Trong nhiều bài toán tính thể tích khối đa diện chiều cao thường không dễ thấy, do đó đòi hỏi ta cần kẻ thêm hình để xác định chiều cao. Điểm mấu chốt là xác định được chân đường cao hạ từ đỉnh xuông mặt đáy. Ở dạng này ta xét một số hình chóp có dấu hiệu cơ bản để tìm chân đường cao.
Dấu hiệu 1: Hình chóp có một mặt phẳng (P) chứa đỉnh và vuông góc với mặt đáy.
Phương pháp: Hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy nằm trên giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt đáy.
Ví dụ 1(CĐ 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với (ABCD), SA = SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 450. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
Phân tích: Trong bài này (SAB) và (ABCD) có giao tuyến chính là AB, nên để xác định chiều cao của khối chóp ta chỉ cần tìm ra đường thẳng đi qua S năm trong (SAB) và vuông góc với AB là xong.
Giải:
Gọi I là trung điểm AB. Ta có SA = SB SI AB
⇒ ⊥ . Mà (SAB) (⊥ ABCD), suy
ra SI ⊥( ABCD). Góc giữa SC và (ABCD) bằng SCIã =450, suy ra
2 2 5
2 SI =IC = IB +BC = a . Vậy
3 .
5
S ABCD 6
V = a (đvtt)
Nhận xét: Trong bài toán này ta có thể thay đổi giả thiết góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 450 bởi góc giữa mặt bên và mặt đáy hoặc cho độ dài SI nhưng không cho độ dài cạnh đáy thi vẫn tính được thể tích khối chóp.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân đỉnh C; CA = CB = a. Mặt bên (SAB) vuông góc với đáy (ABC) và SB = SC = a, SA = x.
a) Chứng minh rằng ∆SAB vuông.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và x.
Phân tích: Bài này tương tự như bài trên ta có ngay SH là chiều cao của khối chóp nhưng nếu coi đáy là (SAB) thì ta lại có chiều cao là CH.
Giải:
a) Gọi H là trung điểm AB, ABC∆ cân tại C
CH AB
⇒ ⊥ . Ta có:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
SAB ABC
SAB ABC AB CH SAB CH SH
CH AB
⊥
∩ = ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥
.
Ta có: CH2 + HB2 = BC2⇒HB= a2 −HC2 Mà SHC∆ vuông tại H nên
2 2 2 2
SH = SC −HC = a −HC .
Do đó 1
SH =HB= 2AB⇒ ∆SAB vuông tại S.
b) Ta coi CH là đường cao, SAB là đáy của hình chóp.
1 1
2 . 2
S∆SAB = SA SB= ax. Ta có AB= a2+x2 2 2 3 2 2 2 a x
HC BC HB −
⇒ = − =
2 2 2 2
1 1 3 3
. . .
3 ABC 3 2 2 12
a x ax ax a x
V = CH S∆ = − = −
Nhận xét: Ta có thể tính theo chiều cao nào cũng được. Ngoài ra ta còn có thể tìm được giá trị lớn nhất của thể tích.
Ví dụ 3(A 2007). Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông ABCD cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mp vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD. Tính thể tích tứ diện CMNP theo a.
Phân tích: Ở bài này khối chóp S.ABCD sẽ có chiều cao là SH với H là trung điểm AD.
Như vậy với khối tứ diện CMNP nếu ta chọn M là đỉnh thì chiều cao chính là đường thẳng đi qua M và song song với SH.
Giải:
Gọi H là trung điểm AD thì SH⊥ AD.
Do (SAD) (⊥ ABCD) nên suy ra: SH ⊥( ABCD)
và 3
2
SH = a (vì SAD là tam giác đều cạnh a).
Kẻ MK//SM (K∈HB) ⇒ MK ⊥( ABCD) và 3
2 4
SH a
MK = =
Vậy
2 3
1 1 3 3
. . .
3 3 8 4 96
MCNP CNP
a a a
V = S MK = =
Nhận xét: Ta có thể tính thể tích của khối chóp có đỉnh là S hoặc M và đáy là tam giác hoặc tứ giác nằm trong mặt đáy.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh góc vuông bằng a. Mặt bên (SBC) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại đều tạo với đáy một góc 450.
a) Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của đỉnh hình chóp xuống đáy là trung điểm BC.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Phân tích: Ở ý a) đã gợi ý cho ta chiều cao của khối chóp chính là SH với H là trung điểm của BC.
Giải:
a) Gọi H là hình chiếu của S lên BC. Do đó
( )
SH ⊥ ABC .
Kẻ HM, HN lần lượt vuông góc với AB, AC. Dễ dàng suy ra SMHã =ãSNH =450. ∆SHM &∆SHN là các tam giác vuông tại H, có các góc nhọn bằng 450 nên là các tam giác vuông cân tại H.
Suy ra SH=HM=HN.
Hai tam giác vuông MBH và NCH bằng nhau (g.c.g) nên HB=HC hay hình chiếu H của S lên BC là trung điểm BC.
b) Ta có
2 2
AB a SH =HN = = và
2 ABC 2 S = a
3
. 12
S ABC
V a
⇒ = (đvtt).
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a và
, 3
SA a SB a= = . Mặt (SAB) vuông góc với (ABCD). Gọi M là trung điểm AB. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ C đến (SMD) theo a.
Phân tích: Trong ví dụ này thì tam giác SAB vuông tại S nên SM = a. Từ đó ta có tam giác SAM cân tại S nên chân đường cao sẽ là trung điểm H của AM.
Giải:
+ Ta có: SA2+SB2 = AB2 ⇒ ∆SAB vuông tại S. Khi đó
2
SM = AB = =a SA⇒ ∆SAM cân tại S. Gọi H là trung điểm của AM ta có SH ⊥ AB
và . 3
2 SA SB a
SH = AB = .
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
SAB ABCD
SAB ABCD AB
SH ABCD
SH SAB SH AB
⊥
∩ ⊂ = ⇒ ⊥
⊥
.
Vậy
3 .
1 2 3
. .
3 3
S ABCD
V = SH AB AD= a .
Ta có: SH ⊥(ABCD)⇒SH ⊥HD⇒SD2 =SH2+HD2 =SH2+HA2+AD2
2 2
2 3 2 2
4 5 5
4 4
a a
SD a a SD a
⇒ = + + = ⇒ =
Mà DM2 = AM2 +AD2 =a2+4a2 =5a2⇒ DM =a 5
Do đó tam giác SMD cân tại D. Gọi I là trung điểm của SM ta có
2 2
2 2 2 2 19 19
5 4 4 2
a a a
DI ⊥SM ⇒ DI =SD −SI = a − = ⇒ DI =
1 19 2 19
2 2 4
SMD
a a
S∆ a
⇒ = = . Ta có
3 2 .
3 2
1 1 1 3 1 3 1
. . 4 . ( ,( )).
3 2 3 2 2 3 3
3 4 57
( ,( ))
19 19 4
S MCD SMD
a a
V SH AD CD a d C SMD S
a a
d C SMD a
= = = = ∆
⇒ = =
Ví dụ 6. (HSG Nam Định 2012-2013) Cho hình chóp .S ABCDcó đáy ABCD là hình vuông với AB=2a. Tam giác SAB vuông tại S, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC) bằng ϕ với
sin 1
ϕ =3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) theo a.
Phân tích: Trong ví dụ này thì việc xác định chiều cao là đơn giản. Vân đề khó gặp phải ở đây là xác định góc giữa SD và mặt phẳng (SBC) mà góc này lại có mối quan hệ với khoảng cách từ D đến (SBC)(cũng là khoảng cách từ A đến (SBC) và bằng SA).
Giải:
Ta có: BC ⊥ AB SAB; ( )⊥(ABCD)⇒BC ⊥(SAB)⇒ BC⊥SA mà SA⊥SB⇒ SA⊥(SBC).
Gọi d là khoảng cách từ D đến (SBC)
.sin 3
d SD ϕ SD
⇒ = = . Mặt khác :
/ /( ) ( ,( )) ( ,( ))
AD SBC ⇒d D SBC =d A SBC 3
d SA SA SD
⇒ = ⇒ =
Do AD//BC ⇒ AD⊥SA. Xét tam giác SAD vuông tại A có AD = 2a và
2 2 2 2 2 2 14
SA 8SA
2 2
a a
AD SD AD SA SB
+ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
Kẻ SH ⊥ AB tại H ⇒SH ⊥(ABCD) và 7
. .
4 AB SH =SA SB⇒SH = a Vậy
3 .
1 7
. ( )
3 3
S ABCD
V = SH dt ABCD = a .Ta có
3 .
1 7
2 6
SBCD S ABCD
V = V = a .
S
A
C
D
= D B
H
Mà 3 ( ;( ))
( )
VSCBD
d C SBD
dt SBD
= (1). Tam giác SBD có: 14 2
SB= a , 3 2
3 2
SD= SA= a ,
2 2 2
2 2
BD= a ⇒ BD =SB +SD nên tam giác SBD vuông tại S
1 3 2 7
2 . 4
SBD
S = SB SD= a . Thay vào (1) có 2 ( ;( ))
3 d C SBD = a. Bài tập tương tự:
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD.
a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
ĐS:
3 3
6 a Bài 2. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, BCD là tam giác vuông cân tại D, (ABC) (⊥ BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 600. Tính thể tích tứ diện ABCD theo a.
ĐS:
3 3
9 a Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450.
a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
ĐS:
3
12 a Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SBC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).
a) Chứng minh rằng chân đường cao của chóp là trung điểm của BC.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
ĐS:
3 3
24 a Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a, biết tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC), mp(SAC) hợp với (ABC) một góc 450. Tính thể tích của S.ABC theo a.
ĐS:
3
12 a Bài 6. Cho hỡnh chúp S.ABC cú BACã =900, ãABC =300; SBC là tam giỏc đều cạnh a và
(SAB) (⊥ ABC). Tính VS.ABC theo a. ĐS: 2 2
24 a Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều; tam giác SBC có đường cao SH = h và (SBC)⊥(ABC). Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 300. Tính thể tích hình chóp S.ABC theo h.
ĐS:
4 3 3 9 h Bài 8. Cho tứ diện ABCD có ABC và BCD là 2 tam giác đều lần lượt nằm trong 2 mp
ĐS:
3 6
36 a Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao SH = h, nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD).
a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo h.
ĐS:
4 3
9 h Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, ∆SAB đều cạnh a nằm trong mp vuông góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc 300. Tính VS.ABCD
theo a.
ĐS:
3 3
4 a Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, BC = 4a,
(SAB) (⊥ ABCD), 2 mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 300. Tính VS.ABCD theo a.
ĐS:
8 3 3 9 a Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a. Tam giác SAD vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
ĐS:
3 5
12 a Bài 13(KD2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuụng gúc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và SBCã
= 300 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Bài 14. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC=2a. Gọi I là trung điểm của BC. Biết tam giác SAI vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mp(ABC). Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
ĐS: . 10 3
S ABCD 12
V = a , 10
( , )
d SM BD = 3 a Bài 15. (HSG Hà Tĩnh 2012-2013) Cho hình chóp S.ABC có các mặt phẳng (SBC) và (ABC) vuông góc với nhau, các cạnh AB = AC = SA = SB = a. Tìm độ dài cạnh SC sao cho khối chóp S.ABC có thể tích V =
8 a3
.
ĐS: 8
a3
V = ⇔
2 3 2 2 3a2
x a
x − = ⇔
2 6 x= a .
Dấu hiệu 2: Hình chóp có ít nhất ba cạnh bên bằng nhau hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau.
Phương pháp: Chân đường cao chính là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác với các đỉnh của cạnh bên mà nằm trong mặt đáy. Như vậy ta có thể gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và ta phải chứng minh SI vuông góc với mặt đáy hoặc kẻ SI vuông góc với đáy và chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Vớ dụ 1. Cho hỡnh chúp S.ABC cú cỏc cạnh bờn bằng a và ASã B=60 ,0 BSCã =90 ,0
ã 1200
CSA= .
a. Chứng minh rằng ∆ABC vuông . b. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Phân tích: Chân đường cao chính là trung điểm của AC do đáy là tam giác vuông tại B.
Giải:
a) Ta có: AB a BC a= , = 2,AC a= 3 ⇒ ∆ABC vuông tại B.
b) Kẻ SH vuông góc với (ABC) tại H. Khi đó các tam giác SHA, AHB, AHC bằng nhau nên HA = HB = HC do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Suy ra H là trung điểm của AC.
3
2 2
a a
AH = ⇒SH = Khi đó
3 .
1 1 2
. . . 2
3 2 2 12
S ABC
a a
V = a a =
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD = 3 và góc giữa 2 đường chéo bằng 60o. Các cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 45o. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Phân tích: Do các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc bằng nhau nên chân đường cao chính là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy do đó ABCD phải là hình chữ nhật.
Giải:
Gọi H = AC∩BD
Giả sử AB AD≥ khi đó góc giữa AC và BD bằng
ãAHD
Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD), khi đó:IA IB IC= = =ID⇒I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD.
Vậy ABCD là hình chữ nhật⇒ ∆AHDđều.
Giả sử AD=a⇒ AH = ⇒a AB a= 3.
. 3 3 1
SABCD =a a = ⇒ =a .
nên SH =AH =1. Vậy . 3
S ABCD 3
V =
Ví dụ 3. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 và A cách đều A’, B’, C’. Gọi M là trung điểm của B’C’. Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa AA’ và B’C’.
Phân tích: Ta dễ thấy A.A’B’C’ là hình chóp đều nên chân đường cao chính là trọng tâm tam giác A’B’C’.
Giải:
+) Vì A.A’B’C’ là hình chóp đều nên gọi H là trọng tâm tam giác A’B’C’ thì AH ⊥( ' ' ')A B C . Góc giữa cạnh bên AA’ và (A’B’C’) là
ã ' ã ' 600
AA H ⇒ AA H =
Ta có 3
' 2
A M = a 3 0
' ' .tan 60
3
A H a AH A H a
⇒ = ⇒ = = . Khi đó
3
. ' ' ' ' ' '
1 3 3
. . . .
2 2 4
ABC A B C A B C
a a
V = AH S =a a =
+) Từ M kẻ MK vuông góc với AA’ tại K. Khi đó khoảng cách chính là MK. Giáo viên hướng dẫn học sinh tính tiếp khoảng cách.
Ví dụ 4.(HSG Nam Định 2013-2014) Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại A và BC = 2a, AC = a. Gọi D là điểm đối xứng với C qua trung điểm của AB. Gọi α là góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABC). Biết rằng tanα = 6 và SA = SB = SD Tính thể tích khối tứ diện SABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD.
Phân tích: Dễ thấy ABD là tam giác vuông tại B nên chân đường cao là trung điểm AD.
Giải:
Ta có AB a= 3 và ACBD là hình bình hành.
Suy ra tam giác ABD vuông tại B. Gọi H là trung điểm AD, suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Do SA = SB = SD nên SH vuông góc với mặt phẳng (ABD)
Gọi K là hình chiếu của H trên BD suy ra K là trung điểm BD và SK⊥BD.
Suy ra gúc giữa (SBD) và (ABC) bằng ãSKH . Ta có HK là đường trung bình của tam giác ABD
nên 1 3
2 2
HK = AB= a , 3 2
.tan 2
SH =HK α = a .
Suy ra SABC 13. . ( ) 346
V = SH dt ABC = a .
Ta có d SC AD( ; ) =d AD SBC( ;( ) ) =d H SBC( ;( ) ) .
Gọi I là hình chiếu của H trên BC. Ta có (SHI) (⊥ SBC) (, SHI) (∩ SBC) =SI .
Gọi J là hình chiếu của H trên SI, suy ra HJ ⊥(SBC) ⇒d H SBC( ;( ) ) =HJ
Tính được 3 2
HI = a . Trong tam giác vuông SHI có 2 2 2
1 1 1 3
14 HJ a
HJ = HI +HS ⇒ = Vậy
3 6
SABC 4
V = a và ( ; ) 3
14 d SC AD = a . Bài tập tương tự:
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có SA = x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a.
Chứng minh rằng đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC). Tìm x theo a để thể tích của khối chóp S.ABCD bằng
3 2
6
a .
Bài 2. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A với AB a= 3, AC a= . Biết C’ cách đều A, B, C và 6
( ,( ' ))
15
d B C AC = a . Tính VA’ABC theo a.
ĐS:
3
'. 2
A ABC
V = a Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, độ dài các cạnh AB=2a; BC=a.
Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 2 . 1. Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a.
2. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB và CD, K là điểm trên cạnh AD sao cho AK
3
= a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SK theo a.
Bài 4. Cho hình chóp tam giác có các cạnh đáy lần lượt là 5, 5, 6. các mặt bên đều lập với đáy một góc 450. Tính thể tích khối chóp tam giác đó.
ĐS: V = 6 Bài 5. Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác cân ABC có AB = AC = a và B = C = α. Các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc β .
1. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
2. Tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng qua đỉnh B và đường cao SO của hình chóp.
Bài 6. (HSG Nghệ An 2011-2012) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a; SA SB SC= = =2a. Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD. Chứng minh rằng
2 3
V ≤ a .
Bài 7. (HSG Vĩnh Phúc 2014-2015) Cho hình chóp .S ABCD thỏa mãn SA= 5, 3
SB SC SD= = = AB BC CD DA= = = = . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích khối chóp .S MCDvà khoảng cách giữa hai đường thẳng SM CD, .
ĐS: . 15
S CMD 12
V = , 15
( , )
d CD SM = 23 .
Dấu hiệu 3: Hình chóp có ít nhất ba mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau.
Phương pháp: Chân đường cao chính là tâm đường tròn nội tiếp(bàng tiếp) đa giác với các cạnh của mặt bên mà nằm trong mặt đáy. Trong những bài như vậy ta cần chỉ rõ chân đường cao nằm bên trong hay bên ngoài đa giác đáy. Nếu không ta phải xét cả hai trường hợp đó.
Ví dụ 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 60o. Tính thể tích khối chóp biết chân đường cao hạ từ đỉnh S nằm bên trong mặt đáy.
Phân tích: Ta cần chứng minh chân đường cao H hạ từ S là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Giải:
Hạ SH⊥(ABC), kẻ HE⊥AB, HF⊥BC, HJ⊥AC suy ra SE⊥AB, SF⊥BC, SJ⊥AC.
Ta cú ẳSEH SFH SJH=ẳ =ẳ =60O ⇒
SJH SFH
SAH =∆ =∆
∆ nên HE =HF = HJ = r
( r là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC) Ta có SABC = p(p−a)(p−b)(p−c) với p = a b c a
2+ =9
+ Nên SABC = 9.4.3.2 a2 Mặt khác SABC = p.r
3 6
2 a
p r= S =
⇒
Tam giác vuông SHE có SH = r.tan 600 =2 2a . Vậy VSABC = 6 6 2.2 2 8 3 3
3
1 a a= a .
60
A C
B H S
E F J
Nhận xét: Trong các bài toán dạng này nếu không có điều kiện chân đường cao nằm bên trong mặt đáy thì chân đường cao có thể là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác ABC.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, ∆SAD đều cạnh bằng 2a, BC = 3a. Các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau. Tính VSABCD , biết chân đường cao hạ từ đỉnh S nằm bên trong mặt đáy.
Phân tích: Vì các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau và chân đường cao hạ từ S nằm bên trong mặt đáy nên chân đường cao chính là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
Giải:
Hạ SH ⊥ (ABCD), H ∈ (ABCD)
Vì các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau nên dễ dàng chứng minh được H là tâm đường tròn nội tiếp đáy
Gọi K là hình chiếu của H lên AD. Ta có HK = 2 AD =a Tam giác vuông SHK có HK = a, SK = 3
2 3
a 2 =a , SH = 3a2−a2 =a 2