THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG —————— ĐỀSỐ03ĐÁPÁNTHITHỬ ĐẠI HỌC MƠN TỐN Thời gian 180 phút Câu I (2,0 điểm) Học sinh tự giải Ta có y = 3x2 − 6mx; y = ⇔ x = x = 2m Đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt 2m = ⇔ y(0).y(2m) < m=0 ⇔m>1 4(8m3 − 12m3 + 4) < Kết hợp ta có < m < 17 m 12 2m < ⇔ y(4) > Khi giao điểm có hồnh độ nhỏ 17 12 Câu II (2,0 điểm) Phương trình cho tương đương với + cos √ √ π − 4x + cos 4x = 4cos2 x − ⇔ sin 4x + cos 4x = cos 2x π x= ⇔ cos 4x − = cos 2x ⇔ x= π 12 π 36 + kπ + k π3 π π π + kπ; x = + k (k ∈ Z) 12 36 Điều kiện: x = 1, x > − 21 Phương trình cho tương đương với Vậy phương trình cho có nghiệm x = 2(x − 1)2 − (2x + 1) = log(2x + 1) − log 2(x + 1) ⇔2(x − 1)2 + log 2(x + 1) 2 = 2x + + log(2x + 1) (1) > 0, ∀t > ⇒ f (t) đồng biến (0; +∞) t ln 10 √ 3± Do (1) ⇔ f (2(x − 1)2 ) = f (2x + 1) ⇔ 2(x − 1)2 = 2x + ⇔ x = (thỏa mãn) √ 3± Vậy phương trình có nghiệm x = √ Câu III (1,0 điểm) Đặt u = + + 2x ⇔ x = u −2u ⇒ dx = (u − 1) du Đổi cận x = ⇒ u = 2; x = ⇒ u = Ta có: Xét hàm số f (t) = t + log t (0; +∞) có f (t) = + I= 2 = Câu IV (1,0 điểm) A M I B H S u2 − 2u + (u − 1) du = u u−3+ − u u du 2 u2 − 3u + ln |u| + u = ln − Gọi H trung điểm BC Tam giác ABC cân A (ABC)⊥(SBC) nên AH⊥BC ⇒ AH⊥(SBC) Khi HB, HC, HS hình chiếu AB, AC, AS (SBC) mà AB = AC = AS √ ⇒ HB = HC = √HS ⇒ tam giác SBC vng S Do BH = 12 BC = 12 a2 + x2 ⇒ AH = 21 3a2 − x2 Gọi M trung điểm AB, kẻ M I⊥AB, I ∈ AH ⇒ I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Lại có C a a AB.AM a2 ∆AM I ∼ ∆AHB ⇒ AI = = 1√ = √ Vậy mặt cầu ngoại 2 AH 3a2 − x2 3a − x a2 tiếp hình chóp S.ABC có bán kính R = AI = √ 3a2 − x2 Câu V (1,0 điểm) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có (x + 2y)2 ≥ 8xy Từ giả thiết suy x + 2y = xy thay vào (2) (2) (xy)2 − 8(xy) ≥ ⇔ xy ≥ (do x, y > 0) —————— Biên soạn: Nguyễn Minh Hiếu Ta có P = x2 y2 x2 4y + = + + 8y + x + 8y + 4x Lại theo bất đẳng thức Cauchy có P ≥2 x2 4y 8xy) 8xy ≥ ≥ ≥ (4 + 8y)(4 + 4x) + 4(x + 2y) 5(x + 2y) Dấu xảy x = 4; y = Vậy giá trị nhỏ P Câu VI.a (2,0 điểm) x−y−1=0 x=2 ⇔ ⇒ A(2; 1) 2x + y − = y=1 Lấy E(3; 2) ∈ d1 F (t; − 2t) ∈ d2 cho EF song song BC Vì BC = 3AB nên EF = 3AE ⇔ (x − 3)2 + (3 − 2x)2 = 18 ⇔ x = t = 18 −−→ 18 11 Với t = ⇒ F (0; 5) ⇒ EF = (−3; 3) ⇒ ∆ : x + y = 0; với t = 18 ⇒ F ; − ⇒ ∆ : 7x + y − = 5 Vậy có hai đường thẳng ∆ cần tìm x + y = 7x + y − = →(2; 1; 0) Đường thẳng d1 qua M1 (0; 0; 4) có véctơ phương − u − → Đường thẳng d2 qua M2 (0; 3; 0) có véctơ phương u2 (1; −1; 0) −−→ →, − → − → − → −−→ Ta có [− u u2 ] = (0; 0; −3), AB = (0; 3; −4) ⇒ [u1 , u2 ] AB = 12 = ⇒ d1 , d2 chéo Do mặt phẳng cần tìm qua trung điểm I đoạn vng góc chung M N vng góc với M N −−→ Khi M ∈ d1 ⇒ M (2t; t; 4), N ∈ d2 ⇒ N (t ; − t ; 0) ⇒ M N = (t − 2t; − t − t; −4) −−→ − →=0 M N u 2t − 4t − − t − t = t=1 Vì M N đoạn vng góc chung d1 , d2 nên ⇔ ⇔ −−→ − → t t =2 − 2t − + t + t = M N u2 = −−→ Suy M (2; 1; 4), N (2; 1; 0), I(2; 1; 2), M N = (0; 0; −4) Vậy mặt phẳng cần tìm có phương trình z − = Tọa độ A nghiệm hệ Câu VII.a (1,0 điểm) Phương trình cho tương đương với (z − 2i) z + 2z + = ⇔ z = 2i ⇔ z + 2z + = z = 2i z = −1 ± 2i Câu VI.b (2,0 điểm) Gọi tâm đường tròn cần tìm I(a; b) ∆ : 3x − y + = √ √ −→ − → Ta có AI = (a − 2; b − 5) ⇒ AI = a2 + b2 − 4a − 10b + 29, BI = (a − 4; b − 1) ⇒ BI = a2 + b2 − 8a − 2b + 17 |3a − b + 9| √ Do Lại có d(I, ∆) = 10 a = 2b − AI = BI −4a − 10b + 29 = −8a − 2b + 17 b=2 ⇔ ⇔ 2 AI = d(I, ∆) 10(a + b − 4a − 10b + 29) = (3a − b + 9) = b = 10 √ Với b = ⇒ a = ⇒ R = √ 10 ⇒ đường tròn cần tìm (x − 1)2 + (y − 2)2 = 10 Với b = 10, a = 17 ⇒ R = 250 ⇒ đường tròn cần tìm (x − 17)2 + (y − 10)2 = 250 x = − 4t y=t Giao tuyến (P ) (Q) d : z = −13 + 13t 40 20 t = Vì M ∈ d ⇒ M (5 − 4t; t; −13 + 13t) Khi d(M, (R)) = ⇔ |30 − 23t| = 10 ⇔ t = 23 23 35 20 39 35 40 221 Vậy có hai điểm M cần tìm ; ;− ; ; 23 23 23 23 23 23 Câu VII.b (1,0 điểm) Xét khai triển (1 + x)n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x2 + + Cnn xn Lấy tích phân hai vế cận từ đến ta 22 23 2n+1 n 3n+1 − 22 2n 3n+1 − = 2Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cn ⇔ = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cn n+1 n+1 2(n + 1) n+1 n 3n+1 − 121 ⇔ = ⇔ 3n+1 = 243 ⇔ n = 2(n + 1) n+1 Vậy n = ——— Hết ——— —————— Biên soạn: Nguyễn Minh Hiếu ... VI.a (2,0 điểm) x−y−1=0 x=2 ⇔ ⇒ A(2; 1) 2x + y − = y=1 Lấy E(3; 2) ∈ d1 F (t; − 2t) ∈ d2 cho EF song song BC Vì BC = 3AB nên EF = 3AE ⇔ (x − 3)2 + (3 − 2x)2 = 18 ⇔ x = t = 18 −−→ 18 11 Với t =... n+1 2(n + 1) n+1 n 3n+1 − 121 ⇔ = ⇔ 3n+1 = 243 ⇔ n = 2(n + 1) n+1 Vậy n = ——— Hết ——— —————— Biên so n: Nguyễn Minh Hiếu