Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 12 giải quyết hiệu quả bài toán tính tỉ số thể tích khối đa diện

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI QUYẾT HIỆU QUẢ BÀI TỐN TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Người thực hiện: Phạm Thị Hiền Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA NĂM 2020 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Trang 01 1.1 Lí chọn đề tài Trang 01 1.2 Mục đích nghiên cứu …………………………….…… Trang 01 1.3 Đối tượng nghiên cứu …………………………….…… Trang 02 1.4 Phương pháp nghiên cứu ………………………….…… Trang 02 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang 02 2.1 Cơ sở lí luận Sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Trường hợp 1: Hai khối chóp có đáy thuộc mặt phẳng 2.3.2 Trường hợp 2: Hai khối chóp có đáy khơng thuộc mặt phẳng 2.3.3 Một số ví dụ tính thể tích thơng qua xét tỉ số diện tích đáy tỉ số chiều cao 2.3.4 Một số ví dụ vận dụng cơng thức tỉ số thể tích khối chóp tam giác 2.3.5 Một số ví dụ tỉ số thể tích liên quan đến khối lăng trụ Trang 02 Trang 04 Trang 04 Trang 05 Trang 07 Trang 07 Trang 10 Trang 14 2.3.6 Hướng dẫn học sinh tự học để tiếp tục củng cố Trang 17 rèn luyện kỹ …… …………………… 2.4 Hiệu Sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trang 18 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Trang 18 3.1 Kết luận ….…………………………………………… Trang 19 3.2 Kiến nghị ……………………………………………… Trang 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………… Trang 20 PHỤ LỤC Trang 21 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Thể tích khối đa diện kiến thức quan trọng hình học khơng gian lớp 12, tốn tính thể tích thường xuyên xuất kỳ thi quốc gia, kì thi học sinh giỏi Nhưng trình dạy học vừa qua nhận thấy học sinh chưa hứng thú, cịn e ngại dạng tốn này, kết học tập chưa cao Bởi dạng tốn tổng hợp nhiều loại kiến thức, tính trừu tượng cao, địi hỏi nhiều kỹ Do để học tốt nội dung này, người học nắm vững kiến thức, có tư trừu tượng, biết vẽ hình khai thác hình vẽ mà bên cạnh cịn phải nắm vững phương pháp giải tốn rèn luyện để hình thành kỹ Mặt khác, Sách giáo khoa Hình Học 12, chương trình bản, hành [1], nội dung thể tích khối đa diện trình bày Bài 4, Chương I, phân phối chương trình có tiết nên giáo viên cần phải nghiên cứu để đưa phương pháp giảng dạy hiệu giúp cho học sinh nắm vững lý thuyết phương pháp giải tốn thể tích Trong đó, giáo viên phải trọng giúp học sinh nắm vững dạng toán phương pháp giải chúng, từ gây hứng thú cho học sinh, giúp học sinh học tập tự tin hơn, khơng cịn e ngại bước khuyến khích học sinh học tập, rèn luyện hình thành kỹ năng, phát triển tư Bên cạnh đó, tơi nhận thấy có nhiều đề tài, tài liệu tham khảo viết vấn đề chưa sát với điều kiện thực tế đối tượng học sinh trường THPT Như Xuân, nhiều học sinh chưa biết tự sàng lọc tài liệu để học Đặc biệt, năm gần Bộ Giáo dục & Đào tạo sử dụng đề mơn tốn hình thức trắc nghiệm khách quan kỳ thi THPT quốc gia, thi tốt nghiệp THPT dạng tốn xuất nhiều đòi hỏi học sinh phải tư linh hoạt hơn, có kỹ để tính nhanh xác kết quả; nữa, tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ học sinh tính cách sử dụng trực tiếp công thức V = Bh , V = Bh khơng phải lúc xác định liệu xác định nhiều thời gian, khơng đáp ứng với hình thức thi trắc nghiệm, điều khiến em thấy khó khăn, chí nhiều em cịn có ý định bỏ qua dạng tốn Vì vậy, q trình dạy học thể tích khối đa diện, tơi ln trăn trở, nghiên cứu, đúc rút kinh nghiệm để đưa hệ thống dạng tập phương pháp giải tốt nhất, giúp em có thêm phương pháp giải toán hiệu thời gian ngắn Từ đó, năm học 2019-2020, tơi chọn đề tài Sáng kiến kinh nghiệm "Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 12 giải hiệu tốn tính tỉ số thể tích khối đa diện" 1.2 Mục đích nghiên cứu Tơi nghiên cứu đề tài nhằm tìm phương pháp giảng dạy phù hợp với điều kiện thực tế đối tượng học sinh nhà trường, giúp học sinh lớp 12 giải tốt tốn thể tích khối đa diện mơn hình học, từ học sinh tháo gỡ vướng mắc, khó khăn học, khơng e ngại mơn học này, có hứng thú học nâng cao chất lượng học tập mơn học; giúp người dạy có thêm kinh nghiệm giảng dạy môn này, từ nâng cao chất lượng giảng dạy mơn hình học khơng gian nói chung tốn thể tích khối đa diện nói riêng Đồng thời, thân mong muốn Sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tham khảo hữu ích cho người học người dạy, góp phần vào phong trào đổi phương pháp dạy học giai đoạn 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài phương pháp sử dụng tỉ số thể tích để giải số dạng tốn thể tích khối đa diện giảng dạy nội dung Bài 4: “Thể tích khối đa diện”, Chương I, Sách giáo khoa Hình Học 12, chương trình [1] 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu chủ yếu Sáng kiến kinh nghiệm là: Phương pháp xây dựng sở lý thuyết phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận Sáng kiến kinh nghiệm Trong khuôn khổ Sáng kiến này, đề cập đến hai dạng toán thường gặp: Xét hai khối chóp ( H ) ( H ') - Tính tỉ số thể tích hai khối chóp - Đã biết (hoặc tính được) thể tích khối chóp này, từ tính thể tích khối chóp thơng qua xét tỉ số thể tích chúng Sau đó, tơi mở rộng hai dạng tốn hai khối đa diện nói chung Có thể thấy để giải hai dạng toán nêu trên, mục tiêu cần tính tỉ số thể tích hai khối chóp Ta gọi khối chóp ( H ) ( H ') có đỉnh, chiều cao, diện tích đáy, thể tích tương ứng S , S ' ; h, h ' ; B, B ' ; V , V ' V ' B' h' = V B h V' B' h' Như vậy, để tính tỉ số cần tính hai tỉ số V B h B' * Đối với tính tỉ số : B Ta dễ thấy Thơng thường, ta dựa vào số tính chất quen thuộc, chẳng hạn: (1) Cho ∆ABC có I trung điểm cạnh BC S∆ABI = S∆ACI = S ∆ABC (2) Cho ∆ABC có trọng tâm G S ∆GAB = S ∆GBC = S∆GAC = S ∆ABC (3) Cho ∆ABC có M , N , P trung điểm cạnh AB, BC , CA S∆AMP = S ∆BMN = S ∆CNP = S ∆MNP = S ∆ABC (4) Với ABCD hình bình hành tâm O 1 S ABCD ; S ∆OAB = S ∆OBC = S ∆OCD = S ∆ODA = S ABCD (5) Hai đa giác đồng dạng theo tỉ số k tỉ số diện tích tương ứng chúng k S ∆ABD = S ∆CBD = S ∆BAC = S ∆DAC = (6) Ngồi ra, ta cịn có tính chất quan trọng sau việc hướng dẫn học sinh chứng minh khơng khó khăn: Nếu B ', C ' điểm đường thẳng AB, AC không S AB ' AC ' ∆AB ' C ' = trùng với A S AB AC ∆ABC Thật vậy, · Vì góc BAC bù với góc hai · = sin (·AB, AC ) , đường thẳng AB AC nên sin BAC 2 · = AB AC sin (·AB, AC ) S ∆ABC = AB AC.sin BAC A C' B’ B C · = AB ' AC '.sin (·AB, AC ) Tương tự S∆AB 'C ' = AB ' AC '.sin B'AC' S AB ' AC ' ∆AB ' C ' = Từ suy S AB AC ∆ABC * Đối với tính tỉ số h' : h Nói chung để tính tỉ số h' phải vào trường hợp cụ thể Tuy h nhiên, ta thường gặp trường hợp hai khối chóp có đáy thuộc mặt h' d (S ', ( P )) phẳng ( P) Khi h = d (S , ( P )) nên: h' d ( S ', ( P )) - Nếu S ≡ S ' SS ' // ( P) h = d ( S , ( P)) = (điều hiển nhiên) h' d ( S ',( P)) IS ' - Nếu SS '∩ ( P ) = I h = d ( S , ( P)) = IS Thật vậy, Gọi H , H ' hình chiếu vng góc S , S ' lên ( P) Suy SH // S ' H ' I , H , H ' thẳng hàng nên theo định lí Ta-lét ta có h ' d ( S ,( P )) IS S ' H ' IS ' = = = hay h d ( S ',( P)) IS ' SH IS S' S I P H H’ Hơn nữa, ta thường gặp trường hợp đặc biệt sau: - Nếu B = B ' V ' h' = (tức hai khối chóp có diện tích đáy V h tỉ số thể tích chúng tỉ số chiều cao chúng) - Nếu h = h ' V ' B' = (tức hai khối chóp có chiều cao tỉ số V B thể tích chúng tỉ số diện tích đáy chúng) Như kiến thức hướng dẫn học sinh chứng minh khơng khó khăn Nên khẳng định học sinh hồn tồn có đủ kiến thức, khả để tiếp thu, lĩnh hội nội dung Sáng kiến phù hợp với chuẩn kiến thức chương trình hành 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm Trước áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy mơn Hình Học 12, nhận thấy đa số học sinh e ngại, khơng hứng thú giải tốn tính thể tích khối đa diện, đặc biệt tốn liên quan đến tỉ số thể tích Khi giải tốn học sinh chưa định hướng phương pháp giải rõ ràng, mơ hồ, mò mẫm; chưa biết đặt câu hỏi định hướng như: Bài toán thuộc dạng nào? Phương pháp giải dạng nào? Thực theo bước nào, bước trước, bước sau? Khai thác giả thiết sao? Cần vận dụng kiến thức liên quan nào? Vẽ hình nào, có cần vẽ thêm hình phụ khơng? Trình bày lời giải nào? Lời giải trình bày có sai sót khơng?… Chính điều làm cho học sinh lúng túng giải toán không hứng thú học dẫn đến kết học tập chưa cao, đa số học sinh thường không giải tốn cịn gặp sai lầm, lời giải sai sót dù tốn khơng khó Từ kéo theo việc học sinh học yếu mơn Hình Học khơng gian nói chung việc giải tốn tính thể tích khối đa diện nói riêng Bên cạnh đó, giảng dạy tốn thể tích khối đa diện người dạy khơng có nghiên cứu kỹ lưỡng khiến học sinh khó tiếp thu, kết giảng dạy không cao 2.3 Các sáng kiến giải pháp sử dụng để giải vấn đề Để giải thực trạng trên, giảng dạy học sinh giải tốn thể tích khối đa diện nội dung Chương I, Hình Học 12, tơi nghiên cứu đưa dạng toán phương pháp giải, xếp cách hợp lý, sau hướng dẫn học sinh cách tỉ mỉ, có ví dụ cụ thể để học sinh nắm Đồng thời hình thành rèn luyện kỹ giải tốn thơng qua hệ thống tập luyện tập tập tự luyện lựa chọn cẩn thận Sau dạng toán bản, phương pháp giải, hệ thống ví dụ, tập mà áp dụng để giúp học sinh giải tốt tốn thể tích khối đa diện thơng qua tỉ số thể tích Trước hết, trình bày, khn khổ Sáng kiến này, tơi xét Bài tốn: Cho hai khối chóp ( H ) ( H ') Gọi khối chóp ( H ) ( H ') có đỉnh, chiều cao, diện tích đáy, thể tích tương ứng S , S ' ; h, h ' ; B, B ' ; V , V ' Và toán yêu cầu thực hai vấn đề sau: - Tính tỉ số thể tích hai khối chóp V' V - Đã biết (hoặc tính được) thể tích khối chóp (giả sử V ), cần tính thể tích khối chóp cịn lại ( V ' ) Đối với yêu cầu thứ hai, trình bày, khn khổ Sáng kiến này, tơi tập trung hướng dẫn học sinh tính V ' thơng qua tính tỉ số thể tích V' Như vậy, lại nội dung trọng tâm muốn đề cập Sáng V V' kiến tính tỉ số thể tích V Thơng qua nghiên cứu dạng thường gặp toán để phù theo đối tượng học sinh giảng dạy, tơi xét tốn hai trường hợp xếp theo thứ tự: - Trường hợp 1: ( H ) ( H ') có đáy thuộc mặt phẳng - Trường hợp 2: ( H ) ( H ') có đáy khơng thuộc mặt phẳng Sau đó, tơi hướng dẫn học sinh nắm vững phương pháp, bước giải hình thành, rèn luyện kỹ giải toán trường hợp Tiếp theo, tơi mở rộng tốn hai khối đa diện nói chung Để đưa dạng tốn, phương pháp bước giải, tơi tự nghiên cứu, đúc rút kinh nghiệm, kết hợp với tham khảo [1], [2], [3], [4] Cụ thể, sau nội dung hướng dẫn học sinh giải toán nêu 2.3.1 Trường hợp 1: ( H ) ( H ') có đáy thuộc mặt phẳng ( P) Thực theo bước sau: - Bước 1: Tính V (vì giả thiết chưa cho V cần) - Bước 2: Suy ra: V ' B' h' = V B h Người dạy cần nhấn mạnh với học sinh h = d ( S, ( P)) , h ' = d ( S', ( P )) - Bước 3: Tính tỉ số Để tính tỉ số B' B B' , tơi hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất nêu B mục 2.1, trang 2, - Bước 4: Tính tỉ số Để tính tỉ số h' h h' , hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất nêu h mục 2.1, trang 3, Cụ thể là: h' d ( S ', ( P )) * Nếu S ≡ S ' SS ' // ( P ) h = d ( S , ( P)) = * Nếu đường thẳng SS ' cắt ( P) : + Tìm I = SS '∩ ( P ) h' d ( S ', ( P)) IS ' + Suy ra: h = d (S , ( P)) = IS + Tính IS ' IS - Bước 5: Kết luận Tiếp theo, để học sinh có thêm cơng cụ giúp giải nhanh tốn, tơi hướng dẫn học sinh sử dụng bước giải để chứng minh công thức quan trọng tỉ số thể tích khối chóp tam giác, tập 4, trang 25, Sách giáo khoa Hình Học 12, chương trình [1] Lưu ý, với đối tượng học sinh yếu, cần hướng dẫn học sinh ghi nhớ công thức cách áp dụng trường hợp đơn giản Cụ thể là: Công thức tỉ số thể tích khối chóp tam giác: Cho khối chóp tam giác S ABC Trên đường thẳng SA, SB, SC lấy điểm tùy ý A ', B ', C ' khơng trùng với S Khi ta ln có: VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' = VS ABC SA SB SC Người dạy nhấn mạnh với học sinh: Cơng thức khối chóp tam giác Hướng dẫn chứng minh: Xem hai khối chóp S ABC S A ' B ' C ' khối chóp theo đỉnh khác (hay tức theo mặt đáy khác) để hai đáy chúng thuộc mặt phẳng Sau áp dụng bước theo Trường hợp để chứng minh cơng thức Chứng minh: Ta có: A A’ C’ S H’ H B’ VS A ' B 'C ' VA '.B 'C ' S S ∆SB 'C ' d ( A ', ( SB ' C ')) S ∆SB 'C ' SB ' SC ' = = = VS ABC VA.BCS S ∆SBC d ( A, ( SBC )) S ∆SBC SB SC C B (xem chứng minh mục 2.1.(6), trang 3) Mặt khác, hai khối chóp A.SBC A '.SB ' C ' có đáy thuộc mặt phẳng ( SBC ) AA '∩ ( SBC ) = S nên d ( A ', ( SB ' C ')) d ( A ', ( SBC )) SA ' = = d ( A, ( SBC )) d ( A, ( SBC )) SA Từ ta suy cơng thức cần chứng minh Nhận xét: Có thể thấy chìa khóa phép chứng minh xem hai khối chóp S ABC S A ' B ' C ' khối chóp theo đỉnh khác (hay đáy khác): A.SBC A '.SB ' C ' , từ hai khối chóp có hai đáy thuộc mặt phẳng Đây kỹ thuật quan trọng để học sinh giải tốt dạng toán tỉ số thể tích khối đa diện Do đó, người dạy cần ý rèn luyện cho học sinh có kỹ sử dụng kỹ thuật (mà gọi kỹ thuật chuyển đỉnh, kỹ thuật chuyển đáy) 2.3.2 Trường hợp 2: ( H ) ( H ') có đáy khơng thuộc mặt phẳng Tơi hướng dẫn học sinh sử dụng kỹ thuật chuyển đỉnh, kỹ thuật chuyển đáy nói nhận xét để đưa tốn Trường hợp vận dụng cách tính tỉ số B' h' , nêu Trường hợp B h Sau số ví dụ cụ thể mà tơi sử dụng để hướng dẫn học sinh nắm vững phương pháp giải kỹ thuật nêu 2.3.3 Một số ví dụ tính thể tích thơng qua xét tỉ số diện tích đáy tỉ số chiều cao Ví dụ [5] (Câu 37, Đề tham khảo THPT Quốc gia 2017, lần Bộ Giáo dục & Đào tạo) Cho khối tứ diện ABCD tích 12 Gọi G trọng tâm tam giác BCD Tính thể tích khối tứ diện AGBC A B C D Hướng dẫn: Xem hai tứ diện ABCD AGBC hai khối chóp D ABC G ABC , chúng đáy ∆ABC , suy tỉ số thể tích chúng tỉ số chiều cao Mặt khác, đường thẳng qua hai đỉnh D, G cắt mặt phẳng ( ABC ) M nên áp dụng bước Trường hợp Giải: Gọi M trung điểm cạnh BC Gọi h h′ chiều cao khối chóp D ABC G ABC Hai khối chóp D ABC G.ABC chung đáy ∆ABC DG ∩ ( ABC ) = M nên ta có: VAGBC VG ABC h′ MG = = = = VDABC VD ABC h MD 1 ⇒ VAGBC = VDABC = 12 = 3 D G A C M B Vậy đáp án C Ví dụ [5] (Câu 37, Đề tham khảo THPT Quốc gia 2017, lần Bộ Giáo dục & Đào tạo) Cho khối chóp O ABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA = , OB = , OC = Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, AC , BC Tính thể tích V khối chóp O.MNP A V = B V = C V = D V = Hướng dẫn: Sử dụng cơng thức tỉ số thể tích khối chóp tam giác (trình bày trang 6) để tính tỉ số VS A1B1C1 VS ABC S Từ suy VS A1B1C1 V A’ C’ Giải: B’ VS A1B1C1 SA SB SC = 1 = Ta có: VS ABC SA SB SC 1 ⇒ VS A1B1C1 = VS ABC = 40 = ⇒ V = VS ABC − VS A1B1C1 = 35 8 A C B Vậy đáp án A Ví dụ Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A , AB = 3a, AC = 4a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy ( ABC ) , góc đường thẳng SB mặt phẳng ( SAC ) 450 Gọi M trung điểm cạnh SB , mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng AM song song với BC , cắt SC N Tính thể tích khối chóp S AMN A a B 3 a C 4a3 D a VS AMN Hướng dẫn: Tính tỉ số V Từ suy VS AMN S ABC Giải:  AB ⊥ AC ⇒ AB ⊥ ( SAC ) Ta có:   AB ⊥ SA ⇒ Hình chiếu vng góc SB lên mặt phẳng ( SAC ) AB · ⇒ Góc SB mặt phẳng ( SAC ) góc BSA ⇒ ∆ASB cân A ⇒ SA = AB = 3a 1 VS ABC = S ∆ABC SA = AB AC.SA = 6a 3 MN đường trung bình tam giác SBC VS AMN SA SM SN 1 = = ⇒ VS AMN = VS ABC = a VS ABC SA SB SC 4 S M N A B C Vậy đáp án B Ví dụ Cho khối chóp S ABCD tích V , đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm SA Mặt phẳng ( P) qua M , song song với mặt phẳng ( ABCD) cắt SB, SC , SD N , P, Q Tính theo V thể tích khối chóp S MNPQ A V 16 B V C V D V 11 Hướng dẫn: V Từ tính S MNPQ = VS MNP + VS MPQ VS MNP S VS MPQ tỉ số V VS ACD S ABC Giải: Ta có: Q M V SM SN SP 1 V = = ⇒ VS MNP = VS ABC = SA SB SC 8 16 VS ABC = VS ACD = VS MNP VS ABC VS MPQ SM SP SQ 1 V = ⇒ VS MPQ = VS ACD = VS ACD SA SC SD 8 16 V Do đó: VS MNPQ = VS MNP + VS MPQ = = P N D C A B Vậy đáp án D Ví dụ [5] (Câu 50, Đề tham khảo THPT Quốc gia 2017, lần Bộ Giáo dục & Đào tạo) Gọi V thể tích khối tứ diện, V ′ thể tích khối đa diện có đỉnh trung điểm cạnh tứ diện Tính tỉ số V′ V′ V′ C = D = = V V V Hướng dẫn: Gọi tứ diện ABCD M , N , P, Q, E , F trung điểm cạnh DA, DB, DC , AC , AB, BC Xét tỉ số thể tích, suy thể tích tứ diện tạo từ đỉnh tứ diện ABCD ba trung điểm cạnh qua đỉnh 1 V , chẳng hạn VD.MNP = V Từ tính V ' theo V suy kết 8 A V′ = V V′ V B Giải: Gọi tứ diện trung điểm Ta có: D VD.MNP DM DN DP = = VD ABC DA DB DC 1 ⇒ VD.MNP = VD ABC = V 8 Hoàn toàn tương tự ta có VA.EFM = VB.EFN = VC QFP = VD.MNP = V 1 V' Suy ra: V ′ = V − 4V D.MNP = V − V = V ⇒ = V M P N A C Q E F B Vậy đáp án A Ví dụ 10 Tính thể tích khối chóp S ABC biết SA = 4, SB = 5, SC = ·ASB = BSC · · = CSA = 600 A B 10 C 12 D 12 Hướng dẫn: Khối chóp S ABC có ba cạnh SA, SB, SC với độ dài khác nên việc tính trực tiếp thể tích gặp khó khăn Do đó, ý tưởng để giải dạng toán tạo khối chóp mới, có tính chất đặc biệt mà việc tính thể tích đơn giải Sau suy thể tích khối chóp ban đầu thơng qua xét tỉ số thể tích Từ ta nghĩ đến việc lấy điểm M , N , P thuộc ba cạnh SA, SB, SC cho SM = SN = SP = S Khi khối chóp S MNP có ba cạnh bên Giải: Lấy ba điểm M , N , P hướng dẫn Suy SMNP tứ diện cạnh a = 2a = Ta có: VS MNP = 12 12 VS MNP SM SN SP 1 1 = = = VS ABC SA SB SC 120 Suy ra: VS ABC = 120.VS MNP M P N A C B = 120 = 10 12 Vậy đáp án B Nhận xét: Chìa khóa để có lời giải tạo tứ diện SMNP xét tỉ số thể tích Người dạy cần nhấn mạnh để học sinh nắm vững ý tưởng vận dụng Thông thường, ta tạo hình chóp tam giác có ba cạnh bên đường cao hình chóp đoạn thẳng nối đỉnh tâm đường trịn ngoại tiếp đáy, lúc việc tính thể tích thuận lợi Ví dụ 11 [10] (Câu 49, Đề tham khảo THPT Quốc gia 2020, lần Bộ Giáo dục & Đào tạo) Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân · = 900 , góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) A , AB = a, ·SBA = SCA 600 Thể tích khối chóp cho bằng: A a B a C a D a · · Hướng dẫn: Kẻ BI ⊥ SA I ⇒ (( SAB), ( SAC )) = ( BI , CI ) Sau tính VA.IBC VA IBC xét tỉ số V để suy kết Người dạy cần lưu ý để học sinh nhận thấy A SBC · · 600 BIC = 1200 , tránh sai lầm cho góc BIC Giải: Ta có ∆SAB, ∆SAC hai tam giác vng có chung cạnh huyền SA nên kẻ BI ⊥ SA I CI ⊥ SA , ·SAB ), ( SAC )) = (·BI , CI ) ⇒ (·BI ; CI ) = 600 (( Do AC = a , BC = a , ∆BIC cân I BI = CI < AC < BC ∆BIC nên không · · = 1800 − (·BI ; CI ) = 1200 ⇒ BIC ≠ 600 ⇒ BIC S I B C A 13 a a , AB = AI SA ⇒ SA = a Từ AI = 1 Suy ra: VA.IBC = S∆IBC AI = BI CI sin1200 AI 3 a a a a3 = = 3 18 VA.IBC AI AB AC a3 a3 = = hay ⇒ V = V = V = Ta lại có V A SBC A IBC S ABC AS AB AC 6 A.SBC ⇒ BI = CI = Vậy đáp án D Ví dụ 12 Cho tứ diện ABCD tích V Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, AC , AD ; Q điểm tùy ý thuộc miền tam V' V V' C = V giác BCD Gọi V' thể tích tứ diện MNPQ Tính A V' = V B V' = V D V' = V 16 Hướng dẫn: Ta nhận thấy, hai tứ diện ABCD MNPQ mặt thuộc mặt phẳng nên toán thuộc Trường hợp 2, hai tứ diện MNPQ AMNP có mặt chung mặt ∆MNP , sử dụng kỹ thuật chuyển đỉnh, chuyển đáy cách xét khối chóp trung gian A.MNP Giải: Gọi I = AQ ∩ ( MNP ) I trung điểm đoạn AQ V S d ( A, ( MNP )) A IA A MNP = ∆MNP = =1 Ta có: V S ∆MNP d (Q, ( MNP )) IQ Q MNP M ⇒ VA.MNP = VQ.MNP I P N VA MNP AM AN AP 1 V = = ⇒ VA.MNP = VA BCD = VA.BCD AB AC AD 8 V V' Do đó: V ' = VQ.MNP = hay = V B D Q C Vậy đáp án A 2.3.5 Một số ví dụ tỉ lệ thể tích liên quan đến khối lăng trụ Khi xét toán khối lăng trụ, người dạy cần lưu ý với học sinh số tính chất quan trọng sau Những tính chất học sinh biết hướng dẫn học sinh suy đơn giản * Tính chất tỉ lệ thể tích khối lăng trụ tam giác: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ Gọi V , B, h thể tích, diện tích đáy, chiều cao khối lăng trụ Ta có: 1 VA A′B′C ′ = Bh = V 3 A C B A’ C’ 14 B’ VA BCC ′B′ = V − VA A′B′C ′ = V = 2VA A′B′C ′ Một cách khái quát, khối lăng trụ tam giác ta có: - Thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh đỉnh khối lăng trụ thể tích khối lăng trụ (bốn đỉnh lấy phải tạo thành hình chóp) - Thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh khối lăng trụ thể tích khối lăng trụ (năm đỉnh lấy phải tạo thành hình chóp) A' * Tính chất tỉ lệ thể tích khối hộp: Cho khối hộp ABCD A′B′C ′D ' tích V Ta có: VAA ' BD D' B' C' V = ’1 A VA ' BC ' D = V − 4VAA′BD = V − D V V = B C Một cách khái qt, khối hộp ta có: - Thể tích khối tứ diện tạo thành từ đỉnh nằm hai đường chéo hai mặt song song khối hộp thể tích khối hộp (bốn đỉnh lấy phải tạo thành tứ diện) - Thể tích tứ diện tạo thành từ đỉnh đỉnh khối hộp không thuộc trường hợp nêu thể tích khối hộp (bốn đỉnh lấy phải tạo thành tứ diện) Ví dụ 13 Cho lăng trụ ABC A′B′C tích V ; O giao điểm hai đường thẳng AC ' A ' C Tính thể tích V ′ khối chóp O A′B′C ′ theo V A V ′ = V B V ′ = V′ V C V ′ = V D V ′ = V A’ Hướng dẫn: Tính tỉ số V sử dụng tính A A′B′C ′ C’ A chất VA A′B′C ′ = V Giải: Gọi h, h′ khoảng cách từ điểm A O đến mặt phẳng ( A ' B′C ′) , ta có: B HO A A’ M K C’ B C B’ B’ 15 C V′ VA A′B′C ′ = VO A′B′C′ h′ C'O 1 1 V = = = ⇒ V ′ = VA A′B′C ′ = V = VA A′B′C ′ h C'A 2 Vậy đáp án B Ví dụ 14 [5] (Đề tham khảo THPT Quốc gia 2017, lần Bộ Giáo dục & Đào tạo) Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy tam giác vuông cân A , cạnh AC = 2, AC ′ = Biết đường thẳng AC ′ tạo với mặt đáy góc 600 Tính thể tích V khối đa diện ABCC ' B ' A B 16 C D 16 3 Hướng dẫn: Tính VABC A′B′C′ sử dụng tính chất VABCC ' B ' = VABC A ' B 'C ' Giải: Gọi H hình chiếu vng góc C ′ lên ( ABC ) · · ′ = 600 ⇒ HAC Suy ra: (·AC ′, ( ABC )) = HAC ′ = 600 ⇒ C ′H = AC ′.sin 600 = 1 S∆ABC = AB AC = 2.2 = 2 VABC A′B′C ′ = C ′H S∆ABC = 3.4 = Do đó: V = VABCC ' B ' = VABC A′B′C′ = C’ A’ B’ C A H 16 B Vậy đáp án D Ví dụ 15 Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C ′ có tất cạnh a Một mặt phẳng qua A′B′ trọng tâm G tam giác ABC cắt AC BC E F Tính thể tích V khối đa diện A′B′BAEF A V = a3 27 B V = 2a 3 27 C V = a3 18 D V = 5a 3 54 Hướng dẫn: Chia khối đa diện A′B′BAEF thành hai khối chóp A ' AEFB A′.BB′F xét tỉ lệ thể tích khối chóp với thể tích lăng trụ Giải: Theo giả thiết suy EF // AB CE CF = = CA CB a3 Ta có: VABC A′B′C ′ = , a3 VA′ ABC = VB′ ABC = VABC A′B′C ′ = 12 Chia khối đa diện A′B′BAEF thành hai khối chóp A ' AEFB A′.BB′F S ∆CEF CE CF = = ⇒ S AEFB = S ∆CAB Ta có S CA CB 9 ∆CAB 5 a 3 3a3 ⇒ VA ' AEFB = VA′ ABC = = 9 12 108 A’ B' C’ B A E F G C 16 Vì AA ' // ( BB′F ) ⇒ VA′.BB′F = VA.BB′F S∆BAF BA BF 1 a3 a3 a3 = = ⇒ VB′.BAF = VB′.BAC = = ⇒ VA′.BB′F = Mà S ∆BAC BA BC 3 12 36 36 Vậy V = VA′ ABFE + VA′.BB′F = 3a 3a 2a 3 + = 108 36 27 Vậy đáp án B Ví dụ 16 [9] (Câu 47, Đề tham khảo THPT Quốc gia 2019 Bộ Giáo dục & Đào tạo) Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ tích Gọi M , N trung điểm đoạn thẳng AA′ BB′ Hai đường thẳng CM C ′A′ cắt P , hai đường thẳng CN C ′B′ cắt Q Thể tích khối đa diện A′B′NMPQ A B C 2 = VABC A′B′C ′ − VC ABNM D Hướng dẫn: Phân tích VA′B′NMPQ = VC C′PQ − VCC'A′B′NM VCC'A′B′NM Giải: A Ta có: VA′B′NMPQ = VC C′PQ − VCC'A′B′NM VC ABNM S ABNM = = VC ABB′A′ S ABB′A′ 1 ⇒ VC ABNM = VC ABB′A′ = VABC A′B′C ′ = 2 3 ⇒ VCC'A′B′NM = VABC A′B′C ′ − VC ABNM = − = 3 Tam giác C ′PQ đồng dạng với tam giác C ′A′B′ theo tỉ số nên ta có S ∆C ′PQ V ′ S ′ = 22 = ⇒ C C PQ = ∆C PQ = S ∆C ′A′B′ VC C ′A′B′ S ∆C ′A′B′ ⇒ VC C ′PQ = 4VC C ′A′B′ = VABC A′B′C ′ = 3 2 ⇒ VA′B′NMPQ = VC C ′PQ − VCC'A′B ′NM = − = 3 C M B A’ P N C' ’ B ’ Q Vậy đáp án D Ví dụ 17 Cho khối hộp ABCD A′B′C ′D′ tích V Gọi M , N trung điểm cạnh A′B′ , A′D′ Tỉ số thể tích khối chóp A.MND'B′ với thể tích khối hộp cho 1 C Hướng dẫn: Phân tích VA.MND'B' = VA ' AB′D′ − VA'.AMN VA'.AMN Sau xét tỉ số V với lưu ý VA ' AB′D′ = V A ' AB′D ′ A B D 17 Giải: V A'A A'M A'N A'.AMN = = Ta có: V A'A A'N A'D' ′ ′ A ' AB D 1 V V ⇒ VA'.AMN = VA ' AB′D ′ = = 4 24 V V V ⇒ VA.MND'B' = VA ' AB′D′ − VA'.AMN = − = 24 V ⇒ A.MND'B' = V Vậy đáp án C 2.3.6 Hướng dẫn học sinh tự học để tiếp tục củng cố rèn luyện kỹ Sau trang bị cho học sinh phương pháp hình thành kỹ giải tốn thơng qua ví dụ cụ thể trên, người dạy cần lựa chọn hệ thống tập giao thêm cho học sinh để em tiếp tục củng cố rèn luyện kỹ năng; đồng thời người dạy có hướng dẫn, kiểm tra, đánh giá, sửa chữa làm giải đáp, làm rõ nội dung mà học sinh chưa hiểu rõ Hệ thống tập mà lựa chọn giao thêm cho học sinh thể phần Phụ lục đính kèm theo Sáng kiến Ngồi ra, tơi hướng dẫn, khuyến khích học sinh tự tìm thêm tài liệu, tập để thường xuyên củng cố, bổ sung kiến thức rèn luyện kỹ 2.4 Hiệu Sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy, học sinh hứng thú học tập mơn hình học khơng gian nói chung tốn thể tích khối đa diện nói riêng, em khơng cịn e ngại tự tin học tập Đa số học sinh nắm vững dạng tốn tính tỉ số thể tích thể tích khối đa diện, phương pháp giải biết vận dụng; trước toán có định hướng rõ ràng, khơng cịn mị mẫm, lúng túng; tìm hướng giải, biết cách trình bày gặp sai lầm, thiếu sót, điểm số nâng cao Ngoài ra, sở học sinh nắm vững dạng tốn thể tích có kỹ giải toán giúp em nắm vững kiến thức quan hệ song song, quan hệ vng góc; em biết vận dụng để giải dạng toán khác, giúp em học tốt mơn hình học khơng gian, có tốn tính thể tích, từ kết học tập nâng lên Bản thân áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy, thấy hiệu tiết dạy nâng cao, truyền tải nội dung kiến thức có hệ thống, hợp lý, đầy đủ, đảm bảo mạch kiến thức, tiến độ nội dung chương trình Bản thân cảm thấy tự tin, hứng thú giảng dạy nội dung này, cảm nhận thấy tiết dạy lôi cuốn; học sinh sơi nổi, ý, chủ động, tích cực 18 Đối với đồng nghiệp nhà trường, Sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tham khảo hướng thiết thực để khắc phục tượng e ngại dạy học mơn hình học khơng gian nói chung tốn thể tích nói riêng, từ nâng cao chất lượng dạy học mơn hình học khơng gian, góp phần vào phong trào đổi phương pháp giảng dạy nhà trường ngành giáo dục KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua Sáng kiến kinh nghiệm này, rút số kinh nghiệm giảng dạy mơn hình học khơng gian là: - Người dạy phải nghiên cứu để hệ thống dạng toán đưa phương pháp giải phù hợp nhất, dễ vận dụng - Hướng dẫn học sinh nắm vững kiến thức bản, dạng toán thường gặp phương pháp giải - Hướng dẫn học sinh cách vẽ hình để hình vẽ trực quan nhất, cách khai thác hình vẽ - Hình thành kỹ rèn luyện kỹ giải dạng tốn thơng qua hệ thống tập chọn lựa kỹ có xếp phù hợp Giáo viên tìm phương pháp tốt để hướng dẫn học sinh cách phân tích, tư tìm lời giải, hướng dẫn học sinh lập luận trình bày chặt chẽ - Giao cho học sinh hệ thống tập rèn luyện chọn lọc kỹ kiểm tra, chỉnh sửa việc làm tập học sinh - Thường xuyên kiểm tra ôn tập cho học sinh Bên cạnh người dạy phải có số kỹ sau: - Kỹ nêu vấn đề hướng dẫn học sinh giải vấn đề - Kỹ giúp học sinh biết quy lạ quen, biết phán đoán Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng rộng rãi trường THPT phù hợp với đa số đối tượng học sinh Đặc biệt, Sáng kiến kinh nghiệm có tác dụng thiết thực xu hướng đổi đề theo hình thức trắc nghiệm (dạng tốn tính tỉ số thể tích, thể tích khối đa diện xuất nhiều) nên cần ý địi hỏi rèn luyện cho học sinh kỹ tính nhanh xác kết Dựa Sáng kiến kinh nghiệm này, người dạy áp dụng cách làm dạng tốn khác, chương khác hay môn học khác 3.2 Kiến nghị: - Các tổ chuyên môn nâng cao chất lượng việc báo cáo kết Sáng kiến kinh nghiệm thành viên tổ theo định kỳ - Nhà trường khuyến khích, tạo điều kiện nhiều để ngày nâng cao chất lượng viết Sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm hiệu triển khai áp dụng rộng rãi toàn trường - Sở Giáo dục Đào tạo tiếp tục giới thiệu, phổ biến, triển khai Sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng tốt đến nhà trường để trao đổi áp dụng vào thực tế 19 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 01 tháng năm 2020 Tôi xin cam đoan Sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép nội dung người khác Phạm Thị Hiền TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình Học 12, Trần Văn Hạo - Nguyễn Mộng Hy - Khu Quốc Anh Trần Đức Huyên, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, năm 2015 Hình Học 12, Đồn Quỳnh – Văn Như Cương – Phạm Khắc Ban Lê Huy Hùng - Tạ Mân, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, năm 2015 Bài tập Hình Học 12, Nguyễn Mộng Hy – Khu Quốc Anh – Trần Đức Huyên, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, năm 2015 Bài tập Hình Học 12, Đồn Quỳnh – Văn Như Cương – Phạm Khắc Ban - Lê Huy Hùng - Tạ Mân, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, năm 2015 Đề tham khảo THPT Quốc gia 2017 (lần 1, 2, 3), Bộ Giáo dục & Đào tạo, năm 2017 Đề thi thức THPT Quốc gia 2017, Bộ Giáo dục & Đào tạo, năm 2017 Đề tham khảo THPT Quốc gia 2018, Bộ Giáo dục & Đào tạo, năm 2018 Đề thi thức THPT Quốc gia 2018, Bộ Giáo dục & Đào tạo, năm 2018 Đề tham khảo THPT Quốc gia 2019, Bộ Giáo dục & Đào tạo, năm 2019 10 Đề tham khảo THPT Quốc gia 2020 (lần 1), Bộ Giáo dục & Đào tạo, năm 2020 20 PHỤ LỤC: BÀI TẬP CỦNG CỐ, RÈN LUYỆN Câu Cho khối chóp tam giác S ABC tích V Điểm M trung điểm đoạn thẳng AB , N điểm nằm AC cho AN = NC Gọi V1 thể tích khối chóp S AMN Tính tỉ số V1 V = D = V V S ABCD C S Câu Khối chóp có A , B , , D cố định chạy đường A V1 = V B V1 = V V1 V C thẳng song song với đường thẳng AC Khi thể tích khối chóp S ABCD sẽ: A Giảm nửa B Giữ nguyên C Tăng gấp đơi D Tăng gấp bốn Câu Cho khối chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a Gọi G trọng tâm tam giác SCD Tính thể tích khối chóp G ABCD a C a3 D a 12 17 Câu Cho khối chóp S ABC , gọi G trọng tâm tam giác ABC Tỉ số thể VS ABC tích V S AGC A a A B B C D 3 Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích 48 Trên cạnh SA , SB , SC , SD lấy điểm A′ , B′ , C ′, D′ cho SA′ SC ′ SB′ SD′ = = = = Tính thể tích V khối đa diện SA′B′C ′D′ SA SC SB SD A V = B V = C V = D V = Câu Khi tăng độ dài cạnh khối chóp lên lần thể tích khối chóp thay đổi nào? A Tăng lần B Tăng lần C Tăng lần D Không thay đổi Câu Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hai mặt bên ( SAB ) ( SAD ) vuông góc với mặt đáy Biết góc hai mặt phẳng ( SCD ) ( ABCD ) 45° Gọi V1 , V2 thể tích khối chóp 21 S AHK S ACD với H , K trung điểm cạnh SC SD Tính V1 độ dài đường cao khối chóp S ABCD tỉ số k = V 1 1 A h = a; k = B h = a; k = C h = 2a; k = D h = 2a; k = Câu Cho khối chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , ABCD hình chữ nhật SA = AD = 2a Góc ( SBC ) mặt đáy ( ABCD ) 60° Gọi G trọng tâm tam giác SBC Thể tích khối chóp S AGD 16a 32a 3 8a 3 4a 3 A B C D 27 27 Câu Cho khối chóp S ABCD tích V Gọi M , N trung điểm đoạn thẳng SA , MC Thể tích khối chóp N ABCD A V B V C V D V Câu 10 Cho khối chóp S ABCD Gọi M , N , P , Q theo thứ tự trung điểm cạnh SA , SB , SC , SD Tỉ số thể tích hai khối chóp S MNPQ S ABCD A B a b sin α 12 B C D a b cos α 12 D 16 Câu 11 Một lăng trụ có đáy tam giác cạnh a , cạnh bên b tạo với mặt phẳng đáy góc α Thể tích khối chóp có đáy đáy lăng trụ đỉnh điểm đáy cịn lại A a b sin α C a b cos α Câu 12 Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy tam giác vuông cân A , cạnh BC = a , cạnh bên AA′ = 2a A′ cách đỉnh A, B, C Gọi M , N trung điểm đoạn thẳng AA′ AC Thể tích khối chóp C ′.MNB A V = a 14 48 a 14 ABCD có B V = C V = 7a D V = a 14 16 Câu 13 Cho tứ diện cạnh AB, AC AD đơi vng góc với nhau; AB = a , AC = 2a AD = 2a Gọi H , K hình chiếu vng góc A đường thẳng DB, DC Tính thể tích V tứ diện AHKD A V = a3 B V = a3 21 C V = a3 21 D V = a3 Câu 14 Cho hình chóp S ABC Gọi M trung điểm cạnh SA N điểm cạnh SC cho SN = 3NC Tính tỉ số k thể tích khối chóp ABMN thể tích khối chóp SABC A k = B k = Câu 15 Cho lăng trụ tam giác C k = ABC A′B′C ′ lượt hai điểm BB′, CC ′ cho ABCMN tích D k = V Gọi M , N lần MB′ NC ′ = = thể tích khối đa diện MB NC 22 A V B 2V C 2V D V Câu 16 Cho khối chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên tạo với đáy góc 60° Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD cắt SB E cắt SD F Tính thể tích V khối chóp S AEMF a3 A V = 36 a3 B V = a3 a3 C V = D V = 18 · · Câu 17 Cho khối chóp S ABC có ·ASB = BSC = CSA = 60°, SA = a, SB = 2a, SC = 4a Tính thể tích khối chóp S ABC 8a A 2a B 4a a3 C D 3 Câu 18 Gọi V thể tích khối hộp ABCD A′B′C ′D′ V ′ thể tích V′ khối đa diện A′ABC ′D′ Tính tỉ số V V′ V′ V′ V′ A = B = C = D = V V V V Câu 19 Cho khối chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên hợp với đáy góc 60° Gọi M điểm đối xứng C qua D , N trung điểm SC Mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp S ABCD thành hai phần V tích V1 , V2 (V1 > V2 ) Tính tỉ số V C D · · · Câu 20 Cho khối chóp S ABC có ASB = 60°, ASC = 90°, BSC = 120° SA = , SB = , SC = Khi thể tích khối chóp S ABC A B 2 D Câu 21 Cho khối chóp tứ giác S ABCD , M trung điểm SC Mặt A B C phẳng ( P ) qua AM song song với BD cắt SB , SD N , K Tính tỉ số thể tích khối S ANMK khối chóp S ABCD D Câu 22 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm cạnh SA , SD Mặt phẳng ( α ) chứa MN cắt SQ = x , V1 thể tích khối chóp cạnh SB , SC Q , P Đặt SB S MNQP , V thể tích khối chóp S ABCD Tìm x để V1 = V −1 + 33 −1 + 41 A x = B x = C x = D x = 4 Câu 23 Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , SA vng góc với mặt đáy Gọi M trung điểm cạnh BC Mặt phẳng ( P ) qua A A B C 23 vuông góc với SM cắt cạnh SB , SC E , F Biết VS AEF = VS ABC Tính thể tích V khối chóp S ABC a3 A V = a3 B V = 2a C V = a3 D V = 12 Câu 24 Cho khối chóp tứ giác S ABCD Mặt phẳng qua trọng tâm tam giác SAB , SAC , SAD chia khối chóp thành hai phần tích V1 V2 ( V1 < V2 ) Tính tỉ số A 27 V1 V2 B 16 81 C 19 D 16 75 Câu 25 Cho lăng trụ ABC.EFH có tất cạnh a Gọi S điểm đối xứng A qua đường thẳng BH Thể tích khối đa diện ABCSFH A 3a a3 B C 3a a3 D · Câu 26 Cho khối chóp S ABC có ·ASB = CSB = 600 , ·ASC = 900 , SA = SB = a; SC = 3a Thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 a3 C V = D V = 18 Câu 27 Cho khối chóp S ABCD có đáy hình bình hành ABCD Gọi M , N , P , Q trọng tâm tam giác SAB , SBC , SCD , SDA Biết thể tích khối chóp S MNPQ V , thể tích khối chóp S ABCD A V = a3 12 27V A B V = 9V 81V 9 B  ÷ V C D 2 Câu 28 Cho hình chóp S ABC có SA , SB , SC đối vng góc; SA = a , SB = 2a , SC = 3a Gọi M , N , P , Q trọng tâm tam giác ABC , SAB , SBC , SCA Tính thể tích khối tứ diện MNPQ theo a 2a a3 2a a3 A B C D 9 27 27 Câu 29 Cho khối chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA = 2a Gọi B′, D′ hình chiếu vng góc A đường thẳng SB, SD Mặt phẳng ( AB′D′ ) cắt cạnh SC C ′ Tính thể tích khối chóp S AB′C ′D′ a3 A 16a a3 2a B C D 45 Câu 30 Cho khối đa diện SABCD hình vẽ bên Biết SA = , SB = , SC = , · · · · SD = ·ASB = BSC = CSD = DSA = BSD = 60° Thể tích khối đa diện SABCD A B C 30 D 10 24 ĐÁP ÁN 1B 11A 21B 2B 12D 22A 3D 13B 23B 4A 14A 24C 5D 15B 25A 6A 16D 26C 7A 17B 27A 8B 18C 28D 9B 19A 29B 10A 20D 30B 25 ... Học 12, tơi nhận thấy đa số học sinh e ngại, khơng hứng thú giải tốn tính thể tích khối đa diện, đặc biệt tốn liên quan đến tỉ số thể tích Khi giải toán học sinh chưa định hướng phương pháp giải. .. ví dụ tính thể tích thơng qua xét tỉ số diện tích đáy tỉ số chiều cao 2.3.4 Một số ví dụ vận dụng cơng thức tỉ số thể tích khối chóp tam giác 2.3.5 Một số ví dụ tỉ số thể tích liên... dạy, học sinh hứng thú học tập môn hình học khơng gian nói chung tốn thể tích khối đa diện nói riêng, em khơng e ngại tự tin học tập Đa số học sinh nắm vững dạng toán tính tỉ số thể tích thể tích