SKKN Bài toán tính thể tích khối đa diện THPT NGUYỄN VĂN VINH THỌ XUẬN

A – ĐẶT VẤN ĐÊ - Lý chọn đề tài + Nhiệm vụ và mục tiêu của môn Tốn nói chung và phân mơn Hình học nói riêng là phát huy tính tích cực của học sinh tăng cường khả tự học, tự khám phá, khơi dạy lòng say mê khoa học Do đó người dạy phải tích cực đổi mới phương pháp dạy và học môn Tốn ở trường THPT, tích cực hóa hoạt đợng học tập của học sinh, tập trung rèn luyện khả tự học, tự phát hiện và giải quyết vấn đề, nhằm từng bước hình thành cho học sinh khả tư tích cực, độc lập sáng tạo, phân tích và tổng hợp một vấn đề Để có được điều đó, giảng dạy người thầy giáo phải thường xuyên tự bời dưỡng, học hỏi nâng cao trình đợ của bản thân, bài giảng phải phải giúy học sinh nắm được kiến thức bản, trọng tâm, thúc đẩy sự tìm tịi, khám phá của người học, tạo hướng thú học tập và rèn luyện cho em những kỹ giải toán cần thiết phải có + Hình học khơng gian là mợt mơn học giầu tính trìu tượng, mơn học khó cũng nhiều lý thú và thiết thực với thực tế đời sống người Nó được đưa vào chương trình phở thơng từ lâu, để hiểu và vận dụng được kiến thức hình học ngoài lịng say mê cần phải có tính can đảm vượt khó và học tập một cách bài bản khoa học Hình học khơng gian khó cịn phương tiện, mơ hình dạy học để hỡ trợ trí tưởng tượng khơng gian cịn thiếu Thực tế nhiều năm giảng dạy đa sớ em cịn ngại và sợ học môn này, dù biết cấu trúc chương trình thi tớt nghiệp THPT, BT.THPT, tủn sinh đại học, cao đẳng và THCN đều có nội dung này Vậy để góp phần nhỏ bé giúy em nắm được kiến thức bản và vận dụng vào giải bài tập hình học khơng gian; góp phần nâng cao chất lượng dạy và học; chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Bài toán tính thể tích khối đa diện” nhằm giúy học sinh nắm được kiến thức bản, bước giải, kiến thức được vận dụng giải bài dạng toán này – Phạm vi nghiên cứu của đề tài: + Xây dựng hệ thống và phân loại bài tập tính thể tích khối đa diện từ dể đến khó phù hợp với đối tượng học sinh, giúy học sinh lớp 12 hiểu và nắm vững kiến thức phần này + Hình thành phương pháp và bước giải dạng bài tập đó + Rèn cho học sinh kỹ huy đợng, vận dụng kiến thức đã học để giải tốn + Đưa một số bài tập tự luyện nhằm cũng cố cho học sinh kỹ vận dụng gặp dạng tốn tính thể tích khới đa diên – Đối tượng, thời gian nghiên cứu đề tài: + Đối tượng mà đề tài hướng tới nghiên cứu và áp dụng thực nghiệm là học sinh lớp 12 GDTX năm học 2011-2012 4- Phương pháp nghiên cứu: + Phương pháp nghiên cứu tài liệu: nghiên cứu lý thuyết hình học không gian, phương pháp tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp Nghiên cứu phương pháp giảng dạy toán, đặc biệt là phương pháp giảng dạy bài tập tốn + Phương pháp quan sát sư phạm: thơng qua thực tế giảng dạy, trao đổi với đồng nghiệp, dự giờ đúc rút kinh nghiệm, tiếp thu sự phản hồi từ học sinh + Phương pháp thực nghiệm: thực hiện kiểm tra đánh giá ở lớp 12A1, 12A4 sau trình học tập – Giá trị sử dụng của đề tài: + Học sinh lớp 11, 12 THPT, BT.THPT + Học sinh ôn thi tốt nghiệp, thi tuyển sinh đại học, cao đẳng và THCN + Giáo viên giảng dạy mơn Tốn lớp 12 ban bản B – NỘI DUNG ĐÊ TÀI Cơ sở lý ḷn: + Bài tập tốn có tác dụng bở sung, hoàn thiện, nâng cao kiến thức phần lý thuyết thiếu thời lượng phân phới chương trình quy định + Bài tập toán giúy học sinh hiểu sâu lý thuyết, cũng cố rèn luyện cho học sinh kỹ giải toán, kỹ vận dụng lý thuyết vào thực tiễn … + Bài tập tốn cịn giúy cho học sinh phát triển tư tích cực, tạo tiền đề nâng cao lực tự học, cũng cố khả sử dụng ngơn ngữ, cách trình bày lời giải, khả khám phá và tự khám phá, hình thành phương pháp làm việc khoa học, hiệu quả + Thông qua bài tập tốn giáo viên giảng dạy có mợt kênh thông tin thu thập, đánh giá chính xác lực học tập của học sinh Cơ sở thực tiễn + Các bài toán về tính thể tích của khối đa diện thường xuất hiện đề thi tốt nghiệp THPT, BT.THPT, tuyển sinh đại học, cao đẳng và THCN, đồng thời là một ba chương của chương trình hình học khới 12 + Đới với học sinh phần này là kiến thức khó, học chương này học sinh thường sợ và đạt kết quả thấp + Đối với giáo viên tâm lý là ngại dạy phần này, khơng có hứng thú, say mê tìm hiểu dẫn đến giảng dạy “ tối ngày đầy công” Vì vậy hiệu quả, chất lượng giảng dạy phần này cịn thấp chưa đạt mục tiêu chương trình Từ địi hỏi của thực tiễn và lý luận và đòi hỏi của mục tiêu giáo dục, viết sáng kiến kinh nghiệm “ Bài tốn tính thể tích khới đa diện” Các biện pháp tiến hành: + Trong chương trình bản mơn Hình học lớp 12: chương I: khối đa diện có 11 tiết, chia làm bài: bài 1: Khái niệm về khối đa diện; bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đề; bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện + Nội dung của chương I có nội dung chính: - Trình bày khái niệm về khới đa diện Trong phần này trước hết cho học sinh làm quen với khối đa diện cụ thể: khối chữ nhật, khới lăng trụ, khới chóp Sau đó trình bày khái niệm về khối đa diện tổng quát, phân chia và lắp ghép khối đa diện, khối đa diện lồi và khới đa diện đều - Trình bày khái niệm về thể tích khối đa diện Phần này ta chứng minh cơng thức thể tích hình hợp chữ nhật có ba kích thước là số nguyên dương, sau đó công nhận rằng công thức cũng đúng với hình hợp chữ nhật có ba kích thước là số dương Tiếp đó, ta công nhận công thức tính thể tích khối lăng trụ và khối chóp bất kỳ + Yêu cầu của chương này là: - Nhận biết được thế nào là một khối đa diện, khối đa diện đều, biết thực hiện phân chia và lắp ghép khối đa diện - Hiểu được khái niệm về thể tích khối đa diện - Hiểu và nhớ được công thức thể tích của khối hộp chữ nhật, khối lăng trụ, khối chóp, vận dụng được chúng vào việc giải bài tốn về thể tích khới đa diện Nhằm đạt được yều cầu trên, một những giải pháp góp phần giúy học sinh hiểu và giải được bài tốn tính thể tích khới đa diện kỳ thi tốt nghiệp THPT, BT.THPT, kỳ tuyển sinh, xây dựng hệ thống bài tập tính thể tích khới đa diện áp dụng cho q trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh học chương này Bài tập tính thể tích khối đa diên chia làm nội dung chính Đó là tính thể tích trực tiếp bằng công thức, tính thể tích gián tiếp qua việc lắp ghép hình, bài tốn tởng hợp và bài tập tương tự (về nhà tự giải) Dạng toán tính thể tích trực tiếp rèn cho học sinh cách xác định đường cao, kỹ vận dụng kiến thức để tính đường cao, diện tích đáy từ đó suy thể tích Dạng toán tính thể tích gián tiếp rèn cho học sinh biết phân chia hoặc sử dụng cơng cụ có liên quan đưa về bài tốn bản Dạng tốn tởng hợp là sự vận dụng linh hoạt phương pháp đưa được lời giải ngắn gọn, chính xác Bài tập tương tự về nhà giúy em tự rèn luyện, cũng cố thêm kỹ đã có a- Tính thể tích khối đa diện vận dụng trực tiếp công thức tính thể tích: + Khi áp dụng công thức thông thường yêu cầu: 1) Xác định chính xác đường cao của khối đa diện 2) Tính được độ dài đường cao và diện tích mặt đáy 3) Tính thể tích của khối đa diện Một số kiến thức cần nhớ để xác định đường cao khới đa diện: - Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy - Hình chóp có cạnh bên bằng chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đáy - Hình chóp có mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng chân đường cao chính là tâm đường trịn nợi tiếp mặt đáy - Hình chóp có mợt mặt bên vng góc với đáy chân đường cao nằm giao tuyến của mặt phẳng đó và đáy - Hình chóp có hai mặt bên cùng vng góc với đáy đường cao nằm giao tuyến của hai mặt phẳng đó Tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy cần lưu ý - Các hệ thức lượng tam giác đặc biệt là hệ thức lượng tam giác vuông - Các khái niệm về góc, khoảng cách và cách xác định Sau là bài tập minh họa Bài1 Chóp tam giác đều SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên tạo với đáy một góc 600 Hãy tính thể tích của khối chóp đó Bài giải - Xác định đường cao của hình chóp: Vì tam giác ABC đều, cạnh bên tạo với đáy góc 60 nên chân đường cao của hình chóp hạ từ S xuống mp(ABC) trùng với tâm của đáy ( tâm đáy là giao điểm đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác … ) - Tính đường cao và diện tích đáy và thể tích hình chóp: Gọi D là trung điểm của BC và E là tâm đáy S A B E D C Khi đó a 3 Ta có ∠ SAD = 600 nên SE = AE.tan600 = a a2 a3 SABC = Do đó VSABC = SE.SABC = 12 AE = AD = Bài Cho hình chóp tam giác SABC có SA=5a, BC=6a, CA=7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA cùng tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích của khối chóp đó Bài giải - Xác định đường cao của hình chóp: Theo hình chóp có mặt bên tạo với đáy góc bằng chân đường cao trùng với tâm đường trịn nợi tiếp đáy - Tính đường cao và diện tích đáy và thể tích hình chóp: Ta có hình chiếu của đỉnh S trùng tâm D đường trịn nợi tiếp đáy S B A D k C AB + BC + CA Ta có p = = 9a Nên SABC = p( p − a)( p − b)( p − c) = 6a2 S mặt khác SABC = pr ⇒ r = p = a ∆ SDK có SD = KD tan600 = r tan600 = 2a Do đó VSABC= SD.SABC=8a3 3 Bài Cho hình chóp SABC có cạnh bên bằng cùng hợp với đáy góc 600 Đáy là tam giác cân ABC có AB = AC = a và ∠ BAC=1200 Tính thể tích khối chóp đó Bài giải - Xác định dường cao hình chóp: Vì cạnh bên bằng nên chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp S A C O B O - Tính đường cao và diện tích đáy và thể tích hình chóp: Gọi D là trung BC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Có SO chính là đường cao SABC = 1/2.AB.AC.sin1200 = a2 và BC= 2BD = 2.ABsin600=a a.b.c =a ⇒ SO = OA.tan600 = a 4s Do vậy VSABC = SO.SABC=1/4a3 OA=R= Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh2a SA=a, SB=a và mp (SAB) vuông góc với mặt đáy Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC Hãy tính thể tích khối chóp S.BMDN Bài giải S D A H M B N C - Xác định đường cao hình chóp: Hạ SH ⊥ AB H SH chính là đường cao - Tính đường cao và diện tích đáy và thể tích hình chóp: SADM = 1/2AD.AM = a2 SCDN = 1/2.CD.CN = a2 Nên SBMDN = SABCD - SADM - SCDN = 4a2 -2a2=2a2 mặt khác 1 SA SB a ⇒ SH = = + = 2 2 SH SA SB SA + SB Do đó VSBMDN = SH.SBMDN = a3 3 Bài Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông A, D; AB = AD = 2a, CD = a Góc giữa hai mp (SBC) và (ABCD) bằng 60 Gọi I là trung điểm của AD, Biết hai mp (SBI), (SCI) cùng vuông góc với mp(ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài giải - Xác định đường cao của hình chóp: Giao tuyến SI của hai mp (SBI), (SCI) chính là đường cao của hình chóp - Tính đường cao và diện tích đáy và thể tích hình chóp: S H I D B J A C Gọi H trung điểm của BC, J là trung điểm AB Ta có SI ⊥ mp(ABCD) IC = ID + DC = a IB = IA + AB = a và BC = CJ + JB = a SABCD = 1/2AD(AB+CD) = 3a2 SIBA = 1/2.IA.AB = a2 và SCDI = 1/2.DC.DI = 1/2.a2 3a 2 2S 3 a mặt khác SIBC = IH.BC nên IH = IBC = BC a SI = IH.tan600 = 15 Do đó VABCD = SI.SABCD = a ⇒ SIBC = SABCD - SIAB - SDIC = Bài Cho chóp SABC có SA=SB=SC=a, ∠ ASB= 600, ∠ CSB=900, ∠ CSA=1200 Tính thể tích chóp SABC Bài giải - Xác định đường cao của hình chóp : S C E A D Gọi E, D lần lượt là AC, BC ∆ SAB đều AB = a, ∆ SBC Vuông BC = a B a ⇒ AC = a và SE = SAcos600 = a 2 ⇒ ∆ ABC có AC2 = BA2+BC2 = 3a2 vậy ∆ ABC vuông B, nên SE là ∆ SAC có AE = SA.sin600 = đường cao của hình chóp SABC - Tính đường cao và diện tích đáy và thể tích hình chóp: a2 BA.BC = 2 a ∆ SBE có BE = AC = 2 Có SABC = SB2 = BE2+SE2 = a2 nên BE ⊥ SE AC ⊥ SE Do đó SE chính là đường cao VSABC = a SE.SABC = 12 Bài Cho khối lăng trụ đứng ABC.A 1B1C1 có đáy là tam giác vuông A, AC = a, ∠ ACB = 600 Đường thẳng BC1 tạo với mp(A1ACC1) một góc 300 Tính thể tích hình lăng trụ Bài giải Ta có hình vẽ: A B C A1 B1 C1 Xác định đường cao của hình lăng trụ: Vì ABC.A1B1C1 là khới lăng trụ đứng nên CC1 là đường cao của lăng trụ - Tính đường cao và diện tích đáy và thể tích hình lăng trụ: Trong tam giác ABC có AB = AC.tan600 = a AB ⊥ AC và AB ⊥ A1A Nên AB ⊥ mp(ACC1A) đó ∠ AC1B = 300 và AC1 = AB.cot300=3a Áp dụng định lý Pitago cho tam giác ACC1: CC1 = AC1 − AC = 2a - Do vậy V = CC1.SABC = 2a a.a = a3 Bài Cho khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = và AD = Các mặt bên ABB1A1 và A1D1DA lần lượt tạo với đáy góc 450 và 600 Hãy tính thể tích khối hộp đó biết cạnh bên bằng Bài giải F B1 A1 D1 A C1 B N M H C D - Xác định đường cao của khới hợp: Gọi H là hình chiếu của A1 lên mp(ABCD), H là chân đường cao của khối hộp ABCD.A1B1C1D1 - Tính đường cao, diện tích đáy và thể tích khối hộp: Từ H hạ HM ⊥ AD M và HN ⊥ AB N ⇒ ∠ A1MH=600 và ∠ A1NH = 450 Theo gt 2x x = sin 60 Đặt A1H = x (x>0) ta có A1M = tứ giác AMHN là hình chữ nhật ( góc A,M,N vuông ) Nên HN = AM mà AM = Mặt khác Suy AA − A1 M 2 = − 4x tam giác A1HN có HN = x.cot450 x = − 4x hay x = vậy VHH = AB.AD.x= b - Tính thể tích khối đa diện theo cách gián tiếp: Ta phân chia lắp ghép khối đa diện, để đưa về bài tốn áp dụng tính thể tích theo cơng thức hoặc dùng bài tốn tính tỉ lệ hai khới tứ diện (chóp tam giác) Kiến thức cần lưu ý: Cho hình chóp SABC Trên đoạn thẳng SA, SB, SC lấy lần lượt ba điểm A1, B1, C1 khác với S V A1B1C11 V ABC = SA1 SB1 SC1 SA SB SC Bài Cho hình chóp SABC có SA=a, SB=2a, SC=3a và ∠ BSA=600, ∠ ASC=1200, ∠ CSB=900 Hãy tính thể tích chóp Bài giải Nhận xét: mặt ở không có lưu ý nên việc xác định đường cao là khó ta thấy góc ở đỉnh S là rất quen thuộc Ta liên tưởng đến bài phần Vây ta có lời giải sau C C1 A S B1 B Trên SB lấy B1 Sao cho SB1 = a Trên SC lấy C1 cho SC1 = a a3 (theo bài 6) 1 12 SA SB SC = VSAB1C1 = a SA SB1 SC1 Ta có VSAB C = Mà VSABC Bài Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a A1A =2a và A1A tạo với mpABC một góc 600 Tính thể tích khối tứ diện A1B1CA Bài giải Gọi H là hình chiếu của A1 mpABC Khi đó A1H=A1A.sinA1AH=2a.sin600 = a Mà VLT = A1H.SABC = a a 3a = 4 10 A1 C1 B1 C A H K B Nhận thấy khối lăng trụ được chia làm ba khối chóp khối chóp CA1B1C1 có VCA B C = 1 1 VLT VLT a3 Khối chóp A1B1CA đó V A1B1 AC = VLT = khối chóp B1ABC có VB ABC = Bài Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a, A1A=c, BC=b Gọi E, F lần lượt là trung điểm của B 1C1 và C1D1 Mặt phẳng (FEA) chia khối hộp thành hai phần hãy tính tỉ số thể tích hai khối đa diện đó Bài giải DDF A D B C K D1 A1 J H F B1 E C1 I Mp(FEA) cắt đoạn thẳng A1D1, A1B1, B1B, D1D lần lượt J, I, H, K (hình vẽ) Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích phần và phần dưới mp 11 Ta nhận thấy rằng hai phần khối đa diện chưa phải khới hình quen tḥc ghép thêm hai phần chóp HIEB và chóp KFJD1 phần dưới là hình chóp AIJA1 Ba tam giác IEB1, EFC1, FJD1 bằng ( c.g.c ) KD1 JD1 = = AA1 JA1 1 a b c abc V HIEB1 = HB1 B1 E.B1 I = = = V KFJD1 3 2 72 1 1 3a 3b 3abc V AAJ JI = AA1 AI JA = c = 3 2 3abc abc 25abc − = V1= V AAJ JI - VHIEB1 = 72 72 V1 25 47abc V2 = Vhh –V = vậy V = 47 72 HB IB 1 Theo Ta let: AA = IA = Và 1 c - Bài tốn tởng hợp: ta đã trang bị kiến thức và phương pháp tính trên, ta tiếp tục rèn cho học sinh đưa cách giải mợt bài tốn linh hoạt bằng cả hai phương pháp để học sinh so sánh đối chiếu lựa chọn và đưa bài tập ở mức độ tổng hợp Bài Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả cạnh đều bằng a a) hãy tính thể tích khối tứ diện A1BB1C b) Mp qua A1B1và trọng tâm tamgiác ABC cắt AC,BC lần lượt E,F Hãy tính thể tích chóp C.A1B1FE Bài giải A C K B C1 A1 H B1 a) Cách 1: tính trực tiếp gọi H là trung điểm B1C1 suy Vtd = 1 a a a A1 H S BCB1 = = 3 2 12 12 Tương tự gọi K là trung điểm AB Cách VCA B C = V A ABC = VLT 1 1 Nên VBCA B1 1 a a3 = V LT = a = 3 12 b)cách Tính trực tiếp Gọi Q là trung điểm của A1B1,G là trọng tâm tam giác ABC Khi đó qua G kẻ d // với AB E=AC ∩ d và F=BC ∩ d Mp (CKQ) chính là mp trung trực của AB, FE Nên khoảng cách từ C đến QG chính là khoảng cách từ C đến mp(A1B1FE) Ta có S CQG CK = a a a2 13 , GK = ⇒ QG = KQ + KG = a + = a 12 12 2 1 a a = S CQK = CK QK = a = 3 Mặt khác 2.S CQG 2a 13 2a 13 S CQG = QG.d (C , QG ) ⇒ d (C , QG ) = = = QG 13 a 12 ⇒ VC FEA1B1 1 2a 13 3a 13 5a = d (C , QG ).S FEA1B1 = (a + ).a = 3 13 2 12 54 Cách dùng gián tiếp (sử dụng bài toán tỉ lệ thể tích ) A E C C2 G K F B C1 A1 Q B1 VCFEA1B1 = 2VCGQB1 = CG CF 2 1 a a a VCKQB1B = = CK CB 3 2 54 13 Bài cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a , SA = 2a và SA ⊥ (ABCD), Một mp qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt H, I, K Hãy tính thể tích khối chóp S.AHIK theo a Bài giải Cách tính trực tiếp Ta có AC = AD + CD = 3a + a = 4a ⇒ AC = 2a Nên ∆SAC ⊥ cân A mà AI ⊥ SC nên I là trung điểm SC 2a SC = = a 2 BC ⊥ AB, BC ⊥ SA( SA ⊥ ABCD) ⇒ BC ⊥ SAB Mà AH ⊥ SC ABC 1 SA.BA 2a = + ⇒ AH = = 2 AH AB AS SA + AB AI = SI = Trong tam giác vuông HAI có HI = AI − AH = 2a − 4a a = 5 S I H Tương tự ta có AK = B K D A C a 14 1 1 VSAHIK = VSIHA + VSIKA = SI AH HI + SI AK KI = SI ( AH HI + AK KI ) 3 2a a 2a a 14 8a ⇒ VSAHIK = a ( + )= 35 5 Cách tính gián tiếp Tương tự cách ta lập luận AH ⊥ SB, AK ⊥ SD 14 SH SI SA 4a 4a VSABC = VSABC = .2a.a = SB.SC SB 5a 35 4a Tương tự VSAIK = 35 8a Do đó VSAHIK= 35 VSAHI = Bài Cho hai đường thẳng chéo x và y lấy đoạn thẳng AB có độ dài a trượt x, đoạn thẳng CD có độ dài b trượt y CMR VABCD không đổi Bài giải Nhận xét yếu tố không đổi a, b, góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng x và y đặt (x,y)= α và d(x,y)=d B A F E C D Ta dựng hình lăng trụ ABF.CED (ình vẽ) Khi đó d = d(x,y) = d(AB,CD) = d(AB,CDE) = d(B,CDE) hay d chính là chiều cao lăng trụ VLT = d.SCDE = d CD CE.sin α = d.b.a.sin α Mặt khác khối lăng trụ được ghép từ khối tứ diện gồm Tứ diện BCDE có VBCDE = 1 d(B,CDE).SCDE = VLT 3 Tứ diện BACD và BAFD có thể tích bằng Do vậy VABCD = VLT = d.a.b.sin α = hằng sớ Cách Dựng hình hợp, cách dựng hình bình hành “ Như hai hình vẽ sau” 15 D B H G A E C E C B A F D Bài Bài toán thể tích liên quan đến cực trị Cho hình chóp S.ABCD,SA là đường cao,đáy là hình chữ nhật với SA=a, AB=b, AD=c Trong mp(SDB) lấy G là trọng tâm tam giác SDB qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh BS M, cắt cạnh SD N, mp(AMN) cắt SC K Xác định M thuộc SB cho VSAMKN đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đó Bài giải S K M G N A D O B C Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD Ta có SG = SO và K=A G ∩ SC và K là trung điểm SC VSMAK SM SA SK SM SM SM = ⇒ VSMAK = VSBAC = VSABCD = a.b.c VSBAC SB SA SC SB SB 12 SB SN Tương tự VSNAK = a.b.c 12 SC SM SN ( + ).a.b.c Do đó VSAMKN 12 SB SC 16 S H M G N D O Trong mpSBD B S SMN SM SN S SMG + S SGN S S SG.SM SG.SN = = = SGM + SGN = + S SBD SB SC S SBO 2S SBO S SOD 2.SO.SB 2.SO.SC ⇒ SM SN SM SN = ( + ) SB.SC SB SC Do M,N lần lượt nằm cạnh SB,SD nên Đặt t = SB SM ≤ SM ≤ SB ⇔ ≤ ≤1 2 SB SM SN SN SN t = (t + )⇔ = ( ≤ t ≤ ) t SN SC SC SC 3t − Nhận thấy VSAMKN đạt GTLN,GTNN nếu f(t)= SM SN t + =t+ với ≤ t ≤ SB SC 3t − 9t − 6t = (3t − 1) (3t − 1) 2 Nên f ′(t ) = ⇔ t = , t = (loại) Ta có f ′(t ) = − f(1/2) = 3/2 , f(1) =3/2 f(2/3) = 4/3 abc là GTLN M là trung điểm SB hoặc M trùng với B abc VSAMKN = là GTNN MB chiếm phần SB vậy VSAMKN = d - Bài tập tương tự (về nhà) Bài : Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB=a Trên đường thẳngqua C và vuông góc với mp(ABC) lấy điểm D cho CD=a Mặt phẳng qua C vuông góc với BD,cắt BD F và cắt AD E tính thể tích khối tứ diện CDEF Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng C, AC = a, AB = 2a, SA vuông góc với đáy.Góc giữa mp(SAB) và mp(SBC) bằng 60 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC Chứng minh rằng SA vuông KH và tính thể tích khới chóp S.ABC Bài 3: Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC biết a)Mp(SBA) vuông góc với mp(SCA) b)Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, SC và mp(BMN) vuông góc mp(SAC) 17 Bài : Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có BB1= a Góc giữa đường thẳng BB1và mp(ABC) bằng 600 Tam giác ABC vuông C và góc BAC bằng 60 Hình chiếu vng góc của điểm B lên mpABC trùng với trọng tâm tam giác ABC, tính thể tích khối tứ diện A1ABC theo a Bài : Cho khối lăng trụ đều ABC.A1B1C1 có cạnh đáy bằng a,khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mpA1BC bằng a hãy tính thể tích khối trụ đó Bài : Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác cân A,góc giữa A1A và BC1 bằng 300, khoảng cách giữa chúng bằng a Góc giữa hai mặt bên qua A1A bằng 600 hãy tính thể tích khối trụ Bài : Cho lăng trụ xiên ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông A,AB=a,BC=2a Mặt bênABB1A1 là hình thoi nằm mp vng góc với đáy và hợp với mặt bên một góc α hãy tính thể tích khối lăng trụ Bài : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bầng a, cạnh bên hợp với đáy góc 600, gọi M là điểm đối xứng với C qua D N là trung điểm SC.mpBMN chia khối S.ABCD thành hai phần Hãy tính tỉ số thể tích của hai phần đó Bài : Cho hình hợp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,BC=2a,A1A=a,M thuộc đoạn AD cho AM=3MD.Hãy tính thể tích khối tứ diện MAB1C1, Bài 10 : Cho hlp ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a, điểm K thuộc CC cho CK=2/3.a.Mặt phẳng (P) qua A,K và song song với BD chia khối lập phương thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vng Avà D Tam giác SAD là tam giác đều cạnh 2a, cạnh BC =3a Các mặt bên tạo với đáy góc bằng Hãy tính thể tích khối chóp Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với cạnh AB=BC=CD=1/2.AD Tam giác SBD vuông nằm mp vuông góc với đáy và có cạnh góc vuông là SB=8a,SD=15a hãy tính thể tích khối chóp Hiệu của sáng kiến Trong năm học 2011-2012 đã áp dụng và hướng dẫn học sinh lớp 12A1, 12A2 học theo hệ thống bài tập này so với lớp 12A2 khơng áp dụng kết quả có sự tiến bộ rõ rệt mặt tỷ lệ học sinh hiểu bài, học sinh có kỹ giải toán, học tích cực xây dựng bài Sau là kết quả khảo sát của bản thân Lớp Sĩ số 12A1 12A4 Học sinh hiểu bài Học sinh có kĩ Học sinh tích cực SL TL (%) SL TL (%) SL TL (%) 45 40 88,9 25 55,6 15 33,3 49 42 85,7 28 57,1 14 28,6 18 12A2 45 23 51,0 11,1 8,9 C - KẾT LUẬN 1- Ý nghĩa của đề tài - Giải bài toán tính thể tích của khối đa diện là một bợ phận quan trọng của hình học khơng gian nói chung, của chương trình hình học lớp 12 nói riêng, là mợt dạng tốn thường gặp đề thi tốt nghiệp THPT, BT.THPT, tuyển sinh đại học, cao đẳng và THCN Vì vậy trình giảng dạy phải yêu cầu học sinh nắm được kiến thức bản, trọng tâm để vận dụng giải được dạng toán này - Trong dạy học giải bài tập toán việc phân dạng, loại bài tập bước giải là vô cùng cần thiết nữa việc xác định kiến thức trọng tâm, lựa chọn bài tập phong phú, dạy sát đối tượng là những yếu tố bản đảm bảo thành công Để dạy học sinh học nắm vững kiến thức tính thể tích khối đa diện ngoài những yếu tố ta cần lựa bài tập bản, dể hiểu gắn liền những khái niệm góc, khoảng cách, hình chóp đều…mợt cách nhẹ nhàng, mợt ́u tớ nữa mà chúng phái nhắc nhở học sinh tính tốn nhất thiết phải đưa về mợt mp, ln xác định rõ khái niệm liên quan đến giả thiết, mối quan hệ giữa giả thiêt, cách dự đốn, cách nhìn ở góc đợ khác nhau… - Kinh nghiệm sáng kiến này là một tư liệu bổ ích cho giáo viên tham khảo dạy cho đối tượng đại trà, kha, giỏi - Qua trình giảng dạy nhận thấy việc phân dạng và làm rõ bước giải bài tốn tính thể tích khới đa diên đã giúy học sinh nắm vững bài, khơng cịn lúng túng, lo sợ học phần này, bước đầu em đã có định hướng phương pháp để giải bài toán này Với kết quả thực nghiệm ở hai lớp dạy học sinh đã say mê, tích cực và hiểu bài đạt tỷ lệ cao Đó cũng là động lực để cố gắng nữa để tiếp tục bổ sung hoàn thiện sáng kiến này - Thông qua kinh nghiệm này bản thân cũng rút nhiều kinh nghiệm quý báu trình giảng dạy và mạnh dạn trao đổi với đồng nghiệp để góp ý, xây dựng cho sáng kiến hoàn chỉnh – Kiến nghị đề xuất: - Qua thực tế giảng dạy nhất là đối tượng học sinh đại trà Trung tâm giáo dục thường xuyên, nhận thấy để học sinh hiểu, nắm vững kiến thức bản, vận dụng được kiến thức để giải toán cần lưu ý một số nội dung sau: * Phải đầu tư nhiều thời gian để nghiên cứu tài liệu, sách giáo khoa, tài liệu tham khảo để hiểu rõ kiến thức bản, kiến thức trọng tâm, cốt lõi của từng chương, từng bài lựa chọn phương pháp thích hợp với đối tượng 19 * Biết phân loại, dạng bài tập phù hợp đới tượng lớp, kiên trì uốn nắn động viên, phát huy kiến thức học sinh đã có, bổ sung hoàn thiện kiến thức học sinh thiếu, hổng từng tiết dạy * Thường xuyên nắm bắt ý kiến phản hồi từ phía học sinh thông qua tiết bài tập, bài kiểm tra định kỳ, kiểm tra miệng … điều chỉnh kịp thời nội dung giúy học sinh dể hiểu bài học * Trước giảng dạy phần này nói riêng cũng nội dung khác nói chung giáo viên cần bổ sung những nội dung kiến thức có liên quan để học tốt nội dung mới * Đối với nhà trường cần tăng cường phương tiện, máy móc giúy cho mơn hình học có nhiều sơ trợ giúy tạo cho học sinh mơ hình, hình vẽ đợng để học sinh dể hiểu mơn hình học khơng gian Trên là một số kinh nghiệm nhỏ của bản thân phần nào giúy học sinh tiếp thu phần kiến thức tỉnh thể tích khối đa diện được dể ràng hơn, hướng thú học tập Đây là một sáng kiến thực tế, thiết thực cho môi trường học sinh khối giáo dục thường xun lực học tập cịn hạn chế, đờng thời sáng kiến này cũng gợi mở cho em khá, giỏi đường, cách thức để giải những bài tốn khó Tơi cũng nhận thấy với sự hiểu biết có hạn, thời gian, khơng gian cịn nhỏ nên sáng kiến này khỏi thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp của đồng nghiệp, chuyên viên Sở Giáo dục và Đào tạo.Tôi xin trõn cỏm n Thọ Xuân, ngày 25 tháng năm 2012 20 MC LC PHN I: A T VẤN ĐÊ Lý chọn đề tài Phạm vi nghiên cứu của đề tài Đối tượng thời gian nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Giá trị sử dụng của đề tài PHẦN II: B - NỘI DUNG ĐÊ TÀI Cơ sở lý luận 2 Cơ sở thực tiễn Các biện pháp tiến hành Hiệu quả của đề tài PHẦN III: 18 C - KẾT LUẬN: Ý nghĩa của đề tài 18 Kiến nghị xuõt 19 21 Tài liệu tham khảo 1- Sỏch giáo khoa hình học lớp 12 – Nhà xuất bản GD 2- Sách giáo viên hình học lớp 12 – Nhà xuất bản GD 3- 22 ... 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đề; bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện + Nội dung của chương I có nợi dung chính: - Trình bày khái niệm về khối đa diện... với khối đa diện cụ thể: khối chữ nhật, khối lăng trụ, khới chóp Sau đó trình bày khái niệm về khới đa diện tổng quát, phân chia và lắp ghép khối đa diện, khối đa diện... được thế nào là một khối đa diện, khối đa diện đều, biết thực hiện phân chia và lắp ghép khối đa diện - Hiểu được khái niệm về thể tích khối đa diện - Hiểu và nhớ được