® Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thi f’x0,Vxe K thì hàm số đồng biến trên khoảng K... Hỏi hàm số nào sau đây nghịch biến trên IR?. Hỏihàm số y= ee nghịch biên trên các khoảng nàoA.
Trang 1> UNG DUNG DAO HAM KHAO SAT
TINH BIEN THIEN VA VE DO TH] HAM SO
A KIEN THUC CO BAN
1 Định nghĩa: Cho ham sé y = f (x) x4c định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn
se Hàm số y= ƒ(z) đồng biến (tăng) trên K nếu Vx,,x,e K,zx,< x¿„ © ƒ (x¡)< ƒ(%)
e© Hàm số y= ƒ(zx) nghịch biến (giảm) trên K nếu Vx,,x,e K,zx,< x¿ => ƒ (x¡)> ƒ (%)
2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = ƒ (x) có đạo hàm trên khoảng K
© Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì ƒ'(x)>0,Vxe K
® Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thi f’(x)<0,Vxe K
3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = ƒ (z) có đạo hàm trên khoảng K
e© Nếu ƒ(x)>0,Vxe K thì hàm số đồng biến trên khoảng K
e© Nếu ƒ(x)<0,Vxe K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K
e© Nếu ƒ(x)=0,Vxe K thì hàm số không đổi trên khoảng K
va Chú ý
*® Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y= ƒ(z) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó” Chẳng hạn: Nếu hàm số y = ƒ(z) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo
hàm ƒ(x)>0,Vxe K trên khoảng (a;b) thì hàm số đồng biến trên đoạn [a;b]
*® Nếu ƒ'(x)>0,Vxe K(hoặc ƒ(x)<0,Vxe K) và ƒ'(x)=0chỉ tại một số điểm hữu hạn của
K thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K )
B KỸ NĂNG CƠ BẢN
1 Lập bảng xét dấu của một biểu thức P{(x)
Bước I Tìm nghiệm của biểu thức P(z), hoặc gid tri cua x lam biểu thức P(x) không xác định Bước 2 Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn
Bước 3 Sử dụng máy tính tìm dấu của P(x) trén từng khoảng của bảng xét dấu
2 Xét tính đơn điệu của hàm số y = ƒ (x) trên tập xác định
Bước I Tìm tập xác định D
Bước 2 Tính đạo hàm y= f(x)
Bước 3 Tìm nghiệm của ƒÍ(x) hoặc những gid trix lam cho ƒ(x) không xác định
Bước 4 Lập bảng biến thiên
Bước 5 Kết luận
3 Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = ƒ(x) đông biến, nghịch biến trên khoảng (a; b) cho trước
Cho hàm số y= f(x,m) cé tap xac dinh D, khoang (a;b) CD:
¢ Ham sé nghich biến trên (2;b) © y'<0,Vxe (a;b)
©Ò _ Hàm số đồng biến trên (z;b) © y'>0,Vxe (a;b)
Chuyên để I.I 'Ứng dụng đạo hàm để khảo sdt vd vé dé thi cia hàm aố 1IITHBTN
Trang 2+» Chú ý: Riêng hàm số đa thức thì :
"_ Hàm sô nghịch biên trên (2;b) ©> y'<0,Vxe (a;b)
= Ham sé đồng biến trên (z;b) © y'>0,Vxe (4;b)
* Nhắc lại một số kiến thức liên quan:
Cho tam thức g(x) =ax’ +bx+c (a#0)
a) eay2OvreR oo {070 bg) >O.vie Reo {8S
A<0 A>0
c) kG)<0/VE Re PS) A<0 9z6)<0Ysc Re A<0
+a Chú ý: Nếu gặp bài toán tìm m dé ham số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a;b):
v Bước 1: Đưa bất phương trình ƒ(x)>0 (uoặc ƒ(x)<0), Vxe (a;b) về dạng g(z) > hữn)
(hoặc g(x)<h(m)), Vxe (a;b)
* Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) trén (a;b)
Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của tham
SỐ 7m
4 Sử dụng tính đơn điệu cửa hàm số để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình: Đưa phương trình, hoặc bât phương trình về dạng ƒ(x)=m hoặc ƒ(z) > g(m), lập bảng biên thiên cua ƒ(z), dựa vào BBT suy ra kết luận
C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1l Cho hàm số y= — Khang định nào sao đây là khẳng đinh đúng?
—#
A Hàm số nghịch biến trên khoảng (—œ;1) J(1;+e)
B Hàm số đồng biến trên khoảng (—=;1)t2(1;+=)
C Hàm số nghịch biến trên các khoảng (—œ;1), (1;+e)
D Hàm số đồng biến trên các khoảng (—œ;1),(1;+œ)
Câu 2 Cho hàm số y= —x”)+3x?—3x+2 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A Hàm sô luôn nghịch biên trên lR
B Hàm số nghịch biến trên các khoảng (—=;1).(1;+)
C Hàm số đồng biến trên khoảng (—e;1) và nghịch biến trên khoảng (1;+e)
D Hàm số luôn đồng biến trên IR
Câu 3 Cho hàm số y=—x” +4+x? +10 và các khoảng sau:
Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?
A Chi (1) B (J) va (iD Π(II va (il) D (1) va (HD)
3x-1 -4+2x
A Hàm số nghịch biến trên IR
B Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
C Hàm số đồng biến trên các khoảng (—œ;2) ,(2;+œ )
Câu 4 Cho ham sé y= Khang dinh nao sau day 1a khang dinh ding?
Chuyén dé 1.1 Ung dung dao ham dé khdo sdt vd vé dé thi cia hàm aố 2ITHBTN
Trang 3D Hàm số nghịch biến trên các khoảng (—œ;—2),(—2;+œ)
Câu 5 Hỏi hàm số nào sau đây nghịch biến trên IR ?
A h(x) = x4 -—4x7 +4 B g(x) =x° +3x7 +10x41
C ƒ@)=~ S3” + dc D k(x) =x? +10x-cos? x
Câu 6 Hỏihàm số y= ee nghịch biên trên các khoảng nào ?
x+
A (—e;—4), (2;+ee) B (-4;2)
C (-00;-1), (—1; +0) D (-4;-1) va (-1;2)
3
Cau7 Hỏihàmsố y= 5 —3x?+5+x—2 nghịch biến trên khoảng nào?
A (5;+=) B (2;3) C (—=;1) D (1;5)
Câu8 Hỏi hàm sô y= sử —3zxˆ +3x” —2 đông biên trên khoảng nào?
A (—s;0),(1;3) B (1;3) C.R D (—=;])
Câu 9 Cho hàm số y= øx)+bx?+cx+đ Hỏi hàm số đồng biến trênIR khi nào?
a>0;b“ˆ—3ac<0 a>0;b* —3ac 20 a=b=0,c>0 a=b=c=0
a<0;b“ˆ —3ac <0 a<0;b° —3ac <0 Cau 10 Cho hamsé y=x° +3x?-9x+15 Khang dinh nao sau day là khẳng định sai?
A Hàm số nghịch biến trên khoảng (—3;1)
B Hàm số đồng biến trên R
C Hàm số đồng biến trên (—9;—5)
D Hàm số đồng biến trên khoảng (5;+œ)
Câu 11 Cho hàm sế y=+/3x?—x? Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2)
B Hàm số đồng biến trên các khoảng (—œ;0);(2;3)
C Hàm số nghịch biến trên các khoảng (—=;0);(2:3)
D Hàm số nghịch biến trên khoảng (2;3)
Câu 12 Cho hàm số y=2 +sinẺ ~,xe |0;Z| Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?
A |0“ là| “;z | p | 22,57)
12 12 12 12
12 12 12 12 12 12 Chuyén dé 1.1 Ung dung dao ham dé khdo sdt vd vé dé thi cia hàm aố 3ITHBTN
Trang 4Câu 13 Cho hàm số y= x+cos” x Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A Hàm số đồng biến trên R
B Hàm số đồng biến trên (4 +kZ; =) và nghịch biến trên khoảng [—+ ka |
` Zk wk A a ` 4A sk ^ 2 a
€ Hàm sô nghịch biên trên l#+ kn; t=) va dong bién trén khoang [—=£ + ka
D Hàm số luôn nghịch biến trên R
Câu 14 Cho các hàm sô sau:
(IV): y=x°+4x-sinx; (V): yHx +x? +2
Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên những khoảng mà nó xác định?
Câu 15 Cho các hàm số sau:
(I): y=—x° +3x’ -3x41; (II): y=sinx—2x;
Hỏi hàm số nào nghịch biến trên IR ?
A (1), (ID) B (D, UD và (II)
Œ (), (II) và (IV) D dD, ID
Câu 16 Xét các mệnh đề sau:
(D Hàm số y=-—(x—1)” nghịch biến trên IR
(ID Hàm số y =In(x—1)— ¬ đồng biến trên tập xác định của nó
Xx —
(I) Ham sé y= x đồng biến trên IR
Vx? +1
Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?
Céu 17 Cho ham sé y=|x+1|(x—2) Khang dinh nao sau đây là khăng định sai?
A Ham sé nghich bién trén khoang (-1 4
B Ham sé nghich bién trén khoảng (—œ;—])
C Hàm số đồng biến trên các khoảng (—œ;—]) và (=)
D Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1 | và đồng biến trên khoảng (4 40]
Câu 18 Cho ham sé y=x+3+2J2-— x Khang dinh nao sau day là khẳng định đúng?
A Hàm số nghịch biến trên khoảng (—œ;—2) và đồng biến trén khoang (—2;2)
B Hàm số đồng biến trên khoảng (—œ;—2) và nghịch biến trên khoảng (—2;2)
C Hàm số đồng biến trên khoảng (—e;1) và nghịch biến trên khoảng (1;2)
Chuyên để I.I 'Ứng dụng đạo hàm để khảo sdt vd vé dé thi cia hàm aố 4ITHBTN
Trang 5Cau 19
Cau 20
Cau 21
Cau 22
Cau 23
Cau 24
Cau 25
Cau 26
D Hàm số nghịch biến trên khoảng (—œ;1) và đồng biến trên khoảng (1;2)
Cho ham s6 y=cos2x+sin2x.tan x, Vxe Ki) Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A Hàm số giảm trên (-2.2}
2 2
B Hàm số tăng trên (-2.4}
22
C Hàm số không đổi trên (-2.2}
2 2
` Key A a
D Hàm sô giảm trên E2)
ky a ee , k ` k x-m+2 _ A 2 ;
Tim tât cả các giá tr thực của tham sô ? sao cho hàm sô y = aT giảm trên các khoảng
x+
mà nó xác định ?
A m>3 B m21 C m<i D m<1
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số sau luôn nghịch biến trên IR ?
y=~- 3° —ng” +(Ôm~3)x=m+2
A -3<m<1 B m <1 ŒC -3<m <1 D m<—3;m >1
x —(m4+1)x+2m-1
x—m
Tim tat cả các giá trị thực của tham sô zz sao cho hàm sô y= tăng trên từng khoảng xác định của nó?
Tim tat ca các giá trị thực của tham số zz sao cho hàm số y = ƒ(x)= z+mcos x luôn đồng biến trên IR ?
B
A |m|<1 B m>— 2 C |m|>1 D m<~ 2
Tìm tất cả các giá tri thuc cia tham s6 m sao cho hàm s6 y=(m—3)x—(2m+1)cosx lun
nghich bién trén R ?
m>3
Tim tât cả các giá trị thực của tham sô m sao cho hàm sô sau luôn đông biên trên R ?
y=2x” -3(m +2)x? +6(m +1)x— 3m +5
3
Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số z sao cho hàm số yam —mx—m luén déng bién trên R?
Chuyén dé 1.1 Ung dung dao ham dé khdo sdt vd vé dé thi cia hàm aố 5ITHBTN
Trang 6Cau 27
Cau 28
Cau 29
Cau 30
Cau 31
Cau 32
Cau 33
Cau 34
Cau 35
Cau 36
(m+3)x—2 Tìm sô nguyên ? nhỏ nhât sao cho ham so y= luôn nghịch biên trên các khoảng
x+m
xác định của nó?
keg ee ges , k ` k mx+4 A ;
Tìm tât cả các giá trị thực của tham sô m sao cho hàm sô y= giảm trên khoảng
x+m
(—=;1)?
Á -2<m<2 B -2<m<—1 Œ -2<m<-—I1 D -2<m<2
Tim tat cả các giá trị thực của tham số mm sao cho hàm số y= xz`—6x” +zmz+1 đồng biến trên
khoảng (0;+œ) ?
Á m<0 B m<12 C m20 D m212
Tim tat ca các giá trị thực của tham số z sao cho hàm số y= x—2(w—1)x?+m—2 đồng biến trên khoảng (1;3) ?
A me [-5;2) B me (-<0;2] C me (2,4) D me (—œ;—5)
HT , k ` k 1 1
Tim tât cả các giá trị thực của tham sô m sao cho hàm sô y =2# — mu” +2mx— 3m +4
nghịch biến trên một đoạn có độ dài đúng bằng 3?
Tim tât cả các giá trị thực của tham sô m sao cho ham so y= tnx cm đông biên trên khoảng
anx—m
0,7 ? 4
A 1<m<2 B.m<0;1<m<2 C.m22 D m<0
3
Tim tat cả các giá trị thực của tham sô sao cho hàm sô y= ƒ(+) = aot Tim? +14x-m+2 giảm trên nửa khoảng [Ï;+œ) ?
Tắt cả các giá trị thực của tham số zm sao cho ham sé y= —x" +(2m—3)x” +m nghịch biến trên khoảng (1;2) là [—#| , trong đó phân số # tối giản và >0 Hỏi tổng p+a là?
q q
x? —2mx+m+2
Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số y= đồng
x—m
biến trên từng khoảng xác định của nó?
Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số
_ 2x? +(1-m)x+1+m
X—Tm đồng biến trên khoảng (l;+œ) ?
Chuyên để I.I 'Ứng dụng đạo hàm để khảo sdt vd vé dé thi cia hàm aố 6ITHBTN
Trang 7Cau 37
Cau 38
Cau 39
Cau 40
Cau 41
Cau 42
Cau 43
Cau 44
Cau 45
Tim tat ca cdc giá trị thực của tham sô @va /@ sao cho hàm sô
3 y=ƒ@)=~Š—+2 Ging+eosa)x” —5 xsin øeosZ ~xjÖ—2 luôn giảm trên ïR ?
A J tka sas +ka,ked va đ>2
B +kz<ø< SZ+kz,ke Z và 8>2 12 12
C ư<-+kz,kc Z và đ>2
5
D a>" +k, ke Z va B22
Tìm môi liên hệ giữa các tham sô avà b sao cho hàm sô y= ƒ(x) ==2x+asin x+bcosx luôn tăng trên IR 2?
A a +o=1 a B a+2b=2V3 CC a+b’ <4 D a+ 222
Tìm tất cả các giá tri thyc cla tham s6 m sao cho phuong trinh x*—3x? -9x—m=0 cé ding 1 nghiém?
A -27<m<5 B m<_—5 hoặc m > 27
€ m<—27 hoặc m >5 D -5<m<27
Tìm tất cá các giá trị thực của tham số ø sao cho phương trình 2z+l=x+m có nghiệm thực?
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phuong trinh Vx’ —4x+5 =m+4x-x’ c6
đúng 2 nghiệm dương?
A.1<m<3 B.-3<m<45 C.-Jj5<m<3 D.-3<m<3
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho mọi nghiệm của bất phương trình: +?—3x+2<0 cũng là nghiệm của bất phương trình mx? +(zm+1)x+mm+1>0?
Tim tất cả các giá trị thục của tham số m sao cho phương trình:
log? x+-jlog? zx+1—2m—1=0 có ft nhất một nghiệm trên đoạn I3 | ?
Á -l<m<3 B.0<m<2 Œ 0<m<3 D -l<m<2
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số z sao cho phương trình 4x? +zmz+2=2x+1 có hai nghiệm thực?
Tim tat cả các giá tri thuc cia tham s6 m sao cho phương trình 3/x—1+mx+1=2ÄŸ+? —1 có hai nghiệm thực?
Chuyên để I.I 'Ứng dụng đạo hàm để khảo sdt vd vé dé thi cia hàm aố 7TITHBTN
Trang 8Cau 46
Cau 47
Cau 48
Cau 49
Cau 50
Cau 51
Cau 52
Cau 53
A L<m<1 B _1<m<1, Cc, -2<m<1, D.0<mø<1,
3 4 3 3
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 7w sao cho bất phương trình
4d+2x)(—x) >m+2x?—5x—3 nghiệm đúng với mọi xe 3}
Tim tat cả các giá trị thực của tham số zz sao cho bất phương trình
3(Vi+x+V3-x)-2/0+x)G—x) 2m nghiém ding voi moi xe [-1,3]?
A m<6 B m>6 C m>6V2-4 D.m<6\2-4
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình 43+x+V6—x—v18+3x—x? <m” —m+1 nghiệm đúng Vxe [—3,6 |]?
Œ 0<m<2 D m<—1 hoặc m>2
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình m.4* +(m—1).2***“ +mm—1>0 nghiệm đúng Vxe R ?
A ms3 B m21 Π-l<m<4 D m20
Tìm tât cả các giá trị thực của tham sô # sao cho bất phuong trinh: —x* +3mx—-2< ——c
x nghiệm đúng Vx>1 ?
A m<< B m>2 C m>2 D -J<m<Š
Tìm giá trị lớn nhất của tham số m sao cho bất phương trình Je * + 39n'* > 14 3°"* có
nghiệm?
Bất phương trinh V2x? +3x?+6x+16—J4—x > 23 cé tap nghiém 1a [a;b] Hoi téng a+b
có giá trị là bao nhiêu?
Bất phuong trinh Vx? —2x+3-—vx? —6x+11>/3—x—-Vx-1 c6 tap nghiém (a;b] Hoi hiéu
b—a có giá trỊ là bao nhiêu?
Chuyén dé 1.1 Ung dung dao ham dé khdo sdt vd vé dé thi cia hàm aố §SITHBTN
Trang 9D DAP AN VA HUONG DAN GIAI BAI TAP TRAC NGHIEM
I- DAP AN
21 rễ siz a {3 wo fat a2 | 3 | 5 {647 | 18} |
1 | 22 | 28) 24 | 28 TT ae 0/1 [32/331 8 5/86 [3738s io
Il -HUONG DAN GIẢI Caul ChonD
TXĐ: D=R\{1} Ta có ya 2 7 >0, Vx #1
x) Hàm số đồng biến trên các khoảng (—œ;l) và (1;+)
Câu2 Chọn A
TXĐ: D=R Ta có y'=-3x?+6x—3=-3(x—l)”<0, VxelR
Câu3 Chọn D,
x=0
x=+42
Trên các khoảng (—=: 2 và (0: 42 , y'>0nên hàm số đồng biến
TXĐ: D=]R y'=—4x`+8x=4x(2- x”) Giải y'=0¢|
Cau 4 Chọn B
10 5 <0,VxeD
TXĐ: D=R\{2} Ta cóy'=———————~
(-4+2x)
Cau 5 Chọn
Tac6: f (x) =—4x4 +42? -1=-(2x? -1l)? <0,VxeR
Cau 6 ChonD
2 _ =2
TXĐ: D=R\{-} y Gi y'=05 8 425-805)" 4
y' không xác định khi x=—1 Bảng biến thiên:
oN NU
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (—4;—1) và (—1;2)
Cau 7 ChonD
x=1 TXD: D=R yx 6145-04]
x=
Chuyên để I.I 'Ứng dụng đạo hàm để khảo sdt vd vé dé thi cia hàm số 9ITHBTN
Trang 10Trên khoảng (1;5), y'<0 nên hàm số nghịch biến
Cau 8 Chọn B
TXD: D=R y'=3x!—12x°+12x7 =3x”(x-2)” >0, VxelR
Câu 9 ChọnA
a=b=0,c>0 y'=3ax?+2bx+c>0,Vxe R © 5
a>0;b“ˆ -3ac <0
Câu 10 Chọn B
TXD: D=R.Do y'=3x?+6x—9=3(x—1)(x+3) nên hàm số không đồng biến trên R Câu 11 Chọn B
6x—3+x7
HSXĐ:3+x -x”` >0 © x<3 suy ra D= (—œ;3] y'=—————, Vxe (—œ;3)
23x" —x?
Giải y'=0 =|" y' không x= xác định khi L x=
Bang bién thién:
,
Hàm số nghịch biến (—œ;0) và (2;3) Hàm số đồng biến (0;2)
Câu 12 Chọn A
Vì xe |0;Z| nên có 2 giá trị x= và xzx=—— thỏa mãn điêu kiện
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến lo] và Ki )
;ZF
12
Câu 13 Chọn A
TXĐ: D=RR; y=l—sin2x>0 Vxe R suy ra hàm số luôn đồng biến trên R
Câu 14 Chọn C
(): y=x?—2x+3=(x—1)”+2>0, Vxe R
Chuyên để I.I 'Ứng dụng đạo hàm để khảo sdt vd vé dé thi cia hàm aố 10ITHBTN