là những bài tập phức tạp trừu tượng khó giải quyết. Chính vì vậy tôi chọn đề tài : “Rèn luyện cho học sinh kĩ năng khai thác hình chiếu của điểm trên đường thẳng để giải một số bài toán cực trị hình học”.Với những khai thác rất cơ bản về tính chất hình chiếu của điểm trên đường thẳng đã mở ra các hướng giải quyết rất đơn giản cho một số bài toán cực trị có liên quan đến khoảng cách. Từ đó sẽ làm cho học sinh có cách nhìn khác vễ các bài toán cực trị hình học tạo hứng thú trong học tập, tăng khả năng tìm tòi, sáng tạo khai thác các tính chất hình học vào giải toán. Quy các bài toán lạ, phức tạp về các bài toán đã biết cách giải. PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Thực trạng vấn đề. Khi gặp các bài toán về cực trị hình học học sinh thường lúng túng trong hướng giải quyết và ngại học phần này. 2. Phương pháp nghiên cứu. Đề tài đã sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp. 3. Đối tượng. ôn tập cho học sinh lớp 10 và ôn thi đại học cho học sinh lớp 12 trường THPT Ba Đình. 2 4. Cách thức thực hiện. Để thực hiện đề tài này, tôi phân thành hai dạng bài tập tương ứng với các hướng vận dụng của hình chiếu của điểm trên đường thẳng. 5. Nội dung. A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Cho đường thẳng ∆ , điểm A thuộc ∆ , điểm M không thuộc ∆ . Gọi H là hình chiếu của M trên ∆ . Khi đó: d(M; ∆ )= MH ≤ MA. Suy ra: +d(M; ∆ ) lớn nhất bằng MA khi điểm A trùng với điểm H hay A là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng ∆ . + MA nhỏ nhất bằng MH khi điểm A trùng với điểm H hay A là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng ∆ . Đó là hai hướng khai thác linh hoạt từ tính chất cơ bản d(M; ∆ ) ≤ MA. 2. Phương pháp tìm toạ độ hình chiếu của điểm trên đường thẳng Cho đường thẳng ∆ và điểm M, gọi H là hình chiếu của M trên ∆ . Điểm H được xác định như sau: Cách 1: . +Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với ∆ . +Toạ độ giao điểm của đường thẳng d và ∆ chính là điểm H cần tìm. 3 A M ∆ Cách 2: +Gọi toạ độ điểm H(x;y). Do H ∈ ∆ nên toạ độ H biểu thị theo một biến x. +Do HM ⊥ ∆ nên 0. =uMH ( u là một vectơ chỉ phương của ∆ ). Suy ra toạ độ điểm H. B. Một số dạng toán cơ bản Khai thác tính chất của hình chiếu của điểm trên đường thẳng có nhiều bài toán cực trị về hình học phẳng đã được giải quyết rất ngắn gọn và độc đáo dễ vận dụng tạo cho học sinh hứng thú hơn trong học tập. Giúp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh . Các bài tập được chọn trong đề tài này có thể bắt nguồn từ các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập. Mức độ bài tập được nâng dần lên, quy lạ thành quen và có sự tổng quát hóa bài toán sau mỗi dạng toán. Các dạng toán được phân chia sao cho học sinh dễ tiếp thu và vận dụng linh hoạt trên cơ sỏ hai hướng khai thác cơ bản từ tính chất d(M; ∆ ) ≤ MA. Dạng 1: Tìm toạ độ điểm. 1.Bài toán 1: Cho đường thẳng ∆ và hai điểm A, B. Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho vectơ MBbMAau += (a+b 0≠ ) có độ dài nhỏ nhất. Phương pháp: Chọn điểm I sao cho 0=+ IBbIAa suy ra điểm I cố định. Ta có MIbaIBMIbIAMIaMBbMAau )()()( +=+++=+= MIbau +=⇒ . u nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng ∆ . 4 Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho đường thẳng ∆ : x-y-2 = 0 và hai điểm A(1;2), B(-1;0). Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho vectơ MBMAu += có độ dài nhỏ nhất. Giải Chọn điểm I sao cho 0=+ IBIA ⇒ I(0;1) (điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB) Ta có : MIMBMAu 2=+= MIu 2=⇒ . u nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng ∆ . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng ∆ là: x+ y- 1= 0 Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đường thẳng ∆ là nghiệm của hệ :        − = = ⇒    =−− =−+ 2 1 2 3 02 01 y x yx yx . Vậy M ) 2 1 ; 2 3 ( − là điểm cần tìm. Ví dụ 2: Cho đường thẳng ∆ : 2x- y+1 = 0 và hai điểm A(-1;2), B(1;4). Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho vectơ MBMAu 32 −= có độ dài nhỏ nhất. Giải 5 Chọn điểm I sao cho 032 =− IBIA ⇒ I(5;8) Ta có : MIIBMIIAMIMBMAu −=+−+=−= )(3)(232 MIu =⇒ . u nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng ∆ . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng ∆ là: (x- 5)+2(y-8)=0 0212 =−+⇒ yx Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đường thẳng ∆ là nghiệm của hệ phương trình:        = = ⇒    =+− =−+ 5 43 5 19 012 0212 y x yx yx . Vậy M ) 5 43 ; 5 19 ( là điểm cần tìm. Nhận xét: Từ bài toán 1 ta có thể nâng mức độ khó của bài toán bằng cho thêm điểm C, xét vectơ MCaMBaMAau 321 ++= (a 1 + a 2 + a 3 0≠ ) và cũng câu hỏi như trên. Ví dụ 3 (b.37sbt) Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng d sao cho vectơ MCMBMAu 2++= có độ dài nhỏ nhất. Giải Chọn điểm I sao cho 02 =++ ICIBIA ⇒ điểm I cố định. 6 Ta có : MIMCMBMAu 42 =++= MIu 4=⇒ . u nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng ∆ . Nhận xét: Từ các ví dụ đó có thể giải quyết bài toán tổng quát : Bài toán tổng quát: Cho n điểm A 1 , A 2 , , A n (n )1, >∈ nN và đường thẳng ∆ . Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho vectơ )0( 1 11 ≠++= ∑ = n i inn aMAaMAau có độ dài nhỏ nhất. Hướng dẫn: Cách tìm điểm M như bài toán 1 với chọn điểm I sao cho .0 11 =++ nn IAaIAa Nếu a 1 = a 2 = = a n thì điểm I xác định như trên là trọng tâm của hệ n điểm A 1 , A 2 , , A n . Nhận xét: Có thể giải quyết dạng toán này bằng cách gọi toạ độ điểm M, do M thuộc ∆ nên có thể biểu thị toạ độ điểm M theo một biến. Do đó u là biểu thức bậc hai theo biến đó. Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của u và toạ độ của điểm M. Tuy nhiên cách này đôi khi phức tạp về mặt tính toán, dễ sai sót còn cách trình bày trên học sinh dễ tiếp thu và trình bày không phức tạp về mặt tính toán tạo hứng thú tìm tòi sáng tạo cho học sinh giải toán. *Các bài tập tương tự. Cho các điểm A(-1;2), B(0;1), C(3;5), D(-4;3). Tìm các điểm M, N, E, F sao cho các vectơ sau có độ dài nhỏ nhất: 7 MBMAu 52 −= NCNBNAu 32 +−= EDECEBEAu +++= FDFCFBFAu 243 ++−= 2.Bài toán 2: Cho đường thẳng ∆ và hai điểm A, B. Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho biểu thức : 22 bMBaMAX += ( Với a+ b > 0 ) đạt giá trị nhỏ nhất. 22 bMBaMAX += ( Với a+ b < 0) đạt giá trị lớn nhất. Phương pháp: Chọn điểm I sao cho 0=+ IBbIAa suy ra điểm I cố định. Ta có: 22 22 )()( IBMIbIAMIaMBbMAaX +++=+= 222 222 )( ).(2)( bMBaMAMIba MBbMAaIBbIAaMIMIba +++= +++++= Do các điểm A, B, I cố định nên giá trị của biểu thức X phụ thuộc vào MI Suy ra : +)Nếu a+ b > 0 thì biểu thức X nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng ∆ . +)Nếu a+ b < 0 thì biểu thức X lớn nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng ∆ . Ví dụ minh hoạ: 8 Ví dụ 1: Cho đường thẳng ∆ : 2x- y- 1 = 0 và hai điểm A(3;1), B(-2;2). Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho biểu thức 22 2 MBMAX += đạt giá trị nhỏ nhất. Giải Chọn điểm I sao cho 02 =+ IBIA ⇒ I( 3 4 ; 3 4 ) Ta có : 22222 232 IBIAMIMBMAX ++=+= . Do các điểm A, B, I cố định nên biểu thức X nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng ∆ . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng ∆ là: 0420) 3 4 (2) 3 4 (1 =−+⇒=−+− yxyx Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đường thẳng ∆ là nghiệm của hệ :        = = ⇒    =−+ =−− 5 7 5 6 042 012 y x yx yx . Vậy M ) 5 7 ; 5 6 ( là điểm cần tìm. Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x- 3y+ 2= 0 và hai điểm A(2;1), B(-3;2). Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho biểu thức 22 2MBMAY −= đạt giá trị lớn nhất. Giải Chọn điểm I sao cho 02 =− IBIA ⇒ I(-8;3) Ta có : 22222 22 IBIAMIMBMAY −+−=−= . 9 Do các điểm A, B, I cố định nên biểu thức X lớn nhất khi và chỉ khi độ dài MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng ∆ . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng ∆ là: 02130)3.(1)8.(3 =++⇒=−++ yxyx Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đường thẳng ∆ là nghiệm của hệ : . 2 3 2 13 0213 023        − = − = ⇒    =++ =+− y x yx yx Vậy M ) 2 3 ; 2 13 ( −− là điểm cần tìm. Nhận xét: Từ bài toán 1 ta có thể nâng mức độ khó của bài toán bằng cho thêm điểm C và xét biểu thức 2 3 2 2 2 1 MCaMBaMAaX ++= và cũng câu hỏi như trên. Ví dụ 3 Cho tam giác ABC với A(1;2), B(3;-2), C(5;3). Gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm toạ độ điểm P trên đường thẳng BC sao cho biểu thức 222 PMPGPAX ++= đạt giá trị nhỏ nhất. Giải Ta có M(2;0), G(3;1) Phương trình đường thẳng BC: 5x- 2y- 19= 0 Chọn điểm I sao cho 0=++ IMIGIA ⇒ I(2;1) (I là trọng tâm tam giác AGM). Ta có : 2222222 3 IMIGIAPIPMPGPAX +++=++= . 10 [...]... nhau - Rốn luyện cho học sinh kỹ năng phõn tớch một bài toỏn, quy lạ về quen , khai thác các tính chất cơ bản để tỡm lời giải tối ưu nhất - Rốn luyện cho học sinh cỏch trỡnh bày một cỏch chặt chẽ, khoa học -Phát huy sự linh hoạt, tính sáng tạo của học sinh 27 3.Kết luận Sử dụng tính chất hình chiếu của điểm trên đường thẳng để giải quyết một số bài toán cực trị hình học là một hướng giải quyết tạo được... đẹp của nó, sự khai thác rất đơn giản dễ vận dụng Từ hướng khai thác trong hình học phẳng tôi sẽ áp dụng tính chất hình chiếu của điểm trên đường thẳng, hình chiếu của điểm trên mặt phẳng trong một số bài toán cực trị trong hình học không gian Tuy nhiờn do thời gian cú hạn nờn trong phạm vi bài viết này tụi cũng chỉ mới giải quyết một số dạng toỏn Mong các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để có một. .. cho học sinh, giúp các em thấy được sự vận dụng đơn giản nhưng rất hiệu quả của tính chất hình học trong giải toán cực trị Sau khi thực hiện sỏng kiến này trờn cỏc buổi ụn tập cho học sinh lớp 10 và ôn thi đại học tại lớp 10H, 12D trường THPT Ba Đỡnh đó cho kết quả tốt Học sinh cú thể sử dụng linh hoạt tính chất hình học để giải quyết một số bài toán về cực trị Các em thấy yêu thích phần toán cực trị. .. đến đường thẳng ∆ m là lớn nhất 2 2 Bài 2: Cho đường tròn (c): x + y − 2 x + 4 y = 0 và điểm M(1;-1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M sao cho cắt đường tròn (C) tại hai điểm P, Q phân biệt sao cho chu vi tam giác IPQ nhỏ nhất (I là tâm của đường tròn (C)) Từ bài toán 1 ta có thể nâng mức độ khó của bài toán lên ở bài toán 2 sau đây Bài toán 2: Cho ba điểm A, B, C Viết phương trình đường thẳng. .. qua đường thẳng từ đó khai thác tính chất hình học để giải bài toán cực trị như hai dạng toán sau: 3 .Bài toán 3: Cho đường thẳng ∆ và hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất Phương pháp: ∆ A M B 12 +)Nếu hai điểm A, B nằm khác phía đối với ∆ thì MA+ MB ≥ AB Suy ra MA+ MB nhỏ nhất bằng AB khi M = AB ∩ ∆ +)Nếu hai điểm A, B nằm cùng phía đối với ∆ Gọi A1 là điểm. .. được giới thiệu cách khai thác tính chất hình chiếu của điểm trên đường thẳng với hình thức kiểm tra là làm bài 45 phút với câu hỏi như nhau ĐỀ KIỂM TRA (45’) Bài 1( 5điểm) : Cho tam giác ABC với A(0;-2), B(-3;2), C(4;1) Gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm của tam giác ABC Tìm toạ độ điểm P trên đường thẳng BC sao cho biểu thức X = PG 2 + 3PM 2 đạt giá trị nhỏ nhất Bài 2( 5điểm) : Cho tam giác ABC với... diện tích của tam giác ABC 26 2.Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A sao cho khoảng từ điểm B đến ∆ lớn nhất Kết quả thu được như sau: Lớp Sỹ số Điểm ∈[5; 8) Điểm < 5 Số lượng % Điểm ≥ 8 Số Số lượng % lượng % 10H 50 5 10% 30 60% 15 30% 10G 50 16 32% 28 56% 6 12% 2 Bài học kinh nghiệm Qua đề tài này tôi thu được một số bài học: - Cho học sinh tiếp xỳc với nhiều bài toỏn với những cỏch giải khỏc... cần tìm là : 4x+11y+ 4 = 0 24 Nhận xét: Cách giải khai thác tính chất hình học để giải quyết Cách trình bày đơn giản về tình toán, phát huy tính sáng tạo trong tư duy Các bài toán dạng này còn có thể giải quyết bằng cách biến đổi đưa về tìm giá trị lớn nhất của hàm số * )Bài toán tổng quát: Cho 3 điểm A, B, C Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A sao cho biểu thức ad(B; ∆ )+ bd(C; ∆ ) đạt giá tri... *Các bài tập tương tự Bài 1: Cho các điểm A(2;4), B(-4;7) C(-1;0) a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AB sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng AC sao cho NA + NC đạt giá trị nhỏ nhất Bài 2: Cho tam giác A(-2;1), B(4;5), C(-1;0) Gọi H là trực tâm của tam giác a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AB sao cho chu vi tam giác MHC đạt giá trị nhỏ nhất b.Tìm toạ độ điểm. .. trình đường thẳng ∆ là : 7x - 2y + 7 = 0 Vậy đường thẳng ∆ cần tìm là :7x - 2y + 7 = 0 20 Nhận xét: Từ bài toán 1 ta có thể thay đổi cách hỏi để làm bài toán phức tạp hơn nhưng bản chất vẫn là bài toán 1 như ví dụ 3 Sự thay đổi như vậy làm cho học sinh linh hoạt hơn, tư duy sáng tạo hơn * Các bài tập tương tự Bài 1: Cho đường thẳng ∆ m : mx+ (m-1)y- 1= 0 và điểm A(2;3) Tìm m để khoảng cách từ điểm A . TÀI: "RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG KHAI THÁC HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM TRÊN ĐƯỜNG THẲNG ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC" 1 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Bài toán cực trị hình học là. những bài tập phức tạp trừu tượng khó giải quyết. Chính vì vậy tôi chọn đề tài : Rèn luyện cho học sinh kĩ năng khai thác hình chiếu của điểm trên đường thẳng để giải một số bài toán cực trị hình. qua đường thẳng từ đó khai thác tính chất hình học để giải bài toán cực trị như hai dạng toán sau: 3 .Bài toán 3: Cho đường thẳng ∆ và hai điểm A, B. Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho