Dap an chuyen de TOÁN HÀM SỐ LŨY THỪA - HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT

Chuyên đề Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ & Hàm Số Lơgarit §1 Lũy Thừa Bài tập 5.1 Tính giá trị luỹ thừa sau: −1,5 a) (0, 04) − (0, 125) c) 27 + √ − 25 − 13 125 √ b) 0,5 e) 81−0,75 + g) 42 −0,75 16 − 34 + −0,75 16 − 23 −4 3−1 √ d) (−0, 5) − 35 32 − 2−2 10 f) √ 22+ h) −4 − 625 0,25 √ 2+ √ 51+ √ 25 + − −1 12 − √ 1+2 √ − Lời giải −1,5 a) (0, 04) b) 16 −0,75 + 16 c) 27 + d) (−0, 5) e) 81 f) −4 −0,75 102+ + √ − 43 = − 32 25 − 34 = 2−4 − 250,5 = 33 − 6250,25 − 125 −4 √ 25 + − − 13 − √ 32√ = 5−2 = 23 + 24 = 24 + 2−4 − 34 − 52 = − = 34 −4 − 43 − 54 + 5−3 − 13 −2 = √ 1+2 √ 1−2 6= Bài tập 5.2 Rút gọn biểu thức sau: 5 x y + xy a) √ √ x+ 4y √ √ √ √ a− b a + ab √ − √ √ c) √ 4 a− 4b a+ 4b √ √ √ √ a2 − a2 + a + a3 √ √ e) a4 − a √ √ a−1 a+ 4a g) a + 1 √ a+1 a4 + a2 − 23 − 2−3 − 43 2+ √ √ (2+ 7)−(1+ 7) √ =5 = √ 22+ √7 51+ √ √ √ −2 3−2 −2 22+ − 32 + 2−3 −1 12 − 35 − 32 − −0,75 √ = √ 22+ √7 51+√7 3−1 g) h) − (0, 125) − 23 = 53 − 22 = 121 = 32 + 23 − = 12 − − 23 − 2−5 √ = 24 √ 1+2 − 53 √ 3−2 3 − 3 289 27 80 = 3−3 + − 23 = − 27 = 24 − − − 22 √ √ 3−2−2 √ 1+2 = √ = 22 − √ − = √ 1√ b + b3 a √ a+ 6b a−b a+b √ √ d) √ − √ 3 a− b a+ 3b √ √ √ a+b 3 √ f) √ − ab : a − b 3 a+ b b) a3 √ h) a+ b2 a2 1 a2 − b2 a2 − 23 + b2 1 a2 − b2 Nguyễn Minh Hiếu Lời giải a) b) c) d) √ a2 e) 5 1 xy x + y x y + xy x.x y + xy.y √ = = xy = √ 1 1 x+ 4y x4 + y4 x4 + y4 1 1 1√ 1√ 1 1 1 1 1 a3 b3 b6 + a6 √ 1 a3 b + b3 a a3 b2 + b3 a2 a3 b3 b6 + b3 a3 a6 √ = = = = a b = ab √ 1 1 1 6 a+ b a6 + b6 a6 + b6 a6 + b6 √ √ √ √ √ √ √ 4 √ √ √ √ 4 4 a− b a+ b a a+ 4b √ √ √ √ a− b a + ab 4 √ √ √ √ − √ = − = a + b − a = b √ √ √ 4 4 4 4 a− b a+ b a− b a+ b √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 3 3 3 a− 3b a2 + ab + b2 a+ 3b a2 − ab + b2 √ a−b a+b √ √ √ √ − = − = ab √ √ √ √ 3 3 3 3 a− b a+ b a− b a+ b √ a2 −1 √ +a √ + a3 √ a √ −1 a √ +1 a √ a √ + + a2 √ + a a −1 +a +1  √  √ √ √ √ 3 − ab + b2 a + b a √ √ √ √ √ √ a+b 3 3 √ √ − ab : a − b =  − ab : a − b f) √ √ 3 3 a+ b a+ b √ √ √ √ √ √ √ ( a − 1) ( a + 1) a ( a + 1) √ a−1 a+ 4a √ √ g) a + = √ a + = a √ a+1 a ( a + 1) a+1 a4 + a2 2 √ √ − 32 √ 1 3 a2 − b2 b2 b2 a + b3 a (a − b) √ √ = = (a − b) h) a + + √ 1 3 a a2 a2 a2 − b2 a + b √ a4 √ −a = √ √ √ a2 3 Bài tập Hãy so sánh cặp số sau √ 5.3 √ a) 10 20 c) 3600 5400 √ =a = √ √ b) √ 13 23 √ √ √ d) + 15 10 + 28 Lời giải √ √ √ √ √ √ 10 > 3√8 = 20 < 32√= Do 10√> 20 a) Ta có: √ √ √ b) Ta có: 13 = 20 371293 23 = 20 279841 Do 13 > 23 600 c) Ta có: 3√ =√27200 5400√= 25200 Do√đó 3600 > 5400 √ √ √ √ √ √ √ √ 3 d) Ta có: + 15 < + 16 = 10 + 28 > + 27 = Do đó: + 15 < 10 + 28 Bài tập 5.4 Tính A = Lời giải Ta có: A = √ a + b + c + ab + bc + √ a+c+ √ b + √ √ a + b + c − ab + bc, a+c− √ b (a, b, c > 0, a + c > b) √ = a + c §2 Lơgarit Bài tập 5.5 √ Tính a) log3 d) log 45 − log √ g) ln e−1 + ln e2 e b) 2log27 log 1000 e) 3log2 log4 16 + log 12 h) log 72 − log 27 256 + log √ 108 c) log25 8.log8 f) log2 48 − 31 log2 27 √ i) log 0, 375 − log 0, 5625 Lời giải √ a) log3 = log3 b) 2log27 log 1000 = 2log33 log 103 = 23 log3 = 23 c) log25 8.log8 = log52 8.log8 = 12 log5 8.log8 = 12 d) log 45 − log = log 45 − log = log 45 = log e) 3log2 log4 16 + log 12 = 3log2 log4 42 + log2−1 = 3log2 − log2 = f) log2 48 − 13 log2 27 = log2 48 − log2 = log2 48 = log2 16 = √ −1 g) ln e + ln e e = −5 ln e + ln e = −5 + 10 ln e = √ 27 h) log 72 − log 256 + log 108 = log (8.9) − (log 27 − log 256) + 12 log(4.27) = 20 log − √ i) log 0, 375 − log 0, 5625 = log 83 − log 18 = log 23 Bài tập 5.6 Đơn giản biểu thức √ log2 + log2 10 a) log2 20 + log2 b) log2 24 − 12 log2 72 log3 18 − 13 log3 72 c) log7 + log log5 log http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit d) loga √ √ a2 a a4 √ a 5 e) log5 log5 √ f) 92log3 4+4log81 n dấu 1 i) 72 49 log7 9−log7 + 5−log h) 81 − log9 + 25log125 49log7 g) 161+log4 + log2 3+3log5 Lời giải √ √ log2 10 log 160 log2 + log2 10 a) = = 2 = log2 20 + log2 log2 160 log2 160 log2 (8.3) − 12 log2 (8.9) log2 24 − 21 log2 72 = = 24 = b) 1 log3 18 − log3 72 log3 (2.9) − log3 (9.8) c) log7 + log = log 7.log7 + log 7.log7 = log + log = log5 √ √ 47 173 a 15 173 a2 a a4 √ = loga = loga a 60 = d) loga 60 a a4 e) log5 log5 √ 1 = log5 log5 5n = log5 n = −n n dấu f) 92log3 4+4log81 = 9log3 16+log3 = 9log3 32 = 3log3 32 1+log4 g) 16 +4 log2 3+3log5 = 16.16 log4 81 h) 81 − log9 + 25log125 49log7 = i) 72 49 log7 9−log7 + 5−log √ 54 +2 log2 log9 = 1024 = 16 4log4 + 25log5 = 72 + 3.64 = 448 7log7 81 7log7 + log 16 = 72 log7 5 49 Bài tập 5.7 So sánh cặp số sau: a) log3 65 log3 56 d) log5 log0,3 2 = + 4 = 19 + 36 16 b) log 21 e log 12 π = 45 c) log2 10 log5 30 f) log3 10 log8 57 e) log3 log7 Lời giải 6 > > nên log3 > log3 6 b) Vì e < π < nên log 12 e > log 12 π c) Ta có: log2 10 > log2 = log5 30 < log5 125 = Do log2 > log5 30 d) Ta có: log5 > log5 = log0.3 < log0.3 = Do log5 > log0.3 e) Ta có: log3 > log3 = log7 < log7 = Do log3 > log7 f) Ta có: log3 10 > log3 = log8 57 < log8 64 = Do log3 10 > log8 57 a) Vì Bài tập 5.8 Tính log4 1250 theo a, biết a = log2 Lời giải Ta có: log4 1250 = 21 log2 2.54 = (1 + 4log2 5) = (1 + 4a) Bài tập 5.9 Tính log54 168 theo a, b, biết a = log7 12, b = log12 24 log7 168 log7 (3.7.23 ) log7 + + 3log7 = = log7 54 log7 + 3log7 log7 (2.3 ) a = log7 12 a = log7 (22 3) a = 2log7 + log7 Lại có: ⇔ ⇔ ⇔ ab = log7 24 ab = log7 (23 3) ab = 3log7 + log7 ab + 3a − 2ab + + 3(ab − a) = Từ ta có: log54 168 = ab − a + 3(3a − 2ab) a(8 − 5b) Lời giải Ta có: log54 168 = log7 = ab − a log7 = 3a − 2ab Bài tập 5.10 Tính log140 63 theo a, b, c, biết a = log2 3, b = log3 5, c = log7 log2 63 log2 (9.7) 2log2 + log2 2log2 + log2 = = = log2 140 log2 (4.5.7) + log2 + log2 + log2 3.log3 + log2 2a + 1c 2ac + Theo giả thiết a = log2 3, b = log3 5, c = log7 2, đó: log140 63 = = 2c + abc + + ab + c Lời giải Ta có: log140 63 = Bài tập 5.11 Tính log √ 25 135 theo a, b, biết a = log4 75, b = log8 45 http://mathqb.eazy.vn √ Nguyễn Minh Hiếu log 135 log (27.5) 3log2 + log2 log5 135 = = = 2 log2 log2 log2 a = log4 75 a = 21 log2 (3.25) a = 21 log2 + log2 log2 = 2b − 32 a Lại có: ⇔ ⇔ ⇔ 1 b = log8 45 b = log2 (9.5) b = log2 + log2 log2 = 43 a − b 15b − 2a 3 2b − a + a − b Do đó: log √ = 25 135 = 2 4a − 3b 3a − b Lời giải Ta có: log √ 25 135 = Bài tập 5.12 Chứng minh ab + (a − b) = 1, biết a = log12 18, b = log24 54 + 2log2 2a − log2 18 = ⇒ log2 = log2 12 + log2 2−a log2 54 + 3log2 3a − Và b = log24 54 = = ⇒ log2 = log2 24 + log2 3−a 2a − 3b − Do đó: = ⇔ (2a − 1) (3 − b) = (2 − a) (3b − 1) ⇔ ab + (a − b) = (đpcm) 2−a 3−b Lời giải Ta có: a = log12 18 = 1 Bài tập 5.13 Cho y = 10 1−log x , z = 10 1−log y Chứng minh x = 10 1−log z 1 log z − ⇔ log y = − = − log y log z log z 1 log z ⇔ log y = ⇔ log x = − = 1− = ⇔ x = 10 1−log z (đpcm) − log x log y log z − 1 − log z Lời giải Ta có: z = 10 1−log y ⇔ log z = Lại có: y = 10 1−log x Bài tập 5.14 Cho a, b, c > Chứng minh (abc) a+b+c ≤ aa bb cc Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a+b+c (ln a + ln b + ln c) ≤ a ln a + b ln b + c ln c ⇔ 3(a ln a + b ln b + c ln c) ≥ a ln a + a ln b + a ln c + b ln a + b ln b + b ln c + c ln a + c ln b + c ln c ln (abc) a+b+c ≤ ln aa bb cc ⇔ ⇔ (a ln a + b ln b − a ln b − b ln a) + (b ln b + c ln c − b ln c − c ln b) + (c ln c + a ln a − c ln a − a ln c) ≥ ⇔ (a − b)(ln a − ln b) + (b − c)(ln b − ln c) + (c − a)(ln c − ln a) ≥ Xét hàm số y = ln x đồng biến (0; +∞) nên với x, y > ta có: (x − y)(ln x − ln y) ≥ Từ ta có bất đảng thức cần chứng minh §3 Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit Bài tập 5.15 Tìm tập xác định hàm số sau −2 a) y = x2 − b) y = − x2 d) y = log2 (5 − 2x) e) y = log3 x2 − 2x c) y = x2 − x − f) y = log0,4 3x+2 1−x Lời giải √ a) D = R\ ± d) D = −∞; 52 c) D = (−1; 2) f) D = − 23 ; √ √ b) D = − 2; e) D = (−∞; 0) ∪ (2; +∞) Bài tập 5.16 Tính đạo √hàm hàm số sau b) y = 3x2 − ln x + sin x a) y = 3x2 − 4x + x e e) y = ln 1+e x ln x+1 h) y = ln x−5 d) y = log x2 + x + π g) y = e4x + − ln x Lời giải √ a) y = (6x − 4) 3x2 − 4x + b) y = 6x − x1 + cos x c) y = 2ex + 2xex + cos 2x 2x + d) y = (x + x + 1) ln 10 e) y = x − ln (1 + ex ) ⇒ y = − 2x x e +2 − 2 π−1 g) y = π 4e4x − x1 f) y = √ 2−1 √ c) y = 2xex + sin 2x f) y = x2 − 41 e2x i) y = ln 2ex + ln x2 + 3x + ex = + ex + ex e2x = xe2x http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit x (4 ln x − 5) − x (2 ln x + 1) =− 14 x(4 ln x − 5) 2ex x2 + 3x + + 2x + i) y = x = − 2e + ln (x2 + 3x + 5) (x2 + 3x + 5) (2ex + ln (x2 + 3x + 5)) h) y = (4 ln x − 5) 2ex + x22x+3 +3x+5 Bài tập 5.17 Tìm giá trị lớn a) y = x − e2x [0; 1] d) y = ln + 2x − x2 [0; 2] g) y = x2 e−x [0; ln 8] giá trị nhỏ hàm số sau b) y = e2x − 2ex [−1; 2] e) y = ln − 3x2 − x4 h) y = x2 ln x [1; e] c) y = (x + 1) ex [−1; 2] f) y = x2 − ln (1 − 2x) [−2; 0] i) y = 5x + 51−x [0; log5 8] Lời giải a) Ta có: y = − 2ex ; y = ⇔ x = ln 21 (loại) Lại có: y(0) = −1; y(1) = − e2 Vậy max y = y(0) = −1; y = y(1) = − e2 [0;1] [0;1] b) Ta có: y = 2e2x − 2ex ; y = ⇔ x = (thảo mãn) Lại có: y(−1) = e−2 − 2e−1 ; y(2) = e4 − 2e2 ; y(0) = −1 Vậy max y = y(2) = e4 − 2e2 ; y = y(0) = −1 [−1;2] [−1;2] c) Ta có: y = (x + 2)ex ; y = ⇔ x = −2 (loại) Lại có: y(−1) = 0; y(2) = 3e2 Vậy max y = y(2) = 3e2 ; y = y(−1) = [−1;2] [−1;2] − 2x ; y = ⇔ x = (thảo mãn) d) Ta có: y = + 2x − x2 Lại có: y(0) = ln 2; y(2) = ln 3; y(1) = ln Vậy max y = y(1) = ln 4; y = y(0) = y(2) = ln [0;2] [0;2] −6x − 4x3 e) Tập xác định: D = (−1; 1) Ta có: y = ; y = ⇔ x = (thỏa mãn) − 3x2 − x4 Vậy ta có max y = y(0) = ln 4; hàm số khơng có giá trị nhỏ D x = 1(loại) ; y =0⇔ x = − 12 − 2x 1 Lại có: y(−2) = − ln 5; y(0) = 0; y − = − ln Vậy max y = y(−2) = − ln 5; y = y(0) = f) Ta có: y = 2x + [−2;0] [−2;0] x=0 g) Ta có: y = 2xe−x − x2 e−x ; y = ⇔ (thỏa mãn) x=2 Lại có: y(0) = 0; y(ln 8) = − ln8 ; y(2) = 4e−2 Vậy max y = y(2) = 4e−2 ; y = y(ln 8) = − ln8 [0;ln 8] h) Ta có: y = 2x ln x + x; y = ⇔ x=0 x = √1e [0;ln 8] (loại) Lại có: y(1) = 0; y(e) = e2 Vậy max y = y(e) = e2 ; y = y(1) = [1;e] [1;e] i) Ta có: y = 5x ln − 51−x ln 5; y = ⇔ x = 12 (thỏa mãn) √ Lại có: y(0) = 6; y (log5 8) = 69 ; y = Vậy max y = y (log5 8) = [0;log5 8] 69 y ; [0;log 8] =y √ = 5 §4 Phương Trình & Bất Phương Trình Mũ Bài tập 5.18 Giải phương trình sau a) 22x−1 = c) 2x −x+8 = 41−3x e) 32x−1 + 32x = 108 √ x+1 √ 2x+8 g) + 2 = 3−2 b) 2x −x = d) 3x 2x+1 = 72 f) 2x + 2x+1 + 2x+2 = 3x + 3x−1 + 3x−2 √ x2 −3x+2 √ 1−x2 h) − − + = Lời giải a) 22x−1 = ⇔ 2x − = log2 ⇔ x = 12 + 12 log2 x=2 b) 2x −x = ⇔ x2 − x = ⇔ x = −1 c) 2x −x+8 = 41−3x ⇔ 2x −x+8 = 22−6x ⇔ x2 − x + = − 6x ⇔ x2 + 5x + = ⇔ x = −2 x = −3 d) 3x 2x+1 = 72 ⇔ 3x 2x = 72 ⇔ 6x = 36 ⇔ x = e) 32x−1 + 32x = 108 ⇔ 32x 13 + 32x = 108 ⇔ 43 32x = 108 ⇔ 32x = 81 ⇔ x = 2 x 13 x f) Phương trình tương đương 2x + 2.2x + 4.2x = 3x + 13 3x + 19 3x ⇔ 7.2x = 13 = 13 ⇔ 63 ⇔ x = log 63 √ x+1 √ 2x+8 √ x+1 √ −2x−8 g) + 2 = 3−2 ⇔ 3+2 = 3+2 ⇔ x + = −2x − ⇔ x = −3 √ x2 −3x+2 √ x22−1 x=1 h) Phương trình tương đương − = 5−2 ⇔ x2 − 3x + = x 2−1 ⇔ x=5 http://mathqb.eazy.vn Nguyễn Minh Hiếu Bài tập 5.19 Giải bất phương trình sau a) 2−x +3x < x+2 c) − 2x+3 − 2x+4 > 5x+1 − 5x+2 b) 3x+2 + 3x−1 ≤ 28 d) 2x + 2x+1 + 2x+2 < 3x + 3x−1 + 3x−2 x−1 √ √ x−1 5+2 ≥ − x+1 f) 2 h) 2x 7x +1 < 7.142x −4x+3 e) x2x−1 < xx x+5 x+17 g) 32 x−1 > 0, 25.128 x−3 Lời giải a) 2−x +3x < ⇔ −x2 + 3x < ⇔ < x < x b) 3x+2 + 3x−1 ≤ 28 ⇔ 9.3x + 31 3x ≤ 28 ⇔ 28 3 ≤ 28 ⇔ x ≤ x x+2 x+3 x+4 x+1 x+2 x x c) −2 −2 >5 −5 ⇔ 4.2 −8.2 −16.2x > 5.5x −25.5x ⇔ −20.2x > −20.5x ⇔ 52 < ⇔ x > x 13 1 13 13 d) Bất PT tương đương 2x + 2.2x + 4.2x < 3x + 3x + 3x ⇔ 7.2x < 3x ⇔ < 63 ⇔ x > log 23 63 e) Điều kiện x > 0; x = Khi x2x−1 < xx ⇔ (x − 1) 2x − − x2 < ⇔ x − > ⇔ x > 1−x √ √ x−1 −2 ≤ x < −1 x2 +x−2 5+2 ≥ + x+1 ⇔ x − ≥ 1−x ≥0⇔ f) Bất PT tương đương x+1 ⇔ x+1 x≥1 5x+125 5x+25 x < 11 5x+125 −110x+50 g) Bất PT tương đương x−1 > x−3 ⇔ 5x+25 x−1 > x−3 ⇔ (x−1)(x−3) > ⇔ 1 c) 5x + 51−x > b) 32.4x√ + < 18.2x √ x d) + + − x > Lời giải 2x > x>1 ⇔ 2x < x ⇔ 5x > x>1 > ⇔ 52x − 6.5x + > ⇔ ⇔ 5x < x + √3 x>1 d) BPT ⇔ + − + + > ⇔ ⇔ x x < −1 2+ ⇔ 5x + 5x Bài tập 5.22 phương √ Giải √ x trình sau x a) − + + = 10 √ x √ x c) + + − = 6.2x √ x √ x e) + − − + = √ √ x x 2−1 + + − 2 = √ x √ x d) 5+2 + − = 10 √ x √ x √ x f) 26 + 15 + + − 2 − = b) (B-07) √ http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit Lời giải √ a) PT ⇔ − b) PT ⇔ c) PT ⇔ d) PT ⇔ e) PT ⇔ f) PT ⇔ √ 2−1 √ 7+3 2x √ − 10 − √ √ − 2 − 2x √ 7−3 x x √ x √ − 2√6 = + 2√6 x = −1 ⇔ x x=1 5−2 =5−2 √ √ x √2 − x = √2 + ⇔ x = −1 x=1 2−1 = 2−1 +1=0⇔ +1=0⇔ √ 7+3 √ 7+3 √ x = log2 7+32√5 + =6⇔ − +5=0⇔ x = log3 7+32  √ x √ 5+2 =5+2 √ 2x √ x x=2 5+2 5+2 +1=0⇔ − 10 √ x √ ⇔ x = −2 5+2 =5−2 √ x √ x √ 3x √ x √ x 7+4 −3 2− +2=0⇔ 2+ + 2 + − = ⇔ + = ⇔ x = √ 3x √ x √ 4x √ x √ 3x +2 2+ − 2+ −2=0⇔ 2+ +2 − = ⇔ x = 2+ 2+ x x 2x Bài tập 5.23 Giải phương trình sau a) 3.4x√− 2.6x = 9x √ 2 c) 4x+ x −2 − 5.2x−1+ x −2 − = x x x e) 27 + 12 = 2.8 x+1 b) 2.16x+1 + = 5.36x+1 √ 3.81 x x d) 5.2 = 10 − 2.5x f) (A-06) 3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = Lời giải 2x a) 3.4x − 2.6x = 9x ⇔ − 2 x x x −1=0⇔ 16 x+1 81 b) 2.16x+1 + 3.81x+1 = 5.36x+1 ⇔ x − x+1 =1 ⇔ x = = − 31 (vô nghiệm) x+1 x+1 +3=0⇔ =1 = 32 ⇔ x = −1 x = − 23 c) Ta có phương trình tương đương √ 4x+ x2 −2 √ √ − 2x+ x −2 − = ⇔ 2 2x+√x −2 = 2x+ x −2 = − 32 x2 − = ⇔x+ x≤2 ⇔x= 2 x − = x − 4x +  x x =1 x=0 ⇔ +2=0⇔ x x=2 2 = 5 ⇔ √ d) 5.2x = 10x − 2.5x ⇔ e) 27x + 12x = 2.8x ⇔ 3x 2 x + − x 2 −2=0⇔ f) 3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = ⇔ 3x + x = ⇔ x = x 2x − 32 − = Bài tập 5.24 Giải bất phương trình sau a) 27x + 12x < 2.8x 1 c) x − 13.6 x −1 + x < x 4−5 e) 52x −5 x+1 +6 ≤ Lời giải a) 27x + 12x < 2.8x ⇔ 3x 2 b) PT ⇔ 25 25 2x−x 1 + x 2 −2 3x − x f) 52x+14−7.5 −12.5x +4 ≤ − 34 x x 0⇔ +9≥0⇔ x < ⇔ x < 2x−x 2x−x ≥1 ≤ 25 ⇔  ≤ x ≤√ 2x − x ≥  x ≥ + ⇔ √3 2x − x2 ≤ −2 x≤1− x>1 ⇔ −1 < x < ⇔ x < −1 x c) x − 13.6 x −1 + x < ⇔ 94 x − 13 + < ⇔ 32 < 32 x < 32   x − 18.3 + 81 x > log3 15 √  x ≤ −3 − x x 2x √ 4−5 −5 − 6.5 − 5x < x < log5 x  e) 2x ≤ ⇔ ≤ ⇔ ⇔ −3 + ≤ < ⇔ x x x+1 2x > x > log5 −5 +6 − 5.5 + x >3  x ≤ − 12 x 2x x − 7.5 −10.5 + 3.5 + log5 52 < x < log5 54 x  < ≤ f) 2x+1 ≤ ⇔ ≤ ⇔ ⇔ 5 x > log5 − 12.5x + 5.52x − 12.5x + 5x > http://mathqb.eazy.vn Nguyễn Minh Hiếu Bài tập 5.25 Giải phương trình sau a) 12 + 6x = 4.3x + 3.2x 2 c) 2x −5x+6 + 21−x = 2.26−5x + 2 e) 4x +x + 21−x = 2(x+1) + b) 52x+1 + 7x+1 − 175x − 35 = 2 d) (D-06) 2x +x − 4.2x −x − 22x + = f) x2 2x−1 + 2|x−3|+6 = x2 2|x−3|+4 + 2x+1 Lời giải 3x = x=1 ⇔ 2x = x=2 x = log7 7x = b) PT ⇔ 52x (5 − 7x ) + (7x − 5) = ⇔ (7x − 5) − 52x = ⇔ ⇔ 52x = x = 12 log5 x = ±1 2 2 c) PT ⇔ 2x −5x+6 − 21−x + 21−x − = ⇔ − 21−x 2x −5x+6 − = ⇔  x = x=3 x2 −x 2 x=0 =1 d) PT ⇔ 22x 2x −x − − 2x −x − = ⇔ 2x −x − 22x − = ⇔ ⇔ x=1 22x = a) PT ⇔ (3 − 3x ) + 2x (3x − 3) = ⇔ (3x − 3) (2x − 4) = ⇔ e) PT ⇔ 4x +x − 21−x 2 + 21−x − = ⇔ − 21−x 4x +x f) PT ⇔ x2 2x−1 − 2|x−3|+4 + 2|x−3|+4 − 2x−1 = ⇔ 2x−1 − 2|x−3|+4 Bài tập 5.26 Giải bất phương trình sau a) 12 + 6x > 4.3x + 3.2x c) 52x+1 + 6x+1 > 30 + 5x 30x 21−x = x = ±1 ⇔ x=0 4x +x = x = ±2 x2 − = ⇔ x=4 −1 =0⇔ 2 b) 4x +x + 2√1−x ≥ 2(x+1) + √ d) 52x−10−3 x−2 − 4.5x−5 < 51+3 x−2 Lời giải 3x − > 2x − > 3x − < 2x − ⇔ (3x − 3) (2x − 4) > ⇔   b) BPT ⇔ 4x +x − 21−x 2 +21−x −1 ≥ ⇔ − 21−x   x2 +x −1 ≥0⇔     c) BPT ⇔ 52x (5 − 6x ) + (6x − 5) > ⇔ (5 − 6x ) 52x − > ⇔   6x < 52x > 6x > 52x < x>2 x x −  x 0, phương trình trở thành t2 + (2x − 17) t + x2 − 17x + 66 = (∗) Ta có: ∆ = (2x − 17) − x2 − 17x + 66 = 25 Do phương trình (∗) có hai nghiệm t = 11 − x t=6−x Với t = 11 − x ⇒ 2x = 11 − x ⇔ x = 3; với t = − x ⇒ 2x = − x ⇔ x = Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = x = b) Đặt 3x = t, t > 0, phương trình trở thành t2 + (x − 2) t + 2x − = (∗) t = −1(loại) t = − 2x Với t = − 2x ⇒ 3x = − 2x ⇔ x = Vậy phương trình cho nghiệm x = c) Đặt 3x = t, t > 0, phương trình trở thành t2 + x2 − t − 2x2 + = (∗) t=2 Ta có: ∆ = x2 − − −2x2 + = (x2 + 1)2 Do phương trình (∗) có hai nghiệm t = − x2 2 Với t = ⇒ 3x = ⇔ x = ± log3 2; với t = − x2 ⇒ 3x = − x2 ⇔ x = Vậy phương trình cho có ba nghiệm x = x = ± log3 d) Đặt 3x = t, t > 0, phương trình trở thành t2 − (2x + 9) t + 9.2x = (∗) t=9 2 Ta có: ∆ = (2x + 9) − 36.2x = (2x − 9) Do phương trình (∗) có hai nghiệm t = 2x Với t = ⇒ 3x = ⇔ x = 2; với t = 2x ⇒ 3x = 2x ⇔ x = Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = x = Ta có: ∆ = (x − 2) − (2x − 5) = (x − 3)2 Do phương trình (∗) có hai nghiệm Bài tập 5.29 √ Giải phương trình sau a) 22x − 2x +√6 = c) 27x + = 3 3x+1 − √ b) 32x + 3x + = d) 7x−1 = 6log7 (6x − 5) + Lời giải √ 22x − u = (1) x u −2 =6 (2) Trừ theo vế (1) (2) ta có: 22x − u2 − u + 2x = ⇔ (2x − u) (2x + u + 1) = ⇔ u = 2x √ 2x = Với u = 2x ⇒ 2x + = 2x ⇔ 4x − 2x − = ⇔ ⇔ x = log2 2x = −2(loại) Vậy phương trình có nghiệm x = log2 √ 32x + u = (1) b) Đặt u = 3x + 7, u > 0, phương trình cho trở thành x u −3 =7 (2) Trừ theo vế (1) (2) ta có: 32x − u2 + u + 2x = ⇔ (3x + u) (3x − u + 1) = ⇔ u = 3x + √ 3x = Với u = 3x + ⇒ 3x + = 3x + ⇔ 9x + 3x − = ⇔ ⇔ x = log3 3x = −3(loại) Vậy phương trình có nghiệm x = log3 √ 33x + = 3u (1) c) Đặt u = 3.3x − 2, u > 0, phương trình cho trở thành x u + = 3.3 (2) Trừ theo vế (1) (2) ta có: 33x − u3 = 3u − 3.3x ⇔ (3x − u) 32 x + 3x u + u2 + = ⇔ u = 3x √ 3x = Với u = 3x ⇒ 3.3x − = 3x ⇔ 27x − 3.3x + = ⇔ ⇔ x = 3x = −2(loại) a) Đặt u = 2x + 6, u > 0, phương trình cho trở thành http://mathqb.eazy.vn Nguyễn Minh Hiếu Vậy phương trình có nghiệm x = 7x−1 = 6u − (1) 7u−1 = 6x − (2) Trừ theo vế (1) (2) ta có: 7x−1 − 7u−1 = 6u − 6x ⇔ 7x−1 + 6x = 7u−1 + 6u (∗) Xét hàm số f (t) = 7t−1 + 6t R có f (t) = 7t−1 ln + > 0, ∀t ∈ R nên đồng biến R Do (∗) ⇔ f (x) = f (u) ⇔ x = u ⇒ 7x−1 = 6x − ⇔ 7x−1 − 6x + = Xét g(x) = 7x−1 − 6x + có g (x) = 7x−1 ln − 6; g (x) = ⇔ x = + log7 ln67 Vì g (x) có nghiệm nên g(x) có tối đa hai nghiệm Nhận thấy g(1) = g(2) = 0, phương trình có hai nghiệm x = x = d) Đặt u − = log7 (6x − 5), phương trình trở thành Bài tập 5.30 Giải phương trình sau a) 2x = 3x x−1 c) 5x x = 500 b) 2x −4 = 3x−2 x d) x+2 = 4.34−x Lời giải a) 2x = 3x ⇔ x2 = xlog2 ⇔ x (x − log2 3) = ⇔ x=0 x = log2 x=2 x = −2 + log2 x−1 x−3 x=3 c) 5x x = 500 ⇔ 5x−3 x = ⇔ x − + x−3 x log5 = ⇔ (x − 3) (x − log5 2) = ⇔ x = log5 x−4 x x=4 d) x+2 = 4.34−x ⇔ x+2 = 34−x ⇔ x−4 x+2 log3 = − x ⇔ (x − 4) (log3 + x + 2) = ⇔ x = −2 − log3 b) 2x −4 = 3x−2 ⇔ x2 − = (x − 2) log2 ⇔ (x − 2) (x + − log2 3) = ⇔ Bài tập 5.31 Giải phương trình sau a) 3x = cos 2x 2 c) 2x−1 − 2x −x = (x − 1) b) 2|x| = sin x d) 22x+1 + 23−2x = log3 (4x2 −4x+4) Lời giải 2 3x ≥ 3x = Do phương trình tương đương với ⇔ x = cos 2x ≤ cos 2x = 2|x| ≥ 2|x| = b) Ta có Do phương trình tương đương với (vô nghiệm) sin x ≤ sin x = 2 c) Ta có: (x − 1)2 ≥ ⇒ x2 − x ≥ x − ⇒ 2x −x ≥ 2x−1 ⇒ 2x−1 − 2x −x ≤ 2x−1 − 2x −x = Do phương trình tương đương với ⇔ x = (x − 1)2 = √ d) Theo bất đẳng thức AM − GM ta có: 22x+1 + 23−2x ≥ 22x+1 23−2x = Lại có: 4x2 − 4x + = (2x − 1)2 + ≥ ⇒ log3 (4x4 − 4x + 4) ≥ ⇒ log (4x48−4x+4) ≤ 22x+1 + 23−2x = Do phương trình tương đương với ⇔ x = 12 log (4x4 −4x+4) = a) Ta có §5 Phương Trình & Bất Phương Trình Lơgarit Bài tập 5.32 Giải phương trình sau a) log3 (x − 2) = c) log2 x2 − = log 21 (x − 1) e) log2 x2 + = log2 x + log2 g) log3 x + log4 x = log5 x b) log3 (5x + 3) = log3 (7x + 5) d) log2 x + log2 (x − 2) = f) log3 (x + 2) + log3 (x − 2) = log3 h) log2 x + log3 x + log4 x = log20 x Lời giải a) log3 (x − 2) = ⇔ x − = ⇔ x = 11 b) Điều kiện: x > − 35 Khi log3 (5x + 3) = log3 (7x + 5) ⇔ 5x + = 7x + ⇔ x = −1 (loại) c) Điều kiện: x > Khi ta có phương trình tương đương:  x = 0(loại) √  log2 x2 − + log2 (x − 1) = ⇔ log2 x2 − (x − 1) = ⇔ x3 − x2 − x = ⇔  x = 1+2√5 x = 1−2 (loại) Vậy phương trình có nghiệm x = √ 1+ 10 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit d) Điều kiện: x > Khi ta có phương trình tương đương: log2 [x (x − 2)] = ⇔ x2 − 2x − = ⇔ x=4 x = −2(loại) Vậy phương trình có nghiệm x = e) Điều kiện: x > Khi ta có phương trình tương đương: log2 x2 + = log2 (6x) ⇔ x2 − 6x + = ⇔ x=4 (thỏa mãn) x=2 f) Điều kiện: x > Khi ta có phương trình tương đương: log3 x2 − = log3 ⇔ x2 = ⇔ x=3 x = −3(loại) Vậy phương trình có nghiệm x = g) PT ⇔ log3 5.log5 x + log4 5.log5 x = log5 x ⇔ log5 x (log3 + log4 − 1) = ⇔ log5 x = ⇔ x = h) PT ⇔ log20 x (log2 20 + log3 20 + log4 20 − 1) = ⇔ log20 x = ⇔ x = Bài tập 5.33 Giải bất phương trình sau a) log8 (4 − 2x) ≥ c) log 51 (3x − 5) > log 15 (x + 1) b) log3 x2 + + log 31 (x + 2) < d) log2 (x + 3) < log4 (2x + 9) Lời giải a) log8 (4 − 2x) ≥ ⇔ − 2x ≥ 64 ⇔ x ≤ −30 b) log3 x2 + < log3 (x + 2) ⇔ x2 + < x + ⇔ < x < c) Điều kiện: x > 53 Khi ta có bất phương trình tương đương: 3x − < x + ⇔ x < Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm: S = 35 ; d) Điều kiện: x > −3 Khi ta có bất phương trình tương đương: log2 (x + 3) < log (2x + 9) ⇔ log2 (x + 3) < log2 (2x + 9) ⇔ x2 + 4x < ⇔ −4 < x < 2 Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm: S = (−3; 0) Bài tập 5.34 Giải phương trình sau a) log2 x2 + 3x + + log2 x2 + 7x + 12 = log2 24 c) 21 log√2 (x + 3) + 14 log4 (x − 1) = log2 4x √ e) log√2 x + − log 12 (3 − x) − log8 (x − 1) = √ √ g) log2 − x2 + log 12 + x + − x − = b) log x3 + = log (x + 58) + 21 log x2 + 4x + 3 d) 32 log 14 (x + 2) − = log 41 (4 − x) + log 41 (x + 6) f) log 21 (x − 1) + log 21 (x + 1) − log √1 (7 − x) = h) log2 (4x + 15.2x + 27) + 2log2 4.2x1−3 = Lời giải  x > −1 a) Điều kiện:  −3 < x < −2 Khi ta có phương trình tương đương: x < −4 x2 + 3x + x2 + 7x + 12 = 24 ⇔ x4 + 10x3 + 35x2 + 50x = ⇔ x=0 (thỏa mãn) x = −5 b) Điều kiện: x > −2 Khi ta có phương trình tương đương:  x=9 log x3 + = log [(x + 58) (x + 2)] ⇔ x3 + = x2 + 60x + 116 ⇔  x = −2(loại) x = −6(loại) Vậy phương trình có nghiệm x = c) Điều kiện: x > 0; x = Khi ta có phương trình tương đương: log2 (x + 3) + log2 |x − 1| = log2 4x ⇔ (x + 3) |x − 1| = 4x (∗) x = −1(loại) x=3 √ x = −3 + 2√3 Với < x < 1, ta có: (∗) ⇔ (x + 3)(−x + 1) = 4x ⇔ −x2 − 6x + = ⇔ x = −3 − 3(loại) Với x > 1, ta có: (∗) ⇔ (x + 3)(x − 1) = 4x ⇔ x2 − 2x − = ⇔ http://mathqb.eazy.vn 11 Nguyễn Minh Hiếu √ Vậy phương trình có nghiệm: x = x = −3 + d) Điều kiện: −6 < x < 4; x = −2 Khi ta có phương trình tương đương: log 41 |x + 2| + log 14 = log 14 (4 − x) + log 14 (x + 6) ⇔ |x + 2| = (4 − x)(x + 6) (∗) x=2 x = −8(loại) √ x = − √33 Với −6 < x < −2, ta có: (∗) ⇔ 4(−x − 2) = (4 − x)(x + 6) ⇔ x2 − 2x − 32 = ⇔ x = + 33(loại) √ Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = − 33 e) Điều kiện: < x < Khi ta có phương trình tương đương: Với −2 < x < 4, ta có: (∗) ⇔ 4(x + 2) = (4 − x)(x + 6) ⇔ x2 + 6x − 16 = ⇔ x= x= log2 (x + 1) + log2 (3 − x) = log2 (x − 1) ⇔ (x + 1)(3 − x) = x − ⇔ x − x − = ⇔ √ 1+ 17 √ 1− 17 (loại) √ Vậy phương trình có nghiệm x = 1+2 17 f) Điều kiện: < x < Khi ta có phương trình tương đương: 2 log 12 x2 − = log 12 (7 − x) + log 12 ⇔ x2 − = 2(7 − x) ⇔ x2 − 28x + 99 = ⇔ √ x = 14 + √97(loại) x = 14 − 97 √ Vậy phương trình có nghiệm x = 14 − 97 g) Điều kiện: −1 ≤ x ≤ Khi ta có phương trình tương đương: √ √ √ √ log2 − x2 = log2 + x + − x + log2 ⇔ − x2 = + x + − x (∗) Đặt √ 1+x+ √ − x = t, t ∈ √ 2; ⇒ − x2 = t4 −4t2 +4 Phương trình (∗) trở thành: t4 − 4t2 + = 4t ⇔ t4 − 4t2 − 16t + 32 = ⇔ (t − 2)(t3 + 2t − 16) = ⇔ √ √ Xét f (t) = t3 + 2t − 16 2; có f (t) = 3t2 + > 0, ∀t ∈ 2; √ Suy f (t) đồng biến 2; ⇒ f (t) ≤ f (2) = −4 ⇒ (∗∗) vô nghiệm √ √ √ √ Với t = ⇒ + x + − x = ⇔ + − x2 = ⇔ − x2 = ⇔ x = h) Điều kiện: 2x > 34 Khi ta có phương trình tương đương: 7+ log2 (4x + 15.2x + 27) = log2 (4.2x − 3) ⇔ 15.4x − 39.2x − 18 = ⇔ t=2 t3 + 2t − 16 = (∗∗) 2x = ⇔ x = log2 2x = − 52 (loại) Bài tập 5.35 √ Giải phương trình √ sau a) log2 x − x2 − + 3log2 x + x2 − = b) (A-08) log2x−1 2x2 + x − +logx+1 (2x − 1) = √ √ √ c) log2 x − x2 − log3 x + x2 − = log6 x − x2 − Lời giải a) Ta có phương trình tương đương: x2 − + 3log2 x + x2 − = ⇔ log2 x +   x≤2 x2 − ≥ x2 − = ⇔ ⇔x=  x − = x2 − 4x + − log2 x + ⇔ x+ x2 − = b) Điều kiện: x > 21 ; x = Khi ta có phương trình tương đương: log2x−1 [(2x − 1) (x + 1)] + 2logx+1 (2x − 1) = ⇔ + log2x−1 (x + 1) + =4 log2x−1 (x + 1) ⇔ log22x−1 (x + 1) − 3log2x−1 (x + 1) + = log2x−1 (x + 1) = ⇔ log2x−1 (x + 1) = ⇔ x + = 2x − x + = 4x2 − 4x +  x=2 ⇔  x = (loại) x = 45 12 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ & Hàm Số Lơgarit Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = 45 c) Ta có phương trình tương đương: log2 x − x2 − log3 x + x2 − = log6 2.log2 x − x2 − x2 − log3 x + x2 − − log6 = √ √ x − √x − = x − √x − = ⇔ x + x2 − = 3log6 x + x2 − = log6 ⇔ log2 x − log2 log3 ⇔   ⇔   x≥1 x2 − = x2 − 2x + x ≤ 3log6 x2 − = x2 − 2x3log6 + 9log6 Bài tập 5.36 Giải bất phương trình sau a) (A-07) 2log3 (4x − 3) + log 13 (2x + 3) ≤ ⇔ x=1 log6 +3−log6 x= b) log 21 x + 2log 14 (x − 1) + log2 ≤ x2 −3x+2 x x+1 d) log0,5 2x−1 > log2 (1 − 3log27 x) − f) < log2 x x−1 ≤ h) log3 (9 − 3x ) − c) (D-08) log 21 ≥ x−1 log2 3.2 −1 e) ≥ x g) (B-02) logx [log3 (9x − 72)] ≤ Lời giải a) Điều kiện: x > 43 Khi ta có bất phương trình tương đương: 2 log3 (4x − 3) ≤ log3 (2x + 3) + log3 ⇔ (4x − 3) ≤ 9(2x + 3) ⇔ 16x2 − 42x − 18 ≤ ⇔ − ≤x≤3 Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = 43 ; b) Điều kiện: x > Khi ta có bất phương trình tương đương: x≥3 x ≤ −2 (loại) log 21 x + log 12 (x − 1) ≤ log 21 ⇔ x(x − 1) ≥ ⇔ Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [3; +∞) 0 12 d) Điều kiện: Khi ta có bất phương trình tương đương: x < −1 x+1 < ⇔ − log2 3; x = Với x > 0, ta có bất phương trình tương đương: log2 3.2x−1 − ≥ x ⇔ 23 2x − ≥ 2x ⇔ x ≥ ⇒ S1 = [1; +∞) Với − log2 < x < 0, BPT tương đương: log2 3.2x−1 − ≤ x ⇔ 32 2x − ≤ 2x ⇔ x ≤ ⇒ S2 = (1 − log2 3; 0) Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = S1 ∪ S2 = (1 − log2 3; 0) ∪ [1; +∞) f) Điều kiện: < x < 3; x = Với < x < 3, ta có BPT tương đương: log2 (1 − log3 x) − < ⇔ − log3 x < ⇔ x > 31 ⇒ S1 = (1; 3) Với < x < 1, ta có BPT tương đương: log2 (1 − log3 x) − > ⇔ − log3 x > ⇔ x < 31 ⇒ S2 = 0; 31 Kết hợp bất phương trình có tập nghiệm S = S1 ∪ S2 = 0; 13 ∪ (1; 3) g) Điều kiện: x > log9 73 Khi ta có bất phương trình tương đương: log3 (9x − 72) ≤ x ⇔ 9x − 72 ≤ 3x ⇔ −8 ≤ 3x ≤ ⇔ x ≤ Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = (log3 73; 2] h) Điều kiện: x < Nhận xét log3 (9 − 3x ) − < nên ta có bất phương trình tương đương: x − ≥ log3 (9 − 3x ) − ⇔ − 3x ≤ 3x+2 ⇔ 3x ≥ ⇔ x ≥ − log3 10 10 Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [2 − log3 10; 2) http://mathqb.eazy.vn 13 Nguyễn Minh Hiếu Bài tập 5.37 Giải bất phương trình sau +x < a) (B-08) log0,7 log6 xx+4 x+1 b) log 21 log3 x−1 ≥ √ √ d) log 31 log5 x2 + + x > log3 log 51 x2 + − x x+1 1 c) log3 log4 3x−1 x+1 ≤ log log 3x−1 Lời giải 2 +x +x a) log0,7 log6 xx+4 < ⇔ log6 xx+4 >1⇔ x2 +x x+4 >6⇔ x2 −5x−24 x+4 >0⇔ −4 < x < −3 x>8 b) Điều kiện: x > Khi ta có bất phương trình tương đương: log3 x+1 x+1 −2x + ≤1⇔ ≤3⇔ ≤0⇔ x−1 x−1 x−1 x≥2 x1 c) Điều kiện: Khi ta có bất phương trình tương đương: x < −1 log3 log4 3x − −x − 3x − 3x − ≤ ⇔ log4 ≤1⇔ ≤4⇔ ≤0⇔ x+1 x+1 x+1 x+1 x > −1 x ≤ −5 Kết hợp bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −5] ∪ (1; +∞) d) Điều kiện: x > Khi ta có bất phương trình tương đương: log3 log5 x2 + + x < ⇔ x2 + + x < ⇔ 12 x≤5 ⇔x< x2 + < (5 − x) Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm: 0; 12 Bài tập 5.38 Giải phương trình sau a) log22 x − 3log2 x + = c) 2log2 x − log3 x = − log x e) log3 x + − log3 x = g) log3 (3x + 1) log3 3x+2 + = b) log 12 x + log22 x = √ d) log2 x3 − 20 log x + = f) log2 (2x + 1) log2 2x+1 + = h) log2 (5x − 1) log4 (2.5x − 2) = Lời giải x=4 x=2 log2 x = −1 b) log 21 x + log22 x = ⇔ log22 x − log2 x − = ⇔ ⇔ log2 x =  a) log22 x − 3log2 x + = ⇔ log2 x = ⇔ log2 x = x = 21 x=4  x = 10 log x = 1 c) 2log2 x − log3 x = − log x ⇔ log3 x − 2log2 x − log x + = ⇔  log x = −1 ⇔  x = 10 log x = x = 100 √ x = 10 log x = √ d) log2 x3 − 20 log x + = ⇔ 9log2 x − 10 log x + = ⇔ ⇔ log x = 19 x = 10 e) Đặt log3 x = t, t ≥ Phương trình trở thành: t+ − t2 = ⇔ t≤2 ⇔ − t2 = − 4t + t2 t=0 t=2 Với t = ⇒ log3 x = ⇔ x = 1; với t = ⇒ log3 x = ⇔ x = 81 f) Ta có phương trình tương đương: log2 (2x + 1) log2 [2 (2x + 1)] = ⇔ log2 (2x + 1) [1 + log2 (2x + 1)] − = t=1 Đặt log2 (2x + 1) = t, t > Phương trình trở thành: t(1 + t) − = ⇔ t2 + t − = ⇔ t = −2 (loại) Với t = ⇒ log2 (2x + 1) = ⇔ 2x + = ⇔ x = g) Ta có phương trình tương đương: log3 (3x + 1) log3 [9 (3x + 1)] = ⇔ log3 (3x + 1) [2 + log3 (3x + 1)] − = t=1 Đặt log3 (3x + 1) = t, t > Phương trình trở thành: t(2 + t) − = ⇔ t2 + 2t − = ⇔ t = −3 (loại) Với t = ⇒ log3 (3x + 1) = ⇔ 3x + = ⇔ x = log3 h) Ta có phương trình tương đương: log2 (5x − 1) 21 log2 [2 (5x − 1)] = ⇔ log2 (5x − 1) [1 + log2 (5x − 1)]−2 = t=1 Đặt log5 (5x − 1) = t Phương trình trở thành: t(1 + t) − = ⇔ t2 + t − = ⇔ t = −2 Với t = ⇒ log5 (5x − 1) = ⇔ 5x − = ⇔ x = log5 6; 26 Với t = −2 ⇒ log5 (5x − 1) = −2 ⇔ 5x − = 25 ⇔ x = log5 25 14 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit Bài tập 5.39 Giải bất phương trình sau a) log22 (2x + 1) − log (2x + 1) + > c) logx−1 ≥ + log2 (x − 1) b) log29 (x − 1) − 54 log3 (x − 1) + ≤ d) log2 (2x − 1) log 12 2x+1 − > −2 x f) log5 (4x + 144) − 4log5 < + log5 2x−2 + ≤ −1 e) log4 (19 − 2x ) log2 19−2 Lời giải x > 23 − 12 < x < log2 (2x + 1) > 2x + > ⇔ ⇔ log2 (2x + 1) < < 2x + < b) BPT ⇔ 41 log23 (x − 1) − 54 log3 (x − 1) + ≤ ⇔ ≤ log3 (x − 1) ≤ ⇔ < x < 82 c) Điều kiện: x > 1; x = Khi ta có bất phương trình tương đương: a) log22 (2x + 1) − log (2x + 1) + > ⇔ log22 (x − 1) + log2 (x − 1) − ≥ + log2 (x − 1) ⇔ ≤0⇔ log2 (x − 1) log2 (x − 1) x ≤ 45 2 log4 x2 − b) − log 12 x + log4 x2 − > d) log2√2 x + log2 x4 − > log√2 x4 Lời giải a) Đặt log2 x = t, t > Bất phương trình trở thành: t + ≥ √43 ⇔ t2 − √43 t + √ √ ≤ 33 ⇔ < x ≤ t ≥0⇔ √ √ Với t ≥ ⇒ log2 x ≥ ⇔ x ≥ 8; với t ≤ ⇒ log2 x b) Ta có bất phương trình tương đương: log2 x + log2 x − > Đặt log2 x = t Bất phương trình trở thành: t + t3 − > ⇔ t > Với t > ⇒ log2 x > ⇔ log2 x > ⇔ x > √ c) Ta có bất phương trình tương đương: log22 x − 2log2 x − > (log2 x − 3) √ 3 Đặt log2 x = t Bất phương trình trở thành:  t2 − 2t − > √  5(t − 3) ⇔   t 5(t − 3)2 ⇔ t ≤ −1 3 2t − ⇔   t 4t2 − 8t + t ≤ −2 1 d) log 13 x + 15 + log25 x − log21 x < t≥ t≤ √ √ 3 Nguyễn Minh Hiếu Lời giải a) Điều kiện: x > 0; x = 1; x = 21 Khi ta có bất phương trình tương đương: −3 log22 x + 5log2 x + + −3≥0⇔ ≥0⇔ + log2 x log2 x log2 x (1 + log2 x) −1 < log2 x ≤ − 31 < log2 x ≤ + log25 x ⇔ log25 x − log5 x < ⇔ < log5 x < ⇔ < x < 2  log2 x >  x>1 log3 + log3 x >  c) BPT ⇔ (1 + log2 x) (1 + log3 x) > ⇔ log2 x [log3 + log3 x] > ⇔  ⇔ log2 x < 0 ta có: ⇒ 3x > 11 − x ⇒ x > nghiệm bất phương trình 11 − x < 11 − = 3x < 32 = Với x < ta có: ⇒ 3x < 11 − x ⇒ x < nghiệm bất phương trình 11 − x > 11 − = Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (2; +∞) b) Ta có bất phương trình tương đương: x √ + 15 x ≤ Nhận thấy x = nghiệm bất phương trình Với x > ta có: Với x < ta có: x x http://mathqb.eazy.vn √ + + 15 √ 15 x < ⇒ x > nghiệm bất phương trình x > ⇒ x < khơng phải nghiệm bất phương trình 17 Nguyễn Minh Hiếu Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [2; +∞) x x x c) Ta có bất phương trình tương đương: 61 + 13 + 12 < Nhận thấy x = nghiệm bất phương trình x x x Với x > ta có: 61 + 13 + 21 < ⇒ x > nghiệm bất phương trình x x x Với x < ta có: 16 + 13 + 21 > ⇒ x < khơng phải nghiệm bất phương trình Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (2; +∞) d) Đặt log x = t Bất phương trình trở thành: 4.4t − 6t > 18.9t ⇔ 4 t − t t t − 18 > ⇔ > 94 ⇔ t < −2 < −2 (loại) Với t < −2 ⇒ log x < −2 ⇔ x < 100 t e) Đặt log7 x = t ⇔ x = Bất phương trình trở thành: √ t < log3 + 7t t ⇔3 1⇔t ta có: log2 (2x + 1) + log3 (4x + 2) > ⇒ x > nghiệm bất phương trình Với x < ta có: log2 (2x + 1) + log3 (4x + 2) < ⇒ x < nghiệm bất phương trình Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [0; +∞) §6 Hệ Phương Trình Mũ & Lơgarit Bài tập 5.46 Giải hệ phương trình sau 3y+1 − 2x = a) 4x − 6.3y + = log2 x2 + y = + log2 (xy) c) (A-09) 2 3x −xy+y = 81 23x = 5y − 4y 4x +2x+1 2x +2 = y log2 (3y − 1) = x d) (B-2010) 4x + 2x = 3y b) (D-02) Lời giải a) Ta có hệ tương đương: 3.3y = 2x + (1) 4x − 6.3y + = (2) 2x = ⇔ x = 2x = −2 (vô nghiệm) Với x = ⇒ y = Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (2; 1) 23x = 5y − 4y 23x = 5y − 4y (1) b) Ta có hệ tương đương: 2x (2x +2) ⇔ 2x = y (2) =y 2x +2  x =4 x=2 Thay (2) vào (1) ta có: 23x = 5.22x − 4.2x ⇔  2x = ⇔ x=0 2 = (vô nghiệm) Với x = ⇒ y = 4; x = ⇒ y = Vậy hệ cho có hai nghiệm (x; y) = (2; 4) (x; y) = (0; 1) log2 x2 + y = log2 (2xy) (1) c) Ta có hệ tương đương: 2 3x −xy+y = 81 (2) Điều kiện: xy > Khi đó: (1) ⇔ x2 + y = 2xy ⇔ (x − y)2 = ⇔ x = y Với x = y thay vào (2) 3x = 81 ⇔ x2 = ⇔ x = ±2 ⇒ y = ±2 Vậy hệ cho có hai nghiệm (x; y) = (2; 2) (x; y) = (−2; −2) 3y − = 2x (1) d) Ta có hệ tương đương: x x + = 3y (2) y=0 Thay (1) vào (2) ta có: (3y − 1) + 3y − = 3y ⇔ y = 21 Với y = ⇒ 2x = −1 (vô nghiệm); với y = 12 ⇒ 2x = 21 ⇔ x = −1 Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = −1; 21 Thay (1) vào (2) ta có: 4x − (2x + 5) + = ⇔ Bài tập 5.47 Giải hệ phương trình sau log3 (x + 2) < a) log 12 x2 + 2x − ≥ log 12 16 x2 − 4x + y + = c) (D-2010) 2log2 (x − 2) − log√2 y = b) (A-04) d) (B-05) 18 log 14 (y − x) − log4 y1 = x2 + y = 25 √ √ x−1+ 2−y =1 3log9 9x2 − log3 y = http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit Lời giải a) Ta có hệ tương đương: −2 < x < 25 ⇔ −2 < x ≤ −6 ≤ x ≤ < x + < 27 ⇔ x2 + 2x − ≤ 16 log 41 (y − x) − log 41 y = (1) x2 + y = 25 (2) 3y Điệu kiện: y > 0; y > x Khi (1) ⇔ y−x y = ⇔x= y=4 3y + y = 25 ⇔ ⇒ x = Với x = 3y thay vào (2) ta có: y = −4 (loại) Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (3; 4) x2 − 4x + y + = (1) c) Ta có hệ tương đương: log2 (x − 2) = log2 y (2) b) Ta có hệ tương đương: Điệu kiện: x > 2; y > Khi (2) ⇔ y = x − thay vào (1) ta có: x2 − 3x = ⇔ x = (loại) ⇒ y = x=3 Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (3; 1) √ √ x − + − y = (1) d) Ta có hệ tương đương: log3 x = log3 y (2) Điệu kiện: x ≥ 1; < y ≤ Khi (2) ⇔ y = x thay vào (1) ta có: √ x−1+ √ 2−x=1⇔x−1+2−x+2 (x − 1)(2 − x) = ⇔ x=1 ⇒ x=2 y=1 y=2 Vậy hệ cho có hai nghiệm (x; y) = (1; 1) (x; y) = (2; 2) Bài tập 5.48 Giải hệ phương trình sau 3x − 3y = y − x a) x2 + xy + y = 12 √ x + x2 − 2x + = 3y−1 + c) y + y − 2y + = 3x−1 + x3 − y = 2y − 2x x4 + y + y − + x (y − 2) = ln (1 + x) − ln (1 + y) = x − y x2 − 12xy + 20y = b) d) Lời giải a) Ta có hệ tương đương: 3x + x = 3y + y (1) 2 x + xy + y = 12 (2) Xét hàm số f (t) = 3t + t R có f (t) = 3t ln + > 0, ∀t ∈ R ⇒ f (t) đồng biến R Do (1) ⇔ f (x) = f (y) ⇔ x = y thay vào (2) ta có: 3x2 = 12 ≤ x = ±2 ⇔ y = ±2 Vậy hệ cho có hai nghiệm (x; y) = (2; 2) (x; y) = (−2; −2) x3 + x = y + y (1) b) Ta có hệ tương đương: x + y + y − + x (y − 2) = (2) Xét hàm số f (t) = t3 + 2t R có f (t) = 3t2 + 2t ln > 0, ∀t ∈ R ⇒ f (t) đồng biến R Do (1) ⇔ f (x) = f (y) ⇔ x = y thay vào (2) ta có: x4 + x2 + x − + x (x − 2) = ⇔ x6 + x5 − x4 + 2x2 − x − = ⇔ x4 x2 − + x x4 − + x2 − = ⇔ x2 − ⇔ x4 + x3 + x + = x = ±1 x2 + x + x2 − 2 + (x + 1) + = (vô nghiệm) Với x = ±1 ⇒ y = ±1 Vậy hệ cho có hai nghiệm (x; y) = (1; 1) (x; y) = (−1; −1) √ x + x2 − 2x + = 3y−1 + (1) c) Ta có hệ: y + y − 2y + = 3x−1 + (2) √ Trừ theo vế (1) (2) ta 2x + + 3x−1 = y + y − 2y + + 3y−1 (3) √ có: x + x −t−1 Xét hàm số f (t) = t + t − 2t + + R có f (t) = + √t2t−1 + 3t−1 ln > 0, ∀t ∈ R −2t+2 Suy f (t) đồng biến R √ − 2x + = 3x−1 + = (4) Do (3) ⇔ f (x) = f (y) ⇔ x = y thay vào (1) ta √ có: x + x √ u Đặt x − = u, phương trình (4) trở thành: u + u + = ⇔ ln u + u2 + − 3u = (5) √ Xét hàm số f (t) = ln u + u2 + − 3u R có f (t) = √u12 +1 − ln < 0, ∀t ∈ R ⇒ f (t) nghịch biến R Do phương trình (5) có nghiệm t = Với t = ⇒ x = ⇒ y = Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (1; 1) http://mathqb.eazy.vn 19 Nguyễn Minh Hiếu ln (1 + x) − x = ln (1 + y) − y (1) x2 − 12xy + 20y = (2) Xét hàm số f (t) = ln(1 + t) − t (−1; +∞) có f (t) = 1+t − 1; f (t) = ⇔ t = Bảng biến thiên: d) Điều kiện: x > −1, y > −1 Ta có hệ tương đương: t −1 +∞ + f (t) 0 − f (t) −∞ −∞ Từ bảng biến thiên ta thấy f (t) đồng biến (−1; 0] nghịch biến [0; +∞) Hơn nữa: (2) ⇔ 12xy = x2 + 20y ≤ Do (1) ⇔ f (x) = f (y) ⇔ x = y Với x = y thay vào (2) x = y = Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (0; 0) Bài tập 5.49 (D-06) Chứng minh với a > 0, hệ phương trình ex − ey = ln (1 + x) − ln (1 + y) có nghiệm y−x=a ex+a − ex + ln (1 + x) − ln (1 + a + x) = (1) y =x+a (2) Xét hàm số f (x) = ex+a − ex + ln (1 + x) − ln (1 + a + x) (−1; +∞) Ta có f (x) liên tục (−1; +∞) lim f (x) = −∞; lim f (x) = +∞ nên f (x) có nghiệm (−1; +∞) Lời giải Điều kiện: x > −1, y > −1 Ta có hệ tương đương: Lại có: f (x) = ex+a − ex + 1+x − x→−1+ x a 1+a+x = e (e − 1) + x→+∞ a (1+x)(1+a+x) > 0, ∀x > −1 Do f (x) có nghiệm (−1; +∞) Vậy hệ cho có nghiệm (đpcm) 20 http://mathqb.eazy.vn ... http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit √ Với t = ⇒ log(x2 + 1) = ⇔ x = ± 105 − 1; với t = −x2 ⇒ log(x2 + 1) = −x2 ⇔ x = d) Đặt log3 (x + 1) = t Phương trình trở thành: (x... 12 x2 + 2x − ≥ log 12 16 x2 − 4x + y + = c) (D-2010) 2log2 (x − 2) − log√2 y = b) (A-04) d) (B -05) 18 log 14 (y − x) − log4 y1 = x2 + y = 25 √ √ x−1+ 2−y =1 3log9 9x2 − log3 y = http://mathqb.eazy.vn