Dap an chuyen de CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số §1 Cực Trị Của Hàm Số Bài tập 4.1 Tìm m để hàm số y = x3 − (m + 1) x2 + 9x − m đạt cực trị x1 , x2 thỏa |x1 − x2 | ≤ Lời giải Ta có y = 3x2 − 6(m + 1)x + 9; ∆y = 9(m + 1)2 − 27 = 9m2 + 18m − 18 Hàm số có hai cực trị ⇔ y có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆y > ⇔ 9m2 + 18m − 18 > ⇔ √ m > −1 + √3 m < −1 − Giả sử hàm số đạt cực trị x1 , x2 Theo định lý vi-ét có x1 + x2 = 2(m + 1), x1 x2 = Khi |x1 − x2 | ≤ ⇔ (x1 + √ x2 )2 − 4x1 x2 √ ≤ ⇔ 4(m + 1)2 − 12 ≤ ⇔ −3 ≤ m ≤ Kết hợp ta có m ∈ (−3; −1 − 3) ∪ (−1 + 3; 1) Bài tập 4.2 Tìm m để hàm số y = x3 + (m − 1) x2 + m2 − 4m + x + đạt cực trị x1 , x2 thỏa 1 + = (x1 + x2 ) x1 x2 Lời giải Ta có y = 3x2 + 4(m − 1)x + m2 − 4m + 1; ∆y = 4(m − 1)2 − 3(m2 − 4m + 1) = m2 + 4m + √ m > −2 + √3 Hàm số có hai cực trị ⇔ y có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆y > ⇔ m2 + 4m + > ⇔ m < −2 − 4(1 − m) m2 − 4m + Giả sử hàm số đạt cực trị x1 , x2 Theo định lý vi-ét có x1 + x2 = , x1 x2 = Khi đó: 3 1 + = (x1 + x2 ) ⇔ (x1 + x2 ) = x1 x2 (x1 + x2 ) x1 x2  m=1 4(1−m) =0 x1 + x2 = ⇔ ⇔ m2 −4m+1 ⇔ m=5 x1 x2 = =2 m = −1 (loại) Vậy m = m = Bài tập 4.3 (D-2012) Tìm m để hàm số y = 32 x3 − mx2 − 3m2 − x + x1 x2 + (x1 + x2 ) = có hai điểm cực trị x1 x2 cho Lời giải Ta có y = 2x2 − 2mx − 2(3m2 − 1); ∆y = m2 + 4(3m2 − 1) = 13m2 − Hàm số có hai cực trị ⇔ y có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆y > ⇔ 13m2 − > ⇔ m > √213 m < − √213 Giả sử hàm số đạt cực trị x1 , x2 Theo định lý vi-ét có x1 + x2 = m, x1 x2 = − 3m2 m = (loại) Khi x1 x2 + (x1 + x2 ) = ⇔ − 3m2 + 2m = ⇔ Vậy m = m = 32 Bài tập 4.4 Tìm m để hàm số y = −x3 + (2m + 1) x2 − m2 − 3m + x − có hai cực trị nằm hai phía Oy Lời giải Ta có y = −3x2 + 2(2m + 1)x − (m2 − 3m + 2) Hàm số có hai cực trị nằm hai phía trục tung ⇔ y có hai nghiệm trái dấu ⇔ m2 − 3m + < ⇔ < m < Bài tập 4.5 (DB-05) Tìm m để hàm số y = x2 + 2mx + − 3m2 có hai cực trị nằm hai phía trục tung x−m Nguyễn Minh Hiếu Lời giải Tập xác định: D = R\ {m} Ta có y = x2 − 2mx + m2 − (x − m) Hàm số có hai cực trị nằm hai phía trục tung ⇔ y có hai nghiệm trái dấu ⇔ m2 − < ⇔ −1 < m < Bài tập 4.6 (DB-04) Tìm m để hàm số y = x3 − (m + 1) x2 + 3m (m + 2) x + đạt cực đại, cực tiểu điểm có hồnh độ dương Lời giải Ta có y = 3x2 − 6(m + 1)x + 3m(m + 2); ∆ = 9(m + 1)2 − 9m(m + 2) = > 0, ∀m ∈ R ⇒ hàm số có hai cực trị Khi hàm số đạt cực đại, cực tiểu điểm có hồnh độ dương   m > −1 S>0 2(m + 1) > m>0 ⇔ ⇔ ⇔m>0 P >0 m(m + 2) >  m < −2 Bài tập 4.7 Tìm m để hàm số y = mx2 + 3mx + 2m + có cực đại, cực tiểu nằm hai phía trục Ox x−1 Lời giải Tập xác định: D = R\ {1} u u (x0 ) Nhận xét hàm số y = đạt cực trị x0 y(x0 ) = v v (x0 ) u v − uv Hàm số đạt cực trị x0 nên Thật vậy, ta có y = v2 y (x0 ) = ⇔ u (x0 )v(x0 ) − u(x0 )v (x0 ) = ⇔ u(x0 ) u (x0 ) u (x0 ) = ⇔ y(x0 ) = (đpcm) v(x0 ) v (x0 ) v (x0 ) mx2 − 2mx − 5m − (x − 1) Với m = ⇒ y = − < 0, ∀x ∈ D ⇒ hàm số khơng có cực trị ⇒ m = không thỏa mãn (x − 1)2 Với m = ta có y = ⇔ mx2 − 2mx − 5m − = 0; ∆ = 6m2 + m m>0 Hàm số có hai cực trị ⇔ ∆ > ⇔ 6m2 + m > ⇔ m < − 16 Giả sử hàm số đạt cực trị x1 , x2 ta có y(x1 ) = 2mx1 + 3m, y(x2 ) = 2mx2 + 3m x1 + x2 = 2, x1 x2 = − 5m+1 m Khi hàm số có hai cực trị nằm hai phía Ox Ta có y = y(x1 )y(x2 ) < ⇔ (2mx1 + 3m)(2mx2 + 3m) < ⇔ 4m2 x1 x2 + 6m2 (x1 + x2 ) + 9m2 < ⇔ −4 (5m + 1) m−4 + 12 + < ⇔ < ⇔ < m < (thỏa mãn) m m Bài tập 4.8 (A-02) Cho hàm số y = −x3 + 3mx2 + − m2 x + m3 − m2 Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số Lời giải Ta có: y = −3x2 + 6mx + 3(1 − m2 ); ∆y = 9m2 + 9(1 − m2 ) = > 0, ∀m ∈ R Do hàm số ln có hai điểm cực trị A(x1 ; y1 ) B(x2 ; y2 ) Lại có: y = 31 x − 13 m y + 2x − m2 + m Suy ra: y1 = 2x1 − m2 + m, y2 = 2x2 − m2 + m Vậy đường thẳng qua hai điểm cực trị là: y = 2x − m2 + m Bài tập 4.9 Tìm m để hàm số y = x3 − 23 mx2 + 21 m3 có cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x x=0 x=m Do với m = 0, hàm số đạt cực trị hai điểm A(0; 12 m3 ) B(m; 0) −−→ Ta có: AB = (m; − 21 m3 ); Gọi I trung điểm AB ⇒ I( 21 m; 14 m3 ) → = (1; 1) Đặt d : y = x ⇔ x − y = ⇒ − u d −−→ − →=0 m − 21 m3 = AB.u d Khi A, B đối xứng qua đường thẳng d ⇔ ⇔ ⇔ 1 I∈d 2m − 4m = Lời giải Ta có: y = 3x2 − 3mx; y = ⇔ m=0√ (loại) m=± Bài tập 4.10 (B-07) Tìm m để hàm số y = −x3 + 3x2 + m2 − x − 3m2 − có cực đại, cực tiểu điểm cực trị cách gốc toạ độ http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Lời giải Ta có: y = −3x2 + 6x + m2 − , y = ⇔ x = ± m Do với m = hàm số đạt cực đại, cực tiểu A − m; −2 − 2m3 , B + m; −2 + 2m3 Khi 2 4m6 + 8m3 + m2 − 2m + 2 4m6 − 8m3 + m2 + 2m + OA = (1 − m) + (2 + 2m3 ) = OB = (1 + m) + (2 − 2m3 ) = Hàm số có cực đại, cực tiểu cách gốc tọa độ ⇔ OA = OB ⇔ 16m3 = 4m ⇔ m = (loại) m = ± 12 Bài tập 4.11 Tìm m để hàm số y = x3 −3mx−3m+1 có cực trị đồng thời chúng cách đường thẳng d : x−y = Lời giải Ta có: y = 3x2 − 3m; y = ⇔ x2 = m Do với m > hàm số có hai cực trị √ √ √ √ A( m; −2m m − 3m + 1), B(− m; 2m m − 3m + 1) Theo giả thiết điểm cực trị cách đường thẳng d nên ta có: d (A, d) = d (B, d) ⇔ √ √ √ √ m + 2m m + 3m − = − m − 2m m + 3m − ⇔ m = Bài tập 4.12 (B-2011) Tìm m để hàm số y = x4 − (m + 1) x2 + m có ba cực trị A, B, C cho OA = BC, O gốc tọa độ A thuộc trục tung x=0 Do với m > −1 hàm số có ba cực trị x2 = m + √ √ A (0; m) , B − m + 1; −m2 − m − , C m + 1; −m2 − m − √ √ −−→ Khi đó: OA = |m|; BC = m + 1; ⇒ BC = m + √ √ Theo giả thiết ta có: OA = BC ⇔ m2 = 4(m + 1) ⇔ ± (thỏa mãn) Vậy m = ± Lời giải Ta có: y = 4x3 − 4(m + 1)x; y = ⇔ Bài tập 4.13 Tìm m để hàm số y = x4 − 2mx2 + 2m + m4 có cực đại, cực tiểu lập thành tam giác x=0 Do với m > hàm số có ba cực trị x2 = m √ √ A 0; 2m + m4 , B − m; m4 − m2 + 2m , C m; m4 − m2 + 2m √ √ √ √ −−→ −−→ Khi AB = − m; −m2 ⇒ AB = m + m4 ; BC = (2 m; 0) ⇒ BC = m √ Dễ thấy ∆ABC cân A nên ∆ABC ⇔ AB = BC ⇔ m + m4 = 4m ⇔ m = 3 Lời giải Ta có: y = 4x3 − 4mx; y = ⇔ Bài tập 4.14 (A-2012) Tìm m để hàm số y = x4 − (m + 1) x2 + m2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vng x=0 Do với m > −1 hàm số có ba cực trị x2 = m + √ √ , B − m + 1; −2m − , C m + 1; −2m − Lời giải Ta có: y = 4x3 − 4(m + 1)x; y = ⇔ A 0; m2 √ √ −→ −−→ 2 Khi đó: AB = − m + 1; −(m + 1) ; AC = m + 1; −(m + 1) −−→ −→ Dễ thấy ∆ABC cân A nên ∆ABC vuông ⇔ AB.AC = ⇔ (m + 1) − (m + 1) = ⇔ m = x2 + (m + 1) x + m2 + 4m có cực đại cực tiểu đồng thời điểm x+2 cực trị với gốc toạ độ tạo thành tam giác vuông O Bài tập 4.15 (A-07) Tìm m để hàm số y = x2 + 4x + − m2 ; y = ⇔ x = −2 ± m (x + 2) Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y có hai nghiệm phân biệt khác −2 ⇔ m = Khi hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại: −→ −−→ A (−2 − m; −2) , B (−2 + m; 4m − 2) ⇒ OA = (−2 − m; −2) , OB = (−2 + m; 4m − 2) Lời giải Ta có: y = Hàm số có điểm cực trị với gốc toạ độ tạo thành tam giác vuông O √ −→ −−→ OA.OB = ⇔ (−2 − m) (−2 + m) − (4m − 2) = ⇔ m = −4 ± (thỏa mãn) √ Vậy m = −4 ± http://mathqb.eazy.vn Nguyễn Minh Hiếu Bài tập 4.16 (B-2012) Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx2 + 3m3 có hai điểm cực trị A B cho tam giác OAB có diện tích 48 x=0 x = 2m Hàm số có hai điểm cực trị ⇔ y có hai nghiệm phân biệt ⇔ m = Khi hàm số đạt cực trị A 0; 3m3 , B 2m; −m3 Suy OA = 3|m|3 , d(B, OA) = 2|m| ⇒ S∆OAB = 12 OA.d(B, OA) = 3m4 Lại có S∆OAB = 48 ⇔ 3m4 = 48 ⇔ m = ±2 (thỏa mãn) Vậy m = ±2 Lời giải Ta có: y = 3x2 − 6mx; y = ⇔ Bài tập 4.17 (A-05) Tìm m để hàm số y = mx + đến tiệm cận xiên √12 x có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách từ điểm cực tiểu Lời giải Ta có: y = m − x12 ; y = ⇔ x2 = m Hàm số có cực đại cực tiểu ⇔ y có hai nghiệm phân biệt khác ⇔ m > Khi y = ⇔ x = ± √1m Bảng biến thiên x − √1m −∞ + y √ −2 m √1 m − − +∞ +∞ + +∞ y −∞ √ m −∞ √ ⇒ điểm cực tiểu A √1m ; m √ √ | m − m| m Với m > hàm số có tiệm cận xiên y = mx ⇔ mx − y = ⇒ d(A, T CX) = √ = 2 m +1 m +1 m Lại có d(A, T CX) = √ ⇔ = √ ⇔ m2 + = 2m ⇔ m = (thỏa mãn) Vậy m = m2 + 2 √1 m Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực tiểu x = Bài tập 4.18 (B-05) Chứng minh với m bất kỳ, hàm số y = √ đại, điểm cực tiểu khoảng cách hai điểm 20 x2 + (m + 1) x + m + ln có điểm cực x+1 x2 + 2x x=0 2; y = ⇔ x = −2 (x + 1) √ √ Do hàm số ln đạt cực đại cực tiểu A(−2; m − 3) B(0; m + 1) Khi AB = 22 + 42 = 20 (đpcm) Lời giải Ta có: y = Bài tập 4.19 Tìm m để hàm số y = 13 x3 − mx2 − x + m + có khoảng cách cực đại, cực tiểu nhỏ Lời giải Ta có: y = x2 − 2mx − 1; ∆ = m2 + > 0, ∀m ∈ R ⇒ hàm số ln có cực đại, cực tiểu Giả sử hồnh độ điểm cực trị x1 , x2 , theo định lý vi-ét có x1 + x2 = m, x1 x2 = −1 Lại có y = y 31 x − 13 m − 32 m2 + x + 23 m + nên y1 = 32 m2 + x1 + 23 m + 1, y2 = 23 m2 + x2 + 23 m + Do hàm số đạt cực trị A x1 ; − 32 m2 + x1 + 32 m + , B x2 ; − 23 m2 + x2 + 23 m + −−→ Khi AB = x2 − x1 ; − 23 m2 + (x2 − x1 ) Suy AB = (x1 + x2 ) − 4x1 x2 Đặt m2 + = t, t ≥ 1, ta có AB = Xét hàm số f (t) = 4t + 16 t + 49 (m2 + 1) 4t + = (m2 + 1) + 4(m2 + 1) 16 t [1; +∞) có f (t) = + 89 t2 > 0, ∀t ≥ Do f (t) = f (1) = Với t = ⇒ m = Vậy với m = AB đạt giá trị nhỏ √ 13 [1;+∞) 52 §2 Tương Giao Giữa Hai Đồ Thị Bài tập 4.20 Tìm giao điểm đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − 3x − parabol y = x2 − 4x + Lời giải Ta có phương trình hồnh độ giao điểm: x3 + 3x2 − 3x − = x2 − 4x + ⇔ x3 + 2x2 + x − = ⇔ x = Do đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − 3x − cắt parabol y = x2 − 4x + điểm (1; −1) http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Bài tập 4.21 Tìm m để đồ thị hàm số y = mx3 − x2 − 2x + 8m cắt trục hoành ba điểm phân biệt Lời giải Ta có phương trình hồnh độ giao điểm: x = −2 mx2 − (2m + 1)x + 4m = mx3 − x2 − 2x + 8m = ⇔ (x + 2) mx2 − (2m + 1)x + 4m = ⇔ Đặt f (x) = mx2 − (2m + 1)x + 4m có ∆ = −12m2 + 4m + Đồ thị hàm số cắt Ox ba điểm phân biệt ⇔ f (x) có hai nghiệm phân biệt khác −2    m=0  m=0 m=0 ∆>0 −12m2 + 4m + > ⇔ ⇔ − 61 < m < 12   f (−2) = 12m + = Vậy m ∈ 1 − ; \ {0} Bài tập 4.22 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2 − cắt trục Ox ba điểm phân biệt x3 − 3x2 √ x3 − x3 + Xét hàm số f (x) = R\ {0} có f (x) = ; f (x) = ⇔ x = − = x0 ⇒ f (x0 ) = − √ 3x 3x Bảng biến thiên: Lời giải Ta có phương trình hoành độ giao điểm: x3 − 3mx2 − = ⇔ m = x x0 −∞ + f (x) +∞ − f (x0 ) + +∞ f (x) −∞ −∞ −∞ Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số cắt Ox ba điểm phân biệt m < − √ Bài tập 4.23 Tìm a để đồ thị hàm số y = x3 + ax + cắt đường thẳng y = điểm Lời giải Ta có phương trình hồnh độ giao điểm: x3 + ax + = ⇔ a = − Xét hàm số f (x) = − x3 + x x3 + 2 − 2x3 R\ {0} có f (x) = ; f (x) = ⇔ x = x x2 Bảng biến thiên: x −∞ + f (x) +∞ + +∞ −3 − f (x) −∞ −∞ −∞ Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = điểm a > −3 Bài tập 4.24 (D-06) Gọi d đường thẳng qua A (3; 20) có hệ số góc m Tìm m để d cắt đồ thị hàm số y = x3 − 3x + ba điểm phân biệt Lời giải Đường thẳng d qua A(3; 20) có hệ số góc m nên có phương trình: y = m(x − 3) + 20 Phương trình hồnh độ giao điểm: x3 − 3x + = m(x − 3) + 20 ⇔ (x − 3) x2 + 3x + − m = ⇔ x=3 x2 + 3x + − m = Đặt f (x) = x2 + 3x + − m có ∆ = 4m − 15 Đồ thị hàm số cắt d ba điểm phân biệt ⇔ f (x) có hai nghiệm phân biệt khác ∆>0 ⇔ f (3) = Vậy m ∈ 4m − 15 > ⇔ 24 − m = 15 ; +∞ \ {24} http://mathqb.eazy.vn m > 15 m = 24 Nguyễn Minh Hiếu Bài tập 4.25 (A-2010) Tìm m để hàm số y = x3 − 2x2 + (1 − m) x + m có đồ thị cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thoả mãn điều kiện x21 + x22 + x23 < Lời giải Ta có phương trình hồnh độ giao điểm: x3 − 2x2 + (1 − m) x + m = ⇔ (x − 1) x2 − x − m = ⇔ x=1 x2 − x − m = Đặt f (x) = x2 − x − m có ∆ = + 4m Đồ thị hàm số cắt Ox ba điểm phân biệt ∆>0 ⇔ f (1) = f (x) có hai nghiệm phân biệt khác ⇔ + 4m > −m = m > − 14 m=0 Khi đồ thị hàm số cắt Ox ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 Giả sử x3 = ⇒ x1 , x2 hai nghiệm f (x) x1 + x2 = 1, x1 x2 = −m Theo giả thiết x21 + x22 + x23 < ⇔ (x1 + x2 ) − 2x1 x2 < ⇔ + 2m < ⇔ m < 1 Kết hợp ta có m ∈ − ; \ {0} Bài tập 4.26 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − mx2 + 4x + 4m − 16 cắt Ox ba điểm phân biệt có hồnh độ lớn Lời giải Ta có phương trình hồnh độ giao điểm: x3 − mx2 + 4x + 4m − 16 = ⇔ (x − 2) x2 + (2 − m) x + − 2m = ⇔ x=2 x2 + (2 − m) x + − 2m = Đặt f (x) = x2 + (2 − m) x + − 2m có ∆ = m2 + 4m − 28 Đồ thị hàm số cắt Ox ba điểm phân biệt ⇔ f (x) có hai nghiệm phân biệt khác  √ m > −2 + 4√2  ∆>0 m + 4m − 28 > ⇔ ⇔ m < −2 − f (2) = 16 − 4m =  m=4 √ m − ± m2 + 4m − 28 Khi f (x) có hai nghiệm x = Theo giả thiết đồ thị hàm số cắt Ox ba điểm phân biệt có hồnh độ lớn nên ta có √ m − − m2 + 4m − 28 m≥4 > ⇔ m − > m2 + 4m − 28 ⇔ ⇔m∈∅ m2 − 8m + 16 > m2 + 4m − 28 Vậy khơng có giá trị m để đồ thị hàm số cắt Ox ba điểm phân biệt có hồnh độ lớn x−1 Bài tập 4.27 Chứng minh đồ thị hàm số y = cắt đường thẳng y = m − x với giá trị m x+1 x−1 x = −1 Lời giải Ta có phương trình hồnh độ giao điểm: =m−x⇔ x2 − (m − 2) x − m − = x+1 Đặt f (x) = x2 − (m − 2) x − m − có ∆ = m2 + > 0, ∀m ∈ R f (−1) = −2 = 0, ∀m ∈ R Do đồ thị hàm số ln cắt đường thẳng y = m − x hai điểm phân biệt 2x − Bài tập 4.28 Tìm m để đường thẳng qua A (−2; 2) có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số y = hai điểm x+1 thuộc hai nhánh phân biệt Lời giải Đường thẳng qua A(−2; 2) với hệ số góc m có phương trình dạng: d : y = mx + 2m + Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số đường thẳng d là: 2x − = mx + 2m + ⇔ x+1 x = −1 ⇔ 2x − = (x + 1) (mx + 2m + 2) x = −1 mx2 + 3mx + 2m + = Đặt f (x) = mx2 + 3mx + 2m + có ∆ = m2 − 12m Đồ thị hàm số cắt d hai điểm phân biệt    m=0  m=0 m > 12 ∆>0 m2 − 12m > ⇔ f (x) có hai nghiệm phân biệt khác − ⇔ ⇔ m 0, ∀m ∈ R f (0) = −1 = 0, ∀m ∈ R Do đồ thị hàm số ln cắt đường thẳng y = −x + m hai điểm phân biệt A(x1 ; −x1 + m), B(x2 ; −x2 + m) −−→ 2 Ta có: AB = (x2 − x1 ; x1 − x2 ) ⇒ AB = 2(x1 − x2 ) = (x1 + x2 ) − 4x1 x2 (*) Lời giải Ta có phương trình hồnh độ giao điểm: Theo định lý vi-ét có x1 + x2 = m , x1 x2 Lại theo giả thiết có AB = ⇔ √ m2 + = 16 ⇔ m = ±2 = − 12 thay vào (*) AB = Bài tập 4.32 Tìm m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị hàm số y = qua đường thẳng y = x + http://mathqb.eazy.vn m2 +2 = m2 + x2 − 2x + hai điểm A, B đối xứng x−1 Nguyễn Minh Hiếu Lời giải Ta có phương trình hồnh độ giao điểm: x2 − 2x + = −x + m ⇔ x−1 x=1 ⇔ x2 − 2x + = (x − 1) (−x + m) x=1 2x2 − (m + 3) x + m + = Đặt f (x) = 2x2 − (m + 3) x + m + có ∆ = m2 − 2m − Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = −x + m hai điểm phân biệt f (x) có hai nghiệm phân biệt khác ⇔ ∆>0 ⇔ f (1) = m2 − 2m − > ⇔ 1=0 √ m > + √2 m − 54     ∆>0  5m + 24m + 16 > m < −4 m > − 45 S>0 ⇔ 3m + > ⇔ ⇔ m=0 m > −3     P >0 m >0  m=0 √ √ Khi phương trình (2) có hai nghiệm t1 , t2 (t1 < t2 ) ⇒ (1) có√bốn nghiệm ± √t1 , ± t2 √ √ √ −√t2 + √t1 = −2 √ t1 ⇔ t2 = t1 ⇔ t2 = 9t1 Phương trình (1) có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng ⇔ − t1 + t2 = t1 (3m + 4) m = 12 t1 + t2 = 3m + 10t1 = 3m + = m2 ⇔ (TM) Theo định lý vi-ét có ⇔ ⇒ 12 t1 t2 = m2 9t21 = m2 m = − 19 100 Bài tập 4.35 (D-09) Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị hàm số x4 − (3m + 2) x2 + 3m bốn điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ x2 = (*) x2 = 3m + Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = −1 bốn điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ < 3m + < − 31 < m < ⇔ (*) có bốn nghiệm phân biệt nhỏ ⇔ ⇔ 3m + = m=0 Lời giải Ta có phương trình hồnh độ giao điểm: x4 − (3m + 2) x2 + 3m = −1 ⇔ Bài tập 4.36 (DB-08) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 8x2 + tiếp xúc với đường thẳng y = mx − Lời giải Đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = mx−9 ⇔ hệ sau có nghiệm: x4 − 8x2 + = mx − 4x3 − 16x = m (1) (2) Thay (2) vào (1) ta có: x4 − 8x2 + = 4x4 − 16x2 − ⇔ x2 = ⇒ m = Vậy với m = đồ thị hàm số y = x4 − 8x2 + tiếp xúc với đường thẳng y = mx − Bài tập 4.37 (D-02) Tìm m để đồ thị hàm số y = (2m − 1) x − m2 tiếp xúc với đường thẳng y = x x−1 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Lời giải Đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = x ⇔ hệ sau có nghiệm: (2m−1)x−m2 x−1 (m−1)2 (x−1)2 = =x (1) (2) có nghiệm x=1 x=1 ⇔ (2m − 1) x − m2 = x2 − x m=x Với m = x = thay vào (2) thỏa mãn Vậy m = Ta có (1) ⇔ Bài tập 4.38 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2 + m3 − m2 tiếp xúc với trục hoành hai điểm phân biệt x=0 x2 = m √ Do với m > hàm số đạt ba cực trị x = x = ± m Khi đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành hai điểm phân biệt Lời giải Ta có: y = 4x3 − 4mx = 4x(x2 − m); y = ⇔ √ y ± m = ⇔ m3 − 2m2 = ⇔ m = (loại) m=2 §3 Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số Bài tập 4.39 (B-04) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ đồ thị hàm số y = 31 x3 − 2x2 + 3x (C) tâm đối xứng chứng minh ∆ tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ Lời giải Ta có: y = x2 − 4x + 3; y = 2x − 4; y = ⇔ x = ⇒ y = −1 Do đồ thị (C) có tâm đối xứng I(2; 32 ) Lại có: y (2) = −1 nên phương trình tiếp tuyến (C) I là: y = − (x − 2) + 32 ⇔ y = −x + 38 Tiếp tuyến (C) x0 có hệ số góc k = y (x0 ) = x20 − 4x0 + = (x0 − 2)2 − ≥ −1 Dấu xảy x0 = = xI Vậy tiếp tuyến (C) I tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ (đpcm) Bài tập 4.40 (DB-08) Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + (m + 1) x + Tìm m để tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = −1 qua điểm A (1; 2) Lời giải Ta có: y = 3x2 + 6mx + m + ⇒ y (−1) = − 5m; y(−1) = 2m − Do tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = −1 là: y = (4 − 5m)(x + 1) + 2m − Mặt khác tiếp tuyến qua A(1; 2) nên ta có: = 2(4 − 5m) + 2m − ⇔ m = Bài tập 4.41 (TN-08) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = Lời giải Gọi điểm tiếp xúc M (x0 ; y0 ) Ta có: y0 = −2 ⇔ Lại có: y = (x + 1) 3x − điểm có tung độ −2 x+1 3x0 − = −2 ⇔ 3x0 − = −2 (x0 + 1) ⇔ x0 = x0 + ⇒ y (x0 ) = Vậy tiếp tuyến M (0; −2) là: y = 5x − x+3 Tiếp tuyến điểm (S) (C) cắt hai tiệm cận (C) x+1 P Q Chứng minh S trung điểm P Q Bài tập 4.42 (DB-06) Cho hàm số y = Lời giải Hàm số cho có tiệm cận ngang y = tiệm cận đứng x = −1 x0 + −2 −2 Lấy S x0 ; ∈ (C) Ta có: y = ⇒ y (x0 ) = x0 + (x + 1) (x0 + 1) −2 x0 + Phương trình tiếp tuyến S là: y = (x − x0 ) + x + (x0 + 1) Tiếp tuyến cắt tiêm cận ngang P (2x0 + 1; 1) cắt tiệm cận đứng Q −1; Ta có: xP +xQ yP +yQ = = 2x0 +1−1 = x0 = xS x +5 1+ x0 +1 = xx00 +3 +1 = yS x0 + x0 + ⇒ S trung điểm P Q (đpcm) Bài tập 4.43 Cho hàm số (Cm) : y = x3 + − m (x + 1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (Cm) giao điểm (Cm) với Oy Tìm m để tiếp tuyến nói chắn hai trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích Lời giải Đồ thị (Cm) cắt trục Oy M (0; − m) Ta có y = 3x2 − m ⇒ y (0) = −m ⇒ tiếp tuyến M (0; − m) là: y = −mx + − m 1−m Với m = 0, tiếp tuyến không cắt Ox Với m = 0, tiếp tuyến cắt Ox N ;0 m http://mathqb.eazy.vn Nguyễn Minh Hiếu Khi OM = |1 − m|, ON = Theo giả thiết ta có: S∆OM N 1−m (1 − m) ⇒ S∆OM N = OM.ON = m 2 |m| √ (1 − m) m=9±4 √ =8⇔ (thỏa mãn) = ⇔ (1 − m) = 16 |m| ⇔ m = −7 ± |m| 2x + , biết hệ số góc tiếp tuyến x−2 Bài tập 4.44 (TN-09) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = −5 −5 −5 x0 = Gọi điểm tiếp xúc M (x0 ; y0 ) Với k = −5 ⇒ = −5 ⇔ x0 = (x − 2)2 (x0 − 2) Với x0 = ⇒ y0 = −3 ⇒ phương trình tiếp tuyến M (1; −3) là: y = −5(x − 1) − ⇔ y = −5x + Với x0 = ⇒ y0 = ⇒ phương trình tiếp tuyến M (3; 7) là: y = −5(x − 3) + ⇔ y = −5x + 22 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y = −5x + y = −5x + 22 Lời giải Ta có: y = Bài tập 4.45 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = −x + biết tiếp tuyến song song với đường 2x − phân giác góc phần tư thứ hai mặt phẳng toạ độ Lời giải Tiếp tuyến cần tìm song song với đường phân giác góc phần tư thứ hai nên có hệ số góc k =√ −1 −5 1± −5 Gọi điểm tiếp xúc M (x0 ; y0 ) Với k = −1 ⇒ Ta có: y = = −1 ⇔ x0 = (2x − 1)2 (2x0 − 1) √ √ √ √ √ Với x0 = 1+2 ⇒ y0 = 5−1 ⇒ tiếp tuyến M 1+2 ; 5−1 là: y = −x + 2 √ √ √ √ √ Với x0 = 1−2 ⇒ y0 = − 25−1 ⇒ tiếp tuyến M 1−2 ; − 25−1 là: y = −x − √ √ Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y = −x + y = −x − Bài tập 4.46 (CĐ-2012) Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị hàm số y = 2x + , biết d vng góc với đường x+1 thẳng y = x + Lời giải Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = x + nên có hệ số góc k = −1 −1 −1 x0 = Ta có: y = Gọi điểm tiếp xúc M (x0 ; y0 ) Với k = −1 ⇒ = −1 ⇔ x0 = −2 (x + 1)2 (x0 + 1) Với x0 = ⇒ y0 = ⇒ phương trình tiếp tuyến M (0; 3) là: y = −x + Với x0 = −2 ⇒ y0 = ⇒ phương trình tiếp tuyến M (−2; 1) là: y = −(x + 2) + ⇔ y = −x − Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y = −x + y = −x − 1 Bài tập 4.47 (D-05) Cho hàm số y = 31 x3 − m x + có đồ thị (Cm) Gọi M điểm thuộc (Cm) có hồnh độ −1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) điểm M song song với đường thẳng 5x − y = Lời giải Ta có: y = x2 − mx ⇒ y (−1) = m + 1; y(−1) = − 21 m Phương trình tiếp tuyến M −1; − 12 m y = (m + 1)x + 12 m + Mặt khác tiếp tuyến song song với đường thẳng 5x − y = nên ta có: m+1=5 ⇔ 2m + = Bài tập 4.48 (B-06) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = m=4 ⇔ m = m = −2 x2 + x − (C) Biết tiếp tuyến x+2 vng góc với tiệm cận xiên (C) nên hàm số có tiệm cận xiên y = x − x+2 Tiếp tuyến vng góc với tiệm cận xiên nên có hệ số góc k = −1 √ x2 + 4x + −4 ± x20 + 4x0 + Ta có: y = = −1 ⇔ x0 = Gọi điểm tiếp xúc M (x0 ; y0 ) Với k = −1 ⇒ (x + 2)2 (x0 + 2) √ √ √ Với x0 = −4+2 ⇒ y0 = −6+3 √ ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y = −x + 2 − √ √ Với x0 = −4−2 ⇒ y0 = −6−3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y = −x − 2 − √ √ Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y = −x + 2 − y = −x − 2 − Lời giải Ta có y = x − + Bài tập 4.49 (DB-07) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x cho tiếp tuyến hai tiệm x−1 cận cắt tạo thành tam giác cân 10 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Lời giải Hàm số có tiệm cận đứng tiệm cận ngang tiếp tuyến cắt hai tiệm cận tạo thành tam giác cân k = ±1 −1 < 0, ∀x ∈ R\1 nên k = −1 Hơn y = (x − 1)2 −1 x0 = Gọi điểm tiếp xúc M (x0 ; y0 ) Với k = −1 ⇒ = −1 ⇔ x0 = (x0 − 1) Với x0 = ⇒ y0 = ⇒ phương trình tiếp tuyến M (0; 0) là: y = −x Với x0 = ⇒ y0 = ⇒ phương trình tiếp tuyến M (2; 2) là: y = −x + Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y = −x y = −x + Bài tập 4.50 Tìm m để (Cm) : y = x3 + 3x2 + mx + cắt đường thẳng y = ba điểm phân biệt C (0; 1) , D, E cho tiếp tuyến với (Cm) D E vng góc với x=0 x2 + 3x + m = Đặt f (x) = x2 + 3x + m có ∆ = − 4m Đồ thị (Cm) cắt đường thẳng y = ba điểm phân biệt Lời giải Ta có phương trình hồnh độ giao điểm: x3 + 3x2 + mx + = ⇔ f (x) có nghiệm phân biệt khác ⇔ ∆>0 ⇔ f (0) = − 4m > ⇔ m=0 m < 49 m=0 Khi (Cm) cắt đường thẳng y = ba điểm C(0; 1), D(x1 ; 1), E(x2 ; 1), x1 + x2 = −3, x1 x2 = m Lại có y = 3x2 + 6x + m, tiếp tuyến D, E vng góc y (x1 ).y (x2 ) = −1 ⇔ 3x21 + 6x1 + m 3x22 + 6x2 + m = −1 ⇔ 9(x1 x2 ) + 18x1 x2 (x1 + x2 ) + 3m (x1 + x2 ) − 2x1 x2 + 36x1 x2 + 6m(x1 + x2 ) + m2 + = ⇔ 9m2 − 54m + 3m(9 − 2m) + 36m − 18m + m2 + = √ ± 65 ⇔ 4m − 9m + = ⇔ m = (thỏa mãn) Vậy m = √ 9± 65 −x + Chứng minh với m đường thẳng y = x + m 2x − cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A B Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn Bài tập 4.51 (A-2011) Cho hàm số (C) : y = Lời giải Ta có phương trình hồnh độ giao điểm: −x + =x+m⇔ 2x − x = 12 ⇔ −x + = (2x − 1)(x + m) x = 12 2x2 + 2mx − m − = Đặt f (x) = 2x2 + 2mx − m − có ∆ = m2 + 2m + > 0, ∀m ∈ R f 21 = − 21 = 0, ∀m ∈ R Do đồ thị (C) ln cắt đường thẳng y = x + m hai điểm phân biệt A(x1 ; x1 + m), B(x2 ; x2 + m) Ta có: x1 + x2 = −m, x − 1x − = − m+1 Lại có y = − (2x − 1)2 Do suy k1 + k2 = − (2x1 − 1) − (2x2 − 1) =− 4(x1 + x2 ) − 8x1 x2 − (x1 + x2 ) + (4x1 x2 − 2(x1 + x2 ) + 1) = −4(m + 1)2 − ≤ −2 Vậy k1 + k2 đạt giá trị lớn −2 m = −1 Bài tập 4.52 (B-08) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 4x3 − 6x2 + 1, biết tiếp tuyến qua M (−1; −9) Lời giải Đường thẳng qua M (−1; −9) với hệ số góc k có phương trình dạng: d : y = kx + k − Đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 4x3 − 6x2 + ⇔ hệ sau có nghiệm: 4x3 − 6x2 + = kx + k − 12x2 − 12x = k (1) (2) Thay (2) vào (1) ta có: 4x3 − 6x2 + = (12x2 − 12x)(x + 1) − ⇔ (x + 1)2 (4x − 5) = ⇔ Với x = −1 ⇒ k = 24 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y = 24x + 15 15 21 Với x = 54 ⇒ k = 15 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y = x − 15 21 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y = 24x + 15 y = x − http://mathqb.eazy.vn 11 x = −1 x = 45 Nguyễn Minh Hiếu Bài tập 4.53 (DB-07) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = −x + , biết tiếp tuyến qua giao điểm 2x + tiệm cận đứng trục Ox Lời giải Hàm số có tiệm cận đứng x = − 21 Tiệm cận đứng cắt trục Ox điểm M − 12 ; Đường thẳng qua M − 12 ; với hệ số góc k có phương trình dạng: d : y = k x + 21 −x+1 = k x + 12 (1) −x + Đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị hàm số y = ⇔ hệ sau có nghiệm: 2x+1 2x + − (2x+1)2 = k (2) −x + −3 −x + −3 x = − 21 x+ Thay (2) vào (1) ta có: = ⇔ = ⇔ ⇔x= −2x + = −3 2x + 2x + 2(2x + 1) (2x + 1) 1 Với x = 52 ⇒ k = − 12 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y = − 12 x − 24 1 Vậy tiếp tuyến cần tìm là: y = − 12 x − 24 Bài tập 4.54 (DB-05) Cho hàm số y = x2 + 2x + có đồ thị (C) Gọi I giao hai tiệm cận Chứng minh x+1 khơng có tiếp tuyến (C) qua I ⇒ hàm số có tiệm cận đứng x = −1 tiệm cận xiên y = x + x+1 Do giao hai tiệm cận I(−1; 0) Đường thẳng qua I(−1; 0) với hệ số góc k có phương trình dạng: d : y = k(x + 1) x2 +2x+2 = k(x + 1) x2 + 2x + x+1 ⇔ hệ sau có nghiệm: Đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x2 +2x x+1 − (x+1) = k Lời giải Ta có y = x + + (1) (2) Thay (2) vào (1) ta có: x2 + 2x x2 + 2x + x2 + 2x x2 + 2x + = (x + 1) ⇔ = ⇔ x+1 x+1 x+1 (x + 1) x = −1 x2 + 2x + = x2 + 2x (vơ nghiệm) Vậy khơng có tiếp tuyến qua I Bài tập 4.55 Tìm đường thẳng y = −4 điểm kẻ ba tiếp tuyến đến (C) : y = x3 − 12x + 12 Lời giải Lấy điểm M (m; −4) đường thẳng y = −4 Đường thẳng qua M (m − 4) với hệ số góc k có phương trình dạng: d : y = k(x − m) − x3 − 12x + 12 = k(x − m) − Đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị (C) ⇔ hệ sau có nghiệm: 3x2 − 12 = k Thay (2) vào (1) ta có: (1) (2) x3 − 12x + 12 = 3x2 − 12 (x − m) − ⇔ 2x3 − 3mx2 + 12m − 16 = x=2 2x2 + (4 − 3m)x + − 6m = ⇔ (x − 2)(2x2 + (4 − 3m)x + − 6m) = ⇔ (∗) Đặt f (x) = 2x2 + (4 − 3m)x + − 6m có ∆ = 9m2 + 24m − 48 Từ M kẻ ba tiếp tuyến đến (C) (∗) có ba nghiệm phân biệt ⇔ f (x) có hai nghiệm phân biệt khác ⇔ ∆>0 ⇔ f (2) =   9m + 24m − 48 > ⇔ 24 − 12m =  Vậy điểm y = −4 có hồnh độ m ∈ (−∞; −4) ∪ 12 ; +∞ m > 34 m < −4 m=2 \ {2} kẻ ba tiếp tuyến đến (C) http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số §4 Biện Luận Số Nghiệm Phương Trình Bằng Đồ Thị Bài tập 4.56 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 − Biện luận theo k số nghiệm phương trình x3 − 3x2 − k = Lời giải Ta có phương trình tương đương: x3 − 3x2 − = k − Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 − đường thẳng y = k − Dựa vào đồ thị ta có: k − > −1 ⇔ k > 0: Phương trình có nghiệm k − < −5 ⇔ k < −4: Phương trình có nghiệm k − = −1 ⇔ k = 0: Phương trình có hai nghiệm k − = −5 ⇔ k = −4: Phương trình có hai nghiệm −5 < k − < −1 ⇔ −4 < k < 0: Phương trình có ba nghiệm Kết luận: k > k < −4: Phương trình có nghiệm k = k = −4: Phương trình có hai nghiệm −4 < k < 0: Phương trình có ba nghiệm y O x −1 −3 U −5 Bài tập 4.57 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 − 3x2 + Biện luận theo m số nghiệm phương trình 4x3 − 6x2 − m = Lời giải Ta có phương trình tương đương: 2x3 − 3x2 + = m + Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = 2x3 − 3x2 + đường thẳng y = m + Dựa vào đồ thị ta có: m + > ⇔ m > 0: Phương trình có nghiệm m + < ⇔ m < −2: Phương trình có nghiệm m + = ⇔ m = 0: Phương trình có hai nghiệm m + = ⇔ m = −2: Phương trình có hai nghiệm 0< m + < ⇔ −2 < m < 0: Phương trình có ba nghiệm Kết luận: m > m < −2: Phương trình có nghiệm m = m = −2: Phương trình có hai nghiệm −2 < m < 0: Phương trình có ba nghiệm y O U x Bài tập 4.58 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = −x4 + 2x2 + Biện luận theo m số nghiệm phương trình x4 − 2x2 + m − = Lời giải Ta có phương trình tương đương: −x4 + 2x2 + = m + Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = −x4 + 2x2 + đường thẳng y = m + Dựa vào đồ thị ta có: m + > ⇔ m > 2: Phương trình vơ nghiệm m + < ⇔ m < 1: Phương trình có hai nghiệm m + = ⇔ m = 2: Phương trình có hai nghiệm m + = ⇔ m = 1: Phương trình có ba nghiệm < m + < ⇔ < m < 2: Phương trình có bốn nghiệm Kết luận: m > 2: Phương trình vô nghiệm m < m = 2: Phương trình có hai nghiệm m = 1: Phương trình có ba nghiệm < m < 2: Phương trình có bốn nghiệm y −1 O x Bài tập 4.59 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x4 −4x2 +3 Tìm m để phương trình 12 x4 −2x2 +m = có bốn nghiệm phân biệt Lời giải http://mathqb.eazy.vn 13 Nguyễn Minh Hiếu y Ta có phương trình tương đương: x4 − 4x2 + = − 2m Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = x4 − 4x2 + đường thẳng y = − 2m Dựa vào đồ thị, phương trình có bốn nghiệm phân biệt ⇔ −1 < − 2m < ⇔ < m < √ − √ x O −1 Bài tập 4.60 (DB-06) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x2 + 2x + Tìm m để phương trình sau x+1 có hai nghiệm dương phân biệt x2 + 2x + = m2 + 2m + (x + 1) Lời giải Ta có phương trình tương đương: x2 + 2x + = m2 + 2m + x+1 Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = y x + 2x + x+1 đường thẳng y = m2 + 2m + Dựa vào đồ thị, phương trình có hai nghiệm dương phân biệt < m2 + 2m + < ⇔ m + 2m + > ⇔ m2 + 2m < −3 O m = −1 −2 < m < x −4 Vậy m ∈ (−2; 0) \ {−1} Bài tập 4.61 (A-06) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 − 9x2 + 12x − Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt 2|x| − 9x2 + 12 |x| = m Lời giải y Ta có phương trình tương đương: 2|x| − 9x2 + 12 |x| − = m − Từ đồ thị vẽ, bỏ phần đồ thị bên trái Oy, sau đối xứng phần đồ thị bên phải Oy qua Oy ta đồ thị (C1 ) : y = 2|x| − 9x2 + 12 |x| − Số nghiệm phương trình số giao điểm (C1 ) đường thẳng y = m − Dựa vào đồ thị, phương trình có sáu nghiệm phân biệt −2 −1 O x 0 hàm số có cực trị x = ± m Hàm số đạt cực tiểu x = −1 ⇔ − = −1 ⇔ m = (thỏa mãn) Mặt khác đồ thị hàm số qua M (1; 4) nên ta có: = −1 + m + n ⇔ n = Vậy m = n = m Bài tập 4.71 Chứng minh điểm uốn đồ thị hàm số (C) : y = x3 − 6x2 + 9x tâm đối xứng Lời giải Ta có y = 3x2 − 12x + 9; y = 6x − 12; y = ⇔ x = ⇒ y = ⇒ đồ thị (C) có điểm uốn U (2; 2) −−→ Thực phép tịnh tiến hệ tọa độ theo vectơ OU x=X +2 Công thức chuyển hệ tọa độ y =Y +2 Phương trình đường cong (C) hệ tọa độ U XY Y + = (X + 2) − 6(X + 2) + (X + 2) ⇔ Y = X − 3X Vì Y = X − 3X hàm số lẻ nên đồ thị (C) nhận gốc tọa độ U làm tâm đối xứng Bài tập 4.72 Chứng minh đồ thị hàm số (C) : y = 2x + nhận giao điểm I hai tiệm cận làm tâm đối x+1 xứng 16 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Lời giải Đồ thị (C) có tiệm cận đứng x = −1 tiệm cận ngang y = nên có giao hai tiệm cận I(−1; 2) −→ Thực phép tịnh tiến hệ tọa độ theo vectơ OI x=X −1 Công thức chuyển hệ tọa độ y =Y +2 (X − 1) + 1 Phương trình đường cong (C) hệ tọa độ U XY Y + = ⇔Y =− X −1+1 X Vì Y = − X hàm số lẻ nên đồ thị (C) nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng Bài tập 4.73 (D-04) Tìm m để tâm đối xứng đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2 + 9x + thuộc đường thẳng y = x + Lời giải Ta có y = 3x2 − 6mx + 9; y = 6x − 6m; y = ⇔ x = m ⇒ y = −2m3 + 9m + Do đồ thị có tâm đối xứng I(m; −2m3 + 9m + 1) m=0 Tâm đối xứng I thuộc đường thẳng y = x + ⇔ −2m3 + 9m + = m + ⇔ m = ±2 Bài tập 4.74 Tìm m để đồ thị hàm số y = − x3 + 3x2 − nhận I (1; 0) làm điểm uốn m x + 6x; y = − m x + 6; y = ⇔ x = m ⇒ y = 2m2 − Lời giải Ta có y = − m m=1 Đồ thị hàm số nhận I(1; 0) làm điểm uốn ⇔ ⇔ m = = 2m2 − Bài tập 4.75 Tìm điểm đồ thị hàm số y = Lời giải Hàm số viết thành y = + Gọi M (x0 ; y0 ) điểm đồ thị có tọa độ nguyên ta có: x−1 x0 ∈ Z ⇔ + x01−1 ∈ Z x0 ∈ Z ⇔ y0 ∈ Z 2x − có tọa độ số nguyên x−1 x0 ∈ Z ⇔ x0 − ước ⇔ x0 − = ±1 ⇔ x0 −1 ∈ Z x0 = x0 = Vậy đồ thị có hai điểm có tọa độ nguyên M (0; 1) M (2; 3) Bài tập 4.76 Tìm đồ thị hàm số y = −x2 + 3x − điểm có toạ độ nguyên x−1 Lời giải Hàm số viết thành y = −x + + Gọi M (x0 ; y0 ) điểm đồ thị có tọa độ nguyên ta có: x−1 x0 ∈ Z ⇔ y0 ∈ Z x0 ∈ Z −x0 + + x0 −1 ∈Z ⇔ x0 ∈ Z ⇔ x0 − ước ⇔ x0 − = ±1 ⇔ x0 −1 ∈ Z x0 = x0 = Vậy đồ thị có hai điểm có tọa độ nguyên M (0; 1) M (2; 1) Bài tập 4.77 Tìm điểm cố định họ đường cong (Cm) : y = x3 + (m − 1) x2 + m2 − 4m + x − m2 + Lời giải Ta có: y = x3 + (m − 1) x2 + m2 − 4m + x − m2 + ⇔ (x − 2) m2 + 2x2 − 4x m + x3 − 2x2 + x − − y = Giả sử M (x0 ; y0 ) điểm cố định họ (Cm), ta có: (x0 − 2) m2 + 2x20 − 4x0 m + x30 − 2x20 + x0 − − y0 = 0, ∀m ∈ R   x0 − = x0 = 2x20 − 4x0 = ⇔ ⇔ y0 =  x0 − 2x20 + x0 − − y0 Vậy điểm cố định hộ (Cm) M (2; 0) mx − qua hai điểm cố định x−m Gọi M giao điểm hai tiệm cận (Cm), tìm tập hợp điểm M m thay đổi Bài tập 4.78 Chứng minh với m = ±1, họ đường cong (Cm) : y = http://mathqb.eazy.vn 17 Nguyễn Minh Hiếu Lời giải Giả sử A(x0 ; y0 ) điểm cố định họ (Cm), ta có: y0 = mx0 − , ∀m ∈ R ⇔ (x0 + y0 ) m − x0 y0 − = 0, ∀m = x0 ⇔ x0 − m x0 = ±1 , ∀m = x0 y0 = ∓1 Do với m = ±1 (Cm) có hai điểm có định A(1; −1) A(−1; 1) Hàm số có tiệm cận đứng x = m tiệm cận ngang y = m nên có giao hai tiệm cận M (m; m) Suy tập hợp điểm M đường thẳng y = x Bài tập 4.79 Cho họ đường cong (Cm) : y = mx3 + (1 − m) x Tìm điểm mặt phẳng tọa độ cho khơng có đường (Cm) qua Lời giải Giả sử m(x0 ; y0 ) điểm mà họ (Cm) khơng qua Ta có: y0 = mx30 + (1 − m)x0 vô nghiệm ⇔ x30 − x0 m + x0 − y0 = vô nghiệm ⇔   x30 − x0 = ⇔ x0 − y0 =  x0 = x0 = ±1 y0 = x0 Vậy tập hợp điểm mà họ (Cm) không qua nằm đường thẳng x = trừ điểm (0; 0); đường thẳng x = trừ điểm (1; 1) đường thẳng x = −1 trừ điểm (−1; −1) 11 hai điểm phân biệt M, N đối xứng Bài tập 4.80 (DB-06) Tìm đồ thị hàm số y = − x3 + x2 + 3x − 3 qua Oy Lời giải Lấy hai điểm đồ thị hàm số M x1 ; − 13 x31 + x21 + 3x1 − 11 x1 = −x2 − 13 x31 + x21 + 3x1 − , N x2 ; − 13 x32 + x22 + 3x2 − 11 , x1 = x2 (1) = − 31 x32 + x22 + 3x2 − 11 (2) x2 = (loại) 3 11 Thay (1) vào (2) ta có: 13 x32 + x22 − 3x2 − 11 = − x2 + x2 + 3x2 − ⇔ x2 − 6x2 = ⇔ x2 = ±3 16 16 16 Vậy hai điểm cần tìm M (3; 16 ), N (−3; ) M (−3; ), N (3; ) Hai điểm M, N đối xứng qua trục Oy ⇔ 11 Bài tập 4.81 Tìm đồ thị hàm số y = x3 + 3x − hai điểm đối xứng qua M (2; 18) Lời giải Gọi hai điểm cần tìm A, B Giả sử A(x0 ; x30 + 3x0 − 2) ⇒ B(4 − x0 ; −x30 − 3x0 + 38), x0 = Vì B thuộc đồ thị hàm số nên ta có: −x30 − 3x0 + 38 = (4 − x0 ) + (4 − x0 ) − ⇔ 12x20 − 48x0 + 36 = ⇔ x0 = (thỏa mãn) x0 = Vậy hai điểm cần tìm (1; 2) (3; 34) Bài tập 4.82 Tìm đồ thị hàm số y = 3x + hai điểm đối xứng qua M (−2; −1) x−2 +1 Lời giải Gọi hai điểm cần tìm A, B Giả sử A x0 ; 3x ⇒ B −4 − x0 ; −2 − x0 −2 3x0 +1 x0 −2 , x0 = ±2 Vì B thuộc đồ thị hàm số nên ta có: −2 − (−4 − x0 ) + 3x0 + = ⇔ 8x20 + 32x0 − 40 = ⇔ x0 − −4 − x0 − x0 = (thỏa mãn) x0 = −5 Vậy hai điểm cần tìm (1; −4) (−5; 2) Bài tập 4.83 Cho hàm số y = x+1 có đồ thị (C) Tìm (C) hai điểm phân biệt A, B đối xứng qua x−1 đường thẳng d : x + 2y − = Lời giải Đường thẳng vng góc d có phương trình dạng ∆ : 2x − y + m = ⇔ y = 2x + m x=1 x+1 Phương trình hoành độ ∆ (C) là: x−1 =x+m⇔ x2 + (m − 2)x − m − = Đặt f (x) = x2 + (m − 2)x − m − có ∆ = m2 + > 0, ∀m ∈ R f (1) = −2 = 0, ∀m ∈ R Do ∆ ln cắt (C) hai điểm phân biệt A(x1 ; x1 + m), B(x2 ; x2 + m), x1 + x2 = − m 2+m x1 +x2 Gọi I trung điểm AB ⇒ I = x1 +x ; + m = 2−m 2 ; 2−m Khi A, B đối xứng qua d ⇔ I ∈ d ⇔ + + m − = ⇔ m = √ √ √ √ √ √ √ √ Vậy A + 2; + , B − 2; − A − 2; − , B + 2; + 18 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Bài tập 4.84 (B-03) Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + m có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc toạ độ Lời giải Hai điểm phân biệt thuộc đồ thị hàm số là: M (x1 ; x31 − 3x21 + m), N (x2 ; x32 − 3x22 + m), x1 = x2 x1 = −x2 (1) Hai điểm M, N đối xứng qua gốc tọa độ O nên ta có: 3 x1 − 3x1 + m = − x2 − 3x2 + m (2) Thay (1) vào (2) ta có: −x32 − 3x22 − m = −x32 + 3x22 − m ⇔ m = 3x22 > Vậy m > Bài tập 4.85 (DB-04) Tìm đồ thị hàm số y = x điểm M cho khoảng cách từ M đến đường x+1 thẳng d : 3x + 4y = Lời giải Lấy điểm M x0 ; x0x+1 , x0 = −1, thuộc đồ thị hàm số ta có:  x0 = 3x0 + x4x +1 d (M, ∆) = ⇔ √ = ⇔ 3x20 + 7x0 = |x0 + 1| ⇔  x0 = − √ 32 + −6± 61 x0 = √ √ −6+ 61 43−3 61 ; 52 Vậy có bốn điểm cần tìm là: M 1; 21 , M − 53 ; 52 , M |x0 | = x0 ; √ √ −6− 61 43+3 61 ; 52 4x + có đồ thị (C) Tìm (C) điểm cách hai trục tọa độ x+1 Bài tập 4.86 Cho hàm số y = Lời giải Lấy điểm M M 4x0 + , x0 = −1, (C) Điểm M cách hai trục tọa độ x0 + x20 − 3x0 − = ⇔ x20 + 5x0 + = 4x0 + ⇔ x20 + x0 = |4x0 + 1| ⇔ x0 + √ √ 3+ 13 3+ 13 ; 2 Vậy có bốn điểm cần tìm M ,M √ √ 3− 13 3− 13 ; 2 ,M x0 = x0 = √ √ −5+ 21 5− 21 ; 2 √ 3± 13 2√ −5± 21 M √ √ −5− 21 5+ 21 ; 2 x2 − x + Tìm điểm M đồ thị hàm số cho khoảng cách từ M đến giao x−1 điểm I hai tiệm cận nhỏ Bài tập 4.87 Cho hàm số y = , hàm số cáo tiệm cận dứng x = tiệm cận xiên y = x x−1 −−→ Giao điểm hai tiệm cận I(1; 1) Lấy M x0 ; x0 + ta có: IM = x0 − 1; x0 − + x0 − √ 2 IM = (x0 − 1) + x0 − + x01−1 = 2(x0 − 1) + (x −1) 2 + 2 + ≥ Lời giải Ta có: y = x + x0 −1 Suy ra: ⇔ x0 = ± √ (x0 − 1) √ √ 2+ Vậy IM đạt giá trị nhỏ 2 + M + √ ;1 + 2 Dấu xảy 2(x0 + 1) = Bài tập 4.88 Cho hàm số y = √ M − √ ;1 − √ 2− √ 3x − có đồ thị (C) Tìm điểm M (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai x−2 tiệm cận nhỏ −5 Lời giải Hàm số có tiệm cận ngang y = tiệm cận đứng x = Lấy điểm M x0 ; 3x ∈ (C) , x0 = 2, ta có: x0 −2 d (M, TCĐ) + d (M, TCN) = |x0 − 2| + 3x0 − − = |x0 − 2| + ≥2 x0 − |x0 − 2| x0 = x0 = Vậy d (M, TCĐ) + d (M, TCN) đạt giá trị nhỏ M (3; 4) M (1; 2) Dấu xảy |x0 − 2| = Bài tập 4.89 Cho hàm số y = |x0 −2| ⇔ x−1 có đồ thị (C) Tìm điểm M (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục x+1 toạ độ nhỏ http://mathqb.eazy.vn 19 Nguyễn Minh Hiếu Lời giải Giả sử M x0 ; xx00 −1 +1 ∈ (C) , x0 = −1 điểm cần tìm, ta có: d (M, Ox) + d (M, Oy) = |x0 | + x0 −1 x0 +1 Lấy A(0; 1) ∈ (C), ta có: d (A, Ox) + d (A, Oy) = 1, suy d (M, Ox) + d (M, Oy) ≤ Do ta có: |x0 | ≤ x0 −1 x0 +1 ≤1 −1 < x0 ≤ ⇔ ≤ x0 ≤ 1 − x0 ≤ x0 + ⇔ √ = x0 + + x02+1 − ≥ x0 + x02+1 − = 2 − √ ≤ x0 ≤ Dấu xảy ⇔ x0 = − x0 + = x02+1 √ √ √ − 1; − Vậy d (M, Ox) + d (M, Oy) đạt giá trị nhỏ 2 − M Với ≤ x0 ≤ 1, ta có: d (M, Ox) + d (M, Oy) = x0 + 1−x0 x0 +1 Bài tập 4.90 Tìm hai điểm hai nhánh đồ thị hàm số y = Lời giải Lấy M1 x1 ; −−−−→ Ta có: M1 M2 = x1 − x1 − x2 − x1 ; (M1 M2 ) = (x2 − x1 ) , x1 < M2 x2 ; x2 − x1 − − x2 − x1 − 1+ = (x2 − 1) (x1 − 1) ≥ (x2 − 1) (1 − x1 ) + x−2 có khoảng cách bé x−1 x2 − x2 − , x2 > hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị x2 − x1 ; x2 − x1 Do đó: (x2 − 1) (x1 − 1) = (x2 − + − x1 ) (x2 − 1) (x1 − 1) 20 1+ (x2 − 1) (x1 − 1) = (x2 − 1) (1 − x1 ) + x2 − = − x1 ⇔ (x2 − 1) (1 − x1 ) = (x2 −1)(1−x 1) √ Vậy M1 M2 đạt giá trị nhỏ M1 (0; 2) M2 (2; 0) Dấu xảy 2 ≥8 (x2 − 1) (1 − x1 ) x2 = x1 = http://mathqb.eazy.vn ... giác cân 10 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Lời giải Hàm số có tiệm cận đứng tiệm cận ngang tiếp tuyến cắt hai tiệm cận tạo thành tam giác cân k = ±1... xứng 16 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Lời giải Đồ thị (C) có tiệm cận đứng x = −1 tiệm cận ngang y = nên có giao hai tiệm cận I(−1; 2) −→ Thực phép tịnh... 3x − cắt parabol y = x2 − 4x + điểm (1; −1) http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Bài tập 4.21 Tìm m để đồ thị hàm số y = mx3 − x2 − 2x + 8m cắt trục hoành