sáng kiến hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Khối 10, 11, 12 Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày tháng năm 2015 đến ngày tháng năm 2016 Tác giả: Họ tên: Lê Thị Phượng Năm sinh: 1987 Nơi thường trú: Nam Định Trình độ chuyên môn: Cử nhân toán Chức vụ công tác: Giáo viên toán Nơi làm việc: trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Địa liên hệ: 76 Vị Xuyên Nam Định Điện thoại: 0972313265 Đồng tác giả (nếu có): Không Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Địa chỉ: 76 Vị Xuyên Nam Định Điện thoại: Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ I Điều kiện hoàn cảnh tạo sáng kiến: Năm học 2015-2016, phân công giảng dạy môn toán khối 10, 11 Vì ý thức tự học tập nghiên cứu nhằm nâng cao chất lượng giảng phát huy tối đa lực tư duy, lực sáng tạo học sinh Trong trình giảng dạy, nhận thấy học sinh thường lúng túng gặp nhiều khó khăn giải số phương trình vô tỉ Trong kì thi THPT Quốc Gia thường xuất câu giải phương trình vô tỉ, bất phương trình vô tỉ, hệ phương trình gây nhiều khó khăn cho học sinh làm thi Chính viết sáng kiến kinh nghiệm : “ Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ ” nhằm giúp học sinh biết cách giải phương trình vô tỉ phương pháp nhân liên hợp, đặt ẩn phụ phương pháp hàm số Trong viết sáng kiến kinh nghiệm, nhắc lại kiến thức để giải phương trình vô tỉ đồng thời đưa hệ thống tập có chọn lọc chia ba dạng: phương pháp nhân liên hợp, đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số Trong dạng tập thường có nhận xét hướng dẫn học sinh cách sáng tạo toán Mặc dù có nhiều cố gắng song viết không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong đóng góp ý kiến quí báu thầy giáo, cô giáo để hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm II Nội dung sáng kiến: Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ Phương pháp nhân liên hợp Mục đích: Biến đổi đưa phương trình cho phương trình tích Phương pháp: Sử dụng đẳng thức a b a −b am b a± b= c 1.1 a±3b= ( a, b > 0, a ≠ b ) a±b a m ab + b Bài tập áp dụng Nhân lượng liên hợp cách thêm bớt số x0 +) Phương pháp chung: dự đoán nghiệm cuả phương trình, sau x − x0 thêm bớt số nhân liên hợp để xuất nhân tử +) Sử dụng chức SOLVE máy tính cầm tay tìm nghiệm phương trình Ví dụ 1: ( ĐHKB- 2010) Giải phương trình : x − 14 x − + x + − − x = Phân tích: + Nhận xét: x=5 nghiệm phương trình ( x − 5) f ( x ) = + Ta đưa phương trình dạng a, b > hợp Như ta tìm hai số cho: Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page phương pháp nhân liên Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ  x + − a =  a = ⇒  b = b − − x = Lời giải: Tập xác định: ∀x   D =  − ;6    thỏa mãn điều kiện xác định ta có: x − 14 x − + x + − − x = ⇔ 3x − 14 x − + ( ) ( ) 3x + − + − − x = 3x − 15 x−5 + =0 3x + + + − x   ⇔ ( x − 5)  + + 3x + 1÷ =  3x + + + − x  x = ( t / m) ⇔  + + 3x + = ( 1)  x + + + − x ⇔ ( x − ) ( 3x + 1) +   ∀x ∈  − ;6   ta có: + + 3x + > 3x + + + − x Vậy tập nghiệm phương trình là: Ví dụ 2: Giải phương trình: S = { 5} x2 − 5x − = x − + − x Phân tích: ý tưởng tương tự ví dụ Nhận xét pt có nghiệm Ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page x=3 Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ Lời giải: Tập xác định: ∀x D = [ 2;4] thỏa mãn điều kiện xác định ta có: x − + − x = x2 − 5x − ⇔ ( ) ( x − −1 + ) − x − = x2 − 5x − x−3 x −3 − = ( x − 3) ( x + 1) x − +1 − x +1 1   ⇔ ( x − 3)  − − x − 1÷ = − x +1  x − +1  ⇔  x = ( t / m) ⇔ 1  − = x + ( 1)  x − + − x +1 Nhận xét: ⇒ ∀ x ∈ [ 2;4] ta có: ≤1 x − +1 , 1 ≥ = −1 − x +1 1+ 1 − ≤2− x − +1 − x +1 Mặt khác: x + ≥ ∀ x ∈ [ 2;4] Do pt (1) vô nghiệm Vậy tập nghiệm pt S = { 3} Ví dụ 3: ( ĐHKD 2006 ) Giải phương trình: Lời giải: Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page x − 3x + + x − = Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ Nhận xét x =1 x≥ Đkxđ: ∀x nghiệm pt thỏa mãn điều kiện xác định ta có: x2 − 3x + + x − = ⇔ x − 3x + + ( ⇔ ( x − 1) ( x − ) + ) 2x − − = ( x − 1) =0 2x − +   ⇔ ( x − 1)  x − + ÷= 2x − + 1  x = ( t / m) ⇔ x − + = ( 1)  2x − + Giải pt (1) , đặt t = 2x −1 ≥ Phương trình (1) trở thành: t = −1 − ( l ) t + 2t − = ⇔  t = −1 + ( t / m ) Với t = − ⇒ x = − ( t / m) { S = 1;2 − Vậy tập nghiệm pt ( ) là: • Cách 2: } x − 3x + + x − = ⇔ x − ( x − 1) − x + x − = Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ t = 2x −1 ≥ Đặt: Phương trình trở thành: x2 − t = x − t Cách 3: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương • − x x2 + 2x = x + x2 Ví dụ 4: Giải phương trình: x= Nhận xét : nghiệm pt Lời giải: Điều kiện xác định: < x ≤1 ∀x thỏa mãn điều kiện xác định ta có: − x x2 + 2x = ⇔ ( + x2 ) − x = ( x2 + 2x ) x x 1+ x ⇔ x2 ( ) ( 1− x − x + ) − x − 2x x = x2 ( − 2x ) − x − x3 ⇔ + =0 1− x + x − x + 2x x  x2 2x2 + x +  ⇔ ( − 2x)  + ÷= − x + x − x + x x     x = ( t / m) ⇔ x2 2x2 + x +  + = ( 1)  − x + x − x + 2x x < x ≤1 Với ta dễ dàng chứng minh pt (1) vô nghiệm Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ 1  S =  2 Vậy tập nghiệm pt 3x + + x 3x − = 2 x2 + Ví dụ 5: Giải phương trình: Nhận xét: phương trình chứa bậc hai, bậc ba thường giải phương pháp nhân liên hợp x0 = + phương trình có nghiệm Lời giải: x≥ Điều kiện xác định: ∀x thỏa mãn điều kiện xác định ta có: Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ 3x + + x 3x − = 2 x + ⇔ ( ) ( 3x + − + x 3x − ⇔ ( 3x + ) ) ( 3x − − = + 3x + + + ) 2x2 + − x − x ( 3x − ) 3x − + = 2x ( x − 2) 2x2 + + x +   3x 2x  ÷= ⇔ ( x − 2) + −  ( 3x + ) + 3x + + 3x − + 2x + + x + ÷    x = ( t / m)  3x 2x ⇔ + − = ( 1)  3x + 2 + 3x + + x − + 2x + + x + )  ( ( ) x x + − 3x − + 3x − 3x 2x − = 3x − + 2x2 + + x + 3x − + 2 x2 + + x + ( ) )( Ta có: 3x − >  ∀ x≥ ⇒ 18 x − 12 x + 17 >0 3 x + − x − = x + + x −  3x 2x − >0 3x − + 2x2 + + x + Suy pt (1) vô nghiệm S = { 2} Vậy tập nghiệm pt x2 + x + x2 + = x+4 Ví dụ 6: Giải phương trình : Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page x2 + +2 Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ Phân tích: Sử dụng chức SOLVE máy tính cầm tay ta tính phương trình có hai  x1 + x2 =   x1 x2 = −3 x1 , x2 nghiệm thỏa mãn: x1 , x2 Do x2 − = hai nghiệm phân biệt phương trình: x=± Vậy phương trình có hai nghiệm là: Lời giải: x > −4 Điều kiện xác định: ∀x Với thỏa mãn điều kiện xác định ta có: Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page 10 Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có: t +3+ t2 t2 + ≥ t ≥ −2t ⇒ 2t + t + + t2 ⇔ t +3 = t +3 Dấu xảy 2t + t + + t2 Do đó: Hàm số f ( t) t2 t2 + liên tục ¡ t2 + ≥0 ∀t ∈ ¡ ⇔ t2 + = t2 ( vô lí ) > ∀t ∈ ¡ nên hàm số đồng biến ¡ Ta có: ( 1) ⇔ f ( x + 1) = f ( − x ) ⇔ x + = − x  x ≥    x = −1 ( l )  ⇔   x ∀t ∈ ¡ ( 2) ⇔ f ( a ) = f ( b ) ⇔ a = b Khi đó: x ≥    x = + 29 ( t / m ) x ≥ 3x − = x − ⇔  ⇔   x − x + =    x = − 29 ( l )   Vậy tập nghiệm phương trình là: Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ  + 29  S = ;    Page 58 Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ Ví dụ 13: Giải phương trình: x − 17 x = x − −1 ( x − x + 5) ( x − 1) Lời giải: Điều kiện xác định: Với x x≥4 thỏa mãn điều kiện xác định ta có x − 17 x = x − −1 x − x + x − ) ( )( x − 17 x x − 17 ⇔ = ( x − x + 5) ( x − 1) x − + 17  x = ( t / m)  ⇔ x 2x −1  = ( 1)  x − x + x − + ( x − 1) + x−4+4 = ( 1) ⇔ ( x − 1) + x − + Đặt: a = x − 1; b = x − ta có phương trình (1) trở thành: b + 2a + = ⇔ ( b + ) ( 2b + 1) = ( a + ) ( 2a + 1) a + 2b + ⇔ 2a +a +8a = 2b3 +b2 +8b ( ) Xét hàm số Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page 59 Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ f ( t ) = 2t + t + 8t ∀t ∈ ¡ ⇒ f ' ( t ) = 6t + 2t + > ∀t ∈ ¡ Hàm số Ta có: f ( t) liên tục ¡ nên hàm số đồng biến ¡ ( 2) ⇔ f ( a ) = f ( b ) ⇔ a = b Khi đó:  x ≥ x − = x −1 ⇔   x − x + = ( ptvn ) Vậy tập nghiệm phương trình là: Ví dụ 14: Giải phương trình: 17  S =  4 x2 + 6x + =x x2 − 2x + ( ) x + −1 Lời giải: Điều kiện xác định: Với x x ≥ −3 thỏa mãn điều kiện xác định ta có x2 + 6x + =x x2 − 2x + ( ( x + 2) ( x + 4) ⇔ x2 − 2x + ) x + −1 =  x = −2 ( t / m )  ⇔ x+4 x = ( 1) x + +1  ( x − 1) + x + +  x ( x + 2) Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page 60 Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ Đặt: u = x + 3; v = x − Phương trình (1) trở thành: u2 + v + = ⇔ u + u + u = v3 + v + v v +1 u +1 Xét hàm số f ( t ) = t + t + t ∀t ∈ ¡ ⇒ f ' ( t ) = 3t + 2t + > ∀t ∈ ¡ Ta có: x ≥ f ( u) = f ( v) ⇔ u = v ⇒ x + = x −1 ⇔   x + = x − 2x + x ≥    x = + 17 ( t / m ) ⇔      x = − 17 ( l )   Vậy tập nghiệm phương trình là: Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ    + 17  S = ; −2      Page 61 Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ Hướng dẫn học sinh tự học nghiên cứu : Phân tích: Dựa vào nội dung phương pháp giáo viên hướng dẫn học sinh tự phát triển sáng tạo phương trình vô tỉ dựa vào tính đơn điệu hàm số f ( t ) = t + 2t Ví dụ 1: Xét hàm số f +) Cho ( đồng biến ) ¡ − x + x − 19 x + 11 = f ( x − 1) ta có pt: − x3 + x − 19 x + 11 + − x + x − 19 x + 11 = ( x − 1) + ( x − 1) Khai triển rút gọn ta có toán thi OLYMPIC 30/4/2009: Giải phương trình sau: f ( x + 1) = f +) Cho ( x + 1) ( x − x + 12 x − = − x + x − 19 x + 11 x2 + x − ) ta có pt: + ( x + 1) = x + x − + x + x − Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page 62 Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ Khai triển rút gọn ta có toán thi học sinh giỏi Tp HCM năm 2004-2005 x3 − x − 5x + = x + x − f ( 2x ) = f +) Cho ( 6x + ) ta có pt: x3 + x = x + + x + Khai triển rút gọn ta có toán sau: x3 − x − = x + Từ hàm số ta xây dựng hệ thống tập tương tự ví dụ 1, 2, Như thông qua ví dụ học sinh tự xây dựng hệ thống tập giải phương trình vô tỉ phương pháp hàm số đơn điệu Bài tập: Giải phương trình: 1) 2) 3) −2 x + 10 x − 17 x + = x − x x x3 − x − = x + + x − x + x + = x2 + x + + x + x + 1− x + 4) Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ ( + x) ( − x) = x + x+6 Page 63 Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ 5) 6) 7) 8) 9) x3 − + x − + x − = x + 15 + = 3 x + x + x+3 = ( x + 2) x + x3 + x x5 + x3 − − x + = x + x + x + = x + 10 x + x3 10) x3 + = −x x III Hiệu sáng kiến đem lại: Trong trình áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng, nhận thấy học sinh khối 10, khối 11 hứng thú, giúp em phát triến tư logic, sáng tạo Phương pháp giải phương trình vô tỉ dạy cho học sinh khối 12 kì thi THPT Quốc Gia Tuy nhiên tập giải theo cách khác, mong nhận đóng góp ý kiến quý báu thầy cô Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page 64 Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ Tôi hy vọng sáng kiến kinh nghiệm phần tài liệu tham khảo thầy giáo, cô giáo em học sinh phổ thông Mặc dù có nhiều cố gắng, song tài liệu tránh khỏi thiếu sót Tôi mong đóng góp ý kiến quý báu thầy giáo, cô giáo để hoàn thiện nội dung sáng kiến! Tôi xin chân thành cảm ơn! ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ TÁC GIẢ SÁNG KIẾN (Ký ghi rõ họ tên) Lê Thị Phượng CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (Xác nhận, đánh giá xếp loại) Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page 65 Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO (Xác nhận, đánh giá xếp loại) Tài liệu tham khảo Sáng tạo giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình [ Nguyễn Tài Chung, nhà xuất tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh ] Một số đề thi THPT Quốc Gia năm Tài liệu tham khảo mạng internet, đề ôn thi THPT Quốc Gia năm 2015 - 2016 Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page 66 Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ Tạp chí toán học tuổi trẻ Một số tài liệu ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page 67 Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page 68 Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page 69 ... bất phương trình vô tỉ, hệ phương trình gây nhiều khó khăn cho học sinh làm thi Chính viết sáng kiến kinh nghiệm : “ Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ ” nhằm giúp học sinh. .. tập nghiệm phương trình Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ S = { 2} Page 23 Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ Hướng dẫn học sinh tự học nghiên cứu Phân tích: Phương pháp nhân... ý kiến quí báu thầy giáo, cô giáo để hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm II Nội dung sáng kiến: Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vô tỉ Hướng dẫn