Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải và sáng tạo bài toán mới về nội dung Phương trình lượng giác xây dựng từ đẳng thức lượng giác

Việc học sinh có thói quen lật đi lật lại vấn đề, tư duy mở rộng, đặt ra bài toán mới sẽ giúp họ thu được những điều quan trọng hơn lời giải rất nhiều: đó là nhận ra đâu là những kĩ thuậ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

HOÀNG THỊ HIỀN

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI VÀ SÁNG TẠO

BÀI TOÁN MỚI VỀ NỘI DUNG “PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

XÂY DỰNG TỪ ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC”

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH :LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số:601410

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Vũ Lương

HÀ NỘI – 2012

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm………

Danh mục viết tắt……… ii

Mục lục……… iii

MỞ ĐẦU……… 1

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN……… 5

1.1 Hướng dẫn học sinh giải toán……… 5

1.1.1 Vị trí và chức năng của bài tập toán học……… 5

1.1.2 Cách dạy bài tập toán học……… 6

1.1.3 Phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn……… 9

1.1.4 Phương pháp dạy học giải quyết vấn đề……… 12

1.1.5 Phương pháp dạy học theo dự án……… 14

1.1.6 Dạy học theo phương pháp hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu…… 18

1.2 Sáng tạo bài toán mới……… 20

1.2.1 Một số khái niệm về sáng tạo……… 20

1.2.2 Khái niệm và ví dụ về bài toán mới……… 22

1.2.3 Hướng dẫn học sinh sáng tạo bài toán mới……… 23

1.3 Thực tiễn việc dạy học Toán hiện nay……… 24

Kết luận chương 1……… 27

Chương 2: HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN MỚI VỀ NỘI DUNG “ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC XÂY DỰNG TỪ ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC” ………

28 2.1 Một số kiến thức liên quan……… 28

2.1.1 Đẳng thức của các hàm số lượng giác đối với các góc trong tam giác … 28 2.1.2 Một số phương pháp xây dựng đẳng thức lượng giác……… 32

2.1.3 Xây dựng đẳng thức lượng giác trong tam giác từ đẳng thức lượng giác

42 2.2 Hướng dẫn học sinh sáng tạo bài toán mới……… 44

2.2.1 Xây dựng phương trình lượng giác từ những đẳng thức lượng giác đối với những góc trong tam giác………

44 2.2.2 Xây dựng phương trình lượng giác từ đẳng thức lượng giác……… 50 2.2.3 Xây dựng một số bài toán lượng giác khác từ đẳng thức lượng giác 50

2.3 Hướng dẫn học sinh giải toán……… 62

2.3.1 Giải một số bài toán dùng đẳng thức lượng giác trong tam giác… 62

2.3.2 Giải một số bài toán lượng giác dùng các đẳng thức lượng giác… 71

Kết luận chương 2……… 77

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM……… 78

3.1 Mục đích thực nghiệm……… 78

3.2 Nội dung thực nghiệm……… 78

3.3 Tổ chức thực nghiệm……… 90

3.3.1 Đối tượng thực nghiệm……… 90

3.3.2 Thời gian thực nghiệm……… 91

3.3.3 Phương pháp thực nghiệm……… 91

3.4 Đánh gía thực nghiệm……… 91

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ……… 92

1.Kết luận……… 92

2.Khuyến nghị……… 93

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 94

PHỤ LỤC……… 95

TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nghị quyết Trung ương 8 (Khóa IX) của Đảng xác định: “Cùng với giáo dục đào tạo, nghiên cứu khoa học là quốc sách hàng đầu” Công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước đặt ra những yêu cầu mới về nguồn lao động chất lượng cao, trong đó có đội ngũ giáo viên ở các cấp học, bậc học, từ giáo dục phổ thông đến giáo dục đại học, sau đại học

Môn Toán là một trong những môn học rất quan trọng trong trương trình giáo dục THPT Mục đích của việc đổi mới phương pháp dạy và học nói chung, môn toán trường THPT nói riêng là khuyến kích tính tích cực, chủ động, khắc phục thói quen học tập thụ động của học sinh Nói cách khác, học sinh được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo Đổi mới phương pháp dạy và học môn toán góp phần trực tiếp nâng cao chất lượng giáo dục nói chung, giáo dục trung học phổ thông nói riêng

Ở trường THPT dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh, trong đó giải toán là đặc trưng chủ yếu trong hoạt động toán học của học sinh Trong quãng đời đi học đến THPT, chắc chắn mỗi học sinh đã từng giải rất nhiều bài toán Khi đứng trước những bài toán khó, nhiều học sinh thường tự đặt cho mình những câu hỏi, như ai đã sáng tạo ra bài toán này, phương hướng giải bài toán này ra sao, mình có thể giải được bài toán này không, mình có sáng tạo được bài toán mới không Đó là biểu hiện ban đầu của sự sáng tạo trong giải toán và sáng tạo bài toán mới Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ngoài việc trang bị tốt kiến thức cơ bản cho học sinh, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết cách khai thác, mở rộng kết quả các bài toán cơ bản để học sinh suy nghĩ, tìm tòi những kết quả mới sau mỗi bài toán hoặc biết sáng tạo ra những bài toán mới từ những kiến thức liên quan Các bài toán là sản phẩm sáng tạo của một cá

nhiều bài toán trước đó Việc học sinh có thói quen lật đi lật lại vấn đề, tư duy

mở rộng, đặt ra bài toán mới sẽ giúp họ thu được những điều quan trọng hơn lời giải rất nhiều: đó là nhận ra đâu là những kĩ thuật chính thay vì học thuộc hết các chi tiết một cách vô nghĩa, qua đó giải thích được vì sao giải như vậy và cao hơn

là trả lời câu hỏi vì sao người ta sáng tạo ra bài toán

Tuy nhiên, trong thực tế không nhiều giáo viên và học sinh làm được điều

đó Nhiều GV dạy toán hiện nay chưa có thói quen khai thác một bài toán thành một chuỗi bài toán liên quan, chưa quan tâm đến việc xây dựng bài toán mới Trong giải toán, giáo viên và học sinh chỉ dừng lại ở việc tìm ra kết quả của bài toán mà chưa hề biết tới tác giả ra đề đã xây dựng bài toán đó như thế nào và đâu mới là cái gốc của bài toán Điều đó làm cho học sinh khó tìm được mối liên hệ giữa các kiến thức đã học Vì vậy, khi bắt đầu giải một bài toán mới, học sinh không biết phải bắt đầu tư đâu, cần vận dụng kiến thức nào, từ đâu có bài toán này, nội dung bài toán có liên quan đến những bài toán và kiến thức nào đã gặp Trong quá trình dạy toán và bồi dưỡng học sinh giỏi toán tôi thấy rằng, việc tìm tòi mở rộng càc bài toán quen thuộc thành các bài toán mới, tìm các cách giải khác nhau cho một bài toán để từ đó khắc sâu kiến thức cho học sinh là một phương pháp khoa học và hiệu quả Quá trình này bắt đầu từ càc bài toán đơn giản đến bài tập khó, sáng tạo ra bài toán mới từ những kiến thức cơ bản là bước

đi phù hợp để rèn luyện năng lực tư duy cho HS Một điều chắc chắn rằng việc tìm tòi, mở rộng các bài toán sẽ tăng hứng thú học tập và óc sáng tạo của học sinh Từ đó giúp học sinh có cơ sở khoa học khi phân tích, định hướng giải các bài toán khác Hơn nữa, phương pháp này cũng giúp học sinh củng cố lòng tin vào khả năng học toán của mình Làm được như vậy, giáo viên đã nhen nhóm lên trong các em học sinh một tình yêu toán học và phần nào minh hoạ cho ý tưởng dạy toán là dạy cho học sinh biết sáng tạo

Xuất phát từ những lý do trên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải và sáng tạo bài toán mới về nội dung “ Phương trình lượng giác xây dựng từ đẳng thức lượng giác”

2 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

Thứ nhất, chỉ ra các phương pháp hướng dẫn học sinh giải bài tập toán học nói chung và áp dụng vào hướng dẫn học sinh ở nội dung cụ thể là: Phương trình lượng giác được xây dựng từ đẳng thức lượng giác

Thứ hai, chỉ ra phương pháp hướng dẫn học sinh sáng tạo bài toán mới nói chung và áp dụng vào hướng dẫn học sinh ở nội dung cụ thể là: Phương trình lượng giác xây dựng từ đẳng thức lượng giác

3 Phạm vi nghiên cứu của đề tài

Đề tài tập trung nghiên cứu phương pháp hướng dẫn học sinh giải và sáng tạo bài toán về nội dung phương trình lượng giác chứa đẳng thức lượng giác

4 Giả thuyết nghiên cứu của đề tài

Nếu vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực để hướng dẫn học

sinh giải và sáng tạo bài toán mới về nội dung “ Phương trình lượng giác xây dựng từ đẳng thức lượng giác” sẽ kích thích tư duy sáng tạo và sự say mê tìm tòi khám phá của học sinh

5 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

5.1 Đối tượng nghiên cứu

Phương pháp hướng dẫn học sinh giải và sáng tạo bài toán mới về nội dung phương trình lượng giác chứa đẳng thức lượng giác

5.2 Khách thể nghiên cứu:

Vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực để hướng dẫn học sinh giải và sáng tạo bài toán mới

6 Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu tài liệu:

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về: Khái niệm và vị trí chức năng của bài tập toán học, phương pháp dạy học toán, khái niệm về sáng tạo và sáng tạo bài toán mới

- Nghiên cứu các tài liệu toán học về nội dung lượng giác, phương trình lượng giác

+ Phương pháp thực nghiệm, hỏi ý kiến chuyên gia…

7 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, luận văn gồm có ba chương: Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài

Chương 2 Hướng dẫn học sinh giải và sáng tạo bài toán mới về nội dung “ Phương trình lượng giác xây dựng từ đẳng thức lượng giác”

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Hướng dẫn học sinh giải toán

1.1.1 Vị trí và chức năng của bài tập toán học

Dạy toán ở trường phổ thông là dạy hoạt động toán học cho học sinh,

trong đó giải toán có một vị trí quan trọng trong dạy học toán nhằm đạt nhiều mục đích khác nhau thể hiện ở các chức năng:

- Chức năng dạy học:

+ Bài tập nhằm hình thành, rèn luyện và củng cố kỹ năng, kỹ xảo những vấn

đề lý thuyết đã học (khái niệm, định lý, quy tắc…) Qua đó học sinh hiểu sâu hơn và biết vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải quyết các tình huống cụ thể trong thực tiễn, kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn

+ Bài tập có khi là một định lý, trong đó có những định lý không đưa vào

lý thuyết Do đó qua việc giải bài tập học sinh mở rộng được tầm hiểu biết của mình

- Chức năng giáo dục: Qua việc giải bài tập mà bồi dưỡng, hình thành những phẩm chất của người lao động mới

- Chức năng phát triển: Bài tập giúp phát triển năng lực tư duy cho học sinh như tư duy phê phán, tương đối thoại, tư duy sáng tạo và kỹ năng tư duy để giải quyết vấn đề, rèn luyện những thao tác trí tuệ

- Chức năng kiểm tra: Bài tập giúp đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đấnh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh

Giải toán nói chung và việc giải một bài toán nói riêng một cách đích thực không phải chỉ là ghi nhớ cách tìm ra đáp số cho những bài toán có sẵn Giải toán đích thực là ứng dụng toán để giải quyết các vấn đề của cuộc sống

Những yêu cầu chủ yếu đối với lời giải bài tập

Để phát huy được tác dụng của bài tập toán học, chúng ta cần đạt được các yêu cầu chủ yếu sau:

- Lời giải không có sai lầm Học sinh phạm sai lầm trong khi giải bài tập thường do ba nguyên nhân sau:

+ Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái niệm, giả thiết hay kết luận của định lý

+ Sai sót về phương pháp suy luận

+ Sai sót do tính sai, sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai

Do đó giáo viên cần:

+ Tập cho học sinh có thói quen kiểm tra lại lời giải

+ Đưa cho học sinh một lời giải sai của một bài toán và yêu cầu học sinh thảo luận tìm nguyên nhân và giải lại cho đúng

+ Tìm ra nhiều lời giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất Đây là yêu cầu cao đối với học sinh Giáo viên nên khuyến khích học sinh, giúp đỡ, tạo điều kiện để các em phát huy được khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề

Như vậy quá trình giải một bài toán là đi tìm kiếm một lối thoát ra khỏi khó khăn hoặc một con đường vượt qua trở ngại Đó chính là quá trình đạt tới một mục đích mà thoạt nhìn thì dường như không thể đạt được ngay Giải toán là khả năng riêng biệt của trí tuệ, còn trí tuệ chỉ có ở con người Vì vậy giải toán có thể xem như một trong những biểu hiện đặc trưng nhất trong hoạt đông của con người

1.1.2 Cách dạy bài tập toán học

1.1.2.1 Cách dạy bài tập toán theo quan điểm kiến tạo

Theo quan điểm của lý thuyết kiến tạo thì để giải một bài tập toán học thường trải qua các khâu: Tìm hiểu bài toán- Dự đoán cách giải- Kiểm nghiệm- Củng cố

Trước một bài tập toán, sau khi giáo viên nêu vấn đề, giáo viên cho học sinh thảo luận để tìm hiểu bài toán GV hướng dẫn cho HS phương pháp phân tích đề bài để hiểu rõ nội dung, phân biệt được cái đã cho, cái phải tìm, điều kiện cho trước có đủ để xác định ẩn hay không Tiếp đó, giáo viên gợi ý để học sinh

đề xuất các phán đoán để xây dựng chương trình giải bài tập đó Đây là bước giáo viên tổ chức cho học sinh trao đổi, thảo luận, đánh giá về các phấn đoán đã đưa ra, lựa chọn phán đoán, phương pháp giải thích hợp Trong giai đoạn này, người giáo viên cho yêu cầu đại diện học sinh hoặc nhóm học sinh lên trình bày quan điểm, đường lối giải của nhóm mình, các học sinh khác lắng nghe, theo dõi,

so sánh đối chiếu với lời giải của mình, bổ sung hoặc bác bỏ nếu thấy cần thiết Tiếp theo giáo viên tổ chức và điều khiển cho học sinh trong lớp trao đổi

để kiểm nghiệm lời giải bài toán bằng các lập luận lôgic, khoa học Giáo viên có thể gợi ý học sinh bằng cách đặt ra các câu hỏi như:

- Các em có thể kiểm tra lại kết quả không?

- Các em có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán đó không?

- Các em có thể tìm được một lời giải khác không?

- Các em có thể sử dụng một kết quả hay một phương pháp đó cho một lớp các bài toán khác không?

- Từ lời giải bài toán này các em có thể phân loại được các dạng toán tổng quát không?

Đây là bước rất quan trọng, mục đích của việc kiểm nghiệm lời giải để xem xét xem mức độ đạt được về tri thức, kỹ năng, thái độ của học sinh sau khi học lý thuyết vận dụng vào làm bài tập Từ bước này cũng chuẩn bị cho học ssinh có tâm thế tốt giúp việc tổ chức dạy học những phần kiến thức tiếp theo được tốt Sau khi kiểm nghiệm lời giải và chọn được cách giải thích hợp giáo viên tiếp tục cho học sinh củng cố kiến thức cần phải biết, những điều lưu ý quan

hành sử dụng các bài kiểm tra ngắn để thu thập các thông tin phản hồi từ phía học sinh một cách chính xác

1.1.2.2 Quy trình giải một bài toán theo bốn bước của Polya

Giải một bài toán theo bốn bước của Polya là giải một bài toán theo quy trình chuẩn Vì vậy, với một bài toán lượng giác việc chọn hướng biến đổi như thế nào để đưa về bài toán đơn giản hơn là điều quan trọng

Thực tiễn đã chứng minh, một phát minh khoa học lớn cho phép giải quyết một vấn đề lớn, nhưng ngay cả trong một bài toán cũng có ít nhiều phát minh Giải một bài toán không chỉ là một hoạt động đơn thuần là tìm ra đáp án, mà những vấn đề do bài toán đặt ra sẽ khơi gợi trí tò mò và buộc người giải nó phải sáng tạo, và nếu tự mình giải được bài toán đó thì người giải toán cùng niềm vui thắng lợi sẽ nhận thức được sự quyến rũ của sáng tạo Những cảm xúc như vậy đến một mức độ nào đó có thể kích thích sự ham thích công việc trí óc và mãi mãi để lại dấu vết trong cá tính người làm toán

Khi học sinh đã có sự đam mê đối với toán học, GV sẽ hướng dẫn học sinh phương pháp học tập hiệu quả Theo Polya, để học sinh tự tìm được lời giải bài toán, người thầy cần hướng dẫn học sinh cách giải bài tập theo bốn bước sau đây:

Bước 1: Hiểu rõ bài toán

- Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện ? Có thể thoả mãn điều kiện hay không ? Điều kiện có đủ để xác định ẩn hay không, hay chưa đủ, hay thừa, hay có mâu thuẫn ?

- Vẽ hình (nếu có), sử dụng kí hiệu hợp lý

- Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện Có thể biểu diễn các

phần đó thành công thức không ?

Bước 2 : Xây dựng chương trình giải

- Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa ? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng hơi khác ?

- Bạn có biết một bài toán nào có liên quan hay không ? Một định lý có thể

dùng được không ?

- Xét kỹ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn

hay có ẩn tương tự

- Đây là một bài toán có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi có thể sử dụng

nó hay không ? Có thể sử dụng kết quả cuả nó hay không ? Có cần phải đưa

thêm một số yêu tố phụ thì mới sử dụng nó được nó không ?

- Có thể phát biểu bài toán một cách khác không ?

- Nếu bạn chưa giải được bài toán đề ra hãy thử giải một bài toán có liên

quan mà dễ hơn không ?

- Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện chưa ? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu

của bài toán chưa ?

Bước 3 : Thực hiện chương trình giải

- Khi thực hiện chương trình giải hãy kiểm tra từng bước bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa ? Bạn có thể chứng minh là nó đúng không ?

- Bạn có thể kiểm tra tính đúng sai của kết quả này không ?

Bước 4 : Khảo sát lời giải đã tìm được

- Bạn có thể kiểm tra lại kết quả ? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán không ? Có thể tìm được kết quả một cách khác không ? Có thể thấy trực tiếp kết quả không ?

- Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài nào khác

không ?

Như vậy theo tư tưởng Polya, người thầy hướng dẫn học sinh vận dụng như thế nào vào việc giải toán cho linh hoạt và sáng tạo là một điều rất quan trọng

1.1.3 Phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn

1.1.3.1 Hoạt động của giáo viên trong dạy học khám phá có hướng dẫn

+ Vấn đề học tập chứa nội dung kiến thức mới là gì?

+ Tại sao lựa chọn vấn đề này mà không lựa chọn vấn đề khác trong bài giảng? + Vấn đề được lựa chọn liệu khả năng học sinh có khám phá được không? Giáo viên định hướng các hoạt động tư duy đặc trưng cần thiết ở học sinh là

gì trong quá trình giải quyết vấn đề, hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh…Định hướng tư duy cho học sinh chính là ưu việt của phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn so với các PPDH khác

- Vấn đề học tập

Trong nội dung của bài giảng có chứa đựng nhiều vấn đề học tập, trong đó

có vấn đề trọng tâm là cơ sở để nhận thức các vấn đề khác Dạy học khám phá có hướng dẫn thường được vận dụng để học sinh giải quyết các vấn đề nhỏ, từ đó phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh Vì vậy, lựa chọn vấn đề

là yếu tố quan trọng để đảm bảo thành công PPDH này

Khi lựa chọn vấn đề học tập cần chú ý một số nội dung sau:

+ Vấn đề trọng tâm chứa đựng thông tin mới

+ Vấn đề thường đưa ra dưới dạng câu hỏi hoặc bài tập nhỏ

+ Vấn đề học tập phải vừa sức với học sinh và tương ứng với thời gian làm việc

Trong thực tế, để dạy học khám phá có hướng dẫn có tính năng rộng rãi thì vấn đề đưa ra thường ngắn gọn và thờì gian học sinh làm việc từ 5 đến 10 phút Chúng ta sẽ áp dụng những tiết học có nội dung ngắn gọn và sử dụng quỹ thời gian kiểm tra và củng cố bài Nếu vấn đề học tập có vấn đề bao trùm nội dung tiết học và học sinh đã có thói quen tích cực hợp tác theo nhóm thì giáo viên tổ chức cho học sinh khám phá theo trình tự bốn bước của Polya

- Phân nhóm học sinh

Trong quá trình giáo viên phân nhóm học sinh cần lưu ý một số điều kiện sau đây:

+ Sự phân nhóm đảm bảo cho các thành viên đối thoại và giáo viên di chuyển thuận lợi để bao quát lớp và đối thoại với trò

+ Số lượng học sinh mỗi nhóm tuỳ theo nội dung của vấn đề, đồng thời đảm bảo sự hợp tác tích cực giữa các thành viên trong nhóm

+ Chú ý khả năng nhận thức của học sinh trong mỗi nhóm để đảm bảo sự hợp tác mang lại hiệu quả

1.1.3.2 Hoạt động của nhóm học sinh trong dạy học khám phá có hướng dẫn

Mỗi nhóm có suy nghĩ, giải pháp riêng trong giảỉ quyết các vấn đề do bài toán đặt ra Sau đó các thành viên trao đổi, tranh luận để tìm ra quan điểm chung trong tiến trình khám phá vấn đề Tuy nhiên, vẫn có thể tồn tại những ý kiến cá nhân chưa được thống nhất

Mỗi nhóm trình bày tóm tắt nội dung của vấn đề được phát hiện Trên cơ

sở đó có sự tranh luận giữa các nhóm về kết quả khám phá dưới sự chỉ đạo của giáo viên Trong quá trình này, giáo viên đóng vai trò như một trọng tài lựa chọn, phán đoán, kết luận đúng của các nhóm để hình thành tri thức mới

Như vậy, vấn đề cơ bản trong phương pháp dạy học này là giáo viên tạo tình huống hướng dẫn học sinh khám phá tri thức mới, bằng cách đưa ra một số

học sinh giải toán, giáo viên có thể vận dụng phương pháp này một cách hiệu quả

1.1.4 Phương pháp dạy học giải quyết vấn đề

PPDH giải quyết vấn đề là phương pháp trong đó GV đặt ra trước học sinh một (hay hệ thống) vấn đề nhận thức, đua học sinh vào tình huống có vấn đề, sau

đó GV phối hợp cùng học sinh (hoặc hướng dẫn, điều khiển HS) giải quyết vấn

đề, đi đến những kết luận cần thiết của nội dung học tập PPDH này được tiến hành theo một trình tự gồm: Đặt vấn đề và chuyển học sinh vào tình huống có vấn đề; giải quyết vấn đề; kết luận

PPDH giải quyết vấn đề không phải chỉ sử dụng đối với tiết bài mới trên lớp, mà còn được sử dụng để củng cố, ôn tập và học bài ở nhà của HS; có thể thực hiện xen kẽ hay kết hợp với các PPDH khác cũng có thể chỉ sử dụng trong một số nội dung của bài, không nhất thiết phải sử dụng toàn bài

PPDH giải quyết vấn đề có những đặc trưng cơ bản sau:

- Đặc trưng cơ bản nhất của PPDH này là tình huống có vấn đề (chứa đựng nội dung cần xác định, nhiệm vụ cần giải quyết, vướng mắc cần tháo gỡ, tức là những mâu thuẫn cần giải quyết)

- Quá trình dạy học theo phương pháp này được chia thành những bước, những giai đoạn có tính mục đích chuyên biệt

- Quá trình dạy học theo phương pháp này bao gồm nhiều hình thức tổ chức

đa dạng, lôi cuốn học sinh tham gia

Các bước chủ yếu của PPDH giải quyết vấn đề

Về cơ bản, DH giải quyết vấn đề gồm những bước chủ yếu sau:

Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề

Ở bước này, tình huống gợi vấn đề được tạo ra: chính học sinh phát hiện vấn đề (có thể với sự giúp đỡ của GV thông qua biện pháp gợi mở, nêu vấn đề), hoặc GV trình bày quá trình phát hiện vấn đề Ở mức độ thấp hơn, GV chỉ nêu

vấn đề cần giải quyết, cần phải làm cho học sinh hiểu đúng vấn đề được đặt ra và mục đích giải quyết vấn đề

Bước 2: Giải quyết vấn đề

Để tìm giải pháp giải quyết vấn đề, học sinh cần phải phân tích vấn đề, làm

rõ mối liên hệ giữa các dữ kiện đã có với cái cần đạt được, giữa các dữ kiện đó với nhau, giữa chúng với những tri thức toán học đã có v.v…Từ đó đề xuất một phương hướng giải quyết vấn đề

Phân tích phương hướng được đề xuất, nều cần thì phải điều chỉnh, thậm chí bác bỏ và tìm hướng giải quyết thích hợp hơn, hay chọn giải pháp tối ưu nhất trong những giải pháp đã nêu ra Cuối cùng là trình bày lời giải theo giải pháp đã lựa chọn

Bước 3: Kiểm tra đánh giá lời giải, kết quả và cách thức tìm kiếm lời giải Bước 4: Thể chế hóa kiến thức cần lĩnh hội

GV đánh giá vai trò ý nghĩa của kết quả đạt được, chuyển kiến thức mang tính chất cá nhân thành kiến thức chung, phát biểu nó dưới dạng một định nghĩa, định lý hay công thức có thể được vận dụng cho các trường hợp khác, nhấn mạnh các tri thức phương pháp có thể rút ra từ quá trình nghiên cứu và giải quyết vấn đề

Phương pháp dạy học giải quyết vấn đề có ưu điểm: Bồi dưỡng năng lực về

giải quyết vấn đề cho HS, giúp học sinh biết khoanh vấn đề, xác định rõ nguồn gốc và nội dung làm nảy sịnh vấn đề, xử lý những ý kiến bằng cách gắn bó những vấn đề, có khả năng thấy trước vấn đề và nghĩ ra chiến lược đáp ứng thích hợp; Phát triển tính tự lập nhận thức và tư duy sáng tạo cho HS; Rèn luyện cho học sinh làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học; Đảm bảo cho học sinh nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, ở trình độ vận dụng một cách sáng tạo, linh hoạt và có khả năng biến đổi cao; học sinh có thể thu được những kiến thức tốt

nhất, cập nhập nhất; Tính chủ động, tinh thần tự giác của người học được nâng cao; Động cơ học tập và tình thần trách nhiệm của học sinh được nâng cao

Phương pháp dạy học giải quyết vấn đề có nhược điểm đó là: hiệu quả sử

dụng của PPDH này còn tùy vào năng lực sư phạm của GV và trình độ nhận thức của HS Không thể sử dụng PPDH giải quyết vấn đề cho mọi nội dung dạy học

và loại bỏ hoàn toàn các PPDH truyền thống Vấn đề là phải tìm cách khai thác các PPDH ấy sao cho vẫn phát huy được tính tích cực của HS

Vì vậy, để áp dụng phương pháp này với cơ hội thành công cao đòi hỏi chúng ta phải tiến hành một loạt những chuyển đổi các hoạt động của HS từ tính thụ động sang tính tích cực chủ động và chuyển đổi các hoạt động của GV giữ vai trò khơi gợi, nêuc vấn đề và hướng dẫn HS; chuyển đổi mối quan hệ giữa vai trò của GV và HS; chuyển đổi hệ thống đánh giá HS; coi trọng thời gian tự học của HS như thời gian học trên lớp

1.1.5 Phương pháp dạy học theo dự án

Dạy học theo dự án là một hình thức giảng dạy hiệu quả hiện đại, gắn liền hoạt động giảng dạy với thực tiễn cuộc sống Đây là một mô hình giảng dạy rất hấp dẫn với học sinh, có tính xã hội hóa cao Mô hình giảng dạy này được nhiều nước có nền giáo dục tiên tiến như Mỹ, Anh, Singapore…quan tâm trong những năm gần đây Để hiểu rõ mô hình giảng dạy này, ta quan tâm đến một hoạt động

cụ thể sau đây:

 Từ thực tiễn xây dựng bài toán cần giải quyết của dự án (nội dung dự án) Ví dụ :“Một căn hộ mới xây cần lắp những ô cửa kính Có n loại ô cửa kính với kích thước (a kb k),k 1;n Cần chỉ rõ thuật toán cắt các tấm kính (2 3  ) cho trước sao cho phần thừa có diện tích nhỏ nhất”

 Xây dựng thuật toán giải quyết bài toán đặt ra của dự án

 Lập chương trình trên máy tính để tính toán hiệu quả của thuật toán

 Trình bày kết quả trước hội đồng

Những bài toán thực tế thường có nhiều phương án giải quyết khác nhau nên thuật toán tốt nhất tìm được kết quả tối ưu với thời gian chạy trên máy tính ít nhất

Tuy nhiên, trong hoạt động giảng dạy rất khó tìm các bài toán thực tế nên người ta thường xây dựng một mô hình giảng dạy cho những nội dung toán học

cụ thể mô tả tương tự

Mô hình cụ thể

a Nội dung giảng dạy

- Xác định rõ nội dung giảng dạy

- Đối tượng giảng dạy

- Xác định các nội dung liên quan

- Thời gian thực hiện dự án

b Chuẩn bị kiến thức cơ bản

- Cung cấp các kiến thức cần thiết cho học sinh để có thể thực hiện dự án

- Đề ra những mục tiêu mà học sinh cần đạt được trong dự án

- Tập hợp các bài toán và các phương pháp giải liên quan đến dự án

c Xây dựng tiến trình thực hiện dự án

- Bước 1: Trình bày nội dung dự án và phương pháp giải quyết (thầy giáo trình bày) trong thời gian từ 1-3 tiết

- Bước 2: Mỗi nhóm học sinh đọc tài liệu tham khảo, giải các bài toán thực hành, xây dựng các phương pháp giải (thời gian tự học ở nhà 2 -4 tuần)

- Bước 3: Học sinh trình bày các kết quả của dự án (mỗi nhóm trình bày trong 15 phút)

- Bước 4: Giáo viên đánh giá kết quả của từng dự án

- Bước 5: Rút kinh nghiệm để xây dựng dự án có hiệu quả nhất

 Đánh giá năng lực của học sinh trước khi bắt đầu dự án

- Kiểm tra kiến thức cơ bản cần thiết

- Kiểm tra năng lực giải quyết vấn đề của học sinh

- Xây dựng hợp đồng giảng dạy

 Đánh giá hiệu quả làm việc của học sinh trong thời gian thực hiện dự

án, bao gồm:

- Biên bản làm việc hàng ngày của từng nhóm

- Sản phẩm của dự án

- Phiếu đánh giá sản phẩm của dự án

- Những kết quả đặc biệt thu được từ dự án (các phương pháp mới, các bài tập sáng tạo)

 Đánh giá hiệu quả của dự án sau khi hoàn thành

- Những kinh nghiệm rút ra trong quá trình thực hiện dự án

- Những câu hỏi, những bài toán mở được đặt ra sau khi kết thúc dự án

- Đánh giá báo cáo tổng kết

e Nội dung dự án

Nội dung dự án có thể được điều chỉnh theo đối tượng giảng dạy (học sinh năng khiếu, học sinh giỏi, học sinh có năng khiếu tự nhiên, học sinh có khả năng tiếp thu bình thường) Muốn như vậy thì nội dung các bài giảng trong dự án

và các bài kiểm tra đánh giá phải được biên soạn linh hoạt có mức độ phức tạp khác nhau

 Nội dung các bài giảng luôn có hai phần:

- Phần cơ bản (dành cho mọi đối tượng)

- Phần nâng cao (dành cho học sinh năng khiếu)

 Nội dung các bài kiểm tra đánh giá gồm hai phần:

- Phần cơ bản (bao gồm các câu hỏi cơ bản)

- Phần nâng cao (gồm các bài toán khó, giàu thách thức)

f Công nghệ cần thiết cho dự án

Máy tính; thiết bị trình chiếu; máy quay video; phần mềm; sách tham khảo; tài liệu tham khảo trên internet

Đây là một hình thức dạy học quan trọng để thực hiện quan điểm dạy học định hướng vào người học, quan điểm dạy học định hướng hoạt động và quan điểm dạy học tích hợp Dạy học dự án góp phần gắn lý thuyết với thực hành, tư duy và hành động, nhà trường và xã hội, tham gia tích cực vào việc đào tạo năng lực làm việc tư lực, năng lực sáng tạo, năng lực giải quyết các vấn đề phức hợp, tinh thần trách nhiệm và khả năng cộng tác làm việc của người học

Ở Việt Nam, các đề án môn học, đề án tốt nghiệp từ lâu cũng đã được sử dụng trong đào tạo đại học, các hình thức này gần gũi với dạy học theo dự án Tuy nhiên, trong lĩnh vực lý luận dạy học, phương pháp dạy học này chưa được quan tâm nghiên cứu một cách thích đáng, nên việc sử dụng chưa đạt hiệu quả cao

Có nhiều quan niệm và định nghĩa khác nhau về dạy học theo dự án Dạy học dự án được nhiều tác giả coi là một hình thức dạy học vì khi thực hiện một

dự án, có nhiều phương pháp dạy học cụ thể được sử dụng Tuy nhiên, khi không phân biệt giữa hình thức và phương pháp dạy học, người ta cũng gọi là PP dự án, khi đó cần hiểu đó là PPDH theo nghĩa rộng, một phương pháp dạy học phức hợp

Dạy học theo dự án là một hình thức dạy học, trong đó người học thực hiện một nhiệm vụ học tập phức hợp, có sự kết hợp giữa lý thuyết và thực hành, có tạo ra các sản phẩm có thể giới thiệu Nhiệm vụ này được người học thực hiện với tính tự lực cao trong toàn bộ quá trình học tập, từ việc xác định mục đích, lập

kế hoạch, đến việc thực hiện dự án, kiểm tra, điều chỉnh, đánh giá quá trình và kết quả thực hiện Làm việc nhóm là hình thức cơ bản của dạy học dự án

Gắn liền lý thuyết với thực hành, tư duy và hành động, nhà trường và xã hội; kích thích động cơ, hứng thú học tập của người học; phát huy tính tích cực

tự lực, tính trách nhiệm của người học; rèn luyện năng lực giải quyết những vấn

đề phức hợp, tính bền bỉ, kiên nhẫn của người học, năng lực cộng tác làm việc của người học, năng lực đánh giá của người học; tăng tính chuyên cần, nâng cao tính tự lực và thái độ học tập cho người học sinh; kiến thức học sinh thu được tương đương hoặc nhiều hơn so với mô hình dạy học khác khi được tham gia vào

dự án học sinh sẽ trách nhiệm hơn trong học tập so với các hoạt động truyền thống khác trong lớp học; có cơ hội cho học sinh phát triển những kỹ năng phức hợp như tư duy bậc cao, giải quyết vấn đề, hợp tác và giao tiếp; có cơ hội rộng

mở hơn trong lớp học tạo ra chiến lược thu hút những học sinh thuộc các nền văn hóa khác nhau; tạo điều kiện cho học sinh tiếp xúc với các phương tiện dạy học, công nghệ thông tính hiện đại hỗ trợ quá trình học tập

1.1.6 Dạy học theo phương pháp hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu

Bản chất của dạy học theo phương pháp hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu là tổ chức quá trình người học lĩnh hội nội dung dạy học theo logic nghiên cứu khoa học Trình tự logic của nghiên cứu khoa học có thể mô hình hóa qua các giai đoạn cơ bản là: Phát hiện vấn đề nghiên cứu- Đặt giả thuyết - Lập phương án thuthập thông tin- Tổng hợp đánh giá kết quả Ở mỗi giai đoạn trong chuỗi trên

là hoạt động cùng nhau của cả người dạy và người học theo nguyên tắc: người dạy hướng dẫn, cố vấn, trợ giúp; người học chủ động tiến hành việc tìm kiếm, giải quyết vấn đề Các kỹ thuật dạy học khác nhau, từ tự nghiên cứu, quan sát, làm thực nghiệm đến thảo luận, thuyết trình, làm báo cáo…đều có thể được sử dụng trong dạy học theo phương pháp này Hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu theo nhóm là hình thức giảng dạy khó nhất nhưng hiệu quả nhất trong mô hình giảng dạy tiếp cận chuẩn quốc tế

Mô hình cụ thể

Mục tiêu:

- Học sinh hệ thống được hệ thống kiến thức môn học

- Học sinh thực hành giả nhiều bài toán khó để rèn luyện kỹ năng giải và sáng tạo toán học

- Học sinh phải tự tìm lời giải cho đề tài nghiên cứu của mình

Nhiệm vụ của giáo viên

- Xây dựng đề tài nghiên cứu

- Tổ chức các nhóm học sinh nghiên cứu có năng lực, kết quả học tập tốt

- Hướng dẫn tài liệu tham khảo và phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn

đề

- Giao nhiệm vụ và thời gian hoàn thành

- Hướng dẫn cách trình bày sản phẩm nghiên cứu của học sinh bao gồm:

+ Tóm tắt nội dung nghiên cứu: Nghiên cứu trong lĩnh vực nào và trong lĩnh vực này người ta thu được kết quả gì? Các nhóm học sinh đóng góp được gì trong hướng nghiên cứu này?

+ Các kiến thức cần thiết, liên quan được sử dụng để nghiên cứu hoàn thành vấn đề

+ Các kết quả chính thu được

+ Tài liệu tham khảo

Nhiệm vụ của học sinh

- Nhận đề tài và phân công nhiệm vụ cho từng thành viên trong nhóm (trưởng nhóm, thư kí, người sưu tầm tài liệu, người trình bày báo cáo, người giải quyết các bài toán chính trong đề tài)

- Lên kế hoạch nghiên cứu và tiến hành nghiên cứu

- Viết báo cáo khoa học

- Xây dựng báo cáo và tóm tắt trên powerpoint

Ưu điểm PPDH hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu:

HS có nhiều cơ hội nhất để rèn luyện tư duy ở mức độ cao (khái quát nhiều lời giải để xây dựng phương pháp, sáng tạo các bài tập mới), được làm việc tập thể (theo nhóm) phát huy được vai trò cá nhân của mình trong hoạt động tập thể; Rèn luyện các tố chất, khả năng cần thiết của một nhà khoa học tương lai (tự học, tự nghiên cứu); Tạo được niềm vui trong học tập (học sinh có kết quả nghiên cứu và lần đầu tiên được công nhận kết quả nghiên cứu của mình); Có cơ hội rèn luyện khả năng trình bày trước hội đồng giám khảo

PPDH hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu là hình thức gảng dạy khó:

GV phải có trình độ cao, nhiều kinh nghiệm mới có thể phát hiện đề tài nghiên cứu.; học sinh có trình độ, năng lực tốt mới có thể thực hiện thành công

đề tài nghiên cứu; Nội dung học của trường phải tiên tiến, cập nhật với tình hình thế giới và sâu sắc mới phát hiện ra đề tài mới

1.2 Sáng tạo bài toán mới

1.2.1 Một số khái niệm về sáng tạo

Sáng tạo (Creativity) là hoạt động tạo ra bất kỳ cái gì có đồng thời tính mới

và tính ích lợi Trong định nghĩa khái niệm này, từ "hoạt động" được dùng với nghĩa rất rộng, chứ không phải theo nghĩa hẹp - "hoạt động của riêng con người"

Đó chính là hoạt động tạo ra sự phát triển của bất kỳ đối tượng nào và sự phát triển là thuộc tính của vật chất (hiểu theo nghĩa triết học) Còn cụm từ "bất kỳ cái gì" cho thấy kết quả (thành phẩm) sáng tạo cũng như chính hoạt động sáng tạo

có thể có ở bất kỳ lĩnh vực nào của thế giới vật chất và thế giới tinh thần, miễn là

"cái gì đó" có đồng thời tính mới và tính ích lợi Nếu "cái gì đó" chỉ có hoặc tính mới, hoặc tính ích lợi thì không được coi là sáng tạo

"Tính mới" là bất kỳ sự khác biệt nào của đối tượng cho trước so với đối tượng tiền thân của nó (đối tượng cùng loại ra đời trước đó xét về mặt thời gian) Trong trường hợp này, chúng ta nói rằng đối tượng cho trước có tính mới Để có

được sự sáng tạo, tính mới phải đem lại lợi ích (tạo ra giá trị thặng dư), không phải mới để mà mới "Tính ích lợi" do tính mới tạo ra có thể rất đa dạng như tăng năng suất, hiệu quả; tiết kiệm năng lượng, nguyên vật liệu; giảm giá thành;

có thêm chức năng mới; sử dụng thuận tiện hơn; thân thiện hơn với môi trường; tạo thêm được các xúc cảm, thẩm mỹ tốt Ở đây, cần đặc biệt lưu ý: "Tính ích lợi" chỉ thể hiện ra khi đối tượng cho trước "làm việc" theo đúng chức năng và phạm vi áp dụng của nó

Để đánh giá một đối tượng cho trước có phải là sáng tạo hay không, chúng

ta có thể dùng Chương trình 5 bước, như sau:

Bước 1: Chọn đối tượng tiền thân

Bước 2: So sánh đối tượng cho trước với đối tượng tiền thân

Bước 3: Tìm "tính mới" của đối tượng cho trước

Bước 4: Trả lời câu hỏi: "Tính mới đó đem lại ích lợi gì? Trong phạm vi áp dụng nào?"

Bước 5: Kết luận theo định nghĩa sáng tạo

Theo định nghĩa khái niệm sáng tạo và chương trình đánh giá đối tượng cho trước có phải là sáng tạo hay không (trình bày ở trên), bất kỳ người nào cũng đều

đã từng nhiều lần sáng tạo Chẳng hạn, khi đi học, việc tự mình nghĩ ra lời giải các bài tập của thầy cô giáo cho là sáng tạo, vì ở đây có đồng thời tính mới: Lời giải tự mình tìm được là mới so với khi mình chưa tìm được; tính ích lợi: hiểu, vận dụng kiến thức đã học tốt hơn và được điểm cao Tuy nhiên, tính mới và tính ích lợi còn hẹp, hiểu theo nghĩa: Mới và ích lợi với chính người giải chứ không còn là mới và ích lợi với biết bao thế hệ học sinh đi trước đã giải bài tập đó Vì thế, trường học phải hướng tới mục tiêu cao hơn là: Đào tạo ra những người có khả năng sáng tạo ra những công trình với tính mới và tính ích lợi ở mức nhân loại, được công bố dưới dạng các bài báo nghiên cứu khoa học trong các tạp chí

khoa học quốc tế hoặc được cấp patent bảo hộ theo luật về sở hữu trí tuệ và được thương mại hoá

1.2.2 Khái niệm và ví dụ về bài toán mới

Cái hay của một bài toán không dừng lại ở việc chúng ta đã hoàn thành lời giải, mà sau mỗi bài toán bao giờ cũng còn nhiều điều để ta suy nghĩ, chẳng hạn: Bài toán đó có thể tổng quát hoá được không? Có thể tạo ra một lớp các bài toán tương tự (có cùng thuật giải) hay không?

Qua lời giải bài toán đó có thể nhận biết được nguồn gốc hình thành bài toán của tác giả hay không?

Có vậy, khả năng sử dụng các phương phương pháp suy luận như so sánh, tổng hợp hoá, tương tự hoá, đặc biệt hoá của học sinh mới được phát triển, làm phong phú vốn kiến thức và rèn luyện kỹ năng trong thực hành giải toán (đáp ứng yêu cầu đổi mới dạy học) Cho nên dạy học giải bài tập toán cần phải vươn đến tầm cao mới:

Biết phân tích tìm ra nguồn gốc giả thiết và kết luận của bài toán (từ đó đoán nhận được sự hình thành bài toán của người ra đề, tìm ra cách giải thích hợp)

Có khả năng sáng tạo ra các bài toán mới (làm giàu vốn tri thức từ những tri thức sẵn có của bản thân)

Mặt khác đối với những học sinh học giỏi toán thì những yêu cầu trên lại càng quan trọng bởi ngoài việc tiếp thu tri thức, rèn luyện kỹ năng vận dụng tri thức học sinh còn phải tiến tới nghiên cứu nội dung tri thức và khám phá tri thức

Ví dụ bài toán mới

Từ một đẳng thức cụ thể sau cotxtanx2cot 2x

Sử dụng chiều thuận đẳng thức chúng ta dễ dàng xây dựng những phương trình lượng giác mới từ những phương trình lượng giác cơ bản hoặc phuơng trình đại số

8cot 2xcotx 2 tanx

Từ phương trình cotx 3 ta xây dựng phương trình

2cotxtanx2cot 2x 3

Từ phương trình x 2 x 2 ta xây dựng phương trình lượng giác

2cot 2x 2tanxcotx 2

Nếu biết B2cot 2x chúng ta không thể tìm ra A nhờ các phép biến đổi, khi đó các bài toán nhận được khó hơn nhiều

Ví dụ phương trình 3

cot x2cot 2xtanx2 Khi đó chúng ta phải dùng đến kết quả 2cot 2xcotxtanx và thu được phương trình đơn giản hơn 3

cot xcotx2

tan x4cot 2xcot x dùng biến đổi 2cot 2xcotxtanx

ta thu được phương trình đơn giản hơn 6 2

tan xtan x 2 0

1.2.3 Hướng dẫn học sinh sáng tạo bài toán mới

Hướng sáng tạo rất hay được sử dụng đó là sáng tạo từ những bài toán đã có sẵn và sử dụng các phương pháp sau:

Phương pháp lặp Những bài toán thiết lập bởi một quá trình lặp đi lặp lại

nhưng với kết quả là bất biến theo một nghĩa nào đó Trong thực tế luôn luôn xảy

ra một quá trình lặp lại và phổ biến một quy luật nào đó, phương pháp là tìm ra những bất biến trong quá trình hoặc những kết quả hội tụ của quá trình đó

Phương pháp chọn theo mẫu Ta đặt ra một mẫu và phân loại mẫu tìm ra

quy luật để giải bài toán đó là một phương pháp hữu hiệu trong thực tế Nhiều bài toán được giải khi ta xét chúng theo một kiểu cách nào đó như tính đối xứng,

…

Phương pháp đặc biệt hóa và ngoại lệ Những trường hợp đặc biệt của bài

toán gợi ý cho ta khẳng định kết luận bài toán hoặc hé mở một cách giải trong trường hợp tổng quát

Phương pháp tổng quát hóa Mở rộng một bài toán là một cách tư duy

toán học rất hay được áp dụng Nhiều bài toán được mở rộng theo nhiều cách khác nhau, nhưng nó đều có chung một đặc điểm là suy lại từ bài toán trước đây Nhưng giải một bài toán tổng quát hóa đòi hỏi dùng những công cụ và kiến thức toán học cao hơn

Phương pháp lập bài toán ngược Lật ngược bài toán là những ý tưởng

khảo sát rất kỹ các khả năng của đề bài Những bài toán về điều kiện cần và đủ là

những điển hình lập bài toán ngược

1.3 Thực tiễn việc dạy học Toán hiện nay

Thực trạng chung của nền giáo dục Việt Nam hiện nay là bên cạnh những

thành tựu đã đạt được còn khá nhiều điều bất cập, trong đó tồn tại lớn nhất tập trung vào chất lượng đào tạo chưa cao Nhiều chuyên gia, nhà khoa học, những người có tâm huyết với sự nghiệp giáo dục và đào tạo đã bày tỏ quan điểm của mình về thực trạng này, đồng thời chỉ ra khá nhiều nguyên nhân dẫn tới sự bất cập giữa qui mô đào tạo và chất lượng đào tạo Trong đó các nguyên nhân chính tập trung vào sự yếu kém, bất hợp lý trong phương pháp giảng dạy, đội ngũ giáo viên giảng dạy, chương trình đào tạo, tài liệu học tập, giáo trình,

Phương pháp giảng dạy là một trong những yếu tố quan trọng và ảnh hưởng rất lớn đến chất lượng đào tạo Một phương pháp giảng dạy khoa học, phù hợp

sẽ tạo điều kiện để giáo viên và người học phát huy hết khả năng của mình trong việc truyền đạt, lĩnh hội kiến thức và phát triển tư duy Một phương pháp giảng dạy khoa học sẽ làm thay đổi vai trò của người thầy đồng thời tạo nên sự hứng thú, say mê và sáng tạo của người học

Bức tranh chung về phương pháp giảng dạy tại các cấp học của chúng ta

hiện nay là tập trung vào kỹ năng tư duy phân tích, nghĩa là dạy cho người học

cách hiểu các khái niệm, thảo luận theo phương pháp định sẵn, loại bỏ những hướng đi không đúng, tìm ra câu trả lời đúng nhất Thậm chí, nhiều nơi phương pháp thuyết trình (thầy giảng, trò ghi) vẫn chiếm ưu thế, nhiều giáo viên chưa chú trọng đến đến việc giới thiệu, yêu cầu, bắt buộc người học phải tham khảo những tài liệu gì Phương pháp giảng dạy này đã làm mất đi một hình thái khác của tư duy đó là tư duy sáng tạo Tư duy sáng tạo tập trung vào khám phá các ý tưởng, phát triển thành nhiều giải pháp, tìm ra nhiều phương án trả lời đúng thay

Từ thực tế trên cho thấy để nâng cao chất lượng đào tạo, việc đổi mới phương pháp giảng dạy đối với các cấp đào tạo tại Việt Nam là việc làm cấp thiết và cần tiến hành một cách đồng bộ Đổi mới phương pháp giảng dạy sẽ cung cấp những cơ hội đặc biệt để nhận thức rõ những giá trị quan trọng, thực chất trong cuộc sống Điều đó làm tăng khả năng mà thực ra là yêu cầu giáo viên không ngừng nâng cao trình độ hiểu biết Vì vậy, vai trò mới của người giaó viên trở thành nhân tố kích thích trí tò mò của học sinh, mài sắc thêm năng lực nghiên

tạo Việc áp dụng các phương pháp giảng dạy mới đòi hỏi phải có những tài liệu dạy-học mới Những tài liệu này phải gắn với các phương pháp kiểm tra mới nhằm khuyến khích không chỉ khả năng nhớ mà cả khả năng hiểu, các kỹ năng thực hành và sáng tạo của học sinh Trong ngành giáo dục của chúng ta, đã từ lâu, khi nói đến "học", đại đa số mọi người đều cho là "học để có kiến thức" mà

ít ai nghĩ đến học để "phát triển tư duy" và "phát triển nhân cách" Khi học các môn khoa học tự nhiên, học sinh nghĩ nhiều đến tư duy lôgic với phép suy diễn Nhưng suy diễn là tư duy đi từ cái chung đến cái riêng (người ta gọi là tư duy hướng nội) nên khi làm một bài toán, phép suy diễn chỉ cho phép đi đến những kết quả suy diễn từ đề bài mà ra Thường chỉ thấy "thầy ra bài, trò làm bài", trò nào giỏi thì tìm đề bài ở trong các sách để làm thêm, còn việc trò tham gia vào việc ra bài hoặc tham gia sửa chữa đề bài cho hay hơn rất ít thấy Tự học thì phải phát huy sức mạnh nội lực; điều đó sẽ phát triển tư duy độc lập, rồi tư duy phê phán và cuối cùng đột biến thành tư duy sáng tạo; nó làm cho "học" (tức là tiếp thu vốn hiểu biết của loài người) đột biến trở thành "nghiên cứu khoa học" (Sản sinh ra cái mới)

Ở trường THPT dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh, trong đó giải toán là đặc trưng chủ yếu trong hoạt động toán học của học sinh Trong quãng đời đi học đến THPT, học sinh đã giải rất nhiều bài toán, trong đó hẳn cũng có những bài rất khó với những câu hỏi chất chứa thắc mắc như ai đã sáng tạo ra bài toán này và từ đâu

mà có, mình có thể làm được việc đó không? Nếu thắc mắc đó xuất hiện thì rất đáng mừng, đó là biểu hiện ban đầu của sự sáng tạo Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ngoài việc trang bị tốt kiến thức cơ bản cho học sinh giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết cách khai thác, mở rộng kết quả các bài toán cơ bản để học sinh suy nghĩ tìm tòi những kết qua mới sau mỗi bài toán hoặc biết sáng tạo ra những bài toán mới từ những kiến thức liên quan Chúng ta đã biết những bài toán mà chúng ta đã gặp đều không phải là từ trên trời rơi xuống mà thường là người ta từ một vài ý tưởng nào đó,

thêm vào ít nhiều sáng tạo đặt ra Việc học sinh có thói quen lật đi lật lại vấn đề, suy nghĩ mở rộng, đặt ra bài toán mới sẽ giúp bạn thu được những điều quan trọng hơn lời giải rất nhiều: đó là nhận ra đâu là những kĩ thuật chính thay vì học thuộc hết các chi tiết một cách vô nghĩa, qua đó giải thích được vì sao giải như vậy và cao hơn là trả lời câu hỏi vì sao nghĩ ra bài toán

Nhưng thật tiếc là trong thực tế chúng ta chưa làm được điều đó một cách thường xuyên Phần lớn GV chúng ta chưa có thói quen khai thác một bài toán thành một chuỗi bài toán liên quan, chưa quan tâm đến việc xây dựng bài toán mới Trong giải toán chúng ta chỉ dừng lại ở việc tìm ra kết quả của bài toán mà chưa hề biết tới tác giả

ra đề đã xây dựng bài toán đó như thế nào và đâu mới là cái gốc của bài toán Điều đó làm cho học sinh khó tìm được mối liên hệ giữa các kiến thức đã học Cho nên khi bắt đầu giải một bài toán mới học sinh không biết phải bắt đầu tư đâu? Cần vận dụng kiến thức nào? Từ đâu có bài toán này? Bài toán có liên quan đến những bài toán và kiến thức nào đã gặp?

Như vậy, dạy và học toán hiện nay ở trường phổ thông chỉ nằm gọn trong khuôn khổ sách giáo khoa, cả giáo viên và học sinh đều cố gắng đạt chuẩn chương trình đã quy định Điều này làm cho giáo viên không có động lực nghiên cứu, nâng cao trình

độ, đồng thời làm hạn chế sự sáng tạo của học sinh Đã đến lúc, việc dạy và học nói chung, dạy và học toán nói riêng cần phải có những đổi mới tích cực trong phương pháp và nội dung để đạt được hiệu quả cao nhất trong dạy và học

Kết luận chương 1

Trong chương 1, tác giả trình bày những quan điểm về vị trí chức năng và tầm quan trọng của bài tập toán học trong học toán, đồng thời chỉ ra cách hướng dẫn học sinh giải bài tập toán bằng một số phương pháp dạy học tích cực hiện nay Nâng cao hơn khả năng giải toán là khả năng sáng tạo ra bài toán mới nói chung và cách sáng tạo bài toán nội dung “ Phương trình lượng giác xây dựng từ đẳng thức lượng giác” nói riêng Tác giả chỉ ra thực trạng dạy và học toán hiện nay còn nhiều bất cập cần phải đổi mới để góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nói chung Đó là toàn bộ cơ sở lý luận

CHƯƠNG 2

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN MỚI VỀ NỘI DUNG “ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC XÂY DỰNG TỪ

ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC”

2.1 Một số kiến thức liên quan

2.1.1 Đẳng thức của các hàm số lượng giác đối với các góc trong tam giác

Trước hết chúng ta đi chứng minh một số đẳng thức của hàm số lượng giác đối với các góc trong tam giác Để từ những đẳng thức này chúng ta xây dựng hệ thống các đẳng thức lượng giác mới

2 cos - cos( - ) cos( )

2 2cos cos cos

- tan1- tan tan

tan tan tan tan tan tan 1

sin 2 sin 2 sin 2 4sin sin sin

4sin sin sin

19)sin Asin Bcos cos(C A B ) 1;

22)sin sin(C AB) sin sin( B CA) sin sin( A B C )0;

23)sin sin sin 4sin sin cos ;

Thực chất việc giải các bài toán lƣợng giác là sử dụng khéo léo các đẳng thức lƣợng giác Nếu chúng ta không biết các đẳng thức thì ngay cả bài toán đơn giản nhất cũng không giải đƣợc Ngƣợc lại, nếu phát hiện đƣợc đẳng thức cần thiết thì bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều Vì vậy việc hệ thống lại và xây dựng lên những đẳng thức lƣợng giác mới là việc làm ý nghĩa trong giải toán lƣợng giác

2.1.2.1 Xây dựng đẳng thức nhờ các phép biến đổi đại số

Xuất phát từ các công thức đơn giản nhƣ:

sin 2 2sin cos (2)

cos 2 cos sin (3)

cot tan

cos 2tan cot

cot xtan x4cot 2x2 (10)

Bình phương 2 vế công thức (7) ta thu được

2

tan x2tan cot 2x x1 (11)

Đạo hàm hai vế đẳng thức (5 ) ta thu được

cot tan 2 tan 2 4 tan 4

2cot 2 2 tan 2 4 tan 4 4cot 4 4 tan 4 8cot 8

16cos sin cos 2 cos 4 cos8

8sin 2 cos 2 cos 4 cos8

4sin 4 cos 4 cos8 2sin 8 cos8 sin16

sin 2 sin 4 sin 8

cot cot 2 cot 2 cot 4 cot 4 cot 8

2 2

sin 7 sin 7 sin 5 sin 5 sin 3 sin 3 sin

2cos 6 sin 2cos 4 sin 2cos 2 sin sin