Chuyên đề 2. Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm sốChủ đề 2.3. Điểm đặc biệt của họ đường cong

Trang 1

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2 3

A KIEN THỨC CƠ BẢN

I Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong

Xét họ đường cong (C,„) có phương trình y= ƒ(x,zm), trong đó ƒ là hàm đa thức theo biến +

với m là tham số sao cho bậc của không quá 2 Hãy tìm những điểm cố định thuộc họ đường cong khi m thay đỗi?

s* Phương pháp giải:

o Bước 1: Đưa phương trình y= ƒ(x,) về dạng phương trình theo ân zr có dạng sau:

Am+B=0 hoặc Am” + Bm + CC =0

o Bước2: Cho các hệ số bằng 0, ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình:

A=0 A=0 hoặc , B=0 B= C=0 o Bước3: Kết luận

* Nếu hệ vơ nghiệm thì họ đường cong (C,„) khơng có điểm có định + Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (C,)

II Bai todn tim điểm có tọa độ nguyên:

Cho đường cong (C) có phương trình y = f(x) (ham phân thức) Hãy tìm những điểm có tọa độ

nguyên của đường cong?

Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đâu là số nguyên

o Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số

o Bước2: Lí luận để giải bài toán

HI Bài tốn tìm điểm có tính chất đối xứng:

Cho đường cong (C) có phương trình y = f(x) Tìm những điểm đối xứng nhau qua một điểm,

qua đường thẳng

Bai todn 1: Cho dé thi (C): y = Ax’ + Bx’ +Cx+D trén đô thị (C) tìm những cặp điểm đổi

xing nhau qua diémI(x,, y,) s* Phương pháp giải:

v Gọi M(a;Aa` + Ba’ +Ca+D), N(b; Ab’ + Bb’ +Cb+ D) 1a hai diém trén (C) d6i xing nhau qua điểm J

a+b=2x,

w Ta có 343 > 4D

A(a’ +b*)+ B(a? +b’)+C(a+b)+2D=2y,

Giải hệ phương trinh tim dugc a,b tt dé tim dugc toa d6 M, N

Trường hợp đặc biệt : Cho đô thị (C): y = Ax’ + Bx’ +Cx+D Trén dé thi (C) tìm những cặp

điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ

Trang 2

Chuyên dé 2 Các bài toán liên quán đến đồ thị hàm aố BTN_2 3 Y Goi M (a, Aa’ + Ba’ +Ca+ D),N(b, Ab’ + Bb’ +Cb+D) 1a hai diém trên (C) đối xứng

nhau qua gốc tọa độ a+b=0

⁄ Ta có 8 +b°)+B(a’ +b’) +C(a+b)+2D=0

Giải hệ phương trình tìm được a,b từ đó tìm được toạ độ M,N

Bài toán 3: Cho đồ thị (C): y= Ax) + Bx”+Cx+ D trên đơ thị (C) tìm những cặp điểm đổi xứng nhau qua đường thẳng d: y = Ax+B

Gọi M(a;Aa` + Ba”+Ca+D), Nb;Ab` + Bb° +Cb+ D) là hai điểm trên (C) đối xứng nhau qua đường thẳng đ

lcả (1) ; ~

v Ta có: 4 (với ï là trung diém cua MN va ua là vectơ chỉ phương của MN.ua =0 (2)

đường thắng đ)

Giải hệ phương trình tìm được Ä, N IV Bài tốn tìm điểm đặc biệt khác:

1 Lí thuyết:

Loại I Cho hai điểm P(x:y):0(;;y,)= PO =+4|(x~x,Ý +(v;~ y,Ÿ ‹

Cho điểm M (xạ:yạ) và đường thắng đ: Ax+ By+C =0, thì khoảng cách từ M

đến đ là h(M-d) =o Bo Cl

VA’ +B?

Loại 2 Khoảng cách từ M (xạ: yạ) dén tiém cin dimg x=a la h=|x,-a] Loại 3 Khoảng cách từ M (xạ; yạ) đến tiệm cận ngang y= là b=|yạ —ở|

Chú ý: Những điểm cần tìm thường là hai điểm cực đại, cực tiểu hoặc là giao của một đường

thẳng với một đường cong (C) nào đó Vì vậy trước khi áp dụng công thức, ta cần phải tìm tìm điêu kiện tôn tại rôi tìm tọa độ của chúng

2 Các bài toán thường gặp:

Bài toán 1: Cho ham s6 y= ax +b cx+d

điển A va B thuộc hai nhánh đô thị hàm số sao cho khoảng cách AB ngắn nhất

(c0, ađ—bc #0) có đồ thị (C) Hãy tìm trên (C) hai

2 4+*^ A r d ⁄ A 2 ` A r À A ,

V (C) cé tiém can ding x =—— do tinh chat cha ham phân thức, đô thị năm về hai phía

C

của tiệm cận đứng Nên gọi hai số @, là hai số dương

Fe ^ , ee as d d d

VY Néu A thuéc nhánh trái thì x, < > x, =-—-a@<-—; y,=f(x,)

c C C

Trang 3

v Nếu B thuộc nhánh phải thì x, >_- 4 Ty, 44 85-4 ys = ƒ#Œyg)

C C C

* Sau đó tính AB” = (x, —x,) +(y,- y,) = [(a+ 8)-(a—a) | +(y, ~y,) * Áp dụng bất đẳng thức Côsi (Cauchy), ta sẽ tìm ra kết quả

Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y= ƒ(x) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất

Gọi M (x; y)va tong khoảng cách từ Mĩ đến hai trục tọa độ là đ thì đ = x|+|y]

v Xét các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ khi M nằm ở các vị trí đặc biệt: Trên trục hoành, trên trục tung

* Sau đó xét tong quát, những điểm 4 có hồnh độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc tung độ của M khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến

v Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm

rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của đ

Bài toán 3: Cho đồ thị (C) có phương trình y = ƒ(x) Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến Ox bằng k lẫn khoảng cách từ M đến trục Oy

Theo đầu bài ta có lv = k|x| = Ũ ld oe

y=-kx |ƒ(x)=-kx

ax+b

Bài tốn 4: Cho đơ thị hàm số (C) có phương trình y= f (x)= 7 (c #0, ad—bc #0)

cx+

Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho độ đài MI ngắn nhất (với I là giao điểm hai tiệm cận) s* Phương pháp giải:

on A rr A ˆ^ a

Y Tiém can đứng x=——; tiệm cận ngang y=—

C C

rd ia

Y Ta tim dugc toa dé giao điểm 7 ( ) của hai tiệm cận

CÓ UC

\ Gọi M (x„; y„ ) là điểm cần tìm Khi đó:

2 d\ a)

IM* = ut + ym = g(x,)

Y Sit dung phương pháp tìm GTLN - GTNN cho ham số g dé thu dugc két qua

Bài toán 5: Cho đô thị hàm số (C) có phương trình y= ƒ(x) và đường thẳng d:Ax+By+C =0 Tìm điểm I trên (C) sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất

s* Phương pháp giải

v Gọi I thuộc (C) —= I(%¿:yạ); yạ = ƒ@)

v Khoảng cách từ 7 đến đ là g(x¿)= h(1;đ) ~|4» + Bụ + d| VA? +B’

Trang 4

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2 3 B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9

Đồ thị của hàm số y=(m—])x+3—m (m là tham số) luôn đi qua một điểm M có định có tọa độ là

A M(0;3) B M(1;2) C M(-1;-2) D M(0;1)

Đồ thị của hàm số y= x?+2/nz— m+1 (m là tham số) luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ là

A M (0:1) B w{:)]| C u( 53) D M(-1;0)

2 2 2 4

Đồ thị của hàm số y= x`—3x? +mx+m (m là tham số) luôn đi qua một điểm Ä⁄ có định có tọa độ là

A M (-1;2) B M (-1-4) C M (1;-2) D M (1;-4)

Biết đồ thị (C„) của hàm sé y=x*—2mx’ +3 luén di qua mét diém M cé dinh khi m thay

déi, khi đó tọa độ của diém M là

A M (—1;1) B M (1:4) C M (0;-2) D M (0;3)

Biết đồ thị (C„„) của hàm số y = mi (m0) luôn đi qua một điểm M có định khi m

thay đôi Tọa độ điểm M khi đó là

A u[-1-3} B M (0:1) C M(-11) D M (0;-1)

Hỏi khi m thay đổi đồ thị (C„) của hàm số y= x`—3mx”?— x+3m đi qua bao nhiêu điểm cố

định ?

A.1 B 3 C 2 D 4

Tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y = *—ˆ sao cho khoảng cách từ điểm đến

x—

tiệm cận đứng bằng 1 là

A M (0:1),M (2:3) B M (2:1)

c (~k3) 2 D M [%5] 2

Hỏi khi m thay đổi đồ thị (C„) của hàm số y=(I—2zn)x*+3mx?—m—1 đi qua bao nhiêu

điểm có định 2

A 3 B 4 Œ 1 D 2

Tọa độ các điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số y= z1 mà có tơng khoảng cách đến hai

Xx—

đường tiệm cận của (C) bằng 4 là

A (4;3),(—2:1) B (2;5).(0:-1):

Œ (2;5).(0;—1).(4;3).(—2:1) D (2;5),(4:3)

Trang 5

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2 3 Câu 10 Cau 11 Cau 12 Cau 13 Cau 14 Cau 15 Cau 16 Cau 17 Cau 18 Cau 19 Cau 20 Cau 21 2x7 +(1—m)x+l+m

Biét dé thi (C,,) cha ham sé y= (m#—2) luôn luôn đi qua một điểm

—x+m

M (Xy3Yy) C6 dinh khi m thay d6i, khi d6 x,, + y,, bang

A -1 B -3 C 1 D -2

Cho hàm số y=—x` +zmxz”— x—4m có đồ thị (C„) và A là điểm có định có hoành độ âm của

(C,„) Giá trị của mm dé tiép tuyén tại A của (C, ) vng góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất là

A m=-3 B m=-6 C m=2 D m=-=

Trên đồ thị (C) của hàm số y= có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

x+

A 4 B 1 C 2 D 3

Trên đồ thị (C) của hàm số y=x”—5x”+6x+3 có bao nhiêu cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ ?

A.2 B 1 C 0 D 3

Trên đồ thị (C) của hàm số y = = có bao nhiêu điểm có tọa độ là các số nguyên dương ?

A 4 B 3 C 1 D 2

Trên đồ thị (C) của hàm số y= TT có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

A 6 B 2 C 3 D 4

4

, ` ` aA 4 ash kK › À ,L1ˆ La kK x ` Ate gt ye

Goi x,,x, là hoành độ các điểm uôn của đô thị hàm sô y=—-— x” —1, thì x,x, có giá trị bang 4 A.Z 3 B.0 C.,“ 3 D =2 3

Trên đồ thị (C) của hàm số y = T1 số điểm có tọa độ nguyên là

xX —

A 4 B 8 Œ 3 D 2

Trên đồ thị (C) của hàm số y = x+10 có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

x+

A 4 B 2 Œ 10 D 6

Trên đồ thị (C) của hàm số y = = có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

x —

A 4 B 2 C 1 D 6

Trên đồ thị (C) của hàm số y= ~ — ï có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

x+

A 4 B 2 C 1 D 6

8x+11

Trên đồ thị (C) của hàm số y = có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

4x+2

Trang 6

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2 3 Câu 22 Câu 23 Câu 24 Câu 25 Câu 26 Câu 27 Câu 28 Câu 29 Câu 30 2 Z1 ĐA ^ nm SÀ 4L * LA k +2 2 , ,

Tọa độ điêm M có hồnh độ dương thuộc đơ thị hàm sô y= * sao cho tong khoang cach

x—

tir M đến 2 tiệm cận của đồ thị hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là

A M(4;3) B M@;5) C M(1;-3) D M(0;-1)

Số cặp điểm thuộc đồ thị (C) của ham s6 y=x°+3x’-2 d6i xtmg vdi nhau qua diém

7 (2;18) 1a

A 2 B 1 Œ 3 D 4

Trong tất cả các điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị (C) của hàm số y= 3x+Š , số điểm có

x—

hoành độ lớn hơn tung độ là

A.2 B 8 C 6 D 4

“te có đồ thị (C) Gọi 7 là giao điểm hai đường tiệm cận của (C) Biết tọa

Cho ham s6 y=

độ điểm M (x„: y„ ) có hoành độ dương thuộc đồ thị (C) sao cho M7 ngăn nhất Khi đó giá

tri x, —y, bằng

A 0 B 243

C 2 D -2

Cặp điểm thuộc đồ thị (C) cua hàm số y=x+3x-2 đối xứng nhau qua điểm 7 (2;18) là A (132) và (3;34) B (3;2) va (1;34)

C (0;-2) va (4;74) D (32) va (—1;-6)

Cặp điểm thuộc đồ thị (C) của hàm s6 y=x°-4x°+9x+4 déi xing nhau qua géc toa dé O la

A (3;22) va (—3;-22) B (2;14) và (—2;-14)

€ (1;10) và (—1;—10) D (0;4) và (4;40)

Cặp điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số y = x°+x đối xứng nhau qua đường thắng đ: y = -2* là

A (1;2) va (-2;-10) B (2;—1) và (—2;1) C (1;-2) và (—1;2) D (1;2) va (-1;-2)

Toa d6 diém M thudc dé thi (C) cia hàm số y= x11

Xx— mà có khoảng cách đến tiệm cận ngang của (C) bằng 1 là

A M (3;2) B M (5;2)

C M(5;2),M (-10) D u[4:3].m (0-3)

Các giá trị thyc cia tham s6 m dé dé thi (C,,) cha ham sé y =x’ —3x?+m cé hai diém phan

biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ là

Á -l<m<0 B m#0 C m>-3 D m>0

Trang 7

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aế BTN_2 3

Câu 31 Cho hàm số y= — có đồ thị (C) Gọi đ là khoảng cách từ một điểm M trên (C) đến giao x+

điểm của hai tiệm cận Giá trị nhỏ nhất có thể có của đ là

A 42 B 24/3 C 342 D 242

Câu 32 Cho hàm số y= = có đồ thi (C) va I 1A giao diém cia hai dudng tiém cận của (C) Tiếp xX — tuyến tại một điểm M bất kỳ của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A và B Diện tích của tam

giác ABI bằng

A.4 B 5 C 6 D 7

Câu 33 Cho điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y= —, biết M có hồng độ a va khoang cach

x+

từ M đến trục Ox bằng ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy Giá trị có thể có của ø là A a=1 hoac ans B a=—-1 hoặc x=—

wl

wl]r

C a=-1 hoặc an D a=1 hoặc a=-

Câu 34 Cho hàm số y=—” có đề thị (C) Gọi M là một điểm thuộc đồ thị (C) và đ là tổng

x —

khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (C) Giá trị nhỏ nhất của Z có thể đạt được là

A 6 B 10 C 2 D.5

Câu 35 Cặp điểm thuộc đồ thị (C) của hàm sé y= -.x +x? ty mà chúng đối xứng nhau qua

trục tung là A (3-28) va (-x.-%} B (3:22) va [3%] 3 3 3 3 C (2) va Ki D (2-2) va (2:5), 3 3 3 3 x +5x4+15 x+3

A 2 B Có vơ số điểm # thỏa yêu cầu

C 1 D Khơng có điểm Ä⁄ thỏa yêu cầu

Câu 36 Có bao nhiêu điểm #⁄ thuộc đồ thị (C) của hàm số y = cách đều hai trục tọa độ ?

Câu 37 Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số y= có tọa độ nguyên ?

x+2x+2

A 1 B 8 C 3 D 4

Cau 38 Biét dé thi (C,,) cha ham s6 y=x? —3(m—1)x’ —3mx+2 lu6n luén di qua hai diém cé dinh

P(x,:y„) và Q(xạ: yạ} khi m thay đỗi, khi đó giá trị của y„ + y„ bằng

A -1 B 6 C 5 D 8

Câu 39 Tọa độ điểm AM thuộc đồ thị (C) của hàm số y=“”—ˆ sao cho khoảng cách từ điểm /(—1;2)

x+1

Trang 8

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2 3 Cau 40 Cau 41 Cau 42 Cau 43 Câu 44 Câu 45 Câu 46 A M,(-1+3;2+43), M;(T—1—x3:2+43) B ,(—1+v3;2-43), M,(—1+3;2+43) C M,(—1+v3;2—x3), M„(—1—x3;2+3) D M, (-1-V/3;2-V3), M, (-1-V3;-2-3) 2 ˆ Am“ , Re aka a in Ck x=4mx+5m

Tap hop tât cả các giá trị thực của m đê trên đô thị (C,) của hàm sơ y==————— có hai

xXx—

điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ là

A (0;+©) B (~z;0Ì\-a]:

C [1;+) D C=0)0| 2:5 ](S:+=)

z 2 —_ _ 4 * 4 A A oA A ` 2

Cho hàm số y=““ = có đơ thị (C) Biệt răng tiếp tuyên tại một điểm M bat ky cia (C)

xX —

luôn cắt hai tiệm cận của (C) tại A và 8 Độ dài ngắn nhất của đoạn thắng AB là

A 4, B V2 > D 2V2

2 3 1 A Zk +2 „ x - ah

Tọa độ điểm Ä⁄ thuộc đô thị (C) của hàm số y= * sao cho M cách đêu hai điểm

X—

A(2,0) và B(0,2)là

a (Be) 2 » (RB 8)

2 2 2 2

C (8 18), 2 2 2 2 D Khong tén tai diém M

, og a ~ , xX +2x—-2

Khoảng cách ngăn nhât từ đêm M thuộc đô thị (C) của hàm sô y =——— dén 7(1,4) la

x_—

A 2 B 2/2 C J2+2/2 D \2V2-2

Cho ham s6 y=2274 x+1

tiệm cận của (C) đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?

có đồ thị (C) Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc (C) đến hai

A 3 B 2 C D 4

G9

[|3

Gọi A, Ð là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau trên đồ thị (C) của hàm số y= x — 3 , độ dài ngắn nhất của đoạn thăng 4B là

A 43 B 243 C 4 D.2

Biết đồ thị (C„) của hàm số y= x“+mx”—m+2016 luôn luôn đi qua hai điểm 3 và N cố

định khi m thay đôi Tọa độ trung điểm 7 của đoạn thang MN la

A I(-1;0) B 7(1;2016) Œ /(0;1) D /(0;2017)

Trang 9

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2 3 Câu 47 Câu 48 Cau 49 Cau 50 Cau 51 Cau 52 Cau 53 Cau 54 Cau 55

Cho ham sé y= = có đồ thị (C) Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc (C) đến hai

X—

hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?

A.2 B ~ 3 C 1 D = 6

` k x°+3x4+3 43.0 z › z NV CA, ack ^ k

Cho ham sé y= —_ đồ thị (C) Tông khoảng cách từ một diém M thuộc (C) đên

x+

hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?

A.1 B — 2 C.2 pb 2 2

Tọa độ cặp điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số y= x14 đối xứng nhau qua đường thang

x—-

đ:x—2y-6=0là

A (4:4) và (-1;-1) B (1;-5) va (-1;-1) C (0;-2) va (3;7) D (1;-5) va (5;3)

Cho ham sé y=x*-+mx’ —m-1 c6 dé thi (C,,) Toa 46 cdc diém cé dinh cia (C,,) a

A (-10), (10) B (1;0),(0;1) C (—2;1),(-2;3) D (2:1).(01)

` k x°-5x+2 2 ¬ 2 wa ge Z ĐA nA os

Cho hàm sô y =a có đơ thị (C) Hỏi trên (C) có bao nhiêu điêm có hồnh độ và x

tung độ là các số tự nhiên

A 3 B 2 C 8 D 4

Cho ham sé y=—x‘*+2mx?-2m+1.c6 d6 thi (C,) Goi A là điểm cố định có hồnh độ

duong cua (C,,) Khi tiếp tuyến tại A của (C,,) song song với đường thang d: y=16x thi gid trị của m là

A m=5 B m=4 C m=1 D m=°2

64

; , » yk x a, ask nm ada: LẠ k x+4x+5 „ `

Khoảng cách nhỏ nhât từ một điêm thuộc đô thị (C ) của hàm sô y =~ dén duong x+

thang d: y+3x+6=0 bang

A 2 B 4, On v10, D 4

v10

Cho hàm số y= = có đồ thị (C) Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc (C) đến hai

x

tiệm cận của (C) đạt giá trị nhỏ nhất bằng

A 3 B.4 C 242 D 2

Tọa độ điểm M thudc dé thi (C) cia ham sé y= x12 cách đều hai đường tiệm cận của (C) x—

là

Trang 10

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2 3 Câu 56 Câu 57 Câu 58 Câu 59 Câu 60 Cau 61 Cau 62 Cau 63 Cau 64 5 C M{ 5s ].w| T2] D M (-2:2)

Tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y= — cách đều hai trục tọa độ là A M (-1;-1),M (3;3) B M (-1;3)

C M (-1;-1) D M (3;3)

Tọa độ điểm M có hoành độ nguyên thuộc đồ thị (C) của hàm số y= x12 có khoảng cách

x-1

đến đường thắng A: x— y+1=0 bằng —— là +

A M (-2;0) B M (2;4)

C M (2;4);M (-2;0) D M (2;-2)

Cho hàm số y=(m+2)x`—3(m—2)x+m+7 có đồ thị (C„) Khẳng định nào sau đây là

khắng định đúng?

A (C„) không đi qua điểm cố định nào

B (C„„) có đúng hai điểm có định

Cc (C„) có đúng ba điểm cố định

D (C„) có đúng một điểm có định

Điều kiện của tham số ứøm để trên đồ thị (C„) của hàm số y= xÌ —(3m—1)x”+2mx+m+1 có

ít nhất hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua trục Óy là

A m<0 B m<0 C m=-2 D ms-2

D6 thi ham sé y = 2x) +/mx?—12x—13 có hai điểm cực trị cách đều trục tung khi và chỉ khi:

Á m=-—I B m=0 C m=-1,m=-2 D m=-2

có bao nhiêu điểm cách đều hai trục tọa độ?

A A 2 ` K +1

Hỏi trên đồ thị (C) của hàm sô y= š

x+2

A 3 B 2 C 4 D 0

Tọa độ các điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số y = 3x =

x

1,1); (3:4)

;3);N (-3;3)

Toa d6 hai diém trén d6 thi (C) cia ham s6 y=—-x°+3x+2 sao cho hai diém d6 d6i xing

nhau qua điểm # (-1; 3) là

A.(-I0);(:6) — B.(⁄0);0

cách đều hai tiệm cận của (C) A M(-1:1);:N(-4:;—6) C M (-1;3);N (-3;3) M ( M(-1 ;6) C (0;2); (-2;4) D (1;0);(—1;6)

Trên đỗ thị (C) của hàm số y = Ễ có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên 2

x

A 2 B 1 C 3 D 4

Trang 11

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2 3 Câu 65 Câu 66 Câu 67 Câu 68 nk, 2 2 ask nm ah ap: ie k x+1 A ; 2 `

Tọa độ tât cả các điểm thuộc đô thị (C) của hàm sô y= sao cho tông khoảng cách từ

x — điểm đó đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất là A (1) B (1+ -/3;1+ V3) C (I-x3;1—x3) Ð (2+3;1+xJ3)và (2—x3;1—x3)

Đồ thị của hàm số y= — nhận điểm nào trong các điểm sau làm tâm đối xứng ?

A K (-1;-3) B N(3;-1) C M (-1; 3) D I(-3;-1)

Tọa độ các điểm thuộc đồ thị (C) của hàm sé y = — cách đều tiệm cận đứng và trục hoành

là

A M(2:1).M (4:3) B M (0;—1),M (4:3)

C M (0;-1),M (3;2) D M (2;1),M (3;2)

Z } ác a Vana: er k +2 ; z x ek

Có bao nhiêu điêm M thudc do thi (C) cua ham so y= re sao cho khoảng cách từ điêm M' đến tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ M⁄ đến tiệm cận đứng?

Trang 12

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2 3 C DAP AN VA HUONG DAN GIAI BAI TAP TRAC NGHIEM

I- ĐÁP ÁN 1|12|13|14|5|L617 |8 | 9 |10|11| 12| 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 B|C|B|D|B|IC|A|B|IC|IC|A|A|A|DI|C|D|ID|D|AIB 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 DỊA|B|A|A|A|C|D|C|D|D|A|D|C|B|IC|IC|B|ICIỊID 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 D|C|C|B|A|D|B|ID|B|A|B|A|D|C|B|A|C|IC|B|IB 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 C|ỊB|C|ID|IDID|B|IA

Il -HUONG DAN GIẢI

Cau 1 |ỂN@WWf

Goi M(x); y,) 14 diém cé dinh cần tìm

Ta có yạ = ứm—])x¿ + 3—m,Vm

x, -1=0 xX, =1

& (x, —Dm—-x, -y+3=0,Vm & = => M(I;2)

—*%; — yạ+3=0 Yo =

Phương pháp trắc nghiệm

Chúng ta có thể thế từng đáp án để kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm M vào phương trình hàm số ln đúng với mọi rn thì điểm đó là điểm cố định

Câu2 |ỔN@WfCi

Gọi M(¿;; yạ) là điểm cố định cần tìm Ta có yạ = x2 +2mx¿ —m+1

wa

2x, -1=0 0a

& (2x, -1)m+x2+1- yy) =0,Vm x2 +l—yạ =0 4,” = _5 t>M[:Ÿ), 2'4

%gp— 4

Chúng ta có thể thế từng đáp án để kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm Ä⁄ vào phương trình hàm số

luôn đúng với mọi rn thì điểm đó là điểm cố định

Câu 3 |ỂW@WBf

Gọi É(x¿; yạ) là điểm có định cần tìm

Ta có yạ = xạ —3%) + mxạ +m,Vm

3 2 xX, +1=0 xX =-1

& (x +)m+t x -3x5 — yy =0,Vn & = X) — 3x5 — yạ =Ũ Phương pháp trắc nghiệm

Chúng ta có thê thế từng đáp án đề kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm M vào phương trình hàm số

ln đúng với mọi zn thì điểm đó là điểm cố định

Trang 13

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2 3 Câu 4 (GhigaD)

Gọi M (3; yạ) là điểm cố định cần tìm

Ta có

=> M (0;3).P

4 2 2 4 2x) =0 x, =0

Vo =X —2mx, +3, Vm & 2xypm+ yạ —3— xạ =0, Vm ©> =

yạ—3—x¿ =0 Yo

hương pháp trắc nghiệm

Chúng ta có thê thê từng đáp án đê kiêm tra, tức là thê tọa độ điêm Mí vào phương trình hàm sô

luôn đúng với mọi z thi diém đó là điệm cô định

Cau5 |ØW@WẾ

Gọi M(¿;; yạ) là điểm cố định cần tìm

_ (m+l)xạ+m Ta có yạ = — ee eye = mx, +X, +m, Vm #0 0 0 => M(0;1) Yo —X, —1=0 X= © m(yạ — xạ — ]) + *ạy; —*xạ =0, Vm #0 © = go — #ạ =0 Yo Phương pháp trắc nghiệm

Chúng ta có thể thế từng đáp án đề kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm M vào phương trình hàm số luôn đúng với mọi m thì điểm đó là điểm có định

Cau 6 |ỔNBWfI

Goi M(x,; yy) la diém cé dinh cần tìm

Ta c6: y, =x, —3mx, — x, +3m,Vm

2 | l—x¿ =0 *%=l_ _ |l*=-l

X —#o — Yo =

Vậy đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm có định Cau7 GhonAl Goi [a 2a- a- '} (C) voi a#1 Tiệm cận đứng của (C) la x=1 0 Ta có ¿¬l=Le| 2” Vay M (0;1),M (2;3) a= Câu 8 |ỂW@WW

Gọi M(%¿; yạ) là điểm cố định cần tìm

Ta có yạ =(I—2m)xj +3mx2 —m —1,Vm

2x2 —3x2 +1=0

+2 Gan Bộ my, s” +10 Ym 41-0

Trang 14

1 1

xX, =-—= x, ==

=—] =1 0 0

= *o hoặc *o hoặc v2 hoặc v2

yạ =0 Yo =O _ 3 _ 3

Yo A Jo 4

Vậy đồ thị hàm số đã cho đi qua bốn điểm có định

Câu 9 |ØWQWf

Gọi M [a 2a~+1

a-l

elo voi a#l

Tiệm cận đừng và tiệm cận ngang của (C) lần lượt có phương trình x=1, y=2 Khoảng cách từ đến tiệm cận đứng là ở, = |a — ||

Khoảng cách từ ⁄ đến tiệm cận ngang là h, =

et

a-l |z—1|

Tổng khoảng cách từ 4 đến hai đường tiệm cận bằng 4 nên ta có:

a=4

3 2 ja-1|=3 a=-2

h,+h, =4œ|a~1l+~—=4© |z—1| |a-1[ ~4|a—1Ì+3=0 la-1l=1 ` |a=2 c©

=0 Vậy các điểm cần tìm là: (2;5), (0;-1), (4:3), (—2:1)

Câu 10 |(ØW@WI

Gọi M (x„: y„ ) là điểm cố định cần tìm

2 Ta có y„ _ 2x„ + m)Xu +11 Vu „2 —Xy +m © —x„V„ +my„ =2xz + xự —mx„ +1+m,Vm # —2 © (ự + yự —l)m— xự Vụ — 2x — x„ —1=0,Vm # —2 #„ + y„ ~1=0 Yu =1-Xy = —Xy Vy —2X —X„ —1=0 2 = —x„(1— x„)— 2X —x„ —1=0 2 X„ =— = => M (-1;2) Yu =2 Vay x, + yy =1 Cau 11 GhonAl

Gọi A(%; yạ), xạ <0 là điểm có định cần tìm

Ta có yạ =—xg + mx2 — xạ —4m,Vm

2 3 x, -4=0 X) =-2

Trang 15

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2_3

Lại có yˆ=—3x?+2mx—1— y(—2) =—4m—13

Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại A(-2;10) có dạng y=(-4—13)(x+2)+10 hay y=(-4m—13)x—8m—16 (A)

Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình đ: y= x

Vì A vng góc với đ nên ta có —4m— 13 = —] ©> m =—3

Cau 12 GhonAl

Gọi M(xạ: yạ) với xạ e Z\{—2} yạ e Z

x, € Z\{-2}

>i 2 Z => xX) +2 {—2;—1;1;2} — xạ e {—4:—3;—1;0} E

*ạ+2

Vậy trên đồ thị (C) có bốn điểm có tọa độ nguyên

Câu 13 (ØW@WÑ

Gọi A(a;a`—5a”+6a+3), B(b;b°—5b” +6b+3) là hai điểm trên (C) đối xứng nhau qua gốc

a+b=0 ~104?+6=0=a=+(|= 3

a°+b`—5(a2+b2)+6(a+b)+6=0 ` ˆ 4 i tọa độ, ta có

Cau 14 GhonD)

Goi M(x); ¥)) Voi x E Nye N

x,<€N*

>, 3 a Ne 2% le {b3} > % € {2}

2X) —1

=> M ,(-1;-1), M,(0;-3), M,(;3) và M„(2;1)

Vậy trên đồ thị (C) có hai điểm có tọa độ là các số nguyên dương Cau 15 Chon)

Goi M(x); y) VOI x,€ Z,y,€ Z

seZ 2.1.4 => 4 => 3x, —2€ {-4;-2;-11;2;4} => xạ € +—~:0;—;1;—;2 EZ 3 3 3 3xạ—2 Do x, € Z > M,(0;-2), M,(1;4) và M,(2;1)

Vậy trên đồ thị (C) có ba điểm có tọa độ là các số nguyên Câu 16 GhonD)

Ta có y =x -2x, y’=3x° -2> xx, == Vay XX ~ 3

Cau 17 GhonD)

Goi M(x%3 yy) VỚI xạ € Z2, yạc 2

*ac 2

=> 6 < a2 —le {—6; -3; -2;-1;1;2;3;6} > x,€ trận

4x, I1

Trang 16

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2_3 Do x, €Z = M,(0;—6) và M;(;2)

Vậy trên đồ thị (C) có hai điểm có tọa độ là các số nguyên

Câu 18 GhonD)

Gọi (xạ; yạ) VỚI xạ € Z,y,€ Z

xacZ — yy =1+ 9 re Z % +1€ {—9;—3;T—1;1;3;9} => x, {—10;—4;—2;0;2;8} Xy + => M,(-10;0), M,(—4;—2), M,(-2;—8), M,(0;10), M,(2;4) và M,(8;2) Vay trén đồ thị (C) có sáu điểm có tọa độ là các số nguyên

Câu 19 (ØW@WÑ

Gọi M (x;; yạ) VỚI xạ € Z, y,€ Z

x,€Z

=> spot 14S Je 2 Ne Sts) 2 2x, —1 => 2x, —1e ‡—5;—1;1;5† = 5 9-23 > x, € 1-23031;3 & X,=—-2> y, =0> M(-2;0) # X,=1> y, =3> M43) 4 xạ => yạ=-2—> M(0;-2) 4 xạ =3— yạ=l—> M(3;l) Vậy trên đồ thị (C) có bốn điểm có tọa độ là các số nguyên

Câu 20 (ØW@WWf

Gọi MĨ (xạ; yạ) VỚI xạ € 2, yạc 22

x EZ 2 10 > 1 11 => 3x, +1e {-11;-1;1;11} > x € »-4-=;0;— Yo ==| 5- eZ 3 3 3 3x, +1 BX, =-4> y, =2> M(-4;2) #& xX, =0> y, =-2> M(0;-2)

Vay trén đồ thị (C) có hai điểm có tọa độ là các số nguyên

Câu 21 GhonD)

Goi M(x); yp) VỚI xạ € Z2, yạc Z

x,€Z 9 3 15 => 7 => 4x, +2¢€ {-7;-1,1;7} => x, € §-—3-=3 3— Yo =2+ eZ 4 4 44 4x, +2

Do x, € Z nên trên đồ thị (C) không có điểm nào có tọa độ nguyên

Câu 22 Chọn A

Gọi uate (C); a>0 và a#2, ta có đ =|a—2|+ a+ —f=la-2)+ >4

a— a— |z— 2|

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ¡~3ƒ'=4esle~l=2e| 4 a=

Kết luận M (4;3)

Trang 17

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2 3 Câu 243 Câu 24 Câu 25 Câu 26 Câu 27

Goi M(x;y) la điểm trên đồ thị (C) gọi N là điểm đối xứng với M qua ï, ta có

N(4-x;36— y) Vì N thuộc (C), ta có

~y=(4—x) +3(4—x) -2

i y=x`+3x?—2 en => x° +3x?-2=—(4-x)-3(4—x) +38 x=2

Vậy có tất cả một cặp điểm thuộc đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu đề bài Gọi M (xạ; yạ) VỚI xạ € 2, yạc Z2

*Xạc Z

¬ Bất -—4:—2-—]:|:2:4: _"”7.-.—_ - —: 2: ÁẤ

“1y gy 8 oR LE LAB: 2:48} > wy € {7-3-1 0;2:3:5:9}

*ạ l

=> M,(-7;2),M,(~3;1),M,;(-1L,—]), M,(0;—-5),M(2;11), M,(3;7),M,(5;5) va M,(9;4) Vậy có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài

Chọn A

Gọi MS a-l

}è (C) với a>0, ø#1; tọa độ giao điểm các tiệm cận là 7 (1;1), ta có

2 2 a+2 2 2 9

MI’ =(a-1) + -1| =(a-1) + 726

a-1 (z—1)

a= 341

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (a-1)" =9 Vì M có hoành độ dương nên

a=-x3+1

chọn a= 341, suy ra M (V3 +1;V3 +1) nén x, — y„ =0

Gọi A(x,;x2 +3x„T—2), B(x,;x¿ +3x„ —2) là hai điểm trên (C) đối xứng nhau qua /(2;18)

Ta cb: X, +X, = 2x, oe _~ (1)

yụẠ +y; =2ÿ, xạ +t3x¿—2+x„+3x„—2=36 (2)

` 3 4 x, =1>x, =3

Thay (1) vào (2) taduge x,+3x,-2+(4—x,) +3(4—x„)—2=36 © x, =3>x,=1

Vậy cặp điểm cần tim 1a A(1;2), B(3;34)

Goi A(x,3x3 —4x2 +9x, +4), B(x,;x; —4x2 +9x„ +4) là hai điểm trên (C) đối xứng nhau qua

sốc tọa độ

xX, +X, =2x x, +x, =0 1

Ta có 4 ^ 7 CPS ; * 3 2 Ồ

y„ T+yp =2Vo x¿ 4x4 +9x,+4+x;T—4x;+9x;„+4=0 (2)

Trang 18

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2 3 Câu 28 Câu 29 Câu 30 Câu 31 Câu 32 3 2 3 2 _ x,=-1l>x,=1 xạ —4x¿+9x„+4+(—x„)} —4(—x„)ˆ +9(—x„)+4=0© x,=1 >x,=-1

Vậy cặp điểm cần tìm là A(;10), B(—1;-10)

Goi A(a;a° +a), B(b;b° +b) là hai điểm trên (C) đối xứng nhau qua đường thang d:y=— Sa hay d:x+2y=0

Ted (1) ~

Ta có: (với 7 là trung điêm của AB và ¿z(2;—1) là vecto chỉ phương của đ) AB.ua =0 (2)

3 3

Tir (1) tacé 4 tatb +P_ lạt? 2 > ay

& (a+b)(2a’ —2ab+ 2b’ +3) =0 © a =—b (3)

2

(vi 2a’ —2ab+2b*+3= 2|z —ab+b* 3 = 2|a~20] a +3>0,Va,b )

Với AB =(b-a;(b—a)(a’ +ab+b’ +2)), tir (2) tacd

2(b—a)—(b—a)(a?+ab+b? +1) =0 ©(b—a)(a”+ab+b?T—1)=0

=> a’ +ab+b’-1=0 (4) (Vi a#b)

Thay (3) vào (4) ta được Tnhh a=-1>bD=1

Vậy cặp diém can tim 1a A(1;2), 8(-1;-2)

Đồ thị hàm số có phương trình tiệm cận ngang là y = I

at+l atl

a-

Gọi MÍ« Je(C),a#2 Tacs

-|=Le

| eo

=lc©

a— a— a=-1

Vay M (5;2),M (-1;0)

Đồ thị hàm số (C„) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ khi và chỉ khi tồn tại X) #0 sao cho y(%) =-y(-%) eS tồn — tại X #0 sao cho x —3x5 +m=—| (-x)° -3(-%)? +m| € ton tai x, #0 sao cho 3x, =m & m>0

Giao điểm của hai tiệm cận là 7 (—1;1) gọi M [a a ï a+ } (C) với a#—1 ta có >8> MI>2V2 2“ MP =(a#1Ÿ 3Š atl -1) =(a+1) + (a+1) Phương pháp tự luận

Trang 19

Tiệm cận xz=l, y=1—1(11) Goi Mm ate (C), ta tìm được tọa độ AE), B(2m-1,1)

Dién tich $ =S IAB =~ eee |2m —l— l|=4 Phương pháp trắc nghiệm

ax+b

Cho đồ thị hàm số (C): y= Gọi M là điểm tùy ý thuộc (C) Tiếp tuyến tại Ä⁄ cắt hai

cx+

tiệm cận tại A, Gọi 7 là giao điểm hai tiệm cận Khi đó diện tích tam giác AB luôn là hằng

số Cách tính nhanh:

1 Chọn M (2,3) thuộc (C) Viết phương trình tiếp tuyến tại M là đ:y=—2x+7 Khi đó

A(1,5), B(3,1) và JA=4,IB=2

2 Tam giadc ABI la tam giác vuông tai 7 Dién tich S,,, = = JA.IB =4

Cau 33 ChonD)

Theo giả thiết ta có :

X- _a ^ 0 y=3x x11 ` "i 3x?+2x+7=0_ | 8" Iy|=3ÌxÌ © > eS c© 7 y=-3*x x-7 3 3x°+4x-7=0 x=lvx=-— ¬ 3 x+1

Nhắc lại: Điểm M e (C): y= ƒ (x) sao cho khoảng cách từ ⁄ tới Ox bang k lần khoảng

cet at ee ee, eel a) ` f (x)=kx

cách từ M téi Oy c6 hoành độ là nghiệm phương trình | ƒ (z)| =|a|©

ƒ(z)=-kx Cách khác:

7 7 a=!

Gọi M[«Š ) v6 a#—1 Theo đề ta có: , =3|a|© 7 3

Câu 34 (ØW@WI

2a—3 ne ,

Goi M| a; E(C) voi a#2, ta có

a—2

d=|a-2|+ ti |=la~2l+ ——à2

J¿-2

Vậy giá trị nhỏ nhất của d bang 2 Câu 35 Ghon'Bl

Phương pháp tự luận

° 1 3 2 11 1 3 2 11 ` oA A Ae r

Goi A X33 %A +x, +3x, —a B Xp?— a Xh +x; +3x; -3 la hai điêm trên (C) đôi xứng

nhau qua trục tung

Tạ có JZa #3» =0 aco & TM "% q)

Trang 20

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán, đến đồ thị hàm aố BTN_2_3

Thay (1) vao (2) ta được:

-3%, +x, 43x, i = -5 (44) +(-x,) 13a) eS

x,=3> x, =3

3 x,=3 >x,=-3

Vậy có hai cặp điểm cần tìm là As] ,B (3%

x„+x„=0

Ya — Ya

Kiểm tra điều kiện đối xứng qua trục tung và kiểm tra điểm có thuộc đồ thị

khơng

Câu 3ó (ØW@CI

Gọi M (x„ vụ ).(x„ #-—3) thỏa yêu cầu bài tốn Ta có:

9 A _ 15 =x„+2+ Ma X — %, +36 2 15 Yu =txXy Yu 3 Câu 37 (ØW@WI

Goi M(x); yy) VOI x € Z, ye Z x, EZ

> 2 cz 0 + 2% F2€ {-25-L 1,2}

x2 +2x¿+2

2 ^ 2 *¿ =0 > yạ =1—>M(0;])

4 xạ +2x*ạ+2=-~—] (vô nghiệm) 4 x t2x+2=2ôâ

X =-2> y, =1> M(-2;1)

Vậy có trên đồ thị (C) có ba điểm có tọa độ là các số nguyên

Câu 38 (ØW@WWf

Gọi (xạ; yạ) là điêm cô định can tìm Ta có yạ = x —3(m —1)x2 —3mx¿ +2,Vm x +X, =0 © 3x) + xạ)m + yy — x, — 3x, -2=0,Vm © 3 2 Yo — Xp —3X% —2=0 {* =-l, _ {§ =0 S hoặc Yo = 4 Yo = 2

Suy ra P(-1;4),@(0;2) hoặc P(0;2),Ø(-1;4) nên y, + y„ =6

Câu 39 (ØW@WCI

2x,—1

Gợi M x *o | k (C) với xạ #—1 Tiếp tuyến tại M có phương trình Xo

_2x,-1_ 3

X,+1 (x, +1)’

(x—-X,)

hay 3x—(x, +1)’ y+ 2x; —2x, -1=0

Trang 21

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đến đổ thị hàm aố BTN_2_3 Khoảng cách từ 7(—1;2) tới tiếp tuyến

ˆ 3 — 2(x, +1)? + 2x5 — 2x, -1 — 6lg+H — 6

- 9+(xy+1} _#+@+U d (x, +1)’ : +(x, +1)’ }

Theo bất đẳng thức Côsi: GP +( +1)? >2xV9 =6, vậy đ <6 Khoảng cách đ lớn nhất

Xx 0

(x, +D

Vay: M (-1+3;2-"3), M (-1-V3;2+3)

Cau 40 Chon)

Đồ thị hàm số (C„) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ khi và chỉ khi tôn tại

X) #2 va x, #0 sao cho y(x%,) =—y(—*ạ)

x, —4mx,+5m _ 4 (—x,)? —4m(—x,)+5m

xạ—2 (—xạ)—2

Lay diém M [ms 2+ Jeo voi m#2.Tac6é y'(m)=- HI—

Tiếp tuyến tại M có phương trình đ: y= ——_—_(x-m)+2+

(m—2) m—2

Giao điểm của đ với tiệm cận đứng là A [2 2+ =)

m —

Giao điểm của đ với tiệm cận ngang là 8(2z—2;2)

Ta có AB? =4|(m-2) rl>® suy ra AB>2A/2 Dấu “=” xảy ra khi (m—2)” =1,

m—2

nghĩa là m= 3 hoặc m=—1

Câu 42 (ØW@WI

Phương trình đường trung trực đoạn Á là y= x

Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hồnh độ là nghiệm của phương trình :

Trang 22

1—x/5 8), (a8 tế]

2 9 ? ? °

Hai điểm trên đồ thị thỏa yêu cầu bài toán là 5 5 5 Câu 43 (ØW@WI

Gọi M (x; y) thuộc (C), ta có

2 2

IM =(x—1;y—4) > IM? =(x-13[xt3+— 4] =(x-1) len)

x— XY x— A g(x) Ma e(x) =(x—1) +(x—-1) + 42=2(x-1) + ;+2>2+242 (x-1) (x-1) 1 1 1 |e

=> min IM =2+2V2 Dat duge khi 2(x—1) = a (x1) =5 > ,

Se x=1+—= Cau 44 Ghon'B! Phương pháp tự luận

Goi M [se2- : ¡Jthức (C) Và MH,MK là khoảng cách từ đến tiệm cận đứng và Xy

tiệm cén ngang Khi d6 MH =|x,, +1| va MK = ! Do đó

Xy +

MH + MK =|x,, +i+-—> 2 (Cauchy)

xy +]

2 i 2 xy =—2> yy =3 Suy ra MH + MK bé nhat khi (x, +1) =le

*x„ => yự„ =l Phương pháp trắc nghiệm

Cho dé thi ham sé (C): y= 4Z†P _ Gọi M_ là điểm thuộc đồ thị hàm số, khi đó tổng khoảng

cx+

cách từ 1 đến 2 tiệm cận có độ dài nhỏ nhát là 2 |đđ-5<[

Cc

Cau 45 GhonAl

Goi A là điểm thuộc thuộc nhánh trái của đồ thị hàm số, nghĩa là x„ <3 với số œ>0, đặt

6 6 6

x, =3-a,suyra y, =1+ =l+ =l—-— (1)

4 me ởa x,-3 3-a-3 a (1)

Tương tự gọi B là điểm thuộc nhánh phải, nghĩa là x; >3—> với số >0, đặt x„ =3+ ,

T1 6 _,, 6 _,,6

suyta yy 1+— Galt alte (2)

Vậy AB? =(xy—x¿} +(y;— y„}Ÿ -[(5+8) a)P +[1+5)-(1-$)|

Trang 23

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2 3 sœ;)=(z+ 8) +[Š +5 =(ø+8Ÿ'+(6) (e+8 (¬] 36 ơ? 8 =(œ?°+/Ø?+ 206) 14 Dùng bất đẳng thức Cauchy, ta có

£(G:Ø)>(250+2a)|1+ aa) sap +72 aad = 48

8

Vay AB > V48 = 4,3 Dấu đẳng thức xảy ra khi vả chỉ khi

œ= œ=

4 © l1 =ơ=Ø=—

144z8=—_- 8 z6 \(G0) =3 |(œ8=—— Vậy độ dài AB ngắn nhất là 4-/3

Câu 4ó GhonD)

Gọi (xạ; yạ) là điểm cố định cần tìm

% -1=0 *ạ =l _ |= -1 S hoặc — yạ+2016= 0” Yo = 2017 Yo = 2017 M (1;2017) _ |M(-1;2017) hoặc N(-1;2017) N(; 2017) Tọa độ trung điểm 7 của đoạn thăng MN là I(0;2017)

Câu 47 (ØW@Wf

Điểm M năm trên trục Ox : M(-2;0) => đự =|_-2|+0=2

Điểm M nằm trên trục tung : đ„ =0+

-7|-2<2 3| 3

Xét những điểm ⁄ có hồnh độ lÌ>5= 4, =lx|+|| >=

Xét những điểm #⁄ có hồnh độ thỏa mãn |x| < = y< -ễ =>|y|> 20

= Truong hop: 0<x<2.Do (*) cho nén: d,, =l*lb|>2

" Trường hợp : ¬ =-x-1~——;đd1„ =-l+ ` 5

3 3 x3 (x-3)

x=3-V5 san › ok oA k ` k : sk re :

2

xe [-$:0} vay mind, = dy (0) ==

Cau 48 Chon)

Trang 24

Xét những điểm M có hồnh độ lớn hơn Š => d =|x|+|y|>

Xét những điểm M có hồnh độ nhỏ hơn š :

bs 3 3 3 se Với 0<x<=>7>= = d=|x|+|y[>5 1 xt2 x42’ (x+2} ® Với ~J<x<0y>0=4=-x+x+1+

Chứng tỏ hàm số nghịch biến Suy ra min ở = y(0) =

Cau 49 Gon!

Gọi đường thắng A vng góc với đường thăng đ: y= = —3 suyra A: y=—2x+m

Ww

|

Giả sử A cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B Khi đó hồnh độ của A, B 1a nghiệm của

phương trình x#2 x+4 5 X1 € 92x? —(m+3)x+2m+4=0- h(x) x— Điều kiện cần:

Dé A cắt (C) tại hai điểm phân biệt thì phương trình #{(x)=0 có hai nghiệm phân biệt khác [A>0 m2—10m—23>0 |m<5-4N3

2, tức là S S (*)

h(2)#0 `“ |=6z0 m>5+4xl3

Điều kiện đủ:

Goi J là trung điểm của AB, ta có:

x„+Tx x _m13 x, 4 I m3 3m33 m+3 4 2 y,=2x,+m y= 2 +m

Đ hai diém A,B đối xứng nhau qua đ:x-2y-6=0 khi

m+3 3m+3

led 2 6=0ôâm =—3 (thỏa điều kiện (*))

` 2 x=-l=y=-l

x=l>y=-5

Vậy tọa hai điểm cần tìm là (1;—5) và (—1;—1) Câu 50 GhonAl

Goi (x, y) là điểm cố định của họ đồ thị (C„): y = x' + mx”—m—1, ta có

y=x!+mx”—m—1,Vm

(x -1)m+x*-1-y=0,Vm

x —1=0 La (5

o) , => >

x —-l-y=0 y=0 y=0

Vậy họ đồ thị có hai điểm có định là (—1;0), (1;0)

Trang 25

Chuyên đề 2 Các bài toán tiên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2 3

Câu 51

Câu 52

Câu 53

Câu 54

Gọi Mí (+; yạ) VOI HEN, YEN

XEN => 1 g => x, +1€ {—8;—4;—2;—1;1;2;4;8} => x, e {—9;—5;—3;—2;0;1;3; 7} Yo ==| % —O+ eN 2 X +1 Do x, € Nnén

£ xu=0— y=l—=M(0;) # %=15 y=-5 (loai)

# %=3> %=-5 (loại) 4 *ạ=7—> yạ=l1—> M(:1)

Gọi A(; yạ), xạ >0 là điểm có định cần tìm Ta có: yạ =—xÿ +2max¿ —2m+1,Vm => A(1;0) 2 + —l=0 x, =1 (x, >0 > 2m(x, -1)+1-x} -— y, =0,Vm “| 0 oh (Xp ) 1—z2 —yạ=0 }ạ=0 Lại có y =—4x”+4m+x >> y () =4m—4

Phương trình tiếp tuyến của (C,) tại điểm A(1;0) có dang y=(4m-—4)(x-1) hay

y=(4m—4)x+4—4m (A)

Vì Á song song với đZ nên —>m=5

Gọi M[xx+2+ 4m — 4= 16 m=5 c> 4—4m +0 m#l } (C) x+2

Khoang céch tir M dén d la h(M;d) cho boi J3x+y+6|_ 1 M0 v0 x+2 1 1 1 3x+6+x+2+ x+6+z =-=|4|x+2)+ + (x42)+E h(M ;d)= e Khi x+2>0:

1 34 dấu bằng xảy ra khi 4(x+2) = (x42) =t5x=-3

Trang 26

Gọi w{«5° ]e (C) với a#1 ta có đ =|a—1|+ 2 -|=le-le 222/5, a—1 -l Ja-1|

Câu 55 |ẾW@Wf

i a+2 ns ⁄ a+2 4 a=0 ˆ

a- a- ja—2| a=4

M (0;—1) M (4;3)

Câu 5ó (ØW@WĐ

?—2a-3=0 =-I

Gọi u( a2 )e(c) voi a#l1 ta có lal =|2 7 o> |" Vay

a-1 a-1 a’? +3=0 a=3

M (-1;-1),M (3;3) Cau 57 Ghon'G)

Goi w|«#°2]e(C) với a#1 ta có

a-

at+2 | a=1+3

P +

V2 v2 |az—1| a’ —-4=0 a=2

a=-2

Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu là M (2;4);M (—2;0)

Câu 58 |ØW@WI

Gọi M (xạ: yạ) là điểm có định của họ đồ thị (C„), ta có

Yo =(m+2) x, —3(m—2) x, +m+7,Vm

& (x — 3X, +1)m+2x;3 +6x, +7—y, =0,Vm x, —3x, +1=0

c© | 0 ; 0

2X) +6xạ+7— yạ =0

Vì hệ có 3 nghiệm phân biệt nên họ đồ thị có 3 điểm có định Câu 59 (ØW@WĐf

Gọi M (x,y),N(—x, y) là hai điểm thuộc đồ thị (C,„) đối xứng nhau qua trục tung Ta có x —(3m-1)x* +2mxt+m+1=—-x° —(3m—-1) x’ —2mx+m-+1 x=0 2 923 +4ms=065| x =—2m Vậy m<0 Cau 60 GhonB!

S=0 m=0

A'>0 c© mre

Câu ó1 (ØW@W|

Trang 27

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2 3 atl a+2 atl a+2

Gọi Ma Jeo v6i a#-2, tacd |a|=

a’ +a-1=0 = a’ +3a+1=0 2

Phương trình có 4 nghiệm nên trên đồ thị có 4 điểm cách đều hai trục tọa độ

Câu 62 (ØW@WWf

Gọi M C 34-5 a- 3a—5

a- }è (C) với a#2 ta có |a—2|=

3} (a-2) =el

a 3"

Vay M (1;1);N(3;4)

Câu 63 Chon’)

Gọi A(a,—a`+3a+2), B(b,—b°+3b+2) là hai điểm trên (C) đối xứng nhau qua # (-1; 3),

_ jatb=-2

ta co:

=g`+3a+2—b`+3b+2=6

a+b=-2 a+b=-2 ([a=0_ [a=-2

2S 3 ©S eS Vv

(a+b) —3ab(a+b)-3(a+b)+2=0 |ab=0 b=-2 |b=0

Câu 64 Ghon'D)

x-1=2 x=3

Ta có _3-x_-x†t1†2_ 1 2 Z =e +x=-l

7 ko „-¡ mei@ |x-1=1 |xẽ2

x-1l=-1 x=0

Vậy có 4 điêm thỏa yêu câu bài toán

Gọi „(a5 } (C) với a#2 Ta có đ =|a—2|+ 62 -=le—2]+ 2228

a—2 a— ja—2|

r 2 a=2+3 ¬

Dau "=" xảy ra khi và chỉ khi (a-2) =3@ Vậy hai đim đó là

a=2-3

(2+ V3;1+ V3) va (2-/3;1-3)

Câu 66 Ghon'D)

Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai đường tiệm cận Vậy điểm cần tìm 1a M (-1; 3)

Câu 67 (ØW@WR

Gọi M{«2“—)e(e) với a#1 dq—

a?—2a+1=2a+l a=

a—] a’ —2a+1=-2a-1 =

Vậy điểm cần tìm là: M (0;—1),M (4:3)

Cau 68 Chon Al

Goi Ma

a-

Trang 28

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2 3 Ta có 5|a—2|=|“ *Z~1 a—

|+23le~3|= ˆgi*35(0ˆ~4a+4)=4 m

+

c> 5z? —20z+16=0 cy „- 10*245

Vậy có hai điêm cân tìm

Định dạng
Số trang	28
Dung lượng	7,86 MB