Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP ÁNH xạ TRONG các bài TOÁN tổ hợp

PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP MÃ: TO06 Ánh xạ, đơn ánh, toàn ánh song ánh + Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y quy tắc đặt tương ứng phần tử x thuộc X (và một) phần tử y Y Phần tử y gọi ảnh x qua ánh xạ f kí hiệu y  f ( x) Khi người ta thường viết f : X  Y + Ánh xạ f : X  Y gọi đơn ánh với a, b thuộc X mà a  b f (a)  f (b) , tức hai phần tử phân biệt có ảnh phân biệt Từ suy ánh xạ f đơn ánh với a, b thuộc X mà f (a)  f (b) a  b + Ánh xạ f : X  Y gọi toàn ánh với y thuộc Y tồn x thuộc X cho f ( x)  y + Ánh xạ f : X  Y gọi song ánh vừa đơn ánh, vừa toàn ánh Như ánh xạ f : X  Y song ánh với y thuộc Y tồn x thuộc X cho f ( x)  y Một số kết thường dùng Cho X Y hai tập hợp hữu hạn, khác rỗng f : X  Y ánh xạ Khi ta có + Nếu f đơn ánh X  Y + Nếu f toàn ánh X  Y + Nếu f song ánh X  Y Phương pháp ánh xạ toán đếm Phương pháp ánh xạ toán đếm dựa vào ý tưởng sau: Nếu tồn song ánh từ X vào Y X  Y (với X, Y tập hữu hạn) Như để chứng minh hai tập hợp hữu hạn có số phần tử ta cần xây dựng song ánh chúng Trong nhiều trường hợp việc đếm số phần tử tập X cách trực tiếp gặp khó khăn cố gắng xây dựng song ánh từ X vào tập hợp Y dễ đếm Nếu tồn đơn ánh (hay toàn ánh) từ X vào Y X  Y (hay X  Y ) Do đơn ánh toàn ánh thường sử dụng toán liên quan đến bất đẳng thức tổ hợp Các ví dụ minh họa Ví dụ Cho tập A  1, 2, , 2n Một tập B A gọi tập cân tập số số chẵn số số lẻ Hỏi A có chứa tập cân ? Lời giải Kí hiệu X  2, 4, , 2n , Y  1,3, , 2n  1 Gọi C họ tất tập cân A D họ tập A có n phần tử Ta lập ánh xạ f từ C vào D sau: Giả sử B tập cân Kí hiệu B1 , B2 tương ứng tập số chẵn tập số lẻ B Khi đặt f ( B)  B1  Y \ B2  Do B tập cân nên B1  B2 , ta có f ( B)  B1  Y \ B2  B1  Y  B2  Y  n Suy f ( B)  D Tiếp theo ta chứng minh f song ánh + Ta chứng minh f đơn ánh: Giả sử f ( B)  f (C ) suy B1  Y \ B2   C1  Y \ C2  Vì B1 , C1 tập số chẵn, Y \ B1  , Y \ B2  tập số lẻ nên B1  C1 Y \ B1   Y \ B2  Do B1  C1 B2  C2 , hay B  C + Ta chứng minh f toàn ánh: Giả sử M  D tập A có n phần tử Kí hiệu M , M tương ứng tập số chẵn tập số lẻ M Đặt B1  M1 , B2  Y \ M B  B1  B2 Ta có B1  M1 ; B2  Y  M  n  M  M  M  M Suy B1  B2 , tức B tập cân Rõ ràng f ( B)  B1  Y \ B2   M  M  M Như ta chứng minh f song ánh Do số tập cân A số tập có n phần tử A Vậy A có tất C2nn tập cân Ví dụ (Bài toán chia kẹo Euler) Cho k, n số nguyên dương Khi số nghiệm nguyên không âm phương trình x1  x2   xk  n (1) Cnkk11 Lời giải Gọi A tập hợp tất nghiệm  x1 , x2 , , xk  phương trình (1) Gọi B tập hợp tất xâu nhị phân độ dài n  k  với n số k  số Xét ánh xạ f : A  B theo quy tắc  x1 , x2 , , xk  101 101 01 sau: Trong có x1 số liên tiếp đến số 0, sau đến x2 số liên tiếp lại đến số 0,…, cuối xk số liên tiếp Dễ dàng chứng minh ánh xạ f xây dựng song ánh nên ta có A  B Mà số xâu nhị phân độ dài n  k  với n số k  số số cách chọn k  vị trí n  k  vị trí đặt số nên ta có A  B  Cnkk11 (đpcm) Ví dụ Có cách chọn số từ 18 số nguyên dương cho hai số nguyên liên tiếp chọn Lời giải Đặt X  1;2; ;18 Gọi Giả sử a1  a2   a5 số thỏa mãn yêu cầu Xét số  b1; b2 ; b3 ; b4 ; b5    a1; a2  1; a3  2; a4  3; a5   b1 , , b5 năm số phân biệt thuộc tập B  1;2; ;14 Ngược lại với năm số phân biệt b1  b2   b5 ta xây dựng năm số  a1; a2 ; ; a5    b1; b2  1; b3  2; b4  3; b5   thỏa mãn yêu cầu toán Như ta có song ánh tập số thỏa mãn yêu cầu đến tập gồm tập phần tử B Do có C145  2002 cách chọn thỏa mãn Ví dụ Gọi số hoán vị f Cn f (i)  i  1, i  1, 2, , n Gọi En số S  1;2; ; n hoán vị f S thỏa mãn thỏa mãn f (i)  i  1, i  1, 2, , n Chứng minh En  Cn Hướng dẫn g với g (i)  n   f (n  i  1) Thiết lập song ánh f Ví dụ Cho n số nguyên dương Giả sử M tập tất số nguyên dương viết hệ thập phân có n chữ số 1, n chữ số chữ số khác; N tập tất số nguyên dương viết hệ thập phân gồm n chữ số, chứa chữ số 1, 2, 3, số số số số Chứng minh M = N Hướng dẫn Thiết lập ánh xạ f : M  N sau, với x  a1a2 anb1b2 bn  M cho ứng với y  c1c2 cn , với ci  * bi xác định theo quy tắc 1*1  1, 1*  3, 2*1  4, 2*  Ta chứng tỏ y  N Thật vậy, đặt X  i | (ai ; bi )  (2;1),1  i  n Y  i | (ai ; bi )  (1;2),1  i  n Z  i | (ai ; bi )  (1;1),1  i  n T  i | (ai ; bi )  (2;2),1  i  n Số lần số xuất số x X  Y  Z , số lần xuất số số x X  Y  T , từ suy Z  T nên số lần số số xuất y Như y  N Hơn nữa, ánh xạ f song ánh phép toán “*” xác định tương ứng – (a, b) c Vậy M = N Ví dụ Có nhóm người mà đó, cặp không quen có hai người quen chung, cặp quen người quen chung Chứng minh số người quen người Lời giải Giả sử a quen b tập người quen a b (không kể a, b) A B Mỗi người a’ thuộc A quen với người thuộc B (vì a’ b không quen nhau, họ có người quen chung a) Tương tự, người thuộc B quen với người thuộc A Vậy tồn song ánh từ A đến B, tức a b có số người quen Nếu a không quen b tồn c quen a b Khi theo lập luận bên số người quen a b số người quen c (đpcm) Ví dụ (VMO – 2002) Cho tập S gồm tất số nguyên đoạn 1;2014 Gọi T tập hợp tất tập không rỗng S Với X thuộc T, kí hiệu m(X) trung bình cộng phần tử X Tính m  m( X ) T tổng lấy theo tất tập X thuộc T Lời giải Xây dựng ánh xạ f : T  T sau: f ( X )  2015  x | x  X  , X  T Dễ dàng chứng minh ánh xạ song ánh.Rõ ràng có m( X )  m( f ( X ))  2015 Do 2 m( X )    m( X )  m  f ( X )    T 2015  m   m( X )  2015 T Ví dụ Cho m, n số nguyên lớn S tập có n phần tử Giả sử có tập A1 , A2 , , Am S thoả mãn: Với hai phần tử x, y thuộc S, có tập Ai (1  i  m) cho x  Ai , y  Ai x  Ai , y  Ai Chứng minh n  2m Hướng dẫn Gọi T tập xâu nhị phân độ dài m Xét ánh xạ f : S  T xác định theo quy tắc sau: Nếu x  S f ( x)  x1 x2 xm  T , xi  x  Ai xi  x  Ai Dễ thấy ánh xạ f đơn ánh nên suy đpcm Ví dụ Cho tập X gồm n số thực phân biệt Giả sử a1 , a2 , , ak số thỏa mãn điều kiện: u, v  X , u  v tồn (1  i  k ) cho  u   v    Chứng minh k  log3 n Lời giải Đặt B  0;1;2 Xét ánh xạ f : X  Bk cho với u  X ta lập  u1 , u2 , , uk  thỏa mãn: ui  u  ; ui  u  ; ui  u  Ánh xạ f đơn ánh Thật vậy, tồn (1  i  k ) cho u   v    , mà ui  vi i  1, , k suy u  , v   u  , v   u  , v  ( không thỏa mãn) Suy X  B k hay n  3k  k  log3 n Ví dụ 10 ( IMO 1989) Cho n số nguyên dương Một hoán vị  x1 , x2 , 1;2; tập ;2n gọi có tính chất P , x2 n  xi  xi 1  n với i  1;2; ;2n  1 Chứng minh với số nguyên dương n, số hoán vị có tính chất P nhiều số hoán vị tính chất Hướng dẫn Đặt A tập tất hoán vị 1;2; ;2n , B tập tất hoán vị 1;2; ;2n có tính chất P C tập tất hoán vị 1;2; ;2n tính chất P Ta chia số 1, 2, …, 2n thành n cặp (1 ; n), (2 ; n+1),…, (n ; 2n) Giả sử x   x1 , x2 , , xk 1, xk , xk 1, x2 n   C , giả sử xk cặp với x2n , suy k  2n  Xét ánh xạ f : C  B sau: x   x1 , x2 , , xk 1, xk , xk 1, x2n   C x '   x1, x2 , , xk 1, xk , x2 n , x2 n1, , xk 1   B Dễ chứng minh f đơn ánh, không toàn ánh (Chẳng hạn với y0   x1 , x2 , , n, 2n   B không tồn x0  C : f ( x0 )  y0 Do f không toàn ánh) Ví dụ 11 Cho n  X tập gồm 3n phần tử tập E  1, 2, , n3 Chứng minh tìm số a1 , , a9 thuộc X, đôi khác cho hệ a1 x  a2 y  a3 z   a4 x  a5 y  a6 z  a x  a y  a z   Có nghiệm nguyên  x0 ; y0 ; z0  thỏa mãn x0 y0 z0  Hướng dẫn Xắp sếp phần tử X theo thứ tự x1  x2   x3n2 Đặt       X  x1 , x2 , , xn2 , X  xn2 1 , , x2 n2 , X  x2 n2 1 , , x3n2 Xét ánh xạ f : X  X  X  E  E , (a, b, c)  b  a, c  b  Ta có X1  X  X  n6 Do a  X , b  X , c  X nên a < b < c, suy b  a  1, c  b  (b  a)  (c  b)  c  a  n3 Vì tập ảnh f tập tập A với A   m; n  | m, n  X , m  n  n3 Mà ta có n3 1 A  k  k 1 n3 (n3  1) n  Do theo nguyên lí Dirichlet, tồn ba số  , bi , ci  , i  1,2,3 cho ảnh  x0 ; y0  , nghĩa ta có bi   x0 , ci  bi  y0 ; i  1, 2,3 Chọn z0   x0  y0 z0   ci , i  1, 2,3 Do với i  1, 2,3 ta có ci x0  y0  bi z0  ci bi     ci  bi   bi   ci   Chứng tỏ hpt cho có nghiệm nguyên  x0 ; y0 ; z0  thỏa mãn x0 y0 z0  Do  X , bi  X , ci  X nên  bi  ci 1  i  Giả sử tồn  i  j  3:  a j bi   bj  a j nên bi  b j , suy ci  c j ,  , bi , ci    a j , b j , c j  , vô lí Vậy  a j , 1  i  j  Tưng tự bi  bj , ci  c j , 1  i  j  Vậy toán chứng minh Bài tập tự luyện Bài Cho tập X gồm n số nguyên dương Có cách chọn k số phân biệt thuộc X (không kể thứ tự) cho hai số nguyên liên tiếp chọn (với  k  n  k  ) Bài Chứng minh số đường ngắn lưới nguyên từ điểm A(0;0) đến điểm B(m ; n) Cmm n (với m, n nguyên dương) Bài Cho số nguyên dương n Chứng minh số cách biểu diễn n thành tổng số lẻ nhiều số cách biểu diễn n thành tổng số nguyên dương đôi khác Bài Cho n  số nguyên dương Tn số tập khác rỗng tập hợp 1;2; ;n cho trung bình cộng tất phần tử số nguyên Chứng minh Tn  n số chẵn Bài (VMO – 2012) Cho nhóm gồm cô gái, kí hiệu G1, G2, G3, G4, G5 12 chàng trai Có 17 ghế xếp thành hàng ngang Người ta xếp nhóm người cho ngồi vào ghế cho điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: 1/ Mỗi ghế có người ngồi; 2/ Thứ tự ngồi cô gái, xét từ trái qua phải, G1, G2, G3, G4, G5; 3/ Giữa G1 G2 có chàng trai; 4/ Giữa G4 G5 có chàng trai nhiều chàng trai Hỏi có tất cách xếp vậy? (Hai cách xếp coi khác tồn ghế mà người ngồi ghế hai cách xếp khác nhau) Bài Người ta xếp n nam sinh n nữ sinh thành hàng, sau tách hàng thành hai khúc cho khúc có số nam sinh số nữ sinh Gọi A số trường hợp tách hàng theo yêu cầu trên, B số trường hợp tách hàng theo yêu cầu cách Chứng minh B  A Bài Hãy tính trung bình cộng tất số n gồm 2016 chữ số thỏa mãn n 99 chữ số n thuộc 1;2;3;4;5;6;7;8 Bài (IMO – 1987) Gọi pn ( k ) số hoán vị tập 1, 2, , n có k điểm cố định Chứng minh n  k p (k )  n ! k 0 n 10 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Vũ Đình Hòa, Đặng Huy Ruận, Đặng Hùng Thắng Chuyên đề chọn lọc tổ hợp toán rời rạc NXB giáo dục 2008 [2] Tạp chí toán học tuổi trẻ, Nhà xuất giáo dục [3] Nguyễn Chiến Thắng Sử dụng ánh xạ toán tổ hợp [4] Các tài liệu từ Internet 11 [...]...TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Vũ Đình Hòa, Đặng Huy Ruận, Đặng Hùng Thắng Chuyên đề chọn lọc tổ hợp và toán rời rạc NXB giáo dục 2008 [2] Tạp chí toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất bản giáo dục [3] Nguyễn Chiến Thắng Sử dụng ánh xạ trong các bài toán tổ hợp [4] Các tài liệu từ Internet 11 ... Đặng Hùng Thắng Chuyên đề chọn lọc tổ hợp toán rời rạc NXB giáo dục 2008 [2] Tạp chí toán học tuổi trẻ, Nhà xuất giáo dục [3] Nguyễn Chiến Thắng Sử dụng ánh xạ toán tổ hợp [4] Các tài liệu từ... xây dựng song ánh từ X vào tập hợp Y dễ đếm Nếu tồn đơn ánh (hay toàn ánh) từ X vào Y X  Y (hay X  Y ) Do đơn ánh toàn ánh thường sử dụng toán liên quan đến bất đẳng thức tổ hợp Các ví dụ minh... dương) Bài Cho số nguyên dương n Chứng minh số cách biểu diễn n thành tổng số lẻ nhiều số cách biểu diễn n thành tổng số nguyên dương đôi khác Bài Cho n  số nguyên dương Tn số tập khác rỗng tập hợp