(SKKN 2022) HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TIỄN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TIỄN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ Người thực hiện: Trịnh Đình Chiến Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HỐ NĂM 2022 MỤC LỤC Nội dung Trang Mục lục 1.MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng ………………… 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm biện pháp tiến hành……… 2.3.1 Các bước toán ứng dụng đạo hàm thực tế 2.3.2.Một số toán ứng dung đạo hàm để giải toán thực tế 2.3.2.1 Bài toán 2.3.2.2 Bài toán 2.3.2.3 Bài toán 2.3.2.4 Bài toán 2.3.2.5 Bài toán 2.3.2.6 Bài toán 2.4 Hiệu biện pháp hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường………….……….….….…… 2.4.1 Đối với thân………………… ……….…….….….… 2.4.2.Đối với học sinh…………………… ………….….… … 2.4.3 Đối với đồng nghiệp nhà trường……………….….… KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ………………………………… 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị 1 2 3 3 4 11 12 13 16 16 16 16 17 17 18 19 Tài liệu kham khảo MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Việc đổi phương pháp dạy học vấn đề cấp bách, thiết thực nhằm đào tạo người có lực hoạt động trí tuệ tốt Đổi phương pháp dạy học không giảng lí thuyết, mà q trình luyện tập Luyện tập ngồi việc rèn luyện kỹ tính tốn, kỹ suy luận mà thơng qua qua cịn giúp học sinh biết tổng hợp, khái quát kiến thức học, xếp kiến thức cách hệ thống, giúp học sinh vận dụng kiến thức học vào giải tập cách động sáng tạo Về mặt phương pháp, từ phương pháp dạy truyền thống phương pháp dùng lời (thuyết trình, đàm thoại ), phương pháp trực quan, phương pháp thực hành, luyện tập đến xu hướng dạy học đại như: dạy học giải vấn đề, lý thuyết tình huống, dạy học phân hóa, dạy học có hỗ trợ cơng nghệ thơng tin, có sử dụng máy tính tạo khơng khí học tập hoàn toàn Một vấn đề đổi chương trình giáo dục phổ thơng đổi phương pháp dạy học, có đổi phương pháp dạy học Tốn trường phổ thơng Việc đổi phương pháp dạy học Tốn nhằm phát huy tính tích cực học sinh, qua khai thác tính chủ động tiếp thu khám phá tri thức em, tạo hứng thú học tập Với tinh thần đó, tơi có đổi mặt phương pháp để phù hợp với giáo dục giai đoạn Trong trình giảng dạy trường THPT Hàm Rồng dự nhiều tiết dạy đồng nghiệp, trực tiếp bồi dưỡng học sinh ôn thi vào Đại học, Cao đẳng trước thi THPT Quốc Gia, nhận thấy việc phát huy trí lực học sinh cịn nhiều hạn chế Nhiều toán kỳ thi THPT Quốc Gia, thi HSG áp dụng kiến thức thêm chút sáng tạo giải được, đa số em gặp khó khăn Tơi thấy rằng, việc dạy học theo hướng khuyến khích tư sáng tạo tìm mối liên hệ linh hoạt phần kiến thức cần quan tâm hơn, đặc biệt việc bồi dưỡng HSG, bồi dưỡng học sinh ôn thi THPT Quốc Gia, thi ĐGNL-ĐGTD giai đoạn trường phổ thông việc làm cần thiết Trong chương trình Tốn THPT học sinh thường gặp nhiều toán phương pháp tối ưu Như vấn đề đặt làm để giải tốt loại toán này? Để trả lời câu hỏi thân học sinh cần có kiến thức nắm vững kỹ giải toán Song hiểu theo cách nói lẽ, để giải tốt loại toán lại vấn đề không dễ Khi làm tập dạng đa số học sinh cịn gặp nhiều khó khăn, lời giải thường thiếu chặt chẽ dẫn đến khơng có kết tốt, có kết khơng cao Với đặc điểm vừa nêu, nghiên cứu, tìm tịi qua nhiều tài liệu, suy nghĩ nhiều giải pháp với mong muốn giúp em học sinh tiếp cận tốn tối ưu cách đơn giản, nhẹ nhàng đảm bảo yêu cầu cần thiết nội dung này, giúp học sinh có nhìn cụ thể, rõ ràng vấn đề khó trường phổ thông, chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải số toán thực tiễn phương pháp sử dụng đạo hàm hàm số” 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trình bày đề tài thông qua hệ thống tập Hướng dẫn học sinh giải toán số tình cụ thể Bồi dưỡng cho học sinh kỹ giải toán khả sáng tạo tư 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Rèn luyện cho học sinh biết cách vận dụng phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ trường phổ thơng Phân loại dạng tốn thường gặp chương trình theo chuẩn kiến thức kĩ kì thi THPT, thi HSG, thi ĐGNL-ĐGTD 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Tôi sử dụng tổng hợp phương pháp sau: Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu Sách giáo khoa, Sách tập, Sách tham khảo, đề thi THPT, đề thi HSG tài liệu liên quan Phương pháp điều tra thực tiễn: Dự đồng nghiệp, quan sát việc dạy học phần tập Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành tập thể lớp Phương pháp thống kê 2 NỘI DUNG 2.1 CỞ SỞ LÝ LUẬN Muốn giải toán ta thường thực bước: Bước 1: Huy động kiến thức: Là thao tác tư nhằm tái kiến thức có liên quan với toán, từ lý thuyết, phương pháp giải, toán gặp, người làm tốn phải biết cần biết ý tưởng kiểu như: ta gặp toán gần gũi với toán hay chưa? Bước 2: Tổ chức kiến thức: Là tổ hợp hành động, thao tác để xếp kiến thức biết yêu cầu toán lên hệ với để từ trình bày tốn theo thể thống Có nhiều cách lựa chọn cho việc tổ chức kiến thức mà phương pháp tương tự hay tổng quát hóa thao tác tư cần thiết cho người làm toán 2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Thông qua lớp giảng dạy 12C5, 12C6, 12C12 tiết dự lớp khác với đánh giá nhận xét từ đồng nghiệp trường THPT Hàm Rồng, thấy học sinh ngại học tốn thực tế có liên quan tới tính tối ưu, học sinh sợ tốn mà có sử dụng bất đẳng thức Từ thực trạng tiến hành đưa cho học sinh phương pháp dùng đạo hàm để giải số toán tối ưu, thơng qua học sinh mức độ trung bình giải 2.3 CÁC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VÀ BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH 2.3.1 CÁC BƯỚC CỦA BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG THỰC TẾ Qua tìm hiểu, tổng hợp phân tích, tác giả nhận thấy tốn thực tế liên quan đến việc sử dụng đạo hàm chia thành phần lớn: Một là, toán thực tế mơ hình hóa hàm số tốn học Qua ví dụ minh họa sau đây, tác giả cho bạn đọc dạng tốn thường gặp gì? Các lĩnh vực khoa học khác ứng dụng đạo hàm việc giải toán mà họ đặt ra? Hai là, tốn thực tế mà mơ hình thực tiễn chưa chuyển mơ hình tốn học Như biết, để ứng dụng đạo hàm hàm số trước tiên ta phải “thiết lập hàm số” Như ta mơ tả quy trình mơ hình hóa Hình sau mơ tả q trình việc mơ hình hóa toán học cho tượng thực tế Bài tốn thực tế Đưa vào cơng thức Mơ hình tốn học Giải Kết luận tốn học Giải thích cho thực tế Dự đoán cho vấn đề thực tế Kiểm tra lại Ta cụ thể hóa bước q trình mơ hình hóa sau: Bước 1: Dựa giả thiết yếu tố đề bài, ta xây dựng mơ hình Tốn học cho vấn đề xét, tức diễn tả “dưới dạng ngôn ngữ Tốn học” cho mơ hình mơ thực tiễn Lưu ý ứng với vấn đề xem xét có nhiều mơ hình tốn học khác nhau, tùy theo yếu tố hệ thống mối liên hệ chúng xem quan trọng ta đến việc biểu diễn chúng dạng biến số, tìm điều kiện tồn chúng ràng buộc, liên hệ với giả thiết đề Bước 2: Dựa vào kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế kinh tế, đời sống khoa học kỹ thuật Vật lý, Hóa học, Sinh học, … Ta thiết lập hồn chỉnh hàm số phụ thuộc theo biến nhiều biến (Ở nội dung xét ta xét với tình biến) Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm hàm số để khảo sát giải tốn hình thành bước Lưu ý điều kiện ràng buộc biến số kết thu có phù hợp với toàn thực tế cho chưa 2.3.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN THỰC TẾ 2.3.2.1 Bài toán Từ lớn hình chữ nhật có kích thước a × b với a < b Người ta cắt bỏ hình vng góc gị thành hình hộp chữ nhật khơng có nắp Một cạnh hình vng cắt phải để hình hộp tích lớn nhất?  Phân tích • Trước tiên, với câu hỏi tốn ta nên đặt x cạnh hình vng cắt Như ta cần tìm điều kiện giới hạn biến số x Do cạnh nhôm sau bị cắt trở thành a − 2x > ⇒ x < nên ta có < x < a a • Và đồng thời ta có cạnh nhơm cịn lại b − 2x > Đến ta cần thiết lập cơng thức tính thể tích khối hộp V = x(a − 2x)(b − 2x) • Bài tốn trở thành tìm max V(x) = ?  a x∈ 0; ÷  2 Mời bạn đọc xem lời giải! Hướng dẫn giải • Gọi x cạnh hình vng cắt đi, ta phải có điều kiện < x < a Khi thể tích hình hộp V = x(a − 2x)(b − 2x) = 4x − 2(a + b)x + abx = V(x) • Bài tốn trở thành tìm max V(x) = ?  a x∈ 0; ÷  2 Đạo hàm V ' = f '(x) = 12x − 4(a + b)x + ab Ta có ∆ ' = 4(a + b) − 12ab = 4(a − ab + b ) > với a, b Do ∆ ' = lng có hai nghiệm phân biệt x1 = a + b − a − ab + b a + b + a − ab + b < x2 = 6 a+b   x1 + x = > Theo định lý Vi-et, ta có   x x = ab >  12 Suy < x1 < x Hơn nữa, ta có a a a V '  ÷ = f '  ÷ = a − ab = a(a − b) < Do < x1 < < x 2 2 2 Bảng biến thiên x V '(x) x1 + Max V(x) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy V đạt giá trị lớn a − x = x1 = a + b − a − ab + b  Bình luận: Qua toán bày ta cần lưu ý: Một là, khâu tìm điều kiện cho biến cần đặt quan trọng Chúng ta không nên ghi x > theo cách hiểu số đo đại số số dương Hai là, khơng thuộc cơng thức tính thể tích khối hộp xem tốn khơng thể giải tiếp Điều đòi hỏi người giải phải biết cách vận dụng kiến thức học vào toán thực tế Ba là, việc giải nghiệm từ phương trình V '(x) = lập bảng biến thiên V(x) không đơn giản chút nào, địi hỏi người giải phải có kỹ tốt biến đổi đại số 2.3.2.2 Bài toán Tìm chiều dài bé thang để tựa vào tưởng mặt đất, ngang qua cột đỡ cao 4m, song song cách tường 0,5m kể từ gốc cột đỡ A Xấp xỉ 5, 4902m B Xấp xỉ 5, 602m C Xấp xỉ 5,5902m D Xấp xỉ 6,5902m  Phân tích • Trước tiên, ta minh họa mơ hình hình vẽ sau Để xác định độ dài ngắn AC ta thử suy nghĩ xem nên phân tích độ dài AC theo hướng nào? Để từ định hướng cách đặt ẩn thích hợp Đối với hình vẽ quan hệ cạnh, ta nhận thấy có hướng phân tích tốt là: hướng thứ phân tích AC = AB2 + AC2 hướng thứ hai AC = AM + MC • Nếu phân tích theo hướng thứ nhất, ta thử đặt HC = x > , đến cần tính AB theo x lập hàm số f (x) biểu diễn MH = độ dài AC Nhưng cách đây?  → Ta sử dụng đến quan hệ tỉ HC MH x lệ định lý Thales thuận (MH / /AB) nên ta có: BC = AB = x + 0,5 Bài toán trở thành tìm f (x) = ? • Nếu phân tích theo hướng thứ hai, ta đặt HC = x > ta biểu diễn độ dài AC = P(x) + Q(x) (việc khảo sát hàm khơng đơn giản chút nảo) Do ta chuyển hướng sang tìm quan hệ góc cạnh tam giác nhận thấy α = R MCH = R AMK Đến ta thấy hướng phân tích tiếp hồn tồn thuận lợi MC = MH sin α AM = MK cos α Khi tốn trở thành tìm g(α) = ? Hướng dẫn giải • Đặt HC = x > ⇒ BC = x + 0,5 Theo định lý Thales ta có Do ta có AB = HC MH x = = BC AB x + 0,5 4(x + 0,5) x 16(x + 0,5) Do ∆ABC vuông B ⇒ AC = AB + BC = (x + 0,5) + x2 65 x + 0,5 ) ( x + 16 ) x + x + x + 16x + ( • Hay AC = Đặt f (x) = (x > 0) x2 x2 Bài toán trở thành tìm f (x) = ? với x > 2 2 65 65      4x + 3x + x + 16 ÷x − 2x  x + x + x + 16x + ÷ Ta có f '(x) =     x 2x + x − 16x − ⇔ f '(x) = x3 x = > Cho f '(x) = ⇔ (x − 2)(2x + 1)(x + 2x + 4) = ⇔  x = − < 0(loai)  Lập bảng biến thiên ta có: x f '(x) − f(x) f(2) +∞ + f (x) = f (2) = Dựa vào bảng biến thiên ta có x >0 Do ta có AC = 125 125 5 = ≈ 5,5902 Đáp án C  π Cách khác: Đặt x = R ACB ∈  0; ÷  Khi ta có AC = AM + MC = Đặt g(x) = g '(x) = 2 KM MH + = + cos x sin x cos x sin x g(x) = ? + Bài toán trở thành tìm x∈ 0; π ÷ cos x sin x  2 −8cos3 x + sin x , g '(x) = ⇔ tan x = ⇔ x o = acr tan(2) ≈ 63o 26 '6 '' 2 2sin x cos x g(x) = g(x o ) ≈ 5,5902m Lập bảng biến thiên ta suy ACmin ⇔ x∈ 0; π ÷  2 Đáp án C  Bình luận: Qua tốn ta cần lưu ý: Một là, thật dù giải theo cách nào, ta gặp phải số khó khăn định giải tìm nghiệm phương trình f '(x) = hay g '(x) = Dựa theo cách thi trắc nghiệm ta thử phương án từ đáp án để tìm nghiệm (bằng chức CALC máy tính cầm tay) sau kiểm tra qua f '(x) = hay g '(x) = Hai là, việc sử dụng “ứng dụng đạo hàm” để tìm GTLN – GTNN hàm số này, ta vận dụng bất đẳng thức Giả sử đặt 1  AB = b, BC = a  b > 0, a > ÷ 2  x a y b Dựng hệ trục Bxy (BC ⊂ Bx, BA ⊂ By) Ta có AC : + =   Khi M  ; ÷∈ AC ⇒ + = 2a b 2  1 2 Bài toán trở thành tìm AC = ( a + b ) thỏa + =1 ,a > ,b > 2a b (việc giải tiếp xin dành cho bạn đọc!) 65 x + 16x + 16    65  Ba là, ta có: f (x) = =  x + ÷+  x + ÷+ x x  x   Cauchy 8 x x 65 65 125 ⇒ f (x) = x + + + + + + ≥ 3.4 + + = 42 43 x 4 4 2x 43x x + x3 + ≥ 3 82 ≥3 Dấu “=” xảy x = 2.3.2.3 Bài toán Cần phải xây dựng hố ga, dạng hình hộp chữ nhật tích V ( m3 ) khơng đổi, hệ số k > cho trước (k tỉ số chiều cao hố chiều rộng đáy) Hãy xác định kích thước đáy để xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?  Phân tích: • Với thể tích V cho trước quan hệ chiều rộng đáy chiều cao hình hộp ta hồn tồn biểu diễn độ dài theo biến • Như ta cần hiểu yêu cầu toán “tiết kiệm nguyên vật liệu gì?” Đó cho phần bao phủ bên ngồi hình hộp có diện tích nhỏ hay diện tích tồn phần khối hộp nhỏ Hướng dẫn giải • Gọi x, y (0 < x < y) chiều rộng chiều dài đáp hố ga Gọi h chiều cao hố ga (h > 0) • Theo đề ta có h = kx V = hxy ⇒ y = V V = hx kx Để tiết kiệm ngun vật liệu ta cần tìm kích thước cho diện tích tồn phần hố ga nhỏ Khi ta có: Stp = 2xh + 2yh + 2xy = 2x(kx) + 2(kx) V V + 2x 2 kx kx  k +1   k +1  2 V 2 V ÷ Suy S = 2kx +  k  Xét hàm số f (x) = 2kx +  k ÷ x x Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ f(x) với x >  k +1  2 (k + 1)V ÷V 2k x − (k + 1)V , cho f '(x) = ⇔ x o = >0 k   f '(x) = 4kx − =2 2k 2 x kx Lập bảng biến thiên ta có x f '(x) +∞ xo − + f(x) f (x o )  (k + 1)V  ÷ 2k ÷   f (x) = f  Dựa vào bảng biến thiên ta có x >0 Khi y = 4kV k(k + 1)V h = (k + 1)  Bình luận: Qua toán ta cần lưu ý: Một là, ta sử dụng bất đẳng thức để tìm Stp  k +1   k +1   k +1  2  ÷V  ÷V ÷V 2(k + 1)V k  k  k     = 2kx + + ≥ 33 Stp = 2kx + x x k x  k +1  V Khi dấu “=” xảy 2kx =  k ÷ ⇒ x = x (k + 1)V 2k Hai là, từ ba kích thước cho trước thỏa yêu cầu toán ta đến quan hệ tỉ  (k + 1)V x = 2k   4kV 2kx 2h ⇒y= = lệ chúng  y = (k + 1) k +1 k +1    h = k(k + 1)V  Ba là, từ toán giữ nguyên giả thiết V = const thay thể y = kx hay h = ky (k tỉ số kích thước hình hộp) liệu tốn có thay đổi? Câu trả lời kết tương tự ta khảo sát với h = kx Do  V = const 2kx 2y x,y,h =? → Stp = ? ⇔ h = = k +1 k +1  y = kx, k > Nếu   V = const 2ky 2h x,y,h =? → Stp = ? ⇔ h = = k +1 k +1  y = ky, k > Nếu  Bài tập tương tự Cần phải xây dựng hố ga có dạng hình hộp chữ nhật tích V ( m3 ) , có chiều cao gấp lần chiều rộng cạnh đáy Hãy xác định kích thước đáy để xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất? Hướng dẫn giải Gọi x, y, h chiều rộng, chiều dài chiều cao hình hộp  V = kxy 6x 2h x,y,h =? → Stp = ? ⇔ y = = 4  y = 3x, k > Dựa vào tốn 3, ta có  Như chiều cao gấp lần chiều dài hình hộp 2.3.2.4 Bài toán 4: Giả sử bạn chủ xưởng khí vừa nhận đơn đặt hàng thiết kế bồn chứa nước hình trụ có nắp với dung tích 20 lít Để tốn nguyên vật liệu nhất, bạn chọn giá trị cho độ cao bồn nước giá trị đây? A 0,3 mét B 0,4 mét C 0,5 mét D 0,6 mét Phân tích : Ta đặt số câu hỏi định hướng sau : Một Làm để tốn nguyên vật liệu ? Hai là, tổng qt tốn lên khơng ? Ta nhận thấy để tốn ngun liệu diện tích xung quanh phần vỏ bao bên ngồi bồn chứa nước với diện tích đáy nắp phải nhỏ Hay xác ta cần tìm diện tích xung quanh nhỏ ứng với thể tích mà đề cho Mà ta biết Stp = S xq + 2Sday = 2π rh + 2π r (với r, h bán kính đáy chiều cao bồn nước hình trụ) Ta nhận thấy diện tích phụ thuộc theo biến r h Và đến ta hiểu đề lại cho sẵn dung tích V = π r h = const tức cho mối liên hệ bán kình đáy r chiều cao h hình trụ Từ V = πr h ⇒ h = V πr Như ta cso thể tìm Stp phụ thuộc theo biến r h Và ta thấy nên tổng quát toán lên thành V = const thay xét riêng lẻ trường hợp V = 20 (lít) Hướng dẫn giải Gọi r, h (r,h>0) bán kính đáy chiều cao khối trụ Khi ta có V = πr h ⇒ h = V πr Để tốn nguyên vật liệu nhất, ta cần tìm r cho diện tích tồn phần khối trụ nhỏ 2 Do Stp = 2πr + 2πrh = 2πr + 2πr Xét hàm số f ( t ) = r + Ta có: f ' ( r ) = 2r − V f ( r) = ? Bài toán trở thành tìm r >0 πr V V 4V , f '( r) = ⇔ r = ⇒h= πr 2π π Lập bảng biến thiên, ta có R f’(r) V V  = 2π  r + ÷ πr πr   - f(r) V 2π +∞ +  V  f  ÷ ÷  2π   V  ÷ ÷  2π  f ( r ) = f  Dựa vào bảng biến thiên, ta có r →0  4V   4.20  ÷ ÷ =  π ÷ ÷ ≈ 2,94 ( dm ) = 0, 29m Đáp án A π     Khi h = f  Bình luận: ngồi cách sử dụng đạo hàm, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy V  V2 V 4V  V  V Stp = 2π  r + ÷ = 2π  r + + ⇒r= ⇒h= ÷ ≥ 2π3 πr  2πr 2πr  4π 2π π   Thay V = 20 vào ta h ≈ 2,94 ( dm ) = 0, 29 ( m ) Ta chọn đáp án A Đồng thời với việc tổng quát toán trên, ta nhận thấy, h = r 3 4V π = ⇒ h = 2r 4V 2π 2.3.2.5 Bài toán Một chất điểm chuyển động theo quy luật s(t) = 6t − t − 9t + 1,s tính theo mét, t tính theo giây Trong giây đầu tiên, thời điểm t mà vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn là: A t = B t = C t = D t =  Phân tích: • Với kiến thức vật lý học, ta biết v(t) = s '(t) Do để tìm giá trị lớn giây t ∈ [ 0;5] ta cần vận dụng kiến thức đạo hàm học Hướng dẫn giải v(t) = s '(t) = 12t − 3t − 9, v '(t) = −6t + 12, v '(t) = ⇔ t = 2 Lập bảng biến thiên ta có: t v '(t) + − v(t) v(t) = v(2) = Dựa vào bảng biến thiên ta có max t∈[ 0;5]  Bình luận: Ứng dụng đạo hàm Vật lý đa dạng đặc biệt thể rõ nét qua tốn chuyển động liên quan đến đại lượng quãng đường, vận tốc thời gian Khơng riêng tốn chuyển động vậy, ta bắt gặp ứng dụng đạo hàm Vật lý toán khác Mời bạn đọc tiếp tục theo dõi toán sau để hiểu rõ Bài tập tương tự 1: Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường s(t) (km) hàm phụ thuộc theo biến t(giây) tuần theo biểu thức sau: s(t) = e t +3 + 2te3t +1 (km) Hỏi vận tốc tên lửa sau giây (biết hàm biểu thị vận tốc đạo hàm cấp hàm biểu thị quãng đường theo thời gian)? A 10e (km / s) B 5e (km / s) C 3e4 (km / s) D 9e (km / s) Hướng dẫn giải v(t) = s '(t) = 2te t +3 + 2e3t +1 + 6te3t +1 ⇒ v(1) = 2e + 2e + 6e = 10e (km / s) Bài tập tương tự 2: Cho phương trình chuyển động chất điểm s = f (t) = t − 6t + 9t , với đơn vị đo t giây, s mét Khi chất điểm đứng yên biết biểu thức phương trình v(t) điểm t biết v(t) = f '(t) ? Hướng dẫn giải Theo đề ta có: v(t) = f '(t) = 3t − 12t + t = t = Chất điểm đứng yên v(t) = ⇔ 3t − 12t + = ⇔  2.3.2.6 Bài toán Khi cá hồi bơi với tốc độ v (km/h) ngược dịng nước, lượng sản đơn vị thời gian v3 (J) , đơn vị Jun Người ta thấy cá di cư cố gắng cực tiểu hóa lượng tổng thể để bơi cách định Nếu vận tốc dòng nước a (km/h) thời gian cần bơi khoảng cách L L L lượng sản E(v) = qv3 v−a v−a q số dương Để giảm thiểu tối đa lượng bơi quãng đường L tốc độ v cần thỏa mãn A v = a B v = 3a C v = 5a  Phân tích: Do tốn cho ta sẵn hàm E(v) = qv3 D v = 7a L nên ta ứng v−a dụng đạo hàm tìm E (lưu ý v > a) Hướng dẫn giải L 3v (v − a) − v3 v (2v − 3a) E(v) = qv ⇒ E '(v) = q =q , ∀v > a v−a (v − a) (v − a) E '(v) = ⇔ v = 3a Lập bảng biến thiên ta thấy 3a v − E '(v) + E(v) +∞ 27 a  Dựa vào bảng biến thiên ta có: E(v) = E  3a  27 a ÷=  2  Bình luận: Trong thực tế, khảo sát việc bơi ngược dòng cá này, ta thấy tốc độ chúng gấp gấn 1,5 lần tốc độ dòng nước Bài tập tương tự 1: Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm cho công 290, 4v thức f (v) = 0,36v + 13, 2v + 264 (xe/giây), v(km / h) vận tốc trung bình xe vào đường hầm Tính vận tốc trung bình xe vào đường hầm cho lưu lượng xe lớn nhất? Hướng dẫn giải f (v) = 290, 4v −0,36v + 264 ⇒ f '(v) = 290, ,v > 0,36v + 13, 2v + 264 (0,36v + 13, 2v + 264) f '(v) = ⇔ v = 264 10 66 = ≈ 27, 08(km / h) 0, Lập bảng biến thiên ta có: v f '(v) 10 66 + f(v) max +∞ − Bài tập tương tự 2: Một hải đăng đặt vị trí A cách bờ biển khoảng AB 1km kho hàng đặt vị trí C cách B khoảng 1km Người canh giữ hải đăng chèo thuyền từ vị trí A đến vị trí M bờ biển nằm B C với vận tốc km/h, sau đến vị trí C với vận tốc km/h M cần cách B khoảng ngắn để thời gian người đến kho hàng nhanh nhất? Hướng dẫn giải Đặt x = BM(km) Điều kiện: ≤ x ≤ Suy quãng đường AM = + x quãng đường MC = − x Thời gian người canh hải đăng chèo đò từ A đến M t AM = Thời gian người canh hải đăng từ M đến C t MC = 1+ x2 2−x Thời gian người canh hải đăng từ A đến C t = t AM + t MC = 1+ x2 − x + 1+ x2 − x đoạn [ 0; 2] + Bài toán trở thành tìm f (x) = ? Xét hàm số f (x) = x∈[ 0;2] Ta có f '(x) = 1+ x2 − , f '(x) = ⇔ + x = ⇔ x = ∈ [ 0; ] 3 11   31 ≈ 0, 73;f  ÷ = ≈ 0, 68, f (2) = ≈ 0, 75 15   45 Vậy yêu cầu toán ⇔ x = BM = km Ta có f ( ) = 2.4 Hiệu biện pháp hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1 Đối với thân - Trong trình giảng dạy áp dụng biện pháp trên, thân tơi thấy ngày tích lũy thêm nhiều kinh nghiệm, hiểu gần gửi với học sinh Tôi nhận xã hội phát triển mạnh, chương trình giáo dục thay đổi tơi cần phải thay đổi phương pháp giảng dạy để đáp ứng chương trình giáo dục Tơi ln ln cố gắng tự học hỏi, trao dồi kiến thức chuyên môn…để ngày nâng cao chất lượng dạy học 2.4.2 Đối với học sinh Sau thực biện pháp nâng cao chất lượng với lớp 12C5, 12C6, 12C12 năm học 2021-2022, tơi nhận thấy học sinh học học tập tích cực, sôi hứng thú Các em tự tin trình bày mơn tốn, tập trung hơn, kỹ thuyết trình tốt hơn, kỹ làm việc tập thể tốt hơn, kỹ giao tiếp ứng xử tốt hơn, kỹ đánh giá người khác nâng cao 2.4.3 Đối với đồng nghiệp nhà trường Sau q trình áp dụng biện pháp tơi thấy chất lượng học sinh ngày tốt Trong họp tổ chun mơn, nói nâng cao chất lượng dạy học tơi trình bày biện pháp để thành viên tổ phân tích bổ sung, đúc kết học hỏi kinh nghiệm Tổ chuyên môn kết luận: Những biện pháp cần thiết giáo viên học sinh, phù hợp với việc dạy học ngày Biện pháp đem lại kết tốt q trình dạy học từ góp phần hồn thành nhiệm vụ tiêu tổ, góp phần quan trọng phát triển chung nhà trường 3 KẾT LUẬN- KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Sau thời gian giảng dạy thấy thu kết khả quan: Đa số học sinh tiếp thu kiến thức Nhiều kĩ giải tốn, trình bày toán, cách tiến hành số dạng tập tập vận dụng nâng cao học sinh thực thành thạo Nhiều kĩ giải tốn, trình bày tốn, cách tiến hành số dạng vận dụng nâng cao học sinh thực thành thạo Nhiều kĩ giải toán, trình bày tốn, cách tiến hành số dạng vận dụng nâng cao học sinh thực thành Tinh thần học tập em học sinh nghiên cứu phần tăng lên đáng kể, em hứng thú việc tìm tịi, khám phá lời giải, đồng thời tạo động lực để thúc đẩy việc nghiên cứu tiếp thu phần kiến thức khác Kết học phần nâng lên rõ rệt Trong thi kiểm tra định kỳ, thi học kỳ, thi thử THPT có nhiều em đạt điểm cao mơn Tốn Tơi tiến hành thực nội dung chuyên đề nêu trên lớp 12C5, 12C6, 12C12 (năm học 2021 - 2022) thời điểm khác nhau: Trước sau dạy phương pháp dùng đạo hàm để giải toán thực tế , kết thu lớp với bảng số liệu sau: Kết kiểm tra trước áp dụng phương pháp Lớp (Năm học) 12C5-51HS (2021-2022) 12C6-55HS (2021-2022) 12C12-50HS (2021-2022) Điểm 5đ - 6.5đ – 8.5 đ – 10 đ 15 21 17 30 23 20 Kết kiểm tra sau áp dụng phương pháp Lớp (Năm học) 12C5-51HS (2021-2022) 12C6-55HS (2021-2022) 12C12-50HS (2021-2022) Điểm 5đ - 6.5đ – 8.5 đ – 10 đ 12 29 8 35 11 11 29 Nắm vững chun mơn nghiệp vụ, có kiến thức sâu rộng, khả bao quát kiến thức, có tinh thần trách nhiệm công việc Trong công tác giảng dạy cần đổi phương pháp dạy học, tìm phương pháp phù hợp cho nội dung học Trước lên lớp cần có nghiên cứu kĩ nội dung chương trình, đặc biệt tình hình học sinh để đưa học sát với khả học sinh, chọn lọc hệ thống tập phù hợp, có hướng dẫn hợp lý, dễ hiểu để học sinh vận dụng tốt 3.2 Kiến nghị Trong thời gian tới, có điều kiện tơi mở rộng nghiên cứu đề tài Trên phương pháp giải toán thực tiễn phương pháp sử dụng đạo hàm để bồi dưỡng học sinh ôn luyện thi học sinh giỏi, thi THPTQG, thi ĐGNL-ĐGTD Tuy nhiên, đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót cần bổ sung Tơi mong góp ý quý đồng nghiệp để SKKN tơi hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 19 tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Trịnh Đình Chiến TÀI LỆU THAM KHẢO [1] Chuyên đề hàm số, đồ thi ứng dụng– Lê Hồ Quý- Nguyễn Tài - Nxb Đại Học QGHN năm 2020 [2] Phương pháp giải dạng toán THPT Hàm số, đạo hàm ứng dụng – Lê Hồng Đức-Nxb ĐHQG HN năm 2014 [3] Chuyên đề khảo sát hàm số ứng dụng đạo hàm - Lê Hồnh Phị - Nxb ĐHQG HN năm 2015 [4] Hàm số ứng dụng- Huỳnh Công Thái- Nxb ĐHQG HN năm 2014 [5] Ứng dụng đạo hàm- Nguyễn Phú Khánh- Nxb ĐHQG HN năm 2016 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI Họ tên tác giả: Trịnh Đình Chiến Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên TT Tên đề tài SKKN Phát sửa chữa sai lầm học sinh giải toán tổ hợp Một số phương pháp giải tốn hình học không gian trường THPT Ứng dụng phương pháp lượng giác hóa để giải số tốn đại số trường THPT Một số cách giải tốn tìm số phức có mơ đun lớn nhất, nhỏ cho học sinh THPT Cấp đánh giá xếp loại Sở giáo dục đào tạo hóa Sở giáo dục đào tạo hóa Sở giáo dục đào tạo hóa Sở giáo dục đào tạo hóa Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại C 2013-2014 B 2015-2016 C 2018-2019 C 2019-2020 ... đề tài ? ?Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải số toán thực tiễn phương pháp sử dụng đạo hàm hàm số? ?? 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trình bày đề tài thơng qua hệ thống tập Hướng dẫn học sinh giải toán số tình... Phát sửa chữa sai lầm học sinh giải toán tổ hợp Một số phương pháp giải tốn hình học khơng gian trường THPT Ứng dụng phương pháp lượng giác hóa để giải số toán đại số trường THPT Một số cách giải. .. đạo hàm thực tế 2.3.2 .Một số toán ứng dung đạo hàm để giải toán thực tế 2.3.2.1 Bài toán 2.3.2.2 Bài toán 2.3.2.3 Bài toán 2.3.2.4 Bài toán 2.3.2.5 Bài toán