SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình giải tích

CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc TÊN ĐỀ TÀI, SÁNG KIẾN, GIẢI PHÁP: GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Họ tên: Nguyễn Hữu Tình Chức vụ: Giáo viên Đơn vị cơng tác: Trường THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp Quảng Bình, tháng 11 năm 2018 CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc TÊN ĐỀ TÀI, SÁNG KIẾN, GIẢI PHÁP: GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Quảng Bình, tháng 11 năm 2018 MỤC LỤC Phần mở đầu Trang 1.1 Lý chọn đề tài Trang 1.2 Điểm đề tài Trang Phần nội dung Trang 2.1 Thực trạng vấn đề tìm cực trị số phức Trang 2.1 Nơi dung giải pháp Trang Một số kiến thức, kí hiệu ban đầu Trang Các tốn Trang Phần kết luận Trang 26 3.1 Ý nghĩa, phạm vi áp dụng đề tài Trang 26 3.2 Kiến nghị, đề xuất Trang 26 Tài liệu tham khảo Trang 27 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Kể từ năm học 2016 – 2017, Bộ Giáo dục – Đào tạo đưa vào việc thi hình thức thi trắc nghiệm Để giải toán trắc nghiệm cách nhanh chóng, ngồi việc học sinh cần nắm kiến thức cần phải có số thủ thuật định Trong trình giảng dạy, tơi thấy để giải tốn Số phức nói chung, đặc biệt tốn: Tìm cực trị số phức, có nhiều phương pháp có phương pháp sử dụng Hình học giải tích Nhiều toán đặc biệt toán trắc nghiệm cho ta kết nhanh tuyệt vời Vì vậy, tơi chọn để tài “Giải tốn cực trị số phức phương pháp hình giải tích” để đề tài sáng kiến 1.2 Điểm đề tài - Sử dụng phương pháp hình học giải tích để mơ tả tốn số phức - Bằng việc mơ tả tốn số phức hình học giải tích, giúp ta đưa lời giải ngắn gọn việc chọn đáp án (trong câu hỏi trắc nghiệm) cách nhanh chóng trực quan Trang PHẦN NỘI DUNG 2.1 Thực trạng vấn đề tìm cực trị số phức Trong chương trình Tốn THPT, phần Đại số mà cụ thể phần Số học, chương trình lớp 12, học sinh hồn thiện hiểu biết tập hợp số thơng qua việc cung cấp tập hợp số, gọi Số phức Trong chương này, học sinh bước đầu làm quen với phép toán cộng, trừ, nhân, chia, khai căn, lũy thừa; lấy mô đun, …các số phức Bằng cách đặt tương ứng số phức z  x  yi,( x; y �R, i  1) với điểm M ( x; y ) mặt phẳng tọa độ Oxy , ta thấy Đại số Hình học có mối liên hệ với “gần gũi” Hơn nữa, nhiều toán Đại số bên Số phức, chuyển sang Hình học, từ số trừu tượng, toán minh họa cách trực quan, sinh động giải Hình học với phương pháp đẹp Đặc biệt, kỳ thi Đại học, Cao đẳng THPT Quốc gia năm gần đây, việc sử dụng phương pháp Hình học để giải tốn Số phức phương pháp hay hiệu quả, đặc biệt toán Cực trị số phức Hơn nữa, với tốn Hình học theo phương pháp trắc nghiệm, biểu diễn giấy qua hình ảnh minh họa, ta lựa chọn đáp án cách dễ dàng Tuy nhiên, thực tế giảng dạy, việc chuyển từ tốn Đại số nói chung Số phức nói riêng sang tốn Hình học nhiều học sinh nói chung nhiều lúng túng, việc giải toán Số phức gây nhiều khó khăn cho học sinh Bài tốn Cực trị Số phức thơng thường có nhiều cách lựa chọn để giải dùng Bất đẳng thức, dùng Khảo sát hàm số, … Qua chuyên đề này, muốn gợi ý cho học sinh lối tư vận dụng linh hoạt phương pháp chuyển đổi từ tốn Đại số sang Hình học cho học sinh, giúp em có nhìn cụ thể việc chuyển đổi vận tư cho tốn khác.Với mục tiêu đó, chuyên đề này, tập trung giải tốn theo hướng Hình học Khơng đặt nặng việc so sánh phương pháp nhanh hơn, tối ưu phương pháp Trang 2.1 Nội dung giải pháp Một số kiến thức, kí hiệu ban đầu 1.1 Các định nghĩa kí hiệu a) Số i:Ta thừa nhận có số mà bình phương 1 Kí hiệu: i Như vậy, i  1 b) Số phức: Cho x, y �R, biểu thức z  x  yi gọi (dạng đại số) số phức x : Phần thực; y : Phần ảo c) Với số phức z  x  yi , giá trị biểu thức x  y gọi mơ đun z Kí hiệu: z Như vậy, z  x  y d) Với số phức z  x  yi Số phức z '  x  ( y )i  x  yi gọi số phức liên hợp số phức z Kí hiệu z Như vậy, z  x  yi z  x  yi e) Với số phức z  x  yi Xác định điểm M ( x; y ) mặt phẳng tọa độ Oxy Điểm M gọi biểu diễn hình học số phức z Để cho tiện, tập tài liệu này, tơi kí hiệu M ( x; y )  M ( z ) hay đơn giản M ( z ) để M điểm biểu diễn cho số phức z  x  yi 1.2 Các phép toán tập hợp số phức Cho hai số phức z  x  yi, z '  x ' y ' i.( x, y, x ', y ' �R, i  1) + Phép cộng: z  z '  ( x  x ')  ( y  y ')i + Phép trừ: z  z '  ( x  x ')  ( y  y ')i + Phép nhân: z.z '  ( xx ' yy ')  ( xy ' x ' y )i z z z '  với z ' �0  0i z ' z '.z ' 1.3 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxyquen thuộc + Với M ( z ) z  OM + Phép chia: + Với M  M ( z ), M '  M '( z ') z  z '  MM ' + Với A  A( z A ), B  B( z B ), z A , zB hai số phức khác cho trước tập hợp điểm M  M ( z ) thỏa mãn hệ thức z  z A  z  z B đường trung trực đoạn AB + Với M  M ( z0 ),R  , tập hợp điểm M  M ( z ) thỏa mãn hệ thức z  z0  R đường tròn tâm M , bán kính R Trang Các tốn BÀI TỐN 1:Cho số phức z0  a0  b0i, a, b �R tập hợp số phức z  x  yi thỏa mãn hệ thức: z  z1  z  z2 a) Tìm giá trị nhỏ z  z0 b) Tìm z để z  z0 nhỏ Nhận xét: + Gọi M  M ( z ) , M  M ( z0 ); A  A( z1 ); B  B ( z2 ) z  z0  MM + Từ đẳng thức z  z1  z  z2 Suy ra, M thuộctrung trực  đoạn AB Bài tốn chuyển thành: a) Tìm giá trị nhỏ M M với M � b) Tìm M � cho M M nhỏ + Ta thấy, với điểm M � M M �M H , H hình chiếu M0 lên  Do đó, z  z0  d ( M ; ) Và để M M nhỏ với M � M �H hay M hình chiếu M0 lên  Lời giải - Từ hệ thức z  z1  z  z2 , suy phương trình đường thẳng  + Với câu a), ta tính khoảng cách d ( M ;  ) Và kết luận, z  z0  d ( M ; ) + Với câu b), - Viết phương trình đường thẳng d qua M0, vng góc với  (hoặc song song với AB) - Giải hệ gồm hai phương trình:  d suy nghiệm ( x; y ) Kết luận, số phức cần tìm z  x  yi Đặc biệt: z tức tìm số phức z cho mô đun z nhỏ Ví dụ 1.1 Trong tất số phức z thỏa mãn z   2i  z   4i Tìm giá trị nhỏ mô đun z A 13 13 Lời giải B 13 C D 26 Trang Đặt z  x  yi; x, y �R M  M ( z )  M ( x; y ) có: z   2i  z   4i � ( x  1)  ( y  2)   x  3   y   Ta hay M � : x  y   Khoảng cách từ O đến  là: d (O; )  Vậy, z  22  (3) 5 13  13 13  13 Chọn đáp án A 13 Bình luận: Hãythể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Ví dụ 1.2 Trong tất số phức z thỏa mãn hệ thức z   3i  z   5i Tìm giá trị nhỏ z   i A B C 68 12 17 17 D 34 Lời giải Đặt z  x  yi; x, y �R M  M ( z ) Ta có: z   3i  z   5i � ( x  1)  ( y  3)   x     y   2 hay M � : x  y   + z   i  d ( M ;  )  2  4.(1)  12  (4)  12 12 17  17 17 (Ở đây, M (2; 1)) Chọn đáp án C Trang Bình luận: Hãythể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Ví dụ 1.3 Trong tất số phức z  a  bi, a, b �R thỏa mãn hệ thức z   5i  z  i Biết rằng, z   i nhỏ Tính P  a.b A  23 100 B 13 100 C  16 D 25 Lời giải: Đặt M  M ( z ) Từ hệ thức z   5i  z  i , ta M � : x  y   Đặt M (1;1) z   i  M M Gọi d đường thẳng qua M (1;1) vng góc với  d : hay d : x  y   x 1 y 1  3 Trang � x � �x  y  � 10 �� Vậy, hình chiếu vng góc M lên Xét hệ phương trình: � x  y  2 � 23 � y � 10 �1 23 �  H � ;  � 10 10 � � 23 23 Chọn đáp án A Vậy, z   i nhỏ z   i � P   10 10 100 Bình luận: Hãythể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án BÀI TỐN 2: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z  z0  R  Trong đó, z0  a  bi cho trước a) Tìm giá trị lớn (giá trị nhỏ nhất) z  z1 , z1 số phức cho trước b) Tìm số phức z để z  z1 đặt giá trị lớn (hay nhỏ nhất) Nhận xét: + Đặt M  M ( z ) , I  I ( z0 ); A  A( z1 ); z  z0  MI + Từ đẳng thức z  z0  R Suy ra, M thuộc đường tròn (C) tâm I , bán kính R Bài tốn chuyển thành: a) Tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) AM với M �(C ) b) Tìm M �(C ) cho AM lớn (hay nhỏ nhất) + Gọi M , M giao điểm đường thẳng AI (C) (hình minh họa) với điểm M �(C ) , ta ln có AM �AM �AM Do đó:  AM   AM  AI  R ;max  AM   AM  AI  R Lời giải a) z  z1  z1  z0  R ;max z  z1  z1  z  R b) Tìm z + Từ hệ thức z  z0  R  Suy phương trình đường tròn (C) + Viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm A( z1 ), I ( z0 ) Trang - Gọi I trung điểm AB Khi đó, với điểm M � , ta có: MA2  MB AB MI   AB Suy ra, MA  MB  MI  Do A, B, cố định nên AB không đổi, MA2  MB nhỏ � MI nhỏ  M M , M hình chiếu I lên đường thẳng  Và giá trị nhỏ 2 AB AB 2 MA  MB làm MA  MB  2M I   2d ( I ,  )  2 Lời giải - Từ z  z1  z  z2 Suy phương trình đường thẳng  - Tìm trung điểm I đoạn thẳng AB + Với câu a): Tính khoảng cách từ I đến , độ dài đoạn thẳng AB Kết luận: 2 2 AB  MA  MB   2d ( I , )  + Với câu b): Viết phương trình đường thẳng d qua I vng góc với  Nghiệm x, y hệ hai phương trình , d phần thực phần ảo z 2 Ví dụ 4.1 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z   2i  z   i Tìm giá trị nhỏ 2 z  i  z   i 305 441 169 B C D 34 68 34 Lời giải Đặt M  M ( z ) Từ z   2i  z   i Ta được, M � :8 x  y   Đặt A(0; 1), B(2;1) gọi I trung điểm AB I (1;0) Khoảng cách từ I đến A  d ( I ,  )  13 , AB  68 Trang 15  MA2  MB   2d ( I ,  )  AB 169 305    68 34 Chọn đáp án A Bình luận: Hãythể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Ví dụ 4.2 Trong tất số phức z thỏa mãn hệ thức | z   3i || z   i | Tìm số 2 phức z cho z   i  z   i đạt giá trị nhỏ A z   i B z  C z   i D z   i Lời giải Đặt M  M ( z ) Từ hệ thức | z   3i || z   i | Ta được, M � : x  y   Đặt A(1;1), B (3;1) Gọi I trung điểm AB I (1;1) Đường thẳng qua I, vng góc với  có phương trình: x  y   x 1 y 1  1 hay �x  y   �x  �� Xét hệ phương trình: � Vậy, số phức thỏa mãn yêu cầu �x  y   �y  toán z  Trang 16 Chọn đáp án B Bình luận: Hãythể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Ví dụ 4.3 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z   5i  z   11i Biết rằng, số phức z  x  yi thỏa mãn z   8i  z   6i đạt giá trị nhỏ Giá trị biểu thức P  x  y A 16 Lời giải B 4 C 1 D Đặt M ( x; y )  M ( z ) Từ hệ thức z   5i  z   11i Ta được, M � : x  y  12  Đặt A(2;8), B (6;6), I trung điểm AB I (4;7) Đường thẳng d qua I vng góc với  có phương trình: x  y  16  �4 x  y  12  �x  �� Xét hệ phương trình: � Vậy, P  16 3x  y  16  �y  � Chọn đáp án A BÀI TOÁN Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z  z1  z  z2 a) Tìm giá trị lớn z  z A  z  z B b) Tìm z để z  z A  z  z B đạt giá trị lớn Nhận xét - Đặt A  A( z A ), B  B ( z B ), M  M ( z ) z  z A  MA, z  z B  MB - Từ z  z1  z  z2 Suy ra, M �đường thẳng  Trang 17 Dẫn đến tốn: Tìm đường thẳng  cho trước điểm M cho MA  MB lớn Tính giá trị - Với A, B cố định + Nếu A, B phía so với  với điểm M � , ta ln có MA  MB �AB Dấu xảy M , A, B thẳng hàng hay M   �AB + Với A, B khác phía so với  , gọi A ' điểm đối xứng với A qua  với điểm M � , ta ln có MA  MB  MA ' MB �A ' B Dấu xảy M , A ', B thẳng hàng hay M   �A ' B Cách giải: - Từ hệ thức z  z1  z  z2 Suy phương trình đường thẳng  - Thay tọa độ điểm A, B vào phương trình  để kiểm tra xem A, B phía hay khác phía so với  + Nếu A, B phía với  Với câu a) giá trị lớn z  z A  z  z B AB Với câu b): Viết phương trình đường thẳng AB Giải hệ gồm phương trình đường thẳng  AB ta nghiệm x,y phần thực phần ảo z + Nếu A, B khác phía với  - Viết phương trình đường thẳng d qua A , vng góc với  Giải hệ phương trình gồm phương trình  d , ta nghiệm ( x; y ) tọa độ điểm H - Lấy điểm A ' cho H trung điểm AA ' Với câu a) giá trị lớn z  z A  z  z B A ' B Với câu b): Viết phương trình đường thẳng A’B Giải hệ gồm phương trình đường thẳng  A’B ta nghiệm x,y phần thực phần ảo z Ví dụ5.1 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z   i  z   7i Tìm giá trị lớn biểu thức P  z   i  z   4i A 13 B 10 C 13 D Trang 18 Lời giải Đặt M ( x; y )  M ( z ), A(4;1), B(2;4) Từ hệ thức z   i  z   7i , ta được: M � : x  y   Thế tọa độ điểm A vào phương trình  , ta được: 2.4  3.1   Thếtọa độ điểm B vào phương trình  , ta được: 2.2  3.4   Vậy, A, B phía với  Theo phần lý thuyết trên, ta được: Giá trị lớn P AB  (2  4)2  (4  1)  13 Chọn đáp án A Bình luận: Hãythể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Ví dụ 5.2 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z   z  i Biết rằng, số phức z  x  yi thỏa mãn z   i  z   6i đạt giá trị lớn Giá trị biểu thức P  x  y A B C C 2 Lời giải Đặt M ( x; y )  M ( z ), A(3;1), B(2;6) Từ hệ thức z   z  i , ta được: M � : x  y  Thế tọa độ điểm A vào phương trình  , ta được:   Thếtọa độ điểm B vào phương trình  , ta được:   Vậy, A, B khác phía so với  Theo phần lý thuyết trên.Gọi A ' điểm đối xứng A qua đường thẳng  : y  x ta A '(1;3) Đường thẳng A ' B : x 1 y   hay x  y   Trang 19 �y  x �x  �� Giao điểm  A ' B nghiệm hệ � 3x  y  �y  � Vậy, số phức z thỏa mãn z   i  z   6i lớn z   0i nên P  Bình luận: Hãythể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án BÀI TOÁN Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z  z0  R,(R  0) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức z  z A  z  z B 2 b) Tìm số phức z để z  z A  z  z B đạt giá trị nhỏ (giá trị lớn nhất) Nhận xét: 2 - Đặt A  A( z A ), B  B ( z B ), M  M ( z ) z  z A  MA2 , z  z B  MB - Từ z  z0  R Suy ra, M �đường tròn (C) tâm I , bán kính R Dẫn đến tốn: Với A, B cố định Tìm M �(C ) để MA2  MB nhỏ Tìm giá trị MA2  MB AB - Gọi H trung điểm AB Ta có: MH   Suy ra, AB MA  MB  2MH  2 2 Trang 20 Do A, B cố định nên AB không đổi Vậy + MA2  MB nhỏ � MH nhỏ � M �M (hình minh họa) AB MA  MB = R  IH  + MA2  MB lớn � MH lớn � M �M (hình minh họa) giá trị lớn 2 MA2  MB  R  IH   AB Lời giải - Từ hệ thức z  z0  R,( R  0) Suy phương trình đường tròn (C), tâm I bán kính (C) - Tìm tọa độ trung điểm H đoạn AB AB 2 2 2 - Nếu yêu cầu tìm min{ MA  MB } min{ MA  MB } = R  IH  - Nếu yêu cầu tìm z viết phương trình đường thẳng IH Giải hệ gồm phương trình đường thẳng IH (C), suy hai nghiệm (x; y) hệ Thử lại để chọn kết phù hợp với đáp án - Nếu yêu cầu tìm giá trị lớn { MA2  MB } giá trị lớn { AB MA  MB } 2( R  IH )  - Nếu yêu cầu tìm z viết phương trình đường thẳng IH Giải hệ gồm phương trình đường thẳng IH (C), suy hai nghiệm (x; y) hệ Thử lại để chọn kết phù hợp với đáp án Ví dụ 6.1 Cho số phức z thỏa mãn z  Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu 2 2 thức z   6i  z   10i là: A 66 466 B và15 C 82 482 D 41 241 Lời giải Đặt M  M ( z ) Từ hệ thức z  Suy ra, M thuộc đường tròn tâm O (0;0), bán kính R  Đặt A(8;6), B(4;10) Gọi H trung điểm AB H (6;8), OH  100, AB  32 Trang 21 Theo lý thuyết 2 Giá trị nhỏ P  z   6i  z   10i  MA2  MB Pmin  R  OH  AB  66 2 Giá trị lớn P  z   6i  z   10i  MA2  MB Pmax AB  R  OH   466 2 Chọn đáp án A Ví dụ 6.2 Trong tất số phức z thỏa mãn z   i  13 , tìm số phức z cho 2 z   5i  z   9i nhỏ A z  3  4i B z  2  3i C z  7  2i D z  2  i Lời giải Đặt M  M ( z ) Từ hệ thức z   i  13 Suy ra, điểm M thuộc đường tròn (C ) : ( x  5)  ( y  1)  13 Tâm I (5;1), bán kính R  13 Đặt A(1;5), B (3;9) Gọi H trung điểm AB H (1;7) Đường thẳng IH : x 1 y   hay x  y  17  4 6 � ( x  5)2  ( y  1)2  13 Giải Tọa độ giao điểm IH (C ) nghiệm hệ: � 3x  y  17  � x  3; y  � ta được, � x  7; y  2 � Trang 22 Với x  3, y  M 1H  13 với M (3;4) Với x  7, y  2 M H  14 với M (7; 2) 2 Theo phần lý thuyết trên, z   5i  z   9i  MA2  MB nhỏ M �M Vậy số phức cần tìm là: z  3  4i Chọn đáp án A BÀI TOÁN 7: Cho hai số phức z, z’ thỏ mãn hệ thức z  z1  R, z ' z2  z ' z3 Trong đó, z1 , z2 , z3 số phức cho trước Tìm giá trị nhỏ z  z ' Nhận xét: - Đặt M  M ( z ), M '  M ( z ') Từ hệ thức z  z1  R Suy ra, M thuộc đường tròn (C) Từ hệ thức z ' z2  z ' z3 Suy ra, M’ thuộc đường thẳng  z  z '  MM ' Dẫn đến tốn Tìm điểm M �, M ' �(C ) cho MM ' nhỏ Trang 23 (C ) + Trường hợp ǹ� giá trị nhỏ z  z ' + Trường hợp  �(C )  � giá trị nhỏ z  z ' z  z '  d ( I , )  R Lời giải - Từ hệ thức z  z1  R Suy ra, đường tròn (C), tâm I, bán kính R (C) - Từ hệ thức z ' z2  z ' z3 Suy ra, đường thẳng  - Tính khoảng cách d từ I đến  + Nếu d �R giá trị nhỏ z ( x; y )  z '( x; y)  d �(C ) z  z' z  z '  + Nếu d  R giá trị nhỏ z  z ' z  z '  d  R z ( x; y )  M ( x; y ) hình chiếu I lên  z '( x '; y ')  M '( x '; y ')  a �(C ), a đường thẳng qua I vng góc với  (Chú ý: Chọn M’ điểm nằm I,M) Ví dụ 7.1 Cho số phức z , z ' thỏa mãn z   i  z '  3i  z '  9i Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  z  z ' gần số số sau A 1,6 B 1,1 C 1,7 D 1,5 Lời giải Đặt M  M ( z ), M '  M '( z ') Từ hệ thức z   i  , suy M thuộc đường tròn: ( x  2)  ( y  1)  với tâm I (2;1), bán kính R  Từ hệ thức z   3i  z   9i , suy M ' thuộc đường thẳng  : x  y   Trang 24 Khoảng cách từ I đến  d ( I , )  2     R Vậy, giá trị nhỏ biểu thức P  z  z '  �1,54 Chọn đáp án D Trang 25 PHẦN KẾT LUẬN 3.1 Ý nghĩa, phạm vi áp dụng đề tài Thông qua đề tài này, thấy rằng, với số toán nhìn ta thấy việc giải tốn theo cách thơng thường đơi gặp nhiều khó khăn Tuy nhiên, linh hoạt, sáng tạo hiểu chất vấn đề giải cách nhanh chóng kết bất ngờ Với đề tài này, thân tơi vận dụng q trình dạy học sinh ôn thi THPT Quốc gia năm học 2017– 2018 nhận thấy rằng, đa số học sinh hào hứng tiếp nhận phương pháp thực tốt tập có dạng liên quan Vì vậy, tơi cho rằng, với đề tài này, đồng nghiệp vận dụng trình giảng dạy học sinh học tập chương trình Giải tích lớp 12, chương 4, phần Số phức cách có hiệu 3.2 Kiến nghị, đề xuất Trong trình thực hiện, chắn không tránh khỏi sơ suất Rất mong qđồng nghiệp học sinh gópý đề tài thực tài liệu tham khảo có giá trị cho giáo viên học sinh giải tốn Trang 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đồn Quỳnh (tổng chủ biên), Giải tích 12 Nâng cao, NXB Giáo dục, 2012 Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), Giải tích 12, NXB Giáo dục, 2012 Các đề thi: Đề minh họa THPT Quốc gia 2017, 2018; Đề thi THPT Quốc gia 2017, 2018 https://www.luyenthithukhoa.vn/tap-chi-thtt-online https://vi.wikipedia.org/wiki/S%E1%BB%91_ph%E1%BB%A9c https://toanmath.com/so-phuc Trang 27 ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ CHUYÊN MÔN …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Trang 28 Ý KIẾN CỦA SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Trang 29 ... Tìm cực trị số phức, có nhiều phương pháp có phương pháp sử dụng Hình học giải tích Nhiều tốn đặc biệt toán trắc nghiệm cho ta kết nhanh tuyệt vời Vì vậy, tơi chọn để tài Giải toán cực trị số phức. .. trị số phức phương pháp hình giải tích để đề tài sáng kiến 1.2 Điểm đề tài - Sử dụng phương pháp hình học giải tích để mơ tả tốn số phức - Bằng việc mơ tả tốn số phức hình học giải tích, giúp... việc sử dụng phương pháp Hình học để giải toán Số phức phương pháp hay hiệu quả, đặc biệt toán Cực trị số phức Hơn nữa, với tốn Hình học theo phương pháp trắc nghiệm, biểu diễn giấy qua hình ảnh