Một số phương pháp hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT quảng xương 1 trả lời nhanh câu hỏi trắc nghiệm về bài toán cực trị của số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG I TRẢ LỜI NHANH CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM VỀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC Người thực hiện: Nguyễn Thị Sáu Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực : Tốn học THANH HỐ NĂM 2018 MỤC LỤC Mục Nội dung Trang Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 2.2 Cơ sở lí luận: Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN 2.3 Các biện pháp tiến hành giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 13 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 13 3.2 Kiến nghị 13 – MỞ ĐẦU: 1.1 Lý chọn đề tài: Trong kì thi THPT Quốc gia năm 2018 mơn Tốn tiếp tục năm thứ với hình thức thi trắc nghiệm Để làm trắc nghiệm có hiệu giải khơng phải xác mà phải nhanh, yếu tố quan trọng đánh giá nhanh vấn đề nhanh chóng loại bỏ phương án nhiễu Để qua đó, cần kiểm tra đối chiếu đáp án lại với giải Trong cấu trúc đề thi THPT Quốc gia câu hỏi trắc nghiệm cực trị số phức câu thường xuyên có mặt đề thi minh họa, đề thi thức Bộ Giáo dục đề thi thử trường nước hai năm vừa qua Đây thường câu hỏi mức độ vận dụng đòi hỏi học sinh phải có tư logic, có phương pháp giải nhanh xác Để làm dạng câu hỏi trắc nghiệm này, học sinh nắm vững kiến thức bản, học thuộc bước trình tự trình bày tốn cực trị số phức mà phải biết tổng hợp loại kiến thức học từ mô đun số phức kết hợp kĩ tính tốn phần thực, phần ảo, số phức liên hợp số phức Học sinh phải biết phân tích có nhìn bao quát, nhanh nhạy giải vấn đề cách nhanh nhất, xác Vì thế, học sinh dễ bình tĩnh, hoang mang khơng biết phải nhận dạng làm toán cực trị số phức nào, lấy yếu tố điểm quan trọng để phát vấn đề Trong trình trực tiêp giảng dạy chương Số phức lớp 12, thông qua nghiên cứu tài liệu tham khảo; Tôi rút số kinh nghiệm giúp học sinh giải vấn đề nhanh xác dựa dấu hiệu nhận biết đặc trưng dấu hiệu trực quan loại toán cực trị số phức Và viết thành sáng kiến kinh nghiệm có tên: “Một số phương pháp hướng dẫn học sinh lớp 12 Trường THPT Quảng Xương trả lời nhanh câu hỏi trắc nghiệm toán cực trị Số Phức” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Đề tài góp phần trang bị đầy đủ dấu hiệu nhận biết đặc trưng, dấu hiệu trực quan dạng cực trị Số Phức; kĩ phán đốn, phân tích nhanh nhạy, xác vấn đề phát triển tư học sinh: tư phân tích, tổng hợp logic, sáng tạo tạo thói quen cho học sinh giải vấn đề luôn tìm tòi khám phá điểm đặc trưng, dấu hiệu nhận biết mấu chốt để giải vấn đề nhanh, xác 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đề tài áp dụng chương Số Phức chương trình giải tích lớp 12, học sinh ơn thi THPT Quốc gia 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Trên sở lý thuyết sách giáo khoa, trước câu hỏi trắc nghiệm cực trị Số Phức, Tôi thường hướng dẫn học sinh nêu vấn đề từ kiến thức học, trình bày Số Phức nhận dạng có dài, thời gian hay khơng ? có giải vấn đề hay khơng ? có gặp khó khăn khơng? Từ khuyến khích em, phát tìm đặc điểm đặc trưng làm dấu hiệu nhận biết để giải vấn đề xác triệt để Để học sinh tiếp cận vấn đề, Tôi chia thành năm toán phương pháp làm tốn cực trị Số phức thơng qua hệ thống kiến thức liên quan, nhận xét dấu hiệu nhận biết đặc trưng, đến ví dụ cụ thể để học sinh hình dung cách trực quan biết cách sử dụng phù hợp phương pháp vào tốn thích hợp, biết cách phối hợp phương pháp với để đưa phương án trả lời nhanh xác – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: 2.1 Cơ sở lí luận: Để thực đề tài, cần dựa kiến thức bản: - Các phép biến đổi số phức, số phức liên hợp - Các phép tính cộng trừ nhân chia số phức - Các ép biến đổi liên quan đến mô đun số phức - Các kiến thức đường thẳng, đường tròn, đường elip mặt phẳng - Kĩ nhìn đồ thị đồ thị hàm số - Kĩ nhìn vào tương giao đồ thị hàm số - Kĩ giải hệ phương trình 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Số phức nội dung quan trọng chương trình tốn lớp12 thiếu đề thi THPT Quốc gia Bài toán cực trị số phức phần thể rõ việc nắm kiến thức cách hệ thống bao quát phần thể kĩ nhận dạng tính tốn nhanh nhạy, kĩ tổng hợp kiến thức học sinh thực giải quyếvấn đề Vì vậy, câu hỏi trắc nghiệm cực trị số phức nhìn đơn giản học sinh không nắm dấu hiệu đặc trưng thời gian giải vấn đề lâu, nhiều cơng sức, tạo tâm lí nặng nề, bình tĩnh, tiêu tốn thời gian dành cho câu trắc nghiệm khác Theo số liệu thống kê trước dạy đề tài lớp 12C5 trực tiếp giảng dạy năm học 2017 - 2018 trường THPT Quảng Xương 1, kết sau: Năm Lớp Sĩ số Số học sinh trả lời xác Số học sinh trả lời xác 30s – 1p 2017 - 2018 12C5 45 14 Đứng trước thực trạng nghĩ nên hướng cho em tới cách giải khác sở kiến thức SGK Song song với việc cung cấp tri thức, trọng rèn rũa kỹ phát phân dạng tốn, tính tốn với điểm cực trị, tương giao đồ thị hàm số có hình vẽ, phát triển tư cho học sinh để sở học sinh khơng học tốt phần mà làm tảng cho phần kiến thức khác 2.3 Các biện pháp tiến hành giải vấn đề: Để làm toán cực trị số phức, học sinh dựa cách làm bước giải tự luận học, Tuy nhiên cách làm lại gặp khó khăn thời gian để xử lí bốn phương án trả lời nhiều thời gian mệt mỏi, học sinh tự đặt câu hỏi dựa số đặc điểm đặc trưng dạng đồ thị hàm số biểu diễn hình học số phức để tìm phương án xác cách nhanh Sau ta xét số dạng toán quen thuộc phương pháp giải nhanh câu hỏi trắc nghiệm cực trị số phức, dạng đưa số tốn ví dụ minh hoạ, sở lý thuyết có hướng dẫn học sinh cách phân tích sử dụng phương pháp phù hợp lựa chọn cách giải ngắn gọn Bài toán 1: Cho số phức z thỏa mãn z − ( a + bi ) = k , ( k > ) , tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn z PP giải: z − ( a + bi ) = k , ( k > ) ,  Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn có tâm I ( a; b ) bán kính R = k max z = OM = OI + R = a + b + k  z  = OM Khi : →  min z = OM = OI − R = a + b − k Cách tìm tọa độ điểm M , M (tức là, tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất, lớn nhất) + Phương trình đường tròn ( C ) quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z là: ( C ) : ( x − a) + ( y − b) = k + Phương trình đường thẳng d qua hai điểm O, I d : Ax + By + C = Khi đó, M , M giao điểm ( C ) d ( x − a ) + ( y − b ) = k ⇒ hai nghiệm ⇒ tọa độ hai Giải hệ phương trình:   Ax + By + C = điểm So sánh khoảng cách từ hai điểm vừa tìm tới O , khoảng cách nhỏ điểm ứng với điểm M điểm lại điểm M Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1.z + z2 = r , ( r > ) Giá trị nhỏ nhất,  z2 r + max z = z1 z1  lớn z :  min z = z2 − r  z1 z1  2 Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z − − 4i = Giá trị nhỏ z là: A B C Hướng dẫn: Tập hợp điểm M ( z ) đường tròn có tâm I ( 2; ) bán kính R = D 13 z = ON = OI − R = 2 + − = Chọn đáp án C Nhận xét: Như HS biết cơng thức làm vòng 30s xong tính tốn thơng thường lâu mà dễ sai Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z − − 4i = Giá trị lớn z là: A B C D 13 Hướng dẫn: (Sử dụng hình vẽ ví dụ 1) max z = OM = OI + R = 2 + 42 + = Chọn đáp án A Ví dụ 3: Trong số phức z thỏa mãn z − − 4i = số phức có mơ đun nhỏ là: A z = + 6i B z = − 6i C z = + 2i D − 2i Hướng dẫn: (Sử dụng hình vẽ ví dụ 1) Phương trình đường thẳng OI y = x Tọa độ hai điểm M , N nghiệm hệ phương trình:  y = x  y = x  2 ⇔ 2 ( x − ) + ( y − ) ( x − ) + ( x − ) =  x = ⇒ N ( 1;2 )  y =  y = 2x  ⇔ ⇔  x = x − 4x + =  ⇒ M ( 3;6 )   y = + Số phức z có mơđun lớn z = + 6i ứng với điểm M ( 3;6 ) + Số phức z có mơđun nhỏ z = + 2i ứng với điểm N ( 1; ) Vậy chọn đáp án C Ví dụ 4: Nếu số phức z thỏa mãn ( + i ) z + − 7i = z có giá trị lớn bằng: A B C D Hướng dẫn: − 7i   Ta có: ( + i ) z + − 7i = ⇔ ( + i )  z + ÷= 1+ i   ⇔ + i z − ( + 4i ) = z − ( + 4i ) = ⇔ z − ( + 4i ) = Tập hợp điểm M ( z ) đường tròn có tâm I ( 3;4 ) bán kính R = Vậy max z = OI + R = 32 + 42 + = ⇒ Chọn đáp án D Ví dụ 5: Nếu số phức z thỏa mãn −2 − 3i z + = z có giá trị nhỏ − 2i bằng: A B C D Hướng dẫn: Ta có: −2 − 3i z + = ⇔ −iz + = ⇔ −i z + = ⇔ z + i = ⇔ z − ( −i ) = − 2i −i Tập hợp điểm M ( z ) đường tròn có tâm I ( 0; −1) bán kính R = Vậy max z = OI + R = 02 + ( −1) + = ⇒ Chọn đáp án B Bài toán 2: Trong số phức z thỏa mãn z − z1 = r1 , ( r1 > ) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn P = z − z2 PP giải: Gọi I , A, M điểm biểu diễn z1 ,z2 ,z max P = AM = r1 + r2 IA = z − z = r ⇒ Khi đó:  2 min P = AM = r1 − r2 Muốn tìm số phức cho Pmax , Pmin ta tìm hai giao điểm M , M đường tròn ( I , r1 ) với đường thẳng AI Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1.z − z2 = r1 , ( r1 > ) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn P = z − z3 Giải: max P = z2 r z r − z3 + P = − z3 − z1 z1 z1 z1 Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i = Giá trị nhỏ z + − i A B C D Hướng dẫn:    Ta có: z − + 2i = z − ( − 2i ) ÷ = = r1 z + − i = z − ( −1 + i ) 14 43 1 ÷ z2  z1  ⇒ z1 − z2 = ( − 2i ) − ( −1 + i ) = = r2 ⇒ z + − i = − = ⇒ Chọn đáp án B Ví dụ 2: Trong số phức z thỏa mãn z − 5i ≤ , số phức có z nhỏ có phần ảo bao nhiêu? A B C D Hướng dẫn: Tập hợp điểm M ( z ) đường tròn có tâm I ( 0;5 ) bán kính R = Vì z = OM nên số phức z có mơđun nhỏ z = 2i ứng với điểm M ( 0;2 ) ⇒ Chọn đáp án C Ví dụ 3: Trong tất số phức z thỏa mãn z − + 2i = ,gọi z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ ) số phức có z + 4i đạt giá trị nhỏ Tính giá trị biểu thức P = a ( b + ) A P = − B P = − − 2 C P = + 2 D P = − Hướng dẫn: Ta có: z − + 2i = z − ( − 2i ) = ⇒ I ( 2; −2 ) 14 43 z1 z + 4i = z − ( −4i ) ⇒ A ( 0; −4 ) { z2 Tập hợp điểm M ( z ) đường tròn có tâm I ( 2; −2 ) bán kính r1 = Phương trình đường thẳng IA là: x − y − = Tọa độ hai điểm M , N nghiệm hệ phương trình: y = x −  x − y − =  y = x −  ⇔ ⇔  2 2 ( x − ) + ( y + ) = ( x − ) + ( x − + ) = ( x − ) =  1   x = 2+ x = 2− y = x −   1  1       ⇔ ∨ ⇒ M1  + ; −2 + ;M2 2− ; −2 − ⇔ ÷ ÷ 2 2   x − = ±  y = −2 +  y = −2 −     uuuur   AM =  +   Khi  uuuuur  AM =  −    1  ;2 + ÷ 2 ⇒ AM > AM ⇒ M điểm biểu diễn số phức cần 1  ;2 − ÷ 2 tìm  a = −    z = a + bi ⇒ z = 2− +  −2 − i  → ⇒ P = a b + = − ⇒ ( )  ÷ 2  2 b = −2 −  Chọn đáp án A Bài toán 3: Trong số phức z thỏa mãn z − z1 + z − z2 = k , ( k > ) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn P = z PP giải: Gọi M , M , M điểm biểu diễn số phức z,z1 ,z2 Khi : z − z1 + z − z2 = k ⇔ MM + MM = k ⇔ M elip ( E ) nhận M , M làm tiêu điểm có độ dài trục lớn k = 2a Vì chương trình Tốn lớp 10, học elip có hai tiêu điểm F1 ( −c;0 ) , F1 ( c;0 ) nên thường đề cho dạng: z − c + z − c = k , ( < c, k ∈ ¡ ) ⇒ M ∈ elip ( E ) nhận F1 ( −c;0 ) , F1 ( c;0 ) làm tiêu điểm có độ dài trục lớn k = 2a k   z max = a = ⇒  2  z = b = k − 4c  Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1.z + z2 + z1.z − z = k , Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn P = z k − z2 k Ta có: max z = z = z1 z1 Ví dụ1: Trong tất số phức z thỏa mãn z + + z − = 10 , gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z Khi đó, giá trị biểu thức P = M − m2 A P = −6 B P = −13 C P = −5 D P = −4 Hướng dẫn: Áp dụng cơng thức trên, ta có: 10   M = z max = = 2 ⇒ P = M − m = − = −4 ⇒ Chọn đáp án D  2 10 − 4.4 m = z = =3  Bài toán 4: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = m + ni z1 − z2 = p > Tìm giá trị lớn P = z1 + z2 PP giải:  z1 = a + bi a + c = m ⇒ z1 + z2 = a + c + ( b + d ) i = m + ni ⇒  Giả sử:  c + d = n  z2 = c + di Ta có: z1 − z2 = a − c + ( b − d ) i ⇒ z1 − z = ( a − c ) + ( b − d ) = p Khi đó: 2 ( + ) ( a + b ) + ( c + d )  = ( a + b + c + d ) 2 2 a + c) + ( b + d ) + ( a − c) + ( b − d ) ( m2 + n2 + p 2 2 Mà a + b + c + d = = P = z1 + z2 = a + b + c + d ≤ Suy ra: 2 2 2 2 2 2 ( a + b + c + d ) = m + n + p ⇒ P ≤ m + n + p ⇒ max P = m + n + p Ví dụ 1: Với hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = + 6i z1 − z2 = Tìm giá trị lớn P = z1 + z2 A B + C 26 D 34 + Hướng dẫn: Áp dụng công thức ta : P = z1 + z2 ≤ 82 + 62 + 22 = 26 ⇒ Chọn đáp án C Bài toán 5: Cho số phức z thỏa mãn z − z1=z − z2 Tìm GTNN T =z − z0 PP giải: điều kiện z − z1=z − z2 thực chất phương trình đường thẳng Nếu ta gọi M điểm biểu diễn z , A điểm biểu diễn z1 B điểm biểu diễn z2 giả thiết tương đương với MA = MA hay M nằm đường trung trực AB Gọi I điểm biểu diễn z0 T = IM Vậy IM nhỏ M hình chiếu vng góc I d Giá trị nhỏ T = d ( I , d ) Lưu ý: Khơng phải phương trình đường thẳng có dạng z − z1=z − z2, gặp giả thiết lạ, cách tốt để nhận biết giả thiết đường thẳng hay đường tròn gọi z = x + yi thay vào phương trình Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z + i + = z − 2i GTNN z là: 10 B C D 2 2 Hướng dẫn: Gọi z = x + yi M ( x; y ) điểm biểu diễn z Từ z + i + = z − 2i ⇔ ( x + 1) + ( y + 1) = x + ( y + 2) ⇔ x − y − = Vậy M di chuyển (d) Có z= OM z nhỏ d (O; d ) = Chọn đáp án A Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn ( z + − i )( z + + 3i ) số thực Giá trị nhỏ T =z − + i A B C D 2 Hướng dẫn: Gọi z = x + yi , ta có ( z + − i ) ( z + + 3i ) = ( x + ) + ( y − 1) i  ( x + 1) + ( − y + ) i  Tích có phần ảo ( x + 3) ( − y + 3) + ( y − 1) ( x + 1) Phần ảo ⇔ 3x − y + − x + y − = ⇔ x − y + = (d) Vậy gọi M điểm biểu diễn z M chạy đường thẳng (d) Gọi A(1; −1) điểm biểu diễn −1 + i T = AM Giá trị T nhỏ khoảng cách từ A đến (d) 1 + + 4 =3 Vậy T = Chọn đáp án D A Ví dụ 3: Biết số phức z thỏa mãn u = ( z + − i ) z + + 3i số thực Giá trị ( ) nhỏ z là: A B 2 C Hướng dẫn: Dùng bất đẳng thức Đặt z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ( ) ) D ta có u = ( z + − i ) z + + 3i = x + y + x − y + + ( x − y + ) i Ta có: u số thực x − y + = ⇔ y = x + z = x + y = x + ( x + ) = ( x + ) + ≥ 2 ;∀x ∈ ¡ 2 11 Vậy mô đun z nhỏ x = −2 ⇒ y = Vậy z = 2 Chọn đáp án B Ví dụ 4: Biết số phức z thỏa mãn z − + 3i = + i − z Số phức z cho z + i − đạt giá trị nhỏ là: 99 23 99 23 + i A z = B z = − − i 34 17 34 17 99 23 99 23 − i C z = D z = − + i 34 17 34 17 Hướng dẫn: Đặt z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) ta có M(x;y) điểm biểu diễn z z − + 3i = + i − z ⇔ x + y + = Tập hợp điểm biểu diễn z đường thẳng d: x + y + = z + i − = AM ; với A ( 3;−1) Phương trình đường thẳng ∆ qua A, vng góc với d: x − y − 13 = Khi z + i − nhỏ AM nhỏ AM ⊥ d Khi M = ∆ ∩ d 99 23  99 23  − i Tìm M  ; − ÷ Vậy z = 34 17  34 17  Chọn đáp án C Ví dụ 5: Gọi z số phức thỏa z − + 2i = z + − i z − + 2i nhỏ Khi tổng phần thực phần ảo z là: A − B 23 C D − 23 Hướng dẫn: z − + 2i = z + − i ⇔ x − y + = ( d ) z − + 2i = AM với A ( 1;−2 ) Phương trình đường thẳng ∆ qua A, vng góc với d: x + y + = Khi z − + 2i nhỏ AM nhỏ 3  ⇔ AM ⊥ d Khi M = ∆ ∩ d Tìm M  −1; − ÷ 2  Chọn đáp án A *Bài tập tự luyện: 12 Bài Cho số phức z thỏa mãn z + − 2i = Giá trị lớn giá trị nhỏ z là: A 2 + 1;2 − B + 1; − C 2;1 D + 1; − Bài Cho số phức z thỏa mãn z + + 2i = Giá trị nhỏ z là: A B C 5 D Bài Trong số phức z thỏa mãn z − + 4i = z số phức z có mơđun nhỏ là: A z = 11 +i B z = − 2i C z = −5 − i D z = −3 + i Bài Trong số phức z thỏa mãn z − − 4i = z − 2i số phức z có mơđun nhỏ là: A z = −2 + 2i B z = −2 − 2i C z = − 2i D z = + 2i Bài Trong số phức z thỏa mãn z − + 4i = z , biết số phức z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ ) có mơđun nhỏ Khi đó, giá trị P = a − b là: 1 D P = − Bài Trong số phức z thỏa mãn z + − 5i = z + − i , biết số phức a z = a + bi , ( a, b ∈ ¡ ) có mơđun nhỏ Khi đó, tỉ số bằng: b A B C D P = − 3 Bài Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − − i = Giá trị lớn z − A P = B P = C P = − là: A + B − C D Bài Cho số phức z thỏa mãn z + − 2i = Tích giá trị lớn giá trị nhỏ z − i bằng: A B C D Bài Cho số phức z thỏa mãn ( + i ) z + = Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z − bằng: A B 2 C D Bài 10 Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i = 10 Giá trị lớn z + − 4i bằng: A 10 B.10 C 10 D 10 Bài 11 Cho số phức z thỏa mãn z − − 2i = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z + + i Giá trị T = M + m : 13 A T = 50 B T = 64 C T = 68 D T = 16 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Sau hướng dẫn học sinh vận dụng phương pháp số tập cụ thể tiến hành kiểm tra tiếp thu khả áp dụng học sinh lớp kết sau: Năm Lớp Trước thực đề tài Số học sinh Số học sinh trả lời Sĩ trả lời xác số xác 30s – 1p 201712C5 45 2018 15 Sau thực đề tài Số học sinh Số học sinh trả lời trả lời xác xác 30s – 1p 38 28 – KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ: 3.1 Kết luận: Khi áp dụng chuyên đề vào giảng dạy học sinh mơn Tốn lớp 12C5, trường THPT Quảng Xương 1, tơi nhận thấy em học sinh hứng thú với môn học, lại giải loại câu hỏi trắc nghiệm cách đơn giản, dễ hiểu Chính em cảm thấy hứng thú với môn học nên nhận thấy chất lượng môn Tốn nói riêng, kết học tập em học sinh nói chung nâng lên rõ rệt, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường Ngồi em học cách tìm tòi, khám phá tự đặt câu hỏi tìm cách giải vấn đề nhanh gọn, xác hiệu 3.2 Kiến nghị: - Đối với nhà trường, đồng nghiệp giảng dạy phần Số phức hướng dẫn cho học sinh thực trắc nghiệm phần này, nên để ý đến việc hướng dẫn học sinh biết cách rút đặc điểm dấu hiệu nhận biết đặc trưng hàm số XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hoá, ngày 15 tháng năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Thị Sáu TÀI LIỆU THAM KHẢO 14 [1] Sách giáo khoa Giải tích Giải tich nâng cao 12 [2] Chuyên đề Số Phức Trần Phương - Lê Hồng Đức [3] Chuyên đề Trắc nghiệm Số Phức tác giả Đặng Việt Đông [4] Rèn luyện kĩ giải tập tự luận trắc nghiệm Giải tích 12 tác giả Lương Mậu Dũng – Nhà xuất Giáo dục 15 ... học sinh lớp kết sau: Năm Lớp Trước thực đề tài Số học sinh Số học sinh trả lời Sĩ trả lời xác số xác 30s – 1p 2 017 12C5 45 2 018 15 Sau thực đề tài Số học sinh Số học sinh trả lời trả lời xác xác... câu trắc nghiệm khác Theo số liệu thống kê trước dạy đề tài lớp 12 C5 trực tiếp giảng dạy năm học 2 017 - 2 018 trường THPT Quảng Xương 1, kết sau: Năm Lớp Sĩ số Số học sinh trả lời xác Số học sinh. .. kiến kinh nghiệm có tên: Một số phương pháp hướng dẫn học sinh lớp 12 Trường THPT Quảng Xương trả lời nhanh câu hỏi trắc nghiệm tốn cực trị Số Phức 1. 2 Mục đích nghiên cứu: Đề tài góp phần trang