SKKN rèn tư duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua việc phát triển bài toán tính thể tích khối chóp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TĨNH GIA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA VIỆC PHÁT TRIỂN BÀI TỐN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP Người thực hiện: Trịnh Thị Hiếu Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Tĩnh Gia SKKN thuộc lĩnh vực mơn: Tốn THANH HĨA NĂM 2018 MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong việc rèn tư sáng tạo cho học sinh trường THPT, môn Tốn đóng vai trò quan trọng Bởi vì, Tốn học đóng vai trò to lớn phát triển ngành khoa học kỹ thuật; Toán học có liên quan chặt chẽ có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác khoa học, công nghệ, sản xuất đời sống xã hội đại Tốn học cơng cụ để học tập nghiên cứu môn học khác Trong q trình dạy học mơn Tốn trường THPT, việc rèn tư sáng tạo cho học sinh giúp cho học sinh nắm vững, mở rộng, đào sâu kiến thức, phát huy tính tích cực, độc lập, sáng tạo học tập mơn Tốn sở để hình thành phẩm chất trí tuệ cho học sinh Trong mơn Tốn, chủ đề hình học khơng gian chứa đựng nhiều tiềm to lớn việc bồi dưỡng phát huy lực sáng tạo cho học sinh Bài tốn tính thể tích khối chóp đóng vai trò quan trọng chương trình hình học 12 xuất đề thi THPT Quốc gia Mặc dù phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư sâu sắc, có trí tưởng tượng hình khơng gian phong phú nên học sinh đại trà, mảng kiến thức khó thường để điểm kì thi nói Đối với học sinh giỏi, em làm tốt phần Tuy nhiên cách giải rời rạc, làm biết đấy, chưa biết vận dụng linh hoạt phương pháp học chưa có liện hệ tập, dạng toán nên thường tốn nhiều thời gian Đối với giáo viên, lượng thời gian ỏi việc tiếp cận phần mềm vẽ hình khơng gian hạn chế nên việc biên soạn chuyên đề có tính hệ thống phần gặp nhiều khó khăn Mặc dù có số sáng kiến kinh nghiệm viết phương pháp tính thể tích ứng dụng thể tích khối chóp, nhiên vấn đề phát triển tốn tính thể tích khối chóp bản, đặc biệt áp dụng vào việc tính thể tích khối tứ diện mà việc xác định đường cao gặp khó khăn qua rèn tư sáng tạo cho học sinh chưa nhiều người quan tâm khai thác Trước lí trên, tơi định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang tên: “Rèn tư sáng tạo cho học sinh THPT thông qua việc phát triển tốn tính thể tích khối chóp” Nhằm cung cấp cho học sinh nhìn ứng dụng tốn tính thể tích đơn giản sách giáo khoa, từ tốn phát triển thành lớp tập từ đơn giải đến phức tạp ngược lại gặp số toán phức tạp học sinh “quy lạ quen” 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trong q trình dạy học mơn Tốn trường THPT, việc rèn tư sáng tạo cho học sinh vô quan trọng Trong phân mơn hình học khơng gian có nhiều thuận lợi để phát triển trí tuệ cho học sinh cho học sinh bao hàm nhiều hoạt động, việc giải tốn hình học khơng gian đặc biệt tốn tính thể tích khối chóp có nhiều hội để rèn luyện phát triển trí tuệ, tư sáng tạo cho học sinh Hơn nữa, tốn tính thể tích khối chóp ln xuất đề thi THPT Quốc gia với mức độ khác Khi học làm tập mảng kiến thức học sinh thường gặp trở ngại tốn tính thể tích khối chóp mà việc xác định đường cao diện tích đáy có nhiều khó khăn Học sinh thường áp dụng phương pháp cung cấp cách máy móc, thiếu sáng tạo học dạng biết dạng Khi giải xong tốn em thường có thói quen “xong nhiệm vụ”, sau lại giải tốn khác khó nhọc mà khơng biết tốn giải “gần” với tốn giải trước đó, khơng biết cách giải tốn làm cách giải chung cho lớp toán tương tự từ tốn giải, ta đề xuất loạt tốn có “họ hàng” với tốn ban đầu khái qt hóa chúng , từ mở rộng, đào sâu kiến thức, phát triển tư Trước thực trạng đó, tác giả nghiên cứu viết đề tài: “Rèn tư sáng tạo cho học sinh THPT thông qua việc phát triển tốn tính thể tích khối chóp” 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Nội dung sáng kiến kinh nghiệm toán đơn giản SGK tốn tính thể tích khối tứ diện đều, phát triển lên tốn tính thể tích khối chóp đều, khối tứ diện thường biết độ dài ba cạnh số đo ba góc xuất phát từ đỉnh, từ toán kết hợp với việc sử dụng tốn tỉ số thể tích, phân chia lắp ghép khối đa diện để phát triển thành lớp tốn tính thể tích khối chóp Cái đề tài giúp học sinh biết phát triển tốn tính thể tích đơn giản thành lớp tốn tính thể tích ngược lại gặp toán phù hợp, học sinh biết “quy lạ quen” giúp toán trở nên dễ dàng Sau học chuyên đề học sinh tự tin trước toán tính thể tích khối chóp mà việc tính trực tiếp cơng thức gặp nhiều khó khăn Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh có lực học khác nhau, sử dụng q trình ơn tập phụ đạo cho học sinh có lực học trung bình với hướng phát triển đầu tiên, với học sinh ôn thi THPT Quốc gia nghiên cứu học tập theo hướng phát triển Với hướng nghiên cứu này, thầy hồn tồn khai thác từ số toán khác để phát triển thành dạng toán khác để rèn tư sáng tạo cho học sinh 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Để rèn tư sáng tạo cho học sinh THPT thơng qua việc phát triển tốn tính thể tích khối chóp ta cần nắm vững nội dung sau Hình chóp đều: 2.1.1 Định nghĩa: Một hình chóp gọi hình chóp có đáy là đa giác có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy Nhận xét: - Hình chóp có mặt bên tam giác cân Các mặt bên tạo với đáy góc - Các cạnh bên hình chóp tạo với mặt đáy góc 2.1.2 Hai hình chóp thường gặp a) Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác S.ABC Khi đó: Đáy ABC tam giác Các mặt bên tam giác cân S Chiều cao: SO Góc cạnh bên mặt đáy: · · · SAO = SBO = SCO · Góc mặt bên mặt đáy: SHO Tc: AO = AH , OH = AH , AH = AB 3 • Lưu y: Hình chóp tam giác khác với tứ diện + Tứ diện có mặt tam giác + Tứ diện hình chóp tam giác có cạnh bên cạnh đáy b) Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Đáy ABCD hình vng Các mặt bên tam giác cân S Chiều cao: SO Góc cạnh bên SA, SB, SC, SD mặt đáy (ABCD): · · · · SAO = SBO = SCO = SDO Góc mặt bên (SCD) mặt đáy · (ABCD): SHO 2.1.3 Cơng thức tính thể tích khối chóp: S Thể tích khối chóp: V = B h B : Diện tích mặt đáy D h : Chiều cao khối chóp A O C ’ A B 2.1.4 Các phương pháp thường dùng tính thể tích khối chóp: Phương pháp 1: Tính thể tích khối chóp bằng cách sử dụng trực tiếp công thức - Xác định chiều cao khối đa diện cần tính thể tích - Tìm diện tích đáy cơng thức quen biết Nhận xét: Nhìn chung, dạng toán loại rất bản, chỉ đòi hỏi tính tốn cẩn thận xác Phương pháp 2: Tính thể tích bằng cách phân chia hoặc lắp ghép khối chóp Sử dụng tính chất: Nếu khối đa diện (H) phân chia thành hai khối đa diện (H1) (H2): VH = VH + VH hay VH = VH − VH 2 Phương pháp 3: Tính thể tích bằng tỉ số thể tích: - Trong dạng này, ta thường so sánh thể tích khối cần tính với khối chóp khác biết trước dễ dàng tính thể tích, thường sử dụng kết tốn sau: Bài tốn: (Bài Trang 25(SGK hình 12 CB)) Cho hình chóp S.ABC Trên tia SA, SB, SC lấy ba điểm A ', B ', C ' khác với S Chứng minh rằng: VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' = VS ABC SA SB SC Chứng minh: Gọi H H’ hình chiếu A A’ mặt phẳng (SBC) S H ’ A ’ A Khi đó: A’H’ // AH ba điểm S, H’, H B ’ thuộc hai mặt phẳng (AA’H’H) (SBC) nên H chúng thẳng hàng C ’ B Xét tam giác SAH, ta có: C VS.A 'B 'C ' VS ABC = VA 'SB 'C ' VA.SBC A ' H ' SA ' = AH SA SDSB 'C '.A 'H ' =3 S AH D SBC · 'SC '.A 'H ' SB '.SC '.sin B SB ' SC ' A 'H ' SA ' SB ' SC ' = = = Þ ( Ðpcm) SB SC AH SA SB SC · SB SC sin BSC AH Lưu y: Kết điểm A’, B’, C’ có điểm A º A ', B º B ',C º C ' 2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: - Học sinh thụ động, ngại tư giải toán - Khi làm tập tính thể tích khối đa diện học sinh thường lúng túng việc chọn lựa cách giải phù hợp Đối với khối đa diện khó xác định chiều cao học sinh thường gặp khó khăn việc lựa chọn cách giải - Mỗi hoàn thiện lời giải dạng toán, học sinh thường lòng với kết tìm chưa quan tâm với việc đào sâu suy nghĩ khai thác phát triển tốn vừa giải Do đó, gặp toán “lạ” học sinh chưa biết đưa toán “quen” 2.3 CÁC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.3.1 Một số biện pháp phát triển tư sáng tạo cho học sinh dạy học Toán: - Rèn thao tác tư - Khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải - Khuyến khích học sinh tìm lời giải độc đáo ngắn - Rèn khả phát triển toán, xây dựng toán từ toán gốc - Luyện tập cho học sinh biết hệ thống hóa kiến thức hệ thống hóa phương pháp Một biện pháp phát triển tư sáng tạo cho HS GV cần luyện tập cho HS biết vận dụng thao tác tư (so sánh, phân tích, tổng hợp, trìu tượng hóa, khái qt hóa, ) cách nhuần nhuyễn, mềm dẻo linh hoạt Biện pháp giúp học sinh tìm hướng giải , dự đoán cách giải, phát vấn đề mới, tìm thấy liên hệ vấn đề với nhau, nhờ mà HS nghiên cứu sâu mở rộng toán Biện pháp yêu cầu HS biết vận dụng thao tác đặc biệt hóa q trình giải tập tốn Tức giải toán cho số trường hợp đặc biệt, dùng phương pháp giải toán trường hợp đặc biệt để giải cho trường hợp khác cho trường hợp tổng quát Biết vận dụng thao tác khái qt hóa q trình giải tập toán, xác định chung riêng tốn Từ hình thành tốn tổng qt tìm phương pháp giải tốn tổng quát Trong khuôn khổ viết không vào phân loại dạng tốn tính thể tích mà xin đề cập đến vấn đề chủ yếu phát triển tốn tính thể tích quen thuộc thành lớp tốn tính thể tích khối chóp 2.3.2 Rèn tư sáng tạo cho học sinh THPT qua việc phát triển bài tốn tính thể tích khối chóp: Bài tốn 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh bằng a, (a > 0).Tính theo a thể tích của tứ diện Hướng dẫn: - Gọi H hình chiếu vng góc A mp(BCD): AH ⊥ ( BCD ) - Do ABCD tứ diện nên H trùng với tâm tam giác BCD - Vì ∆BCD cạnh a nên đường cao BM = a a Trong tam ⇒ BH = BM = 3 giác vuông ABH ta có: AH = a - Thể tích tứ diện ABCD là: VABCD 1 a3 = AH S BCD = AH BM CD = 3 12 HƯỚNG PHÁT TRIỂN 1: TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHĨP ĐỀU Nhận xét: Tứ diện hình chóp tam giác đặc biệt có độ dài cạnh bên cạnh đáy Nên từ Bài toán 1, cách giải tương tự ta xây dựng tính thể tích khối chóp tam giác (có độ dài cạnh bên cạnh đáy không nhau) thông qua tốn sau: Bài tốn 2: Tính thể tích khối chóp tam giác S.ABC biết: Cạnh đáy a, cạnh bên b Cạnh bên b, góc đỉnh S mặt bên α · · · ( ASB = BSC = CSA = α ) Cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy α cho trước Cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy α cho trước Cạnh bên b, góc mặt bên mặt đáy α cho trước Cạnh bên b, góc cạnh bên mặt đáy α cho trước ( a > 0, b > 0, α < 1800 ) Hướng giải: - Sử dụng tính chất hình chóp tam giác S.ABC để xác định hình chiếu đỉnh S mặt phẳng đáy tâm H tam giác ABC, từ xác định chiều cao SH hình chóp - Từ giả thiết, tính SH diện tích tam giác đáy (tam giác ABC) - Sử dụng trực tiếp cơng thức tính thể tích khối chóp để tính thể tích khối chóp S.ABC: VS ABC = SH S ABC Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC Hướng dẫn giải:  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Hình chóp tam giác có đáy tam giác tâm O + Gọi M trung điểm BC + O trọng tâm tam ABC + AM đường cao ∆ ABC − Đường cao hình chóp SO ( SO ⊥ (ABC))  Lời giải: S.ABC hình chóp tam giác Gọi M trung điểm BC, ∆ ABC cạnh a , tâm O SO ⊥ (ABC); SA=SB=SC = 2a ∆ ABC cạnh a , AM = a 3 3a = 2 2 3a AO= AM = = a 3 S∆ABC 1 3a = AB AC.sin 60 = a 3.a = 2 ∆ SAO vng A có SO = SA2 − AO = a Thể tích khối chóp S.ABC: VS ABC 1 3a a3 = S ABC SA = a = 3 4 Nhận xét: Phát triển toán cách tăng số cạnh đáy hình chóp đều, tương tự hình ta tính thể tích hình chóp đa giác bất kỳ: Bài tốn 3: Tính thể tích khối chóp tứ giác S.ABCD biết: Cạnh đáy a, cạnh bên b Cạnh bên b, góc đỉnh S mặt bên α · · · · ASB = BSC = CSD = DSA =α Cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy α cho trước Cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy α cho trước Cạnh bên b, góc mặt bên mặt đáy α cho trước Cạnh bên b, góc cạnh bên mặt đáy α cho trước 10 a > 0, b > 0, α < 1800 ) Hướng giải: - Sử dụng tính chất hình chóp tứ giác S.ABCD để xác định hình chiếu đỉnh S mặt phẳng đáy tâm H hình vng ABCD, từ xác định chiều cao SH hình chóp - Từ giả thiết, tính SH diện tích hình vng ABCD - Sử dụng trực tiếp cơng thức tính thể tích khối chóp để tính thể tích khối chóp S.ABCD: VS ABCD = SH S ABCD Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Lời giải: - S.ABCD hình chóp tứ giác nên đáy ABCD hình vng cạnh 2a , tâm O Suy SO ⊥ (ABCD), SA=SB=SC =SD = a Diện tích hình vng ABCD: SABCD = 4a Ta có: AC = 2a AO = AC 2a = =a 2 ∆ SAO vng O có SO = SA2 − AO = a * Thể tích khối chóp S.ABCD là: VS ABCD 1 4a = S ABCD SA = 4a a = (dvtt) 3 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc mặt bên mặt đáy 600 Tính thể tích hình chóp S.ABCD 11 Lời giải : - Gọi O tâm mặt đáy, S.ABCD hình chóp nên SO ^ mp( ABCD ) gọi M trung điểm đoạn CD S ìï CD ^ SM Ì (SCD ) ïï · Ta có: ïíï CD ^ OM Ì (ABCD) Þ SMO = 60 ùù CD = (SCD ) ầ (ABCD ) ùợ (gúc mặt (SCD) mặt đáy) A Ta có: VS.ABCD = SABCD SO ( 1) SO · = Trong D SMO vng tạiO , ta có: tan SMO OM D O B 00 M C 2 · Þ SO = OM tan SMO = a ( 2) Mặt khác: SABCD = BC = 4a ( 3) - Thế ( 2) ,( 3) vào ( 1) Þ VABCD = 1.4a2.a = 4a (đvtt) 3 Nhận xét: - Đây dạng tập rèn tư bản, qua tập rèn cho học sinh biết hệ thống hóa kiến thức hệ thống hóa phương pháp tính thể tích khối chóp - Trong tốn toán cho a, b, α số đo cụ thể ta loạt tốn tính thể tích bản HƯỚNG PHÁT TRIỂN 2: TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHĨP TAM GIÁC CÓ CẠNH BÊN BẰNG NHAU Đặt vấn đề: Xét tứ diện ABCD Bài tốn có ba góc tam diện ba cạnh có chung đỉnh tương ứng ln Khái qt hóa Bài tốn cách thay đổi số đo đỉnh tam diện thành góc có số đo khác nhau, ta khối chóp tam giác có ba cạnh bên Khi ta tính thể tích khối chóp cách nào? Có thể sử dụng trực tiếp cơng thức tính thể tích khối chóp? 12 Bài tốn 4: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = a (a > 0) và ba góc: · · · BAC = α ; BAD = β , CAD = γ Tính thể tích tứ diện ABCD Hướng giải: Nhận xét: Vì AB = AC = AD nên hình chiếu vng góc A mp(BCD) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Do ta tính thể tích tứ diện ABCD phương pháp áp dụng trực tiếp công thức tính thể tích khối chóp A.BCD - Gọi H hình chiếu vng góc A mp(BCD) hay AH ⊥ ( BCD ) H Do AB = AC = AD nên ta suy HB = HC = HD ⇒ H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD - Áp dụng định ly cosin vào tam giác ABC, ABD, ACD tính độ dài cạnh BC, CD, BD Tính diện tích tam giác BCD chiều cao AH - Sử dụng trực tiếp cơng thức tính thể tích khối chóp để tính thể tích khối chóp A.BCD: VA.BCD = AH S BCD Nhận xét: + Nên nhận dạng tam giác BCD để dựa vào đặc điểm tam giác để tính diện tích + Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy (đoạn HB chẳng hạn), từ tính đường cao AH Chú ý: - Nếu BCD tam giác thường thì tính diện tích cơng thức Hê rơng - Nếu α = β = γ thì tứ diện ABCD hình chóp tam giác A.BCD, (Bài tốn 2.2) 13 - Đặc biệt, α = β = γ = 90o thì tam diện đỉnh A tam diện vng, nên cách đơn giản nhất để tính thể tích tứ diện ABCD coi tứ diện hình chóp B.ACD chẳng hạn, có cạnh bên vng góc với đáy( cạnh bên BA đường cao hình chóp B.ACD) đáy tam giác vng ACD Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = a (a > 0) , · · · BAC = BAD = 60o, CAD = 90o.Tính theo a thể tích tứ diện Lời giải: - Gọi H hình chiếu vng góc A mp(BCD) hay AH ⊥ ( BCD ) H Do AB = AC = AD nên ta suy HB = HC = HD ⇒ H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD - Theo giả thiết ta có ∆ABC, ∆ABD cạnh a nên BC = BD = a - ∆ACD vuông cân A suy CD = a - Trong ∆BCD thỏa mãn: CD = 2a = BC + BD2 nên theo định ly Pitago đảo suy ∆BCD vuông cân B ⇒ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD trung điểm cạnh huyền CD ⇒ AH = VABCD Ví dụ 5: CD a = Thể tích tứ diện ABCD là: 2 1 a3 = AH S BCD = AH BC.BD = (đvtt) 3 12 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = a (a > 0) · · · BAC = 90o , CAD = 60o , BAD = 120o Tính theo a thể tích tứ diện Hướng dẫn: 14 - Gọi H hình chiếu vng góc A mp(BCD) hay AH ⊥ ( BCD ) H Do AB = AC = AD nên ta suy HB = HC = HD ⇒ H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD - Theo giả thiết ta có ∆ACD cạnh a nên CD= a - ∆ABC vuông cân A suy BC = a - Áp dụng định ly cosin ∆BAD có: BD2 = 2a − 2a cos1200 = 3a - Trong ∆BCD thỏa mãn: BD2 = BC + CD nên theo định ly Pitago đảo suy ∆BCD vuông C ⇒ tâm H đường tròn ngoại tiếp ∆BCD trung điểm cạnh huyền BD a ¶ · ⇒ AH = AB.cos BAH = a.cos 600 = Thể tích tứ diện ABCD là: VABCD 1 a3 = AH S BCD = AH BC.CD = ( đvtt ) 3 12 HƯỚNG PHÁT TRIỂN TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHĨP TAM GIÁC CĨ CẠNH BÊN KHÔNG BẰNG NHAU Đặt vấn đề: Xét tứ diện ABCD Bài toán 4, tia AB, AC, AD lấy điểm M, N, P (không trùng với A) cho AM = a, AN = b, AP = c (a, b, c số thực dương cho trước) ta tứ diện AMNP Khi thể tích tứ diện AMNP tính cách nào? Ta tìm mối liên hệ thể tích khối tứ diện AMNP với thể tích khối tứ diện ABCD hay khơng? Từ ta phát triển Bài tốn thành toán sau: Bài toán 5: Cho tứ diện ABCD có AB =b, AC = c, AD = a ( a, b, c dương ) và · · · ba góc: BAC = α ; BAD = β , CAD = γ Tính thể tích tứ diện ABCD 15 Nhận xét: Nếu a, b, c không nhau, α , β , γ khơng phải góc có số đo đặc biệt thì việc xác định chiều cao hình chóp tam giác gặp khó khăn Mặt khác theo toán biết tính thể tích khối chóp tam giác có cạnh bên góc đỉnh cho trước Nên cách dựng thêm hình (lấy điểm tia AB, AC, AD cho điểm kết hợp với điểm A tạo thành khối chóp có cạnh bên mà tính thể tích (như tốn 4), cách sử dụng tốn tỉ số thể tích nêu tính thể tích khối chóp A.BCD Bằng cách ta đưa toán phức tạp toán đơn giản Hướng giải: Giả sử cạnh AD = a có số đo bé ba cạnh AB, AC, AD Trên đoạn AB, AC lấy điểm B’ C’ cho AD = AB’ = AC’ =a Khi đó, áp dụng Bài Trang 25(SGK hình 12 CB) : VA.C ' B ' D AC ' AB ' AD a a = = VA.CBD AC AB AD c b ⇒ VA.BCD = a2 VA.B ' C ' D bc Áp dụng kết Bài tốn ta tính VAB ' C 'D ⇒ VA.BCD Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có AB = a, AC = b, AD = c góc · · · BAC = BAD = CAD = 600 Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a, b, c Phân tích: Nếu a = b = c tứ diện ABCD hình chóp đỉnh A nên ta tính thể tích Nếu a, b c không đồng thời ta lấy C’ D’ tia AC, AD cho AC’ = AD’ = a để hình chóp Tiếp theo ta dùng cơng thức tỉ số thể tích để tính thể tích khối chóp A.BCD Lời giải: 16 Không giảm tổng quát, giả sử a nhỏ Trên tia AC, AD lấy C’ · D’ cho AC’ = AD’ = a Tam giác ABC’ cân A có BAC ' = 600 nên tam giác ABC’ cạnh a Tương tự tam giác ABD’ AC’D’ cạnh a nên tứ diện ABC’D’ cạnh a Gọi H trọng tâm tam giác BC’D’ AH⊥(BC’D’) a a a BH = = ⇒ AH = 3 VABC ' D ' = S BC ' D ' AH 1 a3 a = a.a.sin 60 = 3 12 VA.BCD VA.BC ' D ' Theo tốn tỉ số thể tích ta có AB AC AD bc bc a abc = = ⇒ VA.BCD = = AB AC ' AD ' a a 12 12 Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD có AB = a, AC = 2a, AD = 3a ( a > 0) · · · BAC = 90o , CAD = 60o , BAD = 120o Tính theo a thể tích tứ diện Lời giải: 17 Trên AC lấy C’ cho AC ' = a , D ' ∈ AD cho AD ' = a Gọi H trung điểm · AD’ ta có ∆ABD ' cân, có BAH = 600 ⇒ Vậy AH = a ⇒ BH = a ⇒ BD ' = a 2 Vậy ∆BC ' D ' có C ' D ' = a (vì ∆AC ' D ' ) ∆ABC ' vuông cân BC ' = a Vậy ∆BC ' D ' vuông cân C’ a ⇒ Xét tam giác AHC ' có C ' H = BD ' = 2 AH = C ' A2 − C ' H ⇒ ∆AHC ' vuông H 1 2a3 VABC ' D ' = AH BC '.C ' D ' = a.a 2.a = 6 12 VABC ' D ' AB AC ' AD ' 1 2a = = = ⇒ VABCD = 6.VABC ' D ' ⇒ V Vậy V = (đvtt) ABCD AB AC AD ABCD Nhận xét: Thể tích khối chóp A.BC’D’ ví dụ thể tích khối tứ diện ABCD(Ví dụ 5) Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi M,N trung điểm AB AC Tính thể tích khối chóp S.AMN  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề phân tích, chọn lựa cách giải hiệu quả: - Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích khối chóp “nhỏ” dựa kiện liên quan đến khối chóp cho - Khối chóp S.AMN trường hợp đặc biệt toán với AS · · · = a , AM = AN = a ; SAM = SAN = 90o , MAN = 60o Bài tốn giải theo hướng tốn 5, tức dựng khối chóp đỉnh A có cạnh nằm tia AS, AM, AN cho độ dài cạnh bên tương ứng dùng tỉ số thể tích để tính thể tích khối chóp S.AMN theo khối chóp vừa dựng 18 - Tuy nhiên cho khối chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) nên dễ dàng tính thể tích khối chóp S.AMN theo đường cao SA diện tích đáy AMN dùng tỉ số thể tích để tính thể tích khối chóp S.AMN thơng qua việc tính thể tích khối chóp S.ABC  Hướng dẫn giải:  Cách 1: (dùng cơng thức thể tích V = B.h ) * Khối chóp S.AMN có -Đáy tam giác AMN - Đường cao SA ∆ AMN có Â = 600, AM=AN = a S∆AMN = 1 a2 AM AN sin 600 = a.a = 2 SA = a Thể tích khối chóp S.ABC là: VS AMN 1 a2 a3 = S AMN SA = a = (đvtt) 3 4 Cách : ( Dùng cơng thức tỷ số thể tích) Khối chóp S.AMN S.ABC có chung đỉnh A Do áp dụng tốn tỷ số thể tích , ta có VA SMN AS AM AN 1 V = = = ⇒ VS AMN = VA.SMN = VA.SBC = S ABC VA.SBC AS AB AC 2 4 Ta có : VS ABC 1 4a = S ABC SA = a = a 3 Vậy VS AMN = VS ABC a = (đvtt) 4 19 Nhận xét: Cần linh hoạt phân tích lựa chọn cách giải cho toán Các toán phát triển áp dụng hiệu quả cho số khối đa diện mà việc xác định chiều cao gặp khó khăn 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Khi áp dụng đề tài sáng kiến kinh nghiệm cho học sinh nhận thấy: - Thứ nhất, mảng kiến thức trọng tâm, áp dụng cho diện rộng loại đối tượng học sinh - Thứ hai, em học sinh hứng thú học bài, em khơng cảm giác sợ gặp tốn tính thể tích khối đa diện, đặc biệt khối đa diện khó xác định chiều cao Nhiều em sơi phát biểu, thảo luận tìm nhiều điều mẻ từ đề tài Các em có nhìn tổng qt có hệ thống nên vận dụng cách linh hoạt toán cụ thể Điều quan trọng em định hướng cách giải từ đầu phát lời giải ngắn gọn tối ưu cho toán - Thứ ba, áp dụng đề tài xong, khả vẽ hình em tốt, trí tưởng tượng hình khơng gian phong phú, lối tư sâu sắc, sáng tạo từ tạo tảng chắn để em học tiếp mảng kiến thức khác Kết thu cụ thể lớp giảng dạy 12A1 sau: * Trong kiểm tra lần năm 2017 (Học sinh học xong chương I hình học 12 và chưa áp dụng đề tài này) có câu hình: “Cho tứ diện ABCD có · · · AB = AC = AD = a (a > 0) BAC = 90o , CAD = BAD = 120o Tính theo a thể tích tứ diện đó.” Kết Lớp Sĩ số Số học sinh làm câu IV Số học sinh làm câu IV 12A1 48 40 30 * Trong kiểm tra lần năm 2017 (Học sinh áp dụng đề tài này) có câu hình: “Cho tứ diện ABCD có AB = 2a, AC = 3a , AD = a ( a > 0), · · · BAC = BAD = 60o , CAD = 90o Tính theo a thể tích tứ diện Kết 20 Lớp Sĩ số Số học sinh làm câu IV Số học sinh làm câu IV 12A1 48 48 46 Như kết luận sau áp dụng đề tài sáng kiến kinh nghiệm học sinh tự tin làm tỉ lệ làm cao, hẳn lần thi thứ KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ - Kết luận Sáng kiến kinh nghiệm giải vấn đề sau: Giúp học sinh củng cố phương pháp tính thể tích khối chóp rèn tư sáng tạo thơng qua việc phát triển tốn tính thể tích từ đơn giản đến phức tạp Học sinh biết mối liên hệ dạng tốn tính thể tích số ứng dụng thể tích Xây dựng lớp tốn tính thể tích khối chóp từ dễ đến khó Thơng qua việc vẽ hình, tính tốn, tìm đường tối ưu để tính thể tích, tạo cho em khả làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tối đa tính tích cực học sinh theo tinh thần phương pháp Bộ giáo dục đào tạo Điều quan trọng tạo cho em niềm tin, khắc phục tâm lí sợ tốn hình học khơng gian, đặc biệt tốn tính thể tích khối chóp mà việc sử dụng trực tiếp cơng thức gặp khó khăn Qua thực tế giảng dạy chuyên đề thấy em học sinh nắm vững phương pháp, biết cách vận dụng vào tốn cụ thể mà hứng thú học tập chuyên đề Khi học lớp qua lần làm khảo sát chất lượng , số học sinh làm tính thể tích cao hẳn năm trước em khơng học chun đề Với đóng góp nhỏ trên, hy vọng sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tham khảo cho giáo viên trẻ vào nghề học trò muốn rèn luyện phát triển lực tư sáng tạo giải tốt tập hình học khơng gian - Kiến nghị: Mỗi toán phức tạp bắt nguồn từ toán đơn giản, kỹ tương tự hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa phẩm chất quan trọng tư sáng 21 tạo Việc giúp học sinh phát huy kỹ giải toán điều quan trọng người thầy Với tinh thần theo hướng thầy cô giáo em học sinh tìm nhiều kinh nghiệm hay với nhiều đề tài khác Chẳng hạn, phát triển tốn từ hình học phẳng sang hình học khơng gian, phát triển tốn bất đẳng thức từ số bất đẳng thức đơn giản, từ tốn tỉ số khoảng cách phát triển thành tốn tính khoảng cách khơng gian Mặc dù vậy, điều kiện thời gian hạn chế nên việc phát triển khai thác toán chưa triệt để mang tính chất tương đối, mong bạn bè đồng nghiệp góp y kiến chỉnh sửa để đề tài hoàn thiện Cuối xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban giám khảo đồng nghiệp giúp đỡ góp y cho tơi hồn thành đề tài SKKN 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách tập hình học 12 chương trình chuẩn nâng cao Đề thi tuyển sinh vào đại học, THPT QG Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Đề thi Olympic 30-04 (kể đề tham khảo) Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học mơn Tốn NXB ĐHSP Hà Nội 2004 Nguyễn Thị Mỹ Lộc, Đinh Thị Kim Thoa, Trần Văn Tính, Tâm lí học giáo dục NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2009 Một số toán từ website: laisac.page.tl, Mathlinks.ro, khoia0.com, toanmath.vn, diendantoanhoc.net, diendankienthuc.net,… 23 MỤC LỤC Mở đầu……………………………………………………………………… 1.1 Ly chọn đề tài ……………………………………………….………….1 1.2 Mục đích nghiên cứu ……………………………………………….…… 1.3 Đối tượng nghiên cứu ………………………………………………….… 1.4 Phương pháp nghiên cứu ………………………………………….……… Nội dung sáng kiến kinh nghiệm ………………………………… …….… 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm ………………………… ….… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ……… … 2.3 Các SKKN sử dụng để giải vấn đề ……………………… … 2.4 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục, với thân đồng nghiệp nhà trường ……………………………………………………………… 18 Kết luận, kiến nghị ……………………………………………………… 19 - Kết luận ………………………………………………………………… 19 - Kiến nghị ………………………………………………………………… 20 24 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO XẾP LOẠI Họ tên tác giả: Trịnh Thị Hiếu Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Tĩnh Gia TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá Kết xếp loại đánh giá đánh giá xếp xếp loại Ứng dụng đạo hàm vào giải Năm học loại Sở GD& ĐT tốn phương trình, bất Thanh Hóa C phương trình, hệ phương trình hệ bất phương trình chứa tham số lớp 12 25 2013 - 2014 ... phát triển tốn tính thể tích quen thuộc thành lớp tốn tính thể tích khối chóp 2.3.2 Rèn tư sáng tạo cho học sinh THPT qua việc phát triển bài toán tính thể tích khối chóp: Bài tốn 1: Cho tứ... Giúp học sinh củng cố phương pháp tính thể tích khối chóp rèn tư sáng tạo thông qua việc phát triển tốn tính thể tích từ đơn giản đến phức tạp Học sinh biết mối liên hệ dạng tốn tính thể tích. .. tư sáng tạo cho học sinh THPT thông qua việc phát triển tốn tính thể tích khối chóp Nhằm cung cấp cho học sinh nhìn ứng dụng tốn tính thể tích đơn giản sách giáo khoa, từ tốn phát triển thành