Rèn luyện kỹ năng giải bài toán tính thể tích khối đa diện cho học sinh THPT

A. ĐẶT VẤN ĐỀ I.Lí do chọn đề tài Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn toán được nhiều học sinh yêu thích và say mê, nhưng nói đến môn hình học thì lại mang nhiều khó khăn và trở ngại cho không ít học sinh, thậm trí ta có thể dùng từ “sợ” học. Đặc biệt là hình học không gian tổng hợp. Một trong những nội dung quan trọng của hình học không gian tổng hợp đó là tính thể tích khối đa diện. Đây là một nội dung khó vì liên quan đến nhiều kiến thức ở chương trình hình học lớp 11 và yêu cầu học sinh phải tư duy linh hoạt, khả năng phân tích tổng hợp và tưởng tượng. Nhưng là phần rất quan trọng có trong cấu trúc đề thi tốt nghiệp, cao đẳng, đại học và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển chọn học sinh giỏi và có khả năng phát triển tư duy cho sinh. Qua thực tế một số năm giảng dạy khối 12 ở Trường THPT Lê Văn Linh, tôi thấy học sinh khi học phần này thường rất lúng túng không định hướng được cách tính thể tích và hay mắc phải số sai lầm. Nguyên nhân là do các em không nắm vững lí thuyết, việc luyện tập còn ít. Là một giáo viên dạy toán, bản thân tôi luôn đặt ra câu hỏi? dạy như thế nào để học sinh dễ tiếp thu, nắm chắc kiến thức, vận dụng tốt vào giải toán, và phù hợp với nhiều đối tượng. Đó là vấn đề mà tôi luôn trăn trở và tìm tòi trong quá trình giảng dạy và mong muốn được trao đổi với các thầy cô giáo đồng nghiệp. Nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn, trở ngại đó và ngày càng yêu thích môn toán hơn tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Rèn luyện kỹ năng giải bài toán tính thể tích khối đa diện cho học sinh THPT”. II. Mục đích của đề tài * Nhằm giúp các em học sinh có được phương pháp phù hợp khi giải bài toán tính thể tích khối đa diện, tránh những sai sót phổ biến khi học phần này. 1 * Góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy lấy học sinh làm trung tâm, phát huy tính chủ động, tích cực, sáng tạo của học sinh. * Giúp các em có niềm đam mê khi học toán, bồi dưỡng khả năng tự học , tự suy luận, phát triển tư duy tưởng tượng, phát huy tính sáng tạo, nhằm phát triển tư duy toán học cho học sinh. * Là tài liệu cho cho học sinh và các đồng nghiệp tham khảo. III. Nhiệm vụ của đề tài * Đưa ra hệ thống lí thuyết và các công thức có liên quan đến bài toán tính thể tích khối đa diện. * Các phương pháp tính thể tích khối đa diện. * Một số sai lầm mà học sinh thường mắc phải. * Đưa ra một số bài tập tham khảo. IV. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 12A, 12B – Năm học 2012 - 2013 của Trường THPT Lê Văn Linh. V. Phương pháp nghiên cứu: - Qua nghiên cứu tài liệu: Đọc kỹ sách giáo khoa, sách tham khảo có liên quan. - Qua kinh nghiệm giảng dạy tại trường THPT Lê Văn Linh. - Điều tra tình hình học sinh khi làm bài. - Dùng phương pháp kiểm nghiệm học sinh thông qua việc ra đề kiểm tra. - Qua trao đổi và học hỏi các thầy cô giáo trong trường và đồng nghiệp. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2 I.Cơ sở lí luận: 1. Khái niệm khối đa diện: Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. 2. Khái niệm về thể tích khối đa diện: Thể tích khối đa diện (H) là một số thực dương, kí hiệu V (H) và thỏa mãn các tính chất sau: +) Nếu (H) là 1 khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V (H) = 1. +) Nếu hai khối đa diện (H 1 ) và (H 2 ) bằng nhau thì 1 ( )H V = 2 ( )H V . +) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H 1 ) và (H 2 ) thì V (H) = 1 ( )H V + 2 ( )H V . * Chú ý: Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị. 3. Các công thức tính thể tích khối đa diện: 3.1 Thể tích khối lăng trụ: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: V = Bh. * Chú ý:1, Trong trường hợp đặc biệt nếu khối đa diện là khối hộp chữ nhật hoặc khối lập phương thì: +) Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c là: V = abc. +) Thể tích khối lập phương có cạnh bằng a la: V= a 3 . 2, B: Diện tích đáy, h: chiều cao( là khoảng cách giữa hai đáy). 3.2 Thể tích khối chóp: Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là: V = 1 3 Bh. * Chú ý: B: diện tích đáy, h: chiều cao( là khoảng cách từ đỉnh tới đáy) 4. Các kiến thức có liên quan 4.1 Góc giữa hai đường thẳng trong không gian a và b: Là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song sng với a và b. Chú ý: Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng song song với đường thẳng còn lại. 4.2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) là góc giữa d và hình chiếu d’ của nó trên (α) 3 Chú ý: * Nếu d vuông góc với mp(α) thì ta nói rằng góc giữa d và (α) bằng 90 0 . * Nếu d không vuông góc với (α) và cắt (α) tại điểm O thì ta xác định góc giữa d và (α) như sau: +) Ta lấy một điểm A tùy ý trên d khác với điểm O. +) Xác định hình chiếu vuông góc của A lên (α) là điểm H. +) Khi đó góc giữa d và (α) là φ và ˆ AOH ϕ = 4.3 Góc giữa hai mặt phẳng: Là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Chú ý: Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (α) và (β) +) Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng. +) Chọn điểm I trên giao tuyến c , từ điểm I ta dựng trong (α) đường thẳng a và trong (β) đường thẳng b cùng vuông góc với c. +) Khi đó góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng a và b. 4.4 Khoảng cách: +) Khoảng cách từ một điểm O đến một đường thẳng a là độ dài đoạn OH( H là hình chiếu vuông góc của O lên a). +) Khoảng cách từ một điểm O đến một mặt phẳng (α) là độ dài đoạn OH ( trong đó H là hình chiếu vuông góc của O lên (α). Chú ý: Cách tìm điểm H : Chọn mp(β) chứa O, vuông góc với (α) và cắt (α) theo giao tuyến d. Trong (β) từ O dựng đường thẳng vuông góc với d tại H. Khi đó H là hình chiếu vuông góc của O lên (α). +) Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mặt phẳng (α). +) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. +) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là độ dài đoạn MN ( M ∈ a, N ∈ b, MN ⊥ a, MN ⊥ b). Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại, bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. II.Thực trạng của vấn đề: 4 +) Câu hình học không gian có trong các đề thi và thường là khó đối với học sinh mặc dù đây chưa phải là câu khó trong đề thi. +) Học sinh có tâm lí chung là ngại học hình, đặc biệt là hình học không tổng hợp trong đó phải nói đến phần tính thể tích khối đa diện. +) Đối với học sinh Trường THPT Lê Văn Linh thì chất lượng đầu vào thấp hơn so với một số trường của huyện. Dẫn đến nhiều khó khăn cho giáo viên khi dạy học phần này. +) Thực tế thời gian học chính khóa dành cho phần này rất ít, với chương trình chuẩn hình học 12 chỉ phân phối có 2 tiết lí thuyết và 1 tiết bài tập. Sách giáo khoa mới chỉ nêu công thức tính thể tích, nêu một ví dụ và đưa ra một số bài tập. +) Học sinh không nắm vững lí thuyết, thời gian luyện tập ít. Chính vì thế nên khi gặp bài toán tính thể tích khối đa diện đa số học sinh rất lúng túng khi làm bài, chưa phân loại và định hướng được cách giải, hoặc mắc phải một số sai lầm. Dẫn đến kết quả thi kiểm tra ở lớp ở trường, thi đại học rất thấp. III. Giải pháp và tổ chức thực hiện. Dạng 1: Tính trực tiếp Tính đường cao và diện tích đáy. Sau đó áp dụng công thức để tính thể tích khối đa diện. Áp dụng công thức: +) Thể tích của khối chóp được tính theo công thức : V = B.h trong đó : B là diện tích đáy, h là chiều cao của hình chóp( tức là khoảng cách từ đỉnh của hình chóp tới mặt phẳng đáy) +) Thể tích của khối lăng trụ là: V = B. h 5 trong ú : B l din tớch ỏy, h l chiu cao ca hỡnh lng tr ( l khong cỏch gia 2 ỏy) Vic ỏp dng cụng thc thụng thng yờu cu: a) Xỏc nh ng cao ( cú th bi toỏn cho sn ng cao, hoc cú th phi dng, hoc cú khi phi k ng cao ph,) b)Tớnh di ng cao v din tớch mt ỏy. * xỏc nh ng cao ta lu ý : Hỡnh chúp u cú chõn ng cao trựng vi tõm ca ỏy nờn chiều cao của hình chóp là khoảng cách từ đỉnh đến tâm của đáy. Hỡnh chúp cú cỏc cnh bờn bng nhau thỡ chõn ng cao trựng vi tõm ng trũn ngoi tip mt ỏy. Hỡnh chúp cú cnh bờn vuụng gúc vi ỏy thỡ chiu cao ca hỡnh chúp l di cnh bờn ú Hỡnh chúp cú cỏc mt bờn cựng to vi ỏy nhng gúc bng nhau thỡ chõn ng cao chớnh l tõm ng trũn ni tip mt ỏy. Hỡnh chúp cú mt mt bờn vuụng gúc vi ỏy thỡ chõn ng cao nm trờn giao tuyn ca mt phng ú v ỏy. Hỡnh chúp cú hai mt bờn cựng vuụng gúc vi ỏy thỡ ng cao nm trờn giao tuyn ca hai mp ú. Hỡnh lng tr : chiu cao l khong cỏch t 1 nh ti mt ỏy cũn li nờn tng t nh hỡnh chúp. * tớnh di ng cao ta thng ỏp dng: Cỏc h thc lng trong tam giỏc: nh lớ Cosin, Sin, c bit l cỏc h thc lng trong tam giỏc vuụng. Da vo nh lớ Talets, * tớnh din tớch mt ỏy cn lu ý: ỏy l mt trong cỏc hỡnh sau thỡ din tớch c tớnh nh sau: 6 +) ∆ ABC vuông tại A thì S = AB. AC = AH. BC ( AH là đường cao) , +) ABC đều cạnh a thì S = , +) ABCD là hình vuông cạnh a thì S = a 2 , +) ABCD là hình chữ nhật cạnh a, b thì S = a.b, +) ABCD là hình thoi thì S = AC. BD , … Sau đây là một số hình vẽ minh họa cho các hình đặc biệt: Hình chóp tam giác đều Hình chóp tứ giác đều H×nh chãp cã mét mÆt bªn 7 H C A B S H D C BA S H C B A S (SBC) vu«ng gãc víi mÆt ®¸y H×nh chãp cã hai mÆt bªn kÒ nhau (SAC) vµ (SAB) vu«ng gãc víi ®¸y. SA lµ ®êng cao. Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông có cạnh huyền BC=2a , góc . Các cạnh bên của hình chóp hợp với đáy những góc bằng nhau và bằng β . Tính thể tíchcủa khối chóp. * Phân tích: Bài toán này rất ngắn gọn, giả thiết của bài toán ít , tuy nhiên giả thiết thứ 2 khó xác định hơn, đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Yêu cầu của bài toán tính thể tích của khối chóp tam giác: Học sinh phải xác định đường cao, tính diện tích tam giác đáy, áp dụng đúng công thức. Lời giải: 8 C B A S Trước hết gọi H là hình chiếu vuông góc của S xuống mp(ABC), hình chóp đã cho có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng nhau · · · SAH SBH SCH β ⇒ = = = nên từ đó suy ra rằng HA=HB=HC, tức là chân đường cao H phải trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mặt khác ∆ABC là tam giác vuông tại A, nên H chính là trung điểm của cạnh huyền BC. Dựa vào hình vẽ này ta có BC=2a, 2 1 1 .tan . .( tan ).( sin 2 ); 3 3 ABC SH a V SH S a a β β α ∆ = ⇒ = = Do đó: V = 3 .tan .sin 2 3 a β α *Nhận xét: Ở bài này học sinh rất dễ mắc phải sai lầm sau : Kẻ SH ⊥ mp(ABC) ( hình vẽ), ta có: · · · SAH SBH SCH α = = = , như vậy nhìn vào hình vẽ học sinh không tính được SH, do không định vị được điểm H. Hình vẽ trên sai do học sinh không vận dụng hết các điều đã cho trong giả thiết ( các cạnh bên tạo với đáy một góc bằng nhau và đáy là tam giác vuông ). Do đó nó không gợi ý một sự liên hệ nào có thể giúp chúng ta thực hiện được việc tính toán. Chú ý: Nếu các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. 9 H C B A S J K I H C B A S Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi với các đường chéo AC=4a, BD=2a, đường cao SO=h=2a của hình chóp có chân O là giao điểm của AC và BD. Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B', C', D'. Khi đó hãy tính thể tích của S. AB'C'D'. * Phân tích: Bài toán này các giả thiết đầu xác định được ngay trên hình, tuy nhiên giả thiết cuối cùng đòi hỏi học sinh phải xác định các điểm B’, C’, D’ cho đúng, Vẽ hình thì phải vẽ đáy là hình bình hành, lấy tâm O, từ O dựng đường vuông góc với mặt đáy, trên đường thẳng đó lấy S, nối S với các đỉnh. Đây là bài toán tính thể tích của khối chóp tứ giác, vẽ hình xong thì có thể gợi ý cho học sinh nhiều cách tính tuy nhiên lựa chọn cách nào cho đơn giản nhất. Sau khi phân tích ta chọn cách tính trực tiếp, xác định h và B * Lời giải : Do SC (AB’C’D’) nên đường cao của hình chóp S. AB'C'D' là SC’ và đáy là AB’C’D’. SAC cân có đường cao SO = 2a = => SAC đều .Vậy C' là trung điểm của SC => SC’ = = 2a. Tính diện tích đáy : Tứ giác AB’C’D’ có AC’ B’D’ nên S = dt(AB'C'D')= 1 '. ' ' 2 AC B D . AC' là đường cao trong tam giác đều SAC cạnh 4a nên AC’= 2a Gọi K là giao điểm của các đường chéo, ta có: 10 [...]... nh hỡnh v chng minh) A A1 B B1 H E S C1 C Nh vậy nếu việc tính các tỉ số này và tính thể tích của một trong 2 hình dễ hơn thì áp dụng công thức trên ta sẽ suy ra thể của hình còn lại 19 +) Tứ diện ABCD có AB = a; S1, S2 là diện tích của 2 mặt chung cạnh AB, là góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (ABD) Khi đó thể tích của khối chóp là V= Vớ d 8: Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA=a,SB=2a,SC=3a v BSA=600, ASC=1200,... gii cho tng dng toỏn, la chn bi tp phự hp vi tng ni dung cn phõn tớch *Qua mt s nm ging dy v ỳc kt kinh nghim tụi nhn thy rng dy cho hc sinh hc tt mụn hỡnh hc khụng gian thỡ cn phi giỳp cho hc sinh nm vng h thng lý thuyt: cỏc nh ngha, nh lý, h qu, cỏc phng phỏp chng minh, cỏc phng phỏp tớnh cỏc yu t nh lng Ngoi ra cn giỳp cho hc sinh bit cỏch t duy hỡnh nh, k nng v hỡnh Nm vng cỏc yu t trờn s giỳp cho. .. tam giỏc), 18 Đối với hình chóp tam giác thì ngoài công thức dng 1 ta có thể áp dụng cách tính sau: +) Nếu hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc thì V = +) Nếu hình chóp ABCD có 2 cạnh đối diện lần lợt là a, b , góc giữa 2 cạnh đó bằng , khoảng cách giữa 2 đờng thẳng đó bằng h thì thể tích của khối chóp ABCD là : V= +) Cho hỡnh chúp SABC Trờn cỏc on thng SA, SB, SC ly ln lt ba im A1, B1, C1... Yu Nh vy ta thy rng sau khi trin khai dy hc sinh theo ti ny thỡ t c kt qu nht nh Tụi mong rng s hc sinh khỏ gii, k c hc sinh trung bỡnh s lm c dng bi tp ny trong cỏc kỡ thi 25 C KT LUN V XUT *Qua ti ny tụi ó lm c mt s vic nh sau: +) a ra mt h thng lý thuyt cú liờn quan n bi toỏn tớnh th tớch khi a din +) a ra mt s bi tp c bn hc sinh luyn tp +) Hng dn hc sinh cỏch gii quyt bi toỏn tớnh th tớch khi... hc sinh thng mc phi mt s sai lm sau: V hỡnh sai, thng l hc sinh ly im B, C, D tựy ý vỡ khụng nm chc gi thit ca bi toỏn Th 2 l hc sinh s s dng cụng thc : VS ABCD SA SB SC SD = ' ' ' ' VS A'B'C 'D' SA SB SC SD Tớnh th tớch ca khi chúp S.ABCD , cỏc t s trờn , t ú hc sinh suy ra th tớch ca khi chúp S.ABCD Nhng sai lm trờn õy l do thiu mt s hiu bit cn thit trong vic v mt s hỡnh quen thuc, v do hc sinh. .. trang b phn phng phỏp nh vy ta cng giỳp hc sinh a ra cỏch gii mt bi toỏn linh hot bng c hai phng phỏp hc sinh so sỏnh i chiu la chn v a ra bi tp mc tng hp Bi 1: Cho khi lng tr ng ABC.A1B1C1 cú tt c cỏc cnh u bng a a) Hóy tớnh th tớch khi t din A1BB1C b) Mt phng i qua A1B1v trng tõm tamgiỏc ABC ct AC,BC ln lt ti E,F Hóy tớnh th tớch chúp C.A1B1FE Bi 2: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hcn,AB=a,AD=a... hc sinh li ỏp dng i vi khi chúp t giỏc Bi ny hc sinh mun s dng cụng thc ny phi chia khi chúp thnh 2 khi chúp tam giỏc Vớ d 3: ( thi i hc khi A - 2010) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a Gi M, N ln lt l trung im ca cỏc cnh AB, AD; H l giao im ca CN v MD Bit SH vuụng gúc vi mp(ABCD) v SH = Tớnh th tớch khi chúp S.CDMN * Phõn tớch: Ga thit v kt lun ca bi toỏn rt c th v d xỏc nh Ch lu ý hc sinh. .. = VLT 3 H K B 1 3 +) Khi chúp B1ABC cú VB ABC = VLT 1 1 a Do ú khi chúp A1B1CA cú V A B AC = VLT = 1 1 3 3 4 Lu ý: bi ny hc sinh thng hay mc phi sai lm: Gi thit cho ỏy l tam giỏc u thỡ hc sinh thng nhm l lng tr u v suy ra ng cao l di cnh bờn A1 Vớ d 10: C1 B1 A C H K B 21 Cho khi hp ch nht ABCD.A1B1C1D1 cú AB=a, A1A=c, BC=b Gi E, F ln lt l trung im ca B1C1 v C1D1 Mt phng (FEA) chia khi hp thnh hai... khi tr ú 6 Bi 6: Cho khi lng tr ng ABC.A1B1C1 cú ỏy ABC l tam giỏc cõn ti A, gúc gia A1A v BC1 bng 300, khong cỏch gia chỳng bng a Gúc gia hai mt bờn qua A1A bng 600 Hóy tớnh th tớch khi tr Bi 7 Cho lng tr xiờn ABC.A1B1C1 cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A, AB=a, BC=2a Mt bờn (ABB1A1) l hỡnh thoi nm trong mt phng vuụng gúc vi ỏy v hp vi mt bờn mt gúc Hóy tớnh th tớch khi lng tr 24 Bi 8: cho hỡnh chúp t... = h.S ABCD = 2 2 a 2 3 a 6 a3 2 = 4 3 2 * Nhn xột: bi ny hc sinh thng v hỡnh sai, do xỏc nh chõn ng vuụng gúc H sai v trớ v dn n khụng nh hng c cỏch tớnh on AH Vớ d 6: ( thi i hc khi B - 2010) Cho hỡnh lng tr tam giỏc u ABC.ABC cú AB= a, gúc gia hai mt phng (ABC) v (ABC) bng 600 Gi G l trng tõm tam giỏc ABC Tớnh th tớch khi lng tr ó cho v tớnh bỏn kớnh mt cu ngoi tip t din GABC theo a Phõn tớch: . Nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn, trở ngại đó và ngày càng yêu thích môn toán hơn tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Rèn luyện kỹ năng giải bài toán tính thể tích khối đa diện cho học sinh THPT . II thức tính thể tích khối đa diện: 3.1 Thể tích khối lăng trụ: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: V = Bh. * Chú ý:1, Trong trường hợp đặc biệt nếu khối đa diện là khối. ra một số bài tập. +) Học sinh không nắm vững lí thuyết, thời gian luyện tập ít. Chính vì thế nên khi gặp bài toán tính thể tích khối đa diện đa số học sinh rất lúng túng khi làm bài, chưa