3B h 1 B là diện tích đáy, h là chiều cao Dạng này được sử dụng ở các trường hợp sau: Trường hợp 1: Khối chóp có cạnh bên nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.
Trang 1A ĐẶT VẤN ĐỀ
I LỜI MỞ ĐẦU.
Trong chương trình Hình học 12 thì phần thể tích khối đa diện, trong
đó có bài toán tính thể tích khối chóp là một phần rất quan trọng Các nămgần đây, ở các đề thi tốt nghiệp THPT và các đề thi Đại học, Cao đẳng thườngxuyên có một câu về tính thể tích khối đa diện và chủ yếu là tính thể tích khốichóp
Tuy nhiên thời lượng học chương trình này lại rất ít Ở chương trìnhchuẩn chỉ có 2 tiết, chương trình nâng cao cũng chỉ có 3 tiết Bên cạnh đó nộidung trong sách giáo khoa chưa phân được các dạng toán cụ thể Chẳng hạn
để tính thể tích khối chóp, ở chương trình SGK nâng cao Hình học lớp 12, chỉđưa ra được một ví dụ minh họa đó là: “Tính thể tích của khối tứ diện đều cócạnh bằng a” SGK chỉ dừng lại ở ví dụ trên mà không có thêm bất cứ một ví
dụ nào khác, cũng như không nêu rõ các bước giải toán khi mà hình chópkhông phải là hình chóp đều Điều này đã gây khó khăn lớn với hầu hết họcsinh khi làm bài tập tính thể tích các khối chóp khác nhau
II.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.
1.Thực trạng:
Thực tế, qua nhiều năm giảng dạy ở trường THPT Đặng Thai Mai, vớiphần đa số là học sinh thuộc trung bình, tôi nhận thấy rằng phần lớn các emđều không hứng thú học hình không gian trong đó có phần tính thể tích khốichóp Các em gần như bỏ qua phần này hoặc chỉ học mang tính chất đối phó.Điều đó dẫn đến các em không đạt yêu cầu khi giải các bài toán về thể tíchkhối chóp
2.Kết quả của thực trạng
Tôi đã cho tiến hành khảo sát ở ba lớp12 năm học 2009 - 2010: 12C1,12C2, 12C3 tại trường THPT Đặng Thai Mai về bài tính thể tích khối chópngay sau bài thể tích khối đa diện với bài toán sau:
“Tính thể tích khối chóp S.ABC trong đó SA, AB, AC đôi một vuông góc và có độ dài đều bằng a”.
1
Trang 2Kết quả thu được như sau:
Lớp Sĩ số Vẽ hình
đúng
Xác định được đường cao
Tính đúng thể tích
Trình bày đúng
12C1 45 15(33,3%) 13(28,9%) 10(22,2%) 7 (15,6%)12C2 47 11(23,4%) 9(19,1 %) 6(12,8%) 4 (8,5%)
12C3 43 12(27,9%) 7(16,2%) 5(11,6%) 3 (7 %)
Từ bảng trên ta thấy có đến hơn 67% không vẽ đúng hình, trên 71%học sinh không xác định được đường cao của hình chóp, trên 77% không tínhđược thể tích và trên 84% không biết trình bày hoặc lập luận chưa chính xác
Từ thực trạng trên, để giúp các em có thể tiếp thu dễ dàng hơn các bàitoán tính thể tích khối chóp, tôi đã tìm tòi, nghiên cứu, sắp xếp, phân loại cácdạng toán tính thể tích khối chóp gần giống với các dạng toán trong Đại số
qua sáng kiến kinh nghiệm :
“Một số phương pháp tính thể tích khối chóp”.
Với sáng kiến kinh nghiệm này tôi mong muốn rằng học sinh đượctrang bị một cách tương đối đầy đủ và toàn diện về phương pháp tính tính thểtích của khối chóp Giúp học sinh để có một cái nhìn sâu hơn về bài toán tínhthể tich khối chóp nói riêng và các bài toán thể tích khối đa diện nói chung,đáp ứng được yêu cầu ngày càng cao trong các kì thi tốt nghiệp THPT vàtuyển sinh Đại học, Cao đẳng
Trang 3Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào tỉ lệ giữa các cạnh của nó
với các cạnh của khối chóp khác đã biết thể tích và công thức:
' ' ' ' ' '
.
SA B C SABC
V SA SB SC
(A’,B’,C’ lần lượt nằm trên các cạnh SA,SB,SC của hình chóp S.ABC)
Dạng 3: Tính thể tích khối chóp dựa vào phương pháp tọa độ và
công thức thể tích khối chóp ABCD: V=1 ,
Bài giảng được thực hiện qua các tiết dạy bồi dưỡng học sinh, tự chọn,
ôn tập hoặc phụ đạo nhằm khắc phục thời lượng hạn chế theo Phân phốichương trình
Cung cấp cho học sinh các dạng toán tính thể tích khối chóp (phươngpháp, ví dụ minh họa và bài tập áp dụng giúp học sinh tự rèn luyện, ôn tập) :
Dạng 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào công thức V=1 .
3B h (1)
( B là diện tích đáy, h là chiều cao)
Dạng này được sử dụng ở các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Khối chóp có cạnh bên nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.
Phương pháp:
3
Trang 4b
b S
- Xác định đường cao (chính là cạnh bên vuông góc với đáy).
- Tính đường cao và diện tích đáy Từ đó và áp dụng công thức (1)
để tính thể tích khối chóp.
Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA vuông góc với mặt phẳng
(ABC).SA=a, tam giác ABC vuông tại B và BA=BC= b Tính thể tích khốichóp S.ABC
1 3
1
ab b
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA vuông góc với mặt phẳng
(ABC), SA=a, tam giác ABC có A= và AB=b, AC=c Tính thể tích khốichóp S.ABC
1 3
1
abc bc
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a,
SA vuông góc với đáy.Góc giữa SC và đáy bằng 600 Tính thể tích khối chópS.ABCD
Lời giải:
Trang 5Vì SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) nên SA là đường cao của hình
chóp S.ABCD
Mặt khác AC= AB2 AC2 a 2
AC là hình chiếu vuông góc của SC
trên mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa SC
và mặt phẳng (ABCD) là góc SCA
Suy ra SCA =600 và SA=AC.tanSCA=a 2.tan600=a 6
Diện tích đáy ABCD bằng SABCD=AB2=a2
Bài tập áp dụng:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông gócvới mặt đáy.Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết:
a) Cạnh AB= a, AD=2a, SA=3a
b) Cạnh đáy AB=a 3, AD=a, góc giữa AC với mặt phẳng (SBC) bằng 300
Trường hợp 2: Khối chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với mặt đáy.
Phương pháp:
- Xác định đường cao
(chính là cạnh chung của hai mặt bên cùng vuông góc với mặt đáy)
- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức (1)
để tính thể tích khối chóp.
Một số ví dụ minh họa
5
Trang 6A
D
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có hai mặt bên (SAB), (SAD) vuông góc
với đáy SA =a, đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc A=1200 Tính thể tíchkhối chóp S.ABCD
Lời giải:
Vì (SAB) và (SAD) cùng
vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
nên SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) hay SA là đường cao của
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông cạnh a.
Các mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SCtạo với đáy một góc 300 Tính thể tích khối chóp
Lời giải:
Vì (SAB) và (SAD) cùng vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay
SA là đường cao của hình chóp
Trang 7Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác vuông cân tại
B, AB=BC=2a Các mặt phẳng (SAB), (SAC) cùng vuông góc với mặtphẳng(ABC).Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song songvới BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
600 Tính thể tích khối chóp S.BCMN
Lời giải:
Vì (SAB) và (SAD) cùng vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) hay SA là
đường cao của hình chóp S.BCMN
Vì ABBC (giả thiết) nên
SBBC (định lí ba đường vuông góc)
Và góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc SBA
Suy ra SA=AB.tan SBA = 2a.tan600 = 2 3a
Mặt khác MN// BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC và
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
AC=a, hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) cùng vuông góc với đáy.Góc tạo bởi
SC và mặt đáy bằng 600.Tính thể tích khối chóp
7
Trang 860 0 I
A
B S
Trường hợp 3: Khối chóp có hai mặt phẳng đi qua đỉnh (không chứa mặt bên) cùng vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.
Phương pháp:
- Xác định đường cao (nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng
cùng vuông góc với mặt đáy)
- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức
(1) để tính thể tích khối chóp.
Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A ,
AB=AD=2a, CD =a, góc giữa SC và (ABCD) bằng 600.Gọi I là trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Lời giải:
Vì (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SI vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay SI là
đường cao của hình chóp S.ABCD
IC là hình chiếu vuông góc của SC
Xuống mặt phẳng (ABCD) nên góc
giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc SCI
=600.Theo định lí Pitago ta có:
IC ID DC a a a SI=IC tan SCI=a 2.tan 60 0 a 6
Tứ giác ABCD là hình thang cân nên ta có
Trang 960 0 N M
A
B S
S
O
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi
M là trung điểm của AB, hai mặt phẳng (SMC) và (SMB) cùng vuông gócvới mặt phẳng (ABCD) Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Lời giải:
Vì (SBI) và (SCI) cùng vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) nên SI vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) hay SI là
đường cao của hình chóp S.ABCD
Gọi N là trung điểm của BC ta có
MN là đường trung bình của hình
vuông ABCD nên MN BC suy ra SN BC và góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc SNM= 450
Ta có MN=a và SM=MN.tanSNM=a.tan450=a SABCD=AB.AD=a2
và (ABCD) bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Lời giải:
Vì (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay SO là đường cao của hình chóp S.ABCD
AO là hình chiếu vuông góc của SA
xuống mặt phẳng (ABCD) nên
góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD)
là góc SAO = 600 Ta có OAB = 600
9
Trang 10Trường hợp 4: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy Phương pháp:
- Xác định đường cao (hạ từ đỉnh xuống cạnh đáy là giao giữa
mặt bên đó với mặt đáy )
- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức
(1) để tính thể tích khối chóp.
Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có đáy
lớn là AB = 2a, AD =CD =a và hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông gócvới nhau, tam giác SAB đều Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AB khi đó SH AB suy ra SH (ABCD) hay
SH là đường cao của hình chóp.SH=SA.sin600=2 3 3
2
a a Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên AB khi đó
Trang 11H A
C
B S
D K
N
M A
C
B S
V=1 . 1 3.3 3 2 3 3
Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a.
SA=a,SB=a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt làtrung điểm của các cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của S trên AB ta có SH(ABCD) hay SH là đườngcao của hình chóp S.BMDN
Mặt khác tam giác SAB có
SA2 +SB2=AB2 (a2+3a2=4a2)
Nên vuông tại S suy ra
2
a SH
Trang 12I A
C
B S
D
Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a.
SA=SB và mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy Góc giữa SC và mặt đáybằng 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
Lời giải:
Gọi I là trung điểm của AB suy ra SI AB và SI (ABCD)
hay SI là đường cao của hình chóp S.ABCD
a) AB=2a, AD=2a, tam giác SAB đều
b) AB=2a, AD=a và tam giác SAB cân tại S, góc giữa SC và mặt đáy bằng 450
Trường hợp 5: Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với hai
đường thẳng cắt nhau thuộc mặt đáy.
Phương pháp:
- Xác định đường cao (chính là cạnh bên đó ).
- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức (1)
để tính thể tích khối chóp
Trang 13A
B
C
Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, AC đôi một vuông góc,
SA=AB=AC=a Tính thể tích khối chóp S.ABC
Lời giải:
Ta có SA ( ABC)
AC SA AB SA
1 3
1
a a
AC AB
1 3
1
ab b
- Xác định đường cao (hạ từ đỉnh xuống tâm của đa giác đáy ).
- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức (1)
Trang 14M A
C
B S
O
M
C D
SAO =450.Suy ra AO=SA.cosSAO=a ,
SO=SA.sin SAO=a Gọi M là trung điểm
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt
bên và mặt đáy bằng 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
Lời giải:
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, khi đó SO vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) hay SO là đường cao của hình chóp Gọi M là trung điểm của
Trang 15D' B'
Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi cạnh bên
và mặt đáy bằng 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào tỉ lệ giữa các cạnh của nó
với các cạnh của khối chóp khác đã biết thể tích và công thức:
Trang 16D' S
Ví dụ 18: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA
vuông góc với mặt đáy và SA =2a Gọi B’,D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’ Tính thể tích khối chóp
S.AB’C’D’
Lời giải: Ta có AB’SB và AB’CB (CB(SAB) suy ra AB’SC
Tương tự AD’SC suy ra SCAC’
Bài tập áp dụng: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh
5, đường chéo AC =4, đoạn thẳng SO=2 2(O là tâm của hình thoi) vuông góc với đáy.Gọi M là trung điểm của cạnh SC Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt
SD tại N Tính thể tích khối chóp S.ABMN
Dạng 3: Tính thể tích khối chóp dựa vào phương pháp tọa độ và
công thức thể tích khối chóp ABCD: V=1 ,
- Tọa độ hóa bài toán.
- Áp dụng công thức (2) để tính thể tích khối chóp
Trang 17H
F A
C D
B E
Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 19:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=a 2,SA=a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M và N lần lượt là trungđiểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC Tính thể tich khối tứ diệnANIB
Lời giải:
Dựng hệ trục tọa độ Oxyz
Sao cho O trùng với A,Ox
Trùng với tia AD,Oy trùng
với tia AB,Oz trùng với tia
Trang 18H
P N
Lời giải: Xét hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O trùng với B, Ox trùng với tia
BC, Oy trùng với tia BA,Oz trùng với tia BB’.Khi đó ta có A(0;a;0),B(0;0;0),C(2a;0;0).Do A’M=1 2AA ' 4
a
AC IH Kẻ HN//BC và HP//ABkhi đó
Trang 19C.KẾT LUẬN 1.Kết quả nghiên cứu:
Sau khi áp dụng phương pháp trên vào ba lớp đã nêu, tôi đã cho họcsinh kiểm tra qua ba bài toán sau:
Bài 1(6 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh a, hai mặt phẳng (SAC) và (SAD) cùng vuông góc với đáy Góc tạo bởi (SCD) và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp
Bài 2(4 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ
nhật, mặt bên (SAB)vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biếtAB=2a, tam giác SAB cân tại S, góc giữa SC với mặt đáy bằng 600, khoảng cách giữa AB và (SCD) bằng a 3
Kết quả thu được như sau
9-10
Điểm7-8,5
Điểm5-6,5
Điểm3-4,5
Điểm0-2,512C1 45 5(11,1%) 23(51,1%) 16(35,6%) 1(2,2%) 0(0 %)12C2 47 6(12,8%) 20(42,6%) 19(40,4%) 2(4,2%) 0(0 %)12C3 43 4(9,3%) 17(39,5%) 9(20,9 %) 2(4,7 %) 1(2,3 %)
Kết quả cho thấy chất lượng từ trung bình trở lên đạt trên 97% trong đó
có trên 21% đạt khá giỏi Như vậy có thể thấy hiệu quả rõ rệt khi thực hiệnphương pháp trên vào dạy học Điều đặc biệt quan trọng hơn nữa mà phươngpháp đem lại đó là đã tạo được niềm tin ở bản thân, sự say mê và hứng thú rấtcao của các em khi giải các bài toán tính thể tích khối chóp nói riêng và bàitoán hình học không gian nói chung
2.Ý kiến đề xuất:
- Với khả năng, kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế, việc áp dụngphương pháp cũng như hệ thống bài tập đưa ra ở trên chắc chắn sẽkhông tránh khỏi thiếu sót Rất mong các đồng nghiệp cũng như quý vịđộc giả góp ý để SKKN này được hoàn thiện hơn
19
Trang 20D.TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Sách Hình học 12, sách Hinh học 12NC-NXB Giáo dục
2 Sách Bài tập Hình học 12, sách Bài tập Hình học 12NC-NXB Giáo dục
3 Đề Tuyển sinh Đại học, Cao Đẳng
4 Một số phương pháp giải toán sơ cấp-NXB ĐHQG Hà Nội
Trang 21Phần Nội dung Trang
Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào tỉ lệ giữa các
cạnh của nó với các cạnh của khối chóp khác đã biết
thể tích.
' ' ' ' ' '
.
SA B C SABC
V SA SB SC
15
Dạng 3: Tính thể tích khối chóp dựa vào phương
pháp tọa độ và công thức thể tích khối chóp ABCD: