Dap an chuyen de TOÁN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng §1 Tọa Độ Trong Mặt Phẳng −−→ Bài tập 3.1 Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A (−1; 1) , B (2; 5) , C (4; 3) Tìm tọa độ điểm D cho AD = −−→ −→ −−→ −−→ −−→ 3AB − 2AC Tìm tọa độ điểm M cho M A + 2M B = 5M C Lời giải −−→ −−→ −→ −−→ −→ • Gọi D(x; y) ta có AD = (x + 1; y − 1), AB = (3; 4), AC = (5; 2) ⇒ 3AB − 2AC = (−2; 8) −−→ −−→ −→ x + = −2 x = −3 Do AD = 3AB − 2AC ⇔ ⇔ Vậy D(−3; 9) y−1=8 y=9 −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ • Gọi M (x; y) ta có M A = (−1−x; 1−y), M B = (2−x; 5−y) ⇒ M A+2M B = (3−3x; 11−3y); M C = (4−x; 3−y) 17 −−→ −−→ −−→ − 3x = 5(4 − x) x= Vậy M 17 Do M A + 2M B = 5M C ⇔ ⇔ ;2 11 − 3y = 5(3 − y) y=2 Bài tập 3.2 Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A (2; 5) , B (1; 1) , C (3; 3) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành Tìm tọa độ tâm hình bình hành −−→ −−→ Lời giải Gọi D(x; y) ta có AD = (x − 2; y − 5), BC = (2; 2) −−→ −−→ x−2=2 x=4 Khi ABCD hình bình hành ⇔ AD = BC ⇔ ⇔ Suy D(4; 7) y−5=2 y=7 Gọi I tâm hình bình hành ABCD ta có I trung điểm AC nên I 52 ; Bài tập 3.3 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A (−3; 2) , B (4; 3) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Ox cho tam giác M AB vuông M −−→ −−→ Lời giải Vì M ∈ Ox nên M (x; 0) ⇒ M A = (x + 3; −2), M B = (x − 4; −3) −−→ −−→ Khi tam giác M AB vuông M ⇔ M A.M B = ⇔ (x + 3)(x − 4) + = ⇔ x=3 x = −2 Vậy M (3; 0) M (−2; 0) Bài tập 3.4 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (1; −1) , B (5; −3), đỉnh C thuộc trục Oy trọng tâm G thuộc trục Ox Tìm tọa độ đỉnh C trọng tâm G Lời giải Ta có C ∈ Oy ⇒ C(0; y), G ∈ Ox ⇒ G(x; 0) Khi G trọng tâm tam giác ABC nên xA + xB + xC = 3xG ⇔ yA + yB + yC = 3yG + + = 3x ⇔ −1 − + y = x=2 y=4 Vậy C(0; 4) G(2; 0) Bài tập 3.5 Trong mặt phẳng Oxy, cho A (−1; 3) , B (0; 4) , C (3; 5) , D (8; 0) Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp −−→ −−→ −−→ −−→ 9−3 Lời giải Ta có AB = (1; 1), AD = (9; −3) ⇒ cos BAD = cos AB, AD = √ √ = √ 90 −−→ −−→ −−→ −−→ −15 + CB = (−3; −1), CD = (5; −5) ⇒ cos BCD = cos CB, CD = √ √ = − √ 10 50 Suy cos BAD + cos BCD = ⇒ BAD + BCD = 1800 Vậy tứ giác ABCD nội tiếp Nguyễn Minh Hiếu Bài tập 3.6 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (0; 6) , B (−2; 0) , C (2; 0) Gọi M trung điểm AB, G trọng tâm tam giác ACM I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh GI vng góc với CM Lời giải Ta có M trung điểm AB ⇒ M (−1; 3), G trọng tâm tam giác ACM ⇒ G Gọi I(x; y) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có − → AI = (x; y − 6) ⇒ AI = −→ BI = (x + 2; y) ⇒ BI = −→ CI = (x − 2; y) ⇒ CI = x2 + (y − 6) = x2 + y − 12y + 36 (x + 2)2 + y = x2 + y + 4x + (x − 2)2 + y = x2 + y − 4x + 3; x=0 AI = BI 4x + 12y = 32 Vì I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC nên ⇔ ⇔ ⇒ I 0; 83 AI = CI 4x − 12y = −32 y = 38 −→ −−→ −→ −−→ Khi GI = − 31 ; − 13 , CM = (−3; 3) ⇒ GI.CM = Vậy GI vng góc với CM (đpcm) √ Bài tập 3.7 (A-04) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (0; 2) , B − 3; −1 Tìm toạ độ trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB √ √ −−→ −−→ −−→ −−→ Lời giải Gọi H(x; y) ta có OH = (x; y), AB = (− − 3), AH = (x; y − 2), OB = (− 3; −1) Khi H trực tâm tam giác OAB −−→ −−→ OH.AB = ⇔ −−→ −−→ AH.OB = √ −√3x − 3y = ⇔ − 3x − y + = √ x= y = −1 √ −→ Gọi I(a; b) ta có OI = (a; b) ⇒ OI = a2 + b2 √ − → AI = (a; b − 2) ⇒ AI = a2 + b2 − 4b + √ √ −→ BI = a + 3; b + ⇒ BI = a2 + b2 + 3a + 2b + Khi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB OI = AI ⇔ OI = BI √ a=− b=1 −4b √ +4=0 ⇔ 3a + 2b + = √ √ Vậy H( 3; −1) I(− 3; 1) Bài tập 3.8 (B-03) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân A Biết M (1; −1) trung điểm cạnh BC G 23 ; trọng tâm tam giác Tìm toạ độ đỉnh tam giác −→ Lời giải Gọi A(x; y), ta có AG = −−→ − x; −y , GM = 13 ; −1 2 −→ −−→ −x= Vì G trọng tâm tam giác ABC nên AG = 2GM ⇔ −y = −2 Gọi B(x; y) ⇒ C(2 − x; −2 − y) ta có −−→ AB = (x; y − 2) ⇒ AB = x2 + y − 4y + −→ AC = (2 − x; −4 − y) ⇒ AC = x2 + y − 4x + 8y + 20 Tam giác ABC vuông cân A nên −−→ −→ AB.AC = ⇔ AB = AC x(2 − x) + (y − 2)(−4 − y) = ⇔ −4y + = −4x + 8y + 20 ⇔ x=0 ⇒ A (0; 2) y=2 x2 + y − 2x + 2y − = (1) x = 3y + (2) Thay (2) vào (1) ta có (3y + 4) + y − (3y + 4) + 2y − = ⇔ 10y + 20y = ⇔ y=0 y = −2 Với y = ⇒ x = ⇒ B(4; 0), C(−2; −2) Với y = −2 ⇒ x = −2 ⇒ B(−2; −2), C(4; 0) Vậy A(0; 2), B(4; 0), C(−2; −2) A(0; 2), B(−2; −2), C(4; 0) Bài tập 3.9 (D-04) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (−1; 0) , B (4; 0) , C (0; m) , m = Tìm toạ độ trọng tâm G Tìm m để tam giác GAB vng G −→ −−→ m , GB = 3; − m Lời giải Vì G trọng tâm tam giác ABC nên G 1; m Ta có GA = −2; − √ −→ −−→ Khi tam giác GAB vuông G ⇔ GA.GB = ⇔ −6 + m9 = ⇔ m = ±3 Bài tập 3.10 (D-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A (3; −7), trực tâm H (3; −1), tâm đường tròn ngoại tiếp I (−2; 0) Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hồnh độ dương http://mathqb.eazy.vn Chun đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng −−→ −−→ Lời giải Gọi B (x1 ; y1 ) , C (x2 ; y2 ) Ta có AH = (0; 6), BC = (x2 − x1 ; y2 − y1 ) −−→ −−→ Vì H trực tâm tam giác ABC nên AH.BC = ⇔ (y2 − y1 ) = ⇔ y2 = y1 ⇒ B (x1 ; y1 ) , C (x2 ; y1 ) √ − → Khi IA = (5; −7) ⇒ IA = 74 −→ IB = (x1 + 2; y1 ) ⇒ IB = (x1 + 2) + y12 −→ IB = (x1 + 2; y1 ) ⇒ IC = (x2 + 2) + y12 Vì I trọng tâm tam giác ABC nên IB = IA ⇔ IC = IA (x1 + 2) + y12 = 74 (x1 + 2) + y12 = 74 x1 = −2 − 74 − y12 ⇒ B −2 − 74 − y12 ; y1 , C −2 + x2 = −2 + 74 − y12 −→ −−→ Khi BH = + 74 − y12 ; −1 − y1 , CA = − 74 − y12 ; −7 − y1 −−→ −→ Vì H trực tâm nên BH.CA = Vì x2 > nên với |y1 | ≤ 74 ta có 5+ 74 − y12 5− 74 − y12 + (1 + y1 ) (7 + y1 ) = ⇔ y12 + 4y1 − 21 = ⇔ 74 − y12 ; y1 y1 = y1 = −7 Với y1 = −7 ⇒ x2 = ⇒√C(3; −7) (loại) √ √ Với y1 = ⇒ x2 = −2 + 65 ⇒ C −2 + 65; (thỏa mãn) Vậy C −2 + 65; §2 Phương Trình Đường Thẳng Bài tập 3.11 Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A (−1; 2) , B (2; 3) C (6; 2) Viết phương trình đường thẳng qua A song song với BC −−→ − Lời giải Gọi đường thẳng cần tìm ∆ Vì ∆ song song với BC nên có vectơ phương → u = BC = (4; −1) x = −1 + 4t Hơn ∆ qua A nên có phương trình tham số y =2−t Bài tập 3.12 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (3; 5) Viết phương trình đường thẳng qua A cắt hai tia Ox, Oy M, N cho diện tích tam giác OM N 30 Lời giải Gọi đường thẳng cần tìm ∆ Giả sử ∆ cắt hai tia Ox, Oy M (a; 0), N (0; b) (a, b > 0) x y Khi ∆ có phương trình đoạn chắn + = ⇔ bx + ay − ab = Vì A ∈ ∆ nên 3b + 5a − ab = (*) a b Lại có OM = a, ON = b ⇒ S∆OM N = 21 ab Từ giả thiết suy 21 ab = 30 ⇔ ab = 60 Với ab = 60 thay vào (*) ta có 60 a + 5a − 60 = ⇔ 5a − 60a + 180 = ⇔ a = ⇒ b = 10 Vậy ∆ có phương trình 10x + 6y − 60 = Bài tập 3.13 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (8; 6) Lập phương trình đường thẳng qua A tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích 12 Lời giải Gọi đường thẳng cần tìm ∆ Giả sử ∆ cắt hai trục Ox, Oy M (a; 0), N (0; b) x y Khi ∆ có phương trình đoạn chắn + = ⇔ bx + ay − ab = Vì A ∈ ∆ nên 8b + 6a − ab = (*) a b Lại có OM = |a|, ON = |b| ⇒ S∆OM N = 12 |ab| Từ giả thiết suy 12 |ab| = 12 ⇔ |ab| = 24 ⇔ ab = ±24 Với ab = 24 thay vào (*) ta có 24 a + 6a − 24 = ⇔ 6a − 24a + 192 = (vô nghiệm) a=4 Với ab = −24 thay vào (*) ta có −24 a + 6a + 24 = ⇔ 6a + 24a − 192 = ⇔ a = −8 Với a = ⇒ b = −6 ⇒ ∆ có phương trình 6x − 4y + 24 = Với a = −8 ⇒ b = ⇒ ∆ có phương trình 3x − 8y − 24 = Vậy có hai phương trình ∆ 6x − 4y + 24 = 3x − 8y − 24 = Bài tập 3.14 (D-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (0; 2) ∆ đường thẳng qua O Gọi H hình chiếu vng góc A ∆ Viết phương trình đường thẳng ∆, biết khoảng cách từ H đến trục hoành AH −−→ −−→ Lời giải Gọi H(x; y), ta có OH = (x; y), AH = (x; y − 2), d(H, Ox) = |y| AH = d(H, Ox) x2 = 4y −√ x2 + (y − 2)2 = y x2 = 4y − Từ giả thiết ta có ⇔ ⇔ ⇔ −−→ −−→ 2 x + y(y − 2) = y + 2y − = y = −1 ± AH.OH = √ √ Với y = −1 − ⇒ x2 = −8 − (vô nghiệm) √ √ √ √ √ −−→ Với y = −1 + ⇒ x2 = −8 + ⇔ x = ± −8 + ⇒ AH = ± −8 + 5; −3 + √ √ √ √ Vậy ∆ có hai phương trình −8 + 5x + − y = − −8 + 5x + − y = http://mathqb.eazy.vn Nguyễn Minh Hiếu Bài tập 3.15 (CĐ-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : x + y + = Viết phương trình đường thẳng qua A (2; −4) tạo với đường thẳng d góc 450 → = (1; 1) Lời giải Ta có − n d − → |a + b| |− n→ ∆ nd | 2 =√ √ Gọi ∆ đường thẳng cần tìm − n→ ∆ = (a; b) (a + b = 0) Khi cos (∆, d) = − → − → |n∆ | |nd | a2 + b2 √ |a + b| a=0 Theo giả thiết ta có cos (∆, d) = cos 450 ⇔ √ √ = ⇔ (a + b) = a2 + b2 ⇔ 2ab = ⇔ b=0 2 a2 + b2 −→ Với a = chọn b = ta có − n→ ∆ = (0; 1) ⇒ ∆ : y + = Với b = chọn a = ta có n∆ = (1; 0) ⇒ ∆ : x − = Vậy có hai đường thẳng ∆ cần tìm y + = x − = Bài tập 3.16 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 2x − y − = 0; d2 : x + 2y − = điểm M (2; −1) Tìm giao điểm A d1 , d2 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M cắt d1 , d2 B, C cho tam giác ABC cân A 2x − y − = ⇔ x + 2y − = Lấy điểm H(0; −1) ∈ d1 K(3 − 2t; t) ∈ d2 ta có Lời giải Tọa độ A nghiệm hệ x=1 ⇒ A (1; 1) y=1 √ −−→ −−→ AH = (−1; −2) ⇒ AH = 5, AK = (2 − 2t; t − 1) ⇒ AK = −−→ Khi ∆ nhận HK làm vectơ phương ⇔ AH = AK ⇔ = 5(t − 1) ⇔ 5(t − 1)2 t=0 t=2 −−→ Với t = ⇒ K(3; 0) ⇒ HK = (3; 1) ⇒ ∆ : x = + 3t y = −1 + t −−→ x=2−t Với t = ⇒ K(−1; 2) ⇒ HK = (−1; 3) ⇒ ∆ : y = −1 + 3t x = + 3t x=2−t Vậy có ∆ có hai phương trình y = −1 + t y = −1 + 3t Bài tập 3.17 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B (−4; −5) hai đường cao có phương trình d1 : 5x + 3y − = d2 : 3x + 8y + 13 = Lập phương trình cạnh AC Lời giải Nhận thấy B ∈ / d1 , B ∈ / d2 nên giả sử d1 đường cao qua A d2 đường cao qua C → = (3; −5); đường thẳng d có vectơ phương − → = (8; −3) Đường thẳng d1 có vectơ phương − u u 2 −−→ 19−5t 4−5t ⇒ BA = t + 4; Ta có A ∈ d1 ⇒ A t; −−→ → Vì d2 vng góc với AB nên BA.− u2 = ⇔ (t + 4) − 19 + 5t = ⇔ t = −1 ⇒ A (−1; 3) −−→ ⇒ BC = k + 4; 27−3t Lại có C ∈ d2 ⇒ C k; −13−3k 8 −−→ − → Vì d1 vng góc với BC nên BC.u1 = ⇔ (k + 4) − 27−3k = ⇔ k = ⇒ B (1; −2) −−→ → − Suy AB = (2; −5) ⇒ chọn vectơ pháp tuyến AC n = (5; 2) Vậy đường thẳng chứa AC có phương trình (x + 1) + (y − 3) = ⇔ 5x + 2y − = Bài tập 3.18 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có phương trình AB 5x − 3y + = 0; đường cao qua đỉnh A B d1 : 4x − 3y + = d2 : 7x + 2y − 22 = Lập phương trình hai cạnh lại → = (3; 4); đường thẳng d có vectơ phương − → = (2; −7) Lời giải Đường thẳng d1 có vectơ phương − u u 2 5x − 3y + = x = −1 Tọa độ A nghiệm hệ ⇔ ⇒ A (−1; −1) 4x − 3y + = y = −1 5x − 3y + = x=2 Tọa độ B nghiệm hệ ⇔ ⇒ B (2; 4) 7x + 2y − 22 = y=4 → = (2; −7) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình Cạnh AC qua A(−1; −1) nhận − u 2 (x + 1) − (y + 1) = ⇔ 2x − 7y − = → = (3; 4) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình Cạnh BC qua B(2; 4) nhận − u (x − 2) + (y − 4) = ⇔ 3x + 4y − 22 = Vậy hai cạnh lại tam giác có phương trình AC : 2x − 7y − = BC : 3x + 4y − 22 = Bài tập 3.19 (CĐ-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC Các đường thẳng BC, BB , B C có phương trình y − = 0, x − y + = 0, x − 3y + = với B , C tương ứng chân đường cao kẻ từ B, C tam giác ABC Viết phương trình đường thẳng AB, AC http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng x−y+2=0 x = −2 ⇔ ⇒ B (−2; 0) x − 3y + = y=0 − Đường thẳng BB có vectơ phương → u = (1; 1) − Đường thẳng AC qua B (−2; 0) nhận → u = (1; 1) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x + y + = x−y+2=0 x=0 Tọa độ B nghiệm hệ ⇔ ⇒ B(0; 2) y−2=0 y=2 x+y+2=0 x = −4 Tọa độ C nghiệm hệ ⇔ ⇒ C(−4; 2) y−2=0 y=2 −−→ −−→ Ta có C ∈ B C ⇒ C (3t − 2; t) ⇒ BC = (3t − 2; t − 2), CC = (3t + 2; t − 2) −−→ −−→ t=0 Vì BC ⊥CC nên BC CC = ⇔ (3t − 2) (3t + 2) + (t − 2) = ⇔ t = 52 −−→ − Với t = ⇒ BC = (−2; −2) ⇒ chọn → n (1; −1) làm vectơ pháp tuyến AB ta có phương trình x − y + = −−→ − Với t = ⇒ BC = − ; − ⇒ chọn → n (2; −1) làm vectơ pháp tuyến AB ta có phương trình 2x−y+2 = 5 Vậy cạnh AC có phương trình x + y + = 0, cạnh AB có hai phương trình x − y + = 2x − y + = Lời giải Tọa độ B nghiệm hệ Bài tập 3.20 (D-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến đường cao qua đỉnh A có phương trình d1 : 7x − 2y − = 0; d2 : 6x − y − = Viết phương trình đường thẳng AC 7x − 2y − = x=1 ⇔ ⇒ A (1; 2) 6x − y − = y=2 Vì B đối xứng với A qua M nên B(3; −2) −−→ ⇒ BN = t − 3; 7t+1 Gọi N trung điểm BC Khi N ∈ d1 ⇒ N t; 7t−3 2 − → Đường thẳng d2 có vectơ phương u2 = (1; 6) −−→ −→ → − 3 Ta có d2 ⊥BN ⇒ − u BN = ⇔ t − + 3(7t + 1) = ⇔ t = ⇒ N 0; − ⇒ M N = −2; − → − Vì AC||M N nên có vectơ pháp tuyến n = (3; −4) Do AC có phương trình 3x − 4y + = Lời giải Tọa độ A nghiệm hệ Bài tập 3.21 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A (1; 3) hai trung tuyến kẻ từ B C có phương trình d1 : x − 2y + = d2 : y − = Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC Lời giải Ta có B ∈ d1 ⇒ B(2t1 − 1; t1 ), C ∈ d2 ⇒ C(t2 ; 1) Gọi M, N trung điểm AB, AC ta có M t1 ; t12+3 , N t22+1 ; t1 +3 −−→ t1 = −1 −1=0 Khi M ∈ d2 , N ∈ d1 nên ⇔ ⇒ B(−3; −1), C(5; 1) ⇒ BC = (8; 2) t2 +1 t = − + = 2 − Do cạnh BC nhận → n = (1; −4) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x − 4y − = Bài tập 3.22 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (2; −1) hai đường phân giác góc B, C có phương trình d1 : x − 2y + = d2 : x + y + = Lập phương trình cạnh BC → = (2; 1); đường thẳng d có vectơ phương − → = (1; −1) Lời giải Đường thẳng d1 có vectơ phương − u u 2 Gọi H, K hình chiếu A d1 d2 ta có −−→ −−→ H(2t1 − 1; t1 ), K(t2 ; −t2 − 3) ⇒ AH = (2t1 − 3; t1 + 1), AK = (t2 − 2; −t2 − 2) −−→ → Khi AH⊥d1 ⇒ AH.− u1 = ⇔ 2(2t1 − 3) + (t1 + 1) = ⇔ t1 = ⇒ H(1; 1) −−→ − → AK⊥d2 ⇒ AK.u2 = ⇔ (t2 − 2) − (−t2 − 2) = ⇔ t2 = ⇒ K(0; −3) −−−→ Gọi A1 , A2 điểm đối xứng A qua d1 , d2 ta có A1 (0; 3), A2 (−2; −5) ⇒ A1 A2 = (−2; −8) − Do cạnh BC qua A1 (0; 3) có vectơ pháp tuyến → n (4; −1) nên có phương trình 4x − y + = Bài tập 3.23 (B-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vng A, có đỉnh C (−4; 1), phân giác góc A có phương trình x + y − = Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác 24 đỉnh A có hồng độ dương − Lời giải Đặt d : x + y − = ⇒ d có vectơ phương → u = (1; −1) Gọi H hình chiếu C d −−→ Ta có H ∈ d ⇒ H(t; − t) ⇒ CH = (t + 4; − t) −−→ − Vì CH⊥d nên CH.→ u = ⇔ t + − + t = ⇔ t = ⇒ H(0; 5) Gọi C điểm đối xứng với C qua d ⇒ C (4; 9) −−→ −→ Ta có A ∈ d ⇒ A(t; − t) ⇒ AC = (−4 − t; −4 + t), AC = (4 − t; + t) −→ −−→ t=4 Vì AC.AC = ⇔ (−4 − t) (4 − t) + (−4 + t)(4 + t) = ⇔ ⇒ A(4; 1) t = −4 (loại) −→ Khi AC = (−8; 0) ⇒ AC = Suy AB có phương trình x = http://mathqb.eazy.vn Nguyễn Minh Hiếu −−→ Vì B ∈ AB nên B(4; t) ⇒ AB = (0; t − 1) ⇒ AB = |t − 1| t=7 Theo giả thiết ta có S∆ABC = 24 ⇔ 12 AB.AC = 24 ⇔ 8|t − 1| = 48 ⇔ ⇒ B(4; 7) B(4; −5) t = −5 −−→ Vì d phân giác nên B(4; −5) không thỏa mãn Với B(4; 7) ⇒ BC = (−8; −6) − Chọn vectơ pháp tuyến BC → n (3; −4) ta có phương trình BC 3(x − 4) − 4(y − 7) = ⇔ 3x − 4y + 16 = Bài tập 3.24 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành có hai cạnh x + 3y − = 2x − 5y − = Biết hình bình hành có tâm đối xứng I (3; 5), viết phương trình hai cạnh cịn lại hình bình hành Lời giải Giả sử AB : x + 3y − = 0; AD : 2x − 5y − = x + 3y − = x=3 Khi tọa độ A nghiệm hệ ⇔ ⇒ A(3; 1) ⇒ C(3; 9) 2x − 5y − = y=1 − − → Cạnh BC qua C(3; 9) nhận nAD = (2; −5) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình 2x − 5y + 39 = → Cạnh DC qua C(3; 9) nhận − n− AB = (1; 3) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x + 3y − 30 = Vậy hai cạnh cịn lại hình bình hành 2x − 5y + 39 = x + 3y − 30 = Bài tập 3.25 (A-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6; 2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y − = Viết phương trình đường thẳng AB Lời giải Ta có E ∈ ∆ ⇒ E(t; − t) −−→ −→ Gọi F trung điểm AB ⇒ F (12 − t; t − 1) Ta có F M = (t − 11; − t), F I = (t − 6; − t) −−→ −→ t=6 Vì ABCD hình chữ nhật nên F M F I = ⇔ (t − 11)(t − 6) + (6 − t)(3 − t) = ⇔ t=7 −−→ − Với t = ⇒ F (6; 5) ⇒ F M = (−5; 0) ⇒ AB nhận → n (0; 1) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình y − = −−→ − Với t = ⇒ F (5; 6) ⇒ F M = (−4; −1) ⇒ AB nhận → n (1; −4) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình (x − 1) − 4(y − 5) = ⇔ x − 4y + 19 = Vậy có hai phương trình AB y − = x − 4y + 19 = Bài tập 3.26 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : x = −2 − 2t điểm M (3; 1) Tìm điểm B ∈ ∆ y = + 2t cho đoạn M B ngắn √ −−→ Lời giải Ta có B ∈ ∆ ⇒ B(−2 − 2t; + 2t) ⇒ M B = (−5 − 2t; 2t) ⇒ M B = 8t2 + 20t + 25 Xét f (t) = 8t2 + 20t + 25 R có f (t) = 16t + 20; f (t) = ⇔ t = − 45 Bảng biến thiên − 54 −∞ t − f (t) +∞ + +∞ +∞ f (t) 25 Vậy M B đạt giá trị nhỏ √5 t = − 45 hay B 2; −2 Bài tập 3.27 (B-07) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (2; 2) đường thẳng d1 : x + y − = 0, d2 : x + y − = Tìm điểm B ∈ d1 C ∈ d2 cho tam giác ABC vng cân A −−→ −→ Lời giải Ta có B ∈ d1 ⇒ B(t1 ; − t1 ), C ∈ d2 ⇒ C(t2 ; − t2 ) Suy AB = (t1 − 2; −t1 ), AC = (t2 − 2; − t2 ) (t1 − 2) (t2 − 2) − t1 (6 − t2 ) = t1 t2 − 4t1 − t2 + = (1) Theo giả thiết ta có 2 ⇔ t21 − 2t1 = t22 − 8t2 + 18 (2) (t1 − 2) + t21 = (t2 − 2) + (6 − t2 ) −2 Nhận thấy t1 = nghiệm hệ Với t1 = ta có (1) ⇔ t2 = 4t t1 −1 thay vào (2) t41 − 4t31 + 3t21 + 2t1 − = ⇔ (t1 + 1) t31 − 5t21 + 8t1 − = ⇔ t1 = −1 t1 = Với t1 = −1 ⇒ t2 = ⇒ B(−1; 3), C(3; 5) Với t1 = ⇒ t2 = ⇒ B(3; −1), C(5; 3) Vậy B(−1; 3), C(3; 5) B(3; −1), C(5; 3) Bài tập 3.28 (B-04) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (1; 1) , B (4; −3) Tìm điểm C thuộc d : x − 2y − = cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB 6 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng −−→ − Lời giải Ta có AB = (3; −4) Do đường thẳng AB có vectơ pháp tuyến → n (4; 3) nên có phương trình 4(x − 1) + 3(y − 1) = ⇔ 4x + 3y − = |4(2t + 1) + 3t − 7| |11t − 3| = 5 |11t − 3| t=3 27 Theo giả thiết d(C, AB) = ⇔ =6⇔ Vậy C(7; 3) C − 43 11 ; − 11 t = − 27 11 Lại có C ∈ d ⇒ C(2t + 1; t) ⇒ d(C, AB) = Bài tập 3.29 (B-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : x − y − = d : 2x − y − = Tìm tọa độ điểm N thuộc d cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ điểm M thỏa mãn OM.ON = −−→ Lời giải Ta có N ∈ d ⇒ N (a; 2a − 2) ⇒ ON = (a; 2a − 2) Suy ON có phương trình x = at y = (2a − 2)t 4a (2a − 2) ⇒M ; Lại có M ∈ ON ⇒ M (at; (2a − 2)t) mà M ∈ ∆ ⇒ at − (2a − 2)t − = ⇔ t = 2−a 2−a 2−a 5a2 − 8a + 4 5a2 − 8a + ⇒ ON.OM = Khi ON = 5a2 − 8a + 4, OM = |2 − a| |2 − a| 5a2 − 8a + a=0 Theo giả thiết ON.OM = ⇔ = ⇔ 5a2 − 8a + = |2 − a| ⇔ a = 65 |2 − a| Vậy N (0; −2) N 56 ; 25 Bài tập 3.30 (A-06) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba đương thẳng d1 : x+y +3 = 0, d2 : x−y −4 = 0, d3 : x−2y = Tìm M thuộc d3 cho khoảng cách từ M đến d1 hai lần khoảng cách từ M đến d2 Lời giải Ta có M ∈ d3 ⇒ M (2t; t) Khi d (M, d1 ) = 2d (M, d1 ) ⇔ |2t − t − 4| |2t + t + 3| √ √ = ⇔ |3t + 3| = |t − 4| ⇔ 2 t=1 t = −11 Vậy M (2; 1) M (−22; −11) Bài tập 3.31 Trong mặt phẳng Oxy, cho P (1; 6) , Q (−3; −4) đường thẳng ∆ : 2x − y − = Tìm toạ độ M ∆ cho M P + M Q nhỏ Tìm toạ độ N ∆ cho |N P − N Q| lớn Lời giải Nhận thấy P, Q nằm phía với ∆ Gọi P điểm đối xứng với P qua ∆ lấy M ∈ ∆, ta có M P + M Q = M P + M Q ≥ P Q Dấu xảy ⇔ M = P Q ∩ ∆ −−→ Gọi H hình chiếu P ∆ ⇒ H(t; 2t − 1) ⇒ P H = (t − 1; 2t − 7) −−→ −→ Vì P H⊥∆ nên P H.u∆ = ⇔ t − + 2(2t − 7) = ⇔ t = ⇒ H(3; 5) ⇒ P (5; 4) −−→ Khi P Q = (−8; −8) ⇒ − n−P−→ Q (1; −1) ⇒ P Q có phương trình x − y − = 2x − y − = x=0 Tọa độ M nghiệm hệ ⇔ ⇒ M (0; −1) x−y−1=0 y = −1 Lấy N ∈ ∆, ta có |N P − N Q| ≤ P Q Dấu xảy ⇔ N = P Q ∩ ∆ −−→ → Ta có P Q = (−4; −10) ⇒ − n− P Q = (5; −2) ⇒ P Q có phương trình 5x − 2y + = 2x − y − = x = −9 Tọa độ N nghiệm hệ ⇔ ⇒ M (−9; −19) 5x − 2y + = y = −19 Vậy M (0; −1) N (−9; −19) Bài tập 3.32 (CĐ-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có C (−1; −2), đường trung tuyến kẻ từ A đường cao kẻ từ B có phương trình 5x + y − = 0; x + 3y − = Tìm tọa độ đỉnh A B → = (3; −1) Lời giải Đặt d1 : 5x + y − = 0, d2 : x + 3y − = Đường thẳng d2 có vectơ phương − u −→ Ta có A ∈ d1 ⇒ A(t; − 5t) ⇒ AC = (−1 − t; 5t − 11) −→ → Vì AC⊥d2 nên AC.− u2 = 3(−1 − t) − (5t − 11) = ⇔ t = ⇒ A(1; 4) k−2 Lại có B ∈ d2 ⇒ B(5 − 3k; k) Gọi M trung điểm BC ⇒ M 4−3k ; 4−3k k−2 Khi M ∈ d1 nên + − = ⇔ k = ⇒ B (5; 0) Vậy A(1; 4) B(5; 0) Bài tập Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông A, đường thẳng chứa BC có phương √ 3.33 (A-02) √ trình 3x − y − = 0, A B thuộc Ox, bán kính đường trịn nội tiếp Tìm trọng tâm tam giác ABC Lời giải Từ giả thiết√ta có B =√Ox ∩ BC ⇒ B(1; √ 0); √ A ∈ Ox ⇒ √ A(a; √ 0) Tam giác ABC vuông A nên C(a; b) Lại có C ∈ BC ⇒ 3a − b − = ⇔ b = 3a ⇒ C(a; 3a 3) √ √ √ Suy AB = |a − 1|, AC = 3|a − 1|, BC = 2|a − 1| ⇒ p = 12 + |a − 1| , S = 23 (a − 1) √ √ √ √ a=2 √ 3+3 Khi S = pr ⇔ 23 (a − 1) = + |a − 1| ⇔ |a − 1| = + ⇔ a = −2 − http://mathqb.eazy.vn Nguyễn Minh Hiếu √ √ √ √ √ √ Với a = + ⇒ A + 3; , C + 3; + ⇒ G 33+7 ; 33+6 √ √ √ √ √ √ Với a = −2 − ⇒ A −2 − 1; , C −2 − 1; −2 − ⇒ G −4 33−1 ; −2 33−6 Vậy G √ √ 3+7 3+6 ; 3 G √ √ −4 3−1 −2 3−6 ; 3 Bài tập 3.34 (B-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B 21 ; Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương ứng điểm DEF Cho D (3; 1) đường thẳng EF có phương trình y − = Tìm tọa độ điểm A, biết A có tung độ dương −−→ Lời giải Ta có BD = 52 ; ⇒ BD||EF ⇒ ∆ABC cân A Khi AD⊥EF nên có phương trình x − = −−→ a = −1 25 Gọi F (a; 3) ta có BF = a − 12 ; ⇒ BF = a2 − a + 49 Do BF = BD ⇔ a2 − a + 17 = ⇔ a=2 −−→ − n (4; 3) ⇒ AB có phương trình Với a = −1 ⇒ F (−1; 3) ⇒ BF − 23 ; ⇒ chọn vectơ pháp tuyến AB → 4x + 3y − = x=3 x−3=0 ⇔ ⇒ A 3; − 73 (loại) 4x + 3y − = y = − 37 −−→ − Với a = ⇒ F (2; 3) ⇒ BF 32 ; ⇒ chọn vectơ pháp tuyến AB → n (4; −3) ⇒ AB có phương trình Tọa độ A nghiệm hệ 4x + 3y + = Tọa độ A nghiệm hệ x−3=0 ⇔ 4x − 3y + = x=3 y = 13 ⇒ A 3; 13 (thỏa mãn) Vậy A 3; 13 3 Bài tập 3.35 (B-08) Trong mặt phẳng Oxy, tìm toạ độ đỉnh C tam giác ABC biết hình chiếu C lên đường thẳng AB H(−1; −1), đường phân giác góc A x − y + = đường cao kẻ từ B 4x + 3y − = Lời giải Đặt d1 : x − y + = d2 : 4x + 3y − = → = (1; 1); đường thẳng d có vectơ phương − → = (3; −4) Đường thẳng d1 có vectơ phương − u u 2 −−→ Gọi M hình chiếu H d1 ⇒ M (t; t + 2) ⇒ HM = (t + 1; t + 3) −−→ → Khi HM ⊥d1 nên HM − u1 = ⇔ t + + t + = ⇔ t = −2 ⇒ M (−2; 0) Gọi H điểm đối xứng với H qua d1 ⇒ H (−3; 1) Khi H ∈ AC mà AC⊥d2 nên nhận u2 (3; −4) làm vectơ pháp tuyến Do AC có phương trình 3x − 4y + 13 = x−y+2=0 x=5 Khi tọa độ A nghiệm hệ ⇔ ⇒ A (5; 7) 3x − 4y + 13 = y=7 −−→ Đường thẳng HC nhận AH = (−6; −8) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình 3x + 4y + = 3x + 4y + = x = − 10 10 3 ⇒ C − 10 Tọa độ C nghiệm hệ ⇔ ; Vậy C − ; 3x − 4y + 13 = y = 43 Bài tập 3.36 (D-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B (−4; 1), trọng tâm G (1; 1) đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình x − y − = Tìm tọa độ đỉnh A C −−→ −−→ Lời giải Gọi M (x; y) trung điểm AC, ta có BG = (5; 0), GM = (x − 1; y − 1) −→ −−→ = 2(x − 1) x = 27 ⇒ M 27 ; Vì G trọng tâm nên AG = 2GM ⇔ ⇔ = 2(y − 1) y=1 − Đặt d : x − y − = Đường thẳng d có vectơ phương → u = (1; 1) −−→ Gọi H hình chiếu B d ⇒ H(t; t − 1) ⇒ BH = (t + 4; t − 2) −−→ − Khi BH⊥d nên BH.→ u = ⇔ t + + t − = ⇔ t = −1 ⇒ H(−1; −2) Gọi B điểm đối xứng với B qua d ⇒ B (2; −5) −−−→ − Đường thẳng AC qua M, B nên nhận M B = − 23 ; −6 làm vectơ phương ⇒ vectơ pháp tuyến → n (4; −1) Do AC có phương trình 4x − y − 13 = x−y−1=0 x=4 Tọa độ A nghiệm hệ ⇔ ⇒ A (4; 3) ⇒ C (3; −1) Vậy A (4; 3) , C (3; −1) 4x − y − 13 = y=3 Bài tập 3.37 (A-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A (6; 6); đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x + y − = Tìm tọa độ đỉnh B C, biết điểm E (1; −3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng − Lời giải Đặt d : x + y − = Đường thẳng d có vectơ phương → u = (1; −1) Gọi M trung điểm BC Vì ∆ABC cân A nên M đối xứng với A qua d −−→ Gọi H hình chiếu A d ⇒ H(t; − t) ⇒ AH = (t − 6; −t − 2) −−→ → Vì AH⊥d nên AH.− u = ⇔ t − + t + = ⇔ t = ⇒ H(2; 2) ⇒ M (−2; −2) −−→ Đường thẳng BC qua M (−2; −2) có vectơ pháp tuyến AM = (−8; −8) nên có phương trình x + y + = −−→ −−→ Vì B ∈ BC ⇒ B(t; −4 − t) ⇒ C(−4 − t; t) ⇒ AB = (t − 6; t − 10), EC = (−5 − t; t + 3) −−→ −−→ t=0 Vì E nằm đường cao qua C nên AB.EC = ⇔ (t − 6)(−5 − t) + (t − 10)(t + 3) = ⇔ t = −6 Vậy B(0; −4), C(−4; 0) B(−6; 2), C(2; −6) Bài tập 3.38 (B-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân đỉnh A có đỉnh A (−1; 4) đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ : x − y − = Xác định toạ độ điểm B, C, biết diện tích tam giác ABC 18 √ √ √9 ⇒ HB = S∆ABC = 2 (1) = Lời giải Gọi H hình chiếu A ∆ ta có AH = d (A; ∆) = |−1−4−4| AH 2 −−→ − Ta có H ∈ ∆ ⇒ H(t; t − 4) ⇒ AH = (t + 1; t − 8) Đường thẳng ∆ có vectơ phương → u = (1; 1) −−→ → − 7 Khi AH u = ⇔ t + + t − = ⇔ t = ⇒ H ; − √ −−→ Lại có B ∈ BC ⇒ B(a; a − 4) ⇒ HB = a − 72 ; a − 72 ⇒ HB = a − 72 (2) √ √ a = 11 Từ (1) (2) ta có a − 72 = 2 ⇔ a = 32 11 11 3 Với a = 32 ⇒ B 32 ; − 52 ⇒ C 11 ; ; với a = ⇒ B ; ⇒ C ; − 11 3 Vậy B 32 ; − 25 , C 11 ; B ; , C ; − Bài tập 3.39 (B-02) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I AB = 2AD Tìm toạ độ đỉnh biết A có hoành độ âm 2; , AB : x − 2y + = 0, cạnh − Lời giải Đường thẳng AB có vectơ phương → u = (2; 1) √ | +2| Gọi H hình chiếu I AB ta có H trung điểm AB IH = d (I, AB) = 2√5 = 25 −→ Khi H(2t − 2; t) ⇒ IH = 2t − 52 ; t −→ − Vì IH⊥AB ⇒ IH.→ u = ⇔ 2t − 52 + t = ⇔ 5t − = ⇔ t = ⇒ H(0; 1) √ −−→ Vì A ∈ AB ⇒ A(2a − 2; a) ⇒ AH = (2 − 2a; − a) ⇒ AH = 5|a − 1| √ √ a=2 Từ giả thiết AB = 2AD ⇒ AH = 2IH ⇔ 5|a − 1| = ⇔ a=2 Với a = ⇒ A(2; 2) (không thỏa mãn) Với a = ⇒ A(−2; 0) ⇒ B(2; 2), C(3; 0), D(−1; −2) Vậy A(−2; 0), B(2; 2), C(3; 0), D(−1; −2) Bài tập 3.40 (A-05) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x − y = 0, d2 : 2x + y − = Tìm đỉnh hình vng ABCD biết A thuộc d1 , B thuộc d2 B, D thuộc trục hoành Lời giải Ta có ABCD hình vng B, D ∈ Ox nên A, C đối xứng qua Ox Vì A ∈ d1 ⇒ A(t; t) ⇒ C(t; −t) Lại có C ∈ d2 ⇒ 2t − t − = ⇔ t = ⇒ A(1; 1), C(1; −1) Gọi I = AC ∩ BD ⇒ I(1; 0) Vì B ∈ Ox ⇒ B(a; 0) ⇒ D(2 − a; 0) −−→ −−→ −−→ −−→ a=0 Suy AB = (a − 1; −1), AD = (1 − a; −1) Khi AB.AD = ⇔ (a − 1)(1 − a) + = ⇔ a=2 Với a = ⇒ B(0; 0), D(2; 0); với a = ⇒ B(2; 0), D(0; 0) Vậy A(1; 1), B(0; 0), C(1; −1), D(2; 0) A(1; 1), B(2; 0), C(1; −1), D(0; 0) Bài tập 3.41 (D-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC AD có phương trình x + 3y = x − y + = 0; đường thẳng BD qua điểm M − 31 ; Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD x + 3y = x = −3 ⇔ ⇒ A (−3; 1) x−y+4=0 y=1 → Lấy N ∈ AC cho M N ||AD Khi M N qua M − 31 ; nhận − n− AD = (1; −1) làm vectơ pháp tuyến Do M N có phương trình x − y + = x + 3y = x = −1 Tọa độ N nghiệm hệ ⇔ ⇒ N −1; 13 x − y + 43 = y = 31 Gọi K trung điểm M N ⇒ K − 23 ; 23 Gọi I, J trung điểm AC, AD → Khi IJ qua K nhận − u− AD = (1; 1) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x + y = x + 3y = x=0 Tọa độ I nghiệm hệ ⇔ ⇒ I (0; 0) x+y =0 y=0 Lời giải Tọa độ A nghiệm hệ http://mathqb.eazy.vn Nguyễn Minh Hiếu x−y+4=0 x = −2 ⇔ ⇒ J (−2; 2) x+y =0 y=2 Khi I trung điểm AC ⇒ C(3; −1); J trung điểm AD ⇒ D(−1; 3); I trung điểm BD ⇒ B(1; −3) Vậy A(−3; 1), B(1; −3), C(3; −1), D(−1; 3) Tọa độ J nghiệm hệ Bài tập 3.42 (A-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, N điểm cạnh CD cho CN = 2N D Giả sử M 11 ; đường thẳng AN có phương trình 2x − y − = Tìm tọa độ điểm A Lời giải Đặt d : 2x − y − = Gọi H = AN ∩ BD Qua H kẻ đường thẳng song song AB cắt AD, BC P Q Đặt HP = x ⇒ P D = QC = x, AP = HQ = BQ = 3x ⇒ M Q = x √ |11−√12 −3| = 325 Do ∆AHP = ∆HM Q ⇒ AH⊥HM AH = HM = d (M, d) = √ √ Suy AM = 2HM = 210 (1) −−→ Lại có A ∈ d ⇒ A(t; 2t − 3) ⇒ AM = 11 5t2 − 25t + 85 − t; − 2t ⇒ AM = (2) Từ (1) (2) ta có 5t2 − 25t + 85 = 45 ⇔ t=4 Vậy A(4; 5) A(1; −1) t=1 §3 Phương Trình Đường Trịn Bài tập 3.43 (B-06) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y − 2x − 6y + = điểm M (−3; 1) Gọi T1 , T2 tiếp điểm vẽ từ M đến (C) Lập phương trình đường thẳng T1 T2 Lời giải Đường trịn (C) có tâm I(1; 3) bán kính R = √ −−→ Khi M I = (4; 2) ⇒ M I = > R Do M nằm ngồi (C) −−→ − → Giả sử T (a; b) điểm tiếp xúc tiếp tuyến kẻ từ M đến (C), ta có M T = (a + 3; b − 1), IT = (a − 1; b − 3) T ∈ (C) a2 + b2 − 2a − 6b + = a2 + b2 − 2a − 6b + = (1) ⇔ ⇔ Khi −−→ − → (a + 3) (a − 1) + (b − 1)(b − 3) = a2 + b2 + 2a − 4b = (2) M T IT = Trừ theo vế (1) (2) ta có −4a − 2b + = ⇔ b = − 2a thay vào (2) ta có a2 + (3 − 2a) + 2a − (3 − 2a) = ⇔ 5a2 − 2a − = ⇔ a=1 a = − 53 21 Với a = ⇒ b = ⇒ T (1; 1); với a = − 35 ⇒ b = 21 ⇒ T −5; Khơng tính tổng qt ta giả sử T1 (1; 1), T2 − 35 ; 21 −−→ Khi T1 T2 nhận M I = (4; 2) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình 2x + y − = Bài tập 3.44 (D-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (1; 0) đường tròn (C) : x2 + y − 2x + 4y − = Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) hai điểm M, N cho tam giác AM N vuông cân A √ Lời giải Đường trịn (C) có tâm I(1; −2) bán kính R = 10 − → Ta có IM = IN AM = AN nên IA⊥M N hay IA⊥∆ mà IA = (0; 2) nên ∆ có phương trình dạng y = m Vì M, N ∈ ∆ nên M (x1 ; m), N (x2 ; m) Mặt khác M, N ∈ (C) nên x1 , x2 hai nghiệm phương trình x2 − 2x + m2 + 4m − = (*) Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt m2 + 4m − < Khi theo định lý vi-et có x1 + x2 = 2; x1 x2 = m2 + 4m − (1) −−→ −−→ Lại có AM = (x1 − 1; m), AN = (x2 − 1; m) −−→ −−→ Do AM AN = ⇔ (x1 − 1) (x2 − 1) + m2 = ⇔ x1 x2 − (x1 + x2 ) + + m2 = (2) m=1 Thay (1) vào (2) m2 + 4m − − + + m2 = ⇔ (thỏa mãn) m = −3 Vậy có hai phương trình ∆ y = y = −3 Bài tập 3.45 (CĐ-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y − 2x − 4y + = đường thẳng d : 4x − 3y + m = Tìm m để d cắt (C) hai điểm A, B cho AIB = 1200 , với I tâm (C) Lời giải Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) bán kính R = Gọi H trung điểm AB ta có AIH = 600 ⇒ IH = IA cos 600 = |4 − + m| |m − 2| |m − 2| m=7 = ⇒ =1⇔ Vậy m = m = −3 Lại có IH = d (I, d) = m = −3 5 10 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng Bài tập 3.46 (D-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 1) + y = Gọi I tâm (C) Xác định toạ độ điểm M ∈ (C) cho IM O = 300 Lời giải Đường trịn (C) có tâm I(1; 0) Nhận thấy O ∈ (C) nên IOM = IM O = 300 (1) − → −−→ −−→ −→ −→ −−→ OI.OM Gọi M (x; y), ta có OM = (x; y), OI = (1; 0) ⇒ cos IOM = cos OI, OM = −→ −−→ = √ OI OM Từ (1) (2) ta có √ x x2 +y √ = ⇔ x≥0 4x2 = x2 + y ⇔ x>0 y = x3 √ ⇒y=± Vậy M √ 3 2; M √ 3 2; − (2) (*) Mặt khác M ∈ (C) nên (x − 1)2 + y = (**) Thay (*) vào (**) ta có (x − 1) + Với x = x x2 +y x2 =1⇔ x = (loại) x = 32 Bài tập 3.47 (A-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y + 4x + 4y + = đường thẳng ∆ : x + my − 2m + = 0, với m tham số thực Gọi I tâm đường trịn (C) Tìm m để ∆ cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB lớn √ Lời giải Đường trịn (C) có tâm I(−2; −2) bán kính R = Ta có S∆IAB = 12 IA.IB sin AIB ≤ 12 R2 Dấu xảy ⇔ AIB = 900 Gọi H trung điểm AB ta có AIH = 450 ⇒ IH = IA cos 450 = (1) |−2 − 2m − 2m + 3| |4m − 1| √ Lại có IH = d (I, ∆) = =√ (2) 1+m + m2 |4m − 1| m=0 Từ (1) (2) có √ = ⇔ (4m − 1) = + m2 ⇔ Vậy m = m = 15 m = 15 1+m Bài tập 3.48 (A-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : x + y + = đường tròn (C) : x2 + y − 4x − 2y = Gọi I tâm (C), M điểm thuộc ∆ Qua M kẻ tiếp tuyến M A M B đến (C), (A, B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M , biết tứ giác M AIB có diện tích 10 √ Lời giải Đường trịn (C) có tâm I(2; 1) bán kính R = 5.√ √ 10 AIB Ta có SM AIB = 2.S∆M AI = AM.AI ⇔ AM = SMAI =√ = ⇒ IM = AM + AI = (1) √ −−→ Lại có M ∈ ∆ ⇒ M (t; −t − 2) ⇒ IM = (t − 2; −t − 3) ⇒ IM = 2t2 + 2t + 13 (2) t=2 Từ (1) (2) ta có 2t2 + 2t + 13 = 25 ⇔ Vậy M (2; −4) M (−3; 1) t = −3 Bài tập 3.49 (B-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 2) + y = 45 hai đường thẳng ∆1 : x − y = 0, ∆2 : x − 7y = Xác định toạ độ tâm K tính bán kính đường trịn (C1 ), biết đường tròn (C1 ) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 , ∆2 tâm K thuộc đường trịn (C) Lời giải Gọi K(a; b) Vì K ∈ (C) nên (a − 2)2 + b2 = ⇔ 5a2 + 5b2 − 20a + 16 = (1) b = −2a √ √ Lại có (C1 ) tiếp xúc với ∆1 ∆2 nên d (K, ∆1 ) = d (K, ∆2 ) ⇔ |a−b| = |a−7b| ⇔ a = 2b Với b = −2a thay vào (1) ta có 25a2 − 20a + 16 = (vô nghiệm) Với a = 2b thay vào (1) ta có 25b2 − 40b + 16 = ⇔ b = 45 ⇒ a = 58 √ |8−4| Vậy (C1 ) có tâm K 85 ; 45 bán kính R1 = d (K, ∆1 ) = 5√25 = Bài tập 3.50 (A-07) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (0; 2) , B (−2; −2) , C (4; −2) Gọi H chân đường cao vẽ từ B M, N trung điểm AB, BC Viết phương trình đường trịn qua H, M, N −→ Lời giải Ta có M, N trung điểm AB, BC nên M (−1; 0), N (1; −2) Lại có AC = (4; −4) − − → Đường thẳng AC qua A(0; 2) nhận nAC = (1; 1) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x + y − = −→ Đường thẳng BH qua B(−2; −2) nhận AC = (4; −4) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x − y = x+y−2=0 x=1 Tọa độ H nghiệm hệ ⇔ ⇒ H (1; 1) x−y =0 y=1 Gọi đường tròn cần tìm (C) : x2 + y − 2ax − 2by + c = (a2 + b2 > c) Khi M, N, H ∈ (C) nên ta có    − 2a + c =  a = − 21 − 2a + 4b + c = ⇔ b = 21 (thỏa mãn)   − 2a − 2b + c = c = −2 Vậy đường trịn cần tìm (C) : x2 + y − x + y − = Bài tập 3.51 (D-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : 2x − y + = Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc d, cắt trục Ox A B, cắt trục Oy C D cho AB = CD = http://mathqb.eazy.vn 11 Nguyễn Minh Hiếu Lời giải Gọi đường trịn cần tìm (C) tâm (C) I Ta có I ∈ d ⇒ I(t; 2t + 3) t = −1 Lại có AB = CD nên d (I, Ox) = d (I, Oy) ⇔ |t| = |2t + 3| ⇔ t = −3 √ √ Với t = −1 ⇒ I(−1; 1) ⇒ d(I, Ox) = ⇒ R = √1 + = √2 ⇒ (C) : (x + 1)2 + (y − 1)2 = Với t = −3 ⇒ I(−3; 3) ⇒ d(I, Ox) = ⇒ R = + = 10 ⇒ (C) : (x + 3)2 + (y + 3)2 = 10 Vậy có hai đường tròn (C) (x + 1)2 + (y − 1)2 = (x + 3)2 + (y + 3)2 = 10 Bài tập 3.52 (B-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C1 ) : x2 + y = 4, (C2 ) : x2 + y − 12x + 18 = đường thẳng d : x − y − = Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc (C2 ) tiếp xúc với d cắt (C1 ) hai điểm phân biệt A B cho AB vng góc với d − Lời giải Đường trịn (C1 ) có tâm gốc tọa độ O Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến → n = (1; −1) 2 Gọi đường trịn cần tìm (C) tâm (C) I(a; b) Khi I ∈ (C2 ) nên a + b − 12a + 18 = (1) −→ − Lại có OI⊥AB mà AB⊥d nên OI.→ n = ⇔ a − b = ⇔ a = b (2) Thay (2) vào (1) ta có 2a2 − 12a + 18 = ⇔ a = ⇒ b = ⇒ I(3; 3) √ √ Mặt khác (C) tiếp xúc d nên có bán kính R = d (I, d) = |3−3−4| = 2 Vậy (C) có phương trình (x − 3)2 + (y − 3)2 = √ √ Bài tập 3.53 (A-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x + y = d2 : 3x − y = Gọi (T ) đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 hai√ điểm B, C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình (T ), biết tam giác ABC có diện tích 23 điểm A có hồnh độ dương → = (√3; −1) → = (√3; 1); đường thẳng d có vectơ pháp tuyến − n Lời giải Đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến − n 2 →.n − → |n− 2| |3−1| Ta có cos (d1 , d2 ) = n− → = √4.√4 = ⇒ (d1 , d2 ) = 60 | →1 ||n− 2| Gọi O = d1 ∩ d2 ta có O(0; 0) AOB = 600 ⇒ BAC = 600 √ Do S∆ABC = 12 AB.AC sin 600 = 12 OA sin 600 OA tan 600 sin 600 = OA2 √ √ √ ⇒ OA2 = 23 ⇔ OA2 = 34 √ Ta có A ∈ d1 ⇒ A(t; − 3t) ⇒ OA = 2|t| ⇔ 34 = 4t2 ⇔ Mặt khác S∆ABC = t = √13 ⇒A t = − √13 (loại) √1 ; −1 √ √ −→ Lại có C ∈ d2 ⇒ C(t; 3t) ⇒ AC = t − √13 ; 3t + √ −→ −→ Khi AC.OA = ⇔ √13 t − √13 − 3t + = ⇔ t = − √23 ⇒ C − √23 ; −2 trung điểm AC bán kính R = 21 AC = 1 Đường trịn (T ) có tâm I − 2√ ; − 32 Vậy (T ) có phương trình x + √ + y+ 2 = §4 Phương Trình Elip Bài tập 3.54 Tìm tọa độ tiêu điểm, đỉnh, độ dài trục lớn, độ dài trục bé elip có phương trình sau x2 y2 x2 y2 c) x2 + 4y = a) + = b) + = 25 Lời giải √ √ a) Ta có a =√5, b = ⇒ √ c = 25 − = 21 Suy F1 (− 21; 0), F2 ( 21;√0), A1 (−5;√0), A2 (5; 0), B1 (0; −2), B2 (0; 2), A1 A2 = 10, B1 B2 = b) Ta có a =√3, b = ⇒√c = − = Suy F1 (− 5; 0), F2 ( 5; 0), A1 (−3; 0), A2 (3; 0), B1 (0; −2), B2 (0; 2), A1 A2 = 6, B1 B2 = √ √ c) Ta có x2 + 4y = ⇔ x4 + y = ⇒ a = 2, b = ⇒ c = − = √ √ Suy F1 (− 3; 0), F2 ( 3; 0), A1 (−2; 0), A2 (2; 0), B1 (0; −1), B2 (0; 1), A1 A2 = 4, B1 B2 = Bài tập 3.55 Viết phương trình tắc các√đường elip (E) trường hợp sau a) (E) có độ dài trục lớn tâm sai e = 23 b) (E) có độ dài trục bé tiêu cự √ √ c) (E) có tiêu điểm F 3; qua điểm M 1; 23 Lời giải a) Ta có 2a = ⇔ a = Lại có e = Vậy (E) có phương trình x2 16 + y2 c a √ = √ √ ⇔ c = ⇒ b = 16 − 12 = = 12 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng b) Ta có 2b = ⇔ b = 2c = ⇔ b = ⇒ a = √ √ 16 + = Vậy (E) có phương trình x2 a2 √ x2 20 + y2 16 = y b2 c) Gọi elip cần tìm (E) : + = (a, b > 0) √ Vì (E) có tiêu điểm F ( 3; 0) ⇒ c = ⇒ a2 − b2 = ⇔ a2 = b2 + (1) √ Lại có M 1; ∈ (E) ⇒ a2 + 4b2 = ⇔ 4b2 + 3a2 = 4a2 b2 (2) Thay (1) vào (2) ta có 4b2 + b + = 4b2 b2 + ⇔ b2 = ⇒ a2 = Vậy (E) có phương trình x4 + y = √ Bài tập 3.56 (A-08) Trong mặt phẳng Oxy, lập phương trình tắc elip có tâm sai nhật sở có chu vi 20 hình chữ x2 y2 + = (a > 0, b > 0) a2 b2 2 x2 y2 3a = 25(a + b ) a=3 ⇔ Vậy (E) : + = a+b=5 b=2 Lời giải Gọi phương trình tắc elip cần tìm (E) : √ Từ giả thiết ta có √ a2 −b2 a = 53 ⇔ (2a + 2b) = 20 Bài tập 3.57 (D-05) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm C(2; 0) elip (E) : x2 y + = Tìm A, B thuộc (E) biết A, B đối xứng qua trục hồnh tam giác ABC Lời giải Ta có A, B đối xứng qua Ox nên giả sử A(a; b) ⇒ B(a; −b) −−→ −→ Khi AB = (0; −2b) ⇒ AB = 2|b|, AC = (2 − a; −b) ⇒ AC = (a − 2)2 + b2 Vì A, B đối xứng qua Ox mà C ∈ Ox nên tam giác ABC cân C Do tam giác ABC ⇒ AB = AC ⇔ 4b2 = (a − 2)2 + b2 ⇔ 3b2 = a2 − 4a + (1) 2 Mặt khác A ∈ (E) ⇒ a4 + b2 = ⇔ b2 = − a4 (2) a=2 Từ (1) (2) ta có − a4 = a2 − 4a + ⇔ 7a2 − 16a + = ⇔ a = 27 Với a = ⇒ b = ⇒ A(2; 0) (loại) Với a = √ ⇒ b = ± Vậy A √ 7; ,A √ 7; − √ x2 y + = Gọi F1 F2 tiêu điểm (E) (F1 có hồnh độ âm); M giao điểm có tung độ dương đường thẳng AF1 với (E); N điểm đối xứng F2 qua M Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác AN F2 √ −−→ Lời giải Ta có F1 (−1; 0) F2 (1; 0) Khi AF1 = (−3; − 3) x = −1 √− 3t Do đường thẳng AF1 có phương trình tham số y = − 3t √ Lại có M ∈ AF1 ⇒ M (−1 − 3t; − 3t) 2 t = − 32 + 3t2 = ⇔ 27t2 + 12t − = ⇔ Mặt khác M ∈ (E) nên 1+6t+9t t = 29 Bài tập 3.58 (B-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A 2; Với t = elip (E) : √ ⇒ M − 53 ; − (không thỏa mãn) Với t = − 32 ⇒ M 1; √23 Vì N điểm đối xứng với F2 qua M nên N 1; √43 √ −−→ −−→ −−→ −−→ Khi AN = −1; √13 , AF2 = −1; − ⇒ AN AF2 = ⇒ ∆AN F2 vng A Do đường trịn ngoại tiếp tam giác AN F2 có tâm M 1; √23 bán kính M F2 = Vậy đường trịn ngoại tiếp tam giác AN F2 có phương trình (x − 1) + y − √2 √2 = 34 Bài tập 3.59 (B-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD đường trịn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương trình x2 + y = Viết phương trình tắc elip (E) qua đỉnh A, B, C, D hình thoi Biết A thuộc Ox Lời giải Ta có AC = 2BD ⇒ OA = 2OB Khơng tính tổng qt ta giả sử (a; 0) B 0; a2 (a, b > 0) Gọi H hình chiếu O AB ⇒ OH bán kính đường√trịn x2 + y = ⇒ OH = 1 1 Lại có OH = OA2 + OB ⇔ = a2 + a2 ⇔ a = 20 ⇔ a = Vậy (E) có phương trình x2 20 + y2 = x2 y + = Tìm tọa độ điểm A B thuộc (E), có hồnh độ dương cho tam giác OAB cân O có diện tích lớn Bài tập 3.60 (A-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho (E) : http://mathqb.eazy.vn 13 Nguyễn Minh Hiếu Lời giải Vì A, B ∈ (E) tam giác OAB cân O nên giả sử A(x; y) ⇒ B(x; −y) ⇒ AB = 2|y| (x > 0) √ √ 2 Lại có A, B ∈ (E) ⇒ x4 + y1 = ⇔ 2|y| = − x2 ⇒ AB = − x2 √ Gọi H = AB ∩ Ox ⇒ H(x; 0) ⇒ OH = x ⇒ S∆OAB = 12 OH.AB = 12 x − x2 = 12 x2 (4 − x2 ) ≤ √ √ √ √2 √ √ √ √2 √ 2; , B 2; − 22 A 2; − 22 , B 2; Dấu xảy x = Vậy A Bài tập 3.61 (A-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y = Viết phương trình tắc elip (E), biết (E) có độ dài trục lớn (E) cắt (C) bốn điểm tạo thành bốn đỉnh hình vng 2 Lời giải Elip (E) có trục lớn ⇒ a = nên có phương trình x16 + yb2 = (b > 0) Vì (E) (C) nhận Ox, Oy làm trục đối xứng giao điểm bốn đỉnh hình vng nên có giao điểm có tọa độ dạng A(t; t) (t > 0) Khi A ∈ (C) ⇒ t2 + t2 = ⇔ t = ⇒ A(2; 2) Mặt khác A ∈ (E) ⇒ 16 + b42 = ⇔ b = √43 Vậy (E) cần tìm có phương trình tắc (E) : x2 16 + y2 16 14 = http://mathqb.eazy.vn ... http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng Bài tập 3.46 (D-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 1) + y = Gọi I tâm (C) Xác định toạ độ điểm M ∈ (C) cho IM O =... (B-04) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (1; 1) , B (4; −3) Tìm điểm C thuộc d : x − 2y − = cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB 6 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng. .. AB có phương trình Tọa độ A nghiệm hệ 4x + 3y + = Tọa độ A nghiệm hệ x−3=0 ⇔ 4x − 3y + = x=3 y = 13 ⇒ A 3; 13 (thỏa mãn) Vậy A 3; 13 3 Bài tập 3.35 (B-08) Trong mặt phẳng Oxy, tìm toạ độ đỉnh