sáng kiến hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ.. Trong kì thi THPT Quốc Gia thường xuất hiện câu giải phương trình vô tỉ, bất phương trình vô tỉ, hệ phương

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ.

Nơi thường trú: Nam Định

Trình độ chuyên môn: Cử nhân toán

Chức vụ công tác: Giáo viên toán

Nơi làm việc: trường THPT chuyên Lê Hồng Phong

Địa chỉ liên hệ: 76 Vị Xuyên Nam Định

Điện thoại: 0972313265

5 Đồng tác giả (nếu có): Không

6 Đơn vị áp dụng sáng kiến:

Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong

Địa chỉ: 76 Vị Xuyên Nam Định

Điện thoại:

I Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến:

Năm học 2015-2016, tôi được phân công giảng dạy môn toán khối 10, 11 Vì vậy tôi luôn ý thức tự học tập và nghiên cứu nhằm nâng cao chất lượng bài giảng phát huy tối đa năng lực tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy học sinh thường lúng túng và gặp nhiều khó khăn khi giải quyết một số phương trình vô tỉ Trong kì thi THPT Quốc Gia thường xuất hiện câu giải phương trình vô tỉ, bất phương trình vô tỉ, hệ phương trình gây nhiều khó khăn cho học sinh khi làm bài thi Chính vì vậy tôi viết sáng kiến kinh nghiệm : “ Hướng

học sinh biết cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp nhân liên hợp, đặt ẩn phụ hoặc phương pháp hàm số

Trong bài viết sáng kiến kinh nghiệm, tôi nhắc lại những kiến thức cơ bản để giải phương trình vô tỉ đồng thời đưa ra hệ thống bài tập có chọn lọc được chia ra ba

dạng: phương pháp nhân liên hợp, đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số Trong

mỗi dạng bài tập thường có nhận xét và hướng dẫn học sinh cách sáng tạo bài toán mới

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song bài viết của tôi không tránh khỏi thiếu sót Tôi rất mong sự đóng góp ý kiến quí báu của các thầy giáo, cô giáo để hoàn thiện hơn nữa sáng kiến kinh nghiệm của mình

II Nội dung sáng kiến:

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

a. Mục đích: Biến đổi đưa phương trình đã cho về phương trình tích.

c. Bài tập áp dụng.

1.1. Nhân lượng liên hợp bằng cách thêm bớt hằng số.

+) Phương pháp chung: dự đoán nghiệm 0

là một nghiệm của phương trình trên

+ Ta đưa phương trình trên về dạng ( x−5) ( )f x =0

bằng phương pháp nhân liên hợp Như vậy ta tìm hai số a b, >0

sao cho:

Nhận xét :

12

Vậy tập nghiệm của pt là

12

S =   

 

Điều kiện xác định:

23

2 3

2

3 1 02

0 2

14

Bài tập: Giải các phương trình:

1.2. Nhân liên hợp bằng cách thêm bớt ẩn số.

Phương pháp: Sử dụng máy tính CASIO tìm nghiệm của phương trình, sau đó

thêm bớt biểu thức thích hợp để làm xuất hiện nhân tử chung

Điều kiện xác định:

222

x x

Giải phương trình ( )1 ⇔ x2 − =x x2 − +x 1

Đặt t= x2 − +x 1 (t >0)

Phương trình (1) trở thành:

( ) ( )2

1 521

1 5

/2

Điều kiện xác định: x≥ −2

.Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có:

2 2

2

2 2 2

2 2

Điều kiện:

124

73

x x

( )

( )2

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có

x x

Hướng dẫn học sinh tự học và nghiên cứu.

Ví dụ 1: Cho x=2

ta có:

5x− =1 3, x+ =2 2, 5x− +1 x+ = = −2 5 7 x

Như vậy ta có bài toán sau

Bài 1: Giải phương trình: 5x− +1 x+ = −2 7 x

Như vậy ta có bài toán sau

Bài 2: Giải phương trình:

2 3

3 x − + =1 x 5, x − =2 5

Như vậy ta có bài toán sau

Bài 3: ( Đề nghị Olympic 30/4/2011 ) Giải phương trình:

+ Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ ( nếu có )

+ Đưa phương trình đã cho về phương trình theo ẩn phụ

+ Giải phương trình theo ẩn phụ và đối chiếu với điều kiện của ẩn phụ ( nếu có )+ Tìm nghiệm của phương trình ban đầu ứng với ẩn phụ vừa tìm được.

Ví dụ 1: Giải phương trình:

(x+2) ( 2x+ −3 2 x+ +1) 2x2 +5x+ =3 1Lời giải:

Điều kiện xác định: x≥ −1

.Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có

( )

( ) ( )

2 2

( ) ( ) ( )

2 2

không là nghiệm của phương trình (1)

Chia cả hai vế của phương trình cho x+2

≥ −

+ ≥

0

4 8 02

x x

Điều kiện xác định: x∈¡

Đặt: x2+ + =x 1 a; x2 − + =x 2 b a b , ( ≥0)

Phương trình trên trở thành:

4 4

x x

( ) ( ) ( )

3 8 3 0

4 73

2 2

Trường hợp 1:

( ) ( )

Do đó phương trình trên vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S ={ }4

.Cách 2: ta có thể giải bằng phương pháp nhân liên hợp

Hướng dẫn học sinh tự học, tự nghiên cứu.

Phân tích : Xuất phát từ các hằng đẳng thức đáng nhớ chúng ta có thể sáng tạo ra

một lớp các phương trình vô tỉ hay và khó

Như vậy ta được bài toán sau:

Bài toán 1( Đề nghị Olympic 30/4/1999 ) Giải phương trình:

ta được bài toán sau:

Bài 2: Giải phương trình sau: 3 x2 +3x+2( 3 x+ −1 3 x+2) =1

ta sẽ tạo ra bài toán sau:

Bài 4: Giải phương trình:

5x +2x+10 7= x +4

Tương tự ta có thể giải một số phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Bài tập: Giải các phương trình:

1) x 1+ + +x ( x 2 1) − = + +x x 1 1− x2

2)

2x+1 1+ 2x+ + =1 1 3 2x+1 x+1

không là nghiệm của phương trình trên Ta có:

+ + =+Lời giải:

Điều kiện xác định: x≥2

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có

x x x

Ví dụ 3: Giải phương trình sau:

2 2

Điều kiện xác định:

32

.Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Điều kiện xác định:

12

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có

( ) ( )

( )

( ) ( )

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S ={ }3

Điều kiện xác định:

12

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S ={ }1; 2

2

2 2

( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )

( ) ( )

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có:

S =   

 

Ví dụ 12: Giải phương trình:

2

3 2 2

.Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có

x x

Ví dụ 13: Giải phương trình: ( ) ( )

2 2

( )

( ) ( )

x x

S =   

 

Ví dụ 14: Giải phương trình:

2 2

Hướng dẫn học sinh tự học và nghiên cứu :

Phân tích: Dựa vào nội dung phương pháp giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tự

phát triển và sáng tạo phương trình vô tỉ dựa vào tính đơn điệu của hàm số

Khai triển và rút gọn ta có bài toán thi OLYMPIC 30/4/2009:

Giải phương trình sau:

Khai triển và rút gọn ta có bài toán thi học sinh giỏi Tp HCM năm 2004-2005

x x

+

III Hiệu quả do sáng kiến đem lại:

Trong quá trình áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trên vào bài giảng, tôi nhận thấy

học sinh khối 10, khối 11 rất hứng thú, giúp các em phát triến tư duy logic, sáng tạo Phương pháp giải phương trình vô tỉ này còn có thể dạy cho học sinh khối 12 trong kì thi THPT Quốc Gia Tuy nhiên các bài tập trên còn có thể giải theo cách khác, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của thầy cô

Tôi hy vọng sáng kiến kinh nghiệm trên sẽ là một phần tài liệu tham khảo của các thầy giáo, cô giáo và các em học sinh phổ thông.

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song tài liệu trên cũng không thể tránh khỏi thiếu sót Tôi rất mong sự đóng góp ý kiến quý báu của các thầy giáo, cô giáo để hoàn thiện nội dung sáng kiến!

Tôi xin chân thành cảm ơn!

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

(Xác nhận, đánh giá và xếp loại)

Tài liệu tham khảo

1 Sáng tạo và giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình

[ Nguyễn Tài Chung, nhà xuất bản tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh ].

2 Một số đề thi THPT Quốc Gia các năm.

3 Tài liệu tham khảo trên mạng internet, các đề ôn thi THPT Quốc Gia năm 2015 - 2016.

4 Tạp chí toán học và tuổi trẻ.

5 Một số tài liệu ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi.