Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 12 lựa chọn cách giải phù hợp năng lực tư duy đối với các bài toán tí

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Nhiệm vụ quan trọng nguời thầy nói chung nguời thầy giảng dạy mơn Tốn nói riêng là: Phải tìm phương pháp truyền đạt phù hợp với lực đối tượng học sinh, để em biết vận dụng, biết khai thác kiến thức lĩnh hội vào giải Toán; Giúp em rèn luyện dần thông thạo kĩ giải Tốn Để làm điều đó, trước tiên người giáo viên dạy Tốn phải tìm hiểu thật kĩ tính cách, tâm lí, lực tiếp nhận… đối tượng học sinh Đặc biệt, trước ý định truyền đạt hướng dẫn học sinh giải tốn người giáo viên phải tự nghiên cứu, phân tích kĩ tốn hướng dẫn cho em Hoạt động quan trọng, vừa giúp cho học sinh thấy mối liên hệ chặt chẽ kiến thức khác nhau, thấy nhiều phương pháp để giải toán, vừa gợi động cho em học tập kiến thức Bởi tơi nhận thấy khơng có cách “rèn luyện” phù hợp cho đối tượng học sinh, chí có q trình phân tích -Tổng hợp hiệu học sinh lại “vô nghĩa” với học sinh khác Thực tế, kì thi THPT Quốc Gia nay, mơn Tốn thi hình thức trắc nghiệm: chọn phương án Vì vậy, việc tìm kết nhanh nhiệm vụ ưu tiên hàng đầu Đứng trước toán có nhiều phương pháp giải, việc lựa chọn cách giải phù hợp lực có hiệu nhanh Dạng Tốn tính khoảng cách góc yếu tố hình học khơng gian dạng Tốn hay, đòi hỏi tư học sinh THPT thường có từ đến câu đề thi THPT Quốc Gia Khi gặp dạng Tốn học sinh thường lúng túng, khơng biết hướng giải Để góp phần giúp học sinh có thêm kiến thức, phát triển lực tư sáng tạo, gợi cho em hướng giải tốt gặp dạng Toán dạng Toán liên quan Tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm:”Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 12 lựa chọn cách giải phù hợp lực tư tốn tính góc, tính khoảng cách không gian nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy đáp ứng yêu cầu đổi kỳ thi THPT Quốc gia” để giảng dạy trao đổi với đồng nghiệp 1.2 Mục đích nghiên cứu: Người giáo viên dạy Tốn cần hình thành cách lựa chọn phương pháp tối ưu, phù hợp với lực đối tượng học sinh; giúp em tính nhanh, xác số dạng tốn tính khoảng cách góc khơng gian Đồng thời, rèn luyện kỹ toán học định hướng phát triển số lực cho em như: - Năng lực tư duy, lực tính tốn, lực tự học giải vấn đề - Năng lực sử dụng cơng nghệ thơng tin (máy tính cầm tay casio) - Năng lực sử dụng ngơn ngữ Tốn học - Kỹ vận dụng kiến thức phương pháp tính khoảng cách góc khơng gian 1.3 Đối tượng nghiên cứu đề tài Một số tốn hình học khơng gian dạng tính khoảng cách góc đề thi trắc nghiệm năm học trước đề thi tham khảo 1.4 Phương pháp nghiên cứu đề tài Để có sở tiến hành nghiên cứu áp dụng đề tài vào thực tế dạy học, tơi đã: - Tìm hiểu việc đổi phương pháp dạy học mơn Tốn, đặc biệt phương pháp truyền đạt nội dung kiến thức môn hình học khơng gian -Tìm hiểu thực trạng giải tập mơn hình học khơng gian học sinh trường THPT Triệu Sơn - Tìm hiểu kĩ sử dụng thiết bị, sơ đồ tư học tập hình học khơng gian - Tổ chức thực đề tài áp dụng đề tài vào thực tế dạy số lớp 12 trường THPT Triệu Sơn - Tiến hành so sánh, đối chiếu đánh giá hiệu đề tài áp dụng 2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 1.2.1 Giả thuyết đề tài Khi tiến hành nghiên cứu đề tài, đặt giả thuyết sau: - Đề tài có tìm phương pháp phù hợp với học sinh 12 giải tập hình học khơng gian khơng? - Đề tài có tạo hứng thú cho học sinh áp dụng vào việc giải đề thi minh hoạ đề thi Toán THPTQG qua năm hay khơng? - Đề tài có rèn luyện, phát triển trí tưởng tượng khơng gian, phát triển tư logic – khoa học có nâng cao kết học tập mơn Hình học khơng gian cho học sinh hay không? 1.2.2 Mục tiêu đề tài Từ giả thuyết nêu trên, mục tiêu đề tài cần phải đạt là: - Tìm phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh giải tập hình học khơng gian - Tạo hứng thú cho học sinh giải tập Hình học khơng gian Đồng thờigiúp em góp nâng cao kết học tập mơn - Rèn luyện, nâng cao, phát triển trí tưởng tượng không gian, phát triển tư logic – khoa học cho học sinh 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu: * Đối với học sinh: - Hình học khơng gian vốn mơn học có tính trừu tượng, đòi hỏi người học phải có trí tưởng tượng khơng gian cần có tính sáng tạo cao phần lớn học sinh có trí tượng tượng tính sáng tạo hạn chế - Rất nhiều học sinh quen với Hình học phẳng nên học Hình khơng gian thường hay nhầm lẫn, khó nhìn thấy kết Hình học phẳng sử dụng Hình khơng gian nên chưa biết vận dụng tính chất Hình học phẳng cho Hình khơng gian - Ngồi ra, có khơng học sinh chưa xác định đắn động học tập, khơng có phương pháp học tập cụ thể cho môn, phân môn hay chuyên đề mà giáo viên cung cấp cho em * Đối với giáo viên: - Trong q trình dạy học mơn, phần lớn giáo viên dừng lại mức trang bị lý thuyết giao nhiệm vụ cho học sinh với vài tập cụ thể mà chưa khai thác tốn nhiều dạng khác nhau; chưa tìm phương pháp dạy học phù hợp với nội dung lực học sinh - Vẫn có khơng giáo viên hạn chế việc nâng cao hiệu sử dụng phương tiện, công cụ, thiết bị đồ dùng dạy học môn… - Giáo viên cố gắng đưa hệ thống câu hỏi gợi mở để dẫn dắt học sinh tìm hiểu vấn đề nêu ra, học sinh tập trung đọc sách giáo khoa, quan sát hình vẽ, tích cực suy nghĩ, phát giải vấn đề theo yêu cầu câu hỏi Kết học sinh thuộc bài, hiểu chưa sâu sắc kiến thức, kĩ vận dụng vào thực tế chưa cao Đặc biệt, sau thời gian không thường xuyên ôn tập tiếp tục học thêm nội dung học sinh khơng nắm vững kiến thức học trước Từ nguyên nhân dẫn đến học sinh chưa hứng thú học tập mơn hình học khơng gian, lúng túng tìm cách giải tốn hình học khơng gian Dẫn đến kết học tập chưa cao 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Một số giải pháp * Đưa quy tắc, bước u cầu vẽ hình khơng gian để có hình vẽ đẹp, dễ quan sát mối quan hệ có hình dễ dàng giải tập * Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh nắm vững mối quan hệ đối tượng hình học khơng gian quan hệ song song hai đường thẳng, hai mặt phẳng, đường thẳng mặt phẳng; quan hệ vng góc hai đường thẳng, hai mặt phẳng, đường thẳng với mặt phẳng … hiểu khái niệm khoảng cách không gian * Sử dụng đồ dùng dạy học cách hợp lý mơ hình không gian, phần mềm giảng dạy Cabir, GSPS, Geogebra… * Dạy học theo chủ đề, mạch kiến thức mà giáo viên phân chia từ khối lượng kiến thức chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu kiến thức mà có, vận dụng chúng cách tốt * Sử dụng sơ đồ tư để ôn tập củng cố kiến thức cho học sinh 2.3.2 Biện pháp thực hiện: 2.3.2.1 Hệ thống kiến thức cần vận dụng: a Khoảng cách: a.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng:  d ( M , a )  MH : H hình chiếu M a  d ( M ,( P ))  MH : H hình chiếu M (P) a.2 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song: d a,  P    d  M ,  P     : M điểm nằm a d  P  , Q    d  M , Q     : M điểm nằm (P) a.3 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau:  Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng  Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song với chứa đường thẳng lại  Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng b Góc: ' '  Góc hai đường thẳng 1  góc hai đường thẳng 1  qua điểm song song trùng với 1   Góc đường thẳng mặt phẳng góc đường thẳng hình chiếu mặt phẳng  Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng c Liên hệ định tính định lượng: uuuur MH  MH  ( xH  xM )2  ( yH  yM )  ( z H  z M )  Độ dài đoạn thẳng: AxM  ByM  CzM  D d  M ,( P )   A2  B  C  3V h S (trong V thể tích khối chóp, S diện tích đáy khối chóp)  ur uu r uuuuuur � � u , u M 1M �1 � d  1 , 2   ur uu r � u1 , u2 � � �  uu r uu r ua ub uu r uu r cos a�, b  cos ua , ub  uu r uu r ua ub  uu r uur ua n uu r uu r sin a�,( )  cos ua , n  uu r uur ua n  uu r uur n n uu r uur cos (�  ),(  )  cos n , n  uur uur n n  2.3.2.2 Xây dựng thuật giải từ toán: Xây dựng thuật giải : Thực chất quy trình, bước thực cố định để tìm đáp số lớp tốn có u cầu tương tự Thơng qua việc hình thành xây dựng thuật giải giúp cho học sinh phát triển tư thuật giải – loại hình tư quan trọng khơng Toán học mà nhiều lĩnh vực khoa học khác; Tạo tâm lý hứng thú, tự tin cho học sinh giải tập góc khoảng cách khơng gian Bài tốn 1: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2018 – Câu 29) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB  a, BC  2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA  a Khoảng cách hai đường thẳng AC SB bằng: 2a a a 6a C B D A Cách 1: Sử dụng kiến thức Hình học không gian tổng hợp(Kiến thức lớp 11)             a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát sau: a.1 Cách xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Trong không gian cho ( P) điểm M không nằm ( P ) , để xác định khoảng cách từ điểm M đến ( P) ta làm sau: Bước 1: Dựng (Q ) qua M vng góc với ( P) Bước 2: Xác định giao tuyến d ( P) (Q ) Bước 3: Kẻ MH vng góc với d H � MH  ( P ) � d  M ,( P )   MH a.2 Cách xác định khoảng hai đường thẳng chéo nhau: Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau: TH1: a  b Chọn điểm M �a (thuận lợi nhất), kẻ MH  b,( H �b) � (a, H )  b Kẻ HK  a,( K �a ) � d  a, b   HK TH2: a, b bất kỳ: Dựng mặt phẳng    chứa b song song với a , d  a, b   d  a,( )   d  M ,( )  , với M điểm a b) Lời giải: Chọn B Dựng hình bình hành ACBE � AC P( SBE ) � d ( AC , SB )  d ( A,( SBE ))  h Ta có: AS , AB, AE đơi vng góc với 1 1 2a � 2   � h  h AS AB AE Cách 2: Sử dụng thể tích khối đa diện diện tích hình đa diện (Kiến thức Chương I - Hình học 12) a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát sau: Bước 1: Xác định yếu tố khoảng cách đường cao khối chóp Bước 2: Tính thể tích khối chóp, diện tích mặt đáy Bước 3: Áp dụng cơng thức thể tích để suy khoảng cách b) Lời giải: Chọn B Dựng hình bình hành ACBE � AC P( SBE ) � d ( AC , SB)  d ( A,( SBE ))  h 1 a3  VS ABCD  a.a.2a  2 3 VS ABE Ta có: SB  SA2  AB  2a � SB  a SE  SA2  AE  5a � SE  a EB  AE  AB  5a � EB  a 3a 3V 2a � SSEB  � h  S ABE  SSEB Cách 3: Sử dụng phương pháp tọa độ không gian (Kiến thức chương III Hình học 12) a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát sau: Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp Bước 2: Tìm tọa độ điểm có liên quan đến u cầu tốn Bước 3: Giải toán kiến thức tọa độ Bước 4: Chuyển kết từ ngôn ngữ tọa độ sang ngơn ngữ hình học thơng thường b) Lời giải: Chọn B Dựng hệ tọa độ Oxyz cho O �A, B �Ox, D �Oy, S �Oz Ta có: A(0;0;0), B( a;0;0), C ( a;2a;0), S (0;0; a) uuur uur uuu r � � AC , SB AB 2a3 2a � � d  AC , SB     uuur uur 2 � AC , SB �  2 a    a     a  � � Bài toán 2: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2018 – Câu 37) Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có tâm O Gọi I tâm hình vng A ' B ' C ' D ' M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho MO  2MI Khi cơsin góc tạo hai mặt phẳng  MC ' D '  MAB  bằng: 85 85 17 13 13 A 85 B 85 C 65 D 65 Cách 1: Sử dụng kiến thức Hình học khơng gian tổng hợp(Kiến thức lớp 11) a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát sau: Tính góc hai mặt phẳng ( P ) (Q) Bước 1: Xác định giao tuyến d hai mặt phẳng ( P ) (Q) Bước 2: Dựng hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng ( P),(Q) vng góc với d (thường chọn đường thẳng thỏa mãn định lý đường vng góc) Bước 3: Sử dụng giả thuyết tính góc phẳng tạo hai đường thẳng từ suy góc hai mặt phẳng (góc nhọn) b) Lời giải: Chọn B Gọi P, Q trung điểm C ' D ' AB Giao tuyến hai mặt phẳng ( MAB ) ( MC ' D ') đường thẳng () qua M song song với AB, C ' D ' MP, MQ () vng góc với � � ( MAB ),( MC ' D ')   (� MP, MQ) Giả sử cạnh hình lập phương a , ta có: a 10 a 34 MP  ; MQ  ; PQ  a 6 MP  MQ  PQ 14 � cos PQM   MP.MQ 340 cos    14 85  85 340 Gọi  góc ( MAB ) ( MC ' D ') ta Cách 2: Sử dụng phương pháp tọa độ khơng gian (Kiến thức chương III Hình học 12) a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát sau: Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp Bước 2: Tìm tọa độ điểm có liên quan đến yêu cầu toán Bước 3: Giải toán kiến thức tọa độ Bước 4: Chuyển kết từ ngơn ngữ tọa độ sang ngơn ngữ hình học thông thường b) Lời giải: Chọn B Dựng hệ trục tọa độ Oxyz cho O �I , C ' �Ox, D ' �Oy, M �Oz Giả sử cạnh hình lập phương a Ta có: a a a M (0;0; ), C '( ;0;0), D '(0; ;0), 2 a a A( ;0; a), B(0;  ; a) 2 r uuuur uuuur �a 2 a 2 a � n( MC ' D ')  � MC ', MD '� � � � 12 ; 12 ; � � � r uuur uuur �5a 2 5a 2 a � n( MAB )  � MA, MB � � � � 12 ; 12 ; � � � r r 85 � � cos  ( MC ' D '),( MAB )   cos(n ( MC ' D ') , n ( MAB ) )  85 Nhận xét: Với cách giải cho tốn tính khoảng cách, tính góc khơng gian ta khẳng định khơng có cách giải tối ưu nhất, nhiên đứng trước nhiệm vụ giải toán, nguời giáo viên cần định hướng cho học sinh tư lựa chọn cách giải cho phù hợp Với cách giải 1: Thường áp dụng cho hình đa diện tương đối đặc biệt việc xác định yếu tố liên quan cách dễ dàng Với cách giải 2:Thường áp dụng trường hợp dựng hình tương đối phức tạp q trình tính thể tích khối đa diện diện tích hình đa diện đơn giản (học sinh khơng cần dựng hình) Với cách giải 3: Thường áp dụng việc dựng hình khó khăn phức tạp lại dễ thấy yếu tố trực giao ba đường thẳng dựng hệ trục tọa độ hợp lý; áp dụng công thức dễ dàng, phù hợp với nhiều đối tượng học sinh 2.3.2.3 Lớp tốn tính góc, khoảng cách sử dụng kiến thức hình học khơng gian tổng hợp Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy cạnh bên a Tính khoảng cách từ A đến  SCD  a a a a C A B D Nhận xét: Với giả thuyết cho việc dựng yếu tố vng góc hình chóp dễ dàng từ ta định hướng cho học sinh lựa chọn cách giải Lời giải: Chọn D Gọi O tâm hình vng ABCD Ta có SO   ABCD  Gọi I trung điểm CD suy  SOI    SCD  Kẻ OH  SI , H �SI � OH  (SCD ) � d  O,( SCD )   OH a a SO  , OI  2 Ta có: 1 a   � OH  2 OH OS OI a Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  SA  a Gọi E trung điểm cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ điểm  S đến đường thẳng BE 2a a a 3a A B C D Nhận xét: Bài tốn khơng gian thực tế qui tập hình học phẳng đơn với hệ thức lượng tam giác vuông nên giáo viên cần d  A,( SCD)   d  AB,( SCD)   d  J ,( SCD )   2d  O,( SCD )   định hướng cho tất học sinh thực cách Lời giải: Chọn D Vì SA   ABCD  , mặt phẳng  ABCD  dựng AH  BE H SH  BE (định lí đường vng góc) Tức khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE đoạn SH Ta có: 1 a2 S  ABE  AB.EF  a.a   AH BE 2 2 a2 a BE  BC  CE  a   Mà Nên AH  a2 2a  BE , mà SAH vuông A, nên: 4a 3a 3a 3a SH  SA  AH  a    d  S , BE   5 Vậy 5 Ví dụ Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a , đáy ABC tam giác vuông A , AB  a, AC  a hình chiếu vng góc đỉnh A’ 2 mặt phẳng  ABC  trung điểm cạnh BC Tính cosin góc hai đường thẳng AA’, B’C’ 1 A B C D Nhận xét: Đối với hình lăng trụ xiên, yếu tố trực giao tương đối phức tạp, học sinh tìm hướng giải cách tọa độ hóa khó khăn việc xác định tọa độ điểm, mặt khác với quan hệ song song hình lăng trụ q trình xác định góc hai đường thẳng lại dễ đưa góc phẳng(hình học phẳng) nên ta dùng cách Lời giải: Chọn B Gọi H trung điểm BC � A ' H   ABC  1 BC  a  3a  a 2 Do đó: A ' H  A ' A2  AH  3a � A ' H  a a3 VA ' ABC  A ' H S  ABC  3 (đvtt) Vậy AH  10 2 Trong tam giác vng A’B’H có HB '  A ' B '  A ' H  2a nên tam giác B’BH � cân B’ Đặt  góc hai đường thẳng AA’ B’C’   B ' BH Vậy cos   a  2.2a AB  2a, AC  a, AA '  a 10 , Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABC A’B’C’ có �  1200 BAC Hình chiếu vng góc C’ lên mặt phẳng  ABC  trung điểm cạnh BC Tính số đo góc hai mặt phẳng  ABC   ACC’ A’ 0 0 A 75 B 30 C 45 D 15 Nhận xét: Cũng với giả thiết hình lăng trụ xiên, u cầu tính góc hai mặt phẳng việc xác định hình chiếu đa giác mặt phẳng lại dễ dàng giáo viên định hướng để học sinh liên hệ cơng thức hình chiếu để hướng giải đơn giản Lời giải: Chọn C Gọi H trung điểm BC Từ giả thiết suy C ' H   ABC  Trong  ABC ta có: BC  AC  AB  AC AB.cos1200  a � BC  a � CH  a a � C ' H  C ' C  CH  2 C ' H   ABC  � Vì đường HK  AC � �  ABC  ,  ACC ' A '   C�' KH Hạ xiên C ' K  AC (1) � ( C ' HK vuông H nên C ' KH  90 ) Trong  HAC ta có 2S S a HK  HAC  ABC  AC AC �' KH  C ' H  � C �' KH  450 � tan C HK (2) � ABC  ,  ACC ' A '    450   Từ (1) (2) suy Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A’ mặt phẳng ABCD trung điểm I tan   Tính cạnh AB Biết A’C tạo với mặt phẳng đáy góc  với theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (A’AC) 11 a 2a 3a 5a A C D B Nhận xét: Với hình này, yếu tố trực giao khó xác định, yếu tố thể tích diện tích tính phức tạp, ta sử dụng việc dựng hình để tìm khoang cách (cách1) Lời giải : Chọn B Theo ta có IC hình chiếu vng góc A’C mặt phẳng (ABCD) Suy A ' C ,  ABCD    � A ' C , CI   � A ' CI   � Xét ta giác vuông A’IC: a A ' I  IC.tan � A ' CI  IC.tan   a Ta có BI � A ' AC   A I trung điểm AB nên d  B;  A ' AC    2d  I ;  A ' AC   Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ IK / / BD � IK  AC , mà A ' I  AC (do A ' I   ABCD  ) nên AC   A ' IK  � d  I ;  A ' AC    IH Kẻ IH  A ' K � IH   A ' AC  BD a A ' I  a, IK   4 Xét tam giác vng A’IK có 1 a 2a      � IH  d  B;  A ' AC    IH IK IA ' a a a Suy Bài tập rèn luyện: (Phu lục 1) 2.3.2.4 Lớp tốn tính góc, khoảng cách sử dụng diện tích thể tích Ví dụ 6: Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a Gọi B’, C’ trung điểm SB, SC Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng  ABC’ biết  SBC    AB ' C ' a 53 a a a 35 A B 14 C 14 D 14 Nhận xét: Trong toán này, với giả thiết; ta dựng hình chiếu dùng tọa độ khơng gian sẻ gây tính phức tạp cho lời giải, nên chọn cách 12 Lời giải: Chọn D Gọi M, N trung điểm BC, BA H, K hình a SA  , chiếu S xuống mặt phẳng (ABC) a 15 thể tích khối chóp S.ABC  a V 24 Tam giác C’AB cân C’ C ' N  C ' K  KN  a nên ta có SH  S ABC '  a 3VC C ' AB 3V  SC ' AB 2SC ' AB hay khoảng cách cần tìm là: Vậy a 35 d  C ,  C ' AB    14 Ví dụ 7: Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B, BA  a, BC  2a , d  C ,  C ' AB    SA  2a , SA   ABC  Gọi H, K hình chiếu A SB, SC Tính khoảng cách từ điểm K đến mặt phẳng (SAB) 8a a 2a 5a A B C D Nhận xét: Do điểm giả thiết chưa xác định tỷ lệ đoạn thẳng nên ta thực việc tọa độ hóa phải thực nhiều cơng đoạn tính tốn, tốn trở nên phức tạp; việc dựng hình chiếu K mặt phẳng ( SAB ) không dễ dàng thực nên ta thực thơng qua việc tính thể tích (cách 2) Lời giải: Chọn A Vì BC   SAB  nên: AH  BC , AH   SBC  � AH  HK , AH  SC mà AK  SC � SC   AHK  Ta có: AH  AB.SA 2a AC.SA 5a  AK   SB 5, SC 13 8a a a 8a 32 4a � V  a SK  S AHK  5 135 4 SH  SA2  AH  a S AHS  a nên Mặt khác Vậy khoảng cách cần tìm là: 3V 8a d  K ,  SAB    KSAH  S AHS HK  AK  AH  Ví dụ 8: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi K trung điểm DD’ Tính khoảng cách CK A’D a a a a C D A B Lời giải: Chọn A Gọi M trung điểm BB’ A ' M / / CK d  CK , A ' D   d  CK ,  A ' DM    d  K ,  A ' DM    3VK A ' DM S A ' DM Ta có: 1 VK A ' DM  VM KA ' D  VB ' KA ' D  B ' A ' A ' D '.KD  a 3 12 Hạ DH  A ' M Do AD   ABB ' A ' nên AH  A ' M AH  a2 2a  MA ' Vì AH MA '  2S AMA '  ABB ' A '  a nên 3a DH  AD  AH  � S A ' MD  DH A ' M  a 2 Do d  CK , A ' D   Vậy 3VK A ' DM S A ' DM a3 a  12  3 a Ví dụ 9: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có AC  a 3, BC  3a , � ACB  300 Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc 600 mặt phẳng  A ' BC  vuông góc với mặt phẳng  ABC  Điểm H cạnh BC cho HC  3BH 14 mặt phẳng  A ' AH  vng góc với mặt phẳng  ABC  Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng  A ' AC  3a 3a 2a B C A Lời giải: Chọn B �  A ' BC    ABC  � � A ' H   ABC   A ' AH    ABC  � � �A ' H   A ' BC  � A ' AH  � Suy A ' AH  60 3a D AH  AC  HC  AC.HC.cos300  a � AH  a � A ' H  AH tan 600  a 3a 9a VABC A ' B ' C '  S ABC A ' H  a  4 2 Vì AH  AC  HC � HA  AC � AA '  AC S A ' AC  1 3V AC A ' A  a 3.2a  a � d  B;  A ' AC    A ' ABC 2 S A ' AC a 3a   a Ví dụ 10: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng cạnh 2a Tam giác SAD cân S mặt bên  SAD  vuông góc với mặt phẳng đáy Biết a S ABCD thể tích khối chóp Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng  SCD  h a h a h a h a 3 A B C D Nhận xét: Từ giả thiết ta nhận thấy yếu tố thể tích diện tích tam giác thực đơn giản, từ ta lựa chọn cách giải 15 Lời giải: Chọn B SAD cân S Gọi I trung điểm AD Tam giác � SI  AD � SI   ABCD  � SI đường cao hình chóp Theo giả thiết VS ABCD  SI S ABCD � a  SI 2a � SI  2a 3 2a V SBCD  VS ABCD  ; 2a 26a SD  SI  ID  ; SC  SI  IC  2 S SCD 3a 3V 4a  � d  B,( SCD )   S BCD  SSCD Bài tập rèn luyện: (Phụ lục 2) 2.3.2.5 Lớp tốn tính góc, khoảng cách sử dụng phương pháp tọa độ không gian Ví dụ 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 5a , cạnh bên SA  10a vng góc với đáy Gọi M trung điểm SD ,  góc tạo mặt phẳng ( ACM ) ( SBC ) Tính tan  bằng: 5 A B C D Nhận xét: Trong toán này, với giả thiết ; ta tìm giao tuyến hai mặt phẳng tìm hai đường thẳng hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến phức tạp nhiều, mặt khác dễ thấy ba đường thẳng đôi vuông góc điểm cho dễ dàng xác đinh nên việc dựng hệ trúc tọa độ hợp lý, ta chọn cách Lời giải: Chọn D Dựng hệ trục tọa độ Oxyz cho O �A, B �Ox, D �Oy , S �Oz Từ giả thuyết Ta có: A(0;0;0), B(5a;0;0), C (5a;5a;0), D(0;5a;0), S (0;0;10a) uuuu r 5a uuur 5a � M (0; ;5a) � AM (0; ;5a); AC (5a;5a;0) 2 16 r uuuu r uuur � 25a � 2 � n( ACM )  � AM , AC � 25a ;25a ;  � � � � � � uur uuu r r uur uuu r � 50a ;0;25a SB(5a;0; 10a); SC (5a;5a; 10a) � n ( SBC )  � SB , SC � � r r n( ACM ) n( SBC ) 5 cos   r  � tan   1  r cos  n( ACM ) n ( SBC ) Ví dụ 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA   ABCD  Để góc ( SBC ) ( SCD ) 60 độ dài SA bằng: A a B a C a D 2a Lời giải: Chọn D Dựng hệ trục tọa độ Oxyz cho   O �A, B �Ox, D �Oy, S �Oz Đặt SA  x Từ giả thuyết Ta có: S (0;0; x), B( a;0;0), C ( a; a;0), D(0; a;0) uuu r uuu r � CS   a; a; x  ; CB   0; a;0  ; uuur CD   a;0;0  r uuu r uuu r � � n ( SCB )  � CS , CB � �  ax;0; a  ; r uuu r uuur �  0;  ax;  a  n ( SCD )  � CS , CD � � ( SBC ) ( SCD) 600 Để góc r r � cos n( SCB ) , n( SCD )  cos600 �   a4  � xa 2 (a  a x ) Nhận xét: Với khả tư nhiều học sinh việc dựng hình xét khả để tính góc hai mặt phẳng khơng dễ, đặc biệt học sinh học kiến thức lớp 11 chưa vững; với nhóm học sinh giáo viên cần định hướng cho em sử dụng công thức cách giải việc thực trở nên dễ dàng em cảm thấy hứng thú giải tốn hình khơng gian Với ví dụ ta nhận thấy: giả thiết toán dễ dàng xác định yếu tố trực giao (3 đường thẳng đơi vng góc với điểm)và điểm cho xác định tỷ lệ đoạn thẳng việc thực yêu cầu phương pháp tọa độ hóa thực đơn giản giảm nhẹ tư hình học Ví dụ 13: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh SA vng góc với mặt phẳng   ABCD  , SA  AB  a, AD  3a Gọi M trung điểm BC Tính cosin góc tạo hai mặt phẳng  ABCD   SDM  17 A B Lời giải: Chọn B Dựng hệ trục tọa độ Oxyz O �A, B �Ox, D �Oy , S �Oz Từ giả thuyết Ta có: A(0;0;0), S (0;0; a), D(0;3a;0), M (a; C D cho 3a ;0) uuur � 3a r �uuu � SM  � a; ; a � ; SD   0;3a; a  � � r uuur uuu r �3a 2 � � � ; a ;3a � � n( SDM )  � SM , SD ; � � � � r uuu r n( ABCD )  AS   0;0; a  r r n( SDM ) n ( ABCD ) r r � cos n( SDM ) , n( ABCD )  r  r n( SDM ) n( ABCD )   Ví dụ 14: Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy tam giác cân, AB  AC  a , �  1200 BAC Mặt phẳng  AB ' C ' tạo với mặt đáy góc 60 Tính khoảng cách đường thẳng BC mặt phẳng  AB ' C ' theo a a A Lời giải: Chọn A a B 14 a C a 35 D 21 Gọi  K trung điểm B ' C ' Xác định góc  AB 'C ' mặt đáy � AKA ' � � AKA '  600 Tính BC  a , a a A ' K  A ' C '  � AA '  A ' K tan 600  2 Dựng hệ trục tọa độ Oxyz cho O �K , A ' �Ox, C ' �Oy , Oz P AA ' Từ giả thuyết Ta có: a a a a a A( ;0; ), C (0; ; a 3), B '(0;  ;0), C '(0; ;0) 2 2 uuur � a a a �uuuu r �a a a 3� � AB '  �  ; ; ; AC  ; ; � '� � 2 2 2 � � � � 18 r �3a a2 � � n( AB ' C ')  � ;0;  � � �2 a a ( x  )  ( z  )0 2 Phương trình mặt phẳng ( AB ' C ') là: a d  BC ,( AB ' C ')   d  C ,( AB ' C ')   Nhận xét: Rõ ràng việc dựng hình chuyển đổi khoảng cách khó khăn học sinh có lực tư hình học tốt dựng hình thực cơng việc cách nhanh chóng Nếu giáo viên định hướng cho học sinh nhận thấy yêu tố trực giao ba đường thẳng nhiều học sinh thực dễ dàng phương pháp tọa độ hóa Ví dụ 15: Cho lăng trụ đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a � góc BAD  60 Gọi O, O’ tâm hai đáy, OO '  2a Gọi S trung điểm OO’ Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng  SAB  a 3a a a C 19 D 19 A 11 B 19 Nhận xét: Để dựng hình chiếu O mặt phẳng ( SAB ) khơng dễ với học sinh tư hình học khơng gian yếu, ta thực dựng hệ tọa độ với yếu tố vng góc hai đường chéo hình thoi hình lăng trụ đứng tọa độ điểm xác định đơn giản, cách giải thực sở phép toán đại số Lời giải: Chọn B Từ giả thiết suy ra: AA '  BB '  2a, AC  a 3, BD  a Dựng hệ trục tọa độ Oxyz với O tâm hình thoi A �Ox, B �Oy , O ' �Oz a a O(0;0;0), S (0;0; a), A( ;0;0), B(0; ;0) 2 Ta có: uur �a uur uur � �uur � a 3� � r � � � SA  � ;0;  a � ; SB  � 0; ; a �� n( SAB )  � SA , SB 1; 3; � � � � �2 � �2 � � Phương a 3 � d  O,( SAB)   x  y  ( z  a )  19 trình mặt phẳng ( SAB ) là: B C có Ví dụ 16: (Tham khảo 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A��� AB  AA�  Gọi M , N , P trung 19 B , A�� C BC (tham khảo hình vẽ điểm cạnh A�� �� bên) Cơsin góc tạo hai mặt phẳng  AB C   MNP  bằng: 13 A 65 13 B 65 17 13 18 13 C 65 D 65 Nhận xét: Từ việc xác định giao tuyến hai mặt phẳng gây khó khăn cho học sinh sử dụng phương pháp hình học tổng hợp, với hình lăng trụ tam giác lại dễ thấy yếu tố trực giao Rõ ràng việc sử dụng phương pháp tọa độ hóa lựa chọn tối ưu sáng tạo Lời giải: Chọn B Dựng hệ trục tọa độ Oxyz với O �P, A �Ox, B �Oy , Oz P AA ' � P  0;0;0  , A  3;0;0  , B 0; 3;0 , C 0;  3;0 , A�  3;0;2  , B�0; 3;2 , C�0;  3;        �3 � �3 � M � ; ;2 � , N � ; ;2 � 2 2 � � � nên � r ur uuur uuuu r � uu r �  2;0;3  r � � n( A ' B ' C ')  n1  AB , AC � � n  n ( MNP )   4;0; 3 Ta có ; Gọi C  mp  MNP   góc hai mặt phẳng  AB�� ur uu r � cos  cos n1 , n2    89  13 65 13 25 Bài tập luyện tập: (Phụ lục 3) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục ,với thân, đồng nghiệp nhà trường Qua trình định hướng toán với nhiều hướng giải khác nhau; đồng thời nêu cho học sinh nhìn nhận lớp toán nên lựa chọn cách giải phù hợp với lực học sinh thấy học sinh thoải mái hơn, hứng thú học tập hơn, tính nhanh độ xác cao hơn.Từ kết kiểm tra tốt rõ rệt Qua kiểm tra thử nghiệm với hai lần kiểm tra học sinh lớp 12D2 12D3 đề kiểm tra lần mức độ khó thời gian làm ngắn kết tốt rõ rệt Kết khảo sát thực nghiệm cụ thể sau: Kết kiểm tra lần Lớp Số HS Điểm Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 20  thực nghiệ m SL % SL 12D2 42 14,28 % 19 12D3 42 7,15% 17 Kết kiểm tra lần Số HS Điểm thực Lớp nghiệ SL % m % 45,24 % 40,48 % SL 15 18 % 35,72 % 42,85 % SL % 4,76 % 9,32 % Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 SL SL SL % % % 23,82 57,14 19,04 24 % % % 14,28 52,38 33,34 12D3 42 0 22 14 % % % So sánh kết thi THPT Quốc Gia năm học 2017-2018 kết khảo sát chất lượng môn thi THPT Quốc Gia năm học 2018-2019 Sở tổ chức hai 12D2 42 0 10 lớp học tương ứng: Lớp 12C5 12C3 Năm học 2017-2018 Điểm trung bình 6,31 6,94 Kết khảo sát Năm học 2018-2019 Lớp Điểm trung bình 12D2 6,98 12D3 7,75 21 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Trên vài điều làm nhận thấy có kết rõ rệt Không giúp cho em nắm vững kiến thức mà giúp em có thói quen tư vận dụng kiến thức cách linh hoạt đặc biệt giúp học sinh giải nhanh toán trắc nghiệm phù hợp với cách thi trắc nghiệm THPT quốc gia nay.Tuy nhiên khơng có cơng thức vạn theo nghĩa áp dụng cho tốn Song cách làm mang lại cho tơi học sinh kết định, giúp học sinh cảm thấy Toán học sinh động đồng thời tơi thu nhiều điều bổ ích phục vụ tốt cho q trình dạy Tốn trắc nghiệm Vì thời gian có hạn, với phạm vi sáng kiến kinh nghiệm đề tài mà nghiên cứu hạn chế, chắn khơng tránh khỏi sai sót, mong độc giả góp ý kiến để đề tài hồn thiện Qua tơi xin có số đề xuất sau: Đối với giáo viên cần tự giác chủ động tự bồi dưỡng, tích cực tìm tòi phương pháp, cơng thức, thủ thuật giải nhanh Toán trắc nghiệm nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp dạy học Tơi hy vọng vấn đề trình bày sáng kiến dùng làm tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp giảng dạy lớp 12 trường phổ thông dạy bồi dưỡng ơn thi Tốn trắc nghiệm Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 11 tháng năm 2019 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Hà Văn Quyền 22 ... giải khác nhau; đồng thời nêu cho học sinh nhìn nhận lớp toán nên lựa chọn cách giải phù hợp với lực học sinh thấy học sinh thoải mái hơn, hứng thú học tập hơn, tính nhanh độ xác cao hơn.Từ kết... tốn tính khoảng cách, tính góc khơng gian ta khẳng định khơng có cách giải tối ưu nhất, nhiên đứng trước nhiệm vụ giải toán, nguời giáo viên cần định hướng cho học sinh tư lựa chọn cách giải. .. giải cho phù hợp Với cách giải 1: Thường áp dụng cho hình đa diện tư ng đối đặc biệt việc xác định yếu tố liên quan cách dễ dàng Với cách giải 2:Thường áp dụng trường hợp dựng hình tư ng đối phức