Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số yf x có đạo hàm trên khoảng K.. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y f x có đạo hàm trên khoảng K.. Sử dụng tính đơn điệu
Trang 1TÁN ĐỔ TOÁN PLUS CHỦ ĐỀ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Định nghĩa: Cho hàm số y f x( ) xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc
một đoạn
• Hàm số y f x( ) đồng biến (tăng) trên K nếu x x1, 2 K x, 1 x2 f x( )1 f x( )2
• Hàm số y f x( ) nghịch biến (giảm) trên K nếu x x1, 2 K x, 1 x2 f x( )1 f x( )2
2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số yf x( ) có đạo hàm trên khoảng K
• Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f x ( ) 0, x K
• Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f x ( ) 0, x K
3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y f x( )có đạo hàm trên khoảng K
• Nếu f x ( ) 0, x K thì hàm số đồng biến trên khoảng K
• Nếu f x ( ) 0, x K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K
• Nếu f x ( ) 0, x K thì hàm số không đổi trên khoảng K
Chú ý
Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “Hàm số yf x( ) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó” Chẳng hạn: Nếu hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn a b;
và
có đạo hàm f x ( ) 0, x K trên khoảng ( ; )a b thì hàm số đồng biến trên đoạn a b;
Nếu f x ( ) 0, x K (hoặc f x ( ) 0, x K ) và f x ( ) 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của
K thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K )
B KỸ NĂNG CƠ BẢN
1 Lập bảng xét dấu của một biểu thức P x( )
Bước 1 Tìm nghiệm của biểu thức P x( ), hoặc giá trị của x làm biểu thức P x( ) không xác định
Bước 2 Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn
Bước 3 Sử dụng máy tính tìm dấu của P x( ) trên từng khoảng của bảng xét dấu
2 Xét tính đơn điệu của hàm số y f x( ) trên tập xác định
Bước 1 Tìm tập xác định D
Bước 2 Tính đạo hàm y f x ( )
Bước 3 Tìm nghiệm của f x ( ) hoặc những giá trị x làm cho f x ( ) không xác định
Bước 4 Lập bảng biến thiên
Bước 5 Kết luận
3 Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f x( ) đồng biến, nghịch biến trên khoảng ( ; )a b
cho trước
Cho hàm số y f x m( , ) có tập xác định D, khoảng ( ; )a b D :
Hàm số nghịch biến trên ( ; )a b y' 0, x ( ; )a b
Hàm số đồng biến trên ( ; )a b y' 0, x ( ; )a b
Chú ý: Riêng hàm số a x1 b1
y
cx d
thì :
Hàm số nghịch biến trên ( ; )a b y' 0, x ( ; )a b
Hàm số đồng biến trên ( ; )a b y' 0, x ( ; )a b
VIP
Trang 2* Nhắc lại một số kiến thức liên quan: Cho tam thức g x( ) ax2 bxc a( 0)
( ) 0,
0
a
( ) 0,
0
a
( ) 0,
0
a
( ) 0,
0
a
Chú ý: Nếu gặp bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng ( ; )a b :
Bước 1: Đưa bất phương trình f x ( ) 0 (hoặcf x ( ) 0), x ( ; )a b về dạng g x( ) h m( )
(hoặc g x( ) h m( )), x ( ; )a b
Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số ( ) trên ( ; )a b
Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m
4 Sử dụng tính đơn điệu cửa hàm số để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình:
Đưa phương trình, hoặc bất phương trình về dạng ( ) m hoặc f x( ) g m( ), lập bảng biến thiên của ( ), dựa vào BBT suy ra kết luận
Tài liệu này thuộc Series TÁN ĐỔ TOÁN PLUS
DÀNH RIÊNG CHO THÀNH VIÊN VIP
Đăng kí VIP tại bit.ly/vipkys
Nhận toàn bộ tài liệu tự động qua email
Nhận toàn bộ các Series giải chi tiết 100%
Được cung cấp khóa đề ĐỒNG HÀNH 2K
Được nhận những tài liệu độc quyền dành riêng cho VIP
VIP KYS
Trang 3BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
−
1 1
x y
x Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng?
A Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞ ∪ +∞ ;1) (1; )
B Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;1) (∪ +∞1; )
C Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;1) và (1;+∞ )
D Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;1) và (1;+∞ )
y= − +x x − x+ Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A Hàm số luôn nghịch biến trên
B Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞ và ;1) (1;+∞ )
C Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;1 ) và nghịch biến trên khoảng (1;+∞)
D Hàm số luôn đồng biến trên
y= − +x x + và các khoảng sau:
(I): (−∞ −; 2); (II): (− 2; 0); (III): (0; 2 ; )
Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?
A Chỉ (I) B (I) và (II) C (II) và (III) D (I) và (III)
4 2
x y
x
−
=
− + Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A Hàm số luôn nghịch biến trên
B Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định
C Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 2)và (2;+∞ )
D Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞ −; 2) và(− +∞2; )
Câu 5 Hỏi hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên ?
A h x( )=x4−4x2+ 4 B g x( )=x3+3x2+10x+ 1
C ( ) 4 5 4 3
f x = − x + x − x D k x( )=x3+10x−cos2 x
1
x x y
x
= + nghịch biến trên các khoảng nào ?
A (−∞ −; 4)và (2;+∞) B (−4; 2)
C (−∞ − và ; 1) (− +∞ 1; ) D (− − và 4; 1) (−1; 2)
3
x
y= − x + x− nghịch biến trên khoảng nào?
A (5;+∞) B ( )2;3 C (−∞ ;1) D ( )1;5
5
y= x − x + x − đồng biến trên khoảng nào?
y=ax +bx +cx+d Hỏi hàm số luôn đồng biến trên khi nào?
a b c
a b ac
= = >
a b c
a b ac
= = >
a b c
a b ac
= = >
0
a b c
a b ac
= = =
< − <
Trang 4Câu 10 Cho hàm số 3 2
y=x + x − x+ Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A Hàm số nghịch biến trên khoảng (−3;1)
B Hàm số đồng biến trên
C Hàm số đồng biến trên (− − 9; 5)
D Hàm số đồng biến trên khoảng (5;+∞ )
Câu 11 Cho hàm số = 2 − 3
3
y x x Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A Hàm số đồng biến trên khoảng ( )0; 2
B Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;0 ; 2;3 ) ( )
C Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0 ; 2;3) ( )
D Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )2;3
sin , 0;
2
x
y x x Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?
A 0;7 11 ;
12 và 12
7 11
;
12 12
C. 0;7 7 ;11
12 và 12 12
cos
y= +x x Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A Hàm số luôn đồng biến trên
B Hàm số đồng biến trên ;
và nghịch biến trên khoảng ;
C Hàm số nghịch biến trên ;
và đồng biến trên khoảng ;
D Hàm số luôn nghịch biến trên
Câu 14 Cho các hàm số sau:
1
3
1
x y x
−
= + ;
2
(III) :y= x + 4
3
(IV) :y=x +4x−sinx; (V) :y=x4+x2+ 2
Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên những khoảng mà nó xác định?
Câu 15 Cho các hàm số sau:
(I) :y= − +x 3x −3x+ ; 1 (II) :y=sinx−2x;
3
1
x y
x
−
=
− Hỏi hàm số nào nghịch biến trên toàn trục số?
A (I), (II) B (I), (II) và (III)
C (I), (II) và (IV) D (II), (III)
Câu 16 Xét các mệnh đề sau:
( 1)
y= − −x nghịch biến trên (II) Hàm số ln( 1)
1
x
x
− đồng biến trên tập xác định của nó
(III) Hàm số
2 1
x y
x
= + đồng biến trên Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?
Trang 5Câu 17 Cho hàm số y= +x 1(x−2) Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1
2
−
B Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞ −; 1)
C Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 1)và 1;
2
+∞
D Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1
2
−
và đồng biến trên khoảng 1;
2
+∞
Câu 18 Cho hàm số y= + +x 3 2 2−x Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞ −; 2)và đồng biến trên khoảng (−2; 2)
B Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞ −; 2)và nghịch biến trên khoảng (−2; 2)
C Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞ và nghịch biến trên khoảng ;1) ( )1; 2
D Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞ và đồng biến trên khoảng ;1) ( )1; 2
2 2
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A Hàm số luôn giảm trên ;
2 2
π π
B Hàm số luôn tăng trên ;
2 2
π π
C Hàm số không đổi trên ;
2 2
π π
D Hàm số luôn giảm trên
Câu 20 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 2
1
x m y
x
− +
= + giảm trên các khoảng
mà nó xác định ?
A m< − 3 B m≤ − 3 C m≤ 1 D m< 1
Câu 21 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số sau luôn nghịch biến trên ?
1
3
y= − x −mx + m− x− +m
A 3− ≤ ≤ m 1 B m≤ 1 C 3− < < m 1 D m≤ −3;m≥1
Câu 22 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x2 (m 1) 2m 1
x m
=
từng khoảng xác định của nó?
A m> 1 B m≤ 1 C m< 1 D m≥ 1
Câu 23 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y= f x( )= +x mcosx luôn đồng
biến trên ?
2
m> C m ≥ 1 D 1
2
m<
Câu 24 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y=(m−3)x−(2m+1) cosx luôn
nghịch biến trên ?
3
1
m m
>
≠ D m≤2
Câu 25 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số sau luôn đồng biến trên ?
y= x − m+ x + m+ x− m+
Trang 6Câu 26 Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m sao cho hàm số 3 2
3
x
y= +mx −mx m− luôn đồng biến trên ?
A m= −5 B m= 0 C m= −1 D m= −6
Câu 27 Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho hàm số y (m 3)x 2
x m
= + luôn nghịch biến trên các khoảng xác định của nó?
A m= −1 B m= −2 C m= 0 D Không có m
Câu 28 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số = +
+
4
mx y
x m giảm trên khoảng
(−∞;1 ? )
A − < <2 m 2 B − ≤ ≤ −2 m 1 C − < ≤ −2 m 1 D − ≤ ≤2 m 2
Câu 29 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số = −3 2+ +
y x x mx đồng biến trên khoảng (0;+∞)?
A m≤ 0 B m≤ 12 C m≥ 0 D m≥ 12
Câu 30 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 4 2
y=x − m− x + − m đồng biến trên khoảng (1;3)?
A m∈ −[ 5; 2) B m∈ −∞( ; 2] C m∈(2,+∞ ) D m∈ −∞ − ( ; 5)
Câu 31 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số =1 3−1 2 + − +
nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3?
A m= −1;m=9 B m= −1 C m= 9 D m=1;m= −9
Câu 32 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số = −
−
tan
x y
x m đồng biến trên khoảng π
0;4 ?
A 1≤ <m 2 B m≤0;1≤ <m 2 C m≥ 2 D m≤ 0
3
2
3
mx
y= f x = + mx + x− +m giảm trên nửa khoảng [1;+∞)?
A ; 14
15
14
; 15
14 2;
15
14
; 15
+∞
Câu 34 Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 4 2
y= − +x m− x + m nghịch biến trên khoảng ( )1; 2 là ; p
q
−∞
, trong đó phân số p
q tối giản và q>0 Hỏi tổng p q+ là?
Câu 35 Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số y x2 2mx m 2
x m
=
biến trên từng khoảng xác định của nó?
Câu 36 Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số
2
y
x m
=
− đồng biến trên khoảng (1;+∞) ?
Trang 7Câu 37 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số αvà β sao cho hàm số
3
2
x
y= f x = − + α+ α x − x α α− β− luôn giảm trên ?
π π α π π + ≤ ≤ + ∈ và β ≥2
π + π α≤ ≤ π + π ∈
và β ≥2
π
α ≤ + π ∈ và β ≥2
π
α ≥ + π ∈ và β ≥2
Câu 38 Tìm mối liên hệ giữa các tham số a và b sao cho hàm số y= f x( )=2x+asinx b+ cosx luôn
tăng trên ?
A 1 1 1
a+ = b B a+2b=2 3 C a2+b2 ≤ 4 D 2 1 2
3
a b +
Câu 39 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 3 2
x − x − x− =m có đúng
1 nghiệm?
C m< − hoặc 27 m> 5 D 5− ≤ ≤m 27
Câu 40 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 2 x+ = + có nghiệm 1 x m
thực?
A m≥ 2 B m≤ 2 C m≥ 3 D m≤ 3
Câu 41 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 2 2
x − x+ = +m x− có x
đúng 2 nghiệm dương?
A 1≤ ≤ m 3 B 3− < <m 5 C − 5< < m 3 D 3− ≤ < m 3
Câu 42 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho mọi nghiệm của bất phương trình:
2
x − x+ ≤ cũng là nghiệm của bất phương trình 2 ( )
mx + m+ x+ + ≥ ? m
7
7
m≥ − D m≥ − 1
Câu 43 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình:
log x+ log x+ −1 2m− = 1 0 có ít nhất một nghiệm trên đoạn 3
1;3
?
A 1− ≤ ≤ m 3 B 0≤ ≤m 2 C 0≤ ≤ m 3 D − ≤ ≤1 m 2
Câu 44 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 2
x +mx+ = x+ có hai nghiệm thực?
2
2
2
m≥ D m∀ ∈
Câu 45 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 4 2
3 x− +1 m x+ =1 2 x −1
có hai nghiệm thực?
4
m
3
m
3
m
≤ <
Câu 46 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình
2
(1 2 )(3+ x −x) > +m 2x −5x− 3 nghiệm đúng với mọi 1;3
2
x∈ −
A m> 1 B m> 0 C m< 1 D m< 0
Trang 8Câu 47 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình
3 1+ +x 3−x −2 (1+x)(3−x) ≥ nghiệm đúng với mọi m x∈ −[ 1;3]?
A m≤ 6 B m≥ 6 C m≥6 2− 4 D m≤6 2− 4
Câu 48 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình
3+ +x 6− −x 18 3+ x−x ≤m − + m 1 nghiệm đúng∀ ∈ −x [ 3, 6]?
C 0≤ ≤ m 2 D m≤ − hoặc m 21 ≥
Câu 49 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình
.4x 1 2x 1 0
m + m− + + − >m nghiệm đúng ∀ ∈ x ?
A m≤ 3 B m≥ 1 C 1− ≤ ≤ m 4 D m≥ 0
Câu 50 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình: 3
3
1
x mx
x
− + − < − nghiệm đúng ∀ ≥ ? x 1
3
3
2
− ≤ ≤
BẢNG ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Contact us:
Hotline: 099.75.76.756
Admin: fb.com/tritranbk
Email: tailieukys@gmail.com
Fanpage Tài liệu KYS: fb.com/tailieukys
Group Gia đình Kyser: fb.com/groups/giadinhkyser