Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải quyết hiệu quả bài toán tính khoảng cách trong không gian 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI QUYẾT HIỆU QUẢ BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN Người thực hiện: Phạm Thị Hiền Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán THANH HÓA NĂM 2017 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Trang 01 1.1 Lí chọn đề tài Trang 01 1.2 Mục đích nghiên cứu ………………………………… Trang 01 1.3 Đối tượng nghiên cứu ………………………………… Trang 02 1.4 Phương pháp nghiên cứu ……………………………… Trang 02 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang 02 2.1 Cơ sở lí luận Sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 2.3.2 Phương pháp tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song 2.3.3 Phương pháp tính khoảng cách hai mặt phẳng song song 2.3.4 Phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo 2.3.5 Bài tập củng cố, rèn luyện 2.4 Hiệu Sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trang 02 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Trang 18 3.1 Kết luận ….…………………………………………… Trang 18 3.2 Kiến nghị ……………………………………………… Trang 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………… Trang 20 Trang 03 Trang 03 Trang 04 Trang 10 Trang 11 Trang 12 Trang 16 Trang 18 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài: Trong trình dạy học sinh giải dạng toán tính khoảng cách không gian môn Hình Học 11, nhận thấy nhiều học sinh chưa hứng thú, e ngại nội dung này, kết học tập yếu Bởi dạng toán tổng hợp nhiều loại kiến thức, tính trừu tượng cao, sử dụng hình vẽ mặt phẳng để biểu diễn hình không gian nên giảm tính trực quan, Do để học tốt nội dung này, đòi hỏi người học nắm vững kiến thức, có tư trừu tượng, biết vẽ hình khai thác hình vẽ, mà bên cạnh phải nắm vững phương pháp giải toán rèn luyện để hình thành kỹ Về phần giáo viên gặp không khó khăn truyền đạt nội dung kiến thức tìm tòi, nghiên cứu để đưa phương pháp giảng dạy hiệu quả, phù hợp với nội dung dạy đối tượng học sinh Để hướng dẫn cho học sinh lớp 11 giải tốt toán tính khoảng cách không gian, bên cạnh người dạy giúp cho học sinh nắm vững lý thuyết, vẽ hình tốt,… phải giúp học sinh nắm vững dạng toán phương pháp giải chúng, từ gây hứng thú cho học sinh, giúp học sinh học tập tự tin hơn, không e ngại bước khuyến khích học sinh học tập, rèn luyện hình thành kỹ năng, phát triển tư Tuy nhiên, không nghiên cứu để hệ thống dạng toán đưa phương pháp giải giảng dạy, giáo viên gặp khó khăn truyền đạt chưa đưa đầy đủ dạng toán hay chưa đưa phương pháp giải tốt Trong thân học sinh khó để tự rút dạng toán phương pháp giải Bên cạnh đó, nhận thấy chưa có nhiều đề tài, tài liệu tham khảo viết vấn đề sát với điều kiện thực tế đối tượng học sinh trường THPT Như Xuân, nhiều học sinh chưa biết tự sàng lọc tài liệu để học Ngoài ra, học sinh giải tốt toán tính khoảng cách Hình Học 11 giúp em giải tốt toán tính thể tích môn Hình Học 12; hai dạng toán quan trọng thường gặp chương trình toán THPT Đặc biệt, với việc đề toán theo hình thức trắc nghiệm kỳ thi, hai dạng toán xuất nhiều đòi hỏi học sinh có kỹ để tính nhanh xác kết Chính lý trên, năm học 2016-2017, chọn đề tài Sáng kiến kinh nghiệm để áp dụng giảng dạy trường THPT Như Xuân “Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải hiệu toán tính khoảng cách không gian” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Tôi nghiên cứu đề tài nhằm tìm phương pháp giảng dạy phù hợp với điều kiện thực tế đối tượng học sinh nhà trường, giúp học sinh lớp 11 giải tốt toán tính khoảng cách môn hình học, từ học sinh tháo gỡ vướng mắc, khó khăn học, không e ngại môn học này, có hứng thú học nâng cao chất lượng học tập môn học; giúp người dạy có thêm kinh nghiệm giảng dạy môn này, từ nâng cao chất lượng giảng dạy môn hình học không gian nói chung toán tính khoảng cách môn Hình Học 11 nói riêng, làm tiền đề để học sinh giải tốt toán tính thể tích Hình Học 12 Đồng thời thân mong muốn Sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tham khảo hữu ích cho người học người dạy, góp phần vào phong trào đổi phương pháp dạy học giai đoạn 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu đề tài phương pháp giải toán tính khoảng cách giảng dạy nội dung chương III – Quan hệ vuông góc, sách giáo khoa Hình Học 11, chương trình chuẩn ([1]) 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận Sáng kiến kinh nghiệm: Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng để giúp học sinh giải tốt toán tính khoảng cách Chương III – Quan hệ vuông góc, Hình Học 11, chương trình chuẩn, bao gồm: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song; khoảng cách hai mặt phẳng song song; khoảng cách hai đường thẳng chéo Các kiến thức sử dụng sáng kiến thuộc phạm vi chương trình sách giáo khoa Hình Học 11 THPT, chương trình chuẩn ([1]) chủ yếu Chương III – Quan hệ vuông góc, đảm bảo chuẩn kiến thức kỹ theo chương trình hành Ngoài ra, Sáng kiến sử dụng số kiến thức mà người dạy hướng dẫn học sinh dễ dàng suy từ kiến thức học, cụ thể sau: Tính chất Nếu hai điểm phân biệt M, A nằm đường thẳng song song với mặt phẳng (P) ta có: d ( M ,( P)) = d ( A,( P)) Chứng minh: Gọi H, K hình chiếu vuông góc M, A lên (P) MHKA hình chữ nhật nên MH = AK hay d ( M ,( P)) = d ( A,( P)) M H A K P Tính chất Nếu hai điểm phân biệt M, A không thuộc (P) đường thẳng MA cắt (P) điểm I ta có: d ( M ,( P)) IM = d ( A,( P )) IA Chứng minh: Gọi H, K hình chiếu vuông góc M, A lên (P) MH // AK I, H, K thẳng hàng nên theo định lí Ta-lét ta có d ( M ,( P)) IM MH IM = = hay d ( A,( P )) IA AK IA A M I H K P Như vậy, với hai tính chất chứng minh cách đơn giản với kiến thức học sinh học chương trình toán THPT, khẳng định học sinh hoàn toàn có đủ kiến thức, khả để tiếp thu nội dung Sáng kiến hoàn toàn phù hợp với chuẩn kiến thức chương trình hành 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm: Trước áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy môn Hình Học 11, nhận thấy đa số học sinh e ngại, không hứng thú giải toán tính khoảng cách không gian Khi giải toán học sinh chưa định hướng phương pháp giải rõ ràng, mơ hồ, mò mẫm; chưa biết đặt câu hỏi định hướng như: Bài toán thuộc dạng nào? Phương pháp giải dạng nào? Thực theo bước nào, bước trước, bước sau? Khai thác giả thiết sao? Cần vận dụng kiến thức liên quan nào? Vẽ hình nào, có cần vẽ thêm hình phụ không? Trình bày lời giải nào? Lời giải trình bày có sai sót không?… Chính điều làm cho học sinh lúng túng giải toán không hứng thú học dẫn đến kết học tập chưa cao, đa số học sinh thường không giải toán dù không khó gặp sai lầm, lời giải sai sót Từ kéo theo việc học sinh học yếu môn Hình Học lớp 12 nói chung việc giải toán tính thể tích đa diện nói riêng Bên cạnh đó, giảng dạy toán tính khoảng cách người dạy nghiên cứu kỹ lưỡng khiến học sinh khó tiếp thu, kết giảng dạy không cao 2.3 Các sáng kiến giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Để giải thực trạng trên, giảng dạy học sinh giải toán tính khoảng cách nội dung Chương III, Hình Học 11, nghiên cứu đưa dạng toán phương pháp giải, xếp cách hợp lý, sau hướng dẫn học sinh cách tỉ mỉ, có ví dụ cụ thể để học sinh nắm Đồng thời hình thành rèn luyện kỹ giải toán thông qua hệ thống tập luyện tập tập tự luyện lựa chọn cẩn thận Sau dạng toán bản, phương pháp giải, hệ thống ví dụ, tập mà áp dụng để giúp học sinh giải tốt toán tính khoảng cách chương trình Hình Học 11 Trước hết, phân chia thành bốn dạng toán tính khoảng cách xếp theo thứ tự, là: Dạng 1: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Dạng 2: Tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Dạng 3: Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song Dạng 4: Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Sau đó, hướng dẫn học sinh nắm vững phương pháp giải hình thành, rèn luyện kỹ giải dạng toán Để đưa dạng toán phương pháp giải tự nghiên cứu, đúc rút kinh nghiệm, kết hợp với tham khảo [2], [3] Cụ thể sau: 2.3.1 Phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Xét toán: Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) Trước hết, giáo viên phân tích để học sinh thấy đa số toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng có giả thiết liên quan đến hình chóp quy toán liên quan đến hình chóp Vì ta xét toán trường hợp sau: Trường hợp 1: Điểm M trùng với chân đường cao hình chóp (P) mặt bên hình chóp Giáo viên giới thiệu trường hợp cụ thể, xem Bài toán gốc 1: Xét hình chóp S.ABC, có SA vuông góc với đáy (ABC) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) Phương pháp: (Xác định trực tiếp đường thẳng qua A vuông góc với mặt phẳng (SBC)) Thực theo bước sau: S - Bước 1: Kẻ đường thẳng AK vuông góc với BC K (Giáo viên nhấn mạnh BC giao tuyến mặt đáy (ABC) mặt (SBC)) H - Bước 2: Kẻ đường thẳng AH vuông góc với SK H A C - Bước 3: Chứng minh AH ⊥ ( SBC ) K Thật vậy, ta có AH ⊥ BC (do BC ⊥ ( SAK ) ) AH ⊥ SK nên AH ⊥ ( SBC ) B - Bước 4: Tính AH Lưu ý: Nếu toán chưa cho sẵn chân đường cao, giáo viên cần hướng dẫn học sinh tìm chân đường cao Khi giáo viên cần củng cố hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất sau: 1) Nếu hai mặt phẳng vuông góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với giao tuyến vuông góc với mặt phẳng [1] 2) Nếu hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng [1] 3) Nếu hình chóp có cạnh bên chân đường cao hình chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD) Gọi M trung điểm cạnh AB Tính theo a khoảng cách sau: a) d ( M ,( SBC )) b) d ( M ,( SCD)) Hướng dẫn: Chứng minh M chân đường cao Từ tính d ( M ,( SBC )) , d ( M ,( SCD)) theo bước Bài toán gốc Lời giải: S a) Ta có SM ⊥ AB (do tam giác SAB đều) Mà ( SAB) ⊥ ( ABCD) , ( SAB) ∩ ( ABCD) = AB nên SM ⊥ ( ABCD ) Suy M chân đường cao hình chóp S.ABCD Ta thấy ( SBC ) ∩ ( ABCD) = BC nên: H2 - Kẻ MK1 vuông góc với BC K1 A D H1 Suy K1 trùng với B (do AB ⊥ BC ) - Kẻ MH1 vuông góc với SB H1 K2 M Khi MH1 ⊥ SB MH1 ⊥ BC (do BC ⊥ ( SAB ) nên MH1 ⊥ ( SBC ) Suy d ( M ,( SBC )) = MH1 B C 1 4 16 a = + + = ⇒ d ( M ,( SBC )) = MH1 = 2 = MH1 MB MS a 3a 3a b) Ta thấy ( SCD) ∩ ( ABCD) = CD nên: - Kẻ MK2 vuông góc với CD K2 Suy K2 trung điểm CD (do MK / / BC ) - Kẻ MH2 vuông góc với SK2 H2 Suy d ( M ,( SCD)) = MH 1 1 a 21 = + + = ⇒ d ( M ,( SCD )) = MH = 2 = MH MK MS a 3a 3a Trường hợp 2: Điểm M không trùng với chân đường cao hình chóp, (P) mặt bên hình chóp không chứa chân đường cao Phương pháp: (Tính gián tiếp thông qua phương pháp đổi điểm) Giả sử A chân đường cao hình chóp M A Giáo viên hướng dẫn học sinh đưa trường hợp trường hợp phương pháp đổi điểm M A sau: - Xét vị trí tương đối đường thẳng MA H K mặt phẳng (P) P - Nếu MA // (P), theo Tính chất (trang 2) ta có: d ( M ,( P)) = d ( A,( P)) A (Gọi phương pháp đổi điểm song song) M - Nếu MA cắt (P) I, theo Tính chất (trang 2) ta có: d ( M ,( P)) IM IM = d ( A,( P)) hay d ( M ,( P)) = d ( A,( P )) IA IA I H K P (Gọi phương pháp đổi điểm cắt nhau) Nhận xét: Phương pháp đổi điểm giúp ta chuyển toán tính d ( M ,( P)) toán tính d ( A,( P)) , A điểm mà việc thực tính khoảng cách tới (P) thuận lợi so với M Thông thường A chân đường cao A thuộc mặt đáy hình chóp Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, AC = a , SA ⊥ ( ABCD ) , góc cạnh SB mặt đáy (ABCD) 60 Gọi G trọng tâm tam giác SAB Tính theo a khoảng cách sau: a) d ( B,( SCD)) b) d (O,( SCD)) c) d (G,( SCD)) Hướng dẫn: A chân đường cao nên tính d ( A,( SCD)) theo bước Bài toán gốc Vì để tính d ( B,( SCD)) , d (O,( SCD )) , d (G ,( SCD)) cần tính theo d ( A,( SCD )) cách đổi điểm B, O, G A Đối với điểm G, việc xét vị trí tương đối GA với (SCD) gặp khó khăn nên cần đổi G qua điểm trung gian thuộc mặt đáy hình chóp, sau đổi A Lời giải: S a) Ta có A chân đường cao hình chóp BA // CD, CD ⊂ (SCD) nên BA // (SCD) Suy d ( B,( SCD)) = d ( A,( SCD)) Do ( SCD) ∩ ( ABCD) = CD nên ta thực hiện: - Kẻ AK vuông góc với CD K H Suy K trung điểm CD AK = a G - Kẻ AH vuông góc với SK H (1) Suy AH ⊥ ( SCD ) nên d ( A,( SCD)) = AH Ta có: 1 a = + , AK = 2 AH AK SA M A D K O B C Góc SB (ABCD) góc SBA (do SA ⊥ ( ABCD ) ) nên góc SBA 600 Do tam giác SAB, ta có SA = AB.tan 600 = a a 15 = + = ⇒ d ( B,( SCD)) = d ( A,( SCD )) = AH = AH 3a 3a 3a d (O,( SCD )) CO = = b) Ta có OA cắt (SCD) C nên d ( A,( SCD )) CA 1 a 15 a 15 hay d (O,( SCD )) = d ( A,(SCD)) = AH = ⇒ d (O,( SCD)) = 2 10 10 Suy ra: c) Gọi M trung điểm AB GM cắt (SCD) S nên d (G, ( SCD)) SG 2 = = hay d (G,( SCD)) = d ( M , ( SCD)) (3) d ( M ,( SCD)) SM 3 Mặt khác, MA // (SCD) nên d ( M ,( SCD)) = d ( A,( SCD)) (4) 2 2a 15 Từ (3) (4) suy d (G,( SCD)) = d ( A,( SCD)) = AH = 3 15 2a 15 Vậy d (G,( SCD)) = 15 Ví dụ Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vuôg góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A’C đáy 60 Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’) [5] Hướng dẫn: Cần gắn toán vào hình chóp hợp lý (Gợi ý: Sao cho hình chiếu vuông góc A’ lên (ABC) chân đường cao (ACC’A’) mặt phẳng chứa mặt bên hình chóp này) Sau sử dụng phương pháp đổi điểm để đổi điểm B chân đường cao A’ Lời giải: Gọi M trung điểm AB A’M ⊥ (ABC) M chân đường cao hình chóp A’.ABC Suy hình chiếu A’C lên (ABC) CM nên góc A’C (ABC) góc A’CM 60 BM ∩ (ACC’A’) = A nên A d ( B,( ACC ' A ')) AB = =2 d ( M ,( ACC ' A ')) AM hay d ( B,( ACC ' A ')) = 2.d ( M ,( ACC ' A ')) C’ H B’ K C M * Tính d ( M ,( ACC ' A ')) : B - Kẻ MK vuông góc với AC K - Kẻ MH vuông góc với A’K H Suy MH ⊥ (ACC’A’) nên d ( M ,( ACC ' A ')) = MH a a a 3a = tan 600 = ; A’M = MC.tanA’CM = 2 2 1 16 52 3a 13 = + = + = ⇒ MH = 2 MH A'M MK 9a 3a 9a 26 3a 13 Vậy d ( B,( ACC ' A ')) = 2.d ( M ,( ACC ' A ')) = MH = 13 MK = AM.sin600 = Trường hợp 3: Mặt phẳng (P) chứa đường cao hình chóp, điểm M thuộc mặt đáy hình chóp Khi ta xét trường hợp cụ thể, xem Bài toán gốc sau: Xét hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy (ABC) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) Phương pháp: (Trực tiếp xác định đường thẳng qua C vuông góc với S mặt phẳng (SAB)) Thực theo bước sau: - Bước 1: Kẻ CH vuông góc với AB H (Giáo viên nhấn mạnh AB giao tuyến mặt đáy (ABC) mặt bên (SAB)) - Bước 2: Chứng minh CH ⊥ ( SAB) A C Thật vậy, ta có CH ⊥ SA (do SA ⊥ ( ABC ) ) CH ⊥ AB nên CH ⊥ ( SAB) H - Bước 3: Tính CH B Lưu ý: Nếu điểm M không thuộc mặt đáy hình chóp sử dụng phương pháp đổi điểm, đổi M điểm thuộc mặt đáy hình chóp Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi Biết tứ diện SABD tứ diện cạnh a Gọi G trọng tâm tam giác SAB Tính theo a: a) d ( B,( SAC )) b) d (G ,( SAC )) Hướng dẫn: Hình chóp sẵn đường cao nên cần xác định đường cao với lưu ý sử dụng giả thiết tứ diện SABD đều, thấy (SAC) chứa đường cao hình chóp Do B thuộc mặt đáy hình chóp nên sử dụng trực tiếp bước Bài toán gốc Điểm G không thuộc mặt đáy hình chóp nên đổi điểm thuộc mặt đáy Lời giải: a) Gọi O tâm tam giác ABD SO ⊥ ( ABD) (do SABD tứ diện đều) Suy SO đường cao hình chóp S.ABCD Ta thấy mặt phẳng (SAC) chứa đường cao SO ( ABCD) ∩ ( SAC ) = AC nên S để tính d ( B,( SAC )) ta thực hiện: - Kẻ BH vuông góc với AC H H giao điểm BD AC (do ABCD hình thoi) - Khi BH ⊥ SO (do SO ⊥ ( ABCD) ) G BH ⊥ AC nên BH ⊥ ( SAC ) A - Suy ra: d ( B,( SAC )) = BH = a a Vậy d ( B,( SAC )) = I D K O H B b) Gọi I trung điểm AB GI cắt (SAC) S nên C d (G ,( SAC )) SG 2 = = hay d (G,( SAC )) = d ( I ,( SAC )) (1) d ( I ,( SAC )) SI 3 Mặt khác IB cắt (SAC) A nên d ( I ,( SAC )) AI 1 = = hay d ( I ,( SAC )) = d ( B,( SAC )) (2) d ( B,( SAC )) AB 2 1 a a Từ (1) (2) ta có d (G ,( SAC )) = d ( B,( SAC )) = = 3 a Vậy d (G ,( SAC )) = Lưu ý: Có thể tính d ( I ,( SAC )) trực tiếp sau: Kẻ IK vuông góc với AC K Khi IK // BD nên K trung điểm AH d ( I ,( SAC )) = IK Ví dụ Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a , AD = a Hình chiếu vuông góc A1 lên (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD 1A1) (ABCD) 600 Tính theo a khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) [6] Hướng dẫn: Cần tìm cách gắn toán với hình chóp phù hợp Giáo viên gợi ý học sinh theo bước sau: - Gọi O = AC ∩ BD A1O ⊥ (ABCD) (A1BD) chứa A1O - Từ cần tìm hình chóp có đường cao A1O (A1BD) mặt bên - Sau tìm hình chóp phù hợp, xét xem B1 có thuộc mặt đáy hình chóp không? Nếu không sử dụng phương pháp đổi điểm chuyển B1 điểm thuộc mặt đáy hình chóp (có thể đổi điểm song song đổi điểm cắt nhau) A1 B1 Lời giải: I D1 C1 A B H H1 O D C Gọi O giao điểm AC BD A1O ⊥ (ABCD) Xét hình chóp A1.ABD có O chân đường cao mặt bên (A 1BD) chứa đường cao A1O Gọi I giao điểm A1B AB1 B1A ∩ (A1BD) = I d ( B1 ,( A1BD )) IB1 = = hay d ( B1 ,( A1BD)) = d ( A,( A1BD)) d ( A,( A1BD )) IA *Tính d ( A,( A1 BD)) : Do đó: Kẻ AH vuông góc với BD H Suy AH ⊥ (A1BD) nên d ( A,( A1BD)) = AH Trong tam giác ABD vuông A ta có: 1 1 a = + = + = ⇒ AH = 2 AH AB AD a 3a 3a a Vậy d ( B1 ,( A1BD)) = d ( A,( A1BD)) = AH = Lưu ý: Do B1C // (A1BD) nên đổi điểm song song từ B C Khi xét hình chóp A1.BCD ta có mặt bên (A1BD) chứa đường cao A1O nên kẻ CH1 vuông góc với BD H1 d ( B1 ,( A1BD)) = d (C ,( A1BD)) = CH1 Kết luận mục 2.3.1 Mục 2.3.1 trình bày phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng cách gắn toán vào hình chóp Khi vận dụng, giáo viên cần hướng dẫn học sinh: - Biết phát gắn toán vào hình chóp phù hợp thuộc ba trường hợp (nếu đề chưa cho sẵn) - Phát chân đường cao hình chóp Hai điều chìa khoá giúp học sinh giải tốt toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Từ làm tiền đề giúp học sinh giải tốt dạng toán tính khoảng cách 2.3.2 Phương pháp tính khoảng cách đường song song Xét toán: Tính khoảng cách đường thẳng ∆ (P) song song với Phương pháp: - Chọn điểm M thuộc ∆ - Suy d (∆,( P )) = d ( M ,( P )) - Tính d ( M ,( P)) P thẳng mặt phẳng ∆ mặt phẳng (P), ∆ M H Nhận xét: Như toán tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song quy toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Mấu chốt toán tính d (∆,( P )) chọn điểm M thuộc ∆ phù hợp Thông thường ta chọn điểm chân đường cao, điểm thuộc mặt đáy; điểm đổi thuận lợi chân đường cao, điểm thuộc mặt đáy Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD, có SA vuông góc với đáy (ABCD), SA = a , đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD = 2a Gọi G, G’ trọng tâm tam giác SAB SCD a) Chứng minh AD // (SBC) tính d(AD,(SBC)) theo a [4] b) Chứng minh GG’ // (SBC) tính d(GG’,(SBC) theo a Hướng dẫn: A chân đường cao, mặt phẳng (SBC) không chứa chân đường cao nên cần quy toán tính khoảng cách từ A đến (SBC) Đối với câu b) đường thẳng GG’ không thuộc mặt đáy (ABCD) nên cần đổi điểm thuộc mặt đáy, nên ưu tiên đổi trực tiếp điểm A Lời giải: a) Ta có AD // BC nên AD // (SBC) Suy d(AD, (SBC)) = d(A,(SBC)) *Tính d(A,(SBC)): - Kẻ AK vuông góc với BC K - Kẻ AH vuông góc với SK H Suy AH ⊥ (SBC) nên d(A,(SBC) = AH Vì ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD = 2a nên AB = BC = DC = AD = a góc S ABC 1200, suy góc ABK 1200 Do đó, tam giác vuông ABK a ; 1 1 = 2+ = 2+ = 2 AH SA AK 6a 3a 6a a ⇒ d ( A,( SBC )) = AH = (1) a Vậy d(AD,(SBC)) = d(A,(SBC)) = SAK ta có: AK = AB.sin 600 = M N G A G’ H K D B C 10 b) Gọi M, N trung điểm SB SC GG’ // MN, BC // MN nên GG’ // BC, suy GG’ // (SBC) Do đó: d(GG’,(SBC)) = d(G,(SBC)) (2) Mặt khác, GA ∩ (SBC) = M nên d (G ,( SBC )) MG 1 = = hay d (G ,( SBC )) = d ( A,( SBC )) (3) d ( A,( SBC )) MA 3 Vậy từ (1), (2) (3) suy ra: d (GG ',( SBC )) = d ( A,( SBC )) = a 2.3.3 Phương pháp tính khoảng cách hai mặt phẳng song song Xét toán: Tính khoảng cách hai mặt phẳng (P) (Q), (P) (Q) song song với Phương pháp: H’ M - Chọn điểm thuộc hai P mặt phẳng, giả sử chọn M thuộc (P) - Suy d((P),(Q)) = d(M,(Q)) - Tính d(M,(Q)) N Lưu ý: Nếu chọn N thuộc (Q) H Q d((P),(Q)) = d(N,(P)) Nhận xét: Việc tính khoảng cách hai mặt phẳng song song quy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cũng nhận xét mục 2.3.2, cần lưu ý chọn điểm thuộc hai mặt phẳng cho hợp lý Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = a, AB = b, AD = c Chứng minh hai mặt phẳng (A’BD), (B’CD’) song song với tính theo a, b khoảng cách chúng Hướng dẫn: Có thể tính khoảng cách (A’BD) (B’CD’) sau: - Xác định hình chóp có mặt bên hai mặt phẳng (A’BD), (B’CD’) cho chân đường cao hình chóp dễ tìm (Chẳng hạn hình chóp A’.ABD B’.CC’D’) - Chọn điểm thuộc mặt phẳng lại cho việc tính khoảng cách đổi chân đường cao hình chóp cách thuận lợi Lời giải: C’ B' A’D // B’C nên A’D // (B’CD’); ’ A’B // D’C nên A’B // (B’CD’) Suy (A’BD) // (B’CD’) D’ A’ Do đó, d((B’CD’),(A’BD)) = d(B’,(A’BD)) (1) I Mặt khác, gọi I = B’A ∩ A’B C H B B’A ∩ (A’BD) = I nên: d ( B ',( A ' BD)) IB ' = =1 d ( A,( A ' BD)) IA hay d ( B ',( A ' BD)) = d ( A,( A ' BD)) (2) K D A *Tính d(A,(A’BD)): (Xét hình chóp A’.ABD có A chân đường cao (A’BD) ∩ (ABD) = BD nên để tính d(A,(A’BD)) ta thực sau) - Kẻ AK vuông góc với BD K 11 - Kẻ AH vuông góc với A’K H ⇒ AH ⊥ (A’BD) ⇒ d(A,(A’BD)) = AH Trong tam giác vuông A’AK ABD ta có: 1 1   = + = + + ÷ 2 2 AH A' A AK A ' A  AB AD  abc 1 a 2b + b 2c + c a ⇒ AH = = 2+ 2+ = (3) a b c a 2b c a 2b + b c + c a abc Vậy từ (1), (2) (3) ta có: d (( B ' CD '),( A ' BD)) = 2 2 2 a b +b c +c a Kết luận mục 2.3.2 2.3.3 Như vậy, để học sinh giải tốt toán tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh thành thạo kỹ tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, kỹ chọn điểm đổi điểm 2.3.4 Phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Xét toán: Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Phương pháp: Xét mối quan hệ vuông góc a b (hay xét xem có tồn mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với đường thẳng kia) Từ chia thành hai trường hợp: Trường hợp 1: a b vuông góc với a - Bước 1: Xác định mặt phẳng (P) chứa đường thẳng vuông góc với đường thẳng Giả sử (P) chứa b b M - Bước 2: Tìm giao điểm M a (P) N - Bước 3: Kẻ MN vuông góc với b N P Suy d(a,b) = MN - Bước 4: Tính độ dài đoạn MN Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy (ABCD), SA = a Tính theo a khoảng cách BD SC Hướng dẫn: Chứng minh BD ⊥ (SAC) thực theo bước giải Lời giải: Ta có BD ⊥ SA, BD ⊥ AC nên BD ⊥ (SAC) Suy (SAC) mặt phẳng chứa SC vuông góc với BD Gọi O = BD ∩ (SAC), kẻ ON vuông góc với SC N Suy d(BD,SC) = ON Hai tam giác SAC ONC đồng dạng nên ON OC SA.OC a = ⇒ ON = = SA SC SC a Vậy d(DB,SC) = S A D N O B C 12 Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng (SBC) vuông góc với đáy Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SA BC [7] Hướng dẫn: Cần xác định mặt phẳng chứa SA vuông góc với BC Lời giải: S Gọi M trung điểm BC BC ⊥ SM BC ⊥ AM Suy BC ⊥ (SAM) Suy (SAM) mặt phẳng chứa SA vuông góc với BC mà (SAM) ∩ BC = M nên kẻ MN N vuông góc với SA N d(SA,BC) = MN Ta có SM ⊥ BC mà (SBC) ⊥ (ABC) A B (SBC) ∩ (ABC) = BC nên SM ⊥ (ABC) Suy tam giác SAM vuông M M a a SM = , AM = BC = 2 C 1 4 16 a = + = + = ⇒ MN = Do đó: MN SM AM 3a a 3a a Vậy d(SA,BC) = Trường hợp 2: a b không vuông góc với (hoặc chưa xác định mối quan hệ vuông góc a b) - Bước 1: Xác định mặt phẳng (P) chứa hai đường a, b song song với đường thẳng lại Giả sử xác định (P) chứa a song song với b Cách xác định (P): Tìm a điểm thuận b M lợi để kẻ qua điểm đường thẳng b’ song song với b Khi (P) mặt phẳng chứa a b’ Chú ý: Với hai đường thẳng chéo a, b (P) tồn a b’ - Bước 2: Chọn điểm M thuộc b, suy H d(a,b) = d(b,(P))= d(M,(P)) P - Bước 3: Tính d(M,(P)) Nhận xét: S 1) Mấu chốt phương pháp xác định mặt phẳng (P) cách hợp lý Thông thường ta gắn toán vào hình chóp cho đường thẳng thuộc mặt đáy (giả sử b thuộc mặt a đáy), đường thẳng chứa cạnh bên hình chóp (giả sử a chứa cạnh bên), A D (P) xác định mặt phẳng chứa a b (cạnh bên) song song với b, cách O b’ kẻ đường thẳng b’ qua giao điểm a C mặt đáy hình chóp cho b’// b B lấy (P) mp(a,b’) 13 2) Do tồn mặt phẳng (P) nên phương pháp trường hợp áp dụng cho hai đường thẳng chéo Tuy nhiên nhận hai đường thẳng chéo vuông góc với nên ưu tiên sử dụng phương pháp trường hợp để lời giải đơn giản 3) Với a b chéo tồn (duy nhất) cặp mặt phẳng (P), (Q) M a’ b chứa a, b song song với Khi đó: d(a,b) = d(a,(Q)) = d(b,(P)) Q = d((P),(Q)) = d(M,(P)) = d(N,(Q)) Với M ∈ (Q), N∈ (P) a Từ cho thấy việc nắm vững cách tính ba b’ loại khoảng cách trước giúp học sinh P giải tốt toán tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Ví dụ 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) 45o Tính theo a: a) Khoảng cách hai đường thẳng AB SC b) Khoảng cách hai đường thẳng SB AC [8] Hướng dẫn: Với câu a) có sẵn (SCD) chứa cạnh bên SC song song với AB Với câu b), cạnh bên SB cắt đáy B nên kẻ đường thẳng d qua B, song song với AC lấy (P) mp(d,SB) S Lời giải: SA ⊥ (ABCD) nên góc SC (ABCD) góc SCA bẳng 45o, suy tam giác SAC vuông cân đỉnh A H1 nên SA = AC = a a) Vì AB // CD nên AB // (SCD) H2 Do d(AB,SC) = d(AB,(SCD)) A D = d(A,(SCD)) (Chọn điểm A A chân đường cao d O K2 hình chóp) *Tính d(A,(SCD)): (Vì A chân C B đường cao (ABCD) ∩ (SCD) = CD nên ta thực sau) - Kẻ AK1 vuông góc với CD K1, suy K1 trùng với D - Kẻ AH1 vuông góc với SD H1 Suy AH1 ⊥ (SCD) nên d(A,(SCD)) = AH1 1 1 a = 2+ + = 2 = 2 ⇒ AH = AH1 SA AD 2a a 2a a Vậy d(AB,SC) = AH1 = Ta có: 14 b) Kẻ qua B đường thẳng d song song với AC gọi (P) mặt phẳng (d,SB) (P) chứa SB song song với AC Suy d(SB,AC) = d(AC,(P)) = d(A,(P)) *Tính d(A,(P)): (Vì A chân đường cao (ABCD) ∩ (P) = d nên ta thực sau) - Kẻ AK2 vuông góc với d K2 - Kẻ AH2 vuông góc với SK2 H2, ta có AK2 // BD Suy AH2 ⊥ (P) d(A,(P)) = AH2 Gọi O = AC ∩ BD AOBK2 hình vuông nên AK2 = OB = a 1 1 a 10 = 2+ + = 2 = 2 ⇒ AH = AH SA AK 2a 2a 2a a 10 Vậy d(SB,AC) = AH2 = Ví dụ 11 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AA’ = AC = 2a, BC = a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AB A’C Hướng dẫn: Xác định mặt phẳng (P) chứa A’C song song với AB cách qua C kẻ đường thẳng d song song với AB Lời giải: Qua C kẻ đường thẳng d song song với AB, gọi (P) mặt phẳng (d,A’C) (P) chứa A’C song song với AB Suy d(AB,A’C) = d(AB,(P)) = d(A,(P)) A’ B’ *Tính d(A,(P)): - Kẻ AK vuông góc với d K Suy AK // BC (vì BC ⊥ AB nên BC vuông góc với d) ABCK C’ hình chữ nhật - Kẻ AH vuông góc với A’K H Suy AH ⊥ (P) nên d(A,(P)) = AH H 1 1 = + = 2+ = 2 2 AH A' A AK 4a a 4a 2a ⇒ AH = 2a Vậy d(AB,A’C) = A K B d C Nhận xét: Mặt phẳng (P) cách giải mặt phẳng (A’B’C) có sẵn Tuy nhiên cách giải kẻ đường thẳng d để xác định (P) d phải xuất để xác định điểm K, H (d giao tuyến (A’B’C) (ABC)) Nếu không muốn kẻ thêm đường phụ d (sử dụng mặt phẳng (A’B’C)) ta làm sau: Sử dụng phương pháp đổi điểm cắt nhau, đổi điểm A điểm C’ xét hình chóp C.A’B’C’ (có C’ chân đường cao) để tính khoảng cách từ C’ đến (A’B’C)) 15 Kết luận mục 2.3.4 Qua mục 2.3.4 ta thấy nói chung việc tính khoảng cách hai đường thẳng chéo quy việc tính khoảng cách từ điểm mặt phẳng Vì vậy, giáo viên cần ý rèn luyện cho học sinh thành thạo kỹ tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trước hướng dẫn học sinh tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Làm dạng toán không trở ngại lớn học sinh, giúp em hứng thú, tự tin giải dạng toán Ngược lại, việc tính khoảng cách hai đường thẳng chéo giúp học sinh củng cố kỹ tính dạng khoảng cách lại 2.3.5 Bài tập củng cố, rèn luyện Sau trang bị cho học sinh phương pháp hình thành kỹ giải toán tính khoảng cách thông qua ví dụ cụ thể, giáo viên cần đưa thêm tập để học sinh củng cố, rèn luyện Sau số tập Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông C, AC = a, BC = a , hình chiếu vuông góc H S lên mặt phẳng (ABC) trung điểm AB SH = 2a Gọi M trung điểm AC Tính theo a khoảng cách sau: a) d(H,(SBC)) b) d(M,(SBC) c) d(A,(SBC)) Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = 3a, BC = 4a, SB = 2a , góc SBC 30o, (SBC) ⊥ (ABC) Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC) [9] Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, góc ABC 30o, tam giác SBC cạnh a, (SBC) ⊥ (ABC) Tính theo a khoảng cách từ C đến (SAB) [10] Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A, B; SA = AB = BC = 2a, AD = 4a Hình chiếu vuông góc H S lên (ABCD) trung điểm AC Tính theo a khoảng cách sau: a) d(H,(SCD)) b) d(H,(SAB)) Bài Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông C, AC = a , BC = a Gọi H trung điểm AB, A’H ⊥ (ABC) Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’HC) Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính theo a: a) d(AD,(A’BC)) b) d((AB’D’),(BC’D)) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi H trung điểm AB Tính theo a khoảng cách giữa: a) SH CD b) AD SB Bài Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông cạnh a Gọi M, N trung điểm AB, AD; H giao điểm MD NC, SH vuông góc với đáy (ABCD), SH = a Tính theo a khoảng cách MD SC [11] Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AD = 2a, AB = a Hình chiếu vuông góc H S lên (ABCD) nằm cạnh AB HA = 3HB Góc SC (ABCD) 600 Tính theo a khoảng cách AB SC 16 Bài 10 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = BC = 2a Hai mặt phẳng (SAB), (SAC) vuông góc với đáy (ABC) Gọi M trung điểm AB Mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N Góc (SBC) (ABC) 600 Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SN AB [12] Bài 11 Cho hình thang ABCD vuông A D, AD = 2a Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) D lấy điểm S cho SD = a Tính theo a khoảng cách đường thẳng CD mặt phẳng (SAB) Bài 12 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB = a, AA’ = 2a Tính theo a khoảng cách AC’ BC Hướng dẫn giải đáp số Bài a) H chân đường cao b) Đổi điểm song song từ M H c) Đổi điểm cắt từ A H Đáp số: a) 2a 17 2a 17 4a 17 ; b) ; c) 17 17 17 Bài Đổi điểm cắt từ B đến chân đường cao H Đáp số: 6a Bài Đổi điểm cắt từ C chân đường cao H, H trung điểm BC Đáp số: a 39 13 Bài a) H chân đường cao b) Cần chứng minh AC ⊥ CD Đáp số: a) a; b) a Bài (A’HC) chứa đường cao A’H Đáp số: a Bài a) Chuyển khoảng cách từ A đến (A’BC) Đáp số: a b) Có thể chuyển khoảng cách từ A đến (BC’D) đổi điểm cắt từ A C Trong C chân đường cao hình chóp C’.BCD Đáp số: a Bài Sử dụng phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo vuông góc với Đáp số: a) a; b) a Bài Chứng minh MD ⊥ CN, từ suy (SCN) mặt phẳng chứa SC vuông góc với MD Đáp số: 2a 57 19 Bài (SCD) chứa SC song song với AB Từ chuyển khoảng cách từ H đến (SCD) Đáp số: a 780 211 17 Bài 10 Xác định mặt phẳng (P) chứa SN song song với AB (bằng cách vẽ đường thẳng qua N song song với AB) Từ chuyển khoảng cách từ A đến (P) Đáp số: 2a 39 13 Bài 11 Chuyển khoảng cách từ D đến (SAB) Đáp số: 2a Bài 12 Xác định mặt phẳng (P) chứa AC’ song song với BC Từ chuyển khoảng cách từ C đến (P) Đáp số: 2a 57 19 2.4 Hiệu Sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy, học sinh hứng thú học tập môn hình học không gian nói chung toán tính khoảng cách nói riêng, em không e ngại tự tin học tập Đa số học sinh nắm vững dạng toán tính khoảng cách, phương pháp giải biết vận dụng; trước toán có định hướng rõ ràng, không mò mẫm, lúng túng, tìm hướng giải, biết cách trình bày gặp sai lầm, thiếu sót, điểm số nâng cao Ngoài ra, sở học sinh nắm vững dạng toán tính khoảng cách có kỹ giải toán giúp em nắm vững kiến thức quan hệ song song, quan hệ vuông góc; em biết vận dụng để giải dạng toán khác làm tiền đề để học sinh học tốt môn hình học không gian lớp 12, có toán tính thể tích, từ kết học tập nâng cao Bản thân áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy, thấy hiệu tiết dạy nâng cao, truyền tải nội dung kiến thức có hệ thống, bản, hợp lý, đầy đủ, đảm bảo mạch kiến thức, tiến độ nội dung chương trình Bản thân cảm thấy tự tin, hứng thú giảng dạy nội dung này, cảm nhận thấy tiết dạy lôi cuốn; học sinh sôi nổi, ý, chủ động, tích cực Đối với đồng nghiệp nhà trường, Sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tham khảo hướng thiết thực để khắc phục tượng e ngại dạy học môn hình học không gian nói chung toán tính khoảng cách nói riêng, từ nâng cao chất lượng dạy học môn hình học không gian, góp phần vào phong trào đổi phương pháp giảng dạy nhà trường ngành giáo dục KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Qua Sáng kiến kinh nghiệm này, rút số kinh nghiệm giảng dạy môn hình học không gian là: - Người dạy phải nghiên cứu để hệ thống dạng toán đưa phương pháp giải phù hợp nhất, dễ vận dụng - Hướng dẫn học sinh nắm vững kiến thức bản, dạng toán phương pháp giải 18 - Hướng dẫn học sinh cách vẽ hình để hình vẽ trực quan nhất, cách khai thác hình vẽ - Hình thành kỹ rèn luyện kỹ giải dạng toán thông qua hệ thống tập chọn lựa kỹ có xếp phù hợp Giáo viên tìm phương pháp tốt để hướng dẫn học sinh cách phân tích, tư tìm lời giải, hướng dẫn học sinh lập luận trình bày chặt chẽ - Giao cho học sinh hệ thống tập rèn luyện có chọn lọc kiểm tra, chỉnh sửa việc làm tập học sinh - Thường xuyên kiểm tra ôn tập cho học sinh Bên cạnh người dạy phải có số kỹ sau: - Kỹ nêu vấn đề hướng dẫn học sinh giải vấn đề - Kỹ giúp học sinh biết quy lạ quen, biết phán đoán Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng rộng rãi trường THPT phù hợp với tất đối tượng học sinh Đặc biệt, Sáng kiến kinh nghiệm có tác dụng thiết thực xu hướng đổi đề theo hình thức trắc nghiệm (dạng toán tính khoảng cách, thể tích xuất nhiều) nên cần ý đòi hỏi rèn luyện cho học sinh kỹ tính nhanh xác kết Dựa Sáng kiến kinh nghiệm này, người dạy áp dụng cách làm dạng toán khác, chương khác hay môn học khác 3.2 Kiến nghị: - Các tổ chuyên môn đẩy mạnh, nâng cao chất lượng việc báo cáo kết Sáng kiến kinh nghiệm thành viên tổ theo định kỳ - Nhà trường khuyến khích, tạo điều kiện nhiều để ngày nâng cao chất lượng viết Sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm hiệu triển khai áp dụng rộng rãi toàn trường - Sở Giáo dục Đào tạo cần giới thiệu, phổ biến, triển khai Sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng tốt đến nhà trường để trao đổi áp dụng vào thực tế XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan Sáng kiến kinh nghiệm viết, không chép nội dung người khác Phạm Thị Hiền 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình Học 11, Trần Văn Hạo - Nguyễn Mộng Hy - Khu Quốc Anh Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện, Nhà xuất Giáo dục, năm 2015 Video “Khoảng cách không gian”, Lê Anh Tuấn, Nguồn Internet (Youtube), năm 2017 Video “Khoảng cách”, Lê Đình Nam, Nguồn Internet (Youtube), năm 2017 Bài tập Hình Học 11, Nguyễn Mộng Hy – Khu Quốc Anh – Nguyễn Hà Thanh, Nhà xuất Giáo dục, năm 2007 Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2014 Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2011 Đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2014 Đề thi THPT Quốc gia năm 2015 Đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2010 10 Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2013 11 Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2010 12 Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2011 20 ... giúp học sinh giải tốt toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Từ làm tiền đề giúp học sinh giải tốt dạng toán tính khoảng cách 2. 3 .2 Phương pháp tính khoảng cách đường song song Xét toán: Tính. .. tượng học sinh Để hướng dẫn cho học sinh lớp 11 giải tốt toán tính khoảng cách không gian, bên cạnh người dạy giúp cho học sinh nắm vững lý thuyết, vẽ hình tốt,… phải giúp học sinh nắm vững dạng toán. .. dạy, học sinh hứng thú học tập môn hình học không gian nói chung toán tính khoảng cách nói riêng, em không e ngại tự tin học tập Đa số học sinh nắm vững dạng toán tính khoảng cách, phương pháp giải