Hướng dẫn học sinh một vài phương pháp giải bài toán về số chính phương trong chương trình khối 8 THCS

Đối với học sinh lớp 6 đều biết định nghĩa về số chính phương, nhưngthực tế cho thấy những bài toán về số chính phương các em gặp phải trong cácsách bồi dưỡng, sách nâng cao không đơn gi

HƯỚNG DÂN HỌC SINH MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN

VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH KHỐI 8 THCS

1.3 Đối tượng nghiên cứu

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1 1 2 2 3

2 Nội dung của sáng kiến

2.1 Cở sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng

kiến kinh nghiệm

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.4 Hiêu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động

giáo dục, với bản thân, động nghiệp và nhà trường

3 3 4 5

1 Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước đang đặt ranhững yêu cầu to lớn về chất lượng nguồn lực con người Đó là sự phát triểntoàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẫm mỹ Từ đó, cho thấy giáo dục đạođức là một trong những điểm chủ yếu, cốt lõi xuyên suốt và giữ vị trí chủ đạotrong toàn bộ quá trình phát triển nhân cách, đào tạo con người trong nhàtrường Song song với việc giáo dục đạo đức thì việc giảng dạy kiến thức chohọc sinh cũng không thể thiếu Toán học là một trong những môn học chiếm

vị trí quan trọng, bởi một học sinh học giỏi toán thì các môn học khác sẽ tiếpcận rất nhanh

Người thầy muốn học sinh của mình học giỏi toán, tự giác trong học tập,biết cách tổ chức công việc của mình một cách độc lập, không bị thụ động ápđặt, cần phải rèn cho học sinh kỹ năng, độc lập suy nghĩ một cách sâu sắc, nắmvững kiến thức, hiểu rõ vấn đề Muốn vậy, đòi hỏi người thầy lao động sáng tạo,tâm huyết, biết tìm ra nhiều phương pháp, các dạng toán hay để truyền đạt chohọc sinh hiểu một cách cặn kẽ, thấu đáo, vận dụng linh hoạt kiến thức trongnhiều tình huống khác nhau, khơi dậy niềm đam mê học toán

Đối với học sinh lớp 6 đều biết định nghĩa về số chính phương, nhưngthực tế cho thấy những bài toán về số chính phương các em gặp phải trong cácsách bồi dưỡng, sách nâng cao không đơn giản chút nào Bởi để giải những bàitoán đó các em không chỉ dựa vào định nghĩa mà còn phải dựa vào nhiều tínhchất của số chính phương, mà các tính chất này khi học lên các lớp 7, 8, 9 các

em sẽ có cách nhìn sâu sắc hơn Từ những định hướng trên đây, trong giảngdạy Toán ngoài việc giúp học sinh nắm chắc những kiến thức cơ bản, thì việcphát huy tính tích cực của học sinh trong việc mở rộng kiến thức, vận dụng cáckiến thức có liên quan là việc rất cần thiết, đặc biệt là cho công tác bồi dưỡnghọc sinh giỏi

Bản thân là một giáo viên dạy Toán ở trường THCS, tôi luôn tự cố gắng, tựnghiên cứu để tìm ra những phương pháp giảng dạy sao cho có hiệu quả nhấtnhằm giúp học sinh phát huy tư duy, tính sáng tạo của bản thân và rèn luyện kỹnăng cho học sinh Tôi cũng đã bắt nhịp được với tinh thần giảng dạy đổi mới đó

Trong quá trình giảng dạy, điều mà tôi trăn trở và tâm đắc nhất là dạy học

về số chính phương Để giải quyết vấn đề đó tôi đã tìm tòi tài liệu và những kinhnghiệm của bản thân để giảng dạy được tốt hơn

Đề tài: " Hướng dẫn học sinh một vài phương pháp giải bài toán về số chính phương trong chương trình khối 8 THCS" Xin giới thiệu với đồng

nghiệp và hội đồng khoa học nhằm nâng cao chất lượng học tập của học sinhgiúp cải thiện kết quả qua các kì thi

Qua quá trình giảng dạy kết hợp với nghiên cứu tài liệu, tôi xin trình bày

những kinh nghiệm mà tôi tích luỹ được khi dạy học sinh phần kiến thức “các bài toán liên quan đến số chính phương” với mục đích giúp học sinh nắm được

các bài toán và cách giải cơ bản, qua đó củng cố và sau đó là nâng cao và pháttriển các kiến thức cơ bản học trong chương trình Giúp học sinh phát triển nănglực tư duy, tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập, bồi dưỡng năng lực tự họccho các em

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Trong quá trình dạy học trên lớp tôi phát hiện có một số em học sinh thểhiện khả năng nhận thức nhanh nhạy, thông minh Các em giải quyết được hầuhết các bài toán trong sách giáo khoa, đồng thời nếu được hướng dẫn các em cóthể làm được rất nhiều bài trong Sách bài tập Một số bài toán các em giải quyếttheo nhiều phương án, có những phương án rất thông minh nằm ngoài dự đoáncủa tôi Trong quá trình dạy học thì một quan điểm mà tôi rất tâm đắc đó là

“Đưa học sinh vào vùng phát triển gần nhất”, tức là đặt ra một yêu cầu cao hơn

mà nếu học sinh cố gắng nỗ lực và được sự hướng dẫn của giáo viên (mức độ có

thể nhiều ít khác nhau) thì học sinh sẽ đạt được Qua đó tri thức của học sinhphát triển ở một tầm cao hơn, năng lực tư duy phát triển hơn Ngoài ra tôi muốntrao đổi với các bạn đồng nghiệp để rút kinh nghiệm và hoàn thiện hơn về nội

dung và phương pháp áp dụng của chủ đề "Hướng dẫn học sinh một vài phương pháp giải bài toán về số chính phương trong chương trỡnh khối 8 THCS".

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo các tài liệu liên quan đến công tác soạn giảng nhằm phát huytính tích cực của học sinh như: Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học ởTHCS môn Toán do Bộ GD & ĐT ban hành Thiết kế bài soạn, sách giáo viên,sách giáo khoa, sách bài tập

Ngoài ra tôi nghiên cứu thêm các tài liệu của bộ môn như “Toán nângcao và các chuyên đề”, “Nâng cao và phát triển Toán”

Đúc rút từ việc tham gia các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi do PhòngGD&ĐT tổ chức

Thực tế công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi của bản thân vàhọc hỏi đồng nghiệp

2 Nội dung của sáng kiến

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Học sinh THCS nói chung thường ít tự mình tìm tòi tài liệu cho mình đểhọc, đa số học sinh còn thụ động tiếp thu kiến thức từ giáo viên Vậy làm thếnào để học sinh hứng thú với học tập đặc biệt là các chuyên đề như chứng minh

Vỡ vậy một số vấn đề trọng tâm cần thiết cho giải bài toỏn về số chớnhphương:

- Một sốkiến thức cơ bản về số chớnh phương

- Phương phỏp giảibài toỏn về số chớnh phương

- Một số dạng toỏn vềbài toỏn về số chớnh phương

- Một số bài toỏn cú liờn quan đếnsố chớnh phương

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi ỏp dụng sỏng kiến kinh nghiệm

- Thực trạng

Trờn thực tế giảng dạy nhiều năm qua, cỏc bài toỏn về số chớnh phương ớtđược đề cập đến nhưng là một trong những chuyờn đề trong cấu trỳc đề thi họcsinh giỏi của phũng GD&ĐT nờn một số năm bồi dưỡng học sinh giỏi cỏc lớp 6,

7, 8 của trường, tụi thấy cỏc em thường tỏ ra lỳng tỳng khi gặp về cỏc bài toỏn

về số chớnh phương Cỏc em chỉ làm được một số bài tập ở dạng đơn giản, cũnnhững bài tập ở dạng phức tạp thỡ cỏc em trỡnh bày lủng củng, cỏc kết luậnkhụng cú căn cứ và trỡnh bày lời giải khụng khoa học

Mặt khỏc qua trao đổi với đồng nghiệp trường bạn và qua việc theo dừi,trao đổi với học sinh tụi thấy rằng học sinh hay ngại làm bài toỏn về số chớnhphương vỡ nú lằng nhằng liờn quan nhiều kiến thức Những bài toỏn về số chớnhphương học sinh bỡnh thường hay khỏ giỏi đều hay nhầm lẫn Bờn cạnh đú tàiliệu để học thường ớt, chưa cú thành cỏc chuyờn đề

Qua đú học sinh ta hay ngại học về số chớnh phương, cũn những học sinhsiờng năng hơn thỡ chưa cú nhiều tài liệu để học

Bài 1( 5đ ): Tỡm số chớnh phương cú bốn chữ số và chia hết cho 33

Bài 2: Chứng minh rằng: M =

Kết quả cụ thể là

Qua bài kiểm tra tôi thấy nhiều học sinh không làm được bài 2 hoặc một

số em giải dài dòng, phức tạp song lại không đầy đủ Vì vậy, việc xây dựngchuyên đề về số chính phương để áp dụng vào giảng dạy bồi dưỡng cho học sinhkhá giỏi là rất cần thiết và được triển khai ngay

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Các kiến thức cơ bản về số chính phương

* Định nghĩa:Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên

* Tính chất:

1) Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9;không thể có chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8

2) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa

6) Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16

Bài tập về số chính phương

Phương pháp: Để chứng minh một số N là một số chính phương ta có

thể biến đổi số đó thành bình phương của một số tự nhiên bằng cách dựa vào cách biểu diễn số tự nhiên trong hệ thập phân

Giải: Với loại bài tập này tuy không khó nhưng tôi phân tích để các em

hiểu bản chất bài toán sử dụng phương pháp cấu tạo số

Suy ra A =

2

999 9

1 3

Suy ra A =

2

2.999 9

3 3

n

  

  Tương tự chứng minh giống câu a.

Vì số chính phương là bình phương của một số tự nhiên nên ta phải chứngminh 10n + 2 chia hết cho 3

Do đó E =

2

10 1 3 3

10 1 3 3

10 1

1 3

đã có một chút kiến thức làm nền tảng cho các bài tập khác Từ đó tôi đưa ra

3 giải pháp là 3 dạng toán cơ bản về số chính phương.

2.3.2 Các dạng cơ bản về số chính phương

Dạng 1: Chứng minh một số là số chính phương

Dạng 2: Tìm số chính phương

Dạng 3: Tìm một số biểu thức thõa mãn là một số chính phương

Mỗi dạng toán có cách giải riêng, từ đó giúp các em học sinh dễ học vàhiểu sâu sắc về dạng toán đó Để làm được điều đó một cách thành thạo, nhuầnnhuyễn, thành đường mòn ta cần hướng dẫn học sinh cách giải tổng quát củatừng dạng rồi đưa ra các bài tập minh họa và bài tập vận dụng

(Tuy nhiên việc phân chia dạng chỉ có tính chất tương đối)

Dạng 1: Chứng minh số chính phương

Phương pháp 1 : Dựa vào định nghĩa

Ta biết rằng, số chính phương là bình phương của một số tự nhiên Dựa vào định nghĩa này, ta có thể định hướng giải quyết các bài toán

Bài 1: Cho số tự nhiên A =

Chứng minh rằng A - B là số chính phương

(Bài 395 -Trang 93 - Nâng cao và phát triển Toán 6 - Vũ Hữu Bình)

Giải: Khi đã hiểu được về số chính phương thì HS dễ dàng theo

phương pháp cấu tạo số để biến đổi A và B

  

= 2 50 2.1050 2 (10 1)

Chứng minh tương tự như bài tập 1 thì A - B là số chính phương

GV lưu ý cho học sinh tích của có bao nhiêu chữ số (từ 1 đến 9) ta cũng biến đổi được để đưa được về hằng đẳng thức bình phương của một tổng

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương

Với kiến thức của lớp 8 HS nghĩ thực hiện phép nhân đa thức với đa thức bằng cách nhóm thừa số 1 với thừa số 4, thừa số 1 với thừa số 4

Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4

= (x + y)(x + 4y)(x + 2y)(x + 3y) + y4

Bài 3: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính

phương (Bài 84 – trang 26 – Toán BDHS Lớp 8 – Vũ Hữu Bình, Tôn Thân, Đỗ Quang Thiều).

Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n N)

Ta có: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1

= (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*)

Đặt n2 + 3n = t (t  N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2 = (n2 + 3n + 1)2

Vì n  N nên n2 + 3n + 1  N

Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.

Còn đối với dãy số cộng thì ta chứng minh là số chính phương như thế nào ta chuyển sang bài tập 4

Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …

Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước

nó Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương

Giải: Vì dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số

đứng trước nó Ta biến đổi từ dãy số tổng quát như sau:

9

9 8 10 8 10 4 10

=

9

1 10 4 10

2

2.10 1 3

Lưu ý: Khi làm với một dãy số bao giờ cũng biến đổi từ dãy số tổng quát để tìm ra quy luật chung cho các dãy số còn lại

Giải: Gọi n2 là số chính phương phải tìm.

Số chính phương không thể tận cùng bằng 3, 8 Do đó n2 phải tận cùng bằng 6

Số tận cùng bằng 86 thì chia hết cho 2, không chia hết cho 4 nên không là sốchính phương Vậy n2 có tận cùng bằng 36

Số chính phương phải tìm là 8836 = 942

Bài tập củng cố:

Bài 1: Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết bởi các chữ số 0, 2,3,4 Bài 2: Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết bởi các chữ số 7, 4,2,0 Bài 3: Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết bởi các chữ số 0, 2,3,5.

(Bài 381, 382, 383 trang 92, 93 - Nâng cao và phát triển Toán 6 - Vũ Hữu Bình)

Đáp số:

Bài 1: 2304 = 482

Bài 2: 2704 = 522

Bài 3: 3025 = 552

Ví dụ 2: Tìm số chính phương có ba chữ số chia hết cho 56

Giải: Gọi số chính phương là a = n2 (100 a 999)

Vì a chia hết cho 56 nên a = 56.k(2 k 16 )

Vậy số chính phương phải tìm là 784

Ví dụ 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số chia hết cho 147 và có tận

cùng là 9

Giải: Gọi số chính phương là a (1000 a 9999)

Vì a chia hết cho 147 nên a = 147.k(kN)

Nếu k = 27 thì a = 147 27 = 3969 = 632 (thỏa mãn)

Nếu k = 57 thì a = 147 57 = 8379 (không là số chính phương, loại)

Vậy số chính phương phải tìm là 3969

Tôi phân tích chỉ cho HS thấy sự khác nhau của ba ví

dụ trong một dạng

- Ví dụ 1 HS phải thuộc số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể có chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8 và tính chất về chia hết

- Ví dụ 2, ví dụ 3 thuộc phép chia hết: Cho hai số tự nhiên a và b (b  0), nếu có số tự nhiên x sao cho b.x = a thì ta nói a chia hết cho b Ngoài ra kết hợp với phép thử để loại những số không thỏa mãn

Bài tập củng cố:

Bài 1: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống

nhau, 2 chữ số cuối giống nhau.

(Ví dụ 97 - Trang 92 Nâng cao và phát triển Toán 6 - Vũ Hữu Bình)

Gọi số chính phương phải tìm là aabb= n2 với a, b  N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9

Ta có n2 = aabb = 1100a + 11b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1)

Nhận xét thấy 11.(99a+a+b)  11 99a + a + b 11 a + b  11

Mà 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 nên 1 ≤ a+b ≤ 18  a+b = 11

Thay a + b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a + 1) do đó 9a + 1 là số chính phương.Bằng phép thử với a = 1; 2; …; 9 ta có

Bài 2: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương.

Gọi số chính phương đó là abcd Vì abcd vừa là số chính phương vừa làmột lập phương nên đặt abcd = x2 = y3 ( x, y  N)

Vì y3 = x2 nên y cũng là một số chính phương

(Bài 388 trang 93 - Nâng cao và phát triển Toán 6 - Vũ Hữu Bình)

Giải : Vì n là số tự nhiên có 2 chữ số nên 10 ≤ n < 100

Gọi số phải tìm là n, ta có 135n = a2 (a  N) hay 32 3.5.n = a2

Số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên

n = 3.5.k2 (kN) Ta thực hiện phép thử với k = 1, 2, 3,

+) Với k = 1 thì n = 3.5.1 =15 (thỏa mãn bài toán)

Khi đó a = 135.15 = 2025 = 452

+) Với k = 2 thì n = 3.5.22 = 60(thỏa mãn bài toán)

Khi đó a = 135.60 = 8100 = 902

+) Với k = 3 thì n = 3.5.32 = 135, có nhiều hơn hai chữ số, loại

Vậy số phải tìm là 15 hoặc 60

Bài 4: Cho biểu thức A = n2 - 3n - 1 (n N)

Tìm n để biểu thức A nhận giá trị là số chính phương

( Câu II(2) - Đề thi học sinh giỏi lớp 8 cấp huyện năm học 2015 - 2016)

(Bài 217(c) - Trang 60 - Nâng cao và phát triển Toán 8 - Vũ Hữu Bình)

Giải: Với bài toán này ta không thể làm như bài 4 được Vì có n 3 ta không thể đưa được về hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu

mà hướng cho HS sử dụng tính chất của số chính phương

Nhận thấy n3 - n = n(n2 - 1) = n(n - 1)(n + 1) = (n - 1)n(n + 1) là ba số tựnhiên liên tiếp nên chia hết cho 3

Khi đó n3 - n + 2 chia cho 3 dư 2 nên không là số chính phương

Vậy không có số tự nhiên nào thỏa mãn bài toán

Vũ Hữu Bỡnh)

Bài 7: Chứng minh rằng x5 - x + 2 khụng là số chớnh phương với mọi xthuộc Z

( Cõu 3(2) - Đề thi học sinh giỏi lớp 8 cấp huyện năm học 2016 - 2017)

* Túm lại: Qua 3 dạng toỏn về số chớnh phương giỳp cỏc em phần nào

giải quyết được những khú khăn trong việc giải những bài toỏn về số chớnh phương, cỏc em cần phải sử dụng kiến thức gỡ để chứng minh một số là số chớnh phương, hay tỡm một số chớnh phương thừa món điều kiện cho trước, tỡm một số tự nhiờn khi biết một biểu thức là số chớnh phương,

Một công việc rất quan trọng là giáo viên sau khi hớng dẫn học sinh giải xong một bài toán phải giúp học sinh phát hiện ra phơng pháp mà bài toán sử dụng, đâu là điều cốt lõi, yếu tố nào có thể thay đổi trong bài toán để học sinh có thể tạo bài tơng tự Nếu học sinh tạo đợc bài tơng tự và các học sinh khác cùng giải thì học sinh sẽ hiểu kiến thức rất sâu và nhớ lâu, các em

sẽ không còn lỳng tỳng khi gặp những bài toán tơng tự và nhận thấy việc ra

đề bài không phải là khó khăn nữa.

2.4 Hiệu quả của sỏng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giỏo dục, với bản thõn, động nghiệp và nhà trường

Sau cỏc buổi tổ chức học đối với HS lớp 8 và truyền thụ cho học sinh một

số bài tập cú hệ thống và phương phỏp giải nờu trờn tụi nhận thấy đạt được một

- Cỏc em đó biết nhận dạng vào từng bài toỏn cụ thể để cú được phươngphỏp giải thớch hợp, khụng cũn lỳng tỳng như khi chưa được hướng dẫn cỏc kỹnăng trờn

- Với hệ thống kiến thức, cỏc dạng toỏn và phương phỏp giải được xõydựng đơn giản và dễ nhớ nờn học sinh nắm nhanh Vỡ vậy đó hỡnh thành cho học