Chuyên đề: Khảo sát hàm số luyện thi đại học

Mục lục Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 §1. Các Phép Toán Trên Tập Con Của R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 §2. Đa Thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 §3. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 §4. Cực Trị Của Hàm Số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 §5. Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 §6. Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 §7. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 Nguyễn Minh Hiếu 2 Chuyên đề 1 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số §1. Các Phép Toán Trên Tập Con Của R Bài tập 1.1. Xác định các tập hợp sau: a) [−1; 2] ∩[1; 4]. b) (−2; 2) ∩(0; +∞). c) [−5; 2] ∩[2; 3). d) [−3; 1] ∪[−1; 4). e) (−2; 1) ∪[0; 1]. f) (−∞; 2) ∪(0; 4). Lời giải. a) [−1; 2] ∩[1; 4] = [1; 2]. b) (−2; 2) ∩(0; +∞) = (0; 2). c) [−5; 2] ∩[2; 3) = {2}. d) [−3; 1] ∪[−1; 4) = [−3; 4). e) (−2; 1) ∪[0; 1] = (−2; 1]. f) (−∞; 2) ∪(0; 4) = (−∞; 4). Bài tập 1.2. Xác định các tập hợp sau: a) (0; 5)\[2; 7). b) [−3; 2]\(0; 4). c) [−1; 6]\(0; 6). d) R\(2; +∞). e) [−3; 3) ∩(−1; 5) ∩[1; 7]. f) [−2; 2] ∩[0; 3) ∪(2; 5). Lời giải. a) (0; 5)\[2; 7) = (0; 2). b) [−3; 2]\(0; 4) = [−3; 0]. c) [−1; 6]\(0; 6) = [−1; 0] ∪{6}. d) R\(2; +∞) = (−∞; 2]. e) [−3; 3) ∩(−1; 5) ∩[1; 7] = [1; 3).f) [−2; 2] ∩[0; 3) ∪(2; 5) = [0; 5). Bài tập 1.3. Cho các tập hợp A = (−3; 5], B = [1; +∞), C = (−∞; 3] và D = (3; +∞). Xác định các tập hợp sau: A ∩B, C ∩ D,A\B, B ∪C, C R A, C R D. Lời giải. A∩B = [1; 5], C∩D = ∅, A\B = (−3; 1), B∪C = R, C R A = (−∞; −3]∪(5; +∞), C R D = (−∞; 3]. Bài tập 1.4. Giải các hệ bất phương trình sau: a)  x −3 < 0 1 −2x ≤ 0 . b)  2x + 4 ≥ 0 x −1 < 0 . c)      x + 1 > 0 2x −3 ≥ 0 x −5 ≤ 0 . d)      2x −3 ≤ 0 3x + 1 > 0 (x −1) 2 = 0 . e)     x −1 > 0 3x + 1 ≤ 0 x + 3 ≥ 0 . f)     3x −6 < 0 x + 1 < 0 −4 < x ≤ 3 . Lời giải. a) Ta có hệ tương đương  x < 3 x ≥ 1 2 ⇔ 1 2 ≤ x < 3. Vậy hệ có tập nghiệm S =  1 2 ; 3  . b) Ta có hệ tương đương  x ≥ −2 x < 1 ⇔ −2 ≤ x < 1. Vậy hệ có tập nghiệm S = [−2; 1). c) Ta có hệ tương đương      x > −1 x ≥ 3 2 x ≤ 5 ⇔ 3 2 ≤ x ≤ 5. Vậy hệ có tập nghiệm S =  3 2 ; 5  . 3 Nguyễn Minh Hiếu d) Ta có hệ tương đương      x ≤ 3 2 x > − 1 3 x = 1 ⇔  − 1 3 < x ≤ 3 2 x = 1 . Vậy hệ có tập nghiệm S =  − 1 3 ; 3 2  \{1}. e) Ta có hệ tương đương     x > 1 x ≤ − 1 3 x ≥ −3 ⇔  x > 1 −3 ≤ x ≤ − 1 3 . Vậy S =  −3; − 1 3 ;  ∪ (1; +∞). f) Ta có hệ tương đương     x < 2 x < −1 −4 < x ≤ 3 ⇔ −4 < x < 2. Vậy hệ có tập nghiệm S = (−4; 2]. Bài tập 1.5. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) y = 1 x 2 + 2x −3 . b) y = √ 5x −1 + √ 3x −1. c) y = √ x + 2 + √ 3 −2x. d) y = √ 1 −x x 2 + 4x + 3 . e) y = √ x + 1 x 2 + 3x −4 . f) y = √ x −1 − √ 4 −x x 2 − 5x + 6 . Lời giải. a) Điều kiện x 2 + 2x −3 = 0 ⇔  x = 1 x = −3 . Tập xác định D = R\{−3; 1}. b) Điều kiện  5x −1 ≥ 0 3x −1 ≥ 0 ⇔  x ≥ 1 5 x ≥ 1 3 ⇔ x ≥ 1 3 . Tập xác định D =  1 3 ; +∞  . c) Điều kiện  x + 2 ≥ 0 3 −2x ≥ 0 ⇔  x ≥ −2 x ≤ 3 2 ⇔ −2 ≤ x ≤ 3 2 . Tập xác định D =  −2; 3 2  . d) Điều kiện  1 −x ≥ 0 x 2 + 4x + 3 = 0 ⇔      x ≤ 1 x = −1 x = −3 . Tập xác định D = (−∞; 1]\{−3; −1}. e) Điều kiện  x + 1 ≥ 0 x 2 + 3x −4 = 0 ⇔      x ≥ −1 x = 1 x = −4 . Tập xác định D = [−1; +∞)\{1}. f) Điều kiện      x −1 ≥ 0 4 −x ≥ 0 x 2 − 5x + 6 = 0 ⇔            x ≥ 1 x ≤ 4 x = 2 x = 3 ⇔      1 ≤ x ≤ 4 x = 2 x = 3 . Tập xác định D = [1; 4]\{2; 3}. Bài tập 1.6. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) y = √ x + 3 + 2x + 3 √ 2x −1 . b) y = √ 2 −5x + 1 √ x 2 + 4x + 4 . c) y = x −2 √ −x + 3 + √ 3x + 2 x + 1 . Lời giải. a) Điều kiện  x + 3 ≥ 0 2x −1 > 0 ⇔  x ≥ −3 x > 1 2 ⇔ x > 1 2 . Tập xác định D =  1 2 ; +∞  . b) Điều kiện  2 −5x ≥ 0 x 2 + 4x + 4 > 0 ⇔  x < 2 5 x = −2 . Tập xác định D =  −∞; 2 5  \{−2}. c) Điều kiện      3x + 2 ≥ 0 −x + 3 > 0 x + 1 = 0 ⇔      x ≥ − 2 3 x < 3 x = −1 ⇔ − 2 3 ≤ x < 3. Tập xác định D =  − 2 3 ; 3  . 4 Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số §2. Đa Thức Bài tập 1.7. Thực hiện chia các đa thức sau: a) f(x) = x 3 + 3x 2 − 4x + 5 cho x + 2. b) f(x) = 4x 3 + x 2 − x + 4 cho x −3. c) f(x) = −3x 3 + 5x 2 − 8x + 6 cho x −1. d) f(x) = x 3 + 2x 2 + 7x + 6 cho x + 1. e) f(x) = x 4 + x 3 − 6x −12 cho x −2. f) f(x) = −x 4 − 3x 2 − 5x + 9 cho x −1. g) f(x) = 2x 4 + 3x 2 − x + 5 cho x 2 + 1. h) f(x) = x 4 − 3x 3 + x + 2 cho x 2 − x + 1. Lời giải. a) f(x) = (x + 2)(x 2 + x −6) + 17. b) f(x) = (x − 3)(4x 2 + 13x + 38) + 118. c) f(x) = (x − 1)(−3x 2 + 2x −6). d) f(x) = (x + 1)(x 2 + x + 6). e) f(x) = (x − 2)(x 3 + 3x 2 + 6x + 6). f) f(x) = (x − 1)(−x 3 − 4x 2 − 4x −9). g) f(x) = (x 2 + 1)(2x 2 + 1) −x + 4. h) f(x) = (x 2 − x + 1)(x 2 − 2x −3). Bài tập 1.8. Giải các phương trình sau: a) x 3 − 6x 2 + 9x −2 = 0. b) −x 3 − 3x 2 + 3x + 1 = 0. c) x 4 − 7x 3 + 5x 2 + 11x −2 = 0. d) −x 4 + 2x 3 + 4x 2 − 7x + 2 = 0. Lời giải. a) x 3 − 6x 2 + 9x −2 = 0 ⇔ (x − 2)  x 2 − 4x + 1  = 0 ⇔  x = 2 x = 2 ± √ 3 . b) −x 3 − 3x 2 + 3x + 1 = 0 ⇔ (x −1)  −x 2 − 4x −1  = 0 ⇔  x = 1 x = −2 ± √ 3 . c) x 4 − 7x 3 + 5x 2 + 11x −2 = 0 ⇔ (x − 2) (x + 1)  x 2 − 6x + 1  = 0 ⇔   x = 2 x = −1 x = 3 ±2 √ 2 . d) −x 4 + 2x 3 + 4x 2 − 7x + 2 = 0 ⇔ (x −1) (x + 2)  −x 2 + 3x −1  = 0 ⇔     x = 1 x = −2 x = 3 ± √ 5 2 . Bài tập 1.9. Xét dấu các biểu thức sau: a) f(x) = 2x − 3. b) f(x) = 1 − 4x. c) f(x) = x 2 + 4x + 3. d) f(x) = −3x 2 − 2x + 5. e) f(x) = x 2 − 6x + 9. f) f(x) = −4x 2 + 4x −1. g) f(x) = x 2 + x + 2. h) f(x) = −3x 2 + x −4. Lời giải. a) Ta có bảng xét dấu x −∞ 3 2 +∞ f(x) − 0 + Do đó f(x) > 0, ∀x ∈ ( 3 2 ; +∞); f(x) < 0, ∀x ∈ (−∞; 3 2 ). b) Ta có bảng xét dấu x −∞ 1 4 +∞ f(x) + 0 − Do đó f(x) > 0, ∀x ∈ (−∞; 1 4 ); f(x) < 0, ∀x ∈ ( 1 2 ; +∞). c) Ta có bảng xét dấu x −∞ −3 −1 +∞ f(x) + 0 − 0 + Do đó f(x) > 0, ∀x ∈ (−∞; −3) ∪(−1; +∞); f(x) < 0, ∀x ∈ (−3; −1). d) Ta có bảng xét dấu x −∞ − 5 3 1 +∞ f(x) − 0 + 0 − Do đó f(x) > 0, ∀x ∈ (− 5 3 ; 1); f(x) < 0, ∀x ∈ (−∞; − 5 3 ) ∪(1; +∞). 5 Nguyễn Minh Hiếu e) Ta có bảng xét dấu x −∞ 3 +∞ f(x) + 0 + Do đó f(x) > 0, ∀x = 3. f) Ta có bảng xét dấu x −∞ 1 2 +∞ f(x) − 0 − Do đó f(x) < 0, ∀x = 1 2 . g) Ta có bảng xét dấu x −∞ +∞ f(x) + Do đó f(x) > 0, ∀x ∈ R. h) Ta có bảng xét dấu x −∞ +∞ f(x) − Do đó f(x) < 0, ∀x ∈ R. Bài tập 1.10. Xét dấu các biểu thức sau: a) f(x) = x 3 + 2x 2 − x −2. b) f(x) = −x 3 + 3x 2 + 6x −8. c) f(x) = x 4 + x 3 − 3x 2 − x + 2. d) f(x) = x 4 − x 3 − 6x 2 + 4x + 8. Lời giải. a) Ta có bảng xét dấu x −∞ −2 −1 1 +∞ f(x) − 0 + 0 − 0 + Do đó f(x) > 0, ∀x ∈ (−2; −1) ∪(1; +∞); f(x) < 0, ∀x ∈ (−∞; −2) ∪(−1; 1). b) Ta có bảng xét dấu x −∞ −2 1 4 +∞ f(x) + 0 − 0 + 0 − Do đó f(x) > 0, ∀x ∈ (−∞; −2) ∪(1; 4); f(x) < 0, ∀x ∈ (−2; 1) ∪(4; +∞). c) Ta có bảng xét dấu x −∞ −2 −1 1 +∞ f(x) + 0 − 0 + 0 + Do đó f(x) > 0, ∀x ∈ (−∞; −2) ∪(−1; 1) ∪ (1; +∞); f(x) < 0, ∀x ∈ (−2; −1). d) Ta có bảng xét dấu x −∞ −2 −1 2 +∞ f(x) + 0 − 0 + 0 + Do đó f(x) > 0, ∀x ∈ (−∞; −2) ∪(−1; 2) ∪ (2; +∞); f(x) < 0, ∀x ∈ (−2; −1). Bài tập 1.11. Xét dấu các biểu thức sau: a) f(x) = (x −1)(3 − 4x) x + 2 . b) f(x) = (2x + 1)(2 − x) x −3 . c) f(x) = (x −2)(3 − x) x 2 + 4x −5 . d) f(x) = (x −1)(x 2 + 4x + 4) x 2 − 4x −5 . 6 Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số Lời giải. a) Ta có bảng xét dấu x −∞ −2 3 4 1 +∞ x −1 − | − | − 0 + 3 −4x + | + 0 − | − x + 2 − 0 + | + | + f(x) + || − 0 + 0 − Do đó f(x) > 0, ∀x ∈ (−∞; −2) ∪( 3 4 ; 1); f(x) < 0, ∀x ∈ (−2; 3 4 ) ∪(1; +∞). b) Ta có bảng xét dấu x −∞ − 1 2 2 3 +∞ 2x + 1 − 0 + | + | + 2 −x + | + 0 − | − x −3 − | − | − 0 + f(x) + 0 − 0 + || − Do đó f(x) > 0, ∀x ∈ (−∞; − 1 2 ) ∪(2; 3); f(x) < 0, ∀x ∈ (−2; 2) ∪ (3; +∞). c) Ta có bảng xét dấu x −∞ −5 1 2 3 +∞ x −2 − | − | − 0 + | + 3 −x + | + | + | + 0 − x 2 + 4x −5 + 0 − 0 + | + | + f(x) − || + || − 0 + 0 − Do đó f(x) > 0, ∀x ∈ (−5; 1) ∪(2; 3); f(x) < 0, ∀x ∈ (−∞; −5) ∪(1; 2) ∪(3; +∞). d) Ta có bảng xét dấu x −∞ −2 −1 1 5 +∞ x −1 − | − | − 0 + | + x 2 + 4x + 4 + 0 + | + | + | + x 2 − 4x −5 + | + | + 0 − 0 + f(x) − 0 − 0 + || − || + Do đó f(x) > 0, ∀x ∈ (−1; 1) ∪(5; +∞); f(x) < 0, ∀x ∈ (−∞; −2) ∪(−2; −1) ∪(1; 5). Bài tập 1.12. Giải các bất phương trình sau: a) 2x 2 − x −1 ≥ 0. b) x 2 − 7x + 12 < 0. c) −x 2 + 2x + 3 > 0. d) −3x 2 + x + 2 > 0. e) x 3 + 3x 2 − x −3 ≤ 0. f) x 4 − 3x 3 − 7x 2 + 27x −18 < 0. g) x 3 + x 2 − x −1 ≥ 0. h) x 4 + x 3 − 6x 2 − 4x + 8 ≥ 0. Lời giải. a) Ta có bảng xét dấu x −∞ − 1 2 1 +∞ VT + 0 − 0 + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; − 1 2 ] ∪[1; +∞). b) Ta có bảng xét dấu x −∞ 3 4 +∞ VT + 0 − 0 + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (3; 4). c) Ta có bảng xét dấu x −∞ −1 3 +∞ VT − 0 + 0 − Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−1; 3). 7 Nguyễn Minh Hiếu d) Ta có bảng xét dấu x −∞ − 2 3 1 +∞ VT − 0 + 0 − Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (− 2 3 ; 1). e) Ta có bảng xét dấu x −∞ −3 −1 1 +∞ VT − 0 + 0 − 0 + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3] ∪ [−1; 1]. f) Ta có bảng xét dấu x −∞ −3 1 2 3 +∞ VT + 0 − 0 + 0 − 0 + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−3; 1) ∪ (2; 3). g) Ta có bảng xét dấu x −∞ −1 1 +∞ VT − 0 − 0 + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (1; +∞). h) Ta có bảng xét dấu x −∞ −2 1 2 +∞ VT + 0 + 0 − 0 + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; 1] ∪ [2; +∞). Bài tập 1.13. Giải các bất phương trình sau: a) 2x 2 + x + 5 x 2 − 3x + 2 ≤ 1. b) x −4 x 2 + x −2 < 2. c) 2x −1 x + 2 > x + 1 x −3 . d) x + 3 x −2 > x −4 x + 1 . Lời giải. a) Ta có bất phương trình tương đương x 2 + 4x + 3 x 2 − 3x + 2 ≤ 0. Bảng xét dấu x −∞ −3 −1 1 2 +∞ x 2 + 4x + 3 + 0 − 0 + | + | + x 2 − 3x + 2 + | + | + 0 − 0 + VT + 0 − 0 + || − || + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [−3; −1] ∪ (1; 2). b) Ta có bất phương trình tương đương −2x 2 − x x 2 + x −2 < 0. Bảng xét dấu x −∞ −2 − 1 2 0 1 +∞ −2x 2 − x − | − 0 + 0 − | − x 2 + x −2 + 0 − | − | − 0 + VT − || + 0 − 0 + || − Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −2) ∪ (− 1 2 ; 0). c) Ta có bất phương trình tương đương (2x −1)(x − 3) − (x + 2)(x + 1) (x + 2)(x − 3) > 0 ⇔ x 2 − 4x + 1 x 2 − x −6 > 0. Bảng xét dấu x −∞ −2 2 − √ 3 3 2 + √ 3 +∞ x 2 − 4x + 1 + | + 0 − | − 0 + x 2 − x −6 + 0 − | − 0 + | + VT + || − 0 + || − 0 + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −2) ∪ (−2 − √ 3; 3) ∪(2 + √ 3; +∞). 8 Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số d) Bất phương trình tương đương (x + 3)(x + 1) − (x −2)(x − 4) (x −2)(x + 1) > 0 ⇔ 10x −5 x 2 − x −2 . Bảng xét dấu x −∞ −1 1 2 2 +∞ 10x −5 − | − 0 + | + x 2 − x −2 + 0 − | − 0 + VT − || + 0 − || + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−1; 1 2 ) ∪(2; +∞). §3. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Bài tập 1.14. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: a) y = x 3 − 3x 2 + 1. b) y = 2x 3 − 3x 2 + 1. c) y = −2x 4 + 4x 2 + 2. d) y = x 4 − 2x 2 + 3. e) y = x 3 − 3x 2 + 4x −2. f) y = −x 3 − 3x + 2. g) y = x 3 + 3x 2 + 3x. h) y = −x 4 + 2x 3 − 2x −1. i) y = x 4 − 6x 2 + 8x + 1. Lời giải. a) Tập xác định D = R. Đạo hàm y  = 3x 2 − 6x; y  = 0 ⇔  x = 0 x = 2 . Bảng biến thiên x − ∞ 0 2 + ∞ y  + 0 − 0 + y − ∞ 1 −3 + ∞ Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0), (2; +∞) và nghịch biến trên khoảng (0; 2). b) Tập xác định D = R. Đạo hàm y  = −6x 2 + 6x; y  = 0 ⇔  x = 0 x = 1 . Bảng biến thiên x − ∞ 0 1 + ∞ y  − 0 + 0 − y + ∞ 1 2 − ∞ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1) và nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0), (1; +∞). c) Tập xác định D = R. Đạo hàm y  = −8x 3 + 8x; y  = 0 ⇔  x = 0 x = ±1 . Bảng biến thiên x − ∞ −1 0 1 + ∞ y  + 0 − 0 + 0 − y − ∞ 4 2 4 − ∞ Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1), (0; 1) và nghịch biến trên các khoảng (−1; 0), (1; +∞). d) Tập xác định D = R. Đạo hàm y  = 4x 3 − 4x; y  = 0 ⇔  x = 0 x = ±1 . Bảng biến thiên x − ∞ −1 0 1 + ∞ y  − 0 + 0 − 0 + y + ∞ 2 3 2 + ∞ Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 0), (1; +∞) và nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1), (0; 1). 9 Nguyễn Minh Hiếu e) Tập xác định D = R. Đạo hàm y  = 3x 2 − 6x + 4 > 0, ∀x ∈ R. Do đó hàm số đồng biến trên R. f) Tập xác định D = R. Đạo hàm y  = −3x 2 − 3 < 0, ∀x ∈ R. Do đó hàm số nghịch biến trên R. g) Tập xác định D = R. Đạo hàm y  = 3x 2 + 6x + 3 ≥ 0, ∀x ∈ R. Do đó hàm số đồng biến trên R. h) Tập xác định D = R. Đạo hàm y  = −4x 3 + 6x 2 − 2; y  = 0 ⇔  x = 1 x = − 1 2 . Bảng biến thiên x − ∞ − 1 2 1 + ∞ y  + 0 − 0 − y − ∞ − 5 16 −2 − ∞ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; − 1 2 ) và nghịch biến trên khoảng (− 1 2 ; +∞). i) Tập xác định D = R. Đạo hàm y  = 4x 3 − 12x + 8; y  = 0 ⇔  x = 1 x = −2 . Bảng biến thiên x − ∞ −2 1 + ∞ y  − 0 + 0 + y + ∞ −23 4 + ∞ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−2; +∞) và nghịch biến trên khoảng (−∞; −2). Bài tập 1.15. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: a) y = x + 2 x + 1 . b) y = 2x + 3 x + 2 . c) y = x 2 − 2x + 2 x −1 . d) y = x 2 − 4x + 4 1 −x . e) y = √ 5 −4x − x 2 . f) y = √ x 2 − 2x −3. Lời giải. a) Tập xác định D = R\{−1}. Đạo hàm − 1 (x + 1) 2 < 0, ∀x ∈ D. Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞). b) Tập xác định D = R\{−2}. Đạo hàm 1 (x + 2) 2 < 0, ∀x ∈ D. Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (−2; +∞). c) Tập xác định D = R\{1}. Đạo hàm y  = x 2 − 2x (x −1) 2 ; y  = 0 ⇔  x = 0 x = 2 . Bảng biến thiên x − ∞ 0 1 2 + ∞ y  + 0 − − 0 + y − ∞ −2 − ∞ + ∞ 2 + ∞ Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0), (2; +∞) và nghịch biến trên các khoảng (0; 1), (1; 2). d) Tập xác định D = R\{1}. Đạo hàm y  = −x 2 + 2x (1 −x) 2 ; y  = 0 ⇔  x = 0 x = 2 . Bảng biến thiên x − ∞ 0 1 2 + ∞ y  − 0 + + 0 − y + ∞ 4 + ∞ − ∞ 0 − ∞ Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (0; 1), (1; 2) và nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0), (2; +∞). 10 [...]... −∞ 2 + y 0 1 3 − +∞ 4 − 0 +∞ + +∞ y −∞ −∞ 5 Từ bảng biến thi n suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 2 ⇒ m = −3 thỏa mãn Vậy với m = −3 thì hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2 16 Chuyên đề 1 Khảo Sát Sự Biến Thi n Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số §5 Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Bài tập 1.34 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y = x3 − 3x2 + 1 trên [−2; 3] b) y = x3 − 3x... thấy hàm số đạt cực đại tại x = 1 (thỏa mãn yêu cầu bài toán) Vậy với m = 2 thì hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 1 Bài tập 1.32 Tìm m để hàm số y = −x4 + 2(m − 2)x2 + m − 3 đạt cực đại tại x = 0 Lời giải Tập xác định D = R Đạo hàm y = −4x3 + 4(m − 2)x Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ⇒ y (0) = 0 ⇔ 0 = 0 (đúng ∀m ∈ R) Đạo hàm cấp hai y = −12x2 + 4(m − 2) ⇒ y (0) = 4(m − 2) • y (0) > 0 ⇔ m > 2 ⇒ hàm số đạt... a) Tập xác định D = R Đạo hàm y = 3x2 − 6x; y =⇔ x −∞ 0 + y 0 1 x=0 Bảng biến thi n x=2 +∞ 2 − 0 + +∞ y −∞ −3 Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = 1 và đạt cực tiểu tại x = 2; yCT = −3 12 Chuyên đề 1 Khảo Sát Sự Biến Thi n Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số x=0 Bảng biến thi n x=1 b) Tập xác định D = R Đạo hàm y = −6x2 + 6x; y =⇔ −∞ x 0 − y +∞ 1 + 0 0 2 +∞ − y −∞ 1 Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 1; yCĐ = 2 và... 4x2 + 3 e) y = −x f) y = 2x g) y = −2x 22 Chuyên đề 1 Khảo Sát Sự Biến Thi n Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số Bài tập 1.49 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của các hàm số sau x−3 x+3 4 b) y = c) y = a) y = 2−x 2−x x−1 x−2 x+2 2−x e) y = f) y = g) y = x+1 x−1 x+1 −x + 2 2x + 1 x+3 h) y = x−2 d) y = Bài tập 1.50 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của các hàm số sau x2 + 2x + 2 x2 − 2x − 3 2x2 + 5x + 4... tam giác có diện tích bằng 4 §7 Khảo Sát Sự Biến Thi n Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số Bài tập 1.47 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của các hàm số sau a) y = x3 + 3x2 − 4 b) y = −x3 + 3x − 2 c) y = −x3 + 1 e) y = x3 + x − 2 f) y = −2x3 − x − 3 g) y = −x3 + 3x2 − 1 d) y = x3 + 3x2 + 3x + 1 1 h) y = 3 x3 − x2 − 3x − 5 3 Bài tập 1.48 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của các hàm số sau c) y = 1 x4 + x2 − 3 a)... + 1); y = 0 ⇔ Bài tập 1.29 (B-02) Tìm m để hàm số y = mx4 + (m2 − 9)x2 + 10 có ba điểm cực trị Lời giải Tập xác định: D = R Đạo hàm: y = 4mx3 + 2(m2 − 9)x = 2x(2mx2 + m2 − 9) • Với m = 0, ta có y = −18x có một nghiệm nên hàm số không thể có ba cực trị 14 Chuyên đề 1 Khảo Sát Sự Biến Thi n Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số x=0 2 x2 = 9−m 2m • Với m = 0, ta có y = 0 ⇔ Hàm số có ba cực trị ⇔ y có ba nghiệm phân biệt... biến thi n x=3 + − 0 −2 +∞ y −∞ −∞ 2 Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 3; yCĐ = −2 và đạt cực tiểu tại x = 1; yCT = 2 −x + 1 e) Tập xác định D = [−1; 3] Đạo hàm y = √ ; y =⇔ x = 1 Bảng biến thi n −x2 + 2x + 3 x −∞ −1 1 | y + 0 2 +∞ 3 − | y 0 0 Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 1; yCĐ = 2 và hàm số không có cực tiểu x+3 f) Tập xác định D = (−∞; −7] ∪ [1; +∞) Đạo hàm y = √ ; y =⇔ x = −3 x2 + 6x − 7 Bảng biến thi n... < 2 ⇒ hàm số đạt cực đại tại x = 0 (thỏa mãn yêu cầu bài toán) • y = 0 ⇔ m = 2 ⇒ y = −4x3 ; y = 0 ⇔ x = 0 Bảng biến thi n x −∞ + y +∞ 0 0 −1 − y −∞ −∞ 15 m=1 m=2 Nguyễn Minh Hiếu Từ bảng biến thi n ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 (thỏa mãn yêu cầu bài toán) Kết hợp ta có m ≤ 2 thì hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0 x2 + mx + 1 : x+m b) Đặt cực tiểu tại x = 1; Bài tập 1.33 Tìm m để hàm số y =... +∞ y −∞ −∞ 4 Từ bảng biến thi n suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 1 ⇒ m = −2 không thỏa mãn Vậy với m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1 m2 + 4m + 3 m = −1 c) Hàm số đạt cực đại tại x = 2 ⇒ y (2) = 0 ⇔ =0⇔ 2 m = −3 (m + 2) x2 − 2x • Với m = −1 ⇒ y = ; y = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2 (x − 1)2 x −∞ 0 + y 0 −1 1 +∞ 2 − − 0 + +∞ +∞ y −∞ −∞ 3 Từ bảng biến thi n suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 ⇒.. .Chuyên đề 1 Khảo Sát Sự Biến Thi n Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số e) Tập xác định D = [−5; 1] Đạo hàm y = √ x −∞ −x − 2 ; y = 0 ⇔ x = −2 Bảng biến thi n 5 − 4x − x2 −5 | y −2 + 0 3 +∞ 1 − | y 0 0 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−5; −2) và nghịch biến trên khoảng (−2; 1) x−1 f) Tập xác định D = (−∞; −1] ∪ [3; +∞) Đạo hàm y = √ ; y = 0 ⇔ x = 1 2 − 2x − 3 x Bảng biến thi n x −∞ −1 − y | +∞