Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài toán max, min số phức mức độ vận dụng cao trong đề thi THT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NGA SƠN - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: HƯỚNG DẪN HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN MAX, MIN SỐ PHỨC MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA Người thực hiện: Nguyễn Văn Vương Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HĨA NĂM 2019 MỤC LỤC Trang I Mở đầu… …………………………………………… ………3 Lí chọn đề tài…… ……………………………… ……….3 Mục đích đối tượng nghiên cứu…………………… … ….3 Phương pháp nghiên cứu………………… ………… ………4 II Nội dung……… …………………………………………….4 Cơ sở lí luận…………………………………………… Thực trạng………………………………………………… .4 Giải pháp……………………………………………….………5 3.1Kiến thức chương số phức …………….…………… 3.2Các phương pháp………………… ………… ….…………… 3.2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức …… ………………… 3.2.2 Phương pháp xét hàm…… …………………… 10 3.2.3 Phương pháp biểu diễn hình học…………… 14 3.2.4 Phương pháp tam thức bậc hai…………………….………… 21 3.2.5 Phương pháp lượng giác hóa……………… ……………….22 3.3Bài tập tự luyện…………………………………………… 25 III Kết luận…………………………………………… …………26 Kết nghiên cứu……………………………….….……… 26 Kết luận kiến nghị…………………………………… … 26 Tài liệu tham khảo………………………………………….… 26 I MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đất nước ta đường đổi cần có người phát triển tồn diện, động sáng tạo Muốn phải nghiệp giáo dục đào tạo, đòi hỏi nghiệp giáo dục đào tạo phải đổi để đáp ứng nhu cầu xã hội Đổi nghiệp giáo dục đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, yếu tố quan trọng đổi phương pháp dạy học, bao gồm phương pháp dạy học mơn Tốn Mục tiêu Giáo dục phổ thơng chỉ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.” Trong năm trước đây, toán max, số phức nằm phần lớn chương trình đại học Năm 2017, GD & ĐT định áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho mơn tốn toán max, số phức coi tốn khơng thể thiếu đề thi THPT Quốc gia, minh chứng điều thấy rõ đề thi thức thử nghiệm Bộ GD& ĐT Sự đổi đoán làm thay đổi toàn cấu trúc đề thi mơn Tốn, với thời lượng 90 phút cho 50 câu trắc nghiệm yêu cầu đặt với học sinh khơng đơn tư chặt chẽ, logic, cẩn thận mà quan trọng linh hoạt, nhanh nhẹn, kĩ thao tác tốc độ Để thành công việc giải tốt đề thi trắc nghiệm Tốn ngồi việc học sâu cần phải học rộng, nhớ nhiều dạng toán Trong đề thi thức thử nghiệm Bộ, toán max, số phức nằm mức độ kiến thức vận dụng vận dụng cao, toán dành cho học sinh khá, giỏi lấy điểm 8, 9, 10 Cái khó tốn đa phần thầy cô giáo giảng dạy nhận xét nằm ba yếu tố: yếu tố thứ đề viết đa phần kí hiệu tốn, học sinh khơng nắm kiến thức đọc khó hiểu đề; yếu tố thứ hai sử dụng tư bất đẳng thức, tư hình học, tư hàm số, tư khó học sinh phổ thơng; yếu tố thứ ba, tốn đòi hỏi biến đổi phức tạp dễ gây sai sót, nhầm lẫn tính tốn cho học sinh Đây tốn mới, áp dụng vào thi cử chưa nhiều, thị trường sách tài liệu tham khảo ít, hạn chế chưa đầu tư kĩ lưỡng nội dung hình thức Việc có tài liệu hồn chỉnh, đầy đủ, phân chia dạng tốn khoa học nhu cầu cấp thiết cho thầy học sinh MỤC ĐÍCH VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Mục đích nghiên cứu: giúp học sinh có tài liệu học tập khoa học, thêm kiến thức giải tốt toán max, số phức - Đối tượng nghiên cứu: Đề tài: “Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải toán max, số phức mức độ vận dụng cao đề thi THPT Quốc gia ” 3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đề tài sử dụng chủ yếu phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp thu thập thông tin, xử lý số liệu (từ nguồn tài liệu ôn thi, đề thi thử nghiệm, đề thi thử trường THPT, đề thi học sinh giỏi tỉnh khu vực, báo cáo, luận văn sinh viên, thạc sĩ, giảng số giảng viên toán,…) - Phương pháp thử nghiệm thực tiễn II NỘI DUNG CƠ SỞ LÍ LUẬN Nhiệm vụ trọng tâm trường THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò Đối với người thầy giáo dạy Toán, việc giúp học sinh nắm vững kiến thức Tốn phổ thơng nói chung, đặc biệt xâu chuỗi nội dung, tạo mối liên hệ mật thiết mặt kiến thức việc làm cần thiết Muốn học tốt mơn Tốn, học sinh phải nắm vững tri thức khoa học mơn Tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết cách linh hoạt vào tốn cụ thể Điều thể việc học đơi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư logic suy nghĩ linh hoạt Khi gặp toán max, số phức có nhiều hướng tiếp cận để tư lời giải Tuy nhiên với toán hay khó, lối tư theo hướng bó hẹp khuôn khổ kiến thức chương hay kiến thức cấp học khiến học sinh khó khăn việc tìm hướng giải Vì tính chất phân loại đề thi THPT Quốc gia nay, toán max, số phức đặt yêu cầu cao học sinh Để giải toán, học sinh cần nắm vững kiến thức chương số phức, phép biến đổi logic toán học biết kiến thức bất đẳng thức, hàm số, hình học Tạo mối liên kết chặt chẽ mặt kiến thức, kĩ năng, kết hợp lí luận thực tiễn giúp học sinh thấy chất vấn đề học, gây nên hứng thú tích cực học tập, làm cho em chủ động tiếp thu lĩnh hội tri thức, giúp em khơng ngừng tìm tòi thêm nhiều cách giải mới, rút ngắn đến mức tối đa thời gian làm bài, suy luận chắn đưa đến kết đúng, khắc phục tâm lý lo sợ gặp dạng toán khó Đây mục tiêu quan trọng hoạt động dạy học giáo viên THỰC TRẠNG Khảo sát thực tế nhiều nhóm học sinh trường THPT Nga Sơn trường THPT khác địa bàn huyện Nga Sơn (THPT Ba Đình, THPT Mai Anh Tuấn, THPT Trần Phú) cho thấy học sinh ngày khơng mặn mà với tốn max, số phức Lí bạn đưa tốn khó, khó từ khâu đọc đề tư hiểu đề, trình biến đổi phức tạp, sử dụng nhiều đơn vị kiến thức chương hay gây nhầm lẫn, điểm số dành cho dạng đề thi có từ 0,2 đến 0,4 điểm Một phần khó yếu tố tâm lí học sinh nghĩ toán dành cho học sinh giỏi lấy điểm cao nên chủ quan không học, không làm Điều dẫn đến thật đáng buồn, phần lớn bạn học sinh ôn thi hay làm thử đề thi trắc nghiệm toán bỏ qua hoàn toàn khoanh “chùa” đáp án, tốn khơng phải tốn q khó, toán mấu chốt đề Từ thực tiễn thúc đẩy tơi nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải toán max, số phức mức độ vận dụng cao đề thi THPT Quốc gia ” GIẢI PHÁP 3.1 Kiến thức chương số phức có liên quan • Đơn vị ảo i = −1 • Mỗi biểu thức dạng x + yi ( x ; y ∈ R) gọi số phức; x phần thực, y phần ảo  x = x'  y = y' • Hai số phức nhau: x + yi = x'+ y ' i ⇔  • Mỗi số phức x + yi biểu diễn mặt phẳng tọa độ điểm M ( x; y ) • • • • • Mơđun số phức: x + yi = x + y = OM Số phức z = x + yi có số phức liên hợp z = x − yi Phép cộng: ( x + yi) + ( x'+ y ' i) = ( x + x' ) + ( y + y ' )i Phép trừ: ( x + yi) − ( x'+ y ' i) = ( x − x' ) + ( y − y ' )i Phép nhân: ( x + yi).( x'+ y ' i) = ( xx'− yy' ) + ( x' y + xy ' )i x'+ y ' i xx'+ yy ' xy '− x' y • Phép chia: x + yi = 2 + 2 i x +y x +y • Dạng lượng giác z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) * Chú ý: z z = z z=z z z ' = z z ' z + z' = z + z' z z  =  z'  z' z.z ' = z z ' z = −z = z z z = z' z' 2 2 z + z' + z − z' = z + z' 2 2 z + z ' + z '+ z" + z"+ z = z + z ' + z" + z + z '+ z" 3.2 Các phương pháp 3.2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức * Phương pháp + Gọi số phức z = x + yi ( x ; y ∈ R) + Biến đổi biểu thức cho giả thiết theo x y + Biến đổi yêu cầu toán theo giả thiết + Quan sát nhận biết dấu hiệu bất đẳng thức xuất biểu thức để đánh giá max, + Giải dấu = bất đẳng thức để số phức thỏa mãn * Chú ý: Nếu đề không yêu cầu tìm số phức z để trình làm tốn ngắn gọn ta khơng cần biểu diễn số phức z thông qua x, y không cần giải dấu Ta cần làm hai bước: + Biến đổi yêu cầu toán theo giả thiết + Quan sát nhận biết dấu hiệu bất đẳng thức xuất biểu thức để đánh giá max, * Các bất đẳng thức thường sử dụng: • ( x − y ) ≥ ∀x; y • ( x − y ) + k ≥ k ∀x; y Dấu = xảy x = y • k − ( x − y ) ≤ k ∀x; y Dấu = xảy x = y • Bất đẳng thức Cơsi: x + y ≥ xy ∀x; y ≥ Dấu = xảy x = y 1 ( ∀x; y; z > 0) + ++ ≥ x y z x+ y+z • x + y ≥ xy ∀x; y Dấu = xảy x = y • Bất đẳng thức Bunhia: (a + b )(c + d ) ≥ (ac + bd ) Dấu = xảy ad = bc • Bất đẳng thức số phức: z − z ' ≤ z + z ' ≤ z + z ' • z − z' ≤ z − z' ≤ z + z' • Bất đẳng thức vectơ: a + b ≥ a + b * Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn: z − + i = Tìm số phức z có mơđun lớn nhỏ Hướng dẫn: +, Gọi z = x + yi ( x ; y ∈ R) +, z − + i = ⇔ ( x − 1) + ( y + 1)i = +, z = x + yi = ( x − 1) + ( y + 1)i + − i ≤ ( x − 1) + ( y + 1)i + 2 − i = 1+ ⇒ z max = + 1    x − =  x = +   ⇔ ⇒ z = 1+ − 1 + i Dấu = xảy   2 y +1 = −  y = −1 −   2 1 − i − ( x − 1) + ( y + 1)i = − ⇒ z = − +, z ≥ 2 1   x − = − x = −     2 ⇔ ⇒ z = 1− − 1 − i Dấu = xảy   2 y +1 =  y = −1 +   2 Nhận xét: Vì tốn cần đánh giá dấu = để tìm số phức z nên số phức − i cần đưa số phức có mơ đun mơ đun số phức ( x − 1) + ( y + 1)i cho giả thiết Ví dụ 2: Tìm z max ; z biết (1 + i ) z − 2i + = Hướng dẫn: +, Gọi z = x + yi ( x ; y ∈ R) +, (1 + i ) z − 2i + = ⇔ z + − 2i 1 = ⇔ z− − i = 1+ i 2 2 1  3  ⇔  x −  +  y − i = 2  2  +, 1  3 1  3 10   z = x + yi =  x −  +  y − i + + i ≤  x −  +  y − i + + i = + 2  2 2 2  2 2 2   ⇒ z max = + 10 2 1  3 10  − +, z ≥ + i −  x −  +  y − i = 2 2  2 2  ⇒ z = 10 − 2 Theo ý, ví dụ ta làm gọn sau: − 2i 1 = ⇔ z− − i = 1+ i 2 3 3 + +, z = z − − i + + i ≤ z − − i + + i = 2 2 2 2 +, (1 + i ) z − 2i + = ⇔ z + ⇒ z max = + 10 10 2 3 10 − +, z ≥ + i − z − − i = 2 2 2 10 ⇒ z = − 2 Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN z + i + biết z − − 4i = Hướng dẫn: +, z + i + = z − − 4i + + 5i ≤ z − − 4i + + 5i = + 34 ⇒ z max = + 34 +, z + i + ≥ + 5i − z − − 4i = 34 − ⇒ z = 34 − Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn z − z − + 4i = Số phức z có z là: A z = + 4i C z = − 2i B z = −3 − 4i Hướng dẫn: +, Gọi z = x + yi ( x ; y ∈ R) +, z − z − + 4i = ⇔ −6 x − y + 25 = ⇔ x = − y + 25 [ D z = + 2i ] − y + 25  (10 y − 20) + 225 ≥ 15  +y = 36   3 Dấu = xảy y = ⇒ x = ⇒ z = + 2i Đáp án D 2 Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z − − z + = Khi z = ? +, z = x + y =  A Hướng dẫn: B C D = z − − z + ≤ z − + z + = z ⇒ z ≥ ⇒ z = Đáp án B z Ví dụ 6: Cho số phức z khơng phải số thực số thực Tìm + z2 GTLN z + − i A Hướng dẫn: B C D 2 z z z z = ⇔ = ⇔ 2( z − z ) + z z ( z − z ) = 2 2 2+ z 2+ z 2+ z 2+ z ⇔ ( z − z )(2 − z ) = ⇔ z = ⇒ z +1− i ≤ z + 1− i = + = 2 ⇒ z + − i max = 2 Ví dụ 7: Cho số phức z = x + yi ( x; y ∈ R) thoả mãn z − − 4i = z − 2i m = z Tính mơđun số phức w = m − ( x + y )i A w = B w = C w = 10 D w = Hướng dẫn: +, z − − 4i = z − 2i ⇔ x + y = +, z = x + y ≥ ( x + y) = 2 ⇒ z = 2 x + y = x = ⇔ ⇒ w = 2 − 4i ⇒ w = Chọn A +, Dấu = xảy  x = y y = 2 Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm GTLN A = z + + z − A B C D Hướng dẫn: 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhia đẳng thức z + z ' + z − z ' = z + z ' ta có A= z+2 +2z−2 ≤ (1 )( + 22 z + + z − 2 ) = 5.(2 z ) + 2.2 = ⇒ Amax = Chọn B Ví dụ 9: Cho số phức z1 ; z ; z thỏa mãn z1 z z = + i Tính giá trị nhỏ 2 biểu thức P = z1 + z + z A B C Hướng dẫn: Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 2 2 2 +, P = z1 + z + z ≥ 3.3 z1 z z D 2 i ⇔ z1 z z = ⇔ z1 z z = ⇒ P ≥ Dấu = xảy z1 = z = z = +, z1 z z = + Ví dụ 10: Cho số phức z1 ; z ; z thỏa mãn z1 = z = z = Tính giá trị 1 nhỏ biểu thức P = z − z z − z + z − z z − z + z − z z − z 2 3 A B C D Hướng dẫn: 2 z1 − z + z − z + z − z1 ( ) ( = − ( z1 + z + z ) z1 + z + z = − z1 + z + z 1 ) ( ) ( = ( z1 − z ) z1 − z + ( z − z ) z − z + ( z − z1 ) z − z1 ) ≤9 Theo bất đẳng thức x + y + + z ≥ x + y + z ( ∀x; y; z > 0) Cơsi ta có: P≥ = 9 ≥ 2 z1 − z z1 − z + z − z1 z − z + z − z1 z − z z1 − z + z − z + z − z1 9 − z1 + z + z 2 ≥1 Chọn C Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn z − = P = z + i + z − − i Tính mơđun số phức w = Pmax + iPmin A B C D Hướng dẫn: +, Gọi z = x + yi ( x ; y ∈ R) +, z − = ⇔ ( x − 1) + y = +, P = z + i + z − − i = x + ( y + 1) + ( x − 2) + ( y − 1) Đặt M ( x; y ) ; A(0;−1) ; B(2;1) Theo bất đẳng thức vectơ ta có P = MA + MB ≥ MA + MB = ( x + − x ) + ( y + + − y ) = 2 ⇒ Pmin = 2 +, Theo bất đẳng thức Bunhia: [ ] P = x + ( y + 1) + ( x − 2) + ( y − 1) ≤ 2.2 ( x − 1) + y + = ⇒ Pmax = ⇒ w = Chọn A III.2.2 Phương pháp xét hàm * Phương pháp + Gọi số phức z = x + yi ( x ; y ∈ R) + Biến đổi biểu thức cho giả thiết theo x y (1) + Biến đổi yêu cầu toán theo x y (2) + Rút x y (1) vào (2) + Xét hàm số, kết luận * Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Gọi M, m GTLN, GTNN phần thực số phức z = Tính P = M + m , z số phức có z P = A B P = C P = 29 D P = 10 w = z3 + Hướng dẫn: z +, Gọi số phức z = x + yi ( x ; y ∈ R) ⇒ z + = x  1 1  +, w = z + =  z +  − 3 z +  = x − x z z z   2 +, Từ z = ⇒ x + y = ⇒ x ∈ [ − 1;1] +, Xét hàm số f ( x) = x − x ( x ∈ [ − 1;1] ) f ' ( x) = 24 x − x = ⇔ x = (t / m) 11 f ( −1) = −2 ; f (1) = ; f ( ) = − ⇒ M = ; m = −2 ⇒ P = Chọn A Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn 4( z − z ) − 15i = i ( z + z − 1) Tìm mơđun số phức z biết z − + 3i A 41 64 B 241 64 C 241 D 41 Hướng dẫn: +, Gọi số phức z = x + yi ( x ; y ∈ R) 1 15 15 15  +, 4( z − z ) − 15i = i ( z + z − 1) ⇔  x −  = y − ⇒ y − ≥ ⇒ y ≥ 2 4  2 +, z − + 3i = y + y + 21 +, Xét hàm số f ( y ) = y + y + 21  15   y ∈  ; + ∞   Lập bảng biến thiên ta được:  8  10 z −3 = Tổng giá trị nhỏ giá z − + 2i Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn ( ) 2 trị lón biểu thức P = z − z + i z − z [ z (1 − i ) + z (1 + i)] A -1 B -2 Hướng dẫn: +, Gọi số phức z = x + yi ( x ; y ∈ R) +, C D z −3 = ⇔ z − = z − + 2i ⇔ x + y = z − + 2i ( ) 2 2 +, Biến đổi P = z − z + i z − z [ z (1 − i ) + z (1 + i)] = 16 x y − xy 2 x+ y +, Đặt t = xy ⇒ ≤ t ≤   =    1 +, Xét hàm số f (t ) = 16t − 8t (t ∈ 0;   4 1 f ' (t ) = 32t − = ⇔ t = ; f (0) = ; f ( ) = −1 ⇒ Pmax = ; Pmin = −1 Chọn A 4 Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z ≤ Giá trị nhỏ biểu thức P = z + + z − + z − z − 4i bao nhiêu? A + B + C + 14 15 15 D + 15 15 Hướng dẫn: 2 +, Gọi số phức z = x + yi ( x ; y ∈ R) Từ z ≤ ⇒ x + y ≤ ⇒ x; y ∈ [ − 2;2] ( +, P = z + + z − + z − z − 4i = ( x + 1) + y + (1 − x) + y + y − ) +, Áp dụng bất dẳng thức a + b + c + d ≥ (a + c) + (b + d ) với a = x + ; b = d = y; c = − x tính chất giá trị tuyệt đối ta có: P ≥ 2  +, ( x + + − x ) + ( y + y) Xét hàm f ' ( y) = ⇔ y = ± số + − y  = + y − y +  f ( y ) = + y − y + ( y ∈ [ − 2;2]) ta có (tm)  −1  10   f ( 2) = ; f   = + ; f   = + ; f (−2) = + ⇒ f ( y ) = + 3  3  3 Dầu = xảy x = ; y = Chọn A Ví dụ 9: Cho hai số phức z1 ; z thỏa mãn điều kiện z1 + i = z − z1 − 2i z − 10 − i = Tìm GTNN biểu thức z1 − z A 10 + Hướng dẫn: B − C 101 + D 10 − 13 +, Gọi số phức z = x + yi ( x ; y ∈ R) x2 +, z1 + i = z − z1 − 2i ⇔ y = (P) 2 +, z − 10 − i = ⇔ ( x − 10) + ( y − 1) = (C ) Đường tròn (C) có tâm I (10;1) Đặt z = 10 + i (số phức có điểm biểu diễn I) x4 x2 + − 20 x + 101 − 16 +, Ta có z1 − z + ≥ z1 − z ⇔ z1 − z ≥ z1 − z − = x4 x2 x3 + − 20 x + 101 ⇒ f ' ( x ) = + x − 20 = ⇔ x = 16 Suy f(x) đạt cực tiểu x = ⇒ f ( x) ≥ f (4) = 45 +, Xét hàm số f ( x) = z1 − z ≥ − Dấu = xảy z1 = + 4i z giao điểm IM đường tròn (C) (với M điểm biểu diễn số phức z1 ) Ví dụ 10: Cho số phức z thỏa mãn z − − 4i = Gọi M, m 2 GTLN, GTNN biểu thức P = z + − z − i Mô đun số phức w = M + mi là? A 137 B 1258 C 309 D 314 Hướng dẫn: +, Gọi số phức z = x + yi ( x ; y ∈ R) +, z − − 4i = ⇔ ( x − 3) + ( y − 4) =  x = + sin t (t ∈ [ 0; π ]  y = + cos t +, Đặt  2 +, P = z + − z − i = x + y + = sin t + cos t + 23 +, Xét hàm số f (t ) = sin t + cos t + 23 (t ∈ [ 0; π ]) Ta tìm Max f (t ) = 33 f (t ) = 13 ⇒ w = 1258 Chọn B 3.2.3 Phương pháp biểu diễn hình học * Phương pháp +, Gọi số phức z = x + yi ( x ; y ∈ R) +, Biến đổi giả thiết u cầu tốn phương trình theo x y Nhận biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn phương trình để biểu diễn mặt phẳng tọa độ +, Từ hình vẽ tính chất hình học giải tích biện luận max, * Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z − + 4i = Tìm số phức z có mơđun lớn nhất, nhỏ Hướng dẫn: O 14 M” -4 I M’ +, z − + 4i = ⇔ ( x − 3) + ( y + 4) = Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn tâm I (3;−4) ; R = Phương trình đường thẳng OI: x + y = +, z max = OI + R = +, z = OI − R = +, Tọa độ điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn nghiệm hệ 2 ( x − 3) + ( y + 4) =  4 x + y = Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z − 2i = z + − i Tìm GTNN z + − 2i Hướng dẫn: I M +, Gọi số phức z = x + yi ( x ; y ∈ R) có điểm biểu diễn M +, z − 2i = z + − i ⇔ 3x + y + = Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng d: 3x + y + = +, Đặt R = z + − 2i = ( x + 3) + ( y − 2) ⇒ R = ( x + 3) + ( y − 2) (C) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm M (−3;2) , bán kính R Suy M giao điểm d (C) ⇒ R = M M ≥ d (M , d ) 10 = +, z + − 2i đạt giá trị nhỏ d ( M , d ) = 10 Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z − − i + z + + 3i = Giá trị lớn z − − 3i A 5 B Hướng dẫn: C D 15 +, Gọi số phức z = x + yi ( x ; y ∈ R) +, z − − i + z + + 3i = ⇔ ( x − 1) + ( y − 1) + ( x + 1) + ( y + 3) = Đặt M ( x; y ) biểu diễn số phức z; A(1;1) biểu diễn số phức + i ; B(−1;−3) biểu diễn số phức − − 3i Ta có MA + MB = Khi điểm M nằm elip tâm I có độ dài trục lớn A, B hai tiêu điểm +, z − − 3i = ( x − 2) + ( y − 3) = MC với C (2;3) biểu diễn số phức + 3i +, AB(−2;−4) ⇒ AB = ; AC (1;2) ⇒ AC = Ta có AB = −2 AC ⇒ AB = AC +, Gọi M’ điểm elip cho A, B, M’ thẳng hàng M’ khác phía A so với B Khi BM ' = − AB =2 Ta thấy MC ≤ M ' C với điểm M nằm elip Do MC lớn M trùng M’ Suy MC = M ' C = CA + AB + BM ' = 5 Chọn A Ví dụ 4: Cho số phức z1 ; z thỏa mãn z1 − + 3i = ; iz + + 2i = Tìm giá trị lớn biểu thức T = 3iz1 + z A 554 + B 558 + C 322 + D 554 + 13 Hướng dẫn: 3iz1 − 15i − = ⇔ 3iz1 − − 15i = 3i −i +, iz + + 2i = ⇔ ( − z − + 8i ) = ⇔ − z − + 8i = +, Gọi A, B điểm biểu diễn 3iz1 − 2z , A, B thuộc đường tròn tâm O(9;15) bán kính đường tròn tâm I (4;−8) bán +, z1 − + 3i = ⇔ kính Ta tính OI = 554 ⇒ T = 3iz1 + z = 3iz1 − (−2 z ) = AB Do IO = 554 > + nên hai đường tròn ngồi 16 Suy ABmax = AO + OI + IB = 554 + 13 Chọn D Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z − − 3i + z − + 2i = 34 Tìm tổng GTLN GTNN z + + 2i A 30 34 + 34 B 30 34 +5 C 34 + D 30 34 +6 Hướng dẫn: +, Gọi số phức z = x + yi ( x ; y ∈ R) có điểm biểu diễn I ( x; y ) +, Từ giả thiết ta có A(2;3); B(5;−2) ;C (−1;−2) điểm biểu diễn số phức + 3i ; − 2i ; − − 2i Ta có AB = 34 ; z + + 2i = CI +, Theo giả thiết AI + BI = 34 = AB ⇒ I thuộc đoạn thẳng AB Phương trình AB: x + y − 19 = +, CI = d (C ; AB) = 30 34 +, CI max I trùng với điểm đầu mút đoạn AB Do CA = 34 ; CB = ⇒ CI max = Chọn D Ví dụ 6: Cho số phức z1 ; z thỏa mãn điều kiện z1 − i = z1 − + i ; z − = z + 2i Tìm GTNN biểu thức P = z1 − z + z1 − + z − A B C D Hướng dẫn: +, Gọi M, N điểm biểu diễn số phức z1 = a + bi ; z = c + di (a, b, c, d ∈ R ) +, z1 − i = z1 − + i ⇔ 2a − 4b − = Suy M di động đường thẳng d1 : x − y − = 17 +, z − = z + 2i ⇔ 2c + 4d + = Suy N di động đường thẳng d : 2x + y + = +, P = z1 − z + z1 − + z − = (a − c) + (b − d ) + (a − 3) + b + (c − 3) + d = MN + MA + NA ; A(3;0) +, Gọi A1 đối xứng với A qua đường thẳng d1 ; A2 đối xứng với A qua đường thẳng d Ta có MN + MA + NA = MN + MA1 + NA2 ≥ A1 A2 Đẳng thức xảy điểm M , N , A1 , A2 thẳng hàng +, Gọi ∆ đường thẳng qua điểm A vng góc với d1 , phương trình 5  ∆ : x + y − = , H = ∆1 ∩ d1 ⇒ H  ;1 ⇒ A1 ( 2;2) 2  Gọi ∆ đường thẳng qua điểm A vng góc với d , phương trình 18  21  ∆ : x − y − = , H = ∆ ∩ d ⇒ H  ;−  ⇒ A2 ( ;− ) 5  10  Vậy Pmin = A1 A2 = Chọn D Ví dụ 7: Cho z1 ; z hai số phức thỏa mãn hệ thức z − − 4i = 2 z1 − z = Tìm GTNN biểu thức P = z1 − z A -10 B -5 C -3 D Hướng dẫn: +, Gọi số phức z = x + yi ( x ; y ∈ R) z − − 4i = ⇔ ( x − 3) + ( y − 4) = Gọi M, N điểm biểu diễn số phức z1 ; z , M, N thuộc đường tròn tâm I (3;4) ; R = MN = 2 2 +, P = z1 − z = OM − ON = (OM − ON )(OM + ON ) = NM (OM + ON ) = NM OJ (với J trung điểm MN) = NM (OI + IJ ) = NM OI ( MN ⊥ IJ ) = 2MN OI cos( NM , OI ) ≥ 2MN OI (−1) ≥ −10 Chọn A Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z − − 3i = Tìm mơđun số phức z biết 2 P = z + − 2i + z − + i + z + 2i đạt GTLN A B C D Hướng dẫn: 18 +, Gọi số phức z = x + yi ( x ; y ∈ R) z − − 3i = ⇔ ( x − 4) + ( y − 3) = 25 Tập hợp điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z đường tròn tâm I (4;3) ; R = +, Với A(−2;2) ; B(4;−1) ; C (0;−2) ⇒ P = MA + 2MB + 3MC +, Gọi H ( x; y ) thỏa mãn HA + HB + 3HC = ⇒ H (1;−1) 2 +, P = MH + HA + MH + HB + MH + HC ( ) ( ) ( ) ( ) = 6MH + HA + HB + 3HC + MH HA + HB + 3HC = MH + HA + HB + 3HC Do A, B, C, H cố định nên biểu thức P lớn MH lớn Suy M, I, H thẳng hàng ⇔ HM = HM IM IM  x − = 2( x − 4) x = ⇒  y + = 2( y − 3)  y = Ta có HI = ⇒ HM = HI + MI = 10 ⇒ HM = IM ⇒  Chọn A Ví dụ 9: Tìm số phức z thỏa mãn z − − i = biểu thức sau đạt giá trị nhỏ P = z − − 9i + z − 8i A z = − 2i B z = + 6i C z = + i D z = + 5i Hướng dẫn: +, Gọi số phức z = x + yi ( x ; y ∈ R) z − − i = ⇔ ( x − 1) + ( y − 1) = 25 Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn tâm I (1;1) ; R = +, Xét điểm A(7;9); B(0;8) ⇒ IA = 10 = IM   Gọi K điểm tia IA cho IK = IA ⇒ K  ;3  2  19 IM IK = = , góc ∠MIK chung ∆IKM đồng dạng với ∆IMA IA IM MK IK ⇒ = = ⇒ MA = 2MK MA IM +, P = z − − 9i + z − 8i = MA + 2MB = 2( MK + MB) ≥ BK = 5 +, Do ⇒ Pmin = 5 ⇔ M = BK ∩ (C ) , M nằm B K ⇒ < x < +, Phương trình đường thẳng BK : x + y − = Ta tìm M (1;6) Chọn B Ví dụ 10: Cho số phức z = x + yi ( x ; y ∈ R) thỏa mãn z + − 3i ≤ z + i − ≤ Gọi M, m GTLN, GTNN P = x + y + x + y Tính M + m A 156 − 20 10 B 60 − 20 10 C 156 + 20 10 D 60 + 10 Hướng dẫn: +, z + − 3i ≤ z + i − ≤ ⇔ ( x + 2) + ( y + 3) ≤ ( x − 2) + ( y + 1) ≤ 2 x + y + ≤ ⇔ 2 ( x − 2) + ( y + 1) ≤ 25 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z miền phẳng (T) tơ đậm (hình vẽ) +, Gọi A(2;−6) ; B(−2;2) giao điểm đường thẳng x + y + = đường tròn (C ' ) : ( x − 2) + ( y + 1) = 25 Ta có P = x + y + x + y ⇔ ( x + 4) + ( y + 3) = P + 25 Gọi (C) đường tròn tâm J (−4;−3) ; R = P + 25 +, Đường tròn (C) cắt miền (T) khi: JK ≤ R ≤ JA ⇔ IJ − IK ≤ R ≤ IA ⇔ 10 − ≤ 25 + P ≤ ⇒ 40 − 20 10 ≤ P ≤ 20 ⇒ M = 20; m = 40 − 20 10 Chọn B 3.2.4 Phương pháp tam thức bậc hai * Phương pháp + Gọi số phức z = x + yi ( x ; y ∈ R) 20 + Biểu diễn giả thiết thành phương trình theo x y (1) + Đặt biểu thức yêu cầu toán P, biến đổi biểu thức theo x y (2) + Từ phương trình (1) (2) đưa phương trình bậc hai ẩn x (hoặc y) P tham số +, Sử dụng điều kiện có nghiệm tam thức bậc hai để biện luận * Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z − − 3i = Gọi M, m GTLN, GTNN z + + i Tính giá trị biểu thức M + m A M + m = 20 B M + m = 26 C M + m = 28 Hướng dẫn: +, Gọi z = x + yi ( x ; y ∈ R) z − − 3i = ⇔ ( x − 2) + ( y − 3) = (1) D M + m = 2 2 +, Đặt P = z + + i ⇒ ( x + 1) + ( y − 1) = P ( P > 0) (2) P − x + 10 thay vào (1) ta được: 52 x − ( 40 + 12 P ) x + P − P + 52 = +, Để phương trình có nghiệm ∆ = (40 + 12 P ) − 4.52( P − P + 52) ≥ Lấy (1) trừ (2) ta y = ⇔ 14 − 13 ≤ P ≤ 14 + 13 ⇒ m = 14 − 13 ; M = 14 + 13 ⇒ M + m = 28 Chọn C Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z − − 4i = Gọi M, m GTLN, 2 GTNN biểu thức P = z + − z − i Tính mô đun số phức w = M + mi A w = 128 B w = 1558 Hướng dẫn: +, Gọi z = x + yi ( x ; y ∈ R) C w = 314 D w = 1258 z − − 4i = ⇔ ( x − 3) + ( y − 4) = (1) 2 +, P = z + − z − i = 4a + 2b + (2) +, Từ (1) (2) ta có: 20 x + (64 − P ) x + P − 22 P + 137 = Phương trình có nghiệm ∆' = −4 P + 184 P − 1716 ≥ ⇔ 13 ≤ P ≤ 33 ⇒ w = 33 + 13i ⇒ w = 1258 Chọn D Ví dụ 3: Cho hai số phức z1 ; z thỏa mãn z1 − = z1 + − 2i z = z1 + m + i , m tham số (m ∈ R) Giá trị m để ta ln có z ≥ là? m ≤ A  m ≥ m ≥ B   m ≤ −3 C − ≤ m ≤ D ≤ m ≤ 21 Hướng dẫn: +, z1 = z − m − i ⇒ z − m − − i = z − m + − 3i +, Gọi z = x + yi ( x ; y ∈ R) Ta có ( x − m − 1) + ( y − 1)i = ( x − m + 3) + ( y − 3)i ⇔ ( x − m − 1) + ( y − 1) = ( x − m + 3) + ( y − 3) ⇔ y = x − 2m + +, z = x + y = x + (2 x − 2m + 4) = x + 8(2 − m) x + 4m − 16m + 16 Để z ≥ ⇔ x + 8(2 − m) x + 4m − 16m − ≥ ∀x m ≥ ∆' ≤ ⇔ 16(2 − m) − 5(4m − 16m − 4) ≤ ⇔  m ≤ −3 Chọn B Ví dụ 4: Cho số phức z = x + yi ( x ; y ∈ R) thỏa mãn mơđun z lớn Tính x + y ? A B − Hướng dẫn: +, Đặt t = z − + 4i ⇒ C − z − + 4i + z − + 4i − t +1 = ⇔ t = ⇒ z − + 4i = ⇔ x + y = x − y 3t − 2 D +, x + y = x − y ⇒ ( x + y ) = ( x − y ) ≤ 100( x + y ) ⇒ z ≤ 100 z = 2 ⇒ z − 100 z ≤ ⇔ ≤ z ≤ 100 ⇔ ≤ z ≤ 10 ⇔ z max = 10   x + y = 100  x = Với  x + y = x − y ⇒   y = −8 x y  =− 6 Chọn C 3.2.5 Phương pháp lượng giác hóa * Phương pháp + Gọi z = x + yi ( x ; y ∈ R) + Biến đổi giả thiết yêu cầu tốn phương trình theo x, y  x = f (sin t )  y = g (cos t ) + Quan sát phương trình giả thiết đặt  + Chuyển yêu cầu toán biểu thức theo lượng giác biện luận max, Chú ý + Nếu giả thiết cho tập hợp điểm đường tròn ( x − a ) + ( y − b ) = R đặt  x = a + R sin t   y = b + R cos t 22 x2 y2 + Nếu giả thiết cho tập hợp điểm đường elip + = đặt a b  x = a sin t   y = b cos t ( x − x0 ) ( y − y0 ) + = + Nếu giả thiết cho tập hợp điểm đường elip a2 b2  x = x0 + a sin t đặt   y = y + b cos t * Phương pháp + Gọi số phức dạng lượng giác z = r (cos x + i sin x) + Chuyển giả thiết yêu cầu bái toán cosx sinx để biện luận max, theo lượng giác * Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z − + 3i = Gọi M, m GTLN, 2 GTNN biểu thức P = z + i − z − Tính M+m A -3 B -2 C Hướng dẫn: +, Gọi z = x + yi ( x ; y ∈ R) 2 +, z − + 3i = ⇔ ( x − 2) + ( y + 3) = D 10 +, P = z + i − z − = x + y −  x = + sin t (t ∈ R ) ⇒ P = sin t + cos t −  y = −3 + cos t Đặt  ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ≤  +  sin t + cos t = 100   ⇒ −10 ≤ P + ≤ 10 ⇒ −11 ≤ P ≤ ⇒ M = ; m = −11 ⇒ M + m = −2 Chọn B ⇒ ( P + 1) = sin t + cos t Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn ( z + 2)i + + ( z − 2)i − = 10 Gọi M, m GTLN, GTNN z Tính M − m A B C 21 Hướng dẫn: +, Gọi z = x + yi ( x ; y ∈ R) D 21 ( z + 2)i + + ( z − 2)i − = 10 ⇔ z − (−2 + i ) + z − (2 − i ) = 10 +, Gọi M, N điểm biểu diễn số phức z z ; A(−2;1) ; B(2;−1) ; C (2;1) Ta thấy MC = NB +, Từ giả thiết có MA + MC = 10 Quỹ tích điểm M elip (E): X2 Y2 + =1 25 21 (Phương trình elip với hệ trục IXY, I(0; 1) trung điểm đoạn AC) X = x x ( y − 1) ⇒ (E) : + =1 25 21 Y = y − +, Áp dụng công thức đổi trục  23  x = sin t (t ∈ [ 0;2π ]) ⇒ z = OM = x + y +,Đặt   y = + 21 cos t = −4 cos t + 21 cos t + 26 = −4a + 21a + 26 (với a = cos t ; a ∈ [ − 1;1] ) +, Xét hàm số f (a) = −4a + 21a + 26 (a ∈ [ − 1;1]) ⇒ M = + 21 ; m = − 21 Chọn A Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z = Gọi M, m GTLN, GTNN biểu thức P = z + + z − z + Khi tích M m = ? A 13 B 13 3 C D 3 Hướng dẫn: +, z = r (cos x + i sin x) = x + yi  z.z = z = ⇒ P = + cos x + cos x − Do z = ⇒  r = x + y = +, Đặt t = cos x (t ∈ [ − 1;1]) ⇒ P = + 2t + 2t − Sử dụng phương pháp xét hàm ta Pmax = 13 13 ; Pmin = ⇒ M m = 4 Chọn A Ví dụ 4: Cho hai số phức z1 ; z thỏa mãn điều kiện z1 = z = 2017 Tìm  z1 + z GTNN biểu thức P =   2017 + z1 z 2 A B 2017 2017   z1 − z  +    2017 − z1 z 2 C 2017    D 2017 Hướng dẫn: +, Đặt z1 = 2017(cos x + i sin x) ; z = 2017(cos y + i sin y ) z1 + z cos x + i sin x + cos y + i sin y cos( x − y ) = = 2017 + z1 z 2017[1 + cos(2 x + y ) + i sin( x + y )] 2017 cos( x + y ) z1 − z sin( y − x) Tương tự 2017 − z z = 2017 sin( y + x) 2  cos( x − y )   sin( y − x)  cos ( x − y ) sin ( y − x)  +   = P =  + 2017 cos ( x + y ) 2017 sin ( y + x )  2017 cos( x + y )   2017 sin( y + x)  1 ≥ cos ( x − y ) + sin ( x − y ) = 2017 2017 [ ] Chọn D 3.3 Bài tập tự luyện Câu 1: Cho hai số phức z1 ; z thỏa mãn điều kiện z1 + − i = ; z = iz1 Tìm GTNN biểu thức P = z1 − z 24 A − B 2 C D 2 − Câu 2: Cho z = x + yi ( x ; y ∈ R) thỏa mãn điều kiện 4( z − z ) − 15i = i ( z + z − 1) Tính y − x biểu thức z − + 3i đạt GTNN A B C D Câu 3: Cho hai số phức z1 ; z thỏa mãn điều kiện z1 + i = ; 5 z1 = (2 + i )( z − 4) Tìm GTLN biểu thức P = z − − 2i + z − − 2i A B + 13 C 53 D 13 Câu 4: Cho số phức z ; z1 ; z thỏa mãn điều kiện z1 − − 5i = z − ; z + 4i = z − + 4i Tính z1 − z biểu thức P = z − z1 + z − z đạt GTNN A 41 B C D Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( z + 2)i + + ( z − 2)i − = 10 Gọi M, m GTLN, GTNN z Tính tổng M + m A B C 21 D 21 − Câu 6: Cho z1 ; z thỏa mãn điều kiện z1 + = z + − 3i = z − − 6i Tìm GTNN z1 − z A B C 10 D 10 Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z ≤ Tìm GTNN biểu thức P = z + + z − + z − z − 4i A + C + B + 14 15 D + 15 z1 − 3i + = Câu 8: Cho hai số phức z1 ; z thỏa mãn điều kiện iz − + 2i = Tìm GTLN biểu thức P = 2iz1 + z A 313 + 16 B 313 C 313 + D 313 + Câu 9: Cho hai số phức z1 ; z thỏa mãn điều kiện iz + − i = z − z = Tìm GTLN biểu thức P = z1 + z A B C Câu 10: Cho hai số phức z thỏa mãn điều kiện biểu thức P = z + i + z − + 7i A B 10 C D z −1 = Tìm GTLN z + 3i D III KẾT LUẬN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 25 Thực tế cho thấy, với cách phân loại dạng toán tạo cho học sinh nhanh nhẹn, linh hoạt, vững vàng, tiết kiệm thời gian q trình giải tốn Học sinh biết vận dụng có sáng tạo học tập, biết liên kết nhiều mảng kiến thức, gắn kết tư lí luận với thực tiễn Cách làm đáp ứng nhu cầu học tập tích cực học sinh Sau ơn tập dạng tốn phương pháp, học sinh tự giải tập tương tự, tập nằm đề thi thử trường THPT Hiệu học tập học sinh nâng lên rõ rệt Để có viết trên, phải nghiên cứu nhiều tài liệu kiểm chứng qua số nhóm học sinh có học lực giỏi lớp12 trường lớp 12A, 12B, 12D năm học 2018- 2019 Với 10 toán hệ thống tập tự luyện trên, lớp chọn hai nhóm học sinh với số lượng nhau, có học lực ngang nhau, nhóm I: tơi cho làm sau triển khai viết, nhóm II: tơi cho làm trước triển khai viết, thời gian làm 25 phút Kết thu cụ thể thể bảng sau: Nhóm Số học sinh có lời Số học sinh có lời Số học giải 0-5 câu giải 6-10 câu sinh 0-2 câu 3-5 câu 6-8 câu 9-10 câu NHÓM I Lớp 12A 15 Lớp 12D 20 11 Lớp 12K 15 NHÓM II Lớp 12A 15 Lớp 12D 20 Lớp 12K 15 10 Qua bảng thống kê ta thấy cách làm thể hiệu vượt trội KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong trình dạy học, thể loại kiến thức, giáo viên nắm sở lý thuyết, chủ động việc tìm tòi cách giải mới, kế thừa phát huy kiến thức có sẵn cách sáng tạo, xây dựng phương pháp giải đưa hệ thống tập phù hợp với đối tượng học sinh, hướng dẫn học sinh vận dụng hợp lý vào việc giải tập tương ứng cách có hệ thống tạo điều kiện để học sinh củng cố hiểu sâu lý thuyết với việc thực hành giải toán hiệu hơn, tạo hứng thú, phát huy tính chủ động sáng tạo việc học học sinh Đề tài tác giả tâm huyết nghiên cứu, đầu tư kĩ lưỡng chất lượng, nội dung hình thức, mong hội đồng KH nghành xét duyệt phổ biến rộng rãi giúp giáo viên học sinh có thêm tài liệu bổ ích để giảng dạy học tập 26 Bài viết khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong bạn đồng nghiệp bổ sung góp ý để viết hoàn thiện hơn, ứng dụng vào việc dạy học cho học sinh lớp giảng dạy, đem lại cho học sinh giảng hay hơn, hút XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25/ 05/ 2019 Tơi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép nội dung người khác Người viết: Nguyễn Văn Vương TÀI LIỆU THAM KHẢO Các đề thi thức thử nghiệm THPT Quốc gia năm 2017, 2018 Bộ GD & ĐT Tuyển tập tạp chí tốn học tuổi trẻ năm 2017, 2018, 2019 Khóa học luyện thi trắc nghiệm mơn tốn 2018-2019, thầy Mẫn Ngọc Quang Chun đề luyện thi trắc nghiệm toán 2017, 2018, 2019 thầy Nguyễn Tiến Minh, thầy Đặng Thành Nam, thầy Đặng Việt Hùng, Thầy Đồn Trí Dũng Tuyển tập đề thi trắc nghiệm mơn tốn năm 2017, 2018, 2019 trường: Chuyên ĐH Vinh, Chuyên Lương Thế Vinh, Chuyên KHTN, Chuyên Quốc Học Huế, ĐH Quốc Gia Hà Nội, ĐH Sư phạm Hà Nội, Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, trường THPT tỉnh: Chuyên Lam Sơn, THPT Ba Đình, THPT Bỉm Sơn, THPT Mai Anh Tuấn, THPT Quảng Xương 1, THPT Hậu Lộc 1, THPT Tĩnh Gia 1, THPT Hàm Rồng, THPT Đào Duy Từ, THPT Như Thanh, THPT Lang Chánh,… Tổng ôn chuyên đề cực trị số phức thầy Phạm Minh Tuấn Chuyên đề giải toán cực trị số phức phương pháp hình học giải tích Tạ Đức Huy 27 ... tài: Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải toán max, số phức mức độ vận dụng cao đề thi THPT Quốc gia ” 3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đề tài sử dụng chủ yếu phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp. .. chốt đề Từ thực tiễn thúc đẩy tơi nghiên cứu đề tài Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải toán max, số phức mức độ vận dụng cao đề thi THPT Quốc gia ” GIẢI PHÁP 3.1 Kiến thức chương số phức. .. tính chất phân loại đề thi THPT Quốc gia nay, toán max, số phức đặt yêu cầu cao học sinh Để giải toán, học sinh cần nắm vững kiến thức chương số phức, phép biến đổi logic toán học biết kiến thức