(SKKN 2022) giúp học sinh tư duy nhanh một số bài toán hàm hợp bằng phương pháp truy ngược

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT SẦM SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH TƯ DUY NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN HÀM HỢP BẰNG PHƯƠNG PHÁP TRUY NGƯỢC Người thực hiện: Nguyễn Minh Thế Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HOÁ NĂM 2022 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài .1 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu .1 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM .1 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp 2.1.2 Sự đồng biến, nghịch biến hàm số 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Đặc điểm toán 2.3.2 Bài tập hướng dẫn giải .13 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 18 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ .18 3.1 Kết luận 18 3.2 Kiến nghị 18 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong đề thi trắc nghiệm mơn Tốn THPT Quốc gia đề thi chọn học sinh giỏi có xuất câu mức độ vận dụng, vận dụng cao hàm số, đặc biệt câu hàm số ẩn Những câu đa dạng phong phú, cần đỏi hỏi linh hoạt hiểu sâu vấn đề người học Trong thực tế giảng dạy, đa số học sinh lúng túng khó chủ động gặp toán hàm ẩn, đặc biệt tốn truy ngược hàm 1.2 Mục đích nghiên cứu Các toán hàm số ẩn mức độ vận dụng cao phức tạp, điều cần có số tốn điển hình giúp học sinh có kỹ giải tốn 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trong nội dung sáng kiến kinh nghiệm, cá nhân tập số tập loại tốn truy ngược hàm có liên quan đến tính đơn điệu hàm số, số dạng hàm số ẩn thuộc chương trình Tốn THPT 1.4 Phương pháp nghiên cứu Đưa số cách giải cụ thể cho tập truy ngược hàm liên quan đến tính đơn điệu hàm số 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Trong nội dung sáng kiến kinh nghiệm có đưa số phương pháp giải cho tập loại tốn truy ngược hàm có liên quan đến tính đơn điệu hàm số NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp Nếu hàm số u  u ( x) có đạo hàm điểm thuộc khoảng K hàm số y  f (u ) có đạo hàm tương ứng u  u ( x) hàm số hợp g ( x)  f  u ( x)  có đạo hàm K g ( x)  f  u ( x)  u( x) 2.1.2 Sự đồng biến, nghịch biến hàm số Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm khoảng K - Nếu f ( x)  với x  K f ( x)  số hữu hạn điểm K hàm số f đồng biến K - Nếu f ( x)  với x  K f ( x)  số hữu hạn điểm K hàm số f nghịch biến K Trang 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Khi học học sinh gặp toán có liên quan đến tính đơn điệu sau: Câu 1: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ Đồ thị hàm số y  f ( x  x) có đồ thị hình vẽ g ( x)  f ( x  1)  x3 nghịch biến khoảng sau Hàm số A (1;1) B (;0) C (1; ) D (1;2) Lúc này, có vấn đề phát sinh học sinh cần đồ thị hàm số y  f ( x) , nhiên đề lại cho đồ thị hàm số y  f ( x  x) , điều gây khó khăn việc giải tốn 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Đặc điểm toán: Cho hàm số y  f ( x) , biết kiện hàm số y  f  u ( x)  y  f  u ( x)  Hỏi kết luận tính đơn điệu hàm số y  f  v( x ) Thơng thường tốn dạng đa số học sinh bối rối dễ rơi vào vịng luẩn quẩn giải tìm hướng giải quyết, đặc biệt dễ nhầm lẫn Lưu ý "hàm ngược" Tên gọi truy ngược hàm cho dễ hình dung, thực chất toán hàm hợp cho nhiều loại hàm hợp khác Câu 1: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ có đồ thị hàm số y  f ( x  1) hình vẽ Trang 2 Hàm số y  f (1  x ) đồng biến khoảng A (; 1) B (0;1) C (2; ) D (2;0) Hướng dẫn giải Chọn B Xét y  f (1  x ) ta có: y   f (1  x )   f (1  x ).(1  x )  2 x f (1  x ) x0  2 x   y   2 x f (1  x )      2  f (1  x )  (1)  f (1  x )   x  3 f ( x )    x  1   x  Từ đồ thị hàm số y  f ( x  1) suy , x  3 nghiệm bội chẵn Khi đó: 1  x  3  x  2   f (1  x )   1  x  1   x   1  x  x    , x   nghiệm bội lẻ Dấu y  2 x f (1  x )     ;  0; Vậy hàm số đồng biến Câu 2: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ có đồ thị hàm số y  f ( 2 x  3) hình vẽ sau Trang Hàm số y  f ( x  1) nghịch biến khoảng A (3;1) B (2; ) C (2;2) D (; 2) Hướng dẫn giải Chọn C Nhận thấy đồ thị hàm số y  f (2 x  3) cắt trục hoành hai điểm 3  x  f (2 x  3)    3  x  3 có hồnh độ x  x  nên x 1  x  f ( x  1)      x   3  x  2 Suy Bảng xét dấu f ( x  1) : Vậy y  f ( x  1) nghịch biến khoảng (2;2) Câu 3: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ Hàm số y  f (1  x) có bảng xét dấu sau  x      f (1  x ) 0 Hàm số y  f ( x  1) đồng biến khoảng A (2;0) B (; 6) C ( 4; 2) Hướng dẫn giải Chọn D Từ bảng xét dấu nhận thấy D (0; ) 1  x  f (1  x)   1  x  1  1  x  5 Từ đó: Trang x 1 1 x   f ( x  1)   x   1   x  2    x   5  x  6 Bảng xét dấu f ( x  1) :  x 2 6    f ( x  1) 0   Từ bảng xét dấu suy hàm số đồng biến ( 6; 2) (0; ) Câu 4: Cho hàm số y  f ( x) xác định có đạo hàm liên tục ¡ Hàm số y  f (3  x) có bảng xét dấu sau x  f (3  x)   1    Hàm số y  f ( x  4) đồng biến khoảng 3  3  1;    ;2  (1;2) (2;3)   A B C D   Hướng dẫn giải Chọn B 3  x  12 f (3  x )    3  x  Từ bảng xét dấu nhận thấy y   f ( x3  4)   x f ( x  4) Ta có: Từ đó: x  3 x  y      x   f ( x  4)   x   Bảng xét dấu 3x f ( x  4) :  x x f ( x  4)      Từ bảng xét dấu suy hàm số y  f ( x  4) đồng biến khoảng (;1) (2; ) Câu 5: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ Hàm số y  f ( x  x  12) có đồ thị hình vẽ Trang Hàm số g ( x)  f ( x  x) nghịch biến khoảng A (;1) B ( 1;0) C (0;2) D (2; ) Hướng dẫn giải Chọn B g ( x)   f ( x  x)   2( x  4) f ( x  x ) Ta có: x  g ( x )     f ( x  x)  Ta đặt x  t  a , ( a  ¡ ) cho f ( x  x ) trở thành f (t  4t  12), tức là: (t  a)2  8(t  a )  t  4t  12  t  (2a  8)t  a  8a  t  4t  12 2a   4  a2 a  a   12  x  t  2, Khi với t  2 f (t  4t  12)   t  1  t  x  f ( x  x)    x    x  Suy f ( x  x )  Bảng xét dấu đạo hàm hàm số g ( x)  2( x  4) f ( x  x) sau:  x     g ( x ) 0 nên g ( x)  f ( x  x) có   Trang Từ suy hàm số g ( x)  f ( x  x) nghịch biến khoảng (1;0)   g ( x)  f   x    Câu 6: Cho hàm số y  f ( x) liên tục ¡ hàm số có đồ thị hình vẽ y  f  x  m Giá trị nguyên lớn tham số m để hàm số đồng biến khoảng (6; ) A B C Hướng dẫn giải D 10 Chọn B Bảng biến thiên Ta có x  y   f  x  m     x  m   f   x  m   f   x  m  x x f  x  m  x y  f  x  m Hàm số đồng biến (6; ) f  x  m   x  (6; ) , x  (6; ) hay  , từ  x  m 1 x  m 1 m   f  x  m      m5  x  m  1  x  m  x  m 1 Vậy m  thoả mãn yêu cầu đề Câu 7: Cho hàm số y  f (2 x  4) có đạo hàm liên tục ¡ Biết hàm số g ( x)  f (2 x  4) có g (0)  có bảng biến thiên hình vẽ Trang k ( x)  f (2 x)  x  x3  3x  x  Hàm số đồng biến khoảng sau A (1;1) B (2;0) C (2;3) D (0;1) Hướng dẫn giải Chọn D   k ( x )   f (2 x)  x  x  3x  3   Ta có: k ( x)   f (2 x)  x  x  x   Xét (*) Đặt x  t  Khi đó: (*)  f (2t  4)  (t  2)  2(t  2)  3(t  2)   1  f (2t  4)  t  t  3 1 h( x)  x  x  3 Đồ thị hàm số g ( x)  f (2 x  4) hàm số sau: Trang k ( x)  f (2 x)  x  x3  3x  x  Vậy hàm số đồng biến khoảng (0;1) Câu 8: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ Đồ thị hàm số y  f ( x  x) có đồ thị hình vẽ g ( x)  f ( x  1)  x3 nghịch biến khoảng sau Hàm số A (1;1) B (;0) C (1; ) D (1;2) Hướng dẫn giải Chọn A Ta có:   g ( x)   f ( x  1)  x   x f ( x  1)  x  x  f ( x  1)  x    * Giải phương trình: x  g ( x)   x  f ( x  1)  x      f ( x  1)  x  (1)  f ( x  1) trửo thành m  ¡ x  t  m * Ta đặt , cho f (t  2t ) , tức là: (t  m)   t  2t  t  2mt  m   t  2t (*) Đồng hai vế (*) ta có m  , chọn đặt x  t  , (1) trở thành f (t  2t )  2t  Đồ thị hàm số y  f ( x  x) đường thẳng y  x  sau: Trang Từ đồ thị ta có Suy t  a, (a  2)  t  1 f (t  2t )  2t    t  b, (0  b  1)  t   x  a  1, (a  2) x  f ( x  1)  x     x  b  1, (0  b  1)  x  g ( x)  x  f ( x  1)  x  * Bảng xét dấu  x a 1  g ( x ) sau:  b 1     0 g ( x )  f ( x  1)  x3 nghịch biến (1;1) Từ suy hàm số Câu 9: Cho hàm số bậc ba y  f ( x) có bảng xét dấu sau  x  1 2      f ( x  x  2) 0 Tổng giá trị nguyên m để g ( x)  f ( x  3x  m) đồng biến (0;1) A 6 B 7 C D 9 Hướng dẫn giải Chọn D f ( x  x  2) Từ bảng xét dấu ta có: f ( x  x  2)  k ( x  2)( x  1)( x  3)( x  2) , k  x  ¡ Trang 10 f ( x  x  2)  k ( x  x  6)( x  x  2) t   Đặt t  x  x  , f (t )  kt (t  4) , k  t  f (t )    t  Vậy Mặt khác ta có g ( x)  (3 x  3) f ( x  x  m) , mà hàm số g ( x)  đồng biến (0;1) nên g ( x)  x  (0;1) 3 Vì x  (0;1) ta có 3x   nên ( x  3x  m)( x  3x  m  4)   m  x3  3x  m  Xét hàm số y  x  3x (0;1) , ta có bảng biến thiên sau:  m  2   4  m  2 m    Do m  x  3x  m  Vì m nguyên nên m   4; 3; 2 , tổng giá trị nguyên m thoả mãn 9 Câu 10: Cho hàm số f ( x) g ( x) xác định liên tục ¡ , g ( x)  f (3  x) có đồ thị hình vẽ sau Trang 11 Số giá trị nguyên tham số m   10;10 để hàm số y  f  x   m đồng biến khoảng (6;0) A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Nhận xét: Nếu ta xem t   x từ đồ thị ta nhận biến thiên hàm số y  f ( x) Vì ta giải sau: Đặt t   x , ta có: Đặt u  x   m , khoảng (6;0) hàm số u  x   m nghịch biến u  (m  2; m  8) , toán trở thành f (u ) nghịch biến m   3   m    m    m  (  m  2;  m  8) , từ  Do m nguyên m   10;10 nên m   7;8;9;10 Câu 11: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ Đồ thị hàm số y  f (1  x) cho hình vẽ Trang 12 Số giá trị nguyên tham số m  ( 2021;2021) để hàm số g ( x)  f x  x   m  nghịch biến khoảng (2;4) A 2018 B 2019 C 2020 D 2017 Hướng dẫn giải Chọn A Nhận xét: Nếu ta xem t   x từ đồ thị ta nhận biến thiên hàm số y  f ( x)   Vì ta giải sau: Đặt t   x , ta có: u  x2  x   m  Đặt u  x2  4x   m  , khoảng (2;4) hàm số nghịch biến u  ( m; m  4) , toán trở (m; m  4) , đồng biến từ f (u ) thành m   1  m  m    m   Do m nguyên m  (2021;2021) nên m   3;4; ;2020 Trang 13 2.3.2 Bài tập khơng có hướng dẫn giải Bài tập 1: Cho hàm số y  f (3  x) xác định liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Hàm số g ( x)  f ( x  x  2) nghịch biến khoảng  1 1  0;  ;      A (; 1) B (1;2) C   D  Bài tập 2: Cho hàm số y  f ( x) xác định ¡ có đồ thị hàm số y  f ( x  2) hình vẽ Hàm số y  f (1  x) đồng biến khoảng A (0;1) B (2;6) C (2;2) D (6; ) Bài tập 3: Cho hàm số y  f ( x) xác định ¡ có đồ thị hàm số y  f (3  x ) hình vẽ Trang 14 Tổng tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y  f ( x  x  m)  2020m2  đồng biến (2;0) A 14 B 16 C 15 D 13 Bài tập 4: Cho hàm số y  f ( x) xác định ¡ có đồ thị hàm số y  f (2  x) hình vẽ Có giá tri nguyên tham số m để hàm số y  f x2  2x   m đồng biến khoảng (1;3) A B C D Bài tập 5: Cho hàm số y  f ( x) liên tục ¡ có đồ thị hàm số y  f (1  x) hình vẽ   Khi hàm số y  f ( x  2)  2022 đồng biến khoảng A ( 1;0) B (0;2) C (3;  ) D (;0) Bài tập 6: Cho hàm số y  f ( x) liên tục ¡ có đồ thị hàm số y  f (3  x ) hình vẽ Trang 15 Hàm số y  f ( x  1) đồng biến khoảng  3  0;  (5;6) (1;9) (7;9) A B C D   Bài tập 7: Cho hàm số y  f ( x) liên tục ¡ có đồ thị hàm số y  f (2  x) hình vẽ Số giá trị nguyên tham số m để hàm số y  f ( x  x   m) đồng biến khoảng (3;4) A B C D Bài tập 8: Cho hàm số y  f ( x) có bảng xét dấu f ( x  1) sau  x  2      f ( x  1) 0 Hàm số y  f ( x) nghịch biến khoảng A (2;2) B (2;5) C (5;10) D (10; ) Bài tập 9: Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị hàm số y  f (2 x  1) hình vẽ Trang 16 1 g ( x)  f ( x)  x  x đồng biến khoảng Hàm số A (; 3) B (3;0) C (1;4) D (4; ) Bài tập 10: Cho hàm số y  f (1  x) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ sau y  f ( x  x  2) đồng biến khoảng Hàm số  3       ;    ;1   ;0      A B C   D (0;1) Bài tập 11: Cho hàm số y  f ( x) , y  g ( x) liên tục có đạo hàm ¡ , g ( x )   f ( x  2)   hàm số bậc ba có đồ thị hình hàm số vẽ Hàm số y  f ( x  2)  x  x  x  2022 nghịch biến khoảng A (   1) B (0;1) C (1;2) D (2; ) Bài tập 12: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ Đồ thị y  f (2 x  1) hình vẽ Trang 17 Có số nguyên m   10;10 để g ( x)  f ( x  m) đồng biến (1; ) A B 13 C 14 D Bài tập 13: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ Đồ thị hàm số y  f ( x  x) hình vẽ g ( x)  f ( x  4)  x3  2022 Hàm số nghịch biến khoảng sau A (0;3) B (3;5) C (2;3) D (4;6) Bài tập 14: Cho hàm số y  f ( x  1) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Hàm số A (0;1) g ( x)  f   e x  nghịch biến khoảng (0;2) B C (1; ) D (1;0) Trang 18 Bài tập 15: Cho hàm số đa thức y   f ( x  x )  có đồ thị hình vẽ Hàm số g ( x)  f (3  x) đồng biến khoảng A (1;3) B (3;  ) C (0;3) D (3;8) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Việc đưa số toán hàm hợp liên quan đến tính đơn điệu giúp cho học sinh có góc nhìn mẻ loại tốn này, làm tăng tính phản xạ học sinh giải tốn Ngồi ra, tạo số tập tương tự phát triển tập lên mức vận dụng cao KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Với tập hàm hợp liên quan đến tính đơn điệu có tác động tích cực đến hình thành phát triển tư học sinh Thể rõ số tốn hàm hợp có liên quan đến tính đơn điệu hàm số Từ giúp học sinh tự tin giải lớp tập 3.2 Kiến nghị Sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tiếp cận tốt kiến thức, muốn chia sẻ với quý thầy cô đồng nghiệp số kinh nghiệm mà thân tích lũy nhiều năm giảng dạy Hy vọng qua sáng kiến kinh nghiệm quý thầy cô giảng dạy lồng ghép sử dụng vào giảng mình, để tiết dạy trở nên đơn giản dễ hiểu cho học sinh XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2022 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Trang 19 Nguyễn Minh Thế Trang 20 Tài liệu tham khảo [1] Tham khảo số tài liệu mạng internet - Nguồn: https://toanmath.com/ - Nguồn: https://www.facebook.com/ [2] Đề thi thử số trường nước  ... số học sinh lúng túng khó chủ động gặp tốn hàm ẩn, đặc biệt toán truy ngược hàm 1.2 Mục đích nghiên cứu Các tốn hàm số ẩn mức độ vận dụng cao phức tạp, điều cần có số tốn điển hình giúp học sinh. .. luận Với tập hàm hợp liên quan đến tính đơn điệu có tác động tích cực đến hình thành phát triển tư học sinh Thể rõ số tốn hàm hợp có liên quan đến tính đơn điệu hàm số Từ giúp học sinh tự tin... tính đạo hàm hàm số hợp Nếu hàm số u  u ( x) có đạo hàm điểm thuộc khoảng K hàm số y  f (u ) có đạo hàm tư? ?ng ứng u  u ( x) hàm số hợp g ( x)  f  u ( x)  có đạo hàm K g ( x)  f  u ( x)