Dap an chuyen de TOÁN - SỐ PHỨC

Chuyên đề Số Phức §1 Dạng Đại Số Của Số Phức 9.1 Thực phép tính sau (2 − 3i) (1 + i) a) 4+i (1 + i) (2i) d) −2 + i + 4i + 6i 2i(2 + 3i) e) + 4i b) − 3i + 2−i + 2i + + 4i − 2i f) (1 + i) (4 − 3i) c) Lời giải (2 − 3i) (1 + i) 5−i (5 − i)(4 − i) 19 − 9i 19 a) = = = = − i 4+i 4+i (4 + i)(4 − i) 17 17 17 + 4i (5 + 4i)(3 − 6i) 39 − 18i 39 18 33 17 b) − 3i + = − 3i + = − 3i + = − 3i + − i= − i + 6i (3 + 6i)(3 − 6i) 45 45 45 15 2−i + 2i (2 − i)(1 − 4i) (3 + 2i)(1 + 2i) −2 − 9i −1 + 8i 22 91 c) + = + = + = − + i + 4i − 2i (1 + 4i)(1 − 4i) (1 − 2i)(1 + 2i) 17 85 85 (2i) 16(−2 − i) 32 16 (1 + i) (2i) = = = − − i d) −2 + i −2 + i (−2 + i)(−2 − i) 5 2i(−5 + 12i) (−24 − 10i)(3 − 4i) −112 + 66i 112 66 2i(2 + 3i) = = = =− + i e) + 4i + 4i (3 + 4i)(3 − 4i) 25 25 25 1 7−i f) = = = − i (1 + i) (4 − 3i) 7+i (7 + i)(7 − i) 50 50 9.2 Tìm phần thực phần ảo số phức sau 2 b) z = i2011 a) z = (1 + i) − (1 − i) 33 1+i d) z = e) z = 1−i 1−i 2012 99 c) z = (1 + i) 1 f) z = i7 − 2i i Lời giải 2 a) z = (1 + i) − (1 − i) = 2i + 2i = 4i ⇒ phần thực 0; phần ảo 2011 1005 b) z = i = (i ) i = −i ⇒ phần thực 0; phần ảo −1 c) z = (1 + i) 1+i 1−i 1−i d) z = e) z = f) z = 2012 2i i7 − = (1 + i) 33 1006 = (2i)1006 = 21006 (i2 )503 = −21006 ⇒ phần thực −21006 ; phần ảo 16 = (2i) (1 + i) 16 (−2i) (1 − i) = (1 + i) = −2 ⇒ phần thực −2; phần ảo (1 − i)(1 + i) 99 99 = (1 + i) i7 = = (2i)49 (1 + i) = 249 (i2 )24 (−1 + i) = −249 + 249 i ⇒ phần thực −249 ; phần ảo 249 i6 1 − = − − = −1 ⇒ phần thực −1; phần ảo 2i 2 9.3 Cho số phức z = x + iy Tìm phần thực phần ảo số phức sau a) u = z − 2z + 4i b) v = z + |z| − 2i c) w = Lời giải a) Ta có u = (x + iy)2 − 2(x + iy) + 4i = x2 − y − 2x + (2xy − 2y + 4)i Suy phần thực x2 − y − 2x; phần ảo 2xy − 2y + b) Ta có v = (x + iy)2 + x2 + y − 2i = x2 − y + x2 + y + (2xy − 2)i z+i iz − Nguyễn Minh Hiếu Suy phần thực x2 − y + x2 + y ; phần ảo 2xy − x − iy + i x − iy + i (x − iy + i)(−1 − y − xi) 2xy y − x2 − c) Ta có w = = = = − + 2 2i i(x + iy) − −1 − y + xi (1 + y) + x2 x2 + (y + 1) x2 + (y + 1) (x − iy + i)(−1 − y − xi) 2xy y − x2 − Suy phần thực ; phần ảo − + 2 (1 + y) + x2 x2 + (y + 1) x2 + (y + 1) 9.4 Tìm phần thực, phần ảo số phức z thỏa mãn điều kiện sau 2 a) (CĐ-09) (1 + i) (2 − i) z = + i + (1 + 2i) z b) (CĐ-2010) (2 − 3i) z + (4 + i) z = −(1 + 3i) √ √ √ 1+i d) (B-2011) z = c) (A-2010) z = 2+i 1−i 1+i Lời giải a) Ta có (1 + i) (2 − i) z = + i + (1 + 2i) z ⇔ (2 + 4i) z = + i + (1 + 2i) z ⇔ (1 + 2i) z = + i 8+i (8 + i)(1 − 2i) 10 − 15i ⇔z= ⇔z= ⇔z= ⇔ z = 2−3i + 2i (1 + 2i)(1 − 2i) Phần thực 2; phần ảo −3 b) Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi Ta có (2 − 3i) z + (4 + i) z¯ = −(1 + 3i) ⇔ (2 − 3i) (a + bi) + (4 + i) (a − bi) = − 6i ⇔ 6a + 4b − (2a + 2b)i = − 6i ⇔ 6a + 4b = ⇔ 2a + 2b = a = −2 b=5 Phần thực −2; phần ảo √ √ √ √ √ √ 2+i − i = + 2i − i = + i ⇒ z = − i c) Ta có z¯ = √ Phần thực 5; phần ảo − √ √ √ √ √ 1+i 1+i −2 + 2i + i 1+i −8 d) Ta có z = = = = = + 2i 1+i −2 + 2i −2 + 2i (1 + i) (1 + i) Phần thực 2; phần ảo 9.5 Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện sau a) (D-2011) z − (2 + 3i) z = − 9i c) (A-2011) z = |z| + z z+i = e) z−i √ 5+i − = b) (B-2011) z − √z d) (D-2010) |z| = z số ảo √ f) (B-09) |z − (2 + i)| = 10 z.z = 25 Lời giải a) Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi Ta có z − (2 + 3i) z¯ = − 9i ⇔ a + bi − (2 + 3i)(a − bi) = − 9i ⇔ −a − 3b − (3a − 3b)i = − 9i ⇔ −a − 3b = ⇔ 3a − 3b = a=2 b = −1 Vậy z = − i b) Gọi z = a + bi (a, b ∈ R, z = 0) ⇒ z = a − bi Ta có √ √ √ 5+i z− − = ⇔ z.z − − i − z = ⇔ (a − bi)(a + bi) − (a + bi) = + i z  a = 2√ 2 √  a + b − a = b=− √ ⇔ a2 + b2 − a − bi = + i ⇔ ⇔  a = −1 b=− √ b=− √ √ Vậy z = − i z = −1 − i c) Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi Ta có z = |z| + z¯ ⇔ (a + bi)2 = a2 + b2 + a − bi ⇔ a + 2b2 − (2ab + b)i =   a=0  a + 2b =  b=0 a + 2b2 = a = − 12 ⇔ ⇔ ⇔  2ab + b = a = − 21  b=0 b = ± 21 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Số Phức 1 Vậy z = 0, z = − + i z = − 12 − 12 i 2 d) Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) ⇒ z = a2 − b2 + 2abi Theo giả thiết ta có √ √ a2 = a = ±1 a2 + b2 = ⇔ ⇔ 2 b2 = b = ±1 a −b =0 Vậy có bốn số phức cần tìm z = + i, z = − i, z = −1 + i z = −1 − i e) Điều kiện: z = i Ta có z+i z−i = ⇔ (z + i)4 = (z − i)4 ⇔ (z + i) + (z − i) 2 (z + i) − (z − i) =0 ⇔ z + 2iz + i2 + z − 2iz + i2 (z + i + z − i) (z + i − z + i) = z=0 z = ±1 ⇔ 2z − 2z.2i = ⇔ Vậy z = z = ±1 f) Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) Ta có √ |z − (2 + i)| = 10 ⇔ z.¯ z = 25 ⇔ (thỏa mãn) √ |a + bi − − i| = 10 ⇔ (a + bi)(a − bi) = 25 a2 + b2 − 4a − 2b = ⇔ a2 + b2 = 25 (a − 2)2 + (b − 1)2 = 10 a2 + b2 = 25  a=5  b = 10 − 2a b=0  ⇔ a2 + b2 = 25 a=3 b=4 Vậy z = z = + 4i 9.6 Tìm mơđun số phức z thỏa mãn điều kiện sau b) (A-2011) (2z − 1) (1 + i) + (z + 1) (1 − i) = − 2i a) (CĐ-2011) (1 + 2i) z + z = 4i − 20 Lời giải a) Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi Ta có (1 + 2i) z + z¯ = 4i − 20 ⇔ (−3 + 4i) (a + bi) + a − bi = 4i − 20 ⇔ −3a − 3bi + 4ai + 4bi2 + a − bi = 4i − 20 ⇔ −2a − 4b + (4a − 4b)i = −20 + 4i ⇔ −2a − 4b = −20 ⇔ 4a − 4b = a=4 ⇒ z = + 3i b=3 √ Vậy |z| = 16 + = b) Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi Ta có (2z − 1) (1 + i) + (¯ z + 1) (1 − i) = − 2i ⇔ (2a + 2bi − 1)(1 + i) + (a − bi + 1)(1 − i) = − 2i ⇔ 2a + 2bi − + 2ai + 2bi2 − i + a − bi + − + bi2 − i = − 2i ⇔ 3a − 3b + (a + b)i = ⇔ Vậy |z| = 3a − 3b = ⇔ a+b=0 a = 31 b = − 31 ⇒z= 1 − i 3 √ 1 + = 9 9.7 Giải phương trình sau 2+i −1 + 3i a) z= 1−i 2+i c) z + 2z = − 4i e) z + |z| = b) ((2 + i) z + + i) iz + 2i = d) z + z = f) z + 2z = (1 + 5i) Lời giải 2+i −1 + 3i (−1 + 3i)(1 − i) + 4i (2 + 4i)(3 − 4i) 22 a) z= ⇔z= ⇔z= ⇔z= ⇔z= + i 1−i 2+i + 4i (3 + 4i)(3 − 4i) 25 25 (2 + i) http://mathqb.eazy.vn Nguyễn Minh Hiếu z = −3−i 2+i =0⇔ z = − 2i12 2i c) Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi Ta có b) ((2 + i) z¯ + + i) iz + ⇔ z = − 75 + 15 i ⇔ z = 21 z = − 75 − 51 i z = 12 a = 32 b=4 3a = ⇔ b=4 z + 2¯ z = − 4i ⇔ a + bi + 2(a − bi) = − 4i ⇔ 3a − bi = − 4i ⇔ + 4i d) Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi Ta có Vậy z =  z + z¯ = ⇔ (a + bi)2 + a − bi = ⇔ a2 − b2 + (2ab − b)i = ⇔ 2  a −b =0 ⇔  b(2a − 1) = a = 12 b = ± 21 a=0 b=0 1 1 + i z = − i 2 √2 e) Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) ⇒ |z| = a2 + b2 Ta có: Vậy z = 0, z = z + |z| = ⇔ (a + bi) + ⇔ a2 + b2 = ⇔ a2 − b2 + a2 + b2 + 2abi =  √ √  a2 − b2 + a2 + b2 = (1) 2 2 a −b + a +b =0 ⇔ a=0 2ab =  b=0 √ b=0 Với a = thay vào (1) ta có: −b2 + b2 = ⇔ ⇒ b = ±1 √ Với b = thay vào (1) ta có: a2 + a2 = ⇔ a = ⇒ z = Vậy z = z = ±i f) Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi Ta có z=0 z = ±i z + 2¯ z = (1 + 5i) ⇔ a + bi + 2(a − bi) = −24 + 10i ⇔ 3a − bi = −24 + 10i ⇔ a = −8 b = −10 Vậy z = −8 − 10i √ 1+i 9.8 (A-2010) Cho số phức z thoả z = Tìm môđun số phức z + iz 1−i √ √ √ √ 1+i 1+i −2 + 2i + i Lời giải Ta có z¯ = = =− = −4 − 4i ⇒ z = −4 + 4i 1−i 1−i 1−i √ √ Khi z¯ + iz = −4 − 4i + i(−4 + 4i) = −8 − 8i Vậy |¯ z + iz| = 64 + 64 = 9.9 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + (1 − i) z = − 2i Tìm mơđun số phức z 1+z Lời giải Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi Ta có z + (1 − i) z¯ = − 2i ⇔ a + bi + (1 − i)(a − bi) = − 2i ⇔ a + bi + a − bi − + bi2 = − 2i ⇔ 2a − b − = − 2i ⇔ 2a − b = ⇔ a=2 a=2 b=3 z + 3i (2 + 3i)(3 + 3i) Suy z = + 3i, z = − 3i Do = = = − + i + z¯ + − 3i (3 − 3i)(3 + 3i) 6 √ z 25 26 Vậy = + = + z¯ 36 36 9.10 (D-2012) Cho số phức z thỏa mãn (2 + i) z + (1 + 2i) = + 8i Tìm mơđun số phức w = z + + i 1+i (1 + 2i) + 7i = + 8i ⇔ (2 + i) z + + i = + 8i ⇔ z = ⇔ z = + 2i 1+i 2+i √ Suy w = z + + i = + 2i + + i = + 3i Vậy |w| = 16 + = Lời giải Ta có (2 + i) z + http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Số Phức (z + i) = − i Tính mơđun số phức w = + z + z z+1 9.11 (A-2012) Cho số phức z thỏa mãn Lời giải Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi Ta có (¯ z + i) = − i ⇔ 5(a − bi + i) = (2 − i)(a + bi + 1) z+1 3a − b = a=1 ⇔ 3a − b + (a − 7b)i = − 6i ⇔ ⇔ ⇒z =1+i a − 7b = −6 b=1 Suy w = + z + z = + + i + (1 + i)2 = + 3i Vậy |w| = 9.12 Tìm số phức z thoả mãn đồng thời 4+9= √ 13 z−1 z − 2i = 1, = z−i z+i Lời giải Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) Ta có   z−1 = |a + bi − 1| = |a + bi − i| z−i ⇔ ⇔ |a + bi − 2i| = |a + bi + i|  z−2i = z+i Vậy z = √ (a − 1)2 + b2 = a2 + (b − 1)2 ⇔a=b= a2 + (b − 2)2 = a2 + (b + 1)2 1 + i 2 9.13 Tìm số phức z thỏa mãn |z| = |z − − 2i| z − 2i số ảo z−2 Lời giải Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) Ta có |z| = |z − − 2i| ⇔ |a + bi| = |a + bi − − 2i| ⇔ a2 + b2 = (a − 2)2 + (b − 2)2 ⇔ a = − b ⇒ z = − b + bi z − 2i − b + bi − 2i (b − 2)(−1 + i) b−2 = = = z−2 − b + bi − b(−1 + i) b z − 2i Do số ảo ⇔ b − = ⇔ b = ⇒ a = Vậy z = 2i z−2 Khi 9.14 Tìm số phức z có mơđun nhỏ thỏa mãn điều kiện |iz − 3| = |z − − i| Lời giải Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) Ta có |iz − 3| = |z − − i| ⇔ |i(a + bi) − 3| = |a + bi − − i| ⇔ |−b − + ai| = |a − + (b − 1)i| ⇔ (b + 3)2 + a2 = (a − 2)2 + (b − 1)2 ⇔ a = −2b − ⇒ z = −2b − + bi √ √ 5b2 + 4b + = 5b + √25 + 15 ≥ √15 √ Dấu xảy ⇔ 5b + √25 = ⇔ b = − 25 Vậy z = − − i 5 Khi |z| = i−m − m (m − 2i) a) Tìm m để z.z = 12 b) Tìm m để |z − i| ≤ 41 9.15 Cho số phức z = c) Tìm m để z có mơđun lớn (−m + i) − m2 − 2mi m + m3 + + m2 i m = + i = 2 2 (1 − m + 2mi) (1 − m − 2mi) 1+m + m2 (1 − m2 ) + 4m2 m2 1 1 a) z.¯ z= ⇔ + = ⇔ = ⇔ m2 = ⇔ m = ±1 2 2 2 1+m (1 + m ) (1 + m ) m 1 m m2 m2 1 b) |z − i| ≤ ⇔ + i − i ≤ ⇔ − i ≤ ⇔ ≤ ⇔ |m| ≤ √ + m2 + m2 + m2 + m2 + m2 16 15 c) |z| = ≤ Dấu xảy ⇔ m = Vậy |z| đạt giá trị lớn m = + m2 Lời giải Ta có z = 9.16 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện a) |z + z + 3| = b) |z − z + − i| = 2 d) z − (z) = http://mathqb.eazy.vn e) (D-09) |z − (3 − 4i)| = c) |z − i| = |z − z + 2i| f) |z − i| = |(1 + i) z| Nguyễn Minh Hiếu Lời giải a) Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) ⇒ z = x − yi Ta có |z + z¯ + 3| = ⇔ |x + yi + x − yi + 3| = ⇔ |2x + 3| = ⇔ Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z hai đường thẳng x = x = 12 x = − 72 x = − 2 b) Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) ⇒ z = x − yi Ta có |z − z¯ + − i| = ⇔ |x + yi − x + yi + − i| = ⇔ |1 + (2y − 1)i| = √ 1± ⇔ + 4y − 4y + = ⇔ y = √ 1± Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z hai đường thẳng y = c) Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) ⇒ z = x − yi Ta có |z − i| = |z − z¯ + 2i| ⇔ |x + yi − i| = |x + yi − x + yi + 2i| ⇔ |x + (y − 1) i| = |(y + 1) i| ⇔ a2 + (b − 1)2 = (b + 1)2 ⇔ x2 = 4y ⇔ y = x Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z parabol y = x d) Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) ⇒ z = x − yi Ta có z − (¯ z) = ⇔ (x + yi) − (x − yi) = ⇔ |xyi| = ⇔ y = ± x Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z hai hypebol y = ± x e) Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) Ta có |z − (3 − 4i)| = ⇔ |x + yi − + 4i| = ⇔ |x − + (y + 4)i| = ⇔ (x − 3)2 + (y + 4)2 = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I(3; −4) bán kính R = f) Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) Ta có |z − i| = |(1 + i) z| ⇔ |x + yi − i| = |(1 + i) (x + yi)| ⇔ |x + (y − 1)i| = |x − y + (x + y)i| ⇔ x2 + (y − 1)2 = (x − y)2 + (x + y)2 ⇔ x2 + y + 2y − = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I(0; −1) bán kính R = 9.17 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện a) |z − + i| = b) |2 + z| = |i − z| d) ≤ |z + − i| ≤ e) |z − 4i| + |z + 4i| = 10 √ c) |2 + z| > |z − 2| f) z z−i = Lời giải a) Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) Ta có |z − + i| = ⇔ |x + yi − + i| = ⇔ |x − + (y + 1)i| = ⇔ (x − 1)2 + (y + 1)2 = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I(1; −1) bán kính R = b) Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) Ta có |2 + z| = |i − z| ⇔ |2 + x + yi| = |i − x − yi| ⇔ (x + 2)2 + y = x2 + (y − 1)2 ⇔ 4x + 2y + = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng 4x + 2y + = c) Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) Ta có |2 + z| > |z − 2| ⇔ |2 + x + yi| > |x + yi − 2| ⇔ (x + 2)2 + y > (x − 2)2 + y ⇔ x > Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z nửa mặt phẳng nằm bên phải trục Oy, không kể trục Oy d) Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) Ta có ≤ |z + − i| ≤ ⇔ ≤ |x + yi + − i| ≤ ⇔ ≤ (x + 1)2 + (y − 1)2 ≤ http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Số Phức Gọi (C1 ) (C2 ) hai đường tròn tâm I(−1; 1) bán kính R1 = R2 = Ta có tập hợp điểm biểu diễn số phức z phần mặt phẳng nằm (C1 ) (C2 ), kể (C1 ) (C2 ) e) Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) Ta có |z − 4i| + |z + 4i| = 10 ⇔ |x + yi − 4i| + |x + yi + 4i| = 10 ⇔ x2 + (y − 4) + x2 + (y + 4) = 10 (1) Đặt F1 (0; −4) F2 (0; 4) Với M(x;y) ta có F1 M = x2 + (y + 4)2 , F2 M = x2 + (y − 4)2 (2) Từ (1) (2) ta có F1 M + F2 M = 10, suy tập hợp điểm M elip có hai tiêu điểm F1 (0; −4) F2 (0; 4) Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z elip có hai tiêu điểm F1 (0; −4) F2 (0; 4) f) Điều kiện: z = i Khi gọi z = x + yi (x, y ∈ R) Ta có z 9 = ⇔ |x + yi| = |x + yi − i| ⇔ x2 + y = x2 + (y − 1) ⇔ x2 + y − y + = z−i Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I 0; 9.18 (CĐ-2012) Cho số phức z thỏa mãn (1 − 2i) z − bán kính R = = 64 2−i = (3 − i) z Tìm tọa độ điểm biểu diễn z mặt 1+i phẳng tọa độ Oxy − 3i (1 − 3i)(−2 + i) 2−i = (3 − i) z ⇔ (−2 − i)z = ⇔z= ⇔z= + i 1+i 2(−2 − i)(−2 + i) 10 10 ; Vậy tọa độ điểm biểu diễn số phức z 10 10 Lời giải Ta có (1 − 2i) z − 9.19 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (1 + i) z − 2, biết |z − 3| = Lời giải Ta có w = (1 + i) z − ⇔ z = w+2 1−i w+2 − = ⇔ |w + − + 3i| = |1 − i| ⇔ |w − + 3i| = |1 − i| 1−i Gọi w = x + yi (x, y ∈ R) Ta có Từ suy |z − 3| = ⇔ |w − + 3i| = |1 − i| ⇔ |x + yi − + 3i| = |1 − i| ⇔ (x − 1)2 + (y + 3)2 = √ Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn tâm I(1; −3) bán kính R = 2 9.20 Cho điểm A, B, C A , B , C mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự số phức − i, + 3i, + i 3i, − 2i, + 2i Chứng minh ABC A B C hai tam giác có trọng tâm Lời giải Theo giả thiết ta có A (1; −1) , B (2; 3) , C (3; 1) A (0; 3) , B (3; −2) , C (3; 2) Gọi G G trọng tâm tam giác ABC A B C ta có G (2; 1) G (2; 1) Vậy hai tam giác ABC A B C có trọng tâm 9.21 Gọi M, M theo thứ tự điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z khác z = tam giác OM M vuông cân 1+i z Chứng minh 1+i |z| 1+i |z| |z| = √ ; M M = |z − z| = − |z| = √ 2 2 Khi OM = M M OM + M M = OM , tam giác OM M vng cân M Lời giải Ta có OM = |z|; OM = |z | = 9.22 Cho A, B hai điểm mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự số phức z0 , z1 khác thoả mãn đẳng thức z02 + z12 = z0 z1 Chứng minh tam giác OAB Lời giải Ta có z02 + z12 = z0 z1 ⇔ z02 = z0 z1 − z12 ⇔ z02 = z1 (z0 − z1 ) ⇔ |z0 | = |z0 − z1 | (1) |z1 | Lại có z02 + z12 = z0 z1 ⇔ z12 = z0 z1 − z02 ⇔ z12 = z0 (z1 − z0 ) ⇔ Từ (1) (2) ta có: |z0 |2 |z1 | = |z1 |2 |z0 | |z1 | = |z1 − z0 | (2) |z0 | ⇔ |z0 | = |z1 | ⇔ |z0 | = |z1 | Với |z0 | = |z1 | thay vào (1) |z0 | = |z0 − z1 | Suy |z0 | = |z1 | = |z0 − z1 | hay OA = OB = AB Vậy tam giác OAB (đpcm) http://mathqb.eazy.vn Nguyễn Minh Hiếu §2 Phương Trình Bậc Hai Nghiệm Phức 9.23 Tìm bậc hai số phức sau a) z = − 12i √ c) z = + 4i√3 e) z = + 6i b) z = −24 + 10i √ d) z = 17 + 20i√ f) z = −1 − 2i Lời giải a) Ta có z = − 12i = (3 − 2i)2 , suy z có hai bậc hai ±(3 − 2i) b) Ta có z = −24 +√10i = (1 +√5i)2 , suy z có hai bậc hai ±(1 + 5i) √ c) Ta có z = + 4i 3√= (2 + 3i)√2 , suy z có hai bậc hai ±(2 + 3i).√ d) Ta có z = 17 + 20i + 2i)2 , suy z có hai bậc hai ±(5√+ 2i) √ = (5 √ = (3 √ + 5i) z có hai bậc hai ±(3 +√ 5i).√ e) Ta có z = + 6i √ √ , suy f) Ta có z = −1 − 2i = ( − 3i)2 , suy z có hai bậc hai ±( − 3i) 9.24 Giải phương trình sau tập hợp số phức a) z − 2z + = b) −z + 3z − = c) 2z − 5z + = d) −3z + 2z − = e) z + z − = f) z + 7z + 12 = Lời giải a) Ta có ∆ = − = −1 < Phương trình có hai nghiệm z = ± i √ ± 3i b) Ta có ∆ = − 36 = −27 < Phương trình có hai nghiệm z = 2√ 5±i c) Ta có ∆ = 25 − 32 = −7 < Phương trình có hai nghiệm z = 4√ 1±i d) Ta có ∆ = − = −2 < Phương trình có hai nghiệm z = √ z =2 z = ± √2 e) Ta có z + z − = ⇔ ⇔ z = −3 z = ±i √ z = −3 z = ±i f) Ta có z + 7z + 12 = ⇔ ⇔ z = −4 z = ±2i 9.25 Ký hiệu z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình 2z − 2z + = Tính giá trị biểu phức A = Lời giải Ta có ∆ = − = −1 < Phương trình có hai nghiệm z1,2 = 2 1 Khi A = + = + = i − i = z1 z2 (1 + i) (1 − i) 1 + 2 z1 z2 1±i 2 9.26 (A-09) Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z + 2z + 10 = Tính A = |z1 | + |z2 | Lời giải Ta có ∆ = − 10 = −9 < Phương trình có hai nghiệm z1,2 = −1 ± 3i √ √ 2 2 2 Khi A = |z1 | + |z2 | = A = |−1 + 3i| + |−1 − 3i| = 1+9 + + = 20 9.27 (CĐ-2012) Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − 2z + + 2i = Tính |z1 | + |z2 | Lời giải Ta có ∆ = − (1 + i) = −2i =√(1 − i) Phương trình có hai nghiệm z = i z = − i Khi |z1 | + |z2 | = |i| + |2 − i| = + 9.28 Cho z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − (i + 2) z + i = Tính 2 z1 z2 z + z22 (z1 + z2 ) − 2z1 z2 + = = z2 z1 z1 z2 z1 z2 √ 3+i 2 (2 + i) − 2i |3 + 2i| √ = 13 = = i |i| Lời giải Ta có ∆ = (2 + i) − 4i = Phương trình có hai nghiệm z1,2 = Khi 2± z1 z2 + z2 z1 9.29 Giải phương trình sau tập hợp số phức a) iz − (1 − i) z − = b) z − (5 − i) z + − i = iz + iz + c) (D-2012) z + (1 + i) z + 5i = − = d) −3 z − 2i z − 2i e) 3z − 24 = f) 8z + 8z = z + http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Số Phức Lời giải a) Ta có ∆ = (1 − i)2 + 4i =(1 + i)2  1−i+1+i z = −2i  z= i  z= i Phương trình có hai nghiệm  −2i ⇔ z = −2 1−i−1−i ⇔ z= z= i i 2 b) Ta có ∆ = (5 − i) − 4(8 −i) = −8 − 6i = (1 − 3i) − i + − 3i z = − 2i  z= Phương trình có hai nghiệm  − i − + 3i ⇔ z = + i z= c) Ta có ∆ = 9(1 + i)2 − 20i  = −2i = (1 + i)2 −3 − 3i + − i z = −1 − 2i  z= Phương trình có hai nghiệm  −3 − 3i − + i ⇔ z = −2 − i z= d) Điều kiện z = 2i Phương trình cho tương đương với    −3 + 2i iz + (−3 + 2i)(1 − i) iz + = −z + 2i  z = 1+i  z=  z − 2i = −1 ⇔ ⇔ ⇔  iz + 3 + 8i (3 + 8i)(4 + i) iz + = 4z − 8i =4 z= z= z − 2i 4−i 17 e) Ta có 3z − 24 = ⇔ z − = ⇔ (z − 2) z + 2z + = ⇔   z = −2 + 2i ⇔ 35 + i z= 17 17 z=2 √ z = −1 ± i f) Ta có phương trình tương đương  z = −1   8z (z + 1) = z + ⇔ (z + 1) 8z − = ⇔ (z + 1) (2z − 1) 4z + 2z + = ⇔  z = √  −1 ± i z= 9.30 Giải phương trình sau tập hợp số phức 2 a) z − (2 + i) z + + 4i = b) (z − 1) (z + 1) + 9z = 2 c) (z − i) z + z + i = d) z − z + + z − z + = e) z + z + z + z − 12 = f) z + 3z + + 2z z + 3z + − 3z = Lời giải a) Ta có ∆ = (2 + i)2 − − 4i = −4 < Phương trình có hai nghiệm z = + 3i z =2−i b) Ta có phương trình tương đương z −1 √ −7 ± ⇔ z = ±i + 9z = ⇔ z + 7z + = ⇔ z = 2 2 √ 7∓3 c) Ta có phương trình tương đương  z=i (z − i) z + (z − i) z + iz − = ⇔  z = −1 ⇔ z + iz − = z = ±i ±3 − i z= d) Ta có phương trình tương đương z2 − z + √  ± i 15 z − z + = −3  z= 2√ ⇔ 3±i z −z+1= z= + z2 − z + − = ⇔  z=1  z = −2 z2 + z = √ e) Ta có phương trình tương đương ⇔  z + z = −6 −1 ± i 23 z= f) Nhận thấy z = khơng phải nghiệm phương trình Với z = ta có phương trình tương đương z + 3z + z +2 http://mathqb.eazy.vn z + 3z + z −3=0⇔ z +3z+6 z z +3z+6 z =1 ⇔ = −3 z + 2z + = ⇔ z + 6z + = √ z = −1 ± √ i z = −3 ± Nguyễn Minh Hiếu 9.31 Giải phương trình sau tập hợp số phức a) z − (1 + i) z + 3iz + − i = b) z − 4z + 7z − 16z + 12 = d) z + 6z + 9z + 101 = i3000 c) z − z + z2 + z + = Lời giải a) Ta có phương trình tương đương  z=1 z=1  z=i ⇔ z − (1 + 2i)z − + i = z =1+i (z − 1) z − (1 + 2i)z − + i = ⇔ b) Ta có phương trình tương đương  z=1 (z − 1) z − 3z + 4z − 12 = ⇔ (z − 1) (z − 3) z + = ⇔  z = z = ±2i c) Nhận thấy z = khơng phải nghiệm phương trình Với z = ta có phương trình tương đương z2 − z + 1 + + =0⇔ z z z− z − z− z + 1 =0⇔z− = ± i z 2 ⇔ 2z − (1 ± 3i) z − = ⇔ z =1±i 1 z=− ± i 2 d) Ta có phương trình tương đương z + 6z + 9z = −100 ⇔ z + 3z = 100i2 ⇔ z + 3z + 10i = ⇔ z + 3z − 10i = z = ± 2i z = −4 ± 2i §3 Dạng Lượng Giác Của Số Phức 9.32 Tìm acgumen số phức z = + Lời giải Ta có |z| = 2+ √ Gọi acgumen z ϕ ta có +1= √ + i √ √ √ + = + √ √3 cos ϕ = √2+ 6+ 1√ sin ϕ = √6+ ⇔ϕ= π + k2π 12 √ 9.33 Viết dạng lượng giác tìm bậc hai số phức z = −2 + 2i √ √ 2π 2π Lời giải Ta có z = −2 + 2i = − + i = cos + i sin 2 3 √ √ π π = ±2 + i =± 1+i Căn bậc hai z w = ±2 cos + i sin 3 2 √ 9.34 (B-2012) Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z − 3iz − = = Viết dạng lượng giác z1 z2 √ √ Lời giải Ta có ∆ = 3i2 + = > Phương trình có hai nghiệm z1 = + i z2 = −1 + i √ √ π π + i = cos + i sin Khi z1 = + i = 2 3 √ √ 2π 2π z2 = −1 + i = − + i = cos + i sin 2 3 9.35 Viết số phức sau dạng lượng giác √ 1−i a) z = + i b) z = 1+i 10 (1 + i) √ e) z = √ 3+i d) z = (1 − i) 3+i 10 √ c) z = − i (1 + i) f) w = z 2000 + 1 , biết z + = z 2000 z http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Số Phức Lời giải √ 1 π π √ + √ i = cos + i sin 4 2 √ √ 12 − 23 i √ cos − π3 + i sin − π3 √ 1−i 7π 7π b) z = = = cos − =√ + i sin − π π 1 + i sin 1+i cos 12 12 4 √2 + √2 i √ √ √ 1 √ +√ i c) z = − i (1 + i) = − i 2 2 √ √ π π π π π π = 2 cos − + i sin − cos + i sin = 2 cos − + i sin − 3 4 12 12 √ √ 1 π π π π d) z = √ −√ i + i sin − 64 cos + i sin + i = cos − 2 4 6 2 = 256 (cos (−π) + i sin (−π)) (cos π + i sin π) = 256 (cos + i sin 0) 10 √ 10 5π √12 + √12 i 32 cos π4 + i sin π4 cos 5π + i sin = = e) z = √ 9 3π = 16 (cos π + i sin π) 3π π π + i sin 16 cos 512 cos + i sin 2 23 + 12 i √ π 1 π + i sin ± Khi f) Ta có z + ⇔ z − z + = ⇔ z = ± i ⇔ z = cos ± z 2 3 a) z = + i = √ w = z 2000 + z 2000 = cos ± = cos ± = cos =− 2000 π π + i sin ± 3 2000π + cos + i sin ± 2000π + ± π3 cos + i sin ± π3 ± 2000π a) z = 2004 + i sin ± 2000π 2π 2π 2π 2π ± + i sin ± + cos ∓ + i sin ∓ 3 3 √ √ 3 + i− − i = −1 = cos π + i sin π 2 9.36 Tính i 1+i 2000 b) z = 1+i √ 365 c) z = √ + 3i √ − 2i 21 Lời giải 2004 2004 2004 cos π2 + i sin π2 i π π √ a) Ta có z = = √ = cos + i sin 1+i 4 cos π4 + i sin π4 2004π 2004π 1 + i sin = 1002 (cos 501π + i sin 501π) = − 1002 = 1002 cos 4 2 365 1+i π 365 365π 365π 5π 5π π √ b) Ta có z = = cos + i sin = cos + i sin = − √ − √ i = cos + i sin 4 4 4 2 √ √ 21 21 √ 21 + 3i + 2i 2π 2π c) Ta có z = = −1 + i = cos + i sin 13 3 42π 42π = 221 cos + i sin = 221 (cos 14π + i sin 14π) = 221 3 9.37 Viết số phức sau dạng lượng giác a) z = cos π4 − i sin π4 b) z = − sin π8 − i cos π8 e) z = cos ϕ + i (1 + sin ϕ) d) z = sin ϕ + 2isin2 ϕ2 c) z = cos ϕ − i sin ϕ √ f) z = cos π3 − i sin π3 i5 + i Lời giải π π π π a) z = cos − i sin = cos − + i sin − 4 4 π π 7π 7π 11π 11π b) z = − sin − i cos = sin − + i cos − = cos + i sin 8 8 8 c) z = cos ϕ − i sin ϕ = cos (−ϕ) + i sin (−ϕ) ϕ ϕ ϕ ϕ d) z = sin ϕ + 2isin2 = sin cos + i sin 2 2 ϕ Với sin = z = nên có dạng lượng giác khơng xác định ϕ ϕ ϕ ϕ Với sin > z có dạng lượng giác z = sin cos + i sin 2 2 http://mathqb.eazy.vn 11 Nguyễn Minh Hiếu ϕ ϕ ϕ ϕ cos < z có dạng lượng giác z = −2 sin + π + i sin +π 2 2 π π ϕ π ϕ π ϕ π + i − cos ϕ + = sin cos + i sin + + + e) z = sin ϕ + 2 4 ϕ π Với sin = z = nên có dạng lượng giác khơng xác định + ϕ π ϕ π ϕ π ϕ π > z có dạng lượng giác z = sin cos + i sin Với sin + + + + 4 4 ϕ π ϕ π ϕ 5π ϕ 5π Với sin < z có dạng lượng giác z = −2 sin cos + + + + i sin + 4 4 π π π π π π cos + i sin cos + i sin f) z = cos − i sin 3 2 3 π π 5π 5π 7π 7π = cos − + i sin − cos + i sin cos + i sin 3 2 3 9π 9π π π = 128 cos + i sin = 128 cos + i sin 2 2 Với sin 9.38 Tìm số phức z cho |z| = |z − 2| acgumen z − acgumen z + cộng với π Lời giải Gọi z = a + bi (a, b ∈ R), ta có |z| = |z − 2| ⇔ |a + bi| = |a + bi − 2| ⇔ a2 + b2 = (a − 2) + b2 ⇔ a = Khi z = + bi ⇒ z − = −1 + bi; z + = + bi π Gọi acgumen z − z + 2lần lượt ϕ1 ϕ2 Theo giả thiết ta có ϕ1 = ϕ2 + y  y≥0  √−1 = − √ cos ϕ1 = − sin ϕ2 1+y 9+y + y2 = y2 + y2 Do ⇔ ⇔ ⇔ y cos ϕ2 = sin ϕ1   √3 = √ 9+y 1+y + y2 = y2 + y2 √ Vậy z = + i 9.39 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn Lời giải Trường hợp z = −2 z−2 có acgumen z+2 √ y≥0 ⇔ y = y =9 π z−2 không xác định z+2 z−2 = có dạng lượng giác khơng xác định nên khơng có khái niệm acgumen z+2 Trường hợp z = ±2, gọi z = x + yi (x, y ∈ R), ta có Trường hợp z = x − + yi (x − + yi) (x + − yi) z−2 x2 + y − + 4yi = = = 2 z+2 x + + yi (x + 2) + y (x + 2) + y z−2 π π có acgumen nên w = x2 + y − + 4yi có acgumen z+2 3 x2 +y −4 x2 +y −4 π = (1) = cos Do ta có 4y |w| ⇔ 4y |w| √3 π (2) |w| = sin |w| = 8y 4y Từ (2) ⇒ |w| = √ thay vào (2) x2 + y − √ − = 3 Gọi (C) đường tròn tâm I 0; √ , bán kính R = √ 3 Ta có tập hợp điểm cần tìm cung tròn (C) nằm phía trục hồnh, khơng kể giao điểm với trục hồnh Theo giả thiết 9.40 Cho số phức z có mơđun Biết acgumen z ϕ, tìm acgumen số phức sau a) w = 2z c) w = −z z b) w = − 2z d) w = z + z e) w = z + z f) w = z + z Lời giải a) Ta có w = 2z = 2(cos ϕ + i sin ϕ) = (cos 2ϕ + i sin 2ϕ) Do w có acgumen 2ϕ −1 cos π + i sin π b) Ta có w = − = = = (cos (π + ϕ) + i sin (π + ϕ)) 2¯ z (cos (−ϕ) + i sin (−ϕ)) (cos (−ϕ) + i sin (−ϕ)) Do w có acgumen π + ϕ c) Ta có w = −(cos ϕ + i sin ϕ) (cos (−ϕ) + i sin (−ϕ)) = (cos 2ϕ + i sin 2ϕ) (cos (π − ϕ) + i sin (π − ϕ)) = (cos (π + ϕ) + i sin (π + ϕ)) Do w có acgumen π + ϕ d) Ta có w = z + z¯ = (cos ϕ + i sin ϕ) + (cos (−ϕ) + i sin (−ϕ)) = cos ϕ 12 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Số Phức Nếu cos ϕ > w = cos ϕ (cos + i sin 0) nên w có acgumen Nếu cos ϕ < w = −2 cos ϕ (cos π + i sin π) nên w có acgumen π Nếu cos ϕ = w = nên w có acgumen khơng xác định e) Ta có w = (cos ϕ + i sin ϕ) + (cos ϕ + i sin ϕ) = (cos 2ϕ + i sin 2ϕ) + (cos ϕ + i sin ϕ) ϕ ϕ ϕ 3ϕ 3ϕ 3ϕ cos + 2i cos = cos cos + i sin = cos 2 2 2 ϕ ϕ 3ϕ 3ϕ 3ϕ Nếu cos > w = cos cos + i sin nên w có acgumen 2 2 ϕ 3ϕ Nếu cos < w = −2 cos ϕ2 cos 3ϕ + π + i sin 3ϕ + π nên w có acgumen + π 2 2 ϕ Nếu cos = w = nên w có acgumen khơng xác định 2 f) Ta có w = (cos ϕ + i sin ϕ) + (cos (−ϕ) + i sin (−ϕ)) = (cos 2ϕ + i sin 2ϕ) + (cos (−ϕ) + i sin (−ϕ)) ϕ 3ϕ ϕ ϕ 3ϕ 3ϕ ϕ cos + i sin = cos cos + 2i sin cos = cos 2 2 2 3ϕ ϕ ϕ 3ϕ ϕ Nếu cos cos + i sin nên w có acgumen > w = cos 2 2 ϕ ϕ ϕ ϕ cos + π + i sin + π nên w có acgumen + π Nếu cos < w = −2 cos 3ϕ 2 2 ϕ Nếu cos = w = nên w có acgumen khơng xác định n n 9.41 Tính tổng Sn = (1 + i) + (1 − i) Từ suy S2012 √ √ π π π n π + + i sin − Lời giải Ta có Sn = cos + i sin cos − 4 4 1007 1007 = cos (503π) = −2 Từ suy S2012 = 2.21006 cos 2012π http://mathqb.eazy.vn 13 n n = 2.2 cos nπ ... x2 + (y + 1) x2 + (y + 1) 9.4 Tìm phần thực, phần ảo số phức z thỏa mãn điều kiện sau 2 a) (CĐ -09) (1 + i) (2 − i) z = + i + (1 + 2i) z b) (CĐ-2010) (2 − 3i) z + (4 + i) z = −(1 + 3i) √ √ √... (A-2011) z = |z| + z z+i = e) z−i √ 5+i − = b) (B-2011) z − √z d) (D-2010) |z| = z số ảo √ f) (B -09) |z − (2 + i)| = 10 z.z = 25 Lời giải a) Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi Ta có z − (2... thoả mãn điều kiện a) |z + z + 3| = b) |z − z + − i| = 2 d) z − (z) = http://mathqb.eazy.vn e) (D -09) |z − (3 − 4i)| = c) |z − i| = |z − z + 2i| f) |z − i| = |(1 + i) z| Nguyễn Minh Hiếu Lời giải