sáng kiến Hướng dẫn học sinh xác định chân đường cao trong bài toán tính thể tích khối đa diện

THễNG TIN CHUNG V SNG KIN Tờn sỏng kin: Hng dn hc sinh xỏc nh chõn ng cao bi toỏn tớnh th tớch a din Lnh vc ỏp dng sỏng kin: Giỏo dc o to Thi gian ỏp dng sỏng kin: T ngy 25 thỏng 09 nm 2015 n ngy 15 thỏng 05 nm 2016 Tỏc gi: H v tờn: Phm Cao Th Nm sinh: 1983 Ni thng trỳ: Xó Xuõn Thng - Huyn Xuõn Trng - Tnh Nam nh Trỡnh chuyờn mụn: C nhõn toỏn hc Ni lm vic: Trng THPT Xuõn Trng a ch liờn h: Xó Xuõn Thng - Huyn Xuõn Trng - Tnh Nam nh in thoi: 0914.436.388 T l úng gúp to sỏng kin: 90% n v ỏp dng sỏng kin: Tờn n v: Trng THPT Xuõn Trng a ch: Xó Xuõn Hng - Huyn Xuõn Trng - Tnh Nam nh in thoi: 03503.886.167 BO CO SNG KIN HNG DN HC SINH XC NH CHN NG CAO TRONG BI TON TNH TH TCH KHI A DIN PHN I IU KIN HON CNH TO RA SNG KIN Th tớch a din l mt ch rt quan trng cỏc ch toỏn hc trng ph thụng c bit, nhng nm gn õy, bi toỏn tớnh th tớch a din l khụng th thiu cỏc k thi i hc, k thi hc sinh gii, nú xut hin thng xuyờn v khú cng ngy cng c nõng lờn nờn ụi lỳc cỏch gii quyt i vi nhiu hc sinh cũn gp nhiu khú khn Vi mong mun giỳp cỏc em hc sinh cú k nng tt, khụng cũn b ng gp cõu hi tớnh th thớch a din, tụi suy ngh rng, cn phi h thng li kin thc, phõn dng bi c th v cn cú phõn tớch i vi lp cỏc bi toỏn ú hc sinh hiu, dng v cú t logic nhng bi cú dng tng t PHN II Mễ T GII PHP A Mễ T GII PHP TRC KHI Cể SNG KIN i vi bi toỏn th tớch a din, SGK Hỡnh hc 12 ch a c rt ớt vớ d v mt s bi c bn Chớnh vỡ vy hc sinh thng gp nhiu khú khn vic tớnh th tớch a din va thõm chi khụng biờt cach giai c biờt cac thi hoc - Cao ng, thi THPT Quc gia v thi hc sinh gii cac em se gp bi toỏn v th tớch ca a din nhiờu dang khac Vi võy, viờc giup cho cac em co ki nng tụt, cung nh cung cõp thờm cac phng phap tớnh th tớch a din la rõt cõn thiờt nhm ap ng nhu cõu thc tờ hiờn Mụt iờu rõt quan trong qua trinh tớnh th tớch a din l a phn cỏc em hc sinh cha bit cỏch xỏc nh chiu cao ca a din nờn vic tớnh th tớch a din l khụng chớnh xỏc Do ú tụi ó h thng li cỏc cỏch xỏc nh chõn ng cao ca mt s a din c bit cỏc em nm c v t ú hon ton tớnh c th tớch ca cỏc a din c th B Mễ T GII PHP SAU KHI Cể SANG KIẫN CHNG CC KIN THC C BN 1.1 Cỏc h thc lng tam giỏc a H thc lng tam giỏc vuụng: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A ,khi ú ta cú (1) nh lớ Pithago: BC = AB + AC (2) c = c '.a (3) b = b '.a ( AC = CH BC ) (4) ah = bc ( AH BC = AB AC ) (5) A ( AB = BH BC ) c B b h b' c' H 1 = 2+ 2 h b c C a b c b c (6) sin B = ; cos B = ; tan B = ; cot B = a a c b b H thc lng tam giỏc ABC : A nh lớ cụsin: a = b + c 2bc cos A nh lớ sin: 2 a b c = = = 2R sin A sin B sin C a B c Cụng thc tớnh din tớch tam giỏc: S = 1 1 1 aha = bhb = chc = ab sin C = ac sin B = bc sin A 2 2 2 S = abc = pr = 4R p ( p a) ( p b) ( p c) b c (Vi p = C a+b+c ) d Din tớch hỡnh vuụng cnh a: S = a e Din tớch hỡnh ch nht cỏc kớch thc a v b: S = a.b f Din tớch hỡnh thang: S = ( a + b ) h ú a v b l di hai ỏy, h l chiu cao ca hỡnh thang 1.2 Quan h song song 1.2.1 Mt s phng phỏp chng minh hai ng thng song song a Phng phỏp 1(v giao tuyn ca ba mt phng phõn bit) ( ) ( ) = a a / / b, b / / c, c / / a ( ) ( ) = b a, b, cng quy ( ) ( ) = c b Phng phỏp (H qu ca nh lý v giao tuyn ca ba mt phng phõn bit) () a c a; c b () b c / / a a / /b c/ /b ( ) ( ) = c c Phng phỏp a b a / / c a / /b b / / c d Phng phỏp a / /() ( ) a b / /a ( ) ( ) = b e Phng phỏp () ( ) ( ) / / d , ( ) / / d d '/ / d () ( ) = d ' f Phng phỏp () / /( ) ( ) ( ) = a a / / b ( ) ( ) = b g Phng phỏp ab a ( ) a / / b b ( ) 1.2.2 Mt s phng phỏp chng minh ng thng song song vi mt phng a Phng phỏp d () d / /d ' d / / ( ) d ' ( ) b Phng phỏp a ( ) a b a / /() ( ) b 1.2.3 Mt s phng phỏp chng minh hai mt phng song song a Phng phỏp ( ) a, ( ) b ab = I () / /( ) a / /( ) b / /( ) b Phng phỏp ( ) ( ) ( ) / / ( ) ( ) / / ( ) ( ) / / ( ) c Phng phỏp ( ) ( ) a () () / /( ) a () 1.3 Quan h vuụng gúc 1.3.1 Mt s phng phỏp chng minh hai ng thng vuụng gúc a Phng phỏp uuur uuur r Cho hai ng thng AB, CD ú nu AB.CD = AB CD b Phng phỏp Tớnh gúc gia hai ng thng bng 900 c Phng phỏp 3(nh lớ ba ng vuụng gúc) Gi b l hỡnh chiu vuụng gúc ca b lờn ( ) v a ( ) Khi ú a b a b ' d Phng phỏp a ( ) ab b ( ) e Phng phỏp b/ / ( ) ab a ( ) 1.3.2 Mt s phng phỏp chng minh ng thng vuụng gúc vi mt phng a Phng phỏp ab ac a () bc = I b, c ( ) b Phng phỏp a / /b b () a ( ) c Phng phỏp ( ) / / ( ) a () a () d Phng phỏp ( ) ( ) ( ) ( ) = a b () b() ba e Phng phỏp ( ) ( ) = a ( ) ( ) a ( ) ( ) () 1.3.3 Mt s phng phỏp chng minh hai mt phng vuụng gúc iu kin cn v hai mt phng vuụng gúc l mt phng ny cha mt ng thng vuụng gúc vi mt phng 1.4 Gúc 1.4.1 Gúc gia ng thng: Nu a / / a ', b / / b ', b b ' = O thỡ a a' gúc gia hai ng thng a v b l gúc O gia hai ng thng a v b b' b 1.4.2 Gúc gia ng thng v mt phng: Gi a ' l hỡnh chiu ca a trờn ( ) Gúc gia a v ( ) a l gúc gia a v a' a 1.4.3 Gúc gia hai mt phng: Gi l gúc gia hai mt phng b ( ) ( ) = d ( ) v ( ) Khi ú, nu a ( ) , a d b ( ) , b d d A thỡ l gúc gia a v b 1.5 Khong cỏch 1.5.1 Khong cỏch t im n mt ng thng d ( A, ) = AH vi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn 1.5.2 Khong cỏch t im n mt mt phng a d ( A, ( ) ) = AH vi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn ( ) 1.5.3 Khong cỏch gia ng thng v mt phng song vi d ( , ( a ) ) = d ( A, ( ) ) , A 1.5.4 Khong cỏch gia hai mt phng song song d ( ( a ) , ( ) ) = d ( A, ( ) ) , A ( ) 1.5.5 Khong cỏch gia hai ng thng chộo a v b d ( a, b ) = d ( a , ( ) ) ú ( ) l mt phng cha b v song song vi a CHNG NI DUNG 10 Du hiu 3: Hỡnh chúp cú ớt nht ba mt bờn to vi ỏy nhng gúc bng Phng phỏp: Chõn ng cao chớnh l tõm ng trũn ni tip(bng tip) a giỏc vi cỏc cnh ca mt bờn m nm mt ỏy Trong nhng bi nh vy ta cn ch rừ chõn ng cao nm bờn hay bờn ngoi a giỏc ỏy Nu khụng ta phi xột c hai trng hp ú Vớ d Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC cú AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Cỏc mt bờn SAB, SBC, SCA to vi ỏy mt gúc 60o Tớnh th tớch chúp bit chõn ng cao h t nh S nm bờn mt ỏy Phõn tớch: Ta cn chng minh chõn ng cao H h t S l tõm ng trũn ni tip tam giỏc ABC Gii: H SH ( ABC ) , k HE AB, HF BC, HJ AC S suy SE AB, SF BC, SJ AC Ta cú ẳ SEH = ẳ SFH = ẳ SJH = 60O SAH = SFH = SJH nờn HE =HF = HJ = r ( r l bỏn kớnh ng trũn ngoi tip ABC ) Ta cú SABC = p ( p a )( p b)( p c) J a+b+c A C = 9a Nờn SABC = 9.4.3.2 a vi p = 60 H S 6a Mt khỏc SABC = p.r r = = p E Tam giỏc vuụng SHE cú SH = r.tan 600 = 2a Vy VSABC = 6 a 2 a = a F B Nhn xột: Trong cỏc bi toỏn dng ny nu khụng cú iu kin chõn ng cao nm bờn mt ỏy thỡ chõn ng cao cú th l tõm ng trũn bng tip tam giỏc ABC Vớ d Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh thang vuụng ti A v D, SAD u cnh bng 2a, BC = 3a Cỏc mt bờn lp vi ỏy cỏc gúc bng Tớnh V SABCD , bit chõn ng cao h t nh S nm bờn mt ỏy Phõn tớch: Vỡ cỏc mt bờn to vi ỏy mt gúc bng v chõn ng cao h t S nm bờn mt ỏy nờn chõn ng cao chớnh l tõm ng trũn ni tip a giỏc ỏy Gii: H SH (ABCD), H (ABCD) Vỡ cỏc mt bờn lp vi ỏy cỏc gúc bng nờn d dng chng minh c H l tõm ng trũn ni tip ỏy AD =a Gi K l hỡnh chiu ca H lờn AD Ta cú HK = Tam giỏc vuụng SHK cú HK = a, SK = 2a = a , SH = 3a a = a 2 30 Vỡ ABCD ngoi tip nờn: AB + CD = AD + BC = 5a ( AB + CD ) AD = 5a.2a = 5a SABCD = 2 1 5a VSABCD = S ABCD SH = 5a a = 3 D C K 2a H 3a Bi tng t: Bi Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc cõn vi AB = AC = 3a, BC = 2a Cỏc mt bờn hp vi ỏy mt gúc 600 Tớnh th tớch chúp S.ABC theo a 2a 3 S: VS ABC = Bi Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc cõn, AB = a, AC = 2a, BC = a Bit rng cỏc mt bờn (SAB), (SBC), (SCA) u hp vi mt ỏy gúc 600 K ng cao SH ca hỡnh chúp CMR: H l tõm ng trũn ni tip tam giỏc ABC v tớnh th tớch chúp S.ABC theo a Du hiu 4: Hỡnh chúp hai cnh bờn bng Phng phỏp: Nu hỡnh chúp cú cnh bờn SA = SB thỡ chõn ng vuụng gúc h t nh S xung mt phng ỏy nm trờn ng trung trc ca ng thng AB Vớ d Cho hỡnh chúp S.ABC cú hai tam giỏc SBC v ABC ln lt cõn ti S v A Gúc gia (SBC) v (ABC) bng 600 v gúc BAC bng 1200 Cú SB = 2a, AB = 2a Tớnh th tớch ca chúp S.ABC theo a Phõn tớch: Vỡ SB = SC nờn chõn ng cao nm trờn ng trung trc ca cnh BC thuc mt ỏy v cng chớnh l ng cao AM tam giỏc ABC cõn ti A Gii: Gi M l trung im BC K SH vuụng gúc vi AM ti H (1) AM BC BC ( SAM ) BC SH (2) Vỡ SM BC T (1), (2) ta cú SH ( ABC ) Trong tam giỏc ABC ta tớnh c: AM = a, BC = 2a Khi ú ta tớnh c: SM = a Vỡ gúc gia (SBC) v (ABC) bng 600 Nờn ta cú SMA = 600 t ú ta cú a SH = Vy VS ABC = SH S ABC = a 3 31 Vớ d Cho lng tr ABC.ABC cú ỏy l tam giỏc vuụng cõn ti A v AC = 2a Tam giỏc ABC u Gúc gia cnh bờn v mt ỏy bng 60 Tớnh th tớch lng tr ABC.ABC theo a Phõn tớch: Vỡ AB = AC nờn chõn ng cao nm trờn ng trung trc ca cnh BC thuc mt ỏy v cng chớnh l ng cao AM tam giỏc ABC cõn ti A Gii: Gi M l trung im BC K AH vuụng gúc vi AM ti H (1) AM BC BC ( A ' AM ) BC A ' H Vỡ A ' M BC (2) T (1), (2) ta cú A ' H ( ABC ) Trong tam giỏc ABC ta tớnh c: AM = a , \BC = 2a Khi ú ta tớnh c: AM = a Vỡ gúc gia SA v (ABC) bng 600 Nờn ta cú A ' AM = 600 t ú ta cú 3a AH = Vy VABC A ' B ' C ' = A ' H S ABC = 3a Bi tng t: Bi Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh cú AB = 2a, AD = a, ã BAD = 600 , tam giỏc SAB u Gi H l trung im AB, K l hỡnh chiu vuụng gúc ca H lờn mt (SCD) Tớnh th tớch chúp S.ABCD theo a bit K nm tam giỏc 3a a 15 SCD v HK = S: VS ABCD = 5 Bi Cho S.ABCD cú ỏy l hỡnh thoi cnh a, SA = SB = a, SD = a Mt (SBD) a3 ã Bi Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh bỡnh hnh, BAD = 60 , AB = a Cỏc cnh bờn SB, SD cựng to vi mt ỏy mt gúc 450 v SB AB, SD CD Chng minh (SBD) vuụng gúc vi (ABCD) Tớnh VS.ABCD theo a vuụng gúc vi (ABCD) Tớnh th tớch chúp S.ABCD theo a 32 S: VS ABCD = Du hiu 5: Mt s dng khỏc: + Hỡnh chúp cú hai mt bờn to vi mt ỏy nhng gúc bng Phng phỏp: Nu bi cho hỡnh chúp cú mt bờn (SAiAj) v (SAmAn) cựng to vi ỏy gúc thỡ chõn ng cao H ca chúp cỏch u hai giao tuyn AiAj v AmAn ca cỏc mt bờn núi trờn vi mt ỏy(hay H nm trờn ng phõn giỏc ca AiAj v AmAn nu chỳng ct nhau) + Hỡnh chúp cú mt cnh bờn vuụng gúc vi mt cnh ỏy Phng phỏp: Nu u bi cho hỡnh chúp cú cnh bờn SAi vuụng gúc vi cnh ỏy AmAn thỡ chõn ng cao H phi nm trờn ng vuụng gúc h t Ai xung AmAn Vớ d Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a Hai mt (SAB), (SAC) cựng to vi mt ỏy mt gúc 600, (SBC) to vi mt ỏy mt gúc 450 Tớnh th tớch chúp S.ABC bit hỡnh chiu vuụng gúc ca S lờn ỏy thuc ca mt ỏy Phõn tớch: Chõn ng cao H s nm trờn ng phõn giỏc AM ca tam giỏc ABC Gii: HD: H SH vuụng gúc vi (ABC) M l trung im BC D dng chng minh c H thuc on AM Gi s MH = kMA ( < k < 1) Khi ú SH = kMA M SH kAM HK HK = = , AH = = kAM tan SHK sin 30 3 Mt khỏc AH = AM MH = (1 - k)AM, suy a 63 SH = a k = Do AM = 2 a2 M S ABC = Vy VS ABC = a Vớ d Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a SA BC v SA = a Gi M l trung im BC Chng minh tam giỏc SBC cõn v tớnh cnh SB a 21 cho VS ABC = 24 Phõn tớch: Vỡ SA vuụng gúc vi BC nờn chõn ng cao s nm trờn ng thng AM vuụng gúc vi BC Gii: H SH vuụng gúc vi AM ti H (1) AM BC BC ( SAM ) BC SH (2) Ta cú: SA BC T (1), (2) ta cú SH ( ABC ) 33 Ta cú H thuc AM nờn HB = HC t ú ta cú hai tam giỏc SHB v SHC bng nờn SB = SC ú tam giỏc SBC cõn ti S a 21 a Vỡ VS ABC = SH S ABC = SH = 24 a T ú ta tớnh c AH = a HM = ( ) Suy HB = a SB = a 12 2 Vớ d 3.(HSG Thanh Húa 2011-2012) Cho hỡnh chúp S ABCD , ỏy l hỡnh ch nht cú AB = a v BC = 2a , mt phng ( SAB) vuụng gúc vi ỏy, cỏc mt phng ( SBC ) v ( SCD) cựng to vi ỏy mt gúc bng Bit khong cỏch gia hai ng thng 2a SA v BD bng Tớnh theo a th tớch chúp S ABCD v tớnh cụsin gúc gia hai ng thng SA v BD Gii: +) Gi H l hỡnh chiu ca S trờn ( ABCD) , suy H AB (do ( SAB) ( ABCD) ) CB HB , suy gúc gia hai mt phng ã ( SBC ) v ( ABCD) l SBH H HE CD ( E CD) , suy gúc gia hai mt phng ( SCD) v ã ( ABCD) l SEH ã ã HB = HE = 2a Do ú SBH = SEH Ta c BD // AE BD //( SAE ) S t H A B E D C 2a d( SA, BD) = d( B, ( SAE )) = d( H , ( SAE )) (do A l trung im HB ) d( H , ( SAE )) = Nhn xột rng HA, HE , HS ụi mt vuụng gúc, suy ra: 1 1 1 = + + = 2+ 2+ SH = 2a 2 d ( H , ( SAE )) HA HE HS 2a a 4a HS 2 Th tớch: VS ABCD = S ABCD SH = 4a ã +) BD // AE , suy gúc gia hai ng thng SA v BD l SAE p dng nh lý hm s cụsin cho tam giỏc SAE , vi AE = SA = SH + HA2 = a v SA2 + AE SE ã , BD) = cos SAE ã = = SE = SH = 2a , ta cú: cos( SA 2.SA AE 34 Bi tng t: Bi Cho lng tr ABC.ABC cú ỏy l tam giỏc u cnh a Hai mt (ABBA) v (ACCA) cựng to vi ỏy nhng gúc 600 Ly M l trung im BC Gúc AAM bng 600 Tớnh th tớch chúp A.ABC theo a Bi Cho lng tr ABC.ABC cú ỏy l tam giỏc vuụng ti B Hỡnh chiu ca A lờn (ABC) trựng vi trung im cnh BC Cnh bờn to vi ỏy mt gúc 300 Bit AB = a, AC = a Tớnh th tớch chúp C.ABC theo a Bi Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh a, ng chộo BD = a , SA vuụng gúc vi BD, SB vuụng gúc vi AD v mt phng (SBD) to vi mt phng ỏy gúc 600 Tớnh th tớch chúp S.ABCD v khong cỏch gia hai ng thng AC v SB theo a 3a 3a S: VS.ABCD = = , d(SB,AC) = 10 2.2 TNH GIN TIP TH TCH KHI LNG TR Phng phỏp: Da vo cỏch phõn chia a din thnh tng ca cỏc a din hoc s dng cụng thc t s th tớch Cụng thc t s th tớch: Cho chúp S.ABC, gi A, B, C ln lt thuc cnh SA, S SB, SC ú: VS ABC SA.SB.SC = VS A ' B ' C ' SA '.SB '.SC ' B' A' C' C A B Vớ d Cho hỡnh chúp S.ABC cú tam giỏc ABC vuụng cõn B, AC = a , SA bng a v vuụng gúc vi ỏy (ABC) a) Tớnh th tớch ca chúp S.ABC theo a b) Gi G l trng tõm tam giỏc ABC, mt phng ( ) qua AG v song song vi BC ct SC, SB ln lt ti M, N Tớnh th tớch ca chúp S.AMN theo a Phõn tớch: Trong vớ d ny ta cú th tớnh trc tip th tớch ca chúp S.AMN nhng chỳng ta cú th tớnh th tớch ca chúp ú mt cỏch nhanh chúng bng vic ỏp dng SM SN cụng thc t s th tớch, mc tiờu l tớnh v SB SC Gii: a) Ta cú: Ta cú VS ABC = S ABC SA v SA = a Do tam giỏc ABC cõn nờn AC = a t ú ta suy AB = a S ABC = 35 a Vy VS ABC = a3 b) Gi I l trung im BC Vỡ G l trng tõm tam giỏc SG = SBC nờn ta cú: SI Vỡ ( ) / / BC MN // BC V SA.SM SN SM SN SG = = = = S AMN = VS ABC SA.SB.SC SB SC SI Vy VSAMN = VSABC = 2a 27 Vớ d Cho tam giỏc ABC vuụng cõn A v AB = a Trờn ng thng qua C v vuụng gúc vi mt phng (ABC) ly im D cho CD = a Mt phng qua C vuụng gúc vi BD, ct BD ti F v ct AD ti E a) Tớnh th tớch t din ABCD theo a b) Chng minh CE ( ABD ) c) Tớnh th tớch t din CDEF theo a Phõn tớch: tớnh thờ tớch t din CDEF thỡ ta cng ỏp dng cụng thc t s th DE DF , tớch l, mc tiờu l tớnh DA DB Gii: a)VABCD = S ABC CD = a3 b)Tacú: AB AC , AB CD AB ( ACD) AB EC Ta cú: DB EC EC ( ABD ) V DE DF DCEF = (*) c)Ta cú: V DA DB DABC M DE.DA = DC Tng t: DE DC a2 = = = DA DA2 2a 2 DF DC a2 = = = 2 DB DB DC + CB V DCEF = Vy VDCEF = VABCD = a T(*) V 6 36 DABC Vớ d Cho chúp t giỏc u SABCD Mt mt phng ( ) qua A, B v trung im M ca SC Tớnh t s th tớch ca hai phn chúp b phõn chia bi mt phng ú Phõn tớch: Bi toỏn ny tng i khú vi hc sinh khỏ, tớnh c t s th tớch thỡ ta li phi phõn chia chúp t giỏc thnh hai chúp tam giỏc v ỏp dng cụng thc tớnh t s th tớch thỡ mi lm c Gii: K MN // CD (N SD) thỡ hỡnh thang ABMN l thit din ca chúp ct bi mt phng (ABM) 36 VSAND SN 1 = = VSANB = VSADB = VSABCD VSADB SD 2 S VS BMN SB.SM SN = = VS BCD SB.SC.SD N 1 VS BMN = VS BCD = VS ABCD M D A O M VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD Suy VABMN.ABCD = VSABCD nờn VSABMN V ABMN ABCD = B C Vớ d Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD, ỏy l hỡnh vuụng cnh a, cnh bờn to vi ỏy gúc 600 Gi M l trung im SC Mt phng ( ) i qua AM v song song vi BD, ct SB ti E v ct SD ti F a) Tớnh th tớch chúp S.ABCD theo a b) Tớnh th tớch chúp S.AEMF theo a Phõn tớch: lm c ý b) ta cng phi lm tng t nh vớ d Gii: a) Gi I = SO AM Ta cú ( ) //BD S EF // BD VS ABCD = S ABCD SO vi S ABCD = a + VSOA cú : SO = AO tan 60 = VS ABCD = a a M E 6 B b) Phõn chia chúp t giỏc ta cú VS AEMF = VSAMF + VSAME =2VSAMF C F O VS ABCD = 2VSACD = VSABC A SM = Ta cú : SC SAC cú trng tõm I, EF // BD nờn: I D SI SF VSAMF SM SF 1 a3 = = V = = = V = V = SAMF SACD SACD VSACD SC SD SO SD 3 36 VS AEMF a3 a3 =2 = 36 18 Vớ d Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, SA vuụng gúc ỏy, SA = a Gi B, D l hỡnh chiu ca A ln lt lờn SB, SD Mt phng (ABD) ct SC ti C a) Tớnh th tớch chúp S.ABCD theo a b) Chng minh SC ( AB ' D ') 37 c) Tớnh th tớch chúp S.ABCD theo a Phõn tớch: Cõu a) ta cú th tớnh trc tip mt cỏch d dng lm c ý c) ta cng phi lm tng t nh cỏc vớ d trờn Gii : a3 a) Ta cú: VS ABCD = S ABCD SA = 3 b) Ta cú BC ( SAB ) BC AB ' v SB AB ' suy AB ' ( SBC ) nờn AB' SC Tng t AD' SC Vy SC (AB'D') c) Ta i tớnh VS AB 'C ' VSAB 'C ' SB ' SC ' = (*) Ta cú: VSABC SB SC Vỡ SAC vuụng cõn nờn S SC ' = SC SB ' SA2 2a 2a 2 Ta cú: = = = = SB SB SA2 + AB 3a VSAB 'C ' = T (*) VSABC VSAB 'C ' D' Vy: VS AB 'C ' D ' = 2VS AB 'C ' = B O D 2a I A a3 a3 = = 3 B' C' C Vớ d Cho hỡnh chúp ta giỏc S.ABC cú SA = a, SB = b, SC = c, cỏc gúc ASB = 600 , BSC = 900 , CSA = 1200 Tớnh th tớch chúp S.ABC theo a, b, c Phõn tớch: Bi toỏn ny thuc dng khú i vi hc sinh, lm c ta phi dng mt chúp cú cỏc cnh bờn bng ri ỏp dng cụng thc t s th tớch thỡ mi cú c kt qu Gii : Gi s a b c Gi E, F ln lt trờn cỏc on SB, SC cho SE = SF = a Khi ú ta tớnh c: AE = a, EF = a 2, AF = a T ú suy tam giỏc AEF vuụng ti E K SH vuụng gúc vi (AEF) ti H Khi ú cỏc tam giỏc SHA, SHE, SHF bng nờn ta cú HA = HE = HF Suy H l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc AEF nờn H l trung im AF 3a a Khi ú ta cú: SH = a = a3 Suy VS AEF = S AEF SH = 12 V SA.SE.SF a = Ta cú S AEF = VS ABC SA.SB.SC bc 38 VS ABC = bc abc abc Vy V = V = S AEF S ABC a2 12 12 Bi tng t: Bi Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a SA vuụng gúc vi ỏy v SA = a Gi () l mt phng qua A v vuụng gúc vi SC, () ct SB, SC, SD ln lt ti H, I, K Chng minh rng AH SB, AK SD Tớnh th tớch a din AHIKBCD theo a VS AHI a3 a3 = HD: Ta cú m VS AHI = v VS AKI = VS ABC 12 72 72 11a Khi ú VAHIKBCD = VS ABCD VS AHIK = 36 Bi Cho chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh Gi B, D ln lt l trung im SB, SD Mt phng (ABD) ct SC ti C a Chng minh rng SC = 3SC b Gi V l th tớch chúp S.ABCD Tớnh th tớch chúp S.ABCD theo V VS AC ' D ' VS AB ' C ' 1 = = , suy VS AB ' C ' D ' = V HD: b) Ta cú: VS ACD VS ABC 6 Bi Cho chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a SA = 2a v SA vuụng gúc vi ỏy Gi M, N ln lt l hỡnh chiu ca A trờn SB, SC Tớnh th tớch chúp ABCNM VSAMN 16 3a 3 = V = HD: Ta cú: VSABC 25 50 Bi Trờn cỏc cnh SA v SB ca t din S.ABC ly cỏc im N, M cho MA = 2SM, SN = 2NB Gi () l mt phng qua M, N v song song vi SC () chia chúp lm hai phn Tớnh t s th tớch ca hai phn ú HD: t VS ABC = V , gi s ( ) ct AC ti Q, BC ti P Ta cú: AQ = 2QC, PC = 2PB 2V V ;VS CBQ = Da vo cụng thc t s th tớch ta cú: Tớnh c VS ABQ = 3 VS MNQ 2 2V 4V = VS MNQ = ì = VS ABQ 9 27 VB NPQ VB.SCQ = VNPQSC 8 = VNQPSC = ì V = V VB.SCQ 9 27 M VSCMNPQ = VS MNP + VSCNPQ = 4V 5V VABMNPQ = 9 VSCMNPQ : VABMNPQ = : Bi Cho t din ABCD Trờn cỏc cnh BC, BD, AC ln lt ly cỏc im M, N, P cho BC = BM , BD = BN v AC = AP Mt phng (MNP) chia t din ABCD lm hai phn Tớnh t s th tớch gia hai phn ú Bi Cho hỡnh chúp u S.ABCD cú cnh ỏy bng a, cnh bờn hp vi ỏy gúc 600 Gi M l im i xng vi C qua D, N l trung im ca SC Mt phng (BMN) chia chúp thnh hai phn Tớnh t s th tớch ca hai phn ú 39 ã D = 600 , SA vuụng Bi Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh a, BA gúc mt phng (ABCD) v SA = a Gi C l trung im ca SC Mt phng (P) i qua AC v song vi BD, ct cỏc cnh SB, SD ca hỡnh chúp ln lt ti B, D Tớnh th tớch ca chúp S.ABCD Bi Cho hỡnh lp phng ABCD.A'B'C'D' cnh bng a v im M trờn cnh AB cho AM = x, (0 < x < a) Mt phng (MA'C') ct BC ti N Tớnh x theo a th tớch a din MBNC'A'B' bng th tớch lp phng ABCD.A'B'C'D' Bi Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi vi àA = 1200 , BD = a >0 Cnh bờn SA vuụng gúc vi ỏy Gúc gia mt phng (SBC) v ỏy bng 600 Mt mt phng () i qua BD v vuụng gúc vi cnh SC Tớnh t s th tớch gia hai phn ca hỡnh chúp mt phng () to ct hỡnh chúp Bi 10.(HSG Vnh Phỳc 2015-2016) Cho hỡnh chúp S ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht, AB = a, AD = b ( a, b > ) , SA vuụng gúc vi mt phng ỏy (ABCD) v SA = 2a Ly im M bt kỡ thuc cnh SA cho AM = x vi < x < 2a a) Tớnh din tớch thit din ca hỡnh chúp S.ABCD ct bi mt phng ( MBC ) b) Xỏc nh x mt phng ( MBC ) chia chúp S.ABCD thnh hai phn cú th tớch bng ( ) S: x = a 40 PHN III HIU QU DO SNG KIN EM LI Qua ỏp dng ti cỏc lp 12A2, 12A3 v 12A12 trng THPT Xuõn Trng mt hc k ó mang li nhng kt qu thit thc, c th: Trong thi kho sỏt cht lng tun u hc kỡ I nm hc 2015-2016 ca trng THPT Xuõn Trng cú cõu: Cho hỡnh lng tr tam giỏc ABC.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B v A ' C ' = a B l hỡnh chiu vuụng gúc ca A xung (ABC) Gúc gia cnh bờn v mt ỏy bng 600 , M l trung im BC Tớnh th tớch lng tr ABC.ABC v khong cỏch gia AA v BM theo a. õy l mt cõu khụng quỏ khú, v ta ó bit c chõn ng cao Tuy nhiờn theo thng kờ, nhng hc sinh lm c cõu ny khụng nhiu, mc dự ni dung tớnh th tớch a din ó c t chuyờn mụn thng nht t u nm v cỏc thy cụ nghiờm tỳc thc hin Lp 12A2 Lp 12A3 Lp 12A12 Ton trng S hc sinh lm 25/43 20/42 15/40 205/486 c T l 58,1% 47,6% 37,5% 42,2% Sau ỏp dng sỏng kin ti lp 12A2, 12A3, 12A12 (vi thi lng tit/lp), k thi th i hc ln ca trng THPT Xuõn Trng cú cõu: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh 2a SA = a, SB = a v mt (SAB) vuụng gúc vi (ABCD) Gi M l trung im AB Tớnh th tớch chúp S.ABCD v khong cỏch t C n (SMD) theo a. Thỡ t l hc sinh lm c cõu ny ó tng lờn rừ rt Lp 12A2 S hc sinh lm 40/43 c T l Lp 12A3 39/42 Lp 12A12 30/40 Ton trng 396/486 93,0% 92,9% 75,0% 81,5% Nh vy sau ỏp dng sỏng kin thi ta thy rng kt qu t c l rt tt so vi trc cú sỏng kin Cỏc em khụng cũn tõm lý e ngi gp bo toỏn tớnh th tớch a din vỡ qua sỏng kin cỏc em ó nm c mt cỏch h thng cỏc phng phỏp c bn tớnh th tớch a din PHN IV CAM KT KHễNG SAO CHẫP HOC VI PHM BN QUYN 41 Tụi xin cam kt bỏo cỏo sỏng kin ny ca tụi c ỳc rỳt qua quỏ trỡnh cụng tỏc, ging dy, nghiờn cu cỏc ti liu b mụn, khụng chộp hoc vi phm bn quyn Nu vi phm v chộp hoc vi phm bn quyn tụi xin chu mi hỡnh thc k lut Sỏng kin ca tụi chc chn cú nhiu thiu sút, rt mong nhn c s gúp ý ca cỏc quý v v cỏc bn ng nghip C QUAN N V P DNG SNG KIN (xỏc nhn, ỏnh giỏ, xp loi) (Ký tờn, úng du) TC GI SNG KIN Phm Cao Th DANH MC CC TI LIU THAM KHO [1] Sỏch giỏo khoa hỡnh hc 12, Trn Vn Ho- Nguyn Mng Hy- Khu Quc Anh- Trn c Huyờn, nm 2008 42 [2] Sỏch giỏo khoa hỡnh hc 12 nõng cao, on Qunh- Vn Nh Cng-Phm Khc Ban- Lờ Huy Hựng- T Mn, nm 2008 [3] Bỏo toỏn hc v tui tr [4] Cỏc Website toỏn hc: mathvn.com, k2pi.net, violet.vn, MUC LUC -c&d THễNG TIN CHUNG V SNG KIN PHN I IU KIN HON CNH TO RA SNG KIN 43 Trang Trang PHN II Mễ T GII PHP CHNG CC KIN THC C BN 1.1 Cỏc h thc lng tam giỏc 1.2 Quan h song song 1.3 Quan h vuụng gúc 1.4 Gúc 1.5 Khong cỏch CHNG NI DUNG 2.1 Tớnh trc tip th tớch a din 2.1.1 Dng toỏn cho sn chiu cao 2.1.2 Dng toỏn i dng chiu cao 2.2 Tớnh giỏn tip th tớch a din PHN III HIU QU DO SNG KIN EM LI PHN IV CAM KT DANH MC CC TI LIU THAM KHO 44 Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang 11 Trang 11 Trang 11 Trang 21 Trang 35 Trang 41 Trang 42 Trang 43 ... CÁO SÁNG KIẾN HƯỚNG DẪN HỌC SINH XÁC ĐỊNH CHÂN ĐƯỜNG CAO TRONG BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN PHẦN I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Thể tích khối đa diện chủ đề quan trọng chủ đề toán. .. trình tính thể tích khối đa diện đa phần em học sinh chưa biết cách xác định chiều cao khối đa diện nên việc tính thể tích khối đa diện không xác Do hệ thống lại cách xác định chân đường cao số khối. .. đến thể tích khối chóp khối lăng trụ Các công thức tính thể tích khối chóp khối lăng trụ sau Thể tích khối chóp: V = B.h (1) Thể tích khối lăng trụ: V = B.h (2) (trong B, h diện tích đáy chiều cao