Hướng dẫn học sinh một vài phương pháp giải bài toán về số chính phương trong chương trình khối 8 THCS

HNG DN HC SINH MT VI PHNG PHP GII BI TON V S CHNH PHNG TRONG CHNG TRèNH KHI THCS MC LC Phn mc Trang M u 1.1 Lớ chn ti 1.2 Mc ớch nghiờn cu 1.3 i tng nghiờn cu 1.4 Phng phỏp nghiờn cu Ni dung ca sỏng kin 2.1 C s lớ lun ca sỏng kin kinh nghim 2.2 Thc trng trc ỏp dng sỏng kin kinh nghim 2.3 Cỏc gii phỏp ó s dng gii quyt 2.4 Hiờu qu ca sỏng kin kinh nghim i vi hot ng 16 giỏo dc, vi bn thõn, ng nghip v nh trng Kt lun, kin ngh 17 3.1 Kt lun 17 3.2 Kin ngh 18 1 M u 1.1 Lý chn ti Trong cụng cuc cụng nghip húa, hin i húa t nc ang t nhng yờu cu to ln v cht lng ngun lc ngi ú l s phỏt trin ton din v o c, trớ tu, th cht, thm m T ú, cho thy giỏo dc o c l mt nhng im ch yu, ct lừi xuyờn sut v gi v trớ ch o ton b quỏ trỡnh phỏt trin nhõn cỏch, o to ngi nh trng Song song vi vic giỏo dc o c thỡ vic ging dy kin thc cho hc sinh cng khụng th thiu Toỏn hc l mt nhng mụn hc chim v trớ quan trng, bi mt hc sinh hc gii toỏn thỡ cỏc mụn hc khỏc s tip cn rt nhanh Ngi thy mun hc sinh ca mỡnh hc gii toỏn, t giỏc hc tp, bit cỏch t chc cụng vic ca mỡnh mt cỏch c lp, khụng b th ng ỏp t, cn phi rốn cho hc sinh k nng, c lp suy ngh mt cỏch sõu sc, nm vng kin thc, hiu rừ Mun vy, ũi hi ngi thy lao ng sỏng to, tõm huyt, bit tỡm nhiu phng phỏp, cỏc dng toỏn hay truyn t cho hc sinh hiu mt cỏch cn k, thu ỏo, dng linh hot kin thc nhiu tỡnh khỏc nhau, dy nim am mờ hc toỏn i vi hc sinh lp u bit nh ngha v s chớnh phng, nhng thc t cho thy nhng bi toỏn v s chớnh phng cỏc em gp phi cỏc sỏch bi dng, sỏch nõng cao khụng n gin chỳt no Bi gii nhng bi toỏn ú cỏc em khụng ch da vo nh ngha m cũn phi da vo nhiu tớnh cht ca s chớnh phng, m cỏc tớnh cht ny hc lờn cỏc lp 7, 8, cỏc em s cú cỏch nhỡn sõu sc hn T nhng nh hng trờn õy, ging dy Toỏn ngoi vic giỳp hc sinh nm chc nhng kin thc c bn, thỡ vic phỏt huy tớnh tớch cc ca hc sinh vic m rng kin thc, dng cỏc kin thc cú liờn quan l vic rt cn thit, c bit l cho cụng tỏc bi dng hc sinh gii Bn thõn l mt giỏo viờn dy Toỏn trng THCS, tụi luụn t c gng, t nghiờn cu tỡm nhng phng phỏp ging dy cho cú hiu qu nht nhm giỳp hc sinh phỏt huy t duy, tớnh sỏng to ca bn thõn v rốn luyn k nng cho hc sinh Tụi cng ó bt nhp c vi tinh thn ging dy i mi ú Trong quỏ trỡnh ging dy, iu m tụi trn tr v tõm c nht l dy hc v s chớnh phng gii quyt ú tụi ó tỡm tũi ti liu v nhng kinh nghim ca bn thõn ging dy c tt hn ti: "Hng dn hc sinh mt vi phng phỏp gii bi toỏn v s chớnh phng chng trỡnh THCS" Xin gii thiu vi ng nghip v hi ng khoa hc nhm nõng cao cht lng hc ca hc sinh giỳp ci thin kt qu qua cỏc kỡ thi 1.2 Mc ớch nghiờn cu L mt giỏo viờn tr trng THCS, c trc tip tham gia ging dy v c nh trng phõn cụng nhim v bi dng hc sinh gii Toỏn 8, tụi luụn bn khon, suy ngh la chn nhng chuyờn Toỏn phự hp vi ni dung chng trỡnh, ng thi phỏt trin ti a nng lc t ca hc sinh, bi dng kh nng t hc ca hc sinh Qua quỏ trỡnh ging dy kt hp vi nghiờn cu ti liu, tụi xin trỡnh by nhng kinh nghim m tụi tớch lu c dy hc sinh phn kin thc cỏc bi toỏn liờn quan n s chớnh phng vi mc ớch giỳp hc sinh nm c cỏc bi toỏn v cỏch gii c bn, qua ú cng c v sau ú l nõng cao v phỏt trin cỏc kin thc c bn hc chng trỡnh Giỳp hc sinh phỏt trin nng lc t duy, tớch cc, ch ng, sỏng to hc tp, bi dng nng lc t hc cho cỏc em 1.3 i tng nghiờn cu Trong quỏ trỡnh dy hc trờn lp tụi phỏt hin cú mt s em hc sinh th hin kh nng nhn thc nhanh nhy, thụng minh Cỏc em gii quyt c hu ht cỏc bi toỏn sỏch giỏo khoa, ng thi nu c hng dn cỏc em cú th lm c rt nhiu bi Sỏch bi Mt s bi toỏn cỏc em gii quyt theo nhiu phng ỏn, cú nhng phng ỏn rt thụng minh nm ngoi d oỏn ca tụi Trong quỏ trỡnh dy hc thỡ mt quan im m tụi rt tõm c ú l a hc sinh vo vựng phỏt trin gn nht, tc l t mt yờu cu cao hn m nu hc sinh c gng n lc v c s hng dn ca giỏo viờn (mc cú th nhiu ớt khỏc nhau) thỡ hc sinh s t c Qua ú tri thc ca hc sinh phỏt trin mt tm cao hn, nng lc t phỏt trin hn Ngoi tụi mun trao i vi cỏc bn ng nghip rỳt kinh nghim v hon thin hn v ni dung v phng phỏp ỏp dng ca ch "Hng dn hc sinh mt vi phng phỏp gii bi toỏn v s chớnh phng chng trnh THCS" 1.4 Phng phỏp nghiờn cu Tham kho cỏc ti liu liờn quan n cụng tỏc son ging nhm phỏt huy tớnh tớch cc ca hc sinh nh: Mt s i mi phng phỏp dy hc THCS mụn Toỏn B GD & T ban hnh Thit k bi son, sỏch giỏo viờn, sỏch giỏo khoa, sỏch bi Ngoi tụi nghiờn cu thờm cỏc ti liu ca b mụn nh Toỏn nõng cao v cỏc chuyờn , Nõng cao v phỏt trin Toỏn ỳc rỳt t vic tham gia cỏc chuyờn bi dng hc sinh gii Phũng GD&T t chc Thc t cụng tỏc ging dy v bi dng hc sinh gii ca bn thõn v hc hi ng nghip Ni dung ca sỏng kin 2.1 C s lớ lun ca sỏng kin kinh nghim Hc sinh THCS núi chung thng ớt t mỡnh tỡm tũi ti liu cho mỡnh hc, a s hc sinh cũn th ng tip thu kin thc t giỏo viờn Vy lm th no hc sinh hng thỳ vi hc c bit l cỏc chuyờn nh chng minh s chớnh phng, tỡm s chớnh phng, Vi hc sinh lp thỡ vic gii bi toỏn v "s chớnh phng" gp rt nhiu khú khn Chớnh vỡ vy chỳng ta cn: - Giỳp hc sinh hiu v s chớnh phng cng n gin d dng ch khụng phi l cỏi gỡ xa vi khú khn c - Giỳp hc sinh cú cỏc thao tỏc t duy, so sỏnh, khỏi quỏt hoỏ, tru tng hoỏ, tng t hoỏ t ú bit trỡnh by bi toỏn tt nht - Giỳp hc sinh k nng thc hnh, dng kin thc c bn dng gii toỏn mt cỏch thnh tho - Ngoi cũn rốn luyn cho hc sinh nhng c tớnh cn thn, sỏng to, ch ng gii toỏn Vỡ vy số vấn đề trọng tâm cn thit cho gii bi toỏn v s chớnh phng: - Mt s kin thc c bn v s chớnh phng - Phng phỏp gii bi toỏn v s chớnh phng - Mt s dng toỏn v bi toỏn v s chớnh phng - Mt s bi toỏn cú liờn quan n s chớnh phng 2.2 Thc trng trc ỏp dng sỏng kin kinh nghim - Thc trng Trờn thc t ging dy nhiu nm qua, cỏc bi toỏn v s chớnh phng ớt c cp n nhng l mt nhng chuyờn cu trỳc thi hc sinh gii ca phũng GD&T nờn mt s nm bi dng hc sinh gii cỏc lp 6, 7, ca trng, tụi thy cỏc em thng t lỳng tỳng gp v cỏc bi toỏn v s chớnh phng Cỏc em ch lm c mt s bi dng n gin, cũn nhng bi dng phc thỡ cỏc em trỡnh by lng cng, cỏc kt lun khụng cú cn c v trỡnh by li gii khụng khoa hc Mt khỏc qua trao i vi ng nghip trng bn v qua vic theo dừi, trao i vi hc sinh tụi thy rng hc sinh hay ngi lm bi toỏn v s chớnh phng vỡ nú lng nhng liờn quan nhiu kin thc Nhng bi toỏn v s chớnh phng hc sinh bỡnh thng hay khỏ gii u hay nhm ln Bờn cnh ú ti liu hc thng ớt, cha cú thnh cỏc chuyờn Qua ú hc sinh ta hay ngi hc v s chớnh phng, cũn nhng hc sinh siờng nng hn thỡ cha cú nhiu ti liu hc - Kt qu ca thc trng: ỏnh giỏ kh nng gii toỏn ca hc sinh, tụi tin hnh kim tra 30 em hc sinh lp trng t bi dng hc sinh gii vi thi gian lm bi 30 phỳt: bi: Bi 1( ): Tỡm s chớnh phng cú bn ch s v chia ht cho 33 + 444 + l s chớnh phng Bi 2: Chng minh rng: M = 111 ncs1 ncs Kt qu c th l S HS 30 Gii Khỏ Trung bỡnh Yu, Kộm SL % SL % SL % SL % 3,3 10 10 33,3 16 53,4 Qua bi kim tra tụi thy nhiu hc sinh khụng lm c bi hoc mt s em gii di dũng, phc song li khụng y Vỡ vy, vic xõy dng chuyờn v s chớnh phng ỏp dng vo ging dy bi dng cho hc sinh khỏ gii l rt cn thit v c trin khai 2.3 Cỏc gii phỏp ó s dng gii quyt 2.3.1 Cỏc kin thc c bn v s chớnh phng * nh ngha: S chớnh phng l s bng bỡnh phng ca mt s t nhiờn * Tớnh cht: 1) S chớnh phng ch cú th cú ch s tn cựng bng 0, 1, 4, 5, 6, 9; khụng th cú ch tn cựng bng 2, 3, 7, 2) Khi phõn tớch tha s nguyờn t, s chớnh phng ch cha cỏc tha s nguyờn t vi s m chn 3) S chớnh phng ch cú th cú mt hai dng 4n hoc 4n+1 Khụng cú s chớnh phng no cú dng 4n + hoc 4n + (n N) 4) S chớnh phng ch cú th cú mt hai dng 3n hoc 3n +1 Khụng cú s chớnh phng no cú dng 3n + ( n N ) 5) S chớnh phng tn cựng bng 1, hoc thỡ ch s hng chc l ch s chn S chớnh phng tn cựng bng thỡ ch s hng chc l S chớnh phng tn cựng bng thỡ ch s hng chc l ch s l 6) S chớnh phng chia ht cho thỡ chia ht cho S chớnh phng chia ht cho thỡ chia ht cho S chớnh phng chia ht cho thỡ chia ht cho 25 S chớnh phng chia ht cho thỡ chia ht cho 16 Bi v s chớnh phng Phng phỏp: chng minh mt s N l mt s chớnh phng ta cú th bin i s ú thnh bỡnh phng ca mt s t nhiờn bng cỏch da vo cỏch biu din s t nhiờn h thp phõn N = an an1 a2 a1 = an.10n-1 + an-1.10n-2 + + a2.102 + a1 Cỏch phõn tớch nh vy gi l phng phỏp cu to s n = a 999 = a 10 1 3a = a 111 c bit aaa nchs1 nsa Bi tp: Chng minh cỏc s sau õy l s chớnh phng + 444 123 a) A = 111 ncs1 ncs + 111 1 + 666 +8 b) B = 111 ncs1 n +1cs ncs + 222 2 + 888 123 +7 c) C = 444 ncs n +1cs ncs 000 123 d) D = 224 999 n cs ncs 123 e) E = 111 1555 56 ncs1 n 1cs x 000 123 + f) F = 111 1995cs1 1994 cs Gii: Vi loi bi ny khụng khú nhng tụi phõn tớch cỏc em hiu bn cht bi toỏn s dng phng phỏp cu to s 999 10n 111 1 = ncs ta cú th chng minh mt cỏch d dng = nchs1 9 999 999 123 123 + 444 = ncs1 ncs a) A = 111 + +1 ncs1 ncs 9 = (102 n 1) + (10n 1) + 9 2n 10 + 4.10n + = 10n + 102 n + 4.10n + = = ữ Vỡ s chớnh phng l bỡnh phng ca mt s t nhiờn nờn ta phi chng minh 10n + chia ht cho 2 10n + 10n 123 + 1ữ m 10n - = 999 Do ú A = ữ= ncs 3 999 123 n + 1ữ 333 34 123 333 + Suy A = = = ữ ữ n 1cs ữ ncs Vy A l s chớnh phng T tớch ca n ch s tụi cú th a v tớch ca n ch s bng cỏch 444 = 111 123 ncs ncs1 Tng t cỏc cõu sau hc sinh t lm + 111 1 + 666 +8 = b) B = 111 ncs1 n +1cs ncs 999 123 ncs 9 + 999 123 n +1cs 9 + 999 123 ncs 9 +8 2n (10 1) + (10n +1 1) + (10n 1) +8 9 2n n +1 n 10 + 10 + 6.10 + 72 = = 10n + 102 n + 16.10n + 64 = = ữ Vỡ s chớnh phng l bỡnh phng ca mt s t nhiờn nờn ta phi chng minh 10n + chia ht cho 2 10n + 10n 123 + ữ m 10n - = 999 Do ú B = ữ= ncs 3 999 123 n + 3ữ 333 36 333 + Suy A = = = ữ 123 ữ n 1cs ữ ncs Vy B l s chớnh phng 999 999 999 123 123 123 + 222 2 + 888 + = ncs n +1cs ncs c) C = 444 + + +7 ncs n +1cs ncs 9 = (102 n 1) + (10n +1 1) + (10n 1) + +8 9 2n n 4.10 + 2.10 10 + 8.10n + 63 = 2.10n + 102 n + 28.10n + 49 = = ữ Vỡ s chớnh phng l bỡnh phng ca mt s t nhiờn nờn ta phi chng minh 2.10n + chia ht cho 2 2.10n + 2.(10n 1) 123 + ữ m 10n - = 999 Do ú B = ữ= ncs 3 2.999 2 123 666 692 ữ n + = 2.333 Suy A = + ữ = 666 + ữ 1n 21cs36 ữ ữ ncs ncs Vy B l s chớnh phng n 111 1.10 + 555 5.10 +6 123 123 123 e) E = 111 1555 56 = ncs1 n 1cs ncs1 n 1cs = 999 123 ncs 9 10 + n 999 123 n 1cs 10 + n (10 1).10n + 10(10n1 1) + 9 2n n 10 10 + 5.10n 50 + 54 = = 10n + 102 n + 4.10n + = = ữ Tng t chng minh ging cõu a Vỡ s chớnh phng l bỡnh phng ca mt s t nhiờn nờn ta phi chng minh 10n + chia ht cho 2 10n + 10n 123 + 1ữ m 10n - = 999 Do ú E = ữ= ncs 3 999 123 n + 1ữ 333 34 333 + Suy E = = = ữ 123 ữ n 1cs ữ ncs Vy E l s chớnh phng x 000 + = 111 1.(1000 123 + 5) + f) F = 111 1995cs1 1994 cs 1995 cs1 1995 cs1 101995 1995 (10 + 5) + 102.1995 + 5.101995 101995 + = = 101995 + 102.1995 + 4.101995 + = = ữ Vỡ s chớnh phng l bỡnh phng ca mt s t nhiờn nờn ta phi chng minh 101995 + chia ht cho 2 101995 + 101995 123 + 1ữ m 101995 - = 999 Do ú F = ữ= 1995 cs 3 999 123 1995cs + 1ữ 333 34 123 333 + Suy F = = = ữ ữ 1994 cs ữ 1995cs Vy F l s chớnh phng Sau a bi trờn nhm giỳp HS khc sõu mt s chớnh phng l s bng bỡnh phng ca mt s t nhiờn Bng cỏch bin i n ch s 1, n ch s 4(cõu a) hay s c th hn 1995 ch s (cõu F) Tụi ó cho HS thy c cỏc cõu trờn cú chung mt cỏch bin i T bi toỏn nhỡn thy phc nhng hiu c thỡ tr nờn n gin T bi toỏn trờn HS ó cú mt chỳt kin thc lm nn tng cho cỏc bi khỏc T ú tụi a gii phỏp l dng toỏn c bn v s chớnh phng 2.3.2 Cỏc dng c bn v s chớnh phng Dng 1: Chng minh mt s l s chớnh phng Dng 2: Tỡm s chớnh phng Dng 3: Tỡm mt s biu thc thừa l mt s chớnh phng Mi dng toỏn cú cỏch gii riờng, t ú giỳp cỏc em hc sinh d hc v hiu sõu sc v dng toỏn ú lm c iu ú mt cỏch thnh tho, nhun nhuyn, thnh ng mũn ta cn hng dn hc sinh cỏch gii tng quỏt ca tng dng ri a cỏc bi minh v bi dng (Tuy nhiờn vic phõn chia dng ch cú tớnh cht tng i) Dng 1: Chng minh s chớnh phng Phng phỏp : Da vo nh ngha Ta bit rng, s chớnh phng l bỡnh phng ca mt s t nhiờn Da vo nh ngha ny, ta cú th nh hng gii quyt cỏc bi toỏn , B = 222 123 Bi 1: Cho s t nhiờn A = 111 100 cs1 50 cs Chng minh rng A - B l s chớnh phng (Bi 395 -Trang 93 - Nõng cao v phỏt trin Toỏn - V Hu Bỡnh) Gii: Khi ó hiu c v s chớnh phng thỡ HS d dng theo phng phỏp cu to s bin i A v B = 111 1000 3 + 111 123 Ta cú: A = 111 100 cs1 50 cs1 50 cs1 50 cs1 1050 + 111 123 = 111 50 cs1 50 cs1 1050 (1050 1) 1050 + = 9 10 102.50 1050 + 1050 = 2.50 10 = 999 50 123 = 50 cs = (1050 1) = 2.10 B = 222 50 cs 9 102.50 2.1050 + 1050 102.50 2.1050 = Do ú A - B = = ữ 9 Chng minh tng t nh bi thỡ A - B l s chớnh phng GV lu ý cho hc sinh tớch ca cú bao nhiờu ch s (t n 9) ta cng bin i c a c v hng ng thc bỡnh phng ca mt tng Bi 2: Chng minh rng vi mi s nguyờn x, y thỡ A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 l s chớnh phng Vi kin thc ca lp HS ngh thc hin phộp nhõn a thc vi a thc bng cỏch nhúm tha s vi tha s 4, tha s vi tha s Ta cú A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x + y)(x + 4y)(x + 2y)(x + 3y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 t x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thỡ A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 Vỡ x, y, z Z nờn x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z Vy A l s chớnh phng Tụi ó ch cho HS cỏch nhúm cỏc tha s nhm xut hin cỏc s hng chung tha s, cũn s hng khụng chung bng trung bỡnh cng Bi cng c Bi 3: Chng minh tớch ca s t nhiờn liờn tip cng luụn l s chớnh phng (Bi 84 trang 26 Toỏn BDHS Lp V Hu Bỡnh, Tụn Thõn, Quang Thiu) Gi s t nhiờn, liờn tiờp ú l n, n + 1, n+ 2, n + (n N) Ta cú: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + (*) t n2 + 3n = t (t N) thỡ (*) = t( t + ) + = t2 + 2t + = ( t + )2 = (n2 + 3n + 1)2 Vỡ n N nờn n2 + 3n + N 11 Vy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + l s chớnh phng Cũn i vi dóy s cng thỡ ta chng minh l s chớnh phng nh th no ta chuyn sang bi Bi 4: Cho dóy s 49; 4489; 444889; 44448889; Dóy s trờn c xõy dng bng cỏch thờm s 48 vo gia s ng trc nú Chng minh rng tt c cỏc s ca dóy trờn u l s chớnh phng Gii: Vỡ dóy s trờn c xõy dng bng cỏch thờm s 48 vo gia s ng trc nú Ta bin i t dóy s tng quỏt nh sau: 444 4888 123 123 3 +1 Ta cú 444 4888 89 = ncs n 1cs ncs ncs + 8.111 1 +1 = 444 ncs ncs1 10 n 10 n 10n + +1 9 4.10 n 4.10 n + 8.10 n + = = 2.10n + 4.10 n + 4.10 n + = = ữ 2.000 01 123 Ta thy: 2.10n +1 = n 1cs 2.10n + chia ht cho Do ú ữ cú tng cỏc ch s chia ht cho nờn nú Z hay cỏc s cú dng 4448889 l s chớnh phng Lu ý: Khi lm vi mt dóy s bao gi cng bin i t dóy s tng quỏt tỡm quy lut chung cho cỏc dóy s cũn li Bi cng c: , n N* Bi 5: Cho A = 999 ncs So sỏnh tng cỏc ch s ca A2 v tng cỏc ch s ca A , B = 111 1 , C = 666 123 Bi 6: Cho m N*, A = 111 mcs1 m +1cs1 mcs Chng minh rng A + B +C + l s chớnh phng Dng 2: Tỡm s chớnh phng Vớ d 1: Tỡm s chớnh phng cú bn ch s, c vit bi cỏc ch s 3, 6,8,8 Tụi cú th nh hng cho HS bng cõu hi: S chớnh phng khụng cú tn cựng l cỏc ch s no ? S chớnh phng khụng th tn cựng bng 2, 3, 7, 12 Gii: Gi n2 l s chớnh phng phi tỡm S chớnh phng khụng th tn cựng bng 3, Do ú n2 phi tn cựng bng S tn cựng bng 86 thỡ chia ht cho 2, khụng chia ht cho nờn khụng l s chớnh phng Vy n2 cú tn cựng bng 36 S chớnh phng phi tỡm l 8836 = 942 Bi cng c: Bi 1: Tỡm s chớnh phng cú bn ch s, c vit bi cỏc ch s 0, 2,3,4 Bi 2: Tỡm s chớnh phng cú bn ch s, c vit bi cỏc ch s 7, 4,2,0 Bi 3: Tỡm s chớnh phng cú bn ch s, c vit bi cỏc ch s 0, 2,3,5 (Bi 381, 382, 383 trang 92, 93 - Nõng cao v phỏt trin Toỏn - V Hu Bỡnh) ỏp s: Bi 1: 2304 = 482 Bi 2: 2704 = 522 Bi 3: 3025 = 552 Vớ d 2: Tỡm s chớnh phng cú ba ch s chia ht cho 56 Gii: Gi s chớnh phng l a = n2 (100 a 999) Vỡ a chia ht cho 56 nờn a = 56.k(2 k 16 ) Hay n2 = 22 14.k m n2 l s chớnh phng n2 M 14 n M 14 n B(14) = { 14; 28; 42; } Suy n2 { 196;784;1764; } Trong hai s 196, 784 cú 784 cú ba ch s chia ht cho 56 Vy s chớnh phng phi tỡm l 784 Vớ d 3: Tỡm s chớnh phng cú ch s chia ht cho 147 v cú tn cựng l Gii: Gi s chớnh phng l a (1000 a 9999) Vỡ a chia ht cho 147 nờn a = 147.k(k N) Hay a = 3.72 k ( k 67 ) Theo gi thit a cú tn cựng l nờn tn cựng ca k l Nh vy k ch cú th 17, 27,37,47,57,67 Mt khỏc 147 = 3.7.7 k = 3.n2(n l s t nhiờn) Trong cỏc s trờn ch cú hai s 27 v 57 chia ht cho nờn k ch cú th l 27 hoc 57 13 Nu k = 27 thỡ a = 147 27 = 3969 = 632 (tha món) Nu k = 57 thỡ a = 147 57 = 8379 (khụng l s chớnh phng, loi) Vy s chớnh phng phi tỡm l 3969 Tụi phõn tớch ch cho HS thy s khỏc ca ba vớ d mt dng - Vớ d HS phi thuc s chớnh phng ch cú th cú ch s tn cựng bng 0, 1, 4, 5, 6, 9; khụng th cú ch tn cựng bng 2, 3, 7, v tớnh cht v chia ht - Vớ d 2, vớ d thuc phộp chia ht: Cho hai s t nhiờn a v b (b 0), nu cú s t nhiờn x cho b.x = a thỡ ta núi a chia ht cho b Ngoi kt hp vi phộp th loi nhng s khụng tha Bi cng c: Bi 1: Tỡm s chớnh phng cú ch s bit rng ch s u ging nhau, ch s cui ging (Vớ d 97 - Trang 92 Nõng cao v phỏt trin Toỏn - V Hu Bỡnh) Gi s chớnh phng phi tỡm l aabb = n2 vi a, b N, a 9; b Ta cú n2 = aabb = 1100a + 11b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1) Nhn xột thy 11.(99a+a+b) 11 99a + a + b 11 a + b 11 M a ; b nờn a+b 18 a+b = 11 Thay a + b = 11 vo (1) c n2 = 112(9a + 1) ú 9a + l s chớnh phng Bng phộp th vi a = 1; 2; ; ta cú +) a = thỡ n2 = 112(9.1+1) = 112.10 (loi) +) a = thỡ n2 = 112(9.2+1) = 112.19 (loi) +) a = thỡ n2 = 112(9.3+1) = 112.28 (loi) Lm tng t vi a = 4, , thy ch cú a = thỡ n2 = 112(9.7+1) = 112.82 (tha món) b = S cn tỡm l 7744 Bi 2: Tỡm mt s cú ch s va l s chớnh phng va l mt lp phng Gi s chớnh phng ú l abcd Vỡ abcd va l s chớnh phng va l mt lp phng nờn t abcd = x2 = y3 ( x, y N) Vỡ y3 = x2 nờn y cng l mt s chớnh phng 14 Ta cú 1000 abcd 9999 10 y 21 v y chớnh phng y = 16 S cn tỡm l 4096 Dng : Tỡm mt s biu thc tha l mt s chớnh phng Bi 1: Tỡm s t nhiờn n cú ch s, bit rng s 2n+1 v 3n+1 ng thi l s chớnh phng (Bi 388 trang 93 - Nõng cao v phỏt trin Toỏn - V Hu Bỡnh) Gii : Vỡ n l s t nhiờn cú ch s nờn 10 n < 100 ú 21 2n+1 < 201 Mt khỏc 2n+1 l s chớnh phng l, nờn 2n+1 ch cú th nhn mt cỏc giỏ tr :25; 49; 81; 121; 169 Vi 2n + = 25 2n = 24 n = 12 Khi 3n + = 3.12+1 = 37 Vi 2n + = 49 2n = 48 n = 24 Khi ú 3n + = 3.24 + = 73 Vi 2n + = 81 2n = 80 n = 40 Khi ú 3n + = 3.40 + = 121 Vi 2n + = 121 2n = 120 n = 60 Khi ú 3n + = 3.60 + = 181 Vi 2n + = 169 2n = 168 n = 84 Khi ú 3n + = 3.84 + = 253 Trong cỏc s trờn ch cú s 121=112 l mt s chớnh phng Vy s t nhiờn cú ch s cn tỡm l n = 40 Bi 2: Tỡm s t nhiờn n bit rng n + 20 l mt s chớnh phng v n - 69 cng l mt s chớnh phng Gii: Vỡ n + 20, n 69 l s chớnh phng t n + 20 = a2 ; n 69 = b2 (a, b N v a > b) => a2 b2 = 89 => (a + b)(a b) = 89.1 Nhn xột: vỡ a + b > a - b a + b = 89 suy a = 45 a b = Do ú Vy n = 452 20 = 2005 Bi 3: Tỡm s t nhiờn cú hai ch s, bit rng nu nhõn nú vi 135 thỡ ta c mt s chớnh phng (Vớ d 96 - Nõng cao v phỏt trin Toỏn - V Hu Bỡnh) Gii Gi s phi tỡm l n, ta cú 135n = a2 (a N) hay 32 3.5.n = a2 S chớnh phng ch cha cỏc tha s nguyờn t vi s m chn nờn n = 3.5.k (k N) Ta thc hin phộp th vi k = 1, 2, 3, 15 +) Vi k = thỡ n = 3.5.1 =15 (tha bi toỏn) Khi ú a = 135.15 = 2025 = 452 +) Vi k = thỡ n = 3.5.22 = 60(tha bi toỏn) Khi ú a = 135.60 = 8100 = 902 +) Vi k = thỡ n = 3.5.32 = 135, cú nhiu hn hai ch s, loi Vy s phi tỡm l 15 hoc 60 Bi 4: Cho biu thc A = n2 - 3n - (n N) Tỡm n biu thc A nhn giỏ tr l s chớnh phng ( Cõu II(2) - thi hc sinh gii lp cp huyn nm hc 2015 - 2016) Gii: Vỡ n2 - 3n - l s chớnh phng nờn t n2 - 3n -1 = k2 (k N) 4n2 - 12n - = 4k2 (2n)2 - 2.2n.3 + 32 - 13 = 4k2 (2n - 3)2 - (2k)2 = 13 ( 2n - + 2k)(2n - 3- 2k) = 13 Nhn xột: 2n + 2k -3 > 2n - 2k - v chỳng l nhng s nguyờn dng nờn ta cú th vit ( 2n + 2k - 3) (2n - 2k - 3) = 13.1 2n + 2k = 13 2n + 2k = 16 n + k = n = 2n 2k = 2n 2k = n k = k = Vy A l s chớnh phng thỡ n = Bi 5: Tỡm s nguyờn dng n biu thc sau l s chớnh phng n3 - n + (Bi 217(c) - Trang 60 - Nõng cao v phỏt trin Toỏn - V Hu Bỡnh) Gii: Vi bi toỏn ny ta khụng th lm nh bi c Vỡ cú n3 ta khụng th a c v hng ng thc bỡnh phng ca mt tng hoc bỡnh phng ca mt hiu m hng cho HS s dng tớnh cht ca s chớnh phng Nhn thy n3 - n = n(n2 - 1) = n(n - 1)(n + 1) = (n - 1)n(n + 1) l ba s t nhiờn liờn tip nờn chia ht cho Khi ú n3 - n + chia cho d nờn khụng l s chớnh phng Vy khụng cú s t nhiờn no tha bi toỏn Bi tõp cng c Bi 6: Tỡm s nguyờn dng n biu thc sau l s chớnh phng a) n2 - n + b) n4 - n + d) n5 - n + (Bi 217; cõu a,b,d; Trang 60 - Nõng cao v phỏt trin Toỏn 16 V Hu Bỡnh) Bi 7: Chng minh rng x5 - x + khụng l s chớnh phng vi mi x thuc Z ( Cõu 3(2) - thi hc sinh gii lp cp huyn nm hc 2016 - 2017) * Túm li: Qua dng toỏn v s chớnh phng giỳp cỏc em phn no gii quyt c nhng khú khn vic gii nhng bi toỏn v s chớnh phng, cỏc em cn phi s dng kin thc gỡ chng minh mt s l s chớnh phng, hay tỡm mt s chớnh phng thừa iu kin cho trc, tỡm mt s t nhiờn bit mt biu thc l s chớnh phng, Một công việc quan trọng giáo viên sau hớng dẫn học sinh giải xong toán phải giúp học sinh phát phơng pháp mà toán sử dụng, đâu điều cốt lõi, yu tố thay đổi toán để học sinh tạo tơng tự Nếu học sinh tạo đợc tơng tự học sinh khác giải học sinh hiểu kiến thức sâu nhớ lâu, em không lỳng tỳng gặp toán tơng tự nhận thấy việc đề khó khăn 2.4 Hiu qu ca sỏng kin kinh nghim i vi hot ng giỏo dc, vi bn thõn, ng nghip v nh trng Sau cỏc bui t chc hc i vi HS lp v truyn th cho hc sinh mt s bi cú h thng v phng phỏp gii nờu trờn tụi nhn thy t c mt s kt qu sau: - Hc sinh nm vng lớ thuyt, hiu v bit dng lm cỏc bi toỏn mt cỏch thun thc - Cỏc em thy c bn cht ca ang hc, gõy c s hng thỳ tớch cc hc cho cỏc em Lm cho hc sinh ch ng hn hc v khụng ngng tỡm tũi thờm nhiu dng bi toỏn khỏc, cú ý thc trỏch nhim v t hc v chu khú nghiờn cu bi - Cỏc em ó bit nhn dng vo tng bi toỏn c th cú c phng phỏp gii thớch hp, khụng cũn lỳng tỳng nh cha c hng dn cỏc k nng trờn 17 - Vi h thng kin thc, cỏc dng toỏn v phng phỏp gii c xõy dng n gin v d nh nờn hc sinh nm nhanh Vỡ vy ó hỡnh thnh cho hc sinh nim thớch thỳ gp cỏc dng toỏn ny H thng kin thc trờn phự hp vi i tng hc sinh cú hc lc yu, trung bỡnh n khỏ v gii - Nghiờn cu ti bn thõn luụn c trau di kin thc, tỡm tũi tng quỏ trỡnh dy hc v ch o ca chuyờn mụn, hiu c kh nng tip thu ca tng em hc cha chc cha sõu ch no kp thi b sung, cng c cho cỏc em - Vi h thng kin thc, cỏc dng toỏn v phng phỏp gii c xõy dng n gin v d nh nờn hc sinh nm nhanh Vỡ vy ó hỡnh thnh cho hc sinh nim thớch thỳ gp cỏc dng toỏn ny H thng kin thc trờn phự hp vi i tng hc sinh cú hc lc yu, trung bỡnh n khỏ v gii * ỏnh giỏ kt qu qua kim tra ó cú nhiu tin b TT Xp loi Gii Khỏ TB Yu Trc KS SL % 3,3 10 10 33,3 16 53,4 Sau KS SL % 16,7 20 11 35,6 27,7 Tng, gim SL % 13,3 10 2,3 25,7 Ghi chỳ Nh vy, t ch hc sinh cũn lỳng tỳng kin thc v phng phỏp gii, thm t thỏi khụng yờu thớch, qua thc t ging dy vi h thng kin thc nờu trờn hc sinh ó gii thnh tho cỏc dng toỏn mc c bn Khi nm vng kin thc v phng phỏp gii hc sinh s cú c s hng thỳ gúp phn dy nim say mờ hc t ú nõng cao c cht lng i tr dy hc b mụn Toỏn Vi h thng kin thc c bn c xõy dng v truyn th nh trờn hc sinh s ch ng tip thu nhng kin mi hn chng trỡnh cỏc lp Kt lun, kin ngh 3.1 Kt lun Qua vic thc hin sỏng kin ny tụi ó thu c rt nhiu bi hc quý bỏu: Giỏo viờn phi chu khú tỡm tũi, c ti liu tỡm nhng ch phự hp, phõn dng bi toỏn mt cỏch khoa hc hc sinh d tip thu Vic t hc ca hc sinh hin nhiờn l rt quan trng xong s hng dn, nh hng ca 18 thy giỏo lm cho kin thc c sp xp mt cỏch khoa hc, lụgic, cú h thng giỳp hc sinh d hiu, nh lõu Trong quỏ trỡnh dy hc cn to iu kin hc sinh tớch cc, ch ng, sỏng to (t mỡnh to cỏc bi toỏn tng t, t ỏnh giỏ bi lm ca nhau, yờu cu cỏc em bi cho bn lm ) vic lnh hi tri thc Bi dng kh nng t hc ca hc sinh bng vic a trc chuyờn s hc v gii thiu ti liu cỏc em nghiờn cu trc ri sau ú mi dy v gii ỏp nhng ch cha rừ 3.2 Kin ngh Trờn õy l nhng suy ngh v nhng vic m tụi ó lm nhm bi dng hc sinh gii, phỏt huy tớnh tớch cc, ch ng ca hc sinh Rt mong cỏc bn ng nghip úng gúp ý kin giỳp tụi lm tt hn cụng vic ca mỡnh Tụi xin chõn thnh cm n! XC NHN CA TH TRNG N V Th Xuõn, ngy 25 thỏng nm 2017 Tụi xin cam oan õy l SKKN ca mỡnh vit, khụng chộp ca ngi khỏc Ngi vit Th Võn 19 TI LIU THAM KHO Nõng cao v phỏt trin Toỏn V Hu Bỡnh Nõng cao v phỏt trin Toỏn V Hu Bỡnh Toỏn bi dng hc sinh lp V Hu Bỡnh, Tụn Thõn, Quang Thiu Ngun ti liu trờn Internet 20 DANH MC CC TI SNG KIN KINH NGHIM C HI NG NH GI XP LOI CP PHềNG GD&T, CP S GD&T V CC CP CAO HN XP LOI T C TR LấN H v tờn tỏc gi: Th Võn Chc v v n v cụng tỏc: Giỏo viờn Trng THCS Xuõn Giang TT Tờn ti SKKN Phỏt trin t hc sinh qua vic dng h thc Vi-ột Mt s k nng s dng BT Cụ-si tỡm GTLN, GTNN Mt s dng bi chng trỡnh hỡnh hc Kt qu Cp ỏnh ỏnh giỏ giỏ xp loi xp loi (Phũng, S, (A, B, Tnh ) hoc C) Nm hc ỏnh giỏ xp loi Phũng C 2007- 2008 Phũng C 2010-2011 Phũng B 2013-2014 21 ... Một công việc quan trọng giáo viên sau hớng dẫn học sinh giải xong toán phải giúp học sinh phát phơng pháp mà toán sử dụng, đâu điều cốt lõi, yu tố thay đổi toán để học sinh tạo tơng tự Nếu học. .. bin i t dóy s tng quỏt nh sau: 444 488 8 123 123 3 +1 Ta cú 444 488 8 89 = ncs n 1cs ncs ncs + 8. 111 1 +1 = 444 ncs ncs1 10 n 10 n 10n + +1 9 4.10 n 4.10 n + 8. 10 n + = = 2.10n + 4.10 n + 4.10... 49; 4 489 ; 44 488 9; 444 488 89; Dóy s trờn c xõy dng bng cỏch thờm s 48 vo gia s ng trc nú Chng minh rng tt c cỏc s ca dóy trờn u l s chớnh phng Gii: Vỡ dóy s trờn c xõy dng bng cỏch thờm s 48 vo