Luận văn thạc sỹ toán một số nguyên lý và kỹ thuật để giải các bài toán tổ hợp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ MINH PHƯƠNG MỘT SỐ NGUYÊN LÝ VÀ KỸ THUẬT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ MINH PHƯƠNG MỘT SỐ NGUYÊN LÝ VÀ KỸ THUẬT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Đặng Hùng Thắng Thái Nguyên - 2017 i Mục lục Danh sách kí hiệu ii Mở đầu Chương Hệ số nhị thức hệ số đa thức 1.1 1.2 1.3 Hệ số nhị thức tính chất 1.1.1 Định lý nhị thức 1.1.2 Các đồng thức tổ hợp 1.1.3 Tam giác Pascal 11 1.1.4 Đồng thức Chu Shih-Chieh 13 1.1.5 Một số tính chất hệ số nhị thức 19 Hệ số đa thức tính chất 22 1.2.1 Hệ số đa thức 22 1.2.2 Định lý đa thức 24 Một số toán vận dụng 28 Chương Nguyên lý Dirrichlet, nguyên lý bao hàm – loại trừ, hàm sinh 38 2.1 Nguyên lý Dirichlet 38 2.2 Nguyên lý bao hàm – loại trừ 40 2.3 Hàm sinh quan hệ truy hồi 44 2.3.1 Các hàm sinh thông thường 44 2.3.2 Phân hoạch nguyên 54 Các toán áp dụng 60 2.4 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74 ii Danh sách kí hiệu Z tập hợp số nguyên N tập hợp số tự nhiên n! n
n giai thừa, xác định n! = · · · · · n r Cnr số tổ hợp chập r n phần tử deg P(x) bậc đa thức P(x) a ≡ b (mod p) a đồng dư với b theo modulo p gcd(a, b) ước chung lớn hai số nguyên a b a|b a ước b a-b a ước b bxc phần nguyên x m ∑ i=1 m ∏ bi ký hiệu tổng a1 + a2 + · · · + am ký hiệu tích b1 b2 · · · bm i=1 P(X) tập tất tập tập hợp X |A| số phần tử tập hợp A Mở đầu Trong nhiều năm tổ hợp chuyên đề lớn học viên chuyên ngành toán sơ cấp Các nguyên tắc kĩ thuật tổ hợp ngày có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác, đặc biệt khoa học máy tính Nhận thức vai trò lý thuyết tổ hợp đời sống đại nên lý thuyết tổ hợp đưa vào chương trình học phổ thơng chiếm phần kì thi tốn quốc gia quốc tế Trong chương trình bậc đại học cao học, học viên chưa có điều kiện làm quen nghiên cứu nguyên lý kĩ thuật đại số tổ hợp có khơng nhiều không sâu Mặt khác, nước ta tài liệu tổ hợp chưa nhiều Mục tiêu đề tài luận văn tìm hiểu số nguyên lý kỹ thuật để giải toán tổ hợp nâng cao như: Nguyên lý Dirrichlet Nguyên lý bao hàm loại trừ, kỹ thuật sử dụng hệ số nhị thức, hệ số đa thức, quan hệ truy hồì phương pháp hàm sinh Về mặt ứng dụng, luận văn áp dụng lý thuyết để soi sáng toán tổ hợp phổ thông, phân loại hệ thống hoá (theo dạng phương pháp giải) tập nâng cao tổ hợp sáng tác toán tổ hợp Tác giả cố gắng phấn đấu để luận văn cung cấp thêm tài liệu tham khảo tốt tổ hợp cho học sinh phổ thông, đặc biệt dành cho em học sinh có khiếu mơn tốn Tác giả hy vọng luận văn đáp ứng phần lịng u thích khám phá tốn học em học sinh đồng thời tài liệu hữu ích để bạn đồng nghiệp tham khảo Ngoài thơng qua việc viết luận văn, tác giả có hội mở rộng nâng cao hiểu biết toán sơ cấp nói chung tổ hợp nói riêng, nâng cao kỹ giải toán tổ hợp, phục vụ tốt cho việc giảng dạy mơn tốn trường phổ thơng Nội dung luận văn trình bày hai chương: Chương Hệ số nhị thức hệ số đa thức Trong chương trình bày định lí hệ số nhị thức, hệ số đa thức Các tính chất hệ số nhị thức hệ số đa thức số ví dụ vận dụng giải toán tổ hợp Chương Nguyên lý Dirrichlet Nguyên lý bao hàm – loại trừ hàm sinh Trong chương chúng tơi trình bày ngun lý bản, nguyên lý Dirichlet, nguyên lý bao hàm – loại trừ hàm sinh Một số ví dụ toán áp dụng nguyên lý Trong thời gian học tập hồn thành luận văn, tơi nhận hướng dẫn GS TSKH Đặng Hùng Thắng (Trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Cuối cùng, tác giả muốn dành lời cảm ơn đặc biệt đến gia đình động viên chia sẻ khó khăn để tác giả hoàn thành tốt luận văn Thái Nguyên, ngày 04 tháng 11 năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Minh Phương Chương Hệ số nhị thức hệ số đa thức 1.1 Hệ số nhị thức tính chất 1.1.1 Định lý nhị thức Trong phần này, chúng tơi trình bày định lý nhị thức, tính chất hệ số nhị thức ứng dụng toán tổ hợp Chúng ta bắt đầu với dạng đơn giản sau Định lý nhị thức phát Isaac Newton (1646-1727) năm 1676 Định lí 1.1.1 Với số nguyên n ≥ 0, ta có         n n n n−1 n n n n n−1 (x + y) = x + x y+···+ xy + y n−1 n n   n n−r r x y =∑ r r=0 Chứng minh thứ - Quy nạp toán học Với n = 0, kết tầm thường
(x + y)0 = = 00 x0 y0 Giả sử xảy n = k với số nguyên k ≥ đó, k   k k−r r (x + y) = ∑ x y r r=0 k Xét n = k + Quan sát thấy (x + y)k+1 = (x + y)(x + y)k k   k k−r r = (x + y) ∑ x y (bởi giả thiết quy nạp) r=0 r   k   k k+1−r r k k k−r r+1 =∑ x y ∑ x y r=0 r r=0 r         k k+1 k k k k−1 k = x + x y+ x y +···+ xyk k         k k k k−1 k k k+1 + x y+ x y +···+ xyk + y k−1 k Áp dụng (??) kết tầm thường,     k k+1 =1=1 0     k k+1 =1= , k k+1 ta có k+1 (x + y)         k + k+1 k+1 k k+1 k + k+1 k = x + x y+···+ xy + y , k k+1 điều ta cần Phép chứng minh hồn thành ngun lý quy nạp tốn học Chứng minh thứ hai - Phương pháp tổ hợp Đủ để chứng minh hệ số xn−r yr
khai triển (x + y)n nr Để khai triển tích (x + y)n = (x + y)(x + y) · · · (x + y), | {z } n ta chọn hai x y từ nhân tử (x + y) sau nhân chúng với Như vậy, để tạo thành xn−r yr , trước hết ta chọn r n nhân tử (x + y) sau chọn “y” từ r nhân tử chọn (và tất nhiên chọn “x” từ phần lại (n − r)
nhân tử) Bước thực theo nr cách cách thứ hai
cách Do đó, số cách để tạo thành xn−r yr nr 1.1.2 Các đồng thức tổ hợp Định lý nhị thức kết tốn học có nhiều ứng dụng Trong phần này, thấy Định lý 1.1.1 sinh cách dễ dàng nhiều tính chất thú vị liên quan đến hệ số nhị thức Để đơn giản so sánh, số cách chứng minh khác tính chất đưa Ví dụ 1.1.2 Chứng minh với số nguyên n ≥ 0, ta có       n   n n n n ∑ r = + + · · · + n = 2n r=0 (1.1) Chứng minh thứ Cho x = y = Định lý 1.1.1, ta có n   n ∑ r = (1 + 1)n = 2n r=0 Và điều kết thúc phép chứng minh Chứng minh thứ hai Cho X tập hợp có n phần tử P(X) tập hợp tất tập hợp X Ta đếm lực lượng |P(X)| theo hai cách
Với r = 0, 1, , n, số tập có r phần tử X nr theo định nghĩa Do       n n n |P(X)| = + +···+ n Mặt khác, ta có |P(X)| = 2n Do đó, ta có điều cần chứng minh Ví dụ 1.1.3 Chứng minh với số nguyên n ≥ 1, ta có   n r n • ∑ (−1) = r r=0         n n n n n = 0, = − + − · · · + (−1) n       n n n • + +···+ +··· = 2k       n n n = + +···+ + · · · = 2n−1 2k + (1.2) (1.3) Chứng minh Cho x = y = −1 Định lý 1.1.1, ta nhận n   n ∑ r (−1)r = (1 − 1)n = 0, r=0 mà đồng thức thứ Đồng thức thứ hai thu từ đồng thức thứ đồng thức (1.1) Nhận xét 1.1.4 Một tập A tập X khác rỗng gọi tập hợp chẵn phần tử (tương ứng lẻ phần tử) tập X |A| chẵn, tương ứng lẻ Đồng thức (1.3) nói rằng, cho trước tập n phần tử X, số tập chẵn phần tử số tập lẻ phần tử X Ví dụ 1.1.5 Chứng minh với số n ∈ N, ta có         n   n n n n n ∑ r r = + 2 + 3 + · · · + n n = n · 2n−1 r=1 (1.4) Chứng minh thứ Cho x = Định lý 1.1.1 cho ta n   n r n (1 + y) = ∑ y r r=0 Đạo hàm hai vế đồng thức theo biến y ta có n   n r−1 n−1 n(1 + y) = ∑r y r r=1 Cuối cùng, cách đặt y = 1, ta có n   n ∑ r r = n(1 + 1)n−1 = n · 2n−1 r=1 Ta có điều cần chứng minh Chứng minh thứ hai Đồng thức     n n n−1 = r r r−1 viết lại thành với điều kiện r ≥     n n−1 r =n r r−1 Do n     n  n  n−1 n n−1 ∑ r r = ∑ n r−1 = n ∑ r−1 r=1 r=1 r=1   n−1 n−1 (cho s = r − 1) =n∑ s s=0 = n · 2n−1 (bởi (1.1)) Ta có điều phải chứng minh Nhận xét 1.1.6 Mở rộng kỹ thuật sử dụng hai chứng minh trên, người ta chứng minh   n n ∑ r r = n(n + 1)2n−2, r=1   n n ∑ r3 r = n2(n + 3)2n−3 r=1 37 Lấy đạo hàm hai vế (1.42) ta (n − 1) (1 + x)n−2 + (n − 1) (n − 2)x(1 + x)n−3         n−1 n−1 n−1 n−1 = +2 x+3 x + (n − 1) xn−2 n−1 (1.43) Thay x = vào (1.43) ta có         n − n − n − n − n(n − 1)2n−3 = 12 + 22 + 32 + (n − 1) n−1 hay n   n−1 ∑ r r = n (n − 1) 2n−3 r=1 38 Chương Nguyên lý Dirrichlet, nguyên lý bao hàm – loại trừ, hàm sinh 2.1 Nguyên lý Dirichlet Trong mục này, ta dành để nghiên cứu Nguyên lý Dirichlet (Dirichlet’s principle), hay gọi chi tiết Nguyên lý ngăn kéo Dirichlet (Dirichlet’s Drawer Principle), Nguyên lý chuồng bồ câu Đây nguyên lý quan trọng để nghiên cứu tốn tổ hợp Có thể ta bắt gặp câu hỏi sau : • “Trong số nhóm từ hai người trở lên, có hai nhóm người có số lượng bạn bè nhóm”; • “Trong điểm tam giác có cạnh dài dài đơn vị, có hai điểm mà khoảng cách tối đa nửa đơn vị”; • “Với tập A số, có phần tử phân biệt A mà tổng chia hết cho 3”; • “Cho trước dãy 10 số phân biệt, tồn dãy giảm gồm số hạng dãy tăng gồm số hạng” Loại vấn đề liên quan đến tồn số lượng định, kiểu mẫu bố trí, xếp Nguyên lý chuồng bồ câu công cụ để đề cập đến toán kiểu Chúng ta thấy nguyên lý áp dụng để nghiên cứu số vấn đề tạo lớp số, gọi số Ramsey Nếu ba chim bồ câu nhốt vào hai chuồng, chắn có chuồng chứa hai chim bồ câu Một phát biểu tổng quát quan sát đơn giản này, gọi Nguyên lý Dirichlet, đưa 39 NGUYÊN LÝ DIRICHLET Cho k n hai số ngun dương Nếu có kn + đối tượng phân bố vào n hộp, hộp phải chứa k + đối tượng Nói riêng, có n + đối tượng đặt n hộp, có hộp chứa hai đối tượng Phép chứng minh Ngun lý Dirichlet dễ Nếu khơng có hộp chứa k + nhiều đối tượng, hộp phải chứa nhiều k đối tượng Điều kéo theo tổng số đối tượng đưa vào hộp n nhiều kn Đây điều mâu thuẫn Nguyên lý Dirichlet mang tên nhà toán học người Đức Peter G.L Dirichlet (1805-1859), người sử dụng để chứng minh số kết lý thuyết số Nguyên lý Dirichlet mang nội dung tầm thường; nhiên, thấy sau đây, cơng cụ hữu ích mạnh mẽ đáng ngạc nhiên chứng minh nhiều phát biểu “sự tồn tại” tốn học Ví dụ 2.1.1 Trong nhóm người, phải có người giới tính Ta xét người đối tượng Nguyên lý Dirichlet, xây dựng hai “hộp” : Hộp (1) cho giới tính nữ, hộp (2) cho giới tính nam Nếu người nhóm có giới tính nữ (tương ứng, giới tính nam), bà (tương ứng, ơng ấy) thuộc hộp (1) (tương ứng hộp (2)) Do = · + = kn + “đối tượng” đặt “hộp” (2 số n) Nguyên lý Dirichlet, tồn “hộp” chứa k + = + = “đối tượng” Như vậy, có người nhóm mà giới tính Ví dụ 2.1.2 Chứng minh tập gồm 10 điểm hình vng có cạnh có chiều dài đơn vị, có hai điểm tập hợp có khoảng cách nhiều √ Trong trường hợp này, đối tượng? Cái hộp? Đây hai câu hỏi phải hỏi trước muốn giải toán Rõ ràng ta nên hiểu 10 điểm cho tập hợp “đối tượng” Kết luận ta muốn đến tồn √ “2 điểm” từ tập hợp cho mà “gần nhau” (tức khoảng cách tối đa đơn vị) Điều “k + = 2”, tức k = gợi ý 40 nên phân chia × hình vng thành n miền nhỏ hơn, n < 10, khoảng cách √ hai điểm miền nhiều Những thảo luận cho phép thiết lập lời giải chi tiết sau Lời giải Chia hình vng kích thước × thành hình vng có cạnh dài đơn vị Giả sử A tập có 10 điểm (đối tượng) chọn từ hình vng Do điểm A chứa (ít nhất) hình vng có cạnh dài đơn vị (đây hộp), 10 > 9, Ngun lý Dirichlet, có hình vng (hộp) có cạnh dài đơn vị mà chứa điểm (đối tượng) A Giả sử hai điểm u v Dễ dàng kiểm tra khoảng cách u v không vượt độ √ √ dài đường chéo hình vng có cạnh dài đơn vị, mà 12 + 12 = Bài toán chứng minh 2.2 Nguyên lý bao hàm – loại trừ Quy tắc cộng, hai nguyên lý đếm Tổ hợp, mà ta biết viết lại dạng : Nếu A B hai tập hợp hữu hạn thỏa mãn A ∩ B = 0, / |A ∪ B| = |A| + |B| Bây giờ, câu hỏi đặt là, tương ứng với đại lượng |A ∪ B| A ∩ B 6= 0? / Nếu A ∩ B 6= 0, / đếm |A| |B|, phần tử phần giao A ∩ B đếm hai lần Do ta có |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| (2.1) Như thấy chương trước, để giải số toán đếm phức tạp, tập hợp mà phần tử liệt kê thường chia thành tập tương ứng thích hợp để Quy tắc cộng áp dụng trực tiếp Tuy 41 nhiên, nhiệm vụ chia tập thành tập rời thực tế phức tạp Công thức (2.1) cung cấp cho ta cách thức thực linh hoạt Ta thể dạng A ∪ B, A B không thiết rời nhau, ta đếm |A|, |B| và|A ∩ B| độc lập Sự “bao hàm” |A| |B| “loại trừ” |A ∩ B| công thức (2.1) tự động cho ta kết mong muốn |A ∪ B| Công thức (2.1) dạng đơn giản nguyên lý quan trọng tổ hợp, gọi Nguyên lý bao hàm loại trừ (Principle of Inclusion and Exclusion - PIE), mà ta dành để nghiên cứu phần Để bắt đầu, ta xem áp dụng công thức (2.1) cho |A ∪ B ∪C|, A, B C tập hợp hữu hạn Quan sát thấy |A ∪ B ∪C| = |(A ∪ B) ∪C| (luật kết hợp) = |A ∪ B| + |C| − |(A ∪ B) ∩C| (bởi (2.1)) = |A ∪ B| + |C| − |(A ∩ B) ∪ (B ∩C)| (luật phân phối) = |A| + |B| − |A ∩ B| + |C| −(|A ∩C| + |B ∩C| − |(A ∩C) ∩ (B ∩C)|) (bởi (2.1)) = (|A| + |B| + |C|) − (|A ∩ B| + |(A ∩C)| + |B ∩C|) +|A ∩ B ∩C| Do ta có |A ∪ B ∪C| = (|A| + |B| + |C|) − (|A ∩ B| + |(A ∩C)| + |B ∩C|) + |A ∩ B ∩C| (2.2) Trên thực tế, có kết tổng quát sau NGUYÊN LÝ BAO HÀM VÀ LOẠI TRỪ Đối với q tập hợp hữu hạn A1 , A2 , , Aq đó, với q ≥ 2, ta có |A1 ∪ A2 ∪ ∪ Aq | q = ∑ |Ai | − ∑ |Ai ∩ A j | + i=1 i< j ∑ |Ai ∩ A j ∩ Ak | i< j