Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải quyết hiệu quả bài toán tính khoảng cách trong không gian 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI QUYẾT HIỆU QUẢ BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN THANH HÓA NĂM 2017 N

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI QUYẾT HIỆU QUẢ BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG

CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

THANH HÓA NĂM 2017

Người thực hiện: Phạm Thị Hiền Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU Trang 01

1.1 Lí do chọn đề tài Trang 01

1.2 Mục đích nghiên cứu ……… Trang 01

1.3 Đối tượng nghiên cứu ……… Trang 02

1.4 Phương pháp nghiên cứu ……… Trang 02

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang 02

2.1 Cơ sở lí luận của Sáng kiến kinh nghiệm Trang 02

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh

nghiệm Trang 03

2.3 Các sáng kiến và giải pháp đã sử dụng để giải quyết

vấn đề Trang 032.3.1 Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một

mặt

phẳng Trang 042.3.2 Phương pháp tính khoảng cách giữa đường thẳng và

song Trang 102.3.3 Phương pháp tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng

song song Trang 112.3.4 Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

chéo nhau Trang 122.3.5 Bài tập củng cố, rèn luyện Trang 16

2.4 Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động

giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường Trang 18

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Trang 18

3.1 Kết luận ….……… Trang 18

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… Trang 20

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài:

Trong quá trình dạy học sinh giải các dạng toán tính khoảng cách trongkhông gian của môn Hình Học 11, tôi nhận thấy rất nhiều học sinh chưa hứngthú, còn e ngại đối với nội dung này, kết quả học tập còn yếu Bởi đây là dạngtoán tổng hợp nhiều loại kiến thức, tính trừu tượng cao, sử dụng hình vẽ trongmặt phẳng để biểu diễn hình không gian nên giảm tính trực quan, Do đó đểhọc tốt nội dung này, đòi hỏi người học không chỉ phải nắm vững kiến thức,

có tư duy trừu tượng, biết vẽ hình và khai thác hình vẽ, mà bên cạnh đó phảinắm vững phương pháp giải toán và được rèn luyện để hình thành kỹ năng

Về phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiếnthức nếu như không có sự tìm tòi, nghiên cứu để đưa ra phương pháp giảngdạy hiệu quả, phù hợp với nội dung bài dạy và đối tượng học sinh Để hướngdẫn cho học sinh lớp 11 giải quyết tốt bài toán về tính khoảng cách trongkhông gian, bên cạnh người dạy giúp cho học sinh nắm vững lý thuyết, vẽ

hình tốt,… còn phải giúp học sinh nắm vững các dạng toán cơ bản và phương

pháp giải chúng, từ đó gây hứng thú cho học sinh, giúp học sinh học tập tự tinhơn, không còn e ngại và từng bước khuyến khích học sinh học tập, rèn luyệnhình thành kỹ năng, phát triển tư duy Tuy nhiên, nếu không nghiên cứu để hệthống các dạng toán và đưa ra phương pháp giải thì khi giảng dạy, giáo viên

sẽ gặp khó khăn khi truyền đạt hoặc chưa đưa ra đầy đủ các dạng toán haychưa đưa ra phương pháp giải tốt nhất Trong khi đó bản thân học sinh rất khó

để tự rút các dạng toán cơ bản và phương pháp giải Bên cạnh đó, tôi nhậnthấy hiện nay chưa có nhiều đề tài, tài liệu tham khảo viết về vấn đề này sátvới điều kiện thực tế và đối tượng học sinh trường THPT Như Xuân, trong khinhiều học sinh chưa biết tự sàng lọc tài liệu để học Ngoài ra, nếu học sinhgiải quyết tốt bài toán tính khoảng cách ở Hình Học 11 sẽ giúp các em giảiquyết tốt bài toán tính thể tích ở môn Hình Học 12; và đây cũng chính là haidạng toán rất quan trọng và thường gặp trong chương trình toán THPT Đặcbiệt, với việc ra đề toán theo hình thức trắc nghiệm ở các kỳ thi, hai dạng toánnày sẽ xuất hiện nhiều hơn và đòi hỏi học sinh có kỹ năng để tính nhanh vàchính xác kết quả

Chính vì những lý do trên, trong năm học 2016-2017, tôi đã chọn đề tàicủa Sáng kiến kinh nghiệm để áp dụng giảng dạy trong trường THPT Như

Xuân là “Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải quyết hiệu quả bài toán tính khoảng cách trong không gian”.

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Tôi nghiên cứu đề tài này nhằm tìm ra những phương pháp giảng dạyphù hợp với điều kiện thực tế và đối tượng học sinh nhà trường, giúp học sinhlớp 11 giải quyết tốt bài toán tính khoảng cách trong môn hình học, từ đó họcsinh tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn khi học, không e ngại môn học này,

có hứng thú khi học và nâng cao chất lượng học tập môn học; giúp người dạy

có thêm kinh nghiệm khi giảng dạy bộ môn này, từ đó nâng cao chất lượnggiảng dạy môn hình học không gian nói chung và bài toán tính khoảng cáchtrong môn Hình Học 11 nói riêng, làm tiền đề để học sinh giải quyết tốt bài

toán tính thể tích ở Hình Học 12 Đồng thời bản thân mong muốn Sáng kiếnkinh nghiệm này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho người học và ngườidạy, góp phần vào phong trào đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạnhiện nay.

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là phương pháp giải bài toán tínhkhoảng cách trong giảng dạy nội dung chương III – Quan hệ vuông góc, sáchgiáo khoa Hình Học 11, chương trình chuẩn ([1])

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết và phương phápđiều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của Sáng kiến kinh nghiệm:

Sáng kiến kinh nghiệm này được áp dụng để giúp học sinh giải quyếttốt bài toán tính khoảng cách trong Chương III – Quan hệ vuông góc, HìnhHọc 11, chương trình chuẩn, bao gồm: Khoảng cách từ một điểm đến một mặtphẳng; khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song; khoảng cáchgiữa hai mặt phẳng song song; khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Các kiến thức sử dụng trong sáng kiến này đều thuộc phạm vi chươngtrình sách giáo khoa Hình Học 11 THPT, chương trình chuẩn ([1]) và chủ yếu

là trong Chương III – Quan hệ vuông góc, đảm bảo chuẩn kiến thức kỹ năngtheo chương trình hiện hành Ngoài ra, Sáng kiến này sử dụng một số kiếnthức mà người dạy có thể hướng dẫn học sinh dễ dàng suy ra từ các kiến thức

đã được học, cụ thể như sau:

Tính chất 1 Nếu hai điểm phân biệt M, A nằm trên đường thẳng song song

với mặt phẳng (P) thì ta có:

d M P =d A P

Chứng minh:

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông

góc của M, A lên (P) thì MHKA là hình

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm:

Trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này trong giảng dạy mônHình Học 11, tôi nhận thấy đa số học sinh rất e ngại, không hứng thú khi giảibài toán tính khoảng cách trong không gian Khi giải toán học sinh chưa địnhhướng được phương pháp giải rõ ràng, còn mơ hồ, mò mẫm; chưa biết đặt racác câu hỏi định hướng như: Bài toán này thuộc dạng nào? Phương pháp giảidạng này như thế nào? Thực hiện theo các bước như thế nào, bước nào trước,bước nào sau? Khai thác giả thiết ra sao? Cần vận dụng những kiến thức liênquan nào? Vẽ hình thế nào, có cần vẽ thêm hình phụ không? Trình bày lời giảithế nào? Lời giải trình bày như thế có sai sót gì không?… Chính điều đó làmcho học sinh lúng túng khi giải toán và không hứng thú học dẫn đến kết quảhọc tập chưa cao, đa số học sinh thường không giải được bài toán dù khôngkhó hoặc còn gặp sai lầm, lời giải sai sót Từ đó kéo theo việc học sinh họcyếu môn Hình Học ở lớp 12 nói chung và việc giải quyết bài toán tính thể tích

đa diện nói riêng Bên cạnh đó, khi giảng dạy bài toán tính khoảng cách nếungười dạy không có sự nghiên cứu kỹ lưỡng sẽ khiến học sinh khó tiếp thu,kết quả giảng dạy không cao

2.3 Các sáng kiến và giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

Để giải quyết thực trạng trên, khi giảng dạy học sinh giải bài toán tínhkhoảng cách trong nội dung Chương III, Hình Học 11, tôi đã nghiên cứu đưa

ra các dạng toán và phương pháp giải, sắp xếp một cách hợp lý, sau đó hướngdẫn học sinh một cách tỉ mỉ, có ví dụ cụ thể để học sinh nắm được Đồng thờihình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán thông qua hệ thống bài tập luyệntập và bài tập tự luyện được lựa chọn cẩn thận Sau đây là các dạng toán cơbản, phương pháp giải, hệ thống ví dụ, bài tập mà tôi đã áp dụng để giúp họcsinh giải quyết tốt bài toán tính khoảng cách trong chương trình Hình Học 11

Trước hết, tôi phân chia thành bốn dạng toán về tính khoảng cách vàsắp xếp theo thứ tự, đó là:

H KP

I

Sau đó, tôi hướng dẫn học sinh lần lượt nắm vững phương pháp giải vàhình thành, rèn luyện kỹ năng giải các dạng toán đó Để đưa ra các dạng toán

và phương pháp giải tôi đã tự nghiên cứu, đúc rút kinh nghiệm, kết hợp vớitham khảo trong [2], [3] Cụ thể như sau:

2.3.1 Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Xét bài toán: Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).

Trước hết, giáo viên phân tích để học sinh thấy đa số bài toán tínhkhoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng sẽ có giả thiết liên quan đến mộthình chóp hoặc có thể quy bài toán liên quan đến một hình chóp Vì vậy ta xétbài toán trong 3 trường hợp sau:

Trường hợp 1: Điểm M trùng với chân đường cao của hình chóp và (P) là một mặt bên của hình chóp.

Giáo viên giới thiệu trường hợp cụ thể, xem là Bài toán gốc 1:

Xét hình chóp S.ABC, có SA vuông góc với đáy (ABC) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).

Phương pháp: (Xác định trực tiếp đường thẳng đi qua A và vuông góc với

mặt phẳng (SBC)).

Thực hiện theo các bước như sau:

- Bước 1: Kẻ đường thẳng AK vuông góc

với BC tại K

(Giáo viên nhấn mạnh BC là giao tuyến

của mặt đáy (ABC) và mặt (SBC)).

- Bước 2: Kẻ đường thẳng AH vuông góc

Lưu ý: Nếu bài toán chưa cho sẵn chân đường cao, giáo viên cần hướng dẫn

học sinh tìm chân đường cao Khi đó giáo viên cần củng cố và hướng dẫn họcsinh vận dụng các tính chất sau:

1) Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia [1].

2) Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó [1].

3) Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao của hình chóp đó trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy của nó.

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam

giác SAB đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD) Gọi M là

trung điểm cạnh AB Tính theo a các khoảng cách sau:

Hướng dẫn: Chứng minh M là chân đường cao Từ đó tính d M SBC( ,( )),

d M SCD theo các bước của Bài toán gốc 1.

Lời giải:

a) Ta có SM ⊥ AB (do tam giác SAB đều)

Mà (SAB) ⊥ (ABCD), (SAB) ( ∩ ABCD) = AB

nên SM ⊥ (ABCD) Suy ra M là chân đường

cao của hình chóp S.ABCD

Ta thấy (SBC) ( ∩ ABCD) =BC nên:

- Kẻ MK1 vuông góc với BC tại K1

Suy ra K1 trùng với B (do AB⊥ BC)

- Kẻ MH1 vuông góc với SB tại H1

Khi đó MH1 ⊥SB và MH1 ⊥BC (do BC ⊥ (SAB)

b) Ta thấy (SCD) ( ∩ ABCD) =CD nên:

- Kẻ MK2 vuông góc với CD tại K2 Suy ra K2 là trung điểm CD (doMK2 / /BC)

- Kẻ MH2 vuông góc với SK2 tại H2 Suy ra d M SCD( ,( )) =MH2.

Phương pháp: (Tính gián tiếp thông qua phương pháp đổi điểm).

Giả sử A là chân đường cao của hình chóp

Giáo viên hướng dẫn học sinh đưa trường

hợp 2 về trường hợp 1 bằng phương pháp đổi

điểm M về A như sau:

- Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng MA và

mặt phẳng (P)

- Nếu MA // (P), theo Tính chất 1 (trang 2)

ta có: d M P( ,( )) =d A P( ,( )).

(Gọi là phương pháp đổi điểm song song).

- Nếu MA cắt (P) tại I, theo Tính chất 2 (trang

(Gọi là phương pháp đổi điểm cắt nhau).

Nhận xét: Phương pháp đổi điểm giúp ta chuyển bài toán tính d M P( ,( )) vềbài toán tính d A P( ,( )), trong đó A là điểm mà việc thực hiện tính khoảng cáchtới (P) thuận lợi hơn so với M Thông thường A là chân đường cao hoặc Athuộc mặt đáy của hình chóp

S

A

D

B M

K P

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a,

AC a= , SA⊥ (ABCD), góc giữa cạnh SB và mặt đáy (ABCD) bằng 600 Gọi

G là trọng tâm tam giác SAB Tính theo a các khoảng cách sau:

a) d B SCD( ,( )) b) d O SCD( ,( )) c) d G SCD( ,( ))

Hướng dẫn: A là chân đường cao nên tính được d A SCD( ,( )) theo các bước

của Bài toán gốc 1 Vì vậy để tính d B SCD( ,( )), d O SCD( ,( )), d G SCD( ,( )) cầntính theo d A SCD( ,( )) bằng cách đổi các điểm B, O, G về A Đối với điểm G,

do việc xét vị trí tương đối giữa GA với (SCD) gặp khó khăn nên cần đổi Gqua một điểm trung gian thuộc mặt đáy của hình chóp, sau đó đổi về A

Lời giải:

a) Ta có A là chân đường cao của hình chóp

BA // CD, CD ⊂ (SCD) nên BA // (SCD).

Suy ra d B SCD( ,( )) =d A SCD( ,( ))

Do (SCD) ( ∩ ABCD) =CD nên ta thực hiện:

- Kẻ AK vuông góc với CD tại K

Suy ra K là trung điểm CD và 3

600 Do đó trong tam giác SAB, ta có SA AB= tan 60 0 =a 3

Ví dụ 3 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu

vuôg góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AB, góc giữa đườngthẳng A’C và đáy bằng 600 Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt

M

.G

Hướng dẫn: Cần gắn bài toán vào một hình chóp hợp lý (Gợi ý: Sao cho hình

chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) là chân đường cao và (ACC’A’) là mặtphẳng chứa mặt bên của hình chóp này) Sau đó sử dụng phương pháp đổiđiểm để đổi điểm B về chân đường cao

Lời giải:

Gọi M là trung điểm AB thì

A’M ⊥ (ABC) và M là chân đường cao

của hình chóp A’.ABC

Suy ra hình chiếu của A’C lên (ABC) là

CM nên góc giữa A’C và (ABC) là góc

- Kẻ MK vuông góc với AC tại K

- Kẻ MH vuông góc với A’K tại H

Suy ra MH ⊥ (ACC’A’) nên d M ACC A( ,( ' ')) =MH

Khi đó ta xét một trường hợp cụ thể, xem là Bài toán gốc 2 như sau:

Xét hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy (ABC) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).

Phương pháp: (Trực tiếp xác định đường thẳng đi qua C và vuông góc với

mặt phẳng (SAB)).

Thực hiện theo các bước như sau:

- Bước 1: Kẻ CH vuông góc với AB tại H.

(Giáo viên nhấn mạnh AB là giao tuyến

của mặt đáy (ABC) và mặt bên (SAB)).

- Bước 2: Chứng minh CH ⊥ (SAB)

Thật vậy, ta có CH ⊥SA (do SA⊥ (ABC))

và CH ⊥ AB nên CH ⊥ (SAB)

- Bước 3: Tính CH.

Lưu ý: Nếu điểm M không thuộc mặt đáy của hình chóp thì sử dụng phương

pháp đổi điểm, đổi M về một điểm thuộc mặt đáy của hình chóp

A

B

C M

Ví dụ 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi Biết rằng tứ diện

SABD là tứ diện đều cạnh a Gọi G là trọng tâm tam giác SAB Tính theo a:

a) d B SAC( ,( )) b) d G SAC( ,( ))

Hướng dẫn: Hình chóp không có sẵn đường cao nên cần xác định đường cao

với lưu ý sử dụng giả thiết tứ diện SABD đều, khi đó sẽ thấy (SAC) chứađường cao của hình chóp Do B thuộc mặt đáy của hình chóp nên sử dụng

trực tiếp các bước của Bài toán gốc 2 Điểm G không thuộc mặt đáy của hình

chóp nên đổi về một điểm thuộc mặt đáy

- Kẻ BH vuông góc với AC tại H thì

H chính là giao điểm của BD và AC

(do ABCD là hình thoi)

- Khi đó BH ⊥SO (do SO⊥ (ABCD))

6

a

d G SAC =

Lưu ý: Có thể tính d I SAC( ,( )) trực tiếp như sau: Kẻ IK vuông góc với AC tại

K Khi đó IK // BD nên K là trung điểm AH và d I SAC( ,( )) =IK

Ví dụ 5 Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật,

AB a= , AD a= 3 Hình chiếu vuông góc của A1 lên (ABCD) trùng với giaođiểm của AC và BD Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng

600 Tính theo a khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) [6]

Hướng dẫn: Cần tìm cách gắn bài toán với một hình chóp phù hợp Giáo viên

có thể gợi ý học sinh theo các bước sau:

- Gọi O = AC ∩ BD thì A1O ⊥ (ABCD) và (A1BD) chứa A1O

- Từ đó cần tìm hình chóp có đường cao là A1O và (A1BD) là mặt bên

C I

.G K

- Sau khi đã tìm được hình chóp phù hợp, xét xem B1 có thuộc mặt đáy củahình chóp này không? Nếu không hãy sử dụng phương pháp đổi điểm chuyển

B1 về một điểm thuộc mặt đáy của hình chóp (có thể đổi điểm song song hoặc đổi điểm cắt nhau).

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD thì A1O ⊥ (ABCD)

Xét hình chóp A1.ABD có O là chân đường cao và mặt bên (A1BD) chứađường cao A1O

Gọi I là giao điểm của A1B và AB1 thì B1A ∩ (A1BD) = I

Vậy d B A BD( ,( 1 1 )) =d A A BD( ,( 1 )) 3

2

a AH

- Biết phát hiện và gắn bài toán vào hình chóp phù hợp thuộc một trong ba trường hợp trên (nếu như đề bài chưa cho sẵn).

- Phát hiện chân đường cao của hình chóp.

Hai điều trên chính là chìa khoá giúp học sinh giải quyết tốt bài toántính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Từ đó làm tiền đề giúp họcsinh giải quyết tốt các dạng toán tính khoảng cách tiếp theo

I

H

H1