(Sáng kiến kinh nghiệm) nâng cao năng lực tự học cho học sinh lớp 11 thông qua bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Nghiên cứu, đổi phương pháp giảng dạy nhiệm vụ quan trọng giáo viên giai đoạn Các trường trung học phổ thông coi trọng việc bồi dưỡng nâng cao lực nghiên cứu khoa học cho đội ngũ giáo viên nhà trường thơng qua nhiều hình thức như: Đổi sinh hoạt tổ, ứng dụng CNTT các dạy; phát động phong trào viết chuyên đề; sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy; nghiên cứu đề tài khoa học sư phạm ứng dụng; tổ chức ngoại khoá, phát động phong trào “mỗi thầy cô gương sáng tự học, tự sáng tạo” Toán học mơn quan trọng chương trình phổ thơng Trong mơn tốn có nhiều đơn vị kiến thức, giáo viên khơng tích cực trau dồi, bồi dưỡng kiến thức phương pháp để đạt hiệu cao truyền tải kiến thức mà phải biết khơi dậy phát huy lực tự học sáng tạo học sinh Hơn nữa, giai đoạn nay, với cấu trúc đề thi THPT Quốc Gia mơn tốn có câu hỏi phân loại mức vận dụng vận dụng cao, giáo viên phải tìm tịi, sáng tạo để giúp học sinh tìm phương pháp để tự giải câu hỏi, tốn khó đề thi học sinh giỏi, thi THPT Quốc Gia Trong chương trình tốn THPT, sách giáo khoa Hình học 11 tốn tính khoảng cách đối tượng hình học khơng gian đưa đơn giản, học sinh chưa tiếp cận với cách tính cụ thể dẫn đến phần lớn học sinh học phần hình học khơng gian lớp 11 cịn gặp nhiều khó khăn vướng mắc Với suy nghĩ làm để học sinh tự tháo gở vướng mắc nâng cao lực tự học cho thân Từ kinh nghiệm giảng dạy mình, để giúp học sinh nâng cao lực tự học để có thêm kiến thức , tự tin việc giải tốn khó Đồng thời giúp cho q Thầy, Cơ bạn đồng nghiệp dạy Tốn có thêm tài liệu tham khảo trình giảng dạy mơn Vì vậy, tơi chọn đề tài: ''Nâng cao lực tự học cho học sinh lớp 11 thơng qua tốn tính khoảng cách hình học khơng gian'' 1.2 Mục đích nghiên cứu Giúp em học sinh lớp 11 rèn luyện kĩ giải tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng hình học khơng gian lớp 11 từ học sinh tự tìm việc tính khoảng đối tượng hình học khơng gia quy tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Giúp học sinh tự tìm phương pháp tối ưu để giải tốn tính khoảng cách, đặc biệt khoảng cách hai đường thẳng chéo dạng câu hỏi tự luận dạng câu hỏi trắc nghiệm Chia sẻ kinh nghiệm dạy học với quý Thầy, Cô bạn đồng nghiệp 1.3 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, số tài liệu liên quan nguồn tài liệu mạng… Phương pháp quan sát: Quan sát trình dạy học trường THPT Như Thanh, Thanh Hoá Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học cho học sinh khối 11 1.4 Phạm vi nghiên cứu đề tài Bài khoảng cách hình học khơng gian lớp 11 Phương pháp, kỹ thuật quy điểm hình chiếu vng góc điểm lên mặt phẳng để tính khoảng cách hình học khơng gian lớp 11 Phương pháp tối ưu để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo không gian áp dụng vào câu hỏi trắc nghiệm cách linh hoạt Phạm vi áp dụng: Đề tài áp dụng rộng rãi cho em học sinh lớp 11, 12 ôn thi THPT Quốc Gia , em học sinh giỏi tất Thầy, Cơ giáo giảng dạy mơn Tốn trường trung học phổ thông tham khảo 1.5 Điểm kết nghiên cứu Nghiên cứu phương giải nhanh tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng kỹ thuật quy tính khoảng cách từ điểm (là hình chiếu vng góc điểm lên mặt phẳng lên mặt phẳng Nâng cao lực tự học tạo hứng thú cho học sinh giải tốn tính khoảng cách hình học không gian Xây dựng hệ thống tập trắc nghiệm mức độ vận dụng vận dụng cao tốn tính khoảng cách hình học khơng gian 2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận Hiện nay, giáo dục nước ta đổi áp dụng phương pháp giáo dục đại, nhằm phát huy lực tự học, lực tư sáng tạo, lực giải vấn đề người học Việc đổi phương pháp dạy học nhà trường phổ thông thực Việc đổi nhắm đến người học, người học làm trung tâm, chủ động tìm hiểu giải vấn đề Người dạy người hướng dẫn, định hướng phát huy lực tụ học cho người học Hình học khơng gian mơn học có cấu trúc chặt chẽ, nội dung phong phú, môn học địi hỏi học sinh có tư lơgic, trí tưởng tượng khơng gian, tính sáng tạo cao Đặc biệt tốn tính khoảng cách tốn khó yêu cầu học sinh phải có vốn kiến thức tổng hợp hình khơng gian, hình học phẳng từ vẽ hình đến kiến thức để vận dụng vào tốn cụ thể Vì vậy, giáo viên phải áp dụng nhiều phương pháp giáo dục khác dạy học phù hợp với đối tượng học sinh Trong đó, việc tổ chức hoạt động học tập để giúp em học sinh nắm bắt kiến thức hình học khơng gian nói chung tốn tính khoảng cách nói riêng Bồi dưỡng cho em khả tự học, tự nghiên cứu, độc lập tư tạo cho em có hứng thú trước vấn đề khó hay tốn khó Từ giúp em đạt kết cao trình học tập vận dụng kiến thức, kỹ học vào hoạt động thực tiễn 2.2 Thực trạng vấn đề Thực trạng học mơn Tốn trường THPT nói chung trường THPT Như Thanh nói riêng phận khơng nhỏ học sinh học tốn khơng hiểu rõ chất, chưa chủ động tìm hiểu sâu vấn đề dẫn đến em gặp phải nhiều khó khăn q trình học tập mơn tốn môn học khác Ở trường em học sinh học sách Hình học 11 bản, tập tương đối đơn giản thực tế tập có u cầu cao hơn; hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi học sinh phải giải nhanh tốn dẫn đến học sinh khơng hứng thú với mơn hình học khơng gian lại cịn thấy lúng túng bế tắc Giáo viên hạn chế việc nâng cao hiệu sử dụng phương pháp, phương tiện, công cụ, thiết bị đồ dùng dạy học môn, phần lớn giáo viên dừng lại mức trang bị lý thuyết giao nhiệm vụ cho học sinh với vài tập cụ thể mà khơng có hệ thống cho học sinh, chưa khai thác toán nhiều dạng khác Bên cạnh cịn có ngun nhân em chưa xác định đắn động học tập, chưa có phương pháp học tập cho mơn, phân môn hay chuyên đề mà giáo viên cung cấp cho học sinh Cũng thầy cô chưa trọng rèn luyện cho học sinh khả tự học, hay phương pháp truyền đạt kiến thức chưa tốt làm giảm nhận thức học sinh Từ thực trạng trên, giáo viên dạy Tốn trực tiếp giảng dạy khối lớp 11, tơi mạnh dạn đưa giải pháp để nâng cao lực tự học cho em học sinh rèn luyện kỹ giải tốn tính khoảng cách đối tượng hình học khơng gian lớp 11 2.3 Giải pháp tổ chức thực Trong kỳ thi THPT QG năm 2018, đề thi môn Tốn có tốn: Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình chữ nhật AB  a, BC  2a, SA  a , SA vuông góc với đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SB Đây tương đối khó hầu hết em học sinh phổ thông, theo tơi lí làm để xác định đoạn thẳng vng góc chung hai đường thẳng AC SB Tuy nhiên để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo lúc tìm đoạn thẳng vng góc chung chúng Sau cách giải toán Giải Kẻ đường thẳng BE cho BE / / AC , E  AD , ta có: AC / /( SBE ) , suy ra: d ( AC , SB )  d ( AC , ( SBE ))  d ( A,( SBE )) Kẻ AM  BE M , AH  AM H Khi đó: BM  ( SAM )  ( SBM )  ( SAM ) ( SBM )  ( SAM )  SM Suy AH  ( SBE )  d ( A,( SBE ))  AH Trong tam giác vng ABE, ta có: 1 1      AM AB AE a 4a 4a Tam giác SAM vuông A đường cao AH nên 1 1 2a       d ( AC , SB )  AH  AH AS AM a 4a 4a Nhận xét: Để học sinh tự giải toán dạng câu hỏi trên, địi hỏi em phải có tổng hợp kiến thức hình học khơng gian mà điều học sinh có Do vậy, thầy, giáo ngồi việc trang bị cho học sinh kiến thức sách giáo khoa phải hướng dẫn cho học sinh giải toán khoảng cách từ dễ đến khó Từ đó, tơi thấy cần thiết phải xây dựng cách có hệ thống cách giải giải nhanh toán khoảng cách cách đưa tính khoảng cách từ điểm (là chân đường vng góc đường thẳng với nặt phẳng) đến mặt phẳng, qua phát huy lực tự học học sinh giúp học sinh giải câu hỏi vận dụng vận dụng cao đề thi trắc nghiệm THPT QG mơn tốn 2.3.1 Giải pháp để giải vấn đề nêu: Bước Tổ chức cho học sinh nắm bắt kiến thức lí thuyết giải tập Bài 5: Khoảng cách (SGK Hình học 11, bản) theo phân phối chương trình dạy học Bước Tổ chức bồi dưỡng rèn luyện kĩ đua tốn tính khoảng cách tốn tính khoảng cách từ điểm ( hình chiếu vng góc điểm lên mặt phẳng) đến mặt phẳng Thời lượng thực thông qua tiết tập thời lượng tiết dạy học tự chọn Qua rèn luyện khả tự học, phương pháp tư sáng tạo tạo hứng thú học mơn hình học khơng gian giải tốn khó cho học sinh 2.3.2 Tổ chức thực giảng dạy nội dung: Bài tốn tính khoảng cách hình học khơng gian lớp 11 Phần I Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng a) Kiến thức cần nhớ ( SGK Hình học 11, bản) + d(M, a) = MH H hình chiếu M a (Hình 1) + d(M, (P)) = MH H hình chiếu M mp ( P ) ( Hình 2) Lưu ý: Giáo viên cần củng cố cho học sinh số kiến thức, như: + Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mp ( P ) d vng góc với mp( P ) + Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng b) Bài tốn 1: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng cách sử dụng điểm hình chiếu vng góc điểm lên mặt phẳng Giáo viên tổ chức hoạt động cho học sinh rèn luyện kỹ tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm M mp( P ) không chứa M , xác định khoảng cách từ M đến mp(P)? Vì khoảng cách d ( M ,( P))  MH ( Hình 2) nên A ln nằm mp(Q) mà mp (Q) vng góc với mp( P) Vì vậy, để xác định khoảng cách ta cần làm theo bước sau: Bước Dựng mp (Q) qua M vng góc với mp( P ) Bước Xác định giao tuyến d mp ( P ) mp (Q) Bước Kẻ MH vng góc với d H thì: MH  ( P )  d ( M ,( P))  MH Lưu ý: Các trường hợp đặc biệt : + Hình chóp có hình chiếu vng góc đỉnh lên mặt đáy tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy + Hình chóp có cạnh bên tạo với mặt đáy góc hình chiếu vng góc đỉnh lên mặt đáy tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy + Hình chóp có mặt bên tạo với mặt đáy góc hình chiếu vng góc đỉnh lên mặt đáy tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy c) Áp dụng Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với đáy SA  2a Tính khoảng cách a) Từ D đến mp( SAC ) b) Từ A đến mp( SBC ) Hướng dẫn giải a) ( Học sinh dễ dàng tính được) Ta có: BD  AC , BD  SA  BD  ( SAC ) a 2 b) Giáo viên cần hình thành cho học sinh tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng qua ba bước sau: Bước 1: Xác định BC  ( SAB) BC  ( SBC )  ( SBC )  ( SAB ) Bước 2: SB  ( SBC )  ( SAB ) Bước 3:Trong ( SAB ) kẻ  AH  SB H AH  ( SBC ) , suy d ( A,( SBC ))  AH 1 1 2a 2a       AH   d ( A,( SBC ))  2 AH AB AS a 4a 4a 5  d ( D,( SAC ))  DO  Ví dụ Cho hình chóp S ABC có cạnh a , G trọng tâm tam giác ABC N trung điểm AB Tính khoảng cách a) Từ S đến mp( ABC ) b) Từ G đến mp( SBC ) c) Từ N đến mp( SBC ) Hướng dẫn giải a) ( Học sinh áp dụng trường hợp đặc biệt) S ABC hình chóp nên trọng tâm G tam giác ABC tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có: SG  ( ABC )  d (G ,( ABC ))  SG mà AG  AM  a  a 3 3  SG  SA2  AG  a  d (G ,( ABC )) = a 3 b) Giáo viên tiếp tục rèn luyện cho học sinh tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng qua ba bước sau: Ta có: M trung điểm BC , BC  AM , BC  SM  BC  ( SAM ) hay ( SBC )  ( SAM ) , ( SBC )  ( SAM )  SM Kẻ GH  SM H , suy ra: GH  ( SBC )  d (G,( SBC ))  GH 1 12 27   2 2 2 2 GH GM GS a a 2a  GH  a Vậy d (G ,( SBC )) = a 9 Nhận xét 1: Trong Ví dụ thay yêu cầu tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC) tính khoảng cách từ trung điểm N AB đến mp(SBC) việc tìm mp(Q) qua N vng góc với (SBC) khó học sinh làm quen với tốn tính khoảng cách Vì vậy, giáo viên gợi mở cho học sinh tính khoảng cách cách quy tính khoảng cách từ G đến (SBC), ( G hình chiếu vng góc điểm S lên (ABC)) sử dụng kết sau: * Nếu M , N không thuộc mp( P) mà MI  k thì: MN cắt mp(P) I NI d ( M ,( P ))  k d ( N ,( P)) Thậtvậy, MH MI   k  MH  k MH ' NH ' NI  d ( M ,( P))  k d ( N ,( P)) ( Hình 3) Ví dụ c) Tính khoảng cách từ N ( trung điểm AB ) đến ( SBC )? Giải: Ta có: NC 3 a   d ( N ,( SBC ))  d (G,( SBC ))  GC 2 (theo câu b) Ví dụ 2) Ví dụ 3.( Trích đề thi tuyển sinh- Khối A – 2014, mơn Tốn) Cho hình chóp 3a S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SD  , hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ( ABCD ) trung điểm AB Tính khoảng cách từ điểm A đến mp( SBD ) Phân tích tốn: để tính khoảng cách từ điểm A đến ( SBD ) ta cần dựng hình chiếu vng góc A lên ( SBD ) , nhiên việc làm khó khăn ta dùng cách khác để tính d ( A,( SBD)) Nếu theo Nhận xét ta đưa tính khoảng cách khác Vậy, ta đưa việc tính d ( A,( SBD )) tính khoảng cách từ điểm đến ( SBD ) ? Điểm có đặc biệt? Áp dụng Bài toán + Học sinh lập luận đưa lời giải: Bước 1: Đưa việc tính d ( A,( SBD )) tính d ( H ,( SBD)) Bước 2: Tính d ( H ,( SBD)) với H hình chiếu vng góc S lên (ABCD) Giải SH  ( ABCD) Ta có: Gọi H trung điểm AB , nên AB   d ( A,( SBD))  2.d ( H ,( SBD)) AH Kẻ HM  BD M BD  ( SMH ) hay ( SBD)  ( SMH ) , ( SBD )  ( SMH )  SM Trong ( SMH ) kẻ HK  SM K , suy ra: d ( H ,( SBD ))  HK Ta có: a a , SH  SD2  HD  a, HM  Tam giác SHM vuông H , HK đường cao nên: 1 1 a       HK  HK HM HS a a a 2a Vậy d ( A,( SBD))  2.d ( H ,( SBD))  Nhận xét 2: Trong ví dụ việc tích khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( P ) phải dựng hình chiếu vng góc A lên ( P ) Bài toán dễ dàng giải ta đưa khoảng cách khoảng cách từ điểm M đến ( P ), mà M hình chiếu vng góc điểm N ( P ) lên ( Q ) ( Q ) phải cắt ( P ) Khi việc tính khoảng cách từ A đến ( P ) sau: +Bước 1: Sử dụng Nhận xét Đưa việc tính d ( A,( P )) tính d (M ,( P)) +Bước 2: Tính d ( M ,( P)) - Kẻ MI vng góc với giao tuyến d ( P ) ( Q ) I - Kẻ MH  NI H MH  ( P) , suy ra: d (M ,( P ))  MH HD  Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC A ' B ' C ' có AA '  AB  2a , G trọng tâm tam giác ABB ' Tính khoảng cách từ điểm G đến mp ( AB ' C ') Giải Gọi O tâm ABB ' A ' , ta có: GO  A 'O => d (G,( AB ' C '))  d ( A ',( AB ' C ')) Gọi M trung điểm B ' C ' , ta có: A ' M  B ' C ', B ' C '  AA ' => B ' C '  ( AA ' M ) hay ( AB 'C ')  ( AA ' M ) ( AB ' C ')  ( AA ' M )  AM Trong ( AA ' M ) kẻ A ' H  SM H , suy ra: A ' H  ( AB ' C ')  d ( A ',( AB ' C '))  A ' H A'M  1 a   2 A' H A' M A ' A2 19  A ' H  2a 57  d ( A ',( AB ' C '))  2a 57   2 3a 4a 12a 19 19 2a 57 Vậy d (G,( AB ' C '))  d ( A ',( AB ' C '))  57  Phần II Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song a) Kiến thức cần nhớ ( SGK Hình học 11, bản) + d(a,(P)) = d(M,(P)) với a // (P), M điểm nằm a ( Hình 4) + d((P),(Q)) = d(M,(P)) với (P) // (Q), M điểm nằm (Q) (Hình 5) b) Bài toán 2: Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song Phương pháp giải: Bước Bằng định nghĩa chuyển khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.( tức chuyển Bài toán Bài toán 1) Bước Giải Bài toán c) Áp dụng Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh bẳng a Tính khoảng cách 10 AB ( SCD) Giải Ta có: AB / /CD  AB / /( SCD ) nên d ( AB,( SCD))  d ( A,( SCD)) Gọi O tâm ABCD AC SO  ( ABCD ) mà  , suy ra: OC d ( A,( SCD))  2.d (O,( SCD )) Gọi M trung điểm CD Ta có: CD  ( SOM ) hay ( SCD)  ( SOM ) ( SCD)  ( SOM )  SM Trong ( SOM ) kẻ OH  SM H OH  ( SCD) nên d (O,( SCD ))  OH 1 4 a a a Ta có: SH   2    OH  , OM  , 2 2 OH OS OM 3a a a a Vậy d ( AB,( SCD))  2.d (O,( SCD)) =2 = Ví dụ Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh bẳng a Gọi M , N , P trung điểm AB, C ' D ' B ' C ' Tính khoảng cách: a) Giữa BC ' ( AB ' D ') b) Giữa ( MNP ) ( AB ' D ') Giải a) Ta có BC '/ / AD '  BC '/ /( AB ' D ') , suy ra: d ( BC ', ( AB ' D '))  d (C ', ( AB ' D ')) Gọi O tâm A ' B ' C ' D ' , OA '  AC ' nên d (C ', ( AB ' D '))  d ( A ', ( AB ' D ')) Ta có: B ' D '  (OAA ') hay ( AB ' D ')  (OAA ') mà ( AB ' D ')  (OAA ')  AO Kẻ A ' H  OA H A ' H  ( AB ' D ') suy d ( A ', ( AB ' D '))  A ' H 1 1 a a Vậy d ( BC ', ( AB ' D '))       A ' H  2 3 A ' H A ' A A 'O a a b) Ta có: MN / / AD ', NP / / B ' D '  ( MNP ) / /( AB 'D ') nên d (( MNP), ( AB ' D '))  d ( N , ( AB ' D ')) Gọi I giao A ' N B ' D ' I trọng tâm tam giác A ' C ' D ' , suy ra: đó: NI  , A' I a d ( N , ( AB ' D '))  d ( A ', ( AB ' D ')) = (theo câu a)) a Vậy d (( MNP), ( AB ' D ')) = 11 Nhận xét 3: Trong Ví dụ 5, Ví dụ việc tính khoảng cách đối tượng dùng kỹ thuật quy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng điểm phải hình chiếu vng góc điểm lên mặt phẳng Đây kỹ thuật cần thiết quan trọng mà học sinh cân có tính khoảng cách Phần III Khoảng cách hai đường thẳng chéo a) Kiến thức cần nhớ ( SGK Hình học 11, bản) a) Đường thẳng d cắt a, b vng góc với a, b gọi đường vng góc chung a, b b) Nếu d đường thẳng vng góc cắt a, b M , N MN gọi đoạn vng góc chung a, b c) Độ dài đoạn vng góc chung MN a, b gọi khoảng cách a, b + d (a, b)  MN MN đoạn vng góc chung a b ( Hình 6) b) Bài tốn 3: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Trong không gian cho hai đường thẳng chéo a b, xác định khoảng cách hai đường thẳng a b Ngoại trừ trường hợp đoạn vng góc chung có sẵn, ta thường dựng đoạn vng góc chung a b sau: Cách (Áp dụng hai đường thẳng a, b vng góc): Bước Dựng mp( P) chứa b, vng góc với a A ( Hình 7) Bước Kẻ AB vng góc với b B Đoạn AB đoạn vng góc chung a b Cách 2: Bước Dựng mp( P ) chứa b song song với a, Bước 2.Dựng mp( Q ) chứa a ( Q )  ( P ), ( Q ) cắt b B Bước Từ B dựng d  ( P) cắt a A Đoạn AB đoạn vng góc chung a b (Hình 8) 12 Cách 3: Bước Dựng ( P)  a O dựng hình chiếu vng góc b' b lên ( P ) Bước Dựng hình chiếu vng góc H O lên b' Bước Qua H dựng d // a d cắt b B, kẻ BA  a A Đoạn AB đoạn vng góc chung a b (Hình 9) c) Áp dụng Ví dụ Cho hình tứ diện S ABC có SA, SB, SC đơi vng góc SA  SB  SC  a Gọi I trung điểm BC Xác định tính khoảng cách: a) Giữa SA BC b) Giữa AI SC Hướng dẫn giải a)( Học sinh dễ dàng giải được) Ta có: SA  ( SBC ) nên SA  BC , SI  SA mà tam giác SBC cân S Suy SI đoạn vng góc chung SA BC Ta có: SI  BC a  2 Nhậ xét: Ở câu a) SA  BC nên việc dựng đoạn vng góc chung dễ dàng Nhưng câu b) việc dựng đoạn vng góc chung khó hơn, ta dựng theo cách nào? Nếu quan sát thật kỹ có ( SAB)  SC nên ta dùng cách để dựng đoạn vng góc chung AI SC sau: b) Hướng dẫn giải 13 Ta có: ( SAB)  SC Bước Ta dựng hình chiếu vng góc AI lên ( SAB) : Qua I kẻ IK / / SC cắt SB trung điểm K , suy IK  ( SAB) , nên AK hình chiếu vng góc AI lên ( SAB) Bước Kẻ SH  AK H Bước Hoàn thành dựng đoạn vng góc chung AI SC : Kẻ HN / / SC ( N  AI ) kẻ MN / / SH ( M  SC ) Khi MN đoạn vng góc chung AI SC MN  SH Ta có: 1 1 a a Vậy d ( AI , SC )  MN       SH  5 SH SA SK a a Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với ( ABCD ) SA = a Tính khoảng cách SD AC Hướng dẫn giải Ta dựng đoạn vng góc chung AC SD theo cách sau: Dựng đường thẳng Dt / / AC , dựng AI  Dt I , suy Dt  ( SAI ) , kẻ AE  SI E , kẻ EM / / AC ( M  SD ) kẻ MN / / AE ( N  AC ) Khi MN đoạn vng góc chung SD AC MN  AE Ta có AIDO hình vng nên AI  OD  BD a , tam giác SIA  2 vuông A AE đường cao nên 1 1 a      AE  AE SA2 AI a a a Vậy d ( AC , SD) = Nhận xét 4: 14 + Ở Ví dụ 7a) việc dựng đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo đơn giản nên học sinh áp dụng làm nhanh + Cịn Ví dụ 7b), Ví dụ việc dựng đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo gặp khó khăn Nếu học sinh không nắm cách dựng cho trường hợp cụ thể, không nắm rõ chất dẫn đến học sinh khơng hứng thú đến tốn Khi học sinh cần biết cách chuyển khoảng cách hai đường thẳng chéo qua khoảng cách quen thuộc nhờ hai kết sau ta chuyển toán qua Bài toán Kết 1: ( SGK Hình học 11, bản) Khoảng cách hai đường thẳng chéo a b khoảng cách hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với chứa đường thẳng cịn lại.( Hình 10) Kết 2: ( SGK Hình học 11, bản) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng đó.( Hình 11) * Đến giáo viên cần cho học sinh xác định rõ bước (hay kỹ thuật) chuyển Bài toán Bài toán sau: Bước 1: Dựng mp( P ) chứa đường thẳng b ( P ) // a ( Hình 10, Hình 11) Bước 2: Quy d (a, b)  d (a, ( P)) Bước 3: Quy d (a,( P ))  d ( M ,( P )) , M điểm thuộc đường thẳng a.(Bài tốn 1) 15 Ví dụ Cách giải 2: Dựng đường thẳng Dt / / AC ( Dt , S ) / / AC nên: d ( AC , SD )  d ( AC , ( S , Dt ))  d ( A,( S , Dt )) Kẻ AI  Dt I , suy Dt  ( SAI ) hay ( SDI )  ( SAI ), ( SDI )  ( SAI )  SI Kẻ AE  SI E AE  ( S , Dt ) suy ra: d ( A,( S , Dt ))  AE Ta có AIDO hình vng nên AI  OD  a SAI vuông Tam giác A AE đường 1 1 a a Vậy d ( AC , SD ) =      AE  3 AE SA AI a a cao nên Ví dụ câu b) Cách giải 2: Kẻ IK / / SC ( K  SD) SC / /( AIK ) nên: d ( SC , AI ) = d ( SC ,( AIK ))  d ( S ,( AIK )) Ta có ( AIK )  ( SAB), ( AIK )  ( SAB)  AK Kẻ SH  AK SH  ( AIK )  d ( S ,( AIK ))  SH Tam giác SAK vuông S SH chiều cao nên: 1 1 a      SH  SH SA2 SK a a a Vậy d ( SC , AI )  MN  S ABCD có ABCD hình chữ nhật Ví dụ Cho hình chóp AD  AB  2a , SA  ( ABCD ) SA  a Gọi M , N trung điểm AD BC Tính khoảng cách BM SN Giải BM / /( SDN ) Ta có BM / / DN nên d ( BM , SN )  d ( BM ,( SND)) MD 1  d ( M ,( SND )) , mà  suy ra: d ( M ,( SND ))  d ( A,( SND )) AD 2 Ta có ND  AN , ND  SA  ND  ( SAN ) hay ( SND )  ( SAN ), SN  ( SND )  ( SAN ) Kẻ AH  SN H d ( A,( SND))  AH 16 Tam giác SAN vuông A, AH chiều cao ta có: 1 1 a      AH  AH AS AN a 2a a a Vậy d ( BM , SN ) =  Nhận xét 5: Qua cách giải hai Ví dụ 7, Ví dụ 8, Ví dụ phần giúp học sinh nắm ưu nhược điểm cánh giải để có lựa chọn cách giải tốt nhất, nhanh cho tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo + Nếu hai đường thẳng a b chéo vng góc với cách dùng đoạn vng góc chung để tính khoảng cách tốt + Trường hợp cịn lại, việc tính khoảng cách hai đường thẳng a b chéo ta quy việc tính khoảng cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Nhất đối thi trắc nghiệm trước tốn học sinh khơng biết giải mà cịn phải biết lựa chọn áp dụng cách giải nhanh Các ví dụ sau giúp học sinh rèn luyện kĩ chuyển tốn tính khoảng cách đối tượng hình học khơng gian Bài tốn rèn luyện kỹ quy điểm cần tính khoảng cách điểm hình chiếu vng góc điểm lên mặt phẳng Ví dụ 10 Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình thoi cạnh a, góc ABC  60o , SA  AC , SB  SD góc SA mặt đáy 60o Tính khoảng cách giữa: a) AC SD b) AB SC Giải Gọi O tâm ABCD , suy SO  ( ABCD ) a) Ta có AC  ( SBD) chứa SD , từ O kẻ OH  SD H thì: d ( AC , SD) OH  Góc SA ( ABCD ) góc SA OA SAO  60o , a tam giác ABC , SAC , ADC tam giác đều, có AC  AB  a , SO  OD  , suy tam giác SOD vuông cân O a a a Vậy d ( AC , SD )  OH   2 4 17 b) Ta có AB / / CD suy AB / /( SCD ) nên d ( AB, SC )  d ( AB, ( SCD)) = d ( A,( SCD )) AC  nên d ( A,( SCD))  2d (O,( SCD)) Vì OC Từ O kẻ OI  CD I CD  ( SOI ) , ( SCD)  ( SOI ),( SCD)  ( SOI )  SI kẻ OK  SI K , suy ra: OK  ( SCD ) d (O,( SCD))  OK Tam giác OCD vuông O ta có: 1   Tam giác SOI vng O ta có: OI OC OD 1 1 1 4 20 a 15  2 2      OK  2 2   OK OI OS OC OS OD 10 a 3a 3a 3a a 15 Vậy d ( AB, SC ) = 10 Ví dụ 11.( Trích đề thi tuyển sinh khối A – 2012, mơn Tốn) Cho hình chóp S ABC có ABC tam giác có cạnh a Hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABC ) điềm H cho AH  2CH Góc SB mặt phẳng ( ABC ) 60o Tính khoảng cách SA BC Giải Kẻ đường thẳng At / / BC nên : BC / / mp ( S , At )  d ( BC , SA)  d ( BC ,( S , At ))  d (C ,( S , At )) mà CA 3   d (C , ( S , At ))  d ( H , ( S , At )) HA 2 Kẻ HG  At G AG  ( SHG ) hay ( SAG )  ( SHG ) ( SAG )  ( SHG )  SG Kẻ HK  HG K HK  ( SAG ) suy ra: d ( H , ( SAG ))  HK Ta có BH  HC  BC  2.HC BC cos600  a a  AM  , SCH  60o 3 1 24 a 42 a 21  SH  3HB      HK  2 12 HK HG HS 7a a 42  d (C , ( S , At ))  d ( H , ( S , At )) = HG  18 a 42 Vậy d ( BC , SA) = Ví dụ 12 ( Trích đề thi THPT QG - 2015, mơn Tốn) Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình vng cạnh a, SA  ( ABCD ) , góc SC mặt đáy 45o Tính khoảng cách AC SB Giải Kẻ đường thẳng d qua B d / / AC , ta có: AC / / mp ( S , d ) , d ( AC , SB)  d ( AC , ( S , d ))  d ( A,( S , d )) Kẻ AM  d M , AH  AM H Khi đó: BM  ( SAM ), hay ( SBM )  ( SAM ) ( SBM )  ( SAM )  SM Suy AH  ( S , d )  d ( A,( S , d ))  AH  Ta có SCA  ( SC ,( ABCD ))  45o  SA  AC  a Tam giác SAM vuông A đường cao AH nên 1 a 10     d ( AC , SB )  AH  AH AS AM 2a Ví dụ 13 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' , G trọng tâm tam giác ABC , khoảng cách từ G đến ( B ' AC ) a, góc tạo hai mặt phẳng ( B ' AC ) ( ABC ) 30o Tính khoảng cách AC B ' G Giải Đường thẳng qua G cắt BA, BC M , N ta có: AC / / MN nên AC / /( B ' MN ) Khi đó: d ( AC , B ' G)  d ( AC ,( B ' MN ))  d ( A,( B ' MN )) Ta có: AM 1   d ( A,( B ' MN ))  d ( B,( B ' MN )) BM 2 Ta có BG  MN  ( BGB ')  ( B ' MN ) , kẻ BH  B ' G BH  ( B ' MN )  d ( B,( B ' MN ))  BH Gọi D trung điểm AC , I hình chiếu vng góc G lên ( B ' AC ) , ta  '  (( B ' AC ),( ABC ))  30o có: GI  a , BDB suy GD  2a, BD  6a, BG  4a , BB '  BD.tan 30o  2a Tam giác BB ' G vuông B BH chiều cao nên: 19 1 2a 84  2   BH  2 BH BG BB ' 48a 2a 84 a 84 Vậy d ( A,( B ' MN ))   7 Ví dụ 14 ( Trích đề thi tuyển sinh khối B - 2014, mơn Tốn) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc A ' lên ( ABC ) trung điểm AB Góc A ' C mặt đáy 60o Tính khoảng cách từ B đến ( ACC ' A ') Giải Gọi H trung điểm AB , ta có: BA   d ( B,( ACC ' A '))  2d ( H ,( ACC ' A ')) HA Kẻ HM  AC M ta AC  ( A ' HM ) hay ( ACC ' A ')  ( A ' HM ) ( ACC ' A ')  ( A ' HM )  A ' M Kẻ HK  A ' M  HK  ( ACC ' A ') d ( H , ( ACC ' A '))  HK Ta có: a 3a , CH  , A ' H  CH tan 60o  2 a Tam giác A ' HM vuông H, HK đường cao nên MH  HC  1 52 3a 52     HK  2 52 HK HM HA ' 9a 3a 52 Vậy d ( B, ( ACC ' A ')  HK  26 2.4 Kết đạt qua việc áp dụng SKKN *) Đối với học sinh sau tiếp thu nội dung: Bài tốn tính khoảng cách hình học khơng gian lớp 11 + 100% học sinh đạt yêu cầu thành thạo giải tốn tính khoảng cách từ điểm điến mặt phẳng ( toán bản) + Kỹ tính khoảng cách đối tượng hình học khơng gian nâng lên rõ rệt qua việc quy điểm hình chiếu vng góc điểm lên mặt phẳng + Học sinh biết lựa chọn phương pháp tối ưu cho tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo + Nâng cao lực tự học kỹ giải nhanh tốn tính khoảng cách cho dạng câu hỏi trắc nghiệm 20 + Các tiết học sôi nổi, học sinh hứng thú chủ động tìm tịi giải tốn tính khoảng cách tốn hình học khơng gian khác em tự tin trước tốn khó Năng lực tư đa phần học sinh cải thiện đáng kể Trong năm học 2018 – 2019, sau áp dụng SKKN vào lớp 11A 1, 11A2 số học sinh lớp 12C ôn thi THPT quốc gia trường THPT Như Thanh Tôi yêu cầu học sinh lớp làm tập sau đây: Tìm tốn hình học khơng gian tính khoảng cách dạng câu hỏi trắc nghiệm đề thi THPT QG năm gần giải chúng Kết em làm phần phụ lục *) Đối với thân đồng nghiệp qua áp dụng SKKN này: + Chất lượng giảng dạy giáo dục thân, đồng nghiệp trường THPT Như Thanh nâng lên đáng kể Kỹ vận dụng phương pháp giảng dạy giáo dục học sinh ngày hoàn thiện + Nội dung, ý tưởng SKKN đồng nghiệp đánh giá cao 21 KẾT LUẬN Sáng kiến đạt số kết sau : - Rèn luyện kỹ giải giải nhanh tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (bài toán bản) - Đưa phương pháp, kỹ thuật quy tốn tính khoảng cách đối tượng hình học khơng gian lớp 11 toán bản, đồng thời cho học sinh biết cách lựa chọn phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo (đây toán khó) Qua đó, em học sinh nâng cao lực tư trước toán mà lâu em cịn bế tắc Các em có kiến thức, phương pháp vững hình học khơng để vận dụng vào kiến thức hình học lớp 12 đặc biệt phần thể tích khối đa diện khối trịn xoay Qua giảng dạy tơi thấy rằng: Bài tốn tính khoảng cách đối tượng hình học không gian lớp 11 vấn đề mới, thực tế cho thấy có nhiều Thầy, Cô chưa quan tâm mức vần đề này, đặc biệt rõ cho học sinh chất việc tính khoảng cách phương pháp, kỹ thuật tính nhanh Vì vậy, vấn đề cho dù khó mà giáo viên quan tâm truyền thụ cho học sinh lịng say mê nhiệt tình hút em việc học tập nghiên cứu em SKKN áp dụng rộng rãi giúp em học sinh có thêm kĩ giải loại tốn này, rèn luyện tư từ tự tin thi Đại học, góp thêm tài liệu cho quý Thầy, Cô bạn đồng nghiệp Rất mong quan tâm đóng góp ý kiến em học sinh, quý Thầy, Cô giáo bạn đồng nghiệp XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2019 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người thực Lê Thị Phương 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO  1 Sách giáo khoa hình học 11 Cơ - Nhà xuất giáo dục 2010 – TRẦN VĂN HẠO ( Tổng chủ biên).NGUYỄN MỘNG HY (chủ biên)  2 Sách tập hình học 11 Cơ - Nhà xuất giáo dục 2010 – TRẦN VĂN HẠO ( Tổng chủ biên).NGUYỄN MỘNG HY (chủ biên)  3 Giải toán câu hỏi trắc nghiệm Hình Học 11- Nhà xuất giáo dục 2010 – Nhóm tác giả TRẦN THÀNH MINH, PHAN LƯU BIÊN, TRẦN QUANG NGHĨA  4 Giải tốn Hình Học 11 - Nhà xuất giáo dục 2004 – TRẦN THÀNH MINH (Chủ biên)  5 Đề thi Đại học khối A, B, D từ năm 2002 đến năm 2015, Đề thi THPT quốc gia năm gần Bộ Giáo dục Đào tạo  6 Tài liệu nguồn Internet 23 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Thị Phương Chức vụ đơn vị công tác: giáo viên dạy môn Toán, trường THPT Như Thanh, Thanh Hoá Cấp đánh giá Kết Năm học xếp loại đánh giá TT Tên đề tài SKKN đánh giá (Ngành GD cấp xếp loại huyện/tỉnh; xếp loại (A, B, C) Tỉnh ) Phương pháp giải tối ưu Ngành GD toán cực trị mặt phẳng Tỉnh Thanh Hoá toạ độ C 2016 - 2017 24 ... phẳng Nâng cao lực tự học tạo hứng thú cho học sinh giải tốn tính khoảng cách hình học không gian Xây dựng hệ thống tập trắc nghiệm mức độ vận dụng vận dụng cao tốn tính khoảng cách hình học khơng... tài Bài khoảng cách hình học khơng gian lớp 11 Phương pháp, kỹ thuật quy điểm hình chiếu vng góc điểm lên mặt phẳng để tính khoảng cách hình học khơng gian lớp 11 Phương pháp tối ưu để tính khoảng. .. tính khoảng cách hình học khơng gian lớp 11 + 100% học sinh đạt yêu cầu thành thạo giải tốn tính khoảng cách từ điểm điến mặt phẳng ( toán bản) + Kỹ tính khoảng cách đối tượng hình học khơng gian