Skkn kỹ thuật vẽ hình trong bài toán tính thể tích khối đa diện

Mục lục MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: 2 Mục đích đề tài: .3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu: Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài .3 NỘI DUNG Tóm tắt lý thuyết .5 Kỹ thuật vẽ hình ứng dụng .7 2.1 Phương pháp vẽ hình chóp 2.2 Phương pháp vẽ hình lăng trụ 17 Bài tập 21 3.1 Hình chóp 21 3.2 Hình lăng trụ 22 3.3 Một số toán thi đại học – cao đẳng 23 KẾT LUẬN 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Sáng tạo học tập trình tự phát mà trình có hướng dẫn giáo viên, giáo viên khéo léo đặt học sinh vào tình nhằm khám phá lại tri thức di sản văn hóa lồi người Để làm điều đó, bên cạnh việc cung cấp nguồn tri thức cho học sinh, giáo viên phải tổ chức hoạt động dạy – học cho phù hợp với đối tượng học sinh Dạy học phát huy tính tích cực học sinh học tập mục tiêu dạy học thời đại Vì vậy, bên cạnh việc ứng dụng khoa học công nghệ vào giảng, người giáo viên cần phải giúp em học sinh hình thành kỹ bản, tư giúp cho học sinh thấy tính ứng dụng mơn học thực tế Hình học nói chung, hình học khơng gian nói riêng ngành tốn học có nhiều mối liên hệ với thực tế lại yêu cầu cao trí nhớ rèn luyện tư trừu tượng, mối quan hệ logic liên thuộc nhiều đối tượng bị che khuất biểu diễn không gian chiều làm nản lòng nhiều hệ học sinh Do vậy, giúp học sinh tư tốt giải tốt tốn hình học khơng gian, làm cho học sinh “bớt sợ” mơn hình học khơng gian hơn, u thích mơn học ln niềm trăn trở nhiều hệ giáo viên Trong toán hình học khơng gian nói chung, tốn tính khoảng cách, tính thể tích khối đa diện hay nói cách khác tốn chứa đựng yếu tố xác định đường vng góc ln tốn khó học sinh THPT, vẽ xác hình giúp cho khả làm 80% Trước yêu cầu thực tiễn vậy, qua thời gian giảng dạy mơn tốn, tơi mạnh dạn chia quý thầy cô đồng nghiệp, em học sinh u tốn kỹ thuật vẽ hình mơn hình học khơng gian Trang 2 Mục đích đề tài: Với lý trên, nhằm chia sẻ trao đổi kinh nghiệm học tập giảng dạy mơn tốn, đề tài: “Kỹ thuật vẽ hình tốn tính thể tích khối đa diện” đời nhằm góp phần vào việc nâng cao chất lượng mơn tốn nói chung góp phần vào phong trào học tập, nghiên cứu mơn hình học khơng gian em học sinh ngày có chất lượng Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Với mục đích trên, đề tài tập trung vào phân tích tốn đưa kỹ thuật vẽ hình đặc biệt trọng đến yếu tố đường cao khối đa diện nhằm giúp học sinh xác định hướng giải toán đường cao yếu tố then chốt để tính thể tích khối đa diện Trong khuôn khổ đề tài, tập vào việc phân tích vẽ hình ban đầu cho số dạng tốn cụ thể khơng sâu vào việc kỹ thuật trình bày cách giải tốn cụ thể Đề tài áp dụng cho học sinh lớp 11, chủ yếu em học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp chuẩn bị dự thi vào trường đại học, cao đẳng Phương pháp nghiên cứu: Dựa tài liệu sưu tầm toán thân sáng tác, đề tài tổng hợp lại vấn đề phục vụ cho mục đích nghiên cứu, phù hợp với thực tiễn vấn đề giảng dạy Toán trường THPT Một phần quan trọng đề tài sưu tầm, phân loại hệ thống lại toán hình học khơng gian chương trình phổ thơng trung học, số tốn đề thi tốt nghiệp THPT đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng số năm Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Do đó, đề tài mang tính thực tiễn, khoa học, đảm bảo tính sư phạm phần đóng góp vào thực tiễn dạy học Tốn bậc phổ thơng Mặc dù thân có nhiều cố gắng khơng tránh khỏi thiếu sót suy nghĩ chủ quan, tác giả mong nhận nhiều đóng góp, ý kiến từ phía q thầy giáo, em học sinh nhằm làm cho đề tài hoàn thiện hơn, đề cập khía Trang cạnh hay mà đề tài chưa thực Tác giả tiếp tục nghiên cứu bổ sung thường xuyên để đề tài ngày cập nhật, làm tài liệu hữu ích q thầy giảng dạy mơn Tốn em học sinh Trang NỘI DUNG Tóm tắt lý thuyết Ở mục này, tơi nêu vắn tắt không chứng minh số khái niệm tính chất cần thiết sử dụng vẽ hình Định nghĩa 1: Hai đường thẳng gọi vng góc góc chúng 90o Định nghĩa 2: Đường thẳng d gọi vng góc với mặt phẳng (α) d vng góc với đường thẳng a nằm mặt phẳng (α) Định lý 1: Điều kiện cần đủ để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng vng góc với hai đường thẳng cắt mặt phẳng Tính chất 1:  Cho hai đường thằng song song Mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng  Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với Tính chất 2:  Cho hai mặt phẳng song song Đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với mặt phẳng  Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với Tính chất 3: Trang  Cho đường thẳng a mặt phẳng (β) song song với Nếu đường thẳng b vng góc với mp(β) b vng góc với đường thẳng a  Nếu đường thẳng a không chứa mp(β) vng góc với đường thẳng b a // (β) Tính chất 4:  Tồn mặt phẳng (β) qua điểm A cho trước vng góc với đường thẳng d cho trước  Tồn đường thẳng d qua điểm A cho trước vng góc với mp(β) cho trước Định nghĩa 3:  Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB mặt phẳng qua trung điểm AB đồng thời vng góc với đoạn thẳng AB Do đó, điểm thuộc mặt phẳng trung trực cách hai đầu đoạn thẳng  Trục tam giác (trục đường tròn ngoại tiếp tam giác) đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, vng góc với cạnh tam giác cách đỉnh tam giác Định lý 2: (Định lý ba đường vng góc) Cho mp(β), đường thẳng b chứa (β) đường thẳng a khơng vng góc với (β) Khi đó, b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a’ a (β) Tính chất 5:  Nếu mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (β) mặt phẳng (α) vng góc với mặt phẳng (β)  Nếu hai mp(α) (β) vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng (α) vng góc với giao tuyến (α) (β) vng góc với (β)  Nếu (α) (β) vng góc với A điểm thuộc (α) đường thẳng qua A vng góc với (β) nằm (α) Trang  Nếu hai mặt phẳng (α) (beta) vng góc với vng góc với () giao tuyến (α) (β) vng góc với () Định nghĩa 3: Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy Định nghĩa 4: Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên Định nghĩa 5: Đa giác đa giác có tất cạnh góc đỉnh Tính chất 6:  Một hình chóp hình chóp đáy đa giác đường cao hình chóp qua tâm đáy  Một hình chóp hình chóp đáy đa giác cạnh bên tạo với mặt đáy góc Định nghĩa 6: Hình lăng trụ đứng có đáy đa giác hình lăng trụ Kỹ thuật vẽ hình ứng dụng Trong khn khổ khai thác yếu tố, tính chất hình vẽ để vẽ hình nhằm phục vụ cho việc chứng minh tính chất hay tính thể tích Do đó, tơi khơng sâu vào việc trình bày lời giải chi tiết cho toán cụ thể mà phân tích cách vẽ hình xác định bước vẽ hình cho tốn Đặc biệt, chun đề muốn đề cập đến số hình vẽ thường gặp chương trình tốn THPT nhằm giúp em học sinh định hướng vẽ hình giúp tư tốt việc làm tốn Hình học khơng gian gắn liền với phát triển trí nhớ tư trừu tượng, việc mơ tả đối tượng nhìn thấy hay bị che khuất, hình dung quỹ đạo chuyển động Trang đối tượng điểm, đường thẳng,… yếu tố có ảnh hưởng quan trọng đến việc học tập mơn hình học Trong bước giải tốn hình học khơng gian cơng đoạn vẽ hình quan sát hình đóng vai trị định đến việc giải hay khơng giải tốn Do vậy, hình thành kỹ vẽ hình cho học sinh yếu tố quan trọng để em học tốt mơn hình học khơng gian Đối với bước vẽ hình, tùy theo tốn thường thực theo quy tắc sau: đối tượng cong vẽ trước, phẳng vẽ sau; lớn vẽ trước, nhỏ vẽ sau Đối với bước quan sát hình, ta thực theo quy tắc: a) Hướng trực diện: Mục đích xác định đường mặt gần hay xa, nhìn thấy hay bị che khuất b) Hướng thẳng đứng: Mục đính xác định yếu tố nằm phía phía c) Hướng ngang: Mục đích xác định yếu tố bên trái bên phải d) Điền yếu tố: Độ dài, góc Trong bước quan sát hình, ta nên thực hiện: a) Xoay hình: Theo u cầu tốn, yếu tố cần xét quan sát chưa rõ hay bị che khuất Qui tắc: Xoay đáy (đối với hình chóp, lăng trụ), đặt nằm ngang (đối với lăng trụ, hình trụ) b) Tách hình: Vẽ riêng ngồi phần hình cần xét hình Qui tắc: Phẳng hóa (nếu cần tính tốn), đồng dạng (nếu quan sát hướng) Và để thuận tiện cho việc giảng dạy giáo viên ngồi cơng cụ vẽ hình truyền thống như: phấn màu, thước,… người giáo viên nên tận dụng ứng dụng khoa học công nghệ vào dạy học, ví dụ sử dụng phần mềm Cabri 3D, The Geometer’s Sketchpad,… Những công cụ giúp người giáo viên dễ dàng, thuận tiện việc mô tả thiết kế giảng Sau cách vẽ hai loại đa diện thường gặp chương trình tốn THPT 2.1 Phương pháp vẽ hình chóp Đối với hình chóp, khn khổ chun đề này, tơi xin trình bày số dạng vẽ hình có ảnh hưởng đến tốn tính thể tích học sinh lớp 12 thông qua từ dễ đến khó, có phân tích đặc điểm hình chia làm hai loại thường gặp: hình chóp có đáy tam giác hình chóp có đáy tứ giác a) Quy tắc: thực bước sau Trang Vẽ đáy phẳng, vẽ đáy không gian Xác định chân đường cao, vẽ đường cao Chọn đỉnh, nối cạnh bên Quan sát, xác định nét khuất, nét thấy b) Lưu ý: Đối với giáo viên: Nên sử dụng phần mềm vẽ hình Cabri 3D Sketchpad để mô tả nhằm:  Xoay hình cho học sinh quan sát góc nhìn khác nhau, từ hình thành cách quan sát dự đốn cách vẽ hình cho em  Thuận lợi việc chỉnh sửa yếu tố nét khuất Đối với học sinh: Các em nên vẽ nháp hình theo cách sau bút chì: Vẽ đáy phẳng tờ giấy, đặt tờ giấy mặt bàn học Lấy thước đặt vng góc với mặt bàn để mơ tả đường cao Quan sát phía, tưởng tượng cạnh bên Chọn hướng vẽ hình, vẽ vào giấy Để làm công đoạn cho tốt, học sinh cần có đầy đủ dụng cụ vẽ hình: thước, bút chì, tẩy,… Ví dụ 1: Cho cạnh bên hình chóp O.ABC đơi vng góc OA = a, OB = b, OC = c Tính thể tích khối chóp OABC Phân tích: Khơng khó khăn để ta nhận tam giác OBC vuông O OA vng góc với (OBC) O Đây ví dụ đơn giản để dựng đường cao hình chóp Vẽ hình: o Dựng tam giác OBC (vuông O) o Dựng đường thẳng Δ qua O vng góc (OAB), Δ lấy A cho góc nhìn dễ nối A với B, C o Xác định nét khuất Trang A A O A O B O B B C C C H - 1.1 Ví dụ 2: H - 1.3 H - 1.2 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng B có cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABC) a Gọi AH đường cao tam giác SAB Chứng minh AH  SC b Giả sử SC  x, BC  y, SC  z Tính theo x, y, z thể tích khối chóp S.ABC Phân tích: SA vng góc với mp(ABC) nên hình chiếu S A Vẽ hình: o Vẽ đáy tam giác ABC o Qua A, dựng đường thẳng Δ vng góc với (ABC) (H – 2.1) o Chọn Δ điểm S cho: góc nhìn hình rộng, nét khuất Và nối S với đỉnh B,C (H – 2.2) o Chuyển AC thành nét khuất (H – 2.3) S S C A S A C B B H-2.1 H-2.2 A C B H- 2.3 Trang 10 Phân tích: Vì S.ABCD hình chóp tứ giác nên chân đường cao hạ từ S tâm đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD Vẽ hình: o Xác định tâm O hình vng ABCD, kẻ đường thẳng Δ qua O vng góc với (ABCD) (H – 9.1) o Chọn S thuộc Δ cho hình có góc nhìn rộng, nét khuất Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành diện tích 3, góc hai đường chéo 600 Các cạnh bên hình chóp nghiêng với đáy góc 450 Tính thể tích khối chóp Phân tích: Gọi H chân đường cao hạ từ S xuống (ABCD) Vì cạnh SA, SB, SC, SD tạo với đáy góc 450 nên HA = HB = HC = HD hay ABCD hình chữ nhật SH trục đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABCD Vẽ hình: o Vẽ đáy ABCD xác định tâm O hình chữ nhật ABCD Qua O kẻ đường thẳng Δ vng góc với (ABCD) (H – 10.1) o Chọn S thuộc Δ cho SAH  450 (H – 10.2) o Nối S với đỉnh xác định nét khuất S B B A B A O C H - 10.1 A O O D S D H - 10.2 C D H - 10.3 C Trang 16 2.2 Phương pháp vẽ hình lăng trụ Đối với hình lăng trụ, ta thực theo bước sau: Vẽ đáy Xác định hình chiếu vng góc đỉnh đáy lên đáy Kẻ đường thẳng vng góc hình chiếu vng góc Chọn đỉnh đáy trên, nối cạnh bên thứ cạnh lại Xác định nét khuất Ví dụ 11: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, A’A = 2a, BC = 6a Lấy điểm M thuộc cạnh AD cho AM = 3MD a Tính thể tích khối chóp M.AB’C b Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C) Đây hình lăng trụ đặc biệt dễ vẽ nhất, chiều cao lăng trụ Phân tích: cạnh bên hình hộp Vẽ hình: o Vẽ đáy ABCD, dựng đường thẳng Δ qua A vuông góc với đáy (H – 11.1) o Trên đường thẳng Δ lấy A’ cho A’A = a (H – 11.2) o Xác định đỉnh lại nét khuất (H – 11.3) A' A' B' C' D' A B B A C D H - 11.1 C D H - 11.2 B A C D H - 11.3 Trang 17 Ví dụ 12: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a E, F trung điểm B’C’ C’D’ a Dựng thiết diện tạo mp(AEF) hình lập phương b Tính tỉ số thể tích hai phần khối lập phương mp(AEF) cắt Phân tích: o Bước đầu, khơng khó khăn để học sinh dựng hình lập phương o Tuy nhiên, dựng thiết diện, học sinh chọn khơng tốt góc nhìn hình bị rối có nhiều đường chồng lấn lên dẫn đến khó quan sát Do vậy, tập giáo viên cần chuẩn bị phấn màu tốt máy chiếu vẽ hình phần mềm (Cabri 3D Sketchpad) nhằm giúp học sinh quan sát hình tốt Vẽ hình: o Dựng hình lập phương o Dựng mặt phẳng (AEF) o Dựng thiết diện A B P B C C A' A' D' D D B C A' A A D D' D' N Q F F B' B' C' B' E E C' C' H - 12.1 H - 12.2 M H - 12.3 Ví dụ 13: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Gọi AM trung tuyến tam giác ABC, I trung điểm AM Biết A’I vuông góc với mặt phẳng (ABC) cạnh bên lăng trụ tạo với đáy góc 30 Tính tỉ số thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC Trang 18 Phân tích: o Đề cho chân đường cao hình lăng trụ I o Đáy lăng trụ tam giác ABC nên (IMA)  (ABC) Góc cạnh bên mặt đáy góc A ' AI  A ' AM  300 Vẽ hình: o Vẽ tam giác đáy ABC, xác định chân đường cao I trung điểm đoạn IM o Dựng đường thẳng Δ qua I vng góc (ABC), chọn điểm A’ thuộc Δ cho A ' AI  300 (H – 13.1) o Sử dụng tính chất song song để xác định đỉnh lại (H – 13.2) o Xác định nét khuất (H – 13.3) C' B' C' B' A' A' A' M B C B I M C M C I I A H - 13.1 B A H - 13.2 H - 13.3 A Ví dụ 14: (Khối B – 2009) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc đường thẳng BB’ đáy 600, tam giác ABC vuông C góc A 600 Hình chiếu vng góc B’ lên mặt phẳng (ABC) trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a Phân tích: o Hình chiếu B’ lên mp(ABC) trọng tâm tam giác ABC o Góc BB’ (ABC) B ' BG  600 Trang 19 Vẽ hình: o Dựng đáy ABC có G trọng tâm tam giác o Qua G dựng đường thẳng Δ vng góc với (ABC), Δ lấy B’ cho B ' BG  600 (h – 14.1) o Sử dụng tính chất cạnh song song để xác định đỉnh A’, C’ (H – 14.2) o Nối điểm xác định nét khuất (H – 14.3) B' B' B' C' C' A' A' C C B B G B M H - 14.1 G A H - 14.2 M G A M A H - 14.3 Ví dụ 15: (Khối A - 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB=a, AC= a hình chiếu vng góc A’ lên (ABC) trung điểm BC Tính thể tích khối chóp A’ABC tính cosin góc hai đường thẳng (AA’) (B’C’) Phân tích: o Hình chiếu vng góc A’ trung điểm M cạnh BC o Tam giác ABC vuông A nên A’M thuộc trục đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Vẽ hình: o Dựng tam giác ABC đường thẳng Δ qua trung điểm M BC đồng thời vng góc với mp(ABC) o Chọn A’ thuộc Δ cho góc nhìn rộng o Sử dụng tính chất song song cạnh lăng trụ để xác định B’, C’ o Xác định nét khuất Trang 20 A' A' A' B' C' A B M B' C' A C H - 15.1 B M A C H - 15.2 B M C H - 15.3 Bài tập 3.1 Hình chóp Bài tập Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M nằm tam giác ABC, qua M kẻ đường thẳng song song với AD, BD, CD cắt mặt (CBD), (ACD), (ABD) A1, B1, C1 Tính tỷ số : MA1 MB1 MC1   AD BD CD Bài tập Cho tứ diện ABCD Lấy M nằm tứ diện, đường thẳng AM, BM, CM, DM cắt mặt (BCD), (ACD), (ABD), (ABC) A1,B1,C1,D1 Chứng minh rằng: AM BM CM DM không    AA1 BB1 CC1 DD1 phụ thuộc vị trí M Bài tập Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cân A, BC = a, A   Các cạnh bên hình chóp nghiêng với đáy góc  Tính thể tích khối chóp cho Bài tập Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = 5a, BC = 6a, mặt bên hình chóp nghiêng với đáy góc 450 Tính thể tích khối chóp Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A D, tam giác SAD cạnh 2a, BC = 3a Các mặt bên hình chóp nghiêng với đáy Tính thể tích khối chóp Trang 21 Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, đáy lớn AB = 2a, ACB  900 , tam giác SAC SBD cạnh a Tính thể tích khối chóp Bài tập Cho hình chóp S.ABCD, M trung điểm SD, N DA kéo dài phía A cho AN = AD, P DC kéo dài phía C cho CP = CD Gọi E giao điểm MN với SA, F giao điểm MP với SC a Tính tỷ số ME MF , MN MP b Chứng minh EF//AC//NP c Giả sử tam giác MNP cạnh a, tính thể tích hình chóp cho Bài tập Cho hình nón có đáy đường trịn tâm O, đường kính AB, đỉnh hình nón S Biết tam giác SAB mặt cầu ngoại tiếp hình nón có bán kính R Tính thể tích khối nón theo R Bài tập Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, SA = SB = SC = a , AB = 2a, BC = a Tính: a Thể tích khối chóp S.ABC b Khoảng cách từ trung điểm O cạnh AC đến mặt phẳng (SBC) 3.2 Hình lăng trụ Bài tập 10 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vng A, AC = a, góc ACB  600 Đường thẳng BC’ tạo với (AA’C’C) góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ cho Bài tập 11 Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh a điểm K thuộc cạnh CC cho CK = a Mặt phẳng () qua A, K song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện Tính thể tích hai khối đa diện Bài tập 12 Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'ABC hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA' = b Gọi  góc hai mặt phẳng (ABC) (A'BC) Tính tan thể tích khối chóp A'.BB'C'C Trang 22 Bài tập 13 AA' = Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có cạnh AB = AD = a, a BAD  600 Gọi M, N trung điểm cạnh A'D' A'B' Chứng minh AC'  (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN Bài tập 14 Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cạnh a M trung điểm đoạn AA1 Chứng minh BM  B1C tính khoảng cách hai đường thẳng BM B1C Bài tập 15 Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC tam giác vng, AB = AC = a, AA1 = a Gọi M, N trung điểm đoạn AA1 BC1 Chứng minh MN đường vng góc chung AA1 BC1 Tính thể tích tứ diện MA1BC1 Bài tập 16 Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a BAC  1200 Gọi M trung điểm CC1 Chứng minh MB  MA1 tính khoảng cách d từ A đến (A1BM) Bài tập 17 AA' = Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có cạnh AB = AD = a, a BAD  600 Gọi M, N trung điểm cạnh A'D' A'B' Chứng minh AC'  (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN 3.3 Một số tốn thi đại học – cao đẳng Bài tập 18 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, AB = a, BC= a ; hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABC) trung điểm I AC, mặt phẳng (SAB) tạo với mặt phẳng đáy  (0 <  < 900) Tính thể tích khối chóp khoảng cách hai đường thẳng (AB) (SC) Bài tập 19 (Khối A - 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi M,N trung điểm cạnh SB,SC Tính theo a diện tích tam giác AMN biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC) Trang 23 Bài tập 20 (Khối B - 2012) Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H hình chiếu vng góc A lên cạnh SC Chứng minh rằng: SC  (ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a Bài tập 21 (Khối B - 2004) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy  (0 <  < 900) Tính tan góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) theo  Tính thể tích hình chóp theo a  Bài tập 22 (Khối B - 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh rằng: MN vng góc với BD tính theo a khoảng cách hai đường thẳng (MN) (AC) Bài tập 23 (Khối D - 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA=2a vng góc với đáy Gọi M, N hình chiếu vng góc A lên SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM Bài tập 24 (Khối A - 2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng đáy H thuộc cạnh AB cho HA=2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường (SA) (BC) Bài tập 25 (Khối D - 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA=a, hình chiếu vng góc S lên mặt đáy H thuộc AC AC=4.AH Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh rằng: M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC Bài tập 26 (Khối D - 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B, BA=BC=a, AD=2a Cạnh bên SA= a vng góc với đáy Gọi H hình chiếu vng góc A lên SB Chứng Trang 24 minh rằng: tam giác SCD vng tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Bài tập 27 (Khối B - 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD= a , SA = a vng góc với đáy Gọi M,N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC Chứng minh rằng: mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối ANIB Bài tập 28 (Khối A - 07) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M,N,P trung điểm cạnh SB,BC,CD Chứng minh rằng: AM vng góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP Bài tập 29 (Khối A - 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với đáy, tính thể tích khối chóp theo a Bài tập 30 (Khối A - 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M, N trung điểm cạnh AB AD; H giao CN với DM Biết SH vng góc với mặt phẳng đáy SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM tính khoảng cách hai đường thẳng (DM) (SC) theo a Bài tập 31 (Khối B - 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a, SB= a mặt phẳng (SAB) vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng (SM) (DN) Bài tập 32 (Khối D - 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng , AB = BC = a, cạnh bên AA’= a Gọi M Trang 25 trung điểm cạnh BC Tính thể tích khối lăng trụ khoảng cách hai đường thẳng (AM) (B’C) Bài tập 33 (Khối D - 2009) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm A’C’, I giao điểm AM với A’C Tính thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC) Bài tập 34 (Khối B - 2010) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a Bài tập 35 (Khối B - 2002) Cho lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a a Tính khoảng cách hai đường thẳng (A’B) (B’D) b Gọi M,N,P trung điểm cách cạnh BB’, CD, A’D’ Tính góc (MP) (C’N) Bài tập 36 (Khối B - 2003) Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc A = 600 Gọi M trung điểm AA’ N trung điểm CC’ Chứng minh rằng: B’,M,D,N đồng phẳng Tính độ dài AA’ theo a để tứ giác B’MDN hình vng Bài tập 37 (Khối D - 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.ABCD có đáy hình vng, tam giác A’AC vng cân, A’C = a Tính thể tích khối ABB’C’ khoảng cách từ A đến (BCD’) theo a Bài tập 38 (Khối D - 2003) Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với theo giao tuyến đường thẳng  Trên  lấy hai điểm A,B với AB = a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, mặt phẳng (Q) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với  AC = BD = AB Tính bán kính mặt cẩu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a Trang 26 Bài tập 39 (Khối A - 2006) Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O’, bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn tâm O lấy điểm A, đường tròn tâm O’ lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO’AB Trang 27 KẾT LUẬN Trong q trình giảng dạy, người giáo viên dạy Tốn trường THPT thường phải trả lời câu hỏi: Làm để nâng cao chất lượng mơn Tốn, đặc biệt mơn hình học? Câu trả lời thật không dễ dàng, dù cố gắng tìm cho đáp án Qua trình tìm tịi, nghiên cứu tơi mạnh dạn chia sẻ kinh nghiệm mà thân có q trình giảng dạy qua đề tài Dù chưa thực đáp ứng mong đợi tất người, hy vọng tài liệu hữu ích bạn học sinh 12 u thích mơn Tốn đồng nghiệp tơi hàng ngày, hàng tìm giải pháp giúp cho học sinh học tốt hơn, giỏi Dù đề tài khơng sâu vào việc trình bày lời giải toán cụ thể nào, qua việc phân tích thực vẽ hình giúp cho ta định hướng cách vẽ định hướng cách giải tốn sau hồn thành hình vẽ Đề tài cung cấp loạt ví dụ hình vẽ thường xuất tập, kiểm tra, thi với mức độ từ đến nâng cao nhằm giúp bạn đọc định hướng tư tương tự Một loạt tập, ví dụ tập từ sách giáo khoa hành đến đề thi tuyển sinh kỳ thi tuyển sinh ĐH – CĐ năm gần đây, điều cho thấy rằng, đề tài tài liệu bổ ích cho học sinh u thích mơn Tốn định thi vào trường ĐH – CĐ Trong trình giảng dạy trực tiếp, kể từ cung cấp cho em học sinh lớp 12 nhận nhiều ý kiến phản hồi tích cực Đó nguồn động viên to lớn giúp tơi hồn thành đề tài Mặc dù cố gắng để hoàn thành đề tài, số ý tưởng hướng khai thác mở rộng đề tài thời gian giới hạn đề tài mà tác giả chưa đề cập đến đề cập sâu như: Vận dụng kỹ thuật vẽ hình vào toán tương giao, toán thiết diện, toán khoảng cách,… hay vận dụng vào chuyên đề dành để ôn tập cho em học sinh giỏi Do vậy, tác giả mong nhận Trang 28 nhiều ý kiến đóng góp q thầy giáo, giáo, em học sinh để chuyên đề hoàn thiện hơn, trở thành tài liệu thiết thực giúp ích nhiều cho bạn học sinh quý đồng nghiệp Qua đây, xin chân thành cảm ơn quý thầy giáo tổ Tốn – Tin trường THPT Lê Hồn đọc cho tơi nhiều ý kiến quý báu, cảm ơn em học sinh lớp tơi giảng dạy giúp tơi hồn chỉnh đề tài Đức Cơ, ngày 09 tháng 03 năm 2014 Phạm Đức Mạnh Trang 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện (2006), Hình học 11, Nhà xuất giáo dục [2] Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Khu Quốc Anh, Trần Đức Huyên (2007), Bài tập Hình học 12, Nhà xuất giáo dục [3] Phạm Văn Cường, Phạm Xuân Bình (2013), Tài liệu bồi dưỡng giáo viên hè 2013 [4] Bộ giáo dục, Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng năm 2002 đến 2012 [5] Trần Phương, Bùi Minh Mẫn (2010), Tuyển tập chuyên đề Hình học, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội Trang 30 ... phân tích tốn đưa kỹ thuật vẽ hình đặc biệt trọng đến yếu tố đường cao khối đa diện nhằm giúp học sinh xác định hướng giải toán đường cao yếu tố then chốt để tính thể tích khối đa diện Trong. .. yêu toán kỹ thuật vẽ hình mơn hình học khơng gian Trang 2 Mục đích đề tài: Với lý trên, nhằm chia sẻ trao đổi kinh nghiệm học tập giảng dạy mơn tốn, đề tài: ? ?Kỹ thuật vẽ hình tốn tính thể tích khối. .. đáy đa giác hình lăng trụ Kỹ thuật vẽ hình ứng dụng Trong khuôn khổ khai thác yếu tố, tính chất hình vẽ để vẽ hình nhằm phục vụ cho việc chứng minh tính chất hay tính thể tích Do đó, tơi khơng sâu