Chuyên đề Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số luyện thi đại học.

Chuyên đề 2Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số §1.. Phương Pháp Tam Thức Bậc Hai Bài tập 2.1... b Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khim+3 m−1 > 0 Vậy với m ≤

Chuyên đề 2

Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát

Hàm Số

§1 Phương Pháp Tam Thức Bậc Hai

Bài tập 2.1 Tìm m để phương trình x2 − 10mx + 9m = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức

Theo giả thiết x1− 9x2= 0 ⇔ x1= 9x2 thay vào (1) được 10x2 = 10m ⇔ x2 = m ⇒ x1= 9m

Thay x1, x2 vào (2) ta có 9m2 = 9m ⇔



m = 1

m = 0 (loại) .Vậy với m = 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa x1− 9x2 = 0

Bài tập 2.2 Tìm m để phương trình mx2− 2(m − 1)x + 3(m − 2) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2thỏa mãn hệ thức x1+ 2x2= 1

Vậy với m = 2 hoặc m = 2

3 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa x1+ 2x2 = 1.

Bài tập 2.3 Tìm m để phương trình x3− mx − 2m + 8 = 0 có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 thỏa mãn

Phương trình có ba nghiệm phân biệt ⇔ f (x) có hai nghiệm phân biệt khác −2 khi và chỉ khi

Gọi x1, x2, x3 là ba nghiệm của phương trình và giả sử x3 = −2 thì x1, x2 là hai nghiệm của f (x).Theo giả thiết x21+ x22+ x23 = 10 ⇔ (x1+ x2)2− 2x1x2 = 6 ⇔ 4 − 2(4 − m) = 6 ⇔ m = 5 (thỏa mãn).Vậy với m = 5 thì phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 thỏa x21+ x22+ x23= 10.Bài tập 2.4 Tìm m để phương trình x3− mx + m − 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 thỏa mãn

Phương trình có ba nghiệm phân biệt ⇔ f (x) có hai nghiệm phân biệt khác 1 khi và chỉ khi



∆ > 0

f (1) 6= 0 ⇔

4m − 3 > 0

a) Có hai nghiệm trái dấu; b) Có đúng một nghiệm dương; c) Có hai nghiệm dương phân biệt.Lời giải Ta có ∆0= (m + 1)2− (m − 1)(m + 2) = m + 3

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ (m − 1)(m + 2) < 0 ⇔ −2 < m < 1

m+2 m−1 = 0

m+2 m−1 < 0

Kết hợp ta có m = −3 hoặc −2 ≤ m ≤ 1 thì phương trình đã cho có đúng một nghiệm dương

c) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi

m+2 m−1 > 0

b) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi

m+3 m−1 > 0

Vậy với m ≤ −3 thì phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt

c) Với m = 1, phương trình trở thành −4x + 4 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán.Với m 6= 1, phương trình có đúng một nghiệm âm khi và chỉ khi

m+3 m−1 = 0

m+3 m−1 < 0

Kết hợp ta có m ∈ [−3; 1) thì phương trình đã cho có đúng một nghiệm âm

Bài tập 2.7 Tìm m để phương trình x4− 2(m − 1)x2+ 3 − m = 0 có bốn nghiệm phân biệt

Lời giải Đặt x2= t ≥ 0, phương trình trở thành t2− 2(m − 1)t + 3 − m = 0 (∗)

a) Có bốn nghiệm phân biệt; b) Có đúng một nghiệm; c) Có nghiệm

Lời giải Đặt x2= t ≥ 0, phương trình trở thành t2− 2mt + m + 12 = 0 (∗) có ∆0 = m2− m − 12.a) Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi (∗) có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi

Vậy với m > 4 thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt

b) Phương trình đã cho có đúng một nghiệm khi (∗) có nghiệm 0 và không có nghiệm dương khi

c) Phương trình đã cho có nghiệm khi (∗) có ít nhất một nghiệm không âm khi và chỉ khi

Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm ⇔ ∆0 ≥ 0 ⇔ m ≥ −4

Vậy với m ≥ −4 thì phương trình đã cho có nghiệm

Do đó hệ đã cho có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm không âm

Bài tập 2.12 Tìm m để phương trình x3+ 3x2+ 2 − m = 0 có ba nghiệm phân biệt

Lời giải Ta có phương trình tương đương x3+ 3x2+ 2 = m

Xét hàm số f (x) = x3+ 3x2+ 2 trên R có f0(x) = 3x2+ 6x; f0(x) = 0 ⇔



x = 0

x = −2 .Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt ⇔ 2 < m < 6

Vậy với m ∈ (2; 6) thì phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt

Bài tập 2.13 Tìm m để phương trình x3− mx + 2 = 0 có đúng một nghiệm.

Lời giải Nhận thấy x = 0 không phải nghiệm phương trình nên ta có phương trình tương đương m = x3x+2.Xét hàm số f (x) = x

− ∞

+ ∞

3

+ ∞

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có đúng một nghiệm ⇔ m < 3

Vậy với m < 3 thì phương trình đã cho có đúng một nghiệm

Bài tập 2.14 Tìm m để phương trình 2x3− 3x2+ 1 − m có hai nghiệm phân biệt không nhỏ hơn −1.Lời giải Ta có phương trình tương đương 2x3− 3x2+ 1 = m

Xét hàm số f (x) = 2x3− 3x2+ 1 trên [−1; +∞) có f0(x) = 6x2− 6x; f0(x) = 0 ⇔



x = 0

x = 1 .Bảng biến thiên

−3x2+ 6x + 3m ≤ 0, ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ m ≤ x2− 2x, ∀x ∈ (0; +∞) (1)Xét hàm số f (x) = x2− 2x trên [0; +∞) có f0(x) = 2x − 2; f0(x) = 0 ⇔ x = 1 Bảng biến thiên:

f (x) 0

Vậy với m ≤ −1 thì hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; +∞)

Bài tập 2.16 Tìm m để hàm số y = x3+ 3x2− mx − 4 đồng biến trên (−∞; 0)

Lời giải Ta có: y0 = 3x2+ 6x − m Hàm số đồng biến trên (−∞; 0) khi và chỉ khi

3x2+ 6x − m ≥ 0, ∀x ∈ (−∞; 0) ⇔ m ≤ 3x2+ 6x, ∀x ∈ (−∞; 0) (1)Xét hàm số f (x) = 3x2+ 6x trên (−∞; 0] có f0(x) = 6x + 6; f0(x) = 0 ⇔ x = −1 Bảng biến thiên:

x − ∞ −1 0

f (x) + ∞

2− √ 6 2

3 thì hàm số đã cho đồng biến trên [2; +∞).

Bài tập 2.18 Tìm m để hàm số y = x3− (2m + 1) x2+ m2+ 2m
x + 1 đồng biến trên (0; +∞)

Lời giải Ta có y0 = 3x2− 2(2m + 1)x + m2+ 2m; ∆0 = (2m + 1)2− 3(m2+ 2m) = m2− 2m + 1 = (m − 1)2

• Với m = 1 ⇒ ∆0= 0, ta có y0 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇒ hàm số đồng biến trên R nên đồng biến trên (0; +∞)

• Với m 6= 1 ⇒ ∆0 > 0, khi đó y0có hai nghiệm phân biệt x1 = 2m + 1 − |m − 1|

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên (−∞; x1) và (x2; +∞)

Do đó hàm số đồng biến trên (0 : +∞) ⇔ (0; +∞) ⊂ (x2; +∞) khi và chỉ khi

x2≤ 0 ⇔ 2m + 1 + |m − 1|

3 ≤ 0 ⇔ |m − 1| ≤ −2m − 1 ⇔



−2m − 1 ≥ 0(m − 1)2 ≤ (−2m − 1)2 ⇔ m ≤ −2Kết hợp ta có m = 1 hoặc m ≤ −2 thì hàm số đã cho đồng biến trên (0; +∞)

Bài tập 2.19 Tìm m để hàm số y = x3+ 3x2+ mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1

Lời giải Tập xác định: D = R Đạo hàm: y0 = 3x2+ 6x + m; ∆0 = 9 − 3m.

• ∆0≤ 0 ⇔ m ≥ 3 ⇒ y0≥ 0, ∀x ∈ R: Hàm số đồng biến trên R nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán

• ∆0> 0 ⇔ m < 0, y0 có hai nghiệm x1, x2 (x1< x2) Theo định lý vi-ét có x1+ x2= −2; x1x2= m3.Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên [x1; x2]

Do đó hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 khi và chỉ khi

|x1− x2| = 1 ⇔ (x1− x2)2 = 1 ⇔ (x1+ x2)2− 4x1x2 = 1 ⇔ 4 − 4m

3 = 1 ⇔ m =

9

4 (thỏa mãn)Vậy với m = 9

4 thì hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

Bài tập 2.20 (B-06) Tìm m để phương trình√

x2+ mx + 2 = 2x + 1 có hai nghiệm thực phân biệt.Lời giải Phương trình đã cho tương đương với

2x + 1 ≥ 0

x2+ mx + 2 = 4x2+ 4x + 1 ⇔



x ≥ −12

m = 3x2+4x−1x .Xét hàm số f (x) = 3x

Lời giải Điều kiện: x ≥ 2 Nhận thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình

Với x > 2, phương trình tương đương với x2+ 2x − 8
2 = m (x − 2) ⇔ x3+ 6x2− 32 = m (1).Xét hàm số f (x) = x3+ 6x2− 32 trên (2; +∞) có f0(x) = 3x2+ 12x > 0, ∀x > 2; f (2) = 0

Do đó phương trinh (1) có đúng một nghiệm trên (2; +∞) ⇔ m > f (2) ⇔ m > 0

Vậy với mọi m > 0 thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm

Bài tập 2.22 (A-07) Tìm m để phương trình 3√

f (t) 0

1 3

−1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm trên [0; 1) ⇔ −1 ≤ m ≤ 13

Bài tập 2.23 (B-04) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2− 4t(t + 2)2 ≤ 0, ∀t ∈0;√2

Suy ra min

[0;√2]f (t) = f

√2
=√2 − 1; max

Lời giải Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 6 Xét hàm số f (x) =√4

+√12x−

1

24

q(6 − x)3

−√ 1

6 − x =

12



1

4

q(2x)3

4

q(6 − x)3



+√12x−

2+ u2u + 1 có f

0(u) = 2u

2+ 2u − 1(2u + 1)2 ; f

0(u) = 0 ⇔ u = −1 +

√3

2− √ 3 2

− ∞

Vậy hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m ≤ 2 −

√3

2 .

m < −√2

13

.Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1, x2 Theo định lý vi-ét có x1+ x2= m, x1x2 = 1 − 3m2

Do đó hàm số luôn có hai cực trị với mọi m ∈ R

Khi đó hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương khi và chỉ khi



S > 0

P > 0 ⇔

2(m + 1) > 0m(m + 2) > 0 ⇔

Vậy với m > 0 thì hàm số đã cho đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương

Bài tập 2.29 Tìm m để hàm số y = −x3+ (2m + 1) x2− m2− 3m + 2
x − 4 có hai cực trị nằm về haiphía Oy

Lời giải Ta có y0= −3x2+ 2(2m + 1)x − (m2− 3m + 2)

Hàm số có hai cực trị nằm về hai phía Oy ⇔ y0 có hai nghiệm trái dấu ⇔ m2−3m+2 < 0 ⇔ 1 < m < 2.Bài tập 2.30 Tìm m để hàm số y = x3− 3mx2+ 1 có cực đại cực tiểu nằm về hai phía trục hoành.Lời giải Ta có y0= 3x2− 6mx = 3x(x − 2m); y0= 0 ⇔



x = 0

x = 2m .

Do đó với m 6= 0 thì hàm số đã cho có cực đại cực tiểu

Hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía Ox ⇔ y(0).y(2m) < 0 ⇔ 1.(1 − 4m3) < 0 ⇔ m > √31

4.Bài tập 2.31 Tìm m để hàm số y = 2x3− 3(2m + 1)x2+ 6m(m + 1)x + 1 có cực trị đồng thời giá trị cựcđại của hàm số lớn hơn 1

Vậy hàm số có giá trị cực đại lớn hơn 1 ⇔ 2m3+ 3m2+ 1 > 1 ⇔ m2(2m + 3) > 0 ⇔

Bài tập 2.32 (B-2011) Tìm m để hàm số y = x4 − 2 (m + 1) x2 + m có ba cực trị A, B, C sao cho

OA = BC, trong đó O là gốc tọa độ và A thuộc trục tung

Theo giả thiết ta có: OA = BC ⇔ m2 = 4(m + 1) ⇔ 2 ±√2 (thỏa mãn) Vậy m = 2 ±√2

Bài tập 2.33 Tìm m để hàm số y = x4− 2mx2+ 2m + m4 có cực đại, cực tiểu lập thành tam giác đều.Lời giải Ta có: y0 = 4x3− 4mx; y0 = 0 ⇔

Dễ thấy ∆ABC cân tại A nên ∆ABC vuông ⇔−AB.→−→AC = 0 ⇔ (m + 1)4− (m + 1) = 0 ⇔ m = 0

Theo giả thiết ta có S∆ABC = 16 ⇔ 16m2√−m = 16 ⇔ m = −1 (thỏa mãn)

Vậy với m = −1 thì đồ thị hàm số đã cho có ba cực trị tạo thành tam giác có diện tích 16

Bài tập 2.36 Tìm m để hàm số y = −x4+ 4mx2− 4m có ba cực trị là ba đỉnh của một tam giác nhậnđiểm H(0; −12) làm trực tâm



= 0 ⇔ 8m3− 8m2+ m − 1 = 0 ⇔ m = 1Vậy với m = 1 thì hàm số đã cho có ba cực trị thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài tập 2.37 Tìm m để hàm số y = −x3+ 3x2+ 3m(m + 2)x + 1 có hai điểm cực trị đồng thời khoảngcách giữa chúng bằng 2√5

Theo giả thiết AB = 2√5 ⇔ (m + 1)2+ 4(m + 1)6 = 5 ⇔ (m + 1)2 = 1 ⇔



m = 0

m = −2 (thỏa mãn).Bài tập 2.38 (B-07) Tìm m để hàm số y = −x3+ 3x2+ 3 m2− 1
x − 3m2− 1 có cực đại, cực tiểu vàcác điểm cực trị cách đều gốc toạ độ

Lời giải Ta có: y0 = −3x2+ 6x + 3 m2− 1
, y0 = 0 ⇔ x = 1 ± m

Do đó với m 6= 0 hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại A 1 − m; −2 − 2m3
, B 1 + m; −2 + 2m3
Khi đó

OA =

q(1 − m)2+ (2 + 2m3)2 =p4m6+ 8m3+ m2− 2m + 5

OB =

q(1 + m)2+ (2 − 2m3)2=p4m6− 8m3+ m2+ 2m + 5Hàm số có cực đại, cực tiểu cách đều gốc tọa độ ⇔ OA = OB ⇔ 16m3 = 4m ⇔



m = 0 (loại)

m = ±12 .Bài tập 2.39 Tìm m để hàm số y = x3−3

Do đó với m 6= 0, hàm số đạt cực trị tại hai điểm A(0;12m3) và B(m; 0)

Ta có: −AB = (m; −→ 12m3); Gọi I trung điểm AB ⇒ I(12m;14m3)

Đặt d : y = x ⇔ x − y = 0 ⇒ −→ud= (1; 1)

Khi đó A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d ⇔

( −→AB.−→ud= 0

d : x − y = 0

Lời giải Ta có: y0 = 3x2− 3m; y0 = 0 ⇔ x2 = m Do đó với m > 0 hàm số có hai cực trị

A(√m; −2m√m − 3m + 1), B(−√m; 2m√m − 3m + 1)Theo giả thiết các điểm cực trị cách đều đường thẳng d nên ta có:

d (A, d) = d (B, d) ⇔

√

m + 2m√m + 3m − 1 = −√m − 2m√m + 3m − 1 ⇔ m = 1

3

Bài tập 2.41 Tìm m để hàm số y = x3+ 3x2− (m + 1)x + 2 có cực đại, cực tiểu đồng thời đường thẳngqua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng d : y = 2x + 3 một góc 450.

3(m + 4)

.Đường thẳng d2 : y = 2x + 3 có vectơ chỉ phương −→u2 = (1; 2)

Theo giả thiết góc giữa d1 và d2 là 450 nên ta có

2 thì hàm số đã cho có hai cực trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài tập 2.42 (B-2012) Tìm m để hàm số y = x3− 3mx2+ 3m3 có hai điểm cực trị A và B sao cho tamgiác OAB có diện tích bằng 48

Lời giải Ta có: y = 3x2− 6mx; y0 = 0 ⇔



x = 0

x = 2m .Hàm số có hai điểm cực trị ⇔ y0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ m 6= 0

Khi đó hàm số đạt cực trị tại A 0; 3m3
, B 2m; −m3

Suy ra OA = 3|m|3, d(B, OA) = 2|m| ⇒ S∆OAB= 1

2OA.d(B, OA) = 3m

4.Lại có S∆OAB= 48 ⇔ 3m4 = 48 ⇔ m = ±2 (thỏa mãn) Vậy m = ±2

§4 Tương Giao Giữa Hai Đồ Thị

Bài tập 2.43 Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = x3+ 3x2− 3x − 2 và parabol y = x2− 4x + 2.Lời giải Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

x3+ 3x2− 3x − 2 = x2− 4x + 2 ⇔ x3+ 2x2+ x − 4 = 0 ⇔ x = 1

Do đó đồ thị hàm số y = x3+ 3x2− 3x − 2 cắt parabol y = x2− 4x + 2 tại điểm (1; −1)

Bài tập 2.44 (DB-08) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4− 8x2+ 7 tiếp xúc với đường thẳng y = mx − 9.Lời giải Đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = mx − 9 khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

(

x4− 8x2+ 7 = mx − 9 (1)4x3− 16x = m (2)Thay (2) vào (1) ta có: x4− 8x2+ 7 = 4x4− 16x2− 9 ⇔ x2 = 4 ⇒ m = 0

Vậy với m = 0 thì đồ thị hàm số y = x4− 8x2+ 7 tiếp xúc với đường thẳng y = mx − 9

Bài tập 2.45 Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x3− 3(m + 3)x2+ 18mx − 8 tiếp xúc với trục hoành.Lời giải Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

(2x3− 3(m + 3)x2+ 18mx − 8 (1)6x2− 6(m + 3)x + 18m = 0 (2)

Ta có (2) ⇔ x2− (m + 3)x + 3m = 0 ⇔ (x − 3)(x − m) = 0 ⇔



x = 3

x = m .Với x = 3 thay vào (1) được 54 − 27(m + 3) + 54m − 8 = 0 ⇔ m = 35

27.Với x = m thay vào (1) được 2m3− 3m2(m + 3) + 18m2− 8 = 0 ⇔



m = 1

m = 4 ± 2√6 .Vậy với m = 35

27, m = 1, m = 4 ± 2

√

6 thì đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành

Bài tập 2.46 Tìm m để đồ thị hàm số y = mx3− x2− 2x + 8m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.Lời giải Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

mx3− x2− 2x + 8m = 0 ⇔ (x + 2) mx2− (2m + 1)x + 4m
= 0 ⇔



x = −2

mx2− (2m + 1)x + 4m = 0Đặt f (x) = mx2− (2m + 1)x + 4m có ∆ = −12m2+ 4m + 1

Đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt ⇔ f (x) có hai nghiệm phân biệt khác −2 khi và chỉ khi



−1

6;

12



\ {0} thì đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

Bài tập 2.47 (D-06) Gọi d là đường thẳng đi qua A (3; 20) và có hệ số góc m Tìm m để d cắt đồ thịhàm số y = x3− 3x + 2 tại ba điểm phân biệt

Lời giải Đường thẳng d qua A(3; 20) và có hệ số góc m bất kỳ nên có phương trình: y = m(x − 3) + 20.Phương trình hoành độ giao điểm:

x3− 3x + 2 = m(x − 3) + 20 ⇔ (x − 3) x2+ 3x + 6 − m
= 0 ⇔



x = 3

x2+ 3x + 6 − m = 0Đặt f (x) = x2+ 3x + 6 − m có ∆ = 4m − 15

Đồ thị hàm số cắt d tại ba điểm phân biệt ⇔ f (x) có hai nghiệm phân biệt khác 3 khi và chỉ khi



∆ > 0

f (3) 6= 0 ⇔

4m − 15 > 0

\ {24} đồ thị hàm số đã cho cắt d tại ba điểm phân biệt

Bài tập 2.48 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3− mx2+ 4x + 4m − 16 cắt trục hoành tại ba điểm phânbiệt có hoành độ dương

Lời giải Ta có phương trình hoành độ giao điểm

x3− mx2+ 4x + 4m − 16 = 0 ⇔ (x − 2) x2+ (2 − m)x + 8 − 2m
= 0 ⇔



x = 2

x2+ (2 − m)x + 8 − 2m = 0Đặt f (x) = x2+ (2 − m)x + 8 − 2m có ∆ = (2 − m)2− 4(8 − 2m) = m2+ 4m − 28

Yêu cầu bài toán ⇔ f (x) có hai nghiệm dương phân biệt khác 2 khi và chỉ khi

Bài tập 2.49 (A-2010) Tìm m để hàm số y = x3− 2x2+ (1 − m) x + m có đồ thị cắt trục hoành tại bađiểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện x21+ x22+ x23 < 4.

Lời giải Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

x3− 2x2+ (1 − m) x + m = 0 ⇔ (x − 1) x2− x − m
= 0 ⇔



x = 1

x2− x − m = 0Đặt f (x) = x2− x − m có ∆ = 1 + 4m

Đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt f (x) có hai nghiệm phân biệt khác 1 khi và chỉ khi

Giả sử x3 = 1 ⇒ x1, x2 là hai nghiệm của f (x) do đó x1+ x2 = 1, x1x2= −m

Theo giả thiết x21+ x22+ x23 < 4 ⇔ (x1+ x2)2− 2x1x2 < 3 ⇔ 1 + 2m < 3 ⇔ m < 1

Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = mx + 1 tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi

f (x) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔

Với x1 = 1, x2= 2, thay vào (2) được 2 = m

2 ⇔ m = 4 (thỏa mãn).

Vậy m = 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài tập 2.51 Tìm m để đường thẳng d : y = −2 cắt đồ thị hàm số y = (2 − m)x3− 6mx2+ 9(2 − m)x − 2tại ba điểm phân biệt A(0; −2), B và C sao cho diện tích tam giác OBC bằng √13

Lời giải Ta có phương trình hoành độ giao điểm

(2 − m)x3− 6mx2+ 9(2 − m)x − 2 = −2 ⇔



x = 0(2 − m)x2− 6mx + 9(2 − m) = 0Đặt f (x) = (2 − m)x2− 6mx + 9(2 − m) có ∆ = 36m − 36

Đồ thị (Cm) cắt d tại ba điểm phân biệt ⇔

m2− 4m + 4− 36.

Lại có d(O, d) = 2 ⇒ S∆OBC = 1

2d(O, d).BC =

r36m2

Vậy m = 14 hoặc m = 14

13.Bài tập 2.52 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3− 3mx2− 1 cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt

Lời giải Ta có phương trình hoành độ giao điểm: x3− 3mx2− 1 = 0 ⇔ m = x

3− 13x2 Xét hàm số f (x) = x

3− 13x2 trên R\ {0} có f0(x) = x

3+ 23x3 ; f0(x) = 0 ⇔ x = −√3

2 = x0⇒ f (x0) = −√ 31

4.Bảng biến thiên:

3+ 2

x .Xét hàm số f (x) = −x

ba điểm có hoành độ không nhỏ hơn −9

Lời giải Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

x3+ 3x2+ (3 − m)x + 3 − m = −14 ⇔ x3+ 3x2+ 3x + 17 = m(x + 1)

⇔ m = (x + 1)2+ 16

x + 1Xét hàm số f (x) = (x + 1)2+ 16

... giả thi? ??t góc d1 d2 450 nên ta có

2 thì hàm số cho có hai cực trị thỏa mãn u cầu tốn.

Bài tập 2.42 (B-2012) Tìm m để hàm số y... x =

Do đồ thị hàm số y = x3+ 3x2− 3x − cắt parabol y = x2− 4x + điểm (1; −1)

Bài tập 2.44 (DB-08) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4−... x2 = ⇒ m =

Vậy với m = đồ thị hàm số y = x4− 8x2+ tiếp xúc với đường thẳng y = mx −

Bài tập 2.45 Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x3− 3(m + 3)x2+