Chuyên đề Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số luyện thi đại học.

Chuyên đề 2 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số §1. Phương Pháp Tam Thức Bậc Hai Bài tập 2.1. Tìm m để phương trình x 2 − 10mx + 9m = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn hệ thức x 1 − 9x 2 = 0. Lời giải. Ta có ∆  = 25m 2 − 9m. Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆  > 0 ⇔ 25m 2 − 9m > 0 ⇔  m > 9 25 m < 0 . Theo định lý vi-ét có x 1 + x 2 = 10m (1) và x 1 x 2 = 9m (2). Theo giả thiết x 1 − 9x 2 = 0 ⇔ x 1 = 9x 2 thay vào (1) được 10x 2 = 10m ⇔ x 2 = m ⇒ x 1 = 9m. Thay x 1 , x 2 vào (2) ta có 9m 2 = 9m ⇔  m = 1 m = 0 (loại) . Vậy với m = 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa x 1 − 9x 2 = 0. Bài tập 2.2. Tìm m để phương trình mx 2 −2(m −1)x + 3(m −2) = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 và x 2 thỏa mãn hệ thức x 1 + 2x 2 = 1. Lời giải. Ta có ∆  = (m − 1) 2 − 3m(m − 2) = −2m 2 + 4m + 1. Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔  a = 0 ∆  > 0 ⇔  m = 0 −2m 2 + 4m + 1 > 0 ⇔  m = 0 2− √ 6 2 < m < 2+ √ 6 2 . Theo định lý vi-ét có x 1 + x 2 = 2(m − 1) m (1) và x 1 x 2 = 3(m − 2) m (2). Theo giả thiết x 1 + 2x 2 = 1 ⇔ x 1 = 1 − 2x 2 thay vào (1) được x 2 = 2 − m m ⇒ x 1 = 3m − 4 m . Thay x 1 , x 2 vào (2) ta có 2 − m m . 3m − 4 m = 3(m − 2) m ⇔  m = 2 m = 2 3 (thỏa mãn). Vậy với m = 2 hoặc m = 2 3 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa x 1 + 2x 2 = 1. Bài tập 2.3. Tìm m để phương trình x 3 −mx − 2m + 8 = 0 có ba nghiệm phân biệt x 1 , x 2 , x 3 thỏa mãn hệ thức x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 10. Lời giải. Ta có phương trình tương đương x 3 − mx − 2m + 8 = 0 ⇔ (x + 2)  x 2 − 2x + 4 − m  = 0 ⇔  x = −2 x 2 − 2x + 4 − m = 0 Đặt f (x) = x 2 − 2x + 4 − m có ∆  = 1 − (4 − m) = m − 3. Phương trình có ba nghiệm phân biệt ⇔ f(x) có hai nghiệm phân biệt khác −2 khi và chỉ khi  ∆  > 0 f(−2) = 0 ⇔  m − 3 > 0 12 − m = 0 ⇔  m > 3 m = 12 1 Nguyễn Minh Hiếu Gọi x 1 , x 2 , x 3 là ba nghiệm của phương trình và giả sử x 3 = −2 thì x 1 , x 2 là hai nghiệm của f (x). Theo giả thiết x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 10 ⇔ (x 1 + x 2 ) 2 −2x 1 x 2 = 6 ⇔ 4 − 2(4 −m) = 6 ⇔ m = 5 (thỏa mãn). Vậy với m = 5 thì phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x 1 , x 2 , x 3 thỏa x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 10. Bài tập 2.4. Tìm m để phương trình x 3 − mx + m − 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt x 1 , x 2 , x 3 thỏa mãn hệ thức x 3 1 + x 3 2 + x 3 3 = −3. Lời giải. Ta có phương trình tương đương x 3 − mx + m − 1 = 0 = 0 ⇔ (x −1)  x 2 + x + 1 − m  = 0 ⇔  x = 1 x 2 + x + 1 − m = 0 Đặt f (x) = x 2 + x + 1 − m có ∆ = 1 − 4(1 − m) = 4m − 3. Phương trình có ba nghiệm phân biệt ⇔ f(x) có hai nghiệm phân biệt khác 1 khi và chỉ khi  ∆ > 0 f(1) = 0 ⇔  4m − 3 > 0 3 − m = 0 ⇔  m > 3 4 m = 3 Gọi x 1 , x 2 , x 3 là ba nghiệm của phương trình và giả sử x 3 = 1 thì x 1 , x 2 là hai nghiệm của f (x). Theo giả thiết x 3 1 +x 3 2 +x 3 3 = −3 ⇔ (x 1 + x 2 ) 3 −3x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) = −4 ⇔ −1+3(1−m) = −4 ⇔ m = 2. Vậy với m = 2 thì phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x 1 , x 2 , x 3 thỏa x 3 1 + x 3 2 + x 3 3 = −3. Bài tập 2.5. Tìm m để phương trình (m − 1)x 2 − 2(m + 1)x + m + 2 = 0 a) Có hai nghiệm trái dấu; b) Có đúng một nghiệm dương; c) Có hai nghiệm dương phân biệt. Lời giải. Ta có ∆  = (m + 1) 2 − (m − 1)(m + 2) = m + 3. a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ (m − 1)(m + 2) < 0 ⇔ −2 < m < 1. b) Với m = 1, phương trình trở thành −4x + 3 = 0 ⇔ x = 3 4 ⇒ m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với m = 1, phương trình có đúng một nghiệm dương khi và chỉ khi          ∆  = 0 S > 0    ∆  > 0 S > 0 P = 0 P < 0 ⇔            m + 3 = 0 2(m+1) m−1 > 0    m + 3 > 0 2(m+1) m−1 > 0 m+2 m−1 = 0 m+2 m−1 < 0 ⇔                m = −3  m > 1 m < −1        m > −3  m > 1 m < −1 m = −2 −2 < m < 1 ⇔  m = −3 −2 ≤ m < 1 Kết hợp ta có m = −3 hoặc −2 ≤ m ≤ 1 thì phương trình đã cho có đúng một nghiệm dương. c) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi        a = 0 ∆  > 0 S > 0 P > 0 ⇔        m − 1 = 0 m + 3 > 0 2(m+1) m−1 > 0 m+2 m−1 > 0 ⇔                m = 1 m > −3  m > 1 m < −1  m > 1 m < −2 ⇔  m > 1 −3 < m < −2 Vậy với m > 1 hoặc −3 < m < −2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt. Bài tập 2.6. Tìm m để phương trình (m − 1)x 2 + 2(m − 3)x + m + 3 = 0 a) Có hai nghiệm trái dấu; b) Có hai nghiệm âm phân biệt; c) Có đúng một nghiệm âm. Lời giải. Ta có ∆  = (m − 3) 2 − (m − 1)(m + 3) = −8m + 12. a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ (m − 1)(m + 3) < 0 ⇔ −3 < m < 1. 2 Chuyên đề 2. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số b) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi        a = 0 ∆  > 0 S < 0 P > 0 ⇔        m − 1 = 0 −8m + 12 > 0 −2(m−3) m−1 < 0 m+3 m−1 > 0 ⇔                m = 1 m < 3 2  m > 3 m < 1  m > 1 m < −3 ⇔ m < −3 Vậy với m ≤ −3 thì phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt. c) Với m = 1, phương trình trở thành −4x + 4 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán. Với m = 1, phương trình có đúng một nghiệm âm khi và chỉ khi          ∆  = 0 S < 0    ∆  > 0 S < 0 P = 0 P < 0 ⇔            −8m + 12 = 0 −2(m−3) m−1 < 0    −8m + 12 > 0 −2(m−3) m−1 < 0 m+3 m−1 = 0 m+3 m−1 < 0 ⇔                m = 3 2  m > 3 m < 1        m < 3 2  m > 3 m < 1 m = −3 −3 < m < 1 ⇔ −3 ≤ m < 1 Kết hợp ta có m ∈ [−3; 1) thì phương trình đã cho có đúng một nghiệm âm. Bài tập 2.7. Tìm m để phương trình x 4 − 2(m − 1)x 2 + 3 − m = 0 có bốn nghiệm phân biệt. Lời giải. Đặt x 2 = t ≥ 0, phương trình trở thành t 2 − 2(m − 1)t + 3 − m = 0 (∗). Ta có ∆  = (m − 1) 2 − (3 − m) = m 2 − m − 2. Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi (∗) có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi    ∆  > 0 S > 0 P > 0 ⇔    m 2 − m − 2 > 0 2(m − 1) > 0 3 − m > 0 ⇔         m > 2 m < −1 m > 1 m < 3 ⇔ 2 < m < 3 Vậy với m ∈ (2; 3) thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt. Bài tập 2.8. Tìm m để phương trình x 4 − 2mx 2 + m + 12 = 0 a) Có bốn nghiệm phân biệt; b) Có đúng một nghiệm; c) Có nghiệm. Lời giải. Đặt x 2 = t ≥ 0, phương trình trở thành t 2 − 2mt + m + 12 = 0 (∗) có ∆  = m 2 − m − 12. a) Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi (∗) có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi    ∆  > 0 S > 0 P > 0 ⇔    m 2 − m − 12 > 0 2m > 0 m + 12 > 0 ⇔         m > 4 m < −3 m > 0 m > −12 ⇔ m > 4 Vậy với m > 4 thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt. b) Phương trình đã cho có đúng một nghiệm khi (∗) có nghiệm 0 và không có nghiệm dương khi    ∆  ≥ 0 S ≤ 0 P = 0 ⇔    m 2 − m − 12 ≥ 0 2m ≤ 0 m + 12 = 0 ⇔         m ≥ 4 m ≤ −3 m ≤ 0 m = −12 ⇔ m = −12 Vậy với m = −12 thì phương trình đã cho có đúng một nghiệm. 3 Nguyễn Minh Hiếu c) Phương trình đã cho có nghiệm khi (∗) có ít nhất một nghiệm không âm khi và chỉ khi        ∆  ≥ 0 S ≥ 0 P ≥ 0 P < 0 ⇔        m 2 − m − 12 ≥ 0 2m ≥ 0 m + 12 ≥ 0 m + 12 < 0 ⇔               m ≥ 4 m ≤ −3 m ≥ 0 m ≥ −12 m < −12 ⇔  m ≥ 4 m < −12 Vậy với m ≥ 4 hoặc m < −12 thì phương trình đã cho có nghiệm. Bài tập 2.9. Tìm m để phương trình (x − 3) (x + 1) + 4 (x − 3)  x + 1 x − 3 = m có nghiệm. Lời giải. Đặt (x − 3)  x + 1 x − 3 = t (t ∈ R). Phương trình đã cho trở thành t 2 + 4t − m = 0 (*). Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm ⇔ ∆  ≥ 0 ⇔ m ≥ −4. Vậy với m ≥ −4 thì phương trình đã cho có nghiệm. Bài tập 2.10. (D-04) Tìm m để hệ  √ x + √ y = 1 x √ x + y √ y = 1 − 3m có nghiệm. Lời giải. Hệ đã cho tương đương với  √ x + √ y = 1  √ x + √ y  3 − 3 √ xy  √ x + √ y  = 1 − 3m ⇔  √ x + √ y = 1 √ xy = m . Suy ra √ x, √ y là hai nghiệm không âm của phương trình t 2 − t + m = 0 (*). Do đó hệ đã cho có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm không âm ⇔    ∆ ≥ 0 S ≥ 0 P ≥ 0 ⇔    1 − 4m ≥ 0 1 ≥ 0 m ≥ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1 4 Vậy với m ∈  0; 1 4  thì hệ đã cho có nghiệm. Bài tập 2.11. Tìm m để hệ  x + y + xy = m x 2 y + xy 2 = m − 1 vô nghiệm. Lời giải. Đặt S = x + y, P = xy (S 2 ≥ 4P ), hệ trở thành  S + P = m SP = m − 1 ⇔      S = 1 P = m − 1  S = m − 1 P = 1 . Hệ vô nghiệm ⇔ S 2 − 4P < 0 ⇔  1 − 4(m − 1) < 0 m − 1 − 4 < 0 ⇔  m > 5 4 m < 5 ⇔ 5 4 < m < 5. Vậy với m ∈  5 4 ; 5  thì hệ đã cho vô nghiệm. §2. Phương Pháp Hàm Số Bài tập 2.12. Tìm m để phương trình x 3 + 3x 2 + 2 − m = 0 có ba nghiệm phân biệt. Lời giải. Ta có phương trình tương đương x 3 + 3x 2 + 2 = m. Xét hàm số f(x) = x 3 + 3x 2 + 2 trên R có f  (x) = 3x 2 + 6x; f  (x) = 0 ⇔  x = 0 x = −2 . Bảng biến thiên x − ∞ −2 0 + ∞ y  + 0 − 0 + y − ∞ 6 2 + ∞ Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt ⇔ 2 < m < 6. Vậy với m ∈ (2; 6) thì phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt. 4 Chuyên đề 2. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Bài tập 2.13. Tìm m để phương trình x 3 − mx + 2 = 0 có đúng một nghiệm. Lời giải. Nhận thấy x = 0 không phải nghiệm phương trình nên ta có phương trình tương đương m = x 3 +2 x . Xét hàm số f(x) = x 3 + 2 x trên R\{0} có f  (x) = x 3 − 2 x 2 ; f  (x) = 0 ⇔ x = 1. Bảng biến thiên: x − ∞ 0 1 + ∞ f  (x) − − 0 + f(x) + ∞ − ∞ + ∞ 3 + ∞ Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có đúng một nghiệm ⇔ m < 3. Vậy với m < 3 thì phương trình đã cho có đúng một nghiệm. Bài tập 2.14. Tìm m để phương trình 2x 3 − 3x 2 + 1 − m có hai nghiệm phân biệt không nhỏ hơn −1. Lời giải. Ta có phương trình tương đương 2x 3 − 3x 2 + 1 = m. Xét hàm số f(x) = 2x 3 − 3x 2 + 1 trên [−1; +∞) có f  (x) = 6x 2 − 6x; f  (x) = 0 ⇔  x = 0 x = 1 . Bảng biến thiên x −1 0 1 + ∞ y  + 0 − 0 + y −4 1 0 + ∞ Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt không nhỏ hơn −1 ⇔  m = 0 m = 1 . Vậy với m = 0 hoặc m = 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt không nhỏ hơn −1. Bài tập 2.15. (A-2013) Tìm m để hàm số y = −x 3 + 3x 2 + 3mx − 1 nghịch biến trên khoảng (0; +∞). Lời giải. Ta có y  = −3x 2 + 6x + 3m. Hàm số nghịch biến trên (0; +∞) khi và chỉ khi −3x 2 + 6x + 3m ≤ 0, ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ m ≤ x 2 − 2x, ∀x ∈ (0; +∞) (1) Xét hàm số f(x) = x 2 − 2x trên [0; +∞) có f  (x) = 2x − 2; f  (x) = 0 ⇔ x = 1. Bảng biến thiên: x 0 1 + ∞ f  (x) − 0 + f(x) 0 −1 + ∞ Từ bảng biến thiên ta có min [0;+∞) f(x) = f(1) = −1. Do đó (1) ⇔ m ≤ min [0;+∞) f(x) ⇔ m ≤ −1. Vậy với m ≤ −1 thì hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; +∞). Bài tập 2.16. Tìm m để hàm số y = x 3 + 3x 2 − mx − 4 đồng biến trên (−∞; 0). Lời giải. Ta có: y  = 3x 2 + 6x − m. Hàm số đồng biến trên (−∞; 0) khi và chỉ khi 3x 2 + 6x − m ≥ 0, ∀x ∈ (−∞; 0) ⇔ m ≤ 3x 2 + 6x, ∀x ∈ (−∞; 0) (1) Xét hàm số f(x) = 3x 2 + 6x trên (−∞; 0] có f  (x) = 6x + 6; f  (x) = 0 ⇔ x = −1. Bảng biến thiên: 5 Nguyễn Minh Hiếu x − ∞ −1 0 f  (x) − 0 + f(x) + ∞ −3 0 Từ bảng biến thiên ta có min (−∞;0] f(x) = f(−1) = −3. Do đó (1) ⇔ m ≤ min (−∞;0] f(x) ⇔ m ≤ −3. Vậy với m ≤ −3 thì hàm số đã cho nghịch biến trên (−∞; 0). Bài tập 2.17. Tìm m để hàm số y = 1 3 mx 3 − (m − 1) x 2 + 3 (m − 2) x + 1 3 đồng biến trên [2; +∞). Lời giải. Ta có: y  = mx 2 − 2(m − 1)x + 3(m − 2). Hàm số đồng biến trên [2; +∞) khi và chỉ khi mx 2 − 2(m − 1)x + 3(m − 2) ≥ 0, ∀x ∈ [2; +∞) ⇔ mx 2 − 2mx + 2x + 3m − 6 ≥ 0, ∀x ∈ [2; +∞) ⇔ m(x 2 − 2x + 3) ≥ 6 −2x, ∀x ∈ [2; +∞) ⇔ m ≥ 6 − 2x x 2 − 2x + 3 , ∀x ∈ [2; +∞) Xét hàm số f(x) = 6 − 2x x 2 − 2x + 3 trên [2; +∞) có f  (x) = 2x 2 − 12x + 6 (x 2 − 2x + 3) 2 ; f  (x) = 0 ⇔ x = 3 + √ 6. Bảng biến thiên: x 2 3 + √ 6 + ∞ f  (x) − 0 + f(x) 2 3 2− √ 6 2 0 Từ bảng biến thiên ta có max [2;+∞) f(x) = f(2) = 2 3 . Do đó (1) ⇔ m ≥ max [2;+∞) f(x) ⇔ m ≥ 2 3 . Vậy với m ≥ 2 3 thì hàm số đã cho đồng biến trên [2; +∞). Bài tập 2.18. Tìm m để hàm số y = x 3 − (2m + 1) x 2 +  m 2 + 2m  x + 1 đồng biến trên (0; +∞). Lời giải. Ta có y  = 3x 2 −2(2m + 1)x + m 2 +2m; ∆  = (2m + 1) 2 −3(m 2 +2m) = m 2 −2m + 1 = (m −1) 2 . • Với m = 1 ⇒ ∆  = 0, ta có y  ≥ 0, ∀x ∈ R ⇒ hàm số đồng biến trên R nên đồng biến trên (0; +∞). • Với m = 1 ⇒ ∆  > 0, khi đó y  có hai nghiệm phân biệt x 1 = 2m + 1 − |m − 1| 3 , x 2 = 2m + 1 + |m − 1| 3 . Bảng biến thiên: x − ∞ x 1 x 2 + ∞ y  + 0 − 0 + y − ∞ y(x 1 ) y(x 2 ) + ∞ Từ bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên (−∞; x 1 ) và (x 2 ; +∞). Do đó hàm số đồng biến trên (0 : +∞) ⇔ (0; +∞) ⊂ (x 2 ; +∞) khi và chỉ khi x 2 ≤ 0 ⇔ 2m + 1 + |m − 1| 3 ≤ 0 ⇔ |m − 1| ≤ −2m − 1 ⇔  −2m − 1 ≥ 0 (m − 1) 2 ≤ (−2m −1) 2 ⇔ m ≤ −2 Kết hợp ta có m = 1 hoặc m ≤ −2 thì hàm số đã cho đồng biến trên (0; +∞). Bài tập 2.19. Tìm m để hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. 6 Chuyên đề 2. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Lời giải. Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y  = 3x 2 + 6x + m; ∆  = 9 − 3m. • ∆  ≤ 0 ⇔ m ≥ 3 ⇒ y  ≥ 0, ∀x ∈ R: Hàm số đồng biến trên R nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán. • ∆  > 0 ⇔ m < 0, y  có hai nghiệm x 1 , x 2 (x 1 < x 2 ). Theo định lý vi-ét có x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = m 3 . Bảng biến thiên: x − ∞ x 1 x 2 + ∞ y  + 0 − 0 + y − ∞ y(x 1 ) y(x 2 ) + ∞ Từ bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên [x 1 ; x 2 ]. Do đó hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 khi và chỉ khi |x 1 − x 2 | = 1 ⇔ (x 1 − x 2 ) 2 = 1 ⇔ (x 1 + x 2 ) 2 − 4x 1 x 2 = 1 ⇔ 4 − 4m 3 = 1 ⇔ m = 9 4 (thỏa mãn) Vậy với m = 9 4 thì hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. Bài tập 2.20. (B-06) Tìm m để phương trình √ x 2 + mx + 2 = 2x + 1 có hai nghiệm thực phân biệt. Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với  2x + 1 ≥ 0 x 2 + mx + 2 = 4x 2 + 4x + 1 ⇔  x ≥ − 1 2 m = 3x 2 +4x−1 x . Xét hàm số f(x) = 3x 2 + 4x − 1 x trên  − 1 2 ; +∞  \{0} có f  (x) = 3x 2 + 1 x 2 > 0, ∀x ∈  − 1 2 ; +∞  \{0}. Bảng biến thiên: x − 1 2 0 + ∞ f  (x) + + f(x) 9 2 + ∞ − ∞ + ∞ Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ⇔ m ≥ 9 2 . Bài tập 2.21. (B-07) Chứng minh rằng phương trình x 2 + 2x −8 =  m (x − 2) có hai nghiệm phân biệt với mọi m > 0. Lời giải. Điều kiện: x ≥ 2. Nhận thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình. Với x > 2, phương trình tương đương với  x 2 + 2x − 8  2 = m (x − 2) ⇔ x 3 + 6x 2 − 32 = m (1). Xét hàm số f(x) = x 3 + 6x 2 − 32 trên (2; +∞) có f  (x) = 3x 2 + 12x > 0, ∀x > 2; f (2) = 0. Do đó phương trinh (1) có đúng một nghiệm trên (2; +∞) ⇔ m > f(2) ⇔ m > 0. Vậy với mọi m > 0 thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm. Bài tập 2.22. (A-07) Tìm m để phương trình 3 √ x − 1 + m √ x + 1 = 2 4 √ x 2 − 1 có nghiệm thực. Lời giải. Điều kiện: x ≥ 1. Phương trình đã cho tương đương với −3  x − 1 x + 1 + 2 4  x − 1 x + 1 = m. Đặt 4  x − 1 x + 1 = t. Với x ≥ 1 ⇒ t ∈ [0; 1). Phương trình trở thành −3t 2 + 2t = m (*) Xét hàm số f(t) = −3t 2 + 2t trên [0; 1) có f  (t) = −6t + 2; f  (t) = 0 ⇔ t = 1 3 . Bảng biến thiên: t 0 1 3 1 f  (t) + 0 − f(t) 0 1 3 −1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm trên [0; 1) ⇔ −1 ≤ m ≤ 1 3 . 7 Nguyễn Minh Hiếu Bài tập 2.23. (B-04) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m   1 + x 2 −  1 − x 2 + 2  = 2  1 − x 4 +  1 + x 2 −  1 − x 2 Lời giải. Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 1. Đặt √ 1 + x 2 − √ 1 − x 2 = t có t  = x √ 1+x 2 − x √ 1−x 2 ; t  = 0 ⇔ x = 0; t(0) = 0, t(±1) = √ 2 ⇒ t ∈ [0; √ 2]. Phương trình đã cho trở thành m (t + 2) = −t 2 + t + 2 ⇔ m = −t 2 + t + 2 t + 2 (*). Xét hàm số f(t) = −t 2 + t + 2 t + 2 trên [0; √ 2] có f  (t) = −t 2 − 4t (t + 2) 2 ≤ 0, ∀t ∈  0; √ 2  . Suy ra min [ 0; √ 2 ] f(t) = f  √ 2  = √ 2 − 1; max [ 0; √ 2 ] f(t) = f(0) = 1. Khi đó phương trình đã cho có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm trên [0; √ 2] ⇔ √ 2 −1 ≤ m ≤ 1. Bài tập 2.24. (A-08) Tìm m để phương trình 4 √ 2x + √ 2x + 2 4 √ 6 − x + 2 √ 6 − x = m có hai nghiệm thực phân biệt. Lời giải. Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 6. Xét hàm số f (x) = 4 √ 2x + √ 2x + 2 4 √ 6 − x + 2 √ 6 − x trên [0; 6]. Ta có f  (x) = 1 2 4  (2x) 3 + 1 √ 2x − 1 2 4  (6 − x) 3 − 1 √ 6 − x = 1 2   1 4  (2x) 3 − 1 4  (6 − x) 3   + 1 √ 2x − 1 √ 6 − x . Đặt 1 4  (2x) 3 − 1 4  (6 − x) 3 = u(x), 1 √ 2x − 1 √ 6 − x = v(x). Nhận thấy f  (2) = 0 và u(x), v(x) cùng dương trên (0; 2), cùng âm trên (2; 6) nên ta có bảng biến thiên x 0 2 6 f  (x) + 0 − f(x) 2 √ 6 + 2 4 √ 6 3 √ 2 + 6 4 √ 12 + 2 √ 3 Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ 2 √ 6 + 2 4 √ 6 ≤ m < 3 √ 2 + 6. Bài tập 2.25. (D-2011) Tìm m để hệ  2x 3 − (y + 2) x 2 + xy = m x 2 + x − y = 1 − 2m có nghiệm. Lời giải. Hệ đã cho tương đương với   x 2 − x  (2x − y) = m x 2 − x + 2x − y = 1 − 2m . Đặt x 2 − x = u, 2x −y = v (u ≥ − 1 4 ). Hệ trở thành  uv = m (1) u + v = 1 − 2m (2) . Từ (2) ⇒ v = 1 − 2m − u thay vào (1) ta có u (1 − 2m − u) = m ⇔ m = −u 2 + u 2u + 1 . Xét hàm số f(u) = −u 2 + u 2u + 1 có f  (u) = 2u 2 + 2u − 1 (2u + 1) 2 ; f  (u) = 0 ⇔ u = −1 + √ 3 2 . Bảng biến thiên: x − 1 4 −1+ √ 3 2 + ∞ f  (x) + 0 − f(x) − 5 8 2− √ 3 2 − ∞ Vậy hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m ≤ 2 − √ 3 2 . 8 Chuyên đề 2. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số §3. Cực Trị Của Hàm Số Bài tập 2.26. (D-2012) Tìm m để hàm số y = 2 3 x 3 − mx 2 − 2  3m 2 − 1  x + 2 3 có hai điểm cực trị x 1 và x 2 sao cho x 1 x 2 + 2 (x 1 + x 2 ) = 1. Lời giải. Ta có y  = 2x 2 − 2mx − 2(3m 2 − 1); ∆  y  = m 2 + 4(3m 2 − 1) = 13m 2 − 4. Hàm số có hai cực trị ⇔ y  có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆  y  > 0 ⇔ 13m 2 − 4 > 0 ⇔  m > 2 √ 13 m < − 2 √ 13 . Giả sử hàm số đạt cực trị tại x 1 , x 2 . Theo định lý vi-ét có x 1 + x 2 = m, x 1 x 2 = 1 − 3m 2 . Khi đó x 1 x 2 + 2 (x 1 + x 2 ) = 1 ⇔ 1 −3m 2 + 2m = 1 ⇔  m = 0 (loại) m = 2 3 . Vậy m = 2 3 . Bài tập 2.27. Tìm m để hàm số y = x 3 −3 (m + 1) x 2 + 9x −m đạt cực trị tại x 1 , x 2 thỏa |x 1 − x 2 | ≤ 2. Lời giải. Ta có y  = 3x 2 − 6(m + 1)x + 9; ∆  y  = 9(m + 1) 2 − 27 = 9m 2 + 18m − 18. Hàm số có hai cực trị ⇔ y  có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆  y  > 0 ⇔ 9m 2 + 18m − 18 > 0 ⇔  m > −1 + √ 3 m < −1 − √ 3 Giả sử hàm số đạt cực trị tại x 1 , x 2 . Theo định lý vi-ét có x 1 + x 2 = 2(m + 1), x 1 x 2 = 3. Khi đó |x 1 − x 2 | ≤ 2 ⇔ (x 1 + x 2 ) 2 − 4x 1 x 2 ≤ 4 ⇔ 4(m + 1) 2 − 12 ≤ 4 ⇔ −3 ≤ m ≤ 1. Kết hợp ta có m ∈ (−3; −1 − √ 3) ∪ (−1 + √ 3; 1). Bài tập 2.28. (DB-04) Tìm m để hàm số y = x 3 − 3 (m + 1) x 2 + 3m (m + 2) x + 1 đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương. Lời giải. Ta có y  = 3x 2 − 6(m + 1)x + 3m(m + 2); ∆  = 9(m + 1) 2 − 9m(m + 2) = 9 > 0, ∀m ∈ R. Do đó hàm số luôn có hai cực trị với mọi m ∈ R. Khi đó hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương khi và chỉ khi  S > 0 P > 0 ⇔  2(m + 1) > 0 m(m + 2) > 0 ⇔    m > −1  m > 0 m < −2 ⇔ m > 0 Vậy với m > 0 thì hàm số đã cho đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương. Bài tập 2.29. Tìm m để hàm số y = −x 3 + (2m + 1) x 2 −  m 2 − 3m + 2  x −4 có hai cực trị nằm về hai phía Oy. Lời giải. Ta có y  = −3x 2 + 2(2m + 1)x − (m 2 − 3m + 2). Hàm số có hai cực trị nằm về hai phía Oy ⇔ y  có hai nghiệm trái dấu ⇔ m 2 −3m+2 < 0 ⇔ 1 < m < 2. Bài tập 2.30. Tìm m để hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 1 có cực đại cực tiểu nằm về hai phía trục hoành. Lời giải. Ta có y  = 3x 2 − 6mx = 3x(x −2m); y  = 0 ⇔  x = 0 x = 2m . Do đó với m = 0 thì hàm số đã cho có cực đại cực tiểu. Hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía Ox ⇔ y(0).y(2m) < 0 ⇔ 1.(1 − 4m 3 ) < 0 ⇔ m > 1 3 √ 4 . Bài tập 2.31. Tìm m để hàm số y = 2x 3 −3(2m + 1)x 2 + 6m(m + 1)x + 1 có cực trị đồng thời giá trị cực đại của hàm số lớn hơn 1. Lời giải. Ta có y  = 6x 2 − 6(2m + 1)x + 6m(m + 1); ∆  y  = 9(2m + 1) 2 − 36m(m + 1) = 9 > 0, ∀m ∈ R. Do đó hàm số luôn có cực trị ∀m ∈ R. Khi đó y  = 0 ⇔  x = m x = m + 1 Lập bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại x = m ⇒ y CĐ = y(m) = 2m 3 + 3m 2 + 1. Vậy hàm số có giá trị cực đại lớn hơn 1 ⇔ 2m 3 + 3m 2 + 1 > 1 ⇔ m 2 (2m + 3) > 0 ⇔    m = 0 m > − 3 2 . 9 Nguyễn Minh Hiếu Bài tập 2.32. (B-2011) Tìm m để hàm số y = x 4 − 2 (m + 1) x 2 + m có ba cực trị A, B, C sao cho OA = BC, trong đó O là gốc tọa độ và A thuộc trục tung. Lời giải. Ta có: y  = 4x 3 − 4(m + 1)x; y  = 0 ⇔  x = 0 x 2 = m + 1 . Do đó với m > −1 hàm số có ba cực trị A (0; m) , B  − √ m + 1; −m 2 − m − 1  , C  √ m + 1; −m 2 − m − 1  Khi đó: OA = |m|; −−→ BC =  2 √ m + 1; 0  ⇒ BC = 2 √ m + 1. Theo giả thiết ta có: OA = BC ⇔ m 2 = 4(m + 1) ⇔ 2 ± √ 2 (thỏa mãn). Vậy m = 2 ± √ 2. Bài tập 2.33. Tìm m để hàm số y = x 4 −2mx 2 + 2m + m 4 có cực đại, cực tiểu lập thành tam giác đều. Lời giải. Ta có: y  = 4x 3 − 4mx; y  = 0 ⇔  x = 0 x 2 = m . Do đó với m > 0 hàm số có ba cực trị A  0; 2m + m 4  , B  − √ m; m 4 − m 2 + 2m  , C  √ m; m 4 − m 2 + 2m  Khi đó −−→ AB =  − √ m; −m 2  ⇒ AB = √ m + m 4 ; −−→ BC = (2 √ m; 0) ⇒ BC = 2 √ m. Dễ thấy ∆ABC cân tại A nên ∆ABC đều ⇔ AB = BC ⇔ m + m 4 = 4m ⇔ m = 3 √ 3. Bài tập 2.34. (A-2012) Tìm m để hàm số y = x 4 − 2 (m + 1) x 2 + m 2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông. Lời giải. Ta có: y  = 4x 3 − 4(m + 1)x; y  = 0 ⇔  x = 0 x 2 = m + 1 . Do đó với m > −1 hàm số có ba cực trị A  0; m 2  , B  − √ m + 1; −2m − 1  , C  √ m + 1; −2m − 1  Khi đó: −−→ AB =  − √ m + 1; −(m + 1) 2  ; −→ AC =  √ m + 1; −(m + 1) 2  . Dễ thấy ∆ABC cân tại A nên ∆ABC vuông ⇔ −−→ AB. −→ AC = 0 ⇔ (m + 1) 4 − (m + 1) = 0 ⇔ m = 0. Bài tập 2.35. Tìm m để hàm số y = 1 2 x 4 + 4mx 2 + 4m 2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 16. Lời giải. Ta có y  = 2x 4 + 8mx = 2x(x 2 + 4m); y  = 0 ⇔  x = 0 x 2 = −4m . Do đó với m < 0 thì hàm số đã cho có ba cực trị. Khi đó y  = 0 ⇔  x = 0 x = ±2 √ −m nên đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị A  0; 4m 2  , B  −2 √ −m; −4m 2  , C  2 √ −m; −4m 2  Gọi H là trung điểm BC ta có H  0; −4m 2  ⇒ −−→ AH =  0; −8m 2  ⇒ AH = 8m 2 . Lại có −−→ BC =  4 √ −m; 0  ⇒ BC = 4 √ −m. Vì tam giác ABC cân tại A nên S ∆ABC = 1 2 AH.BC = 1 2 .8m 2 .4 √ −m = 16m 2 √ −m. Theo giả thiết ta có S ∆ABC = 16 ⇔ 16m 2 √ −m = 16 ⇔ m = −1 (thỏa mãn). Vậy với m = −1 thì đồ thị hàm số đã cho có ba cực trị tạo thành tam giác có diện tích 16. Bài tập 2.36. Tìm m để hàm số y = −x 4 + 4mx 2 − 4m có ba cực trị là ba đỉnh của một tam giác nhận điểm H(0; − 1 2 ) làm trực tâm. Lời giải. Ta có y  = −4x 3 + 8mx = −4x(x 2 − 2m); y  = 0 ⇔  x = 0 x 2 = 2m . Do đó với m > 0 thì hàm số đã cho có ba cực trị. 10 [...]... Phương trình có bốn nghiệm 24 y 4 3 −1 O 1 x Chuyên đề 2 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Bài tập 2.90 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số y = x4 − 4x2 + 3 Tìm m để phương trình 1 4 x − 2x2 + m = 0 có bốn nghiệm phân biệt 2 Lời giải y Ta có phương trình tương đương: x4 − 4x2 + 3 = 3 − 2m Số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = x4 − 4x2 + 3 và đường thẳng y = 3 −... có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán 18 Chuyên đề 2 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Bài tập 2.66 (B-09) Tìm m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị hàm số y = x2 − 1 tại hai điểm x phân biệt A, B sao cho AB = 4 x2 − 1 x=0 = −x + m ⇔ 2x2 − mx − 1 = 0 x Đặt f (x) = 2x2 − mx − 1 có ∆ = m2 + 8 > 0, ∀m ∈ R và f (0) = −1 = 0, ∀m ∈ R Do đó đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng y = −x + m tại... 0 Vậy với m = 0 thì đồ thị hàm số y = x4 − 8x2 + 7 tiếp xúc với đường thẳng y = mx − 9 Bài tập 2.45 Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x3 − 3(m + 3)x2 + 18mx − 8 tiếp xúc với trục hoành Lời giải Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: 2x3 − 3(m + 3)x2 + 18mx − 8 6x2 − 6(m + 3)x + 18m = 0 12 (1) (2) Chuyên đề 2 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số x=3 x=m 35 Với x = 3 thay... Phương trình có một nghiệm m < 0: Phương trình vô nghiệm Ta có (x + 2)2 = y 4 O −2 1 x Bài tập 2.97 (B-09) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số y = 2x4 − 4x2 Với các giá trị nào của m, phương trình x2 x2 − 2 = m có đúng sáu nghiệm thực phân biệt Lời giải 26 Chuyên đề 2 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Ta có phương trình tương đương: 2x4 − 4x2 = 2m Từ đồ thị đã vẽ, đối xứng phần đồ thị... |x2 − x1 | = ⇔ Chuyên đề 2 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số 36m2 1 Lại có d(O, d) = 2 ⇒ S∆OBC = d(O, d).BC = − 36 2 m2 − 4m + 4 √ 36m2 Theo giả thi t S∆OBC = 13 ⇔ 2 − 36 = 13 ⇔ 13m2 − 196m + 196 = 0 ⇔ m − 4m + 4 14 Vậy m = 14 hoặc m = 13 m = 14 14 m= 13 Bài tập 2.52 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2 − 1 cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt x3 − 1 3x2 3−1 3+2 √ x x 1 Xét hàm số f (x) = trên... giá trị lớn nhất bằng −2 khi m = −1 Bài tập 2.83 (DB-07) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = giao điểm của tiệm cận đứng và trục Ox 22 −x + 1 , biết tiếp tuyến qua 2x + 1 Chuyên đề 2 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Lời giải Hàm số có tiệm cận đứng x = − 1 Tiệm cận đứng cắt trục Ox tại điểm M − 1 ; 0 2 2 Tiếp tuyến qua M − 1 ; 0 với hệ số góc k bất kỳ có phương trình dạng... Chuyên đề 2 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Lời giải Hai điểm phân biệt thuộc đồ thị hàm số là: M (x1 ; x3 − 3x2 + m), N (x2 ; x3 − 3x2 + m), x1 = x2 1 1 2 2 x1 = −x2 (1) Hai điểm M, N đối xứng nhau qua gốc tọa độ O nên ta có: 3 − 3x2 + m = − x3 − 3x2 + m x1 (2) 1 2 2 Thay (1) vào (2) ta có: −x3 − 3x2 − m = −x3 + 3x2 − m ⇔ m = 3x2 > 0 2 2 2 2 2 Vậy m > 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán x+1 Bài. .. x4 − (3m + 4) x2 + m2 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng 16 Chuyên đề 2 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Lời giải Ta có phương trình hoành độ giao điểm: x4 − (3m + 4) x2 + m2 = 0 (1) Đặt x2 = t, t ≥ 0, phương trình (1) trở thành t2 − (3m + 4)t + m2 = 0 (2) Đồ thị hàm số cắt Ox tại bốn điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt Khi đó phương... minh tích các khoảng cách từ điểm M nằm trên đồ thị x−2 hàm số đến hai tiệm cận không đổi Bài tập 2.113 Cho hàm số y = 29 Nguyễn Minh Hiếu Lời giải Hàm số có tiệm cận ngang y = 3 và tiệm cận đứng x = 2 3x0 − 1 ∈ (C) , x0 = 2, ta có: Lấy điểm M x0 ; x0 − 2 3x0 − 1 5 − 3 = |x0 − 2| =5 x0 − 2 |x0 − 2| d (M, TCĐ) d (M, TCN) = |x0 − 2| + Vậy tích các khoảng cách từ điểm M nằm trên đồ thị hàm số đến hai tiệm.. .Chuyên đề 2 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Khi đó y = 0 ⇔ x=0√ nên đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị x = ± 2m √ √ 2m; 4m2 − 4m A (0; −4m) , B − 2m; 4m2 − 4m , C √ √ −→ − − → Ta có HB = (− 2m; 4m2 − 4m + 1 ), AC = ( 2m; 4m2 ) 2 Dễ