Đang tải... (xem toàn văn)
b) Lập phương trình mp (P) đi qua điểm C và vuông góc với đường thẳng AB. c) Lập phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng CD xuống mặt phẳng (P). a) Tính các [r]
(1)PHẦN GIẢI TÍCH:
PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) xác định (a,b)
1) f tăng (a,b) với x1, x2(a,b) mà x1<x2 f(x1)<f(x2)
2) f giảm (a,b) với x1, x2(a,b) mà x1<x2 f(x1)>f(x2)
3) x0(a,b) gọi điểm tới hạn hàm số tạ f’(x) khơng xác định hay II Định lý:
1) Định lý Lagrăng: Nếu hàm số y=f(x) liên tục đoạn [a,b]và có đạo hàm khoảng (a,b) tồn điểm c(a,b) cho
( ) ( )
( ) ( ) '( ).( ) '( ) f b f a
f b f a f c b a hay f c
b a
2) Cho hàm số f có đạo hàm khoảng (a,b)
Nếu f’(x)>0 x(a,b) hàm số y=f(x) đồng biến (a,b) Nếu f’(x)<0 x(a,b) hàm số y=f(x) nghịch biến (a,b)
(Nếu f’(x) =0 số hữu hạn điểm khoảng (a,b) định lý cịn đúng) B CÁC BÀI TẬP :
Bài 1: Cho hàm số y x 3 3mx23(2m 1)x1 a) Khảo sát hàm số m=1
b) Xác định m để hàm số đồng biến tập xác định c) Định m để hàm số giảm (1,4)
Bài 2: Cho hàm số y 2x x2
a) Tính y’’(1)
b) Xét tính đơn điệu hàm số Bài 3: Cho hàm số 1
2
mx y
x m
a) Khảo sát vẽ đồ thị m=2
b) Xác định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1
c) Chứng minh với giá trị m hàm số đồng biến khoảng xác định Bài 4: Chứng minh
a) x > sinx x (-π/2,π/2)
b) ex1 x 2 x R
c) x>1
ln
x e
x
Bài : Chứng minh phương trình sau có nghiệm : x5 x3 2x 1 0
2 CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1.Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) xác định (a,b) điểm x0(a,b)
Điểm x0 gọi điểm cực đại hàm số y= f(x) với x thuộc lân cận điểm x0 ta có
f(x) < f(x0) (x ≠ x0)
Điểm x0 gọi điểm cực tiểu hàm số y = f(x) với x thuộc lân cận điểm x0 ta
có f(x)>f(x0) (x ≠ x0)
2 Điều kiện để hàm số có cực trị:
Định lý fermat: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm x0(a,b) đạt cực trị điểm f’(x) = Định lí 1:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm lân cận điểm x0 (có thể trừ x0)
a) Nếu f’(x0) > khoảng (x0 ; x0); f’(x) < khoảng (x0; x0 +) x0 điểm cực đại hàm số
f(x)
b) Nếu f’(x) <0 khoảng (x0 -; x0) ; f’(x) > khoảng (x0;+ x0) x0 điểm cực tiểu hàm
số f(x)
Nói cách vắn tắt: Nếu x qua x0, đạo hàm đổi dấu điểm x0 điểm cực trị
(2)Định lí 2 Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp x0 f’(x0) = 0, f''(xo) xo điểm
cực trị hàm số Hơn
1) Nếu f”(x0) > x0 điểm cực tiểu
2) Nếu f”(x0) < x0 điểm cực đại
Nói cách khác:
1) f’(x0) = 0, f”(x0) > x0 điểm cực tiểu
2) f’(x0) = 0, f”(x0) < x0 điểm cực đại
B CÁC BÀI TẬP:
Bài 1: Cho hàm sốyx42mx2 2m1 (1) a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m=1/3
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục hoành c) Biện luận theo m số cực trị hàm số (1)
Bài 2: Cho hàm số
2
2 4
2
x mx m
y
x
a) Khảo sát hàm số m=-1
b) Xác định m để hàm số có hai cực trị
Bài 3: Cho hàm số y 2x3 3(m 1)x2 6mx 2m
a)Khảo sát hàm số m = gọi đồ thị (C) Chứng tỏ trục hoành tiếp tuyến (C)
b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị
c) Định m để hàm số tăng khoảng (1;)
Bài 4: Cho hàm số
2 2 1
x kx k
y
x k
với tham số k
1)Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số k=1
2)Viết phương trình đường thẳng (d) qua A(3;0) có hệ số góc a Biện luận theo a số giao điểm (C) (d) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua A
3)Chứng minh với k đồ thị ln có cực đại, cực tiểu tổng tung độ chúng Bài 5: Định m để hàm số 1 ( 1) 1
3
y x mx m m x đạt cực tiểu x =
Bài 6: Cho hàm số
2
1
x x m
y x
Xác định m cho hàm số a) Có cực trị
b) Có hai cực trị hai giá trị cực trị trái dấu Bài 7: Cho hàm số yf x( ) x33x2 3 x+3m-4m
a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn m
b) Chứng minh tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn tất tiếp tuyến đồ thị hàm số
3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1)Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định D Số M gọi GTLN hàm số y=f(x) D nếu:
0
: ( ) : ( )
x D f x M
x D f x M
(ký hiệu M=maxf(x) )
Số m gọi GTNN hàm số y=f(x) D nếu:
0
: ( ) : ( )
x D f x m
x D f x m
(ký hiệu m=minf(x) )
2) Cách tìm GTLN-GTNN (a,b)
+ Lập bảng biến thiên hàm số (a,b)
+ Nếu bảng biến thiên có cực trị cực đại( cực tiểu) giá trị cực đại (cực tiểu) GTLN(GTNN) hàm số (a,b)
3) Cách tìm GTLN-GTNN [a,b]
+ Tìm điểm tới hạn x1,x2, , xn f(x) [a,b]
+ Tính f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b)
(3)[ , ] [ , ]
max ( ) ; ( ) a b a b
M f x m f x
B CÁC BÀI TẬP:
Bài 1:Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: a) y2x33x21 [-2;-1/2] ; [1,3)
b)
4 y x x
c) 2sinx- sin4
3
y x đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ) d)y 2 os2x+4sinxc x[0,π/2] (TN-THPT 01-02/1đ)
e) yx2 3x2 đoạn [-10,10]
Bài 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm sốy= x 1 3x 6x 2
đoạn[-1,3]
Bài 3: Chứng minh
2
6 3
2
7 2
x
x x
với giá trị x
4 LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN
A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN : 1) Định nghĩa :
+Cung AB lồi điểm cung tiếp tuyến phía cung +Cung AB lõm điểm cung tiếp tuyến ln phía cung 2) Dấu hiệu lồi lõm điểm uốn
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp hai (a;b)
+ Nếu f”(x)<0 với x(a,b) đồ thị hàm số lồi khoảng
+ Nếu f”(x)>0 với x(a,b) đồ thị hàm số lõm khoảng
+ Nếu f’’(x) đổi dấu xđi qua x0 điểm M0(x0,f(x0)) điểm uốn đồ thị hàm số
B CÁC BÀI TẬP:
Bài 1: Tìm a,b để hàm số y x 3 ax2 x b nhận điểm (1;1) làm điểm uốn Bài 2: Chứng minh đồ thị hàm số 22 1
1
x y
x x
có ba điểm uốn thẳng hàng
Bài 3: Cho hàm số y x 3 3x22 viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc bé
5 TIỆM CẬN
A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1) Tiệm cận đứng:
Nếu
0 lim ( )
xx f x đường thẳng (d) có phương trình x=x0 tiệm cân đứng đồ thị (C) 2) Tiệm cận ngang:
Nếu lim ( )x f x y0
đường thẳng (d) có phương trình y=x0 tiệm cân ngang đồ thị (C)
3) Tiệm cận xiên:
Điều kiện cần đủ để đuờng thẳng (d) tiệm cận đồ thị (C)
lim [ ( ) (ax+b)] 0
x f x
hoặc xlim [ ( ) (ax+b)] 0 f x
lim[ ( ) (ax+b)] 0x f x .
4) Cách tìm hệ số a, b tiệm cận xiên y=ax+b
x
( )
lim b= lim[ ( ) ax]
x
f x
a f x
x
(4)Bài 1:
1 Khảo sát hàm số
2 4 5
2
x x
y
x
Xác định m để đồ thị hàm số
2 ( 4) 4 5
2
x m x m m
y
x m
có tiệm cận trùng với tiệm cận đồ thị hàm số khảo sát (TN-THPT 02-03/3đ)
Bài 2: Tìm tiệm cận đồ thị hàm số
a) y x2 1
b)
3
1 1
x x y
x
c)
2
3 1
1 2
x x
y
x
d)
2
2
1
3 2 5
x x y
x x
PHẦN II: ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ Các bước khảo sát hàm số :
Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ
1 Tập xác định Sự biến thiên - Chiều biến thiên, cực - Tính lồi lõm, điểm uốn, - Giới hạn
- Bảng biến thiên Đồ thị
- Giá trị đặt biệt - Đồ thị
1 Tập xác định Sự biến thiên - Chiều biến thiên, cực - Giới hạn, tiệm cận - Bảng biến thiên
3 Đồ thị
- Giá trị đặt biệt - Đồ thị
Sự khác biệt : Hàm đa thức khơng có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.
Các dạng đồ thị hàm số:
Hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0)
Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a 0)
x y
O
I
x y
O
I
a < a >
Dạng 2: hàm số khơng có cực trị ?
x y
O
I
x y
O
I
a < a >
Dạng 1: hàm số có cực trị ?
x y
O x
y
O
a < a >
Dạng 2: hàm số có cực trị ?
x y
O x
y
O
a < a >
(5) Hàm số biến : (ad bc )
d cx
b ax
y 0
Hàm số hữu tỷ (2/1) :
2
1 1
ax bx c
y
a x b
(tử, mẫu khơng có nghiệm chung, )
MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP Bài 1) Cho hàm số
x
m x ) m ( x
y 2
2
, m tham số, có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m =
2) Với giá trị k (C) đường thẳng (D): y = k có giao điểm phân biệt A B Trong trường hợp đó, tìm tập hợp trung điểm I đoạn AB
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), trục Oy, y = 1, y = 3/2 Bài 2) Cho hàm số
2 5 4
2
x
m mx x
y , có đồ thị (Cm)
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =
2) Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị (Cm) hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng qua O Bài 3) Cho đường: y = x2 – 2x + 2, y = x2 + 4x + y =
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường trên.(Học kỳ2) Bài 4) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y =
) 1 x ( 2
3 x 4 x
2
2 Định m để ptrình : 2x2 – 4x – + 2mx - 1 = có nghiêm phân biệt.
Bài : Cho hàm số
1
x x
y gọi (C) đồ thị hàm số cho a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm điểm (C ) có tọa độ số nguyên
c) Chứng minh đường thẳng D:y=2x+m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt MN ;xác định m để đoạn MN có độ dài nhỏ
d) Tìm điểm trục hồnh từ vẽ hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ hai tiếp tuyến có tiếp điểm P;Q viết phương trình đường thẳng PQ
e) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị (C) cho khoảng cách giửa chúng bé
f) Tiếp tuyến điểm S (C) cắt hai đường tiệm cận hai điểm I;J chứng minh S trung điểm IJ
y
I
x y
O
Dạng 2: hsố nghịch biến Dạng 1: hsố đồng biến
x O
I
x y
O
I
x y
O
I
Dạng 2: hàm số khơng có cực trị x
y
O
I
x y
O
I
(6)g) Với giá trị m đường thẳng y=-x+m tiếp tuyến đường cong (C) Bài 6:Cho hàm sốy (x 1)2(4 x)
a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b) Chứng tỏ đồ thị có tâm đối xứng
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(3;5)
d) Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn e) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt
3 6 9 4 0
x x x m
Bài 7:
Cho hàm số y 2x3 3(m 1)x2 6mx 2m
a)Khảo sát vẽ đồ thị (C) m=1 chứng tỏ trục hoành tiếp tuyến (C)
b) Xác định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị
c) Định m để hàm số tăng khoảng (1;)
Bài :
Cho hàm số - 2 5
3
y x x x
a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình 3x3-6x2-5x+m=0.
c) Tiếp tuyến với (C) gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) điểm M tìm tọa độ M d) Biện luận theo k vị trí tương đối (C) đường thẳng d có phương trình y=kx e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục hoành
f) Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng 1.ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA VÀ CĂN.
Số mũ Cơ số a Lũy thừa a
*
N n
aR a an a.a a(n
thừa số )
0
a0 1
a
a
)
(n N*
n
a0
n n
a a a 1
) ,
(m Z n N*
n m
a0 a an nam (na b bn a)
m
) ,
(
limr r Q n N*
n
n
a0 a limarn
2 TÍNH CHÁT CỦA LŨY THỪA. * với a > 0, b > 0, ta có
b a b a b
a ab a
a a
a a a
a
a
; ; ( ) ; ( ) . ;
a > : a
a
< a < : a
a 3 ĐỊNH NGHĨA LÔGARIT.
* Với số 0a1,b0
ab a b
log b
e b
b b
ln
10 log
4 TÍNH CHẤT CỦA LƠGARIT
* loga10; logaa1; alogab b
* loga(b.c)logabloga c
b c
c b
a a
a log log
log
(7)logab .logab
Đặc biệt: b
n b b
b a an a
a log log ; log
log
* b c c
b c
c a b a
a a
b log .log log
log log
log
Đặc biệt : b b
a
b a a
b a log log ; log log c b c b a c b c b a a a a a log log : 0 log log :
5 GIỚI HẠN
lim 1 ; limln(1 )
0 x x x e x x x
6 BẢNG ĐẠO HÀM.
x x
e e )'
(
a a ax)' x.ln
(
x
x)'
(ln a a x x a ln 1 )' (log ) , ( )' (
x x
x
n n n x n x 1 )' ( u u e u e )' '
(
a a u
au)' '. u.ln
(
u u
u)' '
(ln a u u u a ln ' )' (log ' )'
(u u 1u
n n n u n u u ' )' (
7 CÁC DẠNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT.
a) a af(x) ag(x) f(x) g(x)
)( )( )0) (( 0) ( )( log )( log xg xf xg hay xf xg xf a a
b) a1 af(x) ag(x) f(x)g(x)
loga f(x)logag(x) f(x)g(x)0 c) a af(x) ag(x) f(x) g(x)
loga f(x)logag(x) 0 f(x)g(x) I LŨY THỪA
* Đơn giản biểu thức 1) x6.y12 5 x.y25
2) 3 4 b a ab b a
3) . 1
1 .
1 41
2 a a a a a a a
4)
m m m m m 2 2
* Tính giá trị biểu thức
1)
3 75 , 32 125 81
2)
1 2 ) 9 ( 8 64 . ) 2 ( 001 ,
(8)3) 0,5 75 , 25 16
27
4)
1 25
,
4 19( 3)
4 625 ) , (
* Biến đổi đưa dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ 1) 25
8
ax 2)
a
a 3) b3.4 b 4) 27.3
3
a
* Tính 1) 3
3
2) 412 3.161 3)
2
3 27
4) 58 54 2
* Đơn giản biểu thức
1)
) (
3 2 b a b a 2) 3 3 3
2 1)( )
( a a a a a a 3)
b ab
a )
(
1
II LÔGARIT.
* Biết log52 = a log53 = b Tính lơgarit sau theo a b
1) log527 2) log515 3) log512 4) log530
* Lôgarit theo số biểu thức sau , viết dạng tổng hiệu lôgarit 1) 3
2
5 a3b 2)
2 , 10 b a
3) 9a45 b 4)
27a b
* Tính giá trị biểu thức
1) log915 + log918 – log910 2)
3 3
1 log 400 3log 45
2 log
2
3) log 21log
6
36 4) log (log34.log23)
1
* Tính giá trị biểu thức
1) 2log log log 125 49 25
81
2) log 3log
1 log
1
4 42
16
3)
log log log 7 49 72
* Tìm x biết
1) log6x = 3log62 + 0,5 log625 – log63 2) log4x = log 216 2log 10 4log 3
1
4
4
* Tính
1) log(2 3)20 log(2 3)20
2) 3log( 21)log(5 2 7) 3)
e
e ln1
ln 4) lne 4ln(e2 e)
* Tìm x biết
1) logx18 = 2)
5 log
x 3) logx(2.3 2)6
* Biết log126 = a , log127 = b Tính log27 theo a b
* Biết log214 = a Tính log4932 theo a
III HÀM SỐ MŨ – LÔGARIT – LŨY THỪA. * Tìm tập xác định hàm số sau
1) y =
1 x x e e
2) y = e2x1 3) y = ln
x x 1
4) y = log(-x2 – 2x ) 5) y = ln(x2 -5x + 6) 6) y =
x x x 1 log 2
* Tìm giới hạn 1) x e x x lim 2) x e
e x x
x lim
3) lim(2 3 )
5
x x
x 4)
xe x
x x
1
(9)5) limx 9log3x
6) x
x x ) 1 4 ln( lim
7) x
x x x ) 1 2 ln( ) 1 3 ln( lim 8) x x
x sin2
) 3 1 ln( lim
9) 1
1 lim
0 x
ex
x 10) x
x x tan ) 2 1 ln( lim
* Tính đạo hàm hàm số sau
1) y = (x2 -2x + 2).ex 2) y = (sinx – cosx).e2x 3) y =
x x x x e e e e
4) y = 2x - ex 5) y = ln(x2 + 1) 6) y =
x x
ln
7) y = (1 + lnx)lnx 8) y = x2.ln x2 1 9) y = 3x.log 3x
10) y = (2x + 3)e 11) y = x x
. 12) y = 3 x
13) y = ln22x 14) y = 3 cos2x 15) y = 5cosx + sinx
* Chứng minh hàm số sau thỏa mãn hệ thức tương ứng cho 1) y = esinx ; y’cosx – ysinx – y’’ = 0
2) y = ln(cosx) ; y’tanx – y’’ – = 3) y = ln(sinx) ; y’ + y’’sinx + tan
2
x
= 4) y = ex.cosx ; 2y’ – 2y – y’’ = 0
5) y = ln2x ; x2.y’’ + x y’ = 2
IV PHƯƠNG TRÌNH MŨ. * Giải phương trình:
1) (0,2)x-1 = 1 2) 3
3
x 3)
16
x
x 4) x
x 2
1
5) 3 22x 32 2 6) 1 2 5 2 5 x x
x 7) 1
9 3x2 x 8) 5 25
x
x 9) 3x.2x+1 = 72 9) 2
2
1
x x
10) 27 60 20
4
x x
x 11) 5x+1 + 5x – 5x-1 = 52
12) 3x+1 – 3x-1 – 3x = 13) 4x + 4x-2 – 4x+1 = 3x – 3x-2 – 3x+1
* Giải phương trình
1) 4x + 2x+1 – = 0 2) 4x+1 – 2x+1 + = 0
3) 34x+8 – 32x+5 + 27 4) 31+x + 31-x = 10
5) 5x-1 + 53 – x = 26 6) 9x + 6x = 4x
7) 4x – 52x = 10x 8) 27x + 12x = 8x
9) 2 3x 2 3x 2 10) 48 48 14
x x
11) 35 35 12
x x 12) 7 3 5x 7 3 5x 14.2x
13) 32x+4 + 45 6x – 22x+2 = 0 14) 8x+1 + 8.(0,5)3x + 2x+3 = 125 – 24.(0,5)x
* Giải phương trình 1) 3 24 2 4
x
x
x 2)
3
2x x x 3) x x
x
2 36.32
8 4) 5 .8 500
1 x x x
5) 53log5x 25x 6) x6.3logx3 35 7) 9.xlog9x x2 8) x4.53 5logx5
* Giải phương trình
1) 2x + 3x = 5x 2) 3x + 4x = 5x 3) 3x = – 2x 4) 2x = – x
5) log2x = – x 6) 2x = – log2x 7) 9x + 2(x – 2)3x + 2x – =
V PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT. * Giải phương trình
1) log2x(x + 1) = 2) log2x + log2(x + 1) = 3) log(x2 – 6x + 7) = log(x – 3)
4) log2(3 – x) + log2(1 – x) = 5) log4(x + 3) – log2(2x – 7) + =
6) x
x x x log log log log 125 25
7) 7logx + xlog7 = 98 8) log
(10)* Giải phương trình
1) log22(x - 1)2 + log2(x – 1)3 = 2) log4x8 – log2x2 + log9243 =
3) log3 x log33x3 4) 4log9x + logx3 =
5) logx2 – log4x + 6) x x x x 81 27 log 1 log 1 log 1 log 1
7) log9(log3x) + log3(log9x) = + log34 8) log2x.log4x.log8x.log16x = 9) log5x4 – log2x3 – = -6log2x.log5x 10) logx(2x2 5)log2x25x2 3
VI HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT. * Giải hệ phương trình sau
1) 15 log 1 log log 11 2 2
2x y
y x 2) 3 log ) log( ) log( 8 log 1 ) log( 2 2
y x y x y x 3) 2 ) ( log 972 2. 3
3 x y y x 4) 2 log log 25 2 2x y
y x 5) 1 4 3 3 y x y x 6) 3 9 4 3 3 y x y x 7) 5 5. 2 7 5 2
1 x y x y x x 8) 1 ) ( log ) ( log 3 5 3 2 2 y x y x y x 9) 0 log . log ) ( log ) ( log log log 2 2 2 2 y x y x xy y x 10) 3 log 4 log log log ) 3( ) 4( 4 3 y x y x 11) 12 3 3 ) ( 2 4 2 2 2 log log3 3
y x y x xy xy 12) 64 log 1 2 y x x y 13) 1 ) 2 3( log ) 2 3( log 5 4 9 3 5 2 2 y x y x y x 14) y x y x y x xy 3 27 27 27 log 4 log 3 log log . log 3 log
(11)1) 32
x 2) 27x <
3)
2
1
x x 4) 62 3 2 7.33 1
x x
x
5) 9x 3x14 6) 3x – 3-x+2 + > 0 7) xlog3x4 243
9) log (5 1)
2
1 x 10)
1 log4
x x
11) log0,8(x2 + x + 1) < log0,8(2x + 5)
12) )
1 (log log 2
3
1
x x
13) log22x + log24x – > 14) log log
x
x
15) log2(x + 4)(x + 2) 6 16) 0 1 1 3 log 2
x
x
x 17) log4 x 1
18) log2x + log3x < + log2x.log3x 19) 3logx4 + 2log4x4 + 3log16x4 0
20)
3
4 log log
2
1
x x
21) log log 11 log log 11
3
4
x x x
x
* Tìm tập xác định hàm số
1) y =
5 log0,8
x x
2) y = log ( 2)
2
1 x
§1 NGUYÊN HÀM: 1) Định nghĩa :
Hàm số F x gọi nguyên hàm hàm số f x a b, F x f x , x a b, .
Ghi nhớ : Nếu F x là nguyên hàm f x mọi hàm số có dạng F x C (Clà số)
cũng nguyên hàm f x chỉ hàm số có dạng F x Cmới nguyên hàm f x Ta gọi
F x Clà họ nguyên hàm hay tích phân bất định hàm số f x ký hiệu làf x dx Như vậy: f x dx F x C
2) Tính chất:
a.TC1: kf x dx k f x dx k ; 0
b.TC2: f x g x dx f x dx g x dx
c.TC3: Nếu f x dx F x C f u du F u C 3) Nguyên hàm hàm số cần nhớ a,ba 0 :
dx x C
dx 1lnax b C
ax b a
1
1
1 ,
x
x dx C
x x
e dx e C
sinxdx cosx C
e dxax 1eax C
a
(12)cosxdxsinx C
sinaxdx 1cosax C
a
2 , 2
cos
dx tgx C x k
x
cosaxdx1asinax C
2 cot ,
sin
dx gx C x k
x
1
2
, cos
dx tgx C x k
ax a
0
ln ,
dx x C x
x
1cot ,
sin
dx gax C x k
ax a
4) Bài tập:
Ghi nhớ:
Nguyên hàm tổng (hiệu) nhiều hàm số tổng (hiệu) nguyên hàm
hàm số thành phần
Nguyên hàm tích (thương) nhiều hàm số khơng tích (thương) nguyên
hàm hàm số thành phần
Muốn tìm nguyên hàm hàm số ta phải biến đổi hàm số thành tổng hiệu
hàm số tìm nguyên hàm
Bài 1: Cho hai hàm số 1 1 2
2 4sin
F x x x; f x cos2x
a Chứng minh F x nguyên hàm f x b Tìm nguyên hàm G x biết 0
4 G
Bài 2: Cho hàm số cos cos4 2 4cos3
cos sin
x x x
f x
x x
Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x biết F
Bài 3: Cho hàm số f x 2cos cos2x 4x Tìm hàm số G x biết G x f x
0 29 1
144; 12 32
G G
Bài 4: Cho hàm số f x 8sin cos cos cosx x 2x 4x a Giải phương trình f x f x 0
b Tìm nguyên hàm F x hàm số f x biết đồ thị hàm số F x qua điểm 0
8;
M
Bài 5: Biết hàm số 1
sin cos
x F x
x
nguyên hàm f x Hãy tìm giá trị x cho
0
f x f x
(13)a Tính yvà y 2
b Tìm nguyên hàm hàm số f x x2007ex
Bài 7: Cho hàm số f x exsinx Chứng minh hàm số f x f x nguyên hàm hàm số
2f x
Bài 8: Tìm nguyên hàm F x hàm số
3
2
3 3 1
2 1
x x x
f x
x x
,biết 1 1
3
F (Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thơng năm 2003)
§2 TÍCH PHÂN :
1) Định nghĩa :
b
b a a
f x dx F x F b F a
2) Tính chất :
a TC1:
b a
a b
f x dx f x dx
b TC2: ( 0)
b b
a a
kf x dx k f x dx k
c TC3:
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
d TC4:
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
e TC5: Nếu f x 0, x a b; 0 b
a
f x dx
f TC6: Nếu f x g x , x a b;
b b
a a
f x dx g x dx
g TC7: Nếu m f x M x a b , ; b
a
m b a f x dx M b a
3) Bài tập :
Ghi nhớ:
Muốn tính tích phân định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dấu tích phân thành tổng hiệu
những hàm số biết nguyên hàm
Nếu hàm số dấu tích phân hàm số hữu tỷ có bậc tử lớn bằng bậc mẫu ta phải
thực phép chia tử cho mẫu
Nếu hàm số dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm
dấu GTTĐ Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành đoạn cho đoạn biểu thức nằm dấu GTTĐ không đổi dấu Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ
(14)a
0
2
cos cosx xdx
b
4
cosx sinx dx
c
2
1
2 3
2
x x
dx x
d
2
1
ln
x x
e dx
x
Bài 2: Cho hàm số 2 1 x f x
x
hàm số
2 1
ln
F x x
a Chứng minh F x nguyên hàm f x b Áp dụng câu a tính
1
0 1
xdx
x
Bài 3: Cho hàm số f x xln2x 2x xln a Tính f x
b Áp dụng câu a tính
1
ln
e
xdx
Bài 4: Biết hàm số cos sin
cos sin
x x
F x
x x
nguyên hàm f x Hãy tính :
4
0
f x dx
§3 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
1) Công thức tổng quát : .
b a
f x x dx f t dt
Cơng thức trên, tích phân cần tính tích phân vế trái Hàm số dấu tích phân có dạng tích của
f x (hàm số theo biến x ) với đạo hàm hàm x Áp dụng công thức vào trường hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể sau:
a). TH1: fsin cosx xdx
Đặt tsinx
t p sinx q p q,
tn psinx q biểu thức psinx q nằm n
b). TH2: fcos sinx xdx
Đặt tcosx
t p cosx q p q,
(15)c). TH3: fln x 1dx
x
Đặt tlnx
t p x q ln p q,
tn p x qln biểu thức p x qln nằm dấu n
d). TH4: . 12
cos
f tgx dx
x
Đặt t tgx
t ptgx q p q,
tn ptgx q biểu thức ptgx q nằm dấu n
e). TH5:
1
. sin
f cotgx dx
x
Đặt t cotgx
t pcotgx q p q,
tn pcotgx q biểu thức pcotgx q nằm n
2) Bài tập:
Bài 1: Tính tích phân sau đây:
a
6
3
0 2 1
cos sin
xdx x
b
2
3
6cosx 1sinxdx
c
1 3ln 2
e dx
x x
d
19
2
0 8
xdx
x
Bài 2: Tính tích phân sau đây:
a
1
2
4 5
x dx
x x
b
2
0 cos
tgx e dx
x
c
2
2
3cot 1 sin dx
gx x
d
4
2
1
x dx
e x
Bài 3: Tính tích phân sau đây:
a
3
0 cos
tgxdx x
b
2
2
6
sin cosx xdx
(16)c
4
0
2
sin
cos sin
xdx
x x
d
4
2
2
cos
sin cos
xdx
x x
Bài 4: Tính tích phân sau đây:
a 3
4
sin cos
xdx x
b
3
2
0
1
x x dx
c
0
2
2 1
sin sin
xdx x
d
4
3
dx tgx tg x
§4 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN: 1) Công thức tổng quát :
b b
b a
a a
uv dx uv vu dx
hay
b b
b a
a a
udv uv vdu
(1)
2) Các bước thực hiện:
Bước 1: Đặt ( ) ( ) ( )
( ) ( ) (nguyên hàm)
u u x du u x dx Đạohàm
dv v x dx v v x
Bước 2: Thế vào cơng thức (1)
Bước 3: Tính b
a
uv suy nghĩ tìm cách tính tiếp b a
vdu
(tích phân tính định nghĩa đổi biến số tích phân phần tùy tốn cụ thể mà ta phải xem xét)
3) Các dạng tích phân tính phương pháp phần:
Tích phân phần thường áp dụng để tính tích phân có dạng sau:
a). Dạng 1: .
b a
p x q x dx
Trong p x hàm số đa thức, q x hàm sin ( ) x cos ( ) x
Trong trường hợp ta đặt:
u p x dv q x dx
Ghi nhớ : Trong trường hợp đặt ngược lại vào cơng thức ta
b a
vdu
phức
tạp b a
udv
(17)b). Dạng 2: .
b a
p x q x dx
Trong p x hàm số đa thức, q x hàm logarit
Trong trường hợp ta đặt:
u q x dv p x dx
Ghi nhớ: Trong trường hợp đặt ngược lại ta gặp khó khăn suy v từ dv
4) Bài tập:
Bài 1: Tính tích phân sau đây:
a
0
2x 1 sinxdx
b
0
2 cos
x x xdx
c
0
cos
x xdx
d
2
0 cos
xdx x
e
1
2 2
0
1 x
x e dx
f
1
0
3 2
x
x dx
e
g
1
0
3 2
(x ) xdx
h
1
2
0
x
x e dx
Bài 2: Tính tích phân sau đây:
a
3
1
3x 1 lnxdx
b
1
0
1
ln
x x dx
c
1
ln
e
xdx
d
1
2
0
1
ln
x x dx
§5 CÁC BÀI TỐN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN: Tính tích phân sau đây:
a
2
2
1 cos
sin
x dx x
b
2
1
lnx x e dxx
x
c
2
2
2
cot sin
sin
g x x dx
x
d.2
0
2
3cosx 1 x sinxdx
e
0 1
sin cos cos
x xdx
x
f
1
1 1
2 x xdx
x e
g
0
2
2 2
2 3
cos cos
sin
x xdx
x
h
1
2
0
3 1
ln
x x dx
§6 DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG: 1) Diện tích hình phẳng giới hạn :
C1 :y f x ; C2:y g x x a x b ; ;
(18)a) Công thức:
b a
S f x g x dx (2)
b) Các bước thực hiện:
Bước1: Nếu hai đường x a x b , đề cho thiếu hai giải phương trình
f x g x (PTHĐGĐ C1 C2 ) để tìm
Bước 2: Áp dụng công thức (2)
Bước 3: Rút gọn biểu thức f x g x , sau xét dấu hiệu Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ
c) Chú ý:
Nếu toán cho chung khảo sát hàm số ta dùng hình vẽ để khử dấu GTTĐ dễ dàng Có nghĩa là, đoạn tích phân mà hình vẽ, C1 nằm C2 hiệu
0
f x g x , C1 nằm C2 hiệu f x g x 0 2) Diện tích hình phẳng giới hạn đường không rơi vào trường hợp 1:
Bước 1: Vẽ hình (khơng cần phải khảo sát)
Bước 2: Chia hình cần tính thành hình nhỏ cho hình nhỏ tính diện tích cơng thức
(2)
Bước 3: Dùng cơng thức (2) tính diện tích hình nhỏ sau tính tổng diện tích tất hình nhỏ
3) Thể tích hình trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường sau quanh trục Ox:
C y f x Ox x a x b: ; ; ;
(trong hai đường thẳng x a x b ; thiếu hai)
a) Công thức:
b a
V f x dx (3) b) Các bước thực hiện:
Bước 1: Nếu hai đường x a x b , đề cho thiếu hai giải phương trình
0
f x (PTHĐGĐ C trục Ox) để tìm
Bước 2: Áp dụng công thức (3)
4) Bài tập:
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong
2 6 5
2 1
: x x
C y
x
trục Ox
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong C y x x: 32 trục Ox Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong C y x: 4 x2 trục Ox
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong C y x: 3 3x1 đường thẳng
3
:
d y
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:
2 2 2
1
: x x
C y
x
; đường tiệm cận
xiên C ; Ox; x e 1
(19)Bài 7: Cho parabol P y x: 6x5
a Viết phương trình tiếp tuyến P giao điểm P với trục Ox b Tính diện tích hình phẳng giới hạn P tiếp tuyến nói câu a
Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: C y: x ; d y: 2 x trục Ox
Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol P y: 4x đường thẳng
2 4
:
d y x
Bài 10: Cho parabol P y: 4x
a Viết phương trình tiếp tuyến P điểm tung độ
b Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: P , trục Ox tiếp tuyến nói câu a
Bài 11: Cho đường cong 2 1 1
: x
C y x
Gọi (H) hình phẳng giới hạn đường:
C Ox Oy; ; Tính thể tích hình trịn xoay sinh quay (H) xung quanh trục Ox
Bài 12: Cho đường cong C y x: x2 Gọi (H) hình phẳng giới hạn bởi C trục Ox Tính thể tích hình trịn xoay sinh quay (H) xung quanh trục Ox
SỐ PHỨC
Bài 1: Tính bậc hai số phức sau: 1) z16 2) z4i 3) z 4 8i 4) z 5 12i
Bài 2: Giải phương trình sau:
1) (iz3)(z22z5) 0 2) z2 9 0 3) z2 7 24 i0 4) z2 2 2z i0 6)
4 4 0
z
Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp, biểu diễn hình học tính mơdun số phức sau: 1) 2 (1 )(4 )
3 2
i i i
i
2) (3 )(1 ) 31 2
i i i
i
3)
3
1 2 1
i i
4) (1 )i 2006
Bài 4: 1) Cho 3 cos sin ; ' 4 cos sin
3 3 4 4
z i z i
Tính
2
5
', , ', ' '
z z
z z z z
z z , bậc hai z’
2) Tính: a) 3 i15 b) 2 2 i8 c) (2 ) i 10
Bài 5: Biểu diễn sin3 , cos3 , sin , cos4 theo sin , cos
HÌNH HỌC:
I/LÝ THUYẾT:
Các dạng tốn thường gặp:
- Chứng minh đường thẳng d thuộc mặt nón hay mặt trụ trịn xoay xác định - Tính diện tích xung quanh hình nón, hình trụ thể tích khối nón, khối trụ - Giải tốn tìm thiết diện mặt phẳng với khối trụ, khối nón
- Xác định tâm bán kính mặt cầu thỏa mãn số điều kiện cho trước - Xét vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng
(20)II/BÀI TẬP:
1. Tính thể tích khối tứ diện có cạnh a
2. Tính thể tích khối chóp tứ giác có cạnh bên cạnh đáy a
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc mp(ABCD) , cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc 300 Tính thể tích khối chóp
4. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vng B , cạnh bên SA vng góc với đáy Biết SA = BC = a Mặt bên SBC tạo với đáy góc 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc mp(ABCD) , cạnh bên SB =
3
a Tính thể tích khối chóp S.ABCD chứng minh trung điểm I SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
6. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a Gọi I trung điểm cạnh BC Chứng minh SA vng góc với BC tính thể tích khối chóp S.ABI theo a
7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật AB = 2a , BC = a Các cạnh bên hình chóp a Tính thể tích khối chóp S.ABCD
8. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a , góc ASB 1200, góc BSC 600, góc CSA 900 Chứng minh
tam giác ABC vng tính thể tích khối chóp S.ABC
9. Cho tứ diện OABC có OA = a , OB = b , OC = c vng góc đơi Tính thể tích khối tứ diện OABC diện tích tam giác ABC
10. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Tam giác SAC tam giác Tính thể tích khối chóp S.ABCD
11. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân A , AB = a , mặt bên SBC vng góc với (ABC) , hai mặt bên cịn lại tạo với (ABC) góc 450 Chứng minh chân đường cao H hình chóp trung điểm BC
và tính thể tích khối chóp S.ABC
12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc (ABCD) SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng SB CD khoảng cách từ A đến (SCD)
Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA a , đáy tam giác vng cân có AB = BC = a Gọi B’ trung điểm SB , C’ chân đường cao hạ từ A tam giác SAC
Chứng minh SC vng góc với mp(AB’C’) tính thể tích khối chóp S.AB’C’
13.Cho hình chóp tam giác SABC có ABC tam giác vng B cóAB = a , BC = b SA = c, SA vng góc với (ABC).Gọi A’và B’ trung điểm SA SB Mặt phẳng ( CA’B’) chia khối chóp thành khối đa diện
a) Tính thể tích hai khối đa diện
b) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, có AB=a, BC= 2a
3 , SA(ABCD), cạnh bên SC hợp
với đáy góc α 300 Tính thể tích hình chóp
15 Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết AB = a AC = AD = BC = BD = CD = a
16. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a, SH đường cao a C/m: SA BC ; SB AC b Tính SH ;
c Tìm tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
17.Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vng SA(ABCD) Biết SA = a 2; AB = a a CMR: mặt bên hình chóp tam giác vng
b Tính góc đường thẳng AB, SC;
c Tính diện tích thể tích khối nón sinh tam giác SAC quay quanh trục SA
1 TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠTỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/. Tọa độ điểm : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
1). M x ; y ;z M M M OM x i y j z k M M M
2).Cho A x ; y ;z A A Avà B x ; y ;z B B Bta có:
B A B A B A
AB (x x ; y y ;z z )
(21)2 2
B A B A B A
AB (x x ) (y y ) (z z )
3).Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k MA kMB ta có :
A B A B A B
M x kx M y ky M z kz
x ; y ; z
1 k 1 k 1 k
(Với k ≠ -1)
@/ Đặc biệt M trung điểm AB (k = – ) ta có :
A B A B A B
M x x M y y M z z
x ; y ;z
2 2 2
II/. Tọa độ véctơ : Trong không gian với hệ tọa độ Oyz
1). a (a ;a ;a ) 1 2 3 a a i a j a k 1 2 3
2).Cho a (a ;a ;a ) 1 2 3 b (b ;b ;b ) 1 2 3 ta có :
1
2
3
a b
a b a b
a b
a b (a 1b ;a1 2b ;a2 3b )3
k.a (ka ;ka ;ka ) 1 2 3
a.b a b cos(a;b) a b 1 1a b2 2a b3 3
a a12a22 a32
III/. Tích có hướng hai vectơ ứng dụng:
1). Nếu a (a ;a ;a ) 1 2 3 b (b ;b ;b ) 1 2 3 3 1
2 3 1
a a a a a a
a, b ; ;
b b b b b b
2). Vectơ tích có hướng ca, b vng góc vơi hai vectơ a b
3). a, b a b sin(a, b)
4). SABC 1 [AB,AC]
2
5). VHộpABCDA’B’C’D’=[AB, AC].AA '
6). VTứdiện ABCD =
1
[AB, AC].AD 6
(22)
1). a b phương
1
2
3
a kb
a, b 0 k R : a kb a kb
a kb
2). a b vng góc a.b 0 a b1 1a b2 2a b3 3 0 3). Ba vectơ a, b, c đồng phẳng a, b c 0
(tích hỗn tạp chúng 0) 4). A,B,C,D bốn đỉnh tứ diện AB, AC, AD không đồng phẳng
5). Cho hai vectơ không phương a b vectơ c đồng phẳng với a b k,l R cho
c ka lb
6). G trọng tâm tam giác ABC
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
3
y y y
y
3
z z z
z
3
7). G trọng tâm tứ diện ABCD GA GB GC GD 0
B/.BÀI TẬP:
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1) a) Tính FAB, AC (OA 3CB)
b) Chứng tỏ OABC hình chữ nhật tính diện tích hình chữ nhật c) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
d) Cho S(0;0;5).Chứng tỏ S.OABC hình chóp.Tính thể tích hình chóp Bài 2: Cho bốn điểm A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(-2;1;-1)
a) Chứng minh A,B,C,D bốn đỉnh tứ diện b) Tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD c) Tính góc tam giác ABC
d) Tính diện tích tam giác BCD
e) Tính thể tích tứ diện ABCD độ dài đường cao tứ diện hạ từ đỉnh A
Bài 3: Cho a (0;1;2); b (1;2;3); c (1;3;0); d (2;5;8) a) Chứng tỏ ba vectơ a, b, c không đồng phẳng
b) Chứng tỏ ba vectơ a, b, d đồng phẳng, phân tích vectơ d theo hai vectơ a, b c) Phân tích vectơ u2;4;11 theo ba vectơ a, b, c
Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’biết A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;3), C’(1;2;3). a) Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình hộp
b) Tính thể tích hình hộp
(23)Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(2;3;4) Gọi M1, M2, M3 hình chiếu A lên ba
trục tọa độ Ox;Oy,Oz N1, N2, N3 hình chiếu A lên ba mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Ozx
a) Tìm tọa độ điểm M1, M2, M3 N1, N2, N3
b) Chứng minh N1N2 AN3
c) Gọi P,Q điểm chia đoạn N1N2, OA theo tỷ số k xác định k để PQ//M1N1 2 MẶT PHẲNG
A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/. Phương trình mặt phẳng :
1). Trong khơng gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = với A2+B2+C2≠0 phương trình tổng quát
của mặt phẳng, n (A;B;C) vectơ pháp tuyến
2). Mặt phẳng (P) qua điểm M0(x0;y0;z0) nhận vectơ n (A;B;C)
làm vectơ pháp tuyến có dạng : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) =
3). Mặt phẳng (P) qua M0(x0;y0;z0) nhận a (a ;a ;a ) 1 2 3
b (b ;b ;b ) 1 2 3 làm cặp vectơ phương mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến :
2 3 1
2 3 1
a a a a a a
n a, b ; ;
b b b b b b
II/. Vị trí tương đối hai mặt phẳng
1).Cho hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0 (P) cắt (Q) A : B : C ≠ A’: B’: C’
(P) // (Q) A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’
(P) ≡ (Q) A : B : C : D = A’: B’: C’: D’
2).Cho hai mặt phẳng cắt : (P): Ax + By + Cz + D = (Q): A’x + B’y + C’z + D’= Phương trình chùm mặt phẳng xác định (P) (Q) là:
m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D’) = (trong m2 + n2 ≠ 0)
III/. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = cho công thức :
0 0
0 2 2 2
Ax By Cz D
d(M , )
A B C
IV/. Góc gữa hai mặt phẳng
Gọi φ góc hai mặt phẳng : (P): Ax + By + Cz + D = (Q): A’x + B’y + C’z + D’=
Ta có : P Q P Q 2 2 2 2 2 2
P Q
n n A.A' B.B' C.C ' cos cos(n , n )
n n A B C A ' B' C '
(00≤φ≤900)
900 n P nQ hai mặt phẳng vng góc
Trong phương trình mặt phẳng khơng có biến x mặt phẳng song song Ox, khơng có biến y song song
Oy, khơng có biến z song song Oz B/ BÀI TẬP:
(24)b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AC
c) Viết phương trình mặt phẳng (P)chứa AB song song với CD d) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD vng góc với mp(ABC)
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – = 0, (Q): x – 2y – 2z + = 0. a) Chứng tỏ hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc
b) Viết phương trình tham số đường thẳng () giao tuyến hai mặt phẳng
c) Chứng minh đường thẳng () cắt trục Oz Tìm tọa độ giao điểm
d) Mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ tai ba điểm A,B,C Tính diện tích tam giác ABC e) Chứng tỏ điểm O gốc tọa độ không thuộc mặt phẳng (P) từ tính thể tích tứ diện OABC Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z – = 0.
a) Viết phương trình mp (Q) qua gốc tọa độ song song với mp (P)
b) Viết phương trình tham số ,chính tắc ,tổng qt đường thẳng qua gốc tọa độ O vng góc với mặt mp(P)
c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) ( TNPT năm 1993)
Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y – z + = (Q): 2x – z = a) Chứng tỏ hai mặt phẳng cắt nhau,tính góc chúng
b) Lập phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) qua A(-1;2;3) c) Lập phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) song song với Oy
d) Lập phương trình mặt phẳng () qua gốc tọa độ O vng góc với hai mặt phẳng (P)và (Q)
Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y – z + = điểm M(2;1;-1) a) Tính độ dài đoạn vng góc kẽ từ M đến mặt phẳng (P)
b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vng góc với mặt phẳng (P)
c) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M song song Ox hợp với mặt phẳng (P) góc 450.
Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + ky + 3z – = (Q): mx – 6y – z + = 0.
a) Xác định giá trị k m để hai mặt phẳng (P) (Q) song song nhau,lúc tính khoảng cách hai mặt phẳng
b) Trong trường hợp k = m = gọi (d) giao tuyến (P) (Q) tính khoảng cách từ A(1;1;1) đến đường thẳng (d)
3 ĐƯỜNG THẲNG
A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/. Phương trình đường thẳng :
1).Phương trình tổng quát đường thẳng : Ax By Cz D 0
A 'x B' y C'z D' 0
(với A : B : C ≠ A’ : B’ : C’)
2).Phương trình ttham số đường thẳng :
0
0
0
x x a t
y y a t (t R)
z z a t
Trong M0(x0;y0;z0) điểm thuộc đường thẳng a (a ;a ;a ) 1 2 3
là vectơ phương đường thẳng
3).Phương trình tắc đuờng thẳng : 0
1
x x y y z z
a a a
Trong M0(x0;y0;z0) điểm thuộc đường thẳng a (a ;a ;a ) 1 2 3
vectơ phương đường thẳng
(25)Cho hai đ.thẳng () qua M có VTCP avà (’) qua M’ có VTCP a ' () chéo (’) a,a ' MM ' 0
() cắt (’) a,a ' MM ' 0
với a,a ' 0
() // (’) [a,a ']=0
M '
() ≡ (’) [a,a ']=0
M '
2). Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng:
Cho đường thẳng () qua M(x0;y0;z0) có VTCP a (a ;a ;a ) 1 2 3
và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = có VTPT n (A;B;C)
() cắt (α) a.n 0
() // (α) a.n 0 M ( )
() nằm mp(α) a.n 0 M ( )
III/. Khoảng cách :
1). Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng () qua M0 có VTCP a
0
[M M,a] S
d(M, )
c.đáy a
2). Khoảng cách hai đường chéo : () qua M(x0;y0;z0) có VTCP a
, (’) qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP a '
hoäp
đáy
[a,a'].MM' V
d( , ')
S [a,a']
IV/. Góc :
1). Góc hai đường thẳng :
() qua M(x0;y0;z0) có VTCP a (a ;a ;a ) 1 2 3
(’) qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP a (a ' ;a ' ;a ' ) 1 2 3
1 2 3
2 2 2
1 3
a.a ' a a ' a a ' a a ' cos cos(a,a ')
a a ' a a a a ' a ' a '
2). Góc đường thẳng mặt phẳng : () qua M0có VTCP a (a ;a ;a ) 1 2 3
(26)1
2 2 2
1
Aa +Ba +Ca sin cos(a, n)
A B C a a a
B/ BÀI TẬP: Bài 1:
a) Viết phương trình tham số tắc tổng quát đường thẳng qua hai điểm A(1;3;1) B(4;1;2) b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(2;-1;1) vng góc với mặt phẳng (P) : 2x – z + 1=0 Tìm tọa độ giao điểm (d) (P)
c) Viết phương trình tham số tắc đuờng thẳng có phương trình
2 4 0
2 2 0
x y z
x y z
Bài : Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0;1;1), B(-1;0;2), C(3;1;0) đường thẳng () có phương trình
4 2 1 0
3 5 0
x y z
x z
a) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua ba điểm A,B,C
b) Viết phương trình tham số tắc tổng quát đường thẳng BC.Tính d(BC,)
c) Chứng tỏ điểm M đường thẳng () thỏa mãn AM BC, BM AC, CM AB
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật có đỉnh A(3;0;0), B(0;4;0), C(0;0;5), O(0;0;0) D là đỉnh đối diện với O
a) Xác định tọa độ đỉnh D.Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (A,B,D) b) Viết phương trình đường thẳng qua D vng góc với mặt phẳng (A,B,D) c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (A,B,D) (TNPT năm 1999)
Bài 4: Cho hai đường thẳng:
x t x 2z 0
( ) : ( ') : y t
y 0
z 2t
a) Chứng minh hai đường thẳng () (’) không cắt vng góc
b) Tính khoảng cách hai đường thẳng ()và (’)
c) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua () vng góc với (’)
d) Viết phương trình đường vng góc chung ()và (’)
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1) D(-1;-5;3) a) Lập phương trình tổng quát đường thẳng AB
b) Lập phương trình mp (P) qua điểm C vng góc với đường thẳng AB c) Lập phương trình đường thẳng (d) hình chiếu vng góc đường thẳng CD xuống mặt phẳng (P) d) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD
Bài 6: Trong khơng gian Oxyz cho A(3;-1;0), B(0;-7;3), C(-2;1;-1), D(3;2;6). a) Tính góc tạo cặp cạnh đối diện tứ diện ABCD b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
c) Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vng góc với mặt phẳng (ABC) d) Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC)
e) Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB Bài 7: Cho đường thẳng ( ) : 2x y z 0
2x z 0
mp (P) : x + y + z – = a) Tính góc đường thẳng mặt phẳng
b) Tìm tọa độ giao điểm () (P)
(27)Bài 8: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng () (’) có phương trình:
2x y 0 3x y z 0
;
x y z 0 2x y 0
a) Chứng minh hai đường thẳng cắt tìm tọa độ giao điểm
b) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (α) qua hai đường thẳng () (’)
c) Viết phương trình đường thẳng (d) vng góc cắt hai đường () (’)
Bài 9: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(5;0;0), B(0;5/2;0), C(0;0;5/3) đường thẳng
x t
y 1 2t
z 4 3t
a) Lập phương trình mặt phẳng (α) di qua A , B, C Chứng minh (α) () vng góc nhau, tìm tọa
độ giao điểm H chúng
b) Chuyển phương trình () dạng tổng qt Tính khoảng cách từ M(4;-1;1) đến ()
c) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A vng góc với (), biết (d) () cắt
(Đề HK2 2005)
4 MẶT CẦU
A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/. Phương trình mặt cầu:
1).Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R là: (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
2).Phương trình x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = với A2+B2+C2–D>0 phương trình mặt cầu tâm
I(-A;-B;-C), bán kính R A2 B2 C2 D
II/. Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng:
Cho mặt cầu (S) : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 tâm I(a;b;c) bán kính R mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0. Nếu d(I,(P)) > R mặt phẳng (P) mặt cầu (S) khơng có điểm chung
Nếu d(I,(P)) = R mặt phẳng (P) mặt cầu (S) tiếp xúc
Nếu d(I,(P)) < R mặt phẳng (P) mặt cầu (S) cắt theo giao tuyến đường trịn có phương trình :
x a2 x a2 x a2 R2
Ax By Cz D 0
Bán kính đường trịn r R2 d(I,(P))2
Tâm H đường tròn hình chiếu tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (P)
B/ BÀI TẬP:
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z = hai điểm M(1;1;1) N(2;-1;5).
a) Xác định tọa độ tâm I bán kính mặt cầu (S) b) Viết phương trình đường thẳng MN
c) Tìm k để mặt phẳng (P): x + y – z + k = tiếp xúc mặt cầu(S)
d) Tìm tọa độ giao điểm mặt cầu (S) đường thẳng MN Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu giao điểm
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0) a) Chứng minh A,B,C,D bốn đỉnh tứ diện
b) Tính thể tích tứ diện ABCD
c) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A,B,C
(28)e) Viết phương trình đường trịn qua ba điểm A,B,C Hãy tìm tâm bán kính đường trịn
Bài 3: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z – = mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 3x + 4y – 5z
+ =
a) Xác định tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu (S)
b) Tính khoảng cách từ tâm I đên mặt phẳng (P).Từ suy mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn mà ta ký hiệu (C) Xác định bán kính R tọa độ tâm H đường tròn (C)
Bài 4: Trong không gian cho (P): x + 2y – z + = điểm I(1;2;-2) đường thẳng (d) : x 2y 0
y z 0
a) Tìm giao điểm (d) (P) Tính góc (d) (P)
b) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) c) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua (d) I
d) Viết phương trình đường thẳng (d’)nằm (P) cắt (d) vng góc (d) (Thi HK2, 2002-2003)
Bài 5: Trong không gian Oxyz ,cho A(1;-1;2), B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;-1;2). a) Chứng minh A, B, C, D bốn điểm đồng phẳng
b) Gọi A’ hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng Oxy viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A’, B, C, D
c) Viết phương trình tiếp diện (α) mặt cầu (S) điểm A’ (TN THPT 2003-2004)
Bài 6: Trong không gian Oxyz cho A(1;0;0) B(1;1;1) C(1/3; 1/3;1/3)
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) vng góc OC C Chứng minh O, B, C thẳng hàng Xét vị trí tương đối mặt cầu (S) tâm B, bán kính R 2 với mặt phẳng(P)
b) Viết phương trình tổng qt đường thẳng hình chiếu vng góc đường thẳng AB lên mặt phẳng(P)
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x + y + z – = mp(P) cắt trục tọa độ A, B, C
a) Tìm tọa độ A, B, C Viết phương trình giao tuyến (P) với mặt tọa độ Tìm tọa độ giao điểm D
của (d): 2 0
2 1 0
x y x y z
với mp(Oxy) Tính thể tích tứ diện ABCD
b) Lập phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp ABCD Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp ACD Xác định tâm bán kính đường trịn
(TN THPT 2001-2002)
Bài 8: Trong không gian Oxyz cho điểm A, B, C, D có tọa độ xác định :
A (2;4; 1), OB i 4j k, C (2;4;3), OD 2i 2j k a) Chứng minh ABAC, ACAD, ADAB Tính thể tích khối tứ diện ABCD
b) Viết phương trình tham số đường (d) vng góc chung hai đường thẳng AB CD Tính góc (d) mặt phẳng (ABD)
c) Viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm A, B, C, D Viết phương trình tiếp diện (α ) (S) song song với mặt phẳng (ABD)
Bài 9: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) mặt phẳng (P): x + y + z – = a) Viết pt mặt cầu qua điểm A, B, C có tâm thuộc mp (P)
b) Tính độ dài đường cao kẽ từ A xuống BC
c) Cho D(0;3;0).Chứng tỏ DC song song với mp(P) từ tính khoảng cách đường thẳng DC mặt phẳng (P)
Bài10: Trong không gian Oxyz cho A(2;0;0) , B(0;4;0), C(0;0;4).
a) Viết phương trình mặt cầu qua điểm O, A, B, C Tìm tọa độ tâm I bán kính mặt cầu b) Viết phương trình mặt phẳng(ABC)
c) Viết phương trình tham số đường thẳng qua I vng góc mặt phẳng(ABC) d) Tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 11: Cho mặt cầu (S) có phương trình x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z =0
(29)b) Gọi A, B, C giao điểm (khác điểm gốc tọa độ) mặt cầu (S) với trục tọa độ Ox, Oy, Oz Tính tọa độ A, B, C viết phương trình mặt phẳng (ABC)
c) Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng.Từ xác định tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC