Hướng dẫn học sinh tìm tòi phương pháp giải bài toán thông qua cách nhìn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUAN HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM TÒI PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN THÔNG QUA “CÁCH NHÌN” Người thực hiện: Nguyễn Văn Tuấn Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Thành Sơn SKKN thuộc môn: Toán THANH HÓA NĂM 2017 MỤC LỤC STT Nội dung Trang 1 Phần mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Những toán cụ thể để minh hoạ 10 2.3.1 Bài toán 11 2.3.2 Bài toán 12 2.3.3 Bài toán 13 2.3.4 Bài toán 14 2.3.5 Bài toán 15 2.3.6 Bài toán 6 16 2.3.7 Bài toán 17 2.3.8.Bài toán 18 2.3.9 Bài toán 19 2.3.10 Bài toán 10 20 2.3.11 Một số tập đề nghị 21 2.3.12 Một số nhận xét, đánh giá 22 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 23 Kết luận, kiến nghị 10 24 Tài liệu tham khảo 11 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình môn Đại số cấp THCS có toán, dạng toán mà học sinh mẻ khó quá, em gặp dạng gần phương hướng giải có cảm giác "ngợp" Song đơn giản ta có cách nhìn thích hợp, khai thác vai trò "chữ" có mặt toàn toán đó, lúc ta tìm lời giải thú vị phong phú, ta hiểu đa dạng toàn Hoặc ý đến trường hợp đặc biệt vấn đề chương trình học, giúp ta khai thác cách giải hợp lý đường lối làm toàn thú vị Chẳng hạn, giải biện luận phương trình: -2x + (3 - 2m)x + 2mx + m2 - = (x ẩn) Nếu ta xem x ẩn phương phương trình bậc đầy đủ, cách giải khó khăn với cấp học THCS Song ta nhìn vào chức có tham gia vào phương trình chức có vai trò vấn đề giải đơn giản (Phần trình bày kĩ phần sau) Thực lời giải toán có phong phú hay không cách nhìn toán chúng ta, có nhà toán học thường nói có nhìn, góc nhìn "chết người" có nhìn "nảy lửa" Song có quan điểm khác nhau, có nhiều ta phải xuất phát từ trường hợp "hẩm hưu, bất hạnh" Ví dụ như: Tìm nghiệm hệ phương trình giả sử có nghiệm (x, y, z) nghiệm (-x, -y, -z) nghiệm, nên có x = -x, y = -y, z = -z hay x = y = z = Trong chương trình cấp học THCS để đưa đến cách giải hay, theo thân thân có cách nhìn thích hợp, quan niệm chữ có mặt toán có vai trò Đây vấn đề ý cho học sinh giải toán theo thiết nghĩ coi phương pháp Chính chọn đề tài Hướng dẫn học sinh tìm tòi phương pháp giải toán thông qua "cách nhìn" để giải vướng mắc học sinh, đồng thời tạo cho em có cách nhìn toàn diện khai thác triệt để vấn đề coi đặc biệt 1.2 Mục đích nghiên cứu Căn vào yêu cầu thân phải có quy trình giải cách tổng quát, phải đưa ví dụ điển hình để minh chứng vấn đề mà thân đặt Thực phải cho học sinh nắm biểu thức (phương trình) có chứa chữ vai trò chữ hay ẩn nhau, tùy theo cách nghĩ người, dạng toán vấn đề xem then chốt, phải sử dụng vài tính chất chẵn lẻ hàm số 1.3 Đối tượng nghiên cứu Do điều kiện thời gian nghiên cứu, đề tài đề cập đến đối tượng học sinh giỏi khối 1.4 Phương pháp nghiên cứu Chủ yếu sử dụng phương pháp tổng kết kinh nghiệm NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong trình học tập “ giải biện luận phương trình bậc ẩn môn Đại số lớp (hoặc giải biện luận hệ phương trình Đại số 9) ”[1] Chúng ta tóm tắt cách giải biện luận phương trình bậc ẩn sau: Ta cho phương trình ax = b (1) - Nếu a ≠ phương trình (1) có nghiệm nhất: x = b a - Nếu a = b ≠ phương trình (1) vô nghiệm - Nếu a = b = phương trình (1) trở thành 0x = có vô số nghiệm[2] Ở trường hợp thứ ba coi trường hợp "hẩm hiu bất hạnh" ví gặp quan tâm Nhưng trường hợp "Hẩm hiu va bất hạnh" ta suy rộng chút, nhìn sâu chút "hẩm hiu" đó, "bất hạnh" trở nên kết tuyệt vời thú vị đến bất ngờ.“ Thực a = b = giá trị x muốn lấy được, hay nói cách khác đẳng thức (1) xảy với giá trị x ∈ R ”[3] Vâng! Quả theo trường hợp này, “nếu ta thay a b hai biểu thức chứa chữ (hay chứa ẩn) x ta coi biến sô tham gia đẳng thức (1) ta thu dạng là: m.A(x,y) + B(x,y) = (2)’’[4] Cũng đẳng thức ta thấy (2) xảy với m A(x,y) =  B(x,y) = “Đây sở khoa học ta giải toán tìm điểm cố định đường thẳng qua toán giải phương trình "đặc biệt" đó”[5] “Cũng vấn đề đặt ra, việc xem a, b chữ thay biểu thức chứa ẩn, x coi biến số Đây việc quan niệm vai trò chữ, ẩn bình đẳng, mà ta coi vấn đề tế nhị tinh tế”[6] 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Với chương trình môn Đại số cấp THCS toán có chứa chữ số toán khó, hầu hết học sinh không làm được, sách giáo khoa không đề cập, phương pháp giải cụ thể học mà em phải tìm hiểu tài liệu khác đề thi học sinh giỏi lại đề cập nhiều Thực tế năm 2015–2016 học sinh gặp toán có chứa chữ số hầu hết không giải Nếu có hạn hữu, em mắc sai lầm ngộ nhận… Dẫn đến kết cuối năm môn toán kém, cụ thể: Loại Giỏi Loại Khá Loại Trung bình Loại Yếu 0,5% 4,5% 85,1% 9,9% Qua thực trạng ban đầu vậy, thấy cần phải đưa số cách nhìn thường dùng cho học sinh nắm cách có hệ thống dạng, biết vận dụng thành thạo vào tập cụ thể phân số có liên quan đến giải toán có chứa chữ số 2.3 Những toán cụ thể để minh hoạ 2.3.1 Bài toán Tìm tât giá trị a b để hệ phương trình sau có nghiệm xyz+ z = a   xyz + z = b  2  x + y + z = Nếu việc giải biện luận hệ phương trình ta sử dụng tính chẵn lẻ hàm số Cụ thể này, không học sinh lúng túng không tìm hướng giải Song toán giải biện luận hệ phương trình mà để giải toán ta phải suy luận chặt chẽ sử dụng tính chẵn lẻ hàm số Trước hết ta cần tìm a, b để hệ có nghiệm a) Điều kiện cần Nếu (x0, y0, z0) nghiệm hệ (-x 0, -y0, -z0) nghiệm hệ Và hệ có nghiệm nên ta có x = -x0; y0 = - y0; z0 = -z0 Thay vào hệ ta có: z0 = a Vậy z0 = z0 =- (a,b) =(2,2) (a,b) = (-2,-2)  z0 = b z = c  b) Thử điều kiện đủ - Nếu a = 2, b = ta có hệ: xyz+ z = 2(*)   xyz + z = 2(**)  2  x + y + z = 4(* * *) Hệ có nghiệm (0, 0, 2) Từ (*) (**) suy ra: xy (z 2- z) = x = từ (**) (***) suy z = z y = Đây nghiệm biết Nếu y = ta suy nghiệm cách lập luận tương tự Bây z - z = ⇔ z = z =1 Nhưng z =0 mâu thuẫn với (*) (**) xy = Nếu z = 1, ta có  ⇔ a = b = nghiệm  x + y = - Nếu a = b = - 2, ta có hệ: xyz+ z = −2   xyz + z = -  2  x + y + z = hÖcã nghiÖm (0,0,−2) Vậy lập luận tương tự ta suy hệ có nghiệm (0, 0,-2) a = b = -2 2.3.2 Bài toán Giải phương trình -2x3 + (3 - 2m)x + 2mx + m2 - = (1) Nếu ta xem x ẩn phương trình bậc đầy đủ, cách giải khó khăn bậc học Vậy ta nhìn vao vai trò chữ x, m phương trình quan niệm có vai trò nhau, gọi m ẩn ta có: m2 - 2(x2 - x)m - 2x3 - = (2) Giải phương trình ta có: ∆ = (x2 - 1)2 m1,2 = x2 - x ± (x2 - 1) Nếu m = - x ⇔ x = 1- m Nếu m = 2x2 - x - ⇔ 2x2 - x - - m ⇔ ∆ = + 8m − NÕuΔ > ⇔ m > − phương trình có nghiệm x = 1,2 1± − 8m −9 phương trình có hai nghiệm kép x0 = −9 − NÕuΔ < ⇔ m< phương trình vô nghiệm Hai phương (1), (2) có nghiệm chung: - x = 2x - x -1 hay x = nên x = ± suy m = m = −9 Vậy m> phương trình có hai nghiệm m = m = 2; phương trình có nghiệm m ≠ 0, m≠ −9 m= − NÕuΔ = ⇔ m= Nếu phương trình có nghiệm −9 Nếu m< phương trình có nghiệm 2.3.3 Bài toán Giải biện luận phương trình (x2 - a)2 - 6x2 + 4x + 2a = (1) Ta triển khai sau: x - 2ax2 + a2 - 6x + 4x + 2a = phương trình trùng phương, mà phương trình bậc cách giải khó khăn Tương tự toán ta quan niệm ẩn phương trình a x tham số tham gia phương trình ta viết phương trình (1) dạng sau: a - 2(x2 - 1)a + x4 - 6x2 + 4x = (2) ∆ = (2x - 1)2 ⇔ a1,2 = x2 - ± (2x - 1) đưa đến giải hai phương trình bậc hai: x2 + 2x - a - = (3) x - 2x - a = (4) Điều kiện để (3) có nghiệm + a ≥ ⇔ x1,2= −1± 3+ a Điều kiện để (4) có nghiệm + a ≥ ⇔ x3,4= 1± 1+ a Kết quả: Nếu a < - (1) Vô nghiệm Nếu a = -3 (1) có nghiệm x=-1 Nếu -3 < a < - 1(1) có hai nghiệm x1,2= −1± 3+ a Nếu a = - Nếu a > - (1) có ba nghiệm x1,2= −1± vµx3 = x = −1± 3+ a (1) có bốn nghiệm 1,2 x = 1± 1+ a 3,4 2.3.4 Bài toán Chứng minh đường thẳng sau qua điểm cố định a thay đổi: (a - 1)y - (a + 1)x + a + = (1) Giả sử có điểm cố định M (x 0,y0) thỏa mãn yêu cầu đề tài toán đẳng thức (a - 1)y - (a + 1)x + a + = (2) thỏa mãn giá trị a Nếu coi a ẩn phương trình đó, ta cố gắng đưa dạng aA(x 0,y0) + B(x0,y0) = phương trình muốn có vô số nghiệm A(x 0,y0) = 0; B(x0,y0) = Đó hệ phương trình cho phép tìm điểm cố định, có tìm điểm cố định hay không ta phải nhờ vào việc hệ phương trình A(x,y)= có nghiệm hay không  B(x,y) = Quả thú vị tìm điểm cố định đường thẳng lại liên quan đến nghiệm hệ phương trình Trở lại toán ta biến đổi (2) ⇔ ay0 - y0 - ax0 - x0 + a+ = ⇔ a (y0- x0 + 1) + (5 -y0 - x0) = Như ta giải hệ phương trình sau: y − x = −1 y − x + = x = 0 0 ⇔ ⇔ ⇔ 5- y0 − x0 = y0 = - y0 − x0 = Vậy điểm cố định mà đồ thị qua M (3,2) Với cách làm ta xây dựng phương pháp tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua Cũng việc quan niệm chữ có mặt phương trình ta làm toán sau: 2.3.5 Bài toán Phân tích đa thức thành phân tử P = 4x4 - x2y2 + 2x2y - x2 + 2xy - 2x - Nếu ta để khó hình dung được, số hạng tử chung Ta dựa vào cách “nhìn” linh hoạt xem bậc biến y nên ta nghỉ đến phương pháp phân tích thành nhân tử dựa vào đẳng thức Thật vậy: P =- x2y2 + 2x2y + 2xy - (x2 + 2x + 1) + 4x4 = - x2y2 + 2x(x + 1)y - (x + 1)2 + 4x4 Nhận thấy ba hạng tử đầu đẳng thức, ta làm sau: P = - [(x2y2 - 2x(x + 1)y + (x + 1)2] + 4x4 = - (xy - x - 1)2 + 4x4 Ta lại tiếp tục dùng đẳng: P =4x4 - (xy - x - 1)2 = (2x2 - xy + x3 + 1)(2x2 + xy - x - 1) Đến ta xem phân tích xong, vấn đề hai nhân tử phân tích nào? Song việc hai tam thức bậc hai có phải bất khả quy trường số R hay chứa? Việc đề tài ta chưa đề cập tới, hẹn dịp khác 2.3.6 Bài toán Chứng minh hệ phương trình xk + yk = 931994   93  xy =1993 nghiệm (k nguyên dương) Riêng ta dùng vào tính chẵn lẻ mà biện luận Thực ta có 199393 số lẻ, xy lẻ, hay x y lẻ, xk, yk số lẻ Vì xk + yk số chẵn 931994 số lẻ mâu thuẫn Vậy hệ phương trình cho nghiệm 2.3.7 Bài toán Chứng minh đường parabol sau qua điểm cố định m thay đổi: y = x2 + 2(m + 1)x + m = Ta biến đổi: x2 + 2mx + 2x + m - - y = ⇔ m (2x + 1) + x2 + 2x - - y = Ta có hệ phương trình sau:  x =   2x+1 =0 ⇔    y = −23 x +2x−5−y =0    −23   Vậy điểm cố định mà parabol qua  2,  2.3.8 Bài toán Tìm tham số a để hệ phương trình sau có nghiệm y2 = x3 − 4x2 + ax    x = y − 4y + ay Giả sử (x,y) nghiệm hệ phương trình, (y,x) nghiệm hệ phương trình Do để hệ có nghiệm x = y Từ suy ra: x3 - 5x2 + ax = ⇔ x (x2 - 5x + a) = nên ta có x = x2 - 5x + a = Nếu x = x = y = 0, muốn cho hệ có nghiệm phương trình x - 5x + a = (*) vô nghiệm có nghiệm Ta có ∆ = 25 - 4a < ⇔ a> 25 phương trình (*) vô nghiệm Với x = a = phương trình (*) có dạng x - 5x = có nghiệm x = 0; x = Vậy hệ có nghiệm a> 25 2.3.9 Bài toán Giải phương trình với ẩn x: (a - x)3 + (b - x)3 = (a + b - 2x)3 Ở toán này, yêu cầu phải có cách nhìn tinh tế sâu sắc Nếu nghỉ phải khai triển có lẻ rối rắm khó tìm lời giải Song ta có nhận xét sau, vế phải có dạng (a + b - 2x) có liên quan đến vế trái hay không? Mà liên quan nào? Thật ta có (a - x) + (b - x) = (a + b - 2x), mấu chốt việc giải phương trình Do phương trình cho viết thành: (a - x)3 + (b - x) = [(a - x) + (b - x)] = (a - x) + (b - x) + 3(a - x2)(b x) + (b - x2)(a - x) hay 3(a - x)(b - x)(a + b - 2x) = ⇔ x1 = a; x2 = b; x3 = a+ b 2.3.10 Bài toán 10 Cho x2 + y2 = Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ S = x + y Đây toán tìm giá trị nhỏ lớn có điều kiện Vậy miền giá trị S giá trị S thỏa mãn hệ phương trình sau có nghiệm x2 + y2 = S2 − 2 ⇔ x + y = (x+ y) − 2xy= 1⇔ xy =  S = x + y Khi x,y nghiệm phương trình X − SX + S2 − = cã nghiÖm Hay: Δ ≥ ⇔ S2 - 2(S2 - 1)≥ ⇔ -S2 + ≥ ⇔ S2 ≤ ⇔ − ≤ S ≤ VËy SMax = 2; S = − Khi ta tìm x y Min 2.3.11 Một số tập đề nghị Bài 1: Chứng minh đường thẳng sau qua điểm cố định: a) y = (2m - 1)x - 4m + 1993 b) y = (2m - 1)x + n - với n + m = Bài 2: Giải biện luận phương trình: a) x2 − a- x = a b) x + a x = a c) Giải biện luận hệ phương x2 + y2 = bx+ cy− az   2 trình: y + z = ay+ bz− cx  z + x2 = cz- by   Bài 3: Giải biện luận phương trình theo tham số b, c x6 + (c2 - b2)x2 - bc2 = 2.3.12 Một số nhận xét, đánh giá Ta nhìn lại 10 toán trên, ta đưa việc hướng dẫn học sinh tìm tòi phương pháp giải toán thông qua “cách nhìn” qua rút số điều quan trọng có ý nghĩa là: Điều thứ nhất: Trước hết làm toán ta cần xem xét thật kĩ tìm mối liên hệ có toán Thứ hai là: Phải chứng tỏ cách nhìn, góc độ nhìn khác trước toán Thứ ba là: Cần ý trường hợp đặc biệt điều mà người quan tâm Qua việc nghiên cứu giải toán tìm hiểu cố định mà đồ thị hàm số qua cần ý việc tìm hay không ta có đưa dạng mA (x,y)+ B(x,y) = hay không? Ngoài đưa hệ phương A(x,y) = trình sau có nghiệm hay không?  B(x,y) = - Nếu hệ phương trình vô nghiệm không tìm điểm cố định ấy, nghĩa đồ thị hàm số không qua điểm cố định - Nếu hệ phương trình vô số nghiệm: Thì lại không tìm được, việc tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua phụ thuộc vào hệ phương trình có nghiệm hay không có nghiệm Ngoài hiểu từ cách nhìn thích hợp với góc độ thích hợp cho ta cách giải thích hợp, thân nghĩ “cách nhìn này” xem phương pháp, ngược lại phương pháp giải toán nhờ vào “cách nhìn này” Đồng thời trường hợp đặc biệt khai thác hướng nhìn góc nhìn hợp lý lại đưa phương pháp giải toán thú vị 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Với sáng kiến năm học qua, với học sinh trung bình hướng dẫn tìm kết quả, với học sinh giỏi tự phát hướng đắn, không dừng lại mà khuyến khích em khai thác tìm tòi phương pháp, cách nhìn khác để giải toán Thực nghiệm cho thấy năm học qua, chất lượng học tập môn toán phụ trách có nhiều chuyển biến tốt đẹp, chất lượng đại trà nâng lên rõ rệt Kết cuối năm môn Toán đạt khả quan , cụ thể : Loại Giỏi 2,5% Loại Khá Loại Trung Bình Loại Yếu 9,3% 85,1% 3,1% Kết luận, kiến nghị Như ta nói rằng: Từ cách nhìn phong phú, thích hợp có cách giải phong phú hay nói cách khác cho ta phương pháp giải số toán gặp, hay hướng dẫn học sinh tìm tòi phương pháp giải toán thông qua “cách nhìn” Tóm lại ta nói có nhìn thích hợp góc độ ta có phương pháp giải toán thích hợp đầy đủ vấn đề cần quan tâm giảng dạy cho học sinh, nhằm nâng cao chất lượng gây hứng thú cho học sinh để em ham học tập thoải mái, không gò bó gặp toán khó Mặc dù cố gắng sáng kiến kinh nghiệm chắn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp cấp lãnh đạo bạn đồng nghiệp để kinh nghiệm hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Quan Hóa, ngày 20 tháng năm 2017 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Nguyễn Văn Tuấn 10 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa Đại số 7, Đại số 8, Đại số [2] Sách phát triển Đại số 7, Đại số 8, Đại số (Vũ Hữu Bình) [3] Tài liệu chuyên toán Đại số (Hoàng Chúng; Thiệu Hùng; Quang Khải) [4] Trọng điểm Đại số (Ngô Long Hậu; Trần Luận) [5] Toán nâng cao Đại số (Nguyễn Ngọc Đạm; Nguyễn Việt Hải; Vũ Dương Thụy) [6] Báo toán học tuổi trẻ 11 ... rằng: Từ cách nhìn phong phú, thích hợp có cách giải phong phú hay nói cách khác cho ta phương pháp giải số toán gặp, hay hướng dẫn học sinh tìm tòi phương pháp giải toán thông qua cách nhìn Tóm... có cách nhìn thích hợp, quan niệm chữ có mặt toán có vai trò Đây vấn đề ý cho học sinh giải toán theo thiết nghĩ coi phương pháp Chính chọn đề tài Hướng dẫn học sinh tìm tòi phương pháp giải toán. .. hoạ 10 2.3.1 Bài toán 11 2.3.2 Bài toán 12 2.3.3 Bài toán 13 2.3.4 Bài toán 14 2.3.5 Bài toán 15 2.3.6 Bài toán 6 16 2.3.7 Bài toán 17 2.3.8 .Bài toán 18 2.3.9 Bài toán 19 2.3.10 Bài toán 10 20