Rèn luyện kĩ năng giúp học sinh tiếp cận đề thi quốc gia qua bài toán tính khoảng cách trong chương trình hình học 11

MỤC LỤC MỤC LỤC Phần I Mở Đầu .2 1.1 Lí chọn đề tài .2 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phần II Nội Dung .3 2.1.Cơ sở lí luận 2.2Thực trạng vấn đề nghiên cứu 2.3.1 Một số kiến thức .3 * Định nghĩa Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng .3 * Định nghĩa Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng *Định nghĩa Khoảng cách hai đường thẳng chéo 2.3.2 Rèn luyện kỹ tính khoảng cách 2.3.2.1 Rèn luyện kỹ tính khoảng cách từ điểm đến măt phẳng 2.3.2.2 Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hai đường chéo 11 2.3.2.2.1 Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hai đường thẳng chéo cách dựng đoạn vuông góc chung .11 2.3.2.2 Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo khơng dựng đoạn vng góc chung 15 Phần III Kết luận 19 Qua thời gian nghiên cứu viết sáng kiến vận dụng sáng kiến vào giảng dạy rút số kêt luận sau: 19 Tài liệu tham khảo 20 Lê Thị Nhung THPT Yên Định 1 Phần I Mở Đầu 1.1 Lí chọn đề tài Nâng cao chất lượng giáo dục yêu cầu cấp bách ngành giáo dục nước ta Một khâu then chốt để thực yêu cầu đổi nội dung phương pháp dạy học Trong giai đoạn nay, giáo dục bước cải cách thi tốt nghiệp THPT thi đại học việc đổi phương pháp dạy học cần thiết để phát huy tính chủ động sáng tạo ,phát triển tư ,tạo hứng thú học tập cho học sinh,giúp học sinh có kĩ vận dụng kiến thức vào tình mới, có khả phát giải vấn đề ,có lực độc lập suy nghĩ sáng tạo tư biết lựa chọn phương pháp tự học tối ưu dể đạt kết cao kì thi Quốc gia Thực tiễn dạy học cho thấy ôn tập cho học sinh lớp 12,với cấu trúc đề thi quốc gia em thường điểm phần HHKG(câu số cấu trúc đề thi quốc gia năm 2016) đăc biệt em có lực học trung bình trở xuống Để dành điểm phần học sinh cần nắm vững kiến thức HHKG chăm luyện tập từ lớp 11 để rút kinh nghiệm tư HHKG.Vì dạy phần quan hệ vng góc chương trình hình học 11 giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kĩ vẽ hình,hình thành cho em hệ thống kĩ phương pháp tư duy, đồng thời phải lựa chọn hệ thống tập rèn luyện kĩ giúp em có hội làm quen với dạng toán cấu trúc đề thi quốc gia để kích thích tị mị sáng tạo,tạo hưng phấn khám phá học tập học sinh, giúp em có kiến thức vững vàng cho kì thi Quốc gia Thực tế đến có số đề tài nghiên cứu theo số góc độ khác Tốn học, chưa có đề tài đề cập đến vấn đề cụ thể việc tập hợp cách có hệ thống kỹ hệ thống tập cần thiết rèn luyện cho học sinh dạy học phần “khoảng cách” khơng gian, chương trình Hình học 11 Với lí tơi lựa chọn đề tài: “Rèn luyện kĩ năng,giúp học sinh tiếp cận đề thi quốc gia qua tốn tính khoảng cách chương trình hình học 11” 1.2 Mục đích nghiên cứu +) Nghiên cứu sở lý luận kỹ giải toán +) Nghiên cứu kỹ giải Toán phần khoảng cách +) Tạo hệ thống tập nhằm rèn luyện kỹ giải tốn phần tính khoảng cách chương trình hình học 11 THPT cho học sinh,giúp học sinh tiếp cận với đề thi , góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trường phổ thông Lê Thị Nhung THPT Yên Định 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu kỹ cần thiết rèn luyện cho học sinh dạy phần tính khoảng cách- chương trình Hình học 11 1.4 Phương pháp nghiên cứu +) Phương pháp nghiên cứu lí luận +) Phương pháp điều tra quan sát +) Phương pháp thực nghiệm sư phạm Phần II Nội Dung 2.1.Cơ sở lí luận - “Kỹ năng lực hay khả chủ thể thực thục hay chuỗi hành động sở hiểu biết ( kiến thức kinh nghiệm) nhằm tạo kết mong đợi - “ Trong Toán học kỹ khả giải toán, thực chứng minh phân tích có phê phán lời giải chứng minh nhận được” Như vậy, dù phát biểu góc độ nào, kỹ khả vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải nhiệm vụ đặt Nói đến kỹ nói đến cách thức thủ thuật trình tự thực thao tác hành động để đạt mục đích định Kỹ kiến thức hành động 2.2Thực trạng vấn đề nghiên cứu Khi dạy ơn tập cho kì thi Quốc gia học sinh lớp 12 thường gặp số khó khăn giải phần HHKG (câu số cấu trúc đề thi năm 2016) với nguyên nhân là: +) Học sinh có trí tưởng tượng khơng gian chưa tơt +) Do đặc thù mơn học có tính trừu tượng cao nên việc tiếp thu sử dụng kiến thức HHKG vấn đề khó học sinh +) Học sinh học sinh chưa rèn luyện nhiều kĩ giải toán khoảng cách chưa tiếp cận dạng toán đề thi từ lớp 11 2.3.Quá trình thực 2.3.1 Một số kiến thức * Định nghĩa Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng +) Định nghĩa: Trong không gian cho điểm A đường thẳng d Gọi H hình chiếu vng góc điểm A lên d Độ dài đoạn AH gọi khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d Lê Thị Nhung THPT Yên Định +) Kí hiệu: d( A, d) A +) Nhận xét: d( A, d) ≤ AM,∀M ∈ d H Điểm H xác định sau: P H giao điểm mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng d với đường thẳng d Hoặc H giao điểm đường thẳng qua A, nằm mp(A, d) với đường thẳng d (khi A không nằm d, A nằm d H trùng với A) Nếu d’//d d(d, d') = d( A, d) ,∀A ∈ d , kí hiệu d(d, d') khoảng cách hai đường thẳng song song d d’ * Định nghĩa Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng +) Định nghĩa: Trong không gian cho điểm A mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu vng góc điểm A lên mặt phẳng (P) Độ dài đoạn AH gọi khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) A +) Kí hiệu: d( A,(P )) +) Nhận xét: d( A,(P )) ≤ AM,∀M ∈ (P ) H giao điểm đường thẳng qua A vng góc với (P) với (P) Nếu a // (P) d( a,(P )) = d( A,(P )) ,∀A ∈ (P ) , kí hiệu d( a,(P )) H M P để khoảng cáchgiữa đường thẳng a mặt phẳng (P) trường hợp chúng song song với Nếu (P) // (Q) d( (P),(Q)) = d( A,(Q)) = d( B,(P)) ,∀A ∈ (P ), ∀B ∈ (Q) , kí hiệu d( (P),(Q)) để khoảng cách hai mặt phẳng song song (P) (Q) *Định nghĩa Khoảng cách hai đường thẳng chéo +) Định nghĩa: Trong không gian cho hai đường thẳng chéo a b a A -) Đường thẳng ∆ vng góc với hai đường thẳng a b đồng thời cắt a b gọi đường vng góc chung hai đường thẳng chéo a b b B -) Gọi A = a ∩ ∆, B = b∩ ∆ Đoạn thẳng AB gọi đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo a b -) Độ dài đoạn AB gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Lê Thị Nhung THPT Yên Định +) Kí hiệu: d( a, b) +) Nhận xét: d( a, b) ≤ MN, M ∈ a.N ∈ b d( a, b) = d( a,(P )) , (P) mặt phẳng chứa đường thẳng b song song với đường thẳng a d( a, b) = d ( (P ),(Q)) ,(P ) / /(Q), a ⊂ ( P ) , b ⊂ ( Q) 2.3.2 Rèn luyện kỹ tính khoảng cách 2.3.2.1 Rèn luyện kỹ tính khoảng cách từ điểm đến măt phẳng Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), Gv định hướng rèn luyện cho học sinh thực theo bước sau: B1 Xác định hình chiếu vng góc H M (P) B2 Tính độ dài MH Khi MH = d(M,(P)) Ngồi Gv cần lưu ý với học sinh số kết sau: - Nếu MN // (P) d(M,(P)) = d(N, (P)) Nếu a / /(P ) d( a,(P )) = d( A,(P )) , A ∈ a Nếu (P) // (Q) d( ( P ) ,( Q) ) = d( A,( Q) ) = d( B,( P ) ) , A ∈ ( P ) , B ∈ ( Q) - Nếu M đỉnh hình chóp (P) chứa đáy hình chóp H chân đường cao hình chóp, d(M,(P)) độ dài đường cao hình chóp Đặc biệt: Nếu M đỉnh hình chóp (P) chứa đáy hình chóp H trùng với tâm đa giác đáy Nếu M đỉnh O tứ diện vuông OABC H trực tâm tam giác ABC 1 1 = + + 2 OH OA OB OC2 - Nếu M đỉnh tứ diện trực tâm H trực tâm mặt đối diện - Nếu M đỉnh hình chóp có mặt bên A vng góc với đáy H chân đường B cao kẻ từ M mặt bên - Nếu AB ∩ ( P ) = O d( A,( P ) ) d( B,( P ) ) OA = OB K H O P Đặc biệt: Lê Thị Nhung THPT Yên Định Nếu B trung điểm OA d( A,(P )) = 2d( B,(P)) Hệ thống tập rèn luyện kỹ Bài tập ( Trích đề KD- 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng, tam giác A’AC vng cân, A'C = a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a Lời giải C D Do ABCD.A’B’C’D’ hình hộp đứng có đáy hình vng nên BC ⊥ ( ABB ' A ') ⇒ ( BCD ') ⊥ ( ABB ' A ') A B Trong mp(ABB’A’), dựng AK vng góc với BA’ K AK ⊥ ( BCD ') ⇒ d( A, ( BCD ') ) = AK K ∆ACA ', A'C = a vuông cân A a ⇒ AC = AA' = D' C' , tứ giác ABCD hình vng AC = a ⇒ BA = a A' B' ∆ABA ' vuông A có AK đường cao ⇒ AK = AA '.AB AA' + AB 2 = a Bài tập ( Trích đề KD- 2009) C A Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a , AA ' = 2a B K Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’, I giao điểm AM A’C I Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mp(IBC) Hướng dẫn giải Từ giả thiết lăng trụ ⇒ ( IBC ) ⊥ ( ABB' A ') A' M C' ⇒ BC ⊥ ( ABB ' A') Trong mp(ABB’A’) dựng AK ⊥ A' B K ⇒ AK ⊥ ( IBC ) ⇒ d( A, ( IBC ) ) = AK Lê Thị Nhung B' THPT Yên Định ∆ABA ' vuông A, có AK đường cao ⇒ AK = Vậy d( A,( IBC ) ) = 2a AA '.AB 2a.a 2a = = A' B a 5 Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA = a M N trung điểm AB CD Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mp(ABCD) trùng với giao điểm AN SDM Tình theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SDN) Lời giải +) Gọi H giao điểm AN DM · · · · = tan BAN = ⇒ ADM = BAN Từ giả thiết ta có SH ⊥ ( ABCD) Ta có tan ADM · · · · ⇒ DMA + BAN = DMA + ADM = 900 ⇒ DM ⊥ AN A M ∆AMD vng A có AH đường cao D K H E 1 ⇒ = + ⇒ AH = 2 AH AM AD2 AM.AD AM + AD2 ∆SAH vuông H ⇒ SH = SA2 − AH = a B = a N a a = a2 +a C 14 Ta có tứ diện SHND tứ diện vng vng H ⇒ hình chiếu vng góc H mp(SND)trùng với trực tâm K ∆SND Vậy d( H,( SND) ) = HK Ta có 1 1 = + + , 2 HK HS HN HD2 HD = AD2 − AH = 2a Vậy d( H,( SND) ) = a ⇒ HN = AN − AH = a a 3a − = 5 20 965 252 = + 2+ = ⇒ HK = a 2 HK 14a 9a 4a 965 252a 252 (đvdd) 965 Bài tập 1, giúp học sinh rèn luyện kỹ tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng cách dựng hình chiếu vng góc điểm C lên mặt phẳng tính D1 Bài tập 4.(Trích đề KB- 2011) A AB = a, AD = a Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáyB ABCD hình chữ nhật, Hình chiếu vng góc điểm A1 1 mp(ABCD) trùng với giao điểm AC BD C D Lê Thị Nhung THPT Yên Định H B O A Góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 600 Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mp(A1BD) theo a Lời giải Gọi O giao điểm AC BD, từ giả thiết suy A1O ⊥ ( ABCD) ⇒ ( A1BD ) ⊥ ( ABCD ) Trong mp(ABCD) dựng CH vng góc với BD H ⇒ CH ⊥ ( A1BD) ⇒ d( C,( A1BD) ) = CH ∆DBC vng C có CH đường cao ⇒ CH = CD.CB a.a a = = BD 2a S Mặt khác B1C//A1D, B1C ⊄ ( A1BD) ⇒ B1C / / ( A1BD ) ⇒ d( B1, ( A1BD ) ) = d( C,( A1BD ) ) = CH = a K Bài tập (Trích đề KB- 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình A D vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác Tính theo a khoảng cách từ điểm A I H nằm mặtphẳng vng góc với đáy C B đến mp(SCD) Hướng dẫn giải Lấy H trung điểm AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD) ⇒ SH ⊥ CD Lấy I trung điểm CD ⇒ HI ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( SIH ) ⇒ ( SIH ) ⊥ ( SCD ) Trong mp(SHI) dựng HK vng góc với SI K ⇒ HK = d( H,( SCD) ) Tính HK = a 3 , AB / / ( SCD ) ⇒ d( A,( SCD) ) = d( H,( SCD) ) = HK = a 7 Bài tập ( Trích đề KD- 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , cạnh bên SA Lê Thị Nhung THPT Yên Định · vng góc với đáy, BAD = 1200 , M trung điểm S · cạnh BC SMA = 450 Tính theo a khoảng cách từ điểm D đến mp(SBC) Hướng dẫn giải Chứng minh BC ⊥ ( SAM ) ⇒ ( SAM ) ⊥ ( SBC ) H Trong mp(SAM) dựng AH vng góc với SM D A H ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d( D,( SBC ) ) = AH SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ AM ⇒ ∆SAM vng cân A Tínhđược AH = a O AD // BC ⇒ AD / / ( SBC ) ⇒ d( D,( SBC ) ) = d( A, ( SBC ) ) = AH = C M B a Các tập 4,5 rèn luyện cho học sinh biết sử dụng kết quan trọng là: AB // (P) d(A, (P)) = d(B, (P)) để tính khoảng cáh từ điểm đến mặt phẳng Bài tập 7.(Trích đề KA,A1-2013) · Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, ABC = 300 , SBC tam giác cạnh a , mp(SBC) vng góc với đáy Tính theo a khoảng cách từ C đến mp(SAB) Lời giải Lấy H trung điểm BC ∆SBC nên SH ⊥ BC ( SBC ) ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ AB ∆ABC vuông A S ⇒ HA = HB = HC ⇒ SA = SB = SC ⇒ ∆SAB cân S Lấy I trung điểm AB ⇒ SI ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SHI ) ⇒ ( SHI ) ⊥ ( SAB) Kẻ HK ⊥ SI K ⇒ HK ⊥ ( SAB) ⇒ HK = d( H,( SAB) ) Ta có SH = a a a , AC = BC = , HI = AC = 2 K B C H ∆SHI vng H có HK đường cao 1 52 ⇒ = + = ⇒ HK = a 2 52 HK SH HI 3a I A Mà BC ∩ ( SAB) = B Lê Thị Nhung THPT Yên Định ⇒ d( C,( SAB) ) = 2d( H,( SAB) ) = a 39 13 Bài tập (Trích đề KD- 2011) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a , · mp(SBC) mp(ABC) vng góc với SB = 2a 3, SBC = 300 Tính khoảng cách từ B đến mp(SAC) theo a Lời giải Kẻ đường cao SH ∆SBC , ( SBC ) ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ AC Kẻ HK ⊥ AC K AC ⊥ ( SHK ) ( SAC ) ⊥ ( SHK ) S Trong mp(SHK) kẻ HI vng góc với SK I ⇒ HI ⊥ ( SAC ) ⇒ HI = d( H,( SAC ) ) ∆SHK vuông H có HI đường cao ⇒ 1 = + 2 HI HK SH I ∆SHB vuông H nên SH = SB.sin300 = a , BH = SB cos300 = 3a ∆CKH : ∆CBA (g-g) ⇒ C A K H KH CH BA.CH 3a.a 3a = ⇒ HK = = = BA CA CA 5a d( B,( SAC ) ) BC 7 = = ⇒ d( B,( SAC ) ) = a ⇒ HI = a Do BH ∩ ( SAC ) = C nên d( H,( SAC ) ) CH 14 B Các tập 7, rèn luyện cho học sinh cách sử dụng hai tính chất: - Nếu AB ∩ ( P ) = O d( A,( P ) ) d( B,( P ) ) = OA OB - Nếu B trung điểm OA d( A,(P )) = 2d( B,(P)) để tính khoảng cách từ điểm dến mặt phẳng *Kết luận Trong việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, kỹ quan trọng mà Gv phải rèn luyện cho học sinh kỹ dựng hình chiếu vng góc điểm lên mặt phẳng.Chúng ta có kết qua điểm A cho trước có đường thẳng vng góc với mặt phẳng (P) cho trước, thực hành giải toán viêc dựng hình chiếu vng góc A lên (P) ta thực hành theo bước sau: B1 Xác định mp(Q) qua điểm A vng góc với (P) B2 Xác định giao tuyến d (P) (Q) Lê Thị Nhung THPT Yên Định 10 B3 Trong (Q) qua điểm A dựng đường thẳng vng góc với d H, H hình chiếu vng góc điểm A mp(P) 2.3.2.2 Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hai đường chéo 2.3.2.2.1 Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hai đường thẳng chéo cách dựng đoạn vng góc chung Trong phần Gv kết hợp để rèn luyện cho học sinh kỹ dựng đường vng góc chung hai đường thẳng chéo Giả sử có hai đường thẳng chéo a, b b +) Nếu a ⊥ b để dựng đường vng góc chung hai đường thẳng chéo a, b ta tiến hành theo quy trình sau: B1 Dựng mp ( α ) chứa a vng góc với b B B B2 Trong ( α ) dựng BA ⊥ a A Khi ta BA đường A a P vng góc chung cần tìm, đồng thời AB = d( a, b) +) Nếu a b khơng vng góc ta tiến hành dựng đường vng góc chung theo hai cách sau: M Cách B1 Dựng mp ( α ) chứa B b đường thẳng a song song với đường thẳng b B2 Lấy điểm M tùy ý b a A dựng MM’ ⊥ ( α ) M’ B3 Từ M’ dựng đường thẳng M' b' P b’ // b cắt đường thẳng a A a B4 Từ A dựng đường thẳng AB // MM’ cắt b B Khi đường thẳng AB đường vng góc B chung cần dựng Khi AB = d( a, b) A b Cách B1.Dựng mp ( α ) ⊥ a O Lê Thị Nhung α H O I THPT Yên Định 11 B2 Dựng hình chiếu vng góc b ( α ) b’, B3 Dựng OH vng góc với b’ H B4.Từ H dựng đường thẳng song song với đường thẳng a cắt đường thẳng b tạiB B5 Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a A Khi AB đường vng góc chung cần dựng d( a, b) = AB Hệ thống tập rèn luyện kỹ Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, SA = h vng góc với mặt phẳng (ABCD) Dựng đường vng góc chung cặp đường thẳng chéo tính khoảng cách chúng: a) SB CD b) SC BD c) SC AB Lời giải a) Ta có BC ⊥ SA   ⇒ BC ⊥ ( SAB) ⇒ BC ⊥ SB BC ⊥ AB Mặt khác tứ giác ABCD hình vng nên BC ⊥ CD Vậy BC đường vng góc chung SB CD Ta có d( SB, CD) = BC = a b) Ta có S BD ⊥ SA   ⇒ BD ⊥ ( SAC ) O BD ⊥ AC  I J Từ O hạ OH ⊥ SC H ta có OH ⊥ SC, OH ⊥ BD nên OH đường vng góc chung SC BD Ta có d( BD, SC ) = OH, ⇒ OH = OH SA · = = sinACS OC SC OC.SA a h = SC h2 + 2a2 AB / /CD B D H A E O C  c) Cách Ta có AB ⊄ SCD  ⇒ AB / / ( SCD) ( )  Trong mp(SAD) dựng AI vng góc với SD I Do ( SAD) ⊥ ( SCD) ⇒ AI ⊥ ( SCD ) , từ I kẻ đường thẳng song song với AB cắt SC J Từ J dựng đường thẳng song song với AI cắt AB E, JE đường vng góc chung AB SC Ta có tứ giác AIJF hình chữ nhật nên AI = EJ, d( AB, SC ) = EJ = AI Lê Thị Nhung THPT Yên Định 12 ∆SAD vng A có AK đường cao ⇒ AK = Vậy d( AB, SC ) = Cách Ta có a2 + h2 AS.AD = SD a2 + h2 AB ⊥ SA   ⇒ AB ⊥ ( SAD ) AB ⊥ AD Trong mp(SAD) có SD hình chiếu vng góc SC, ta vẽ AI ⊥ SD I Trong mp(SCD) vẽ IJ // AB cắt SC J Trong mp(IJ, AB) vẽ JE // AI cắt AB E Ta có AB CD vng góc với ( SAD) ⇒ AB ⊥ AK , AK ⊥ CD Ta có AI ⊥ SD   ⇒ AI ⊥ ( SCD ) ⇒ AI ⊥ SC AI ⊥ CD Vậy AI ⊥ AB AI ⊥ SC Vì EJ // AI nên EJ ⊥ AB EJ ⊥ SC Do EJ đoạn vng góc chung AB SC Ta có EJ = AI = AS.AD = Vậy d(AB,SC) = SD a2 + h2 a2 + h2 Bài tập Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA = OB = OC = a Gọi I trung điểm BC Hãy dựng đoạn vng góc chung tính khoảng cách cặp đường thẳng chéo nhau: a) OA BC b) AI OC Lời giải OA ⊥ OB   ⇒ OA ⊥ ( OBC ) ⇒ OA ⊥ BC ∆OBC cân đỉnh O, có I trung OA ⊥ OC  điểm BC OI ⊥ BC a) Ta có Từ BC ⊥ OI   ⇒ BC ⊥ ( OAI ) ⇒ BC ⊥ OI BC ⊥ OA Từ OI ⊥ BC, t¹i I   ⇒ OI OI ⊥ OA, t¹i O A đoạn vng góc chung OA BC Ta có ∆OBC vng O, có OI đường cao nên OI = OB.OC OB2 + OC2 = a Vậy d( OA, BC ) = OI = E K a O C F J I B Lê Thị Nhung THPT Yên Định 13 b) Cách OC ⊥ OB  ⇒ OC ⊥ ( OAB) O OC ⊥ OA A = AI ∩ ( OAB) , từ I vẽ IK // OC IK vng góc với mặt phẳng (OAB) trung điểm K OB Ta có AK hình chiếu vng góc AI mp(OAB) Trong mp(OAB) vẽ OH ⊥ AK Dựng HE // OC với E ∈ AI dựng EF // OH với F ∈ OC Khi EF đoạn vng góc chụng AI OC, đường thẳng EF đường vuông góc chung AI OC Ta có EF = OH Trong tam giác vng OAK, ta có 1 1 a = + = 2+ = ⇒ OH = a 2 2 OH OA OK a  a a Vậy d( OC, AI ) = EF = OH =  2÷   Cách lấy J trung điểm OB IJ / /OC OC / / ( AIJ ) Vậy mp(AIJ) chứa AI song song với OC Do IJ // OC, OC ⊥ ( OAB) ⇒ IJ ⊥ ( OAB) ⇒ ( AIJ ) ⊥ ( OAB) Dựng OH vng góc với AJ H ⇒ OH ⊥ ( AIJ ) Từ K kẻ đường thẳng song song với OC cắt AI E Từ E dựng đường thẳng song song với OH cắt OC F Khi EF đoạn vng góc chung AI OC, đường thẳng EF đường a vng góc chung AI OC Ta có d( OC, AI ) = EF = OH = Bài tập ( Trích đề KA- 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a M, N trung điểm AB AD, H giao điểm CN với MD Biết SH ⊥ ( ABCD) , SH = a Tính khoảng cách DM SC theo a Lời giải S Do ABCD hình vng M, N trung điểm AB AD K · · ⇒ ∆CDN = ∆DAM (c-g-c) ⇒ DCN = ADM · · · · ⇒ HDC + HCD = HDC + HDN = 900 ⇒ DM ⊥ CN Từ gt SH ⊥ ( ABCD) ⇒ SH ⊥ DM ⇒ DM ⊥ ( SHC ) ⇒ DM ⊥ SC N H Kẻ HK vng góc với SC K ⇒ HK đoạn vng góc chung DM SC Lê Thị Nhung C D A M B THPT Yên Định 14 ⇒ d( DM, SC ) = HK Ta có SH = a 3, HC.NC = DC ⇒ HC = DC2 = NC DC2 DN + DC2 = 2a ∆SHK vng H, có HK đường cao ⇒ 1 = + ⇒ HK = 2 HK SH HC2 SH.HC SH + HC2 a = 3a2 + 2a 4a2 19 = 2a Vậy d( DM, SC ) = 2a 19 2.3.2.2 Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo không dựng đoạn vng góc chung Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo mà khơng dựng đoạn vng góc chung dựa kết sau: +) Với hai đường thẳng chéo a b tồn mặt phẳng (P) chứa a mà (P) // b Khi d( a, b) = d( b,(P )) = d( B, ( P ) ) , B ∈ b Lúc ta có quy trình xác định tính khoảng cách hai đường thẳng a b sau: - Xác định mp(P) chứa đường thẳng a song song với đường thẳng b - Lấy điểm B đường thẳng b Tính d(B,(P)) - Khi d(a,b) = d(B,(P)) +) Với hai đường thẳng chéo a b tồn cặp mặt phẳng (P), (Q) cho a ⊂ ( P ) , b ⊂ ( Q) ,( P ) / / ( Q) Khi d( a, b) = d( ( P ) ,( Q) ) = d( A,( P ) ) = d( B, ( Q) ) , A ∈ ( P ) , B ∈ ( Q) Từ ta có quy trình tính khoảng cách a b sau: - Dựng mặt phẳng (P), (Q) cho ( P ) ⊃ a,( Q) ⊃ b,( P ) / / ( Q) - Lấy A (P) B (Q) - Tính d( A,( Q) ) d( B,( P ) ) , ta có khoảng cách cần tính Hệ thống tập rèn luyện kỹ Bài tập ( Trích đề KA – 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân B, AB = BC = 2a, mp(SAB) (SAC) vng góc với mp(ABC) Gọi M trung điểm Lê Thị Nhung THPT Yên Định 15 AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N Biết ( ( SBC ) ,( ABC ) ) = 60 Tính khoảng cách AB SN theo a Lời giải M trung điểm AB ⇒ N trung điểm AC.Kẻ đường thẳng ∆ qua N, song song với AB S Kẻ AD vuông góc với ∆ D ⇒ AB / / ( SND) ⇒ d( AB, SN ) = d ( AB, ( SND ) ) = d ( A, ( SND ) )  ( SAB) ⊥ ( ABC )  Từ ( SAC ) ⊥ ( ABC )  ⇒ SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ ND ,  SA = ( SAB) ∩ ( SAC )  H mà DN ⊥ AD ⇒ DN ⊥ ( SAD ) ⇒ ( SDN ) ⊥ ( SAD) D Trong mp(SAD) kẻ AH vng góc với SD H ⇒ AH ⊥ ( SDN ) ⇒ AH = d( A,( SDN ) ) A C N M · ∆SAB vuông A ⇒ SBA < 900 B BC ⊥ BA · · = 600 Từ  ⇒ BC ⊥ ( SAB) , SBA < 90 ⇒ ( ( SBC ) ,( ABC ) ) = SBA BC ⊥ SA  Ta có AD = MN = a, AS = AB tan600 = 2a ∆SAD vng A có AH đường cao nên 1 = + ⇒ AH = 2 AH AS AD2 SA.AD SA2 + AD2 Vậy d( AB, SN ) = d( A,( SDN ) ) = AH = = 2a 39 13 2a 39 13 Bài tập (Trích đề KA,A1- 2012) S Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mp(ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC mp(ABC) 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng B K SA BC theo a Lời giải C H Qua điểm A dựng đường thẳng d I Lê Thị Nhung THPT Yên Định 16 A song song với BC ⇒ ( SA, d) / / BC Do SH ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ d Từ H kẻ đường thẳng vng góc với d I ⇒ d ⊥ ( SHI ) Trong mp(SHI) kẻ HK vuông góc với SI K ⇒ HK = d( H,( SAI ) ) Ta có SH ⊥ ( ABC ) ⇒ H hình chiếu vng góc S mp(ABC) 2 2a a , Ta có HA = BC = a, HC = a , HI = HAsin600 = = 3 3 HC2 = HB2 + BC2 − 2HB.BC.cos600 = d( B,( SAI ) ) = d( H,( SAI ) ) 7a2 a 21 , SH = HC tan600 = ∆SHI vng taị H có HK đường cao ⇒ Ta có 1 24 a = + = ⇒ HK = 2 HK HI SH 7a BA 3 a 42 = ⇒ d( B,( SAI ) ) = d( H, ( SAI ) ) = HA 2 Vậy d( SA, BC ) = d( B,( SAI ) ) = a 42 Bài tập 3:(Trích đề thi quốc gia 2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng ABCD, góc SC với mặt phẳng ABCD 45 Tính khoảng cách SB AC theo a S Hướng dẫn giải:Kẻ đường thẳng d qua B song song với AC.Gọi M hình chiếu vng góc A d , H hình chiếu vng góc A SM.Ta có SA ⊥ BM , H A D MA ⊥ BM nên AH ⊥ BM => AH ⊥ (SBM) Do d(AC,SB)=d(A,(SBM))=AH Trong tam giác SAM vng A có M d B C đường cao AH nên 1 = + = 2 AH SA AM 2a Vậy d(AC,SB)= Lê Thị Nhung a 10 THPT Yên Định 17 Kết luận:Trong phần hệ thống kỹ cần thiết cần phải rèn luyện cho học sinh dạy học phần tính khoảng cách khơng gian, chương trình Hình học 11 Việc rèn luyện kỹ thực hành thông qua hệ thống tập theo chủ đề, tập chọn lựa minh họa giải nhiều cách khác mà mục đích việc giải tập theo nhiều cách khác để học sinh rèn luyện khả vận dụng kỹ chứng minh khác cho Tốn từ rèn luyện khả linh hoạt tư phát triển tư sáng tạo cho học sinh 2.4.Kết thực hiện: Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng năm học 2015-2016 trường THPT Yên Định Bài kiểm tra hai đối tượng: lớp 11A4(ban tự nhiên) không áp dụng sang kiến lớp 11A9(ban định hướng khối D) áp dụng sang kiến ,kết sau Điểm >9 8→9 7→8 6→7 5→6