Phương pháp ghép trục trong các bài toán hàm hợp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG CÁC BÀI TOÁN HÀM HỢP MỤC LỤC Người thực hiện: Trần Trung Tình Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn MỤC LỤC Mở đầu……………………………………………………………………… 1.1 Lý chọn đề tài………………………… ……………………………….1 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………… ……………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………….1 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………………………………1 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………2 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm……………………………………2 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm………………2 2.3 Phương pháp ghép trục toán hàm hợp……………….…… g  f  u  x  2.3.1 Nguyên tắc ghép trục xét biến thiên hàm hợp …………………………………………………………………………… ……3 2.3.2 Một số toán minh họa đề thi minh họa giáo dục………………………………………………………………………………4 2.3.3 Một số toán phát triển …………………… …………………………9 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường……………………………… ……… 17 Kết luận kiến nghị………………………………………………………18 3.1 Kết luận……………………………………………………………………18 3.2 Kiến nghị………………………………………………………………… 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Khi gặp tốn cực trị, tương giao đồ thị hàm số, hàm đa thức, lượng giác học sinh vận dụng tốt phương pháp để giải toán dạng từ đến vận dụng cao Tuy nhiên gặp toán cực trị, tương giao hàm hợp hàm đa thức, lượng giác, học sinh gặp nhiều khó khăn cách phân tích giải tốn Trong năm gần đây, kì thi trung học phổ thơng Quốc gia ln xuất tốn cực trị, tương giao hàm hợp mức độ vận dụng vận dụng cao, gặp tốn học sinh khó khăn việc tìm định hướng tính tốn để đáp số khơng sử dụng máy tính cầm tay để giải toán Tài liệu “Phương pháp ghép trục toán hàm hợp” nhằm giúp cho học sinh lớp 12 rèn kỹ định hướng tìm số điểm cực trị, tương giao hàm hợp, từ khắc phục khó khăn, sai lầm gặp toán cực trị, tương giao hàm hợp Từ giúp học sinh phát huy tốt kiến thức cực trị hàm số tương giao đồ thị mà học sinh học, học sinh cảm thấy hứng thú học gặp dạng toán Tài liệu giúp học sinh học tập thuận tiện Đây tài liệu tham khảo tốt cho học sinh giáo viên để luyện thi ôn tập thi TN Trung học phổ thông Quốc gia 1.2 Mục đích nghiên cứu Từ lý chọn đề tài, từ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 12 trường THPT, với kinh nghiệm thời gian giảng dạy Tôi tổng hợp, khai thác hệ thống hoá lại kiến thức thành chuyên đề phương pháp ghép trục toán hàm hợp Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh phương pháp ghép trục để giải toán cực trị tương giao Hy vọng đề tài nhỏ đời giúp bạn đồng nghiệp em học sinh có nhìn tồn diện phương pháp ghép trục toán hàm hợp 1.3 Đối tượng nghiên cứu Cực trị tương giao đồ thị hàm số hàm hợp Nội dung nằm chương sách giáo khoa giải tích 12 Xây dựng toán cực trị hàm hợp tương giao đồ thị hàm số hàm hợp giải phương pháp ghép trục 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp: - Nghiên cứu lý luận chung - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm Cách thực hiện: - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên môn - Thông qua việc giảng dạy trực tiếp lớp khối 12 năm học - Thời gian nghiên cứu: Năm học 2020 – 2021 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thơng đặc biệt mơn tốn học cần thiết thiếu đời sống người Mơn tốn mơn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em ngại học mơn Muốn học tốt mơn tốn em phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu mơn tốn học cách có hệ thống chương trình học phổ thơng, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đích giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp toán cực trị tương giao đồ thị hàm số hàm hợp 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Chủ đề cực trị hàm số tương giao đồ thị hàm số kiến thức chương trình tốn giải tích lớp 12 Tuy nhiên cực trị hàm hợp toán tương giao hàm hợp dạng tốn khó Cực trị hàm hợp tương giao đồ thị hàm số hàm hợp nội dung thường gặp đề thi TN THPT Quốc gia mức độ vận dụng vận dụng cao Nhìn chung học vấn đề này, đại đa số học sinh (kể học sinh giỏi) thường gặp khó khăn, sai lầm sau: - Học sinh thường không định hướng cách làm Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” so với toán cực trị tương giao đồ thị hàm số học trước Học sinh không tận dụng kiểu “tư liên hệ cũ với mới” vốn có nghiên cứu vấn đề 2.3 Phương pháp ghép trục toán hàm hợp g  f  u  x  2.3.1 Nguyên tắc ghép trục xét biến thiên hàm hợp g  f  u  x  Bước 1: Tìm tập xác định hàm , giả sử ta tập xác định D   a1 ; a2  � a3 ; a4  � � an 1 ; an  Ở a1 �, an � Bước 2: Xét biến thiên u  u  x  hàm y  f  x  (Bước làm gộp bước đơn giản) � x; u  u  x  � �và Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét tương quan � � u; g  f  u  � � � Bảng thường có dịng dạng Cụ thể thành phần bảng biến thiên sau Dòng 1: Xác định điểm kỳ dị hàm u  u  x  , xếp điểm theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải, giả sử sau: a1  a2   an (xem ý 1) u  u   , i  1, , n Dòng 2: Điền giá trị i u ; u , i  1, , n  cần bổ sung điểm kỳ dị b1 , Trên khoảng  i i 1  b2 , , bk hàm y  f  x  u ; u , i  1, , n  cần xếp điểm ui , bk Trên khoảng  i i 1  theo thứ tự chẳng hạn: ui  b1  b2   bk  ui 1 ui  b1  b2   bk  ui 1 (xem ý 2) g  f  u  x  Dòng 3: Xét chiều biến thiên hàm dựa vào bảng biến thiên hàm y  f  x  cách hốn đổi: u đóng vai trị x , f  u  đóng vai trị g  f  u  x  f  x  Sau hoàn thiện bảng biến thiên hàm hợp ta thấy hình dạng đồ thị hàm g  f  u  x  Bước 4: Dùng bảng biến thiên hàm hợp giải yêu cầu đặt toán kết luận Chú ý 1: - Các điểm kỳ dị u  u  x  gồm: Điểm biên tập xác định D , điểm cực trị u  u  x  u  u  x - Nếu xét hàm dịng điểm kỳ dị cịn có nghiệm phương trình u  x   (là hoành độ giao điểm u  u  x  với trục Ox ) u  u x  dịng điểm kỳ dị cịn có số (là hồnh độ giao điểm u  u  x  với trục Oy ) Chú ý 2: - Có thể dùng thêm mũi tên để thể chiều biến thiên u  u  x  - Nếu xét hàm � - Điểm kỳ dị y  f  x  gồm: Các điểm f  x  f  x  không xác định, điểm cực trị hàm số y  f  x  - Nếu xét hàm g  f  u  x  dịng điểm kỳ dị cịn có nghiệm phương trình f  x   (là hoành độ giao điểm u  u  x  với trục Ox )  g  f u x   dịng điểm kỳ dị cịn có số (là hoành độ giao điểm y  f  x  với trục Oy ) 2.3.2 Một số toán minh họa đề thi minh họa Bộ giáo dục - Nếu xét hàm Bài (MH-BGD-L1-2020) Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau: Số nghiệm thuộc đoạn   ; 2  phương trình f  sin x    A B C D Lời giải Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống Đặt t  sin x, x �  ;2  � t � 1;1 Ta có phương trình f  t   � f  t   Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình � 1;0  t  b � 0;1 f  t   có nghiệm t  a Trường hợp 1: t  a � 1;0  Ứng với giá trị t � 1;0  phương trình có nghiệm   x1  x2     x3  x4  2 Trường hợp 2: t  b � 0;1 Ứng với giá trị t � 0;1 phương trình có nghiệm  x5  x6   Hiển nhiên nghiệm hai trường hợp khác Vậy phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn   ; 2  Cách 2: Phương pháp ghép trục  � x   � �  t�  � cos x  � � x ; � � 3 � x t  sin x �  1;1 x �   ;  ;     � Đặt f  sin x    � f  sin x    Ta có Do tổng số nghiệm phương trình cho Bài (MH-BGD-L1-2020) Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị hình g  x   f  x3  x  bên Số điểm cực trị hàm số A B C Lời giải D 11 Chọn C Cách 1: Tự luận truyền thống Từ đồ thị ta có bảng biến thiên hàm số y  f  x  sau Ta có g  x   f  x3  3x  � g �  x    3x  x  f �  x  3x  � x0 � x  2 � � 3x  x  g ' x  � � �� x3  x  a; a  �3 � � �f  x  3x   x  3x  b;0  b  � �3 x  3x  c; a  � Cho x0 � h�  x  � � � x  2 � Xét hàm số h  x   x  x � h  x   3x  x Cho Bảng biến thiên 2 Ta có đồ thị hàm số h  x   x  3x Từ đồ thị ta thấy: Đường thẳng y  a cắt đồ thị hàm số y  h  x  điểm Đường thẳng y  b cắt đồ thị hàm số y  h  x  ba điểm Đường thẳng y  c cắt đồ thị hàm số y  h  x  điểm � Như phương trình g  x   có tất nghiệm đơn phân biệt g  x   f  x  3x  Vậy hàm số có cực trị Cách 2: Phương pháp ghép trục x  2 � u�  3x  x  � � x0 � u  x  x Xét hàm số ta có Gọi a, b, c điểm cực trị hàm số y  f  x  a   b   c ta có f  a   f  c   0; f  b   Suy g  x   f  x3  x  có điểm cực trị Bài (MH-BGD-L2-2020) Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau � 5 � 0; � � �của phương trình f  sin x   � Số nghiệm thuộc đoạn A B C D Lời giải Chọn C Cách 1: Tự luận truyền thống � 5 � t  sin x, x �� 0; �� t � 1;1 � � Đặt Khi phương trình f  sin x   trở thành f  t   1, t � 1;1 Đây phương trình hồnh độ giao điểm hàm số y  f  t  đường thẳng y  � t  a � 1;0  f  t 1� � t  b � 0;1   � Dựa vào bảng biến thiên, ta có Trường hợp 1: t  a � 1;0  Ứng với giá trị t � 1;0  phương trình sin x  t có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn   x1  x2  2 Trường hợp 2: t  b � 0;1 Ứng với giá trị t � 0;1 phương trình có nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa mãn 5  x3  x4   ;2  x5  Hiển nhiên nghiệm trường hợp khác � 5 � 0; � � � � Vậy phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn Cách 2: phương pháp ghép trục � 5 � t  sin x, x �� 0; �� t � 1;1 � � Đặt Khi phương trình f  sin x   trở thành f  t   1, t � 1;1 Do tổng số nghiệm phương trình cho 2.3.3 Một số toán phát triển Bài Cho hàm số y  f  x  có đồ thị cho hình vẽ bên Hỏi phương trình f  x3  3x  1   có tất nghiệm thực phân biệt? A B C Lời giải D 11 Cách 1: Tự luận truyền thống - Dựa vào đồ thị hàm số f  x  , ta có: � � x  3x   b  b  1   � �3 �f  x3  x  1  x  3x   c  1  c  3  3 � � f  x  3x  1   � � �� �3 �f  x3  x  1  x  3x   d  d  3   � � � �3 x  3x   a  a  d   1 � Dựa vào đồ thị hàm số y  x  x  (hình vẽ đây) 10 Ta suy ra: Phương trình  1 ,   ,   phương trình có nghiệm, phương trình  3 có nghiệm nghiệm phân biệt Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt u  x  x  � � Ta có u  x   3x  3; u  x   � x  �1 BBT hàm số u  x  : �f  u   f u   �   � f  x3  3x  1   �f  u   Phương trình trở thành: y  f x u  x   x3  3x    Từ đồ thị hàm số từ bảng biến thiên hàm số ta có bảng biến thiên hàm hợp f  x  3x  1  f  u  sau: 11 Từ bảng ta thấy phương trình f  u   có nghiệm phương trình f  u   có nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm Bài Cho hàm số f  x  liên tục � có bảng biến thiên hình bên m Số giá trị nguyên tham số để phương trình f  cos x     m  f  cos x   2m 10  có nghiệm phân biệt thuộc � �  ; � � đoạn � �là A B C Lời giải D Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống f  cos x     m  f  cos x   2m  10  Ta có Đặt t  f  cos x  ta phương trình t2 � t    m  t  2m  10  � � t  m5 � 12  � � x  � cos x  � � t  � f  cos x   � �  ; � , x �� 2�� � � � � cos x  x  � � +) Với +) Với t  m  � f  cos x   m   1 � �  ; � � �thì phương � Để phương trình ban đầu có nghiệm phân biệt thuộc đoạn � �    ; �  ;0; � trình  1 có nghiệm đoạn � �khác � � x ��  ;  �� u  cos x � 1;1 � � Với Nhận xét: � � � � u �� ;1� x ��  ; � � � � � Nếu có nghiệm � 1� � � u �� 1; � x ��  ; � � � � � u  Nếu có nghiệm Do u cầu tốn xảy phương trình  1 thỏa mãn � 1� u �� 1; � f  cos x   m  � f  u   m  có nghiệm � 2� �< m 5 m Từ bảng biến thien suy < Vì m �� nên m � 1;2;3; 4;5;6 Cách 2: Phương pháp ghép trục � � x ��  ; � t  cos x �  1;1   � � Đặt x0 � t�  � sin x  � � x  � f  cos x     m  f  cos x   2m  10  Khi phương trình trở thành �f  t   f  t     m  f  t   2m  10  � � �f  t   m  13 Do phương trình f  t   có nghiệm nên u cầu tốn tương đương với