Bộ chuyên đề Toán 10 gồm Tóm tắt lý thuyết, hệ thống bài tập trắc nghiệm có giải chi tiết. Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG. Chủ đề 1: Tọa độ trong mặt phẳng Oxy. Chủ đề 2: Đường thẳng Phương trình đường thẳng. Chủ đề 3. Đường tròn Phường trình đường tròn Chủ đề 4. Đường Elip Hyperbol Parabol. Chủ đề 5. Góc Khoảng cách.
Chương III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Bài PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I LÝ THUYẾT Vectơ phương r r u¹ D Vectơ gọi vectơ phương (VTCP) đường thẳng giá song song D trùng với r r ku ( k ¹ 0) u D D Nhận xét : Nếu VTCP VTCP Phương trình tham số đường thẳng r M ( x ; y ) u = (a;b) 0 D Cho đường thẳng qua VTCP Khi phương trình tham số đường thẳng có dạng: ïìï x = x0 + at í ïï y = y0 + bt ỵ Nhận xét : tỴ R A Ỵ D Û A(x0 + at;y0 + bt) Phương trình tắc đường thẳng r a ¹ 0, b ¹ M ( x ; y ) u = (a;b) 0 D Cho đường thẳng qua (với ) VTCP Khi phương trình tắc đường thẳng có dạng: x - x0 y - y0 = a b Vectơ pháp tuyến đường thẳng u r r n¹ D D Vectơ gọi vectơ pháp tuyến (VTPT) giá vng góc với u r u r kn ( k ¹ 0) n D D Nhận xét : Nếu VTPT VTPT Phương trình tổng quát đường thẳng Cho đường thẳng thẳng có dạng: Chú ý : D qua M 0(x0;y0) có VTPT u r n = (a;b) Khi phương trình tổng quát đường u r ax + by + c = n = (a;b) D D - Nếu đường thẳng : VTPT Các dạng đặc biệt phương trình tổng qt • • • • D song song trùng với trục Ox Û D : by + c = Oy Û D : ax + c = song song trùng với trục Û D : ax + by = D qua gốc tọa độ D D A ( a;0) , B ( 0;b) Û D : qua hai điểm x y + =1 a b ( ab ¹ 0) với y = kx + m k = tan a a • Phương trình đường thẳng có hệ số góc k với , góc hợp tia Ox Mt D Ox Mx M D phía trục tia ( giao điểm ) Liên hệ VTCP VTPT r u r u = ( a ; b ) n = (- b;a) D VTPT VTCP vng góc với Do có VTCP VTPT D Vị trí tương đối hai đường thẳng ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = Cho hai đường thẳng ∆ : a2 x + b2 y + c2 = Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng ∆ ∆ ta xét số nghiệm hệ phương trình a1 x + b1 y + c1 = a2 x + b2 y + c2 = Chú ý: Nếu a2b2 c2 ≠ (I) : ∆1 ∩ ∆ ⇔ a1 b1 ≠ a b2 ∆1 // ∆ ⇔ a1 b1 c1 = ≠ a b2 c ∆1 ≡ ∆ ⇔ a1 b1 c1 = = a b2 c Góc hai đường thẳng Góc hai đường thẳng ∆ ∆ → có VTPT n1 = ( a1;b1 ) → n2 = ( a2 ;b ) tính theo cơng thức: → → cos(∆1 , ∆ ) = cos(n1 , n2 ) = → → | n1 n2 | → = → | n1 || n2 | | a1a2 + b1b2 | a12 + b12 a22 + b22 10 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = cho công thức: | ax0 + by + c | ∆ d(M0, ) = a2 + b2 II DẠNG TOÁN Xác định vectơ pháp tuyến; vectơ phương đường thẳng Phương pháp giải - Nếu - Nếu r n r u VTPT VTCP ∆ ∆ thì r kn ( k ≠ ) r ku ( k ≠ ) VTPT VTCP ∆ ∆ - Hai đường thẳng song song với VTPT đường VTPT đường kia; VTCP đường VTCP đường - Hai đường thẳng vng góc với VTPT đường VTCP đường ngược lại r u = ( a; b ) ∆ - VTPT VTCP đường thẳng vng góc với Do có VTCP r n = (−b; a) ∆ VTPT A VÍ DỤ MINH HỌA x = + 3t y = −3 − t Ví dụ 1: Vectơ phương đường thẳng ur uu r u1 = ( 2; –3) u2 = ( 3; –1) A B là: C uu r u3 = ( 3; 1) D uu r u4 = ( 3; –3) Ví dụ 2: Vectơ vectơ phương đường thẳng qua hai điểm B ( 1; ) ? A ur u1 = ( −1; ) B uu r u2 = ( 2;1) C uu r u3 = ( −2;6 ) 2x − 3y + = Ví dụ 3: Vectơ pháp tuyến đường thẳng : uu r uu r uu r n4 = ( 2; − 3) n2 = ( 2;3) n3 = ( 3; ) A B C D D A ( −3; ) uu r u4 = ( 1;1) ur n1 = ( −3; ) x y + =1 Ví dụ 4: Vectơ phương đường thẳng là: r r u = ( −2;3) u = ( 3; − ) A B r u = ( 3; ) C D r u1 = ( 2;3) Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B x y + = ⇔ 2x + 3y − = nên đường thẳng có VTPT r n = ( 2;3) Suy VTCP 2x − 3y + = Ví dụ 5: Vectơ pháp tuyến đường thẳng : uu r uu r uu r n4 = ( 2; − 3) n2 = ( 2;3) n3 = ( 3; ) A B C D r u = ( 3; − ) ur n1 = ( −3; ) Ví dụ 6: Vectơ vectơ pháp tuyến đường thẳng qua hai điểm B ( 4;1) ? A ur n1 = ( 2; −2 ) B uu r n2 = ( 2; −1) C uu r n3 = ( 1;1) A ( 2;3) uu r n4 = ( 1; −2 ) D B BÀI TẬP TỰ LUYỆN NHẬN BIẾT Câu Câu Một đường thẳng có vectơ phương ? A B C D Vơ số Một đường thẳng có vectơ pháp tuyến ? A B C D Vô số Câu Vectơ vectơ phương đường thẳng A ur u1 = ( 6;0) B uu r u2 = ( - 6;0) C uu r u3 = ( 2;6) D Câu Vectơ vectơ phương đường thẳng A Câu ur u1 = ( - 1;3) B Cho đường thẳng uu r æ1 u2 = ỗ ;3ữ ữ ỗ ữ ỗ ố2 ứ C uu r ổ1 u3 = ỗ - ;3ữ ữ ỗ ỗ ố ữ ứ cú phương trình tổng quát: ∆ phương đường thẳng D ìï x = d : ïí ïïỵ y = - 1+ 6t ? uu r u4 = ( 0;1) ìï ï x = 5- t D : ïí ïï y = + 3t ỵï ? uu r u4 = ( - 1;- 6) –2 x + y – = Vectơ sau vectơ A ( 3; ) B ( 2;3) C ( –3; ) D ( 2; –3) –2 x + y –1 = có phương trình tổng qt: Vectơ sau không ∆ vectơ phương 2 1; ÷ ( 3; ) ( 2;3) ( –3; –2 ) 3 A B C D ∆ Câu Cho đường thẳng Câu Cho đường thẳng (d): A ur n1 = ( 3; ) 2x + 3y − = B uu r n2 = ( −4; −6 ) Vecto sau vecto pháp tuyến (d)? C uu r n3 = ( 2; −3) D uu r n4 = ( −2;3) THÔNG HIỂU Câu Vectơ vectơ phương đường thẳng qua hai điểm A ur u1 = ( - 1;2) Câu B uu r u2 = ( 2;1) C uu r u3 = ( - 2;6) D A ( - 3;2) B ( 1;4) ? uu r u4 = ( 1;1) Vectơ phương vectơ pháp tuyến đường thẳng: A Song song với B Vng góc với C Trùng D Bằng Câu 10 Vectơ vectơ phương đường thẳng qua gốc tọa độ O( 0;0) điểm M ( a;b) ? A ur u1 = ( 0; a+ b) B uu r u2 = ( a;b) C uu r u3 = ( a;- b) D uu r u4 = ( - a;b) Câu 11 Vectơ vectơ phương đường thẳng qua hai điểm A ur u1 = ( a;- b) Câu 12 Đường thẳng B A Câu 13 Đường thẳng vectơ phương D uu r u4 = ( - b;a) Trong vectơ sau, vectơ ? B d C có vectơ phương d ur n1 = ( - 1;2) uu r u3 = ( b;a) B( 0;b) ? r u = ( 2;- 1) d vectơ pháp tuyến uu r u2 = ( a;b) A ( a;0) uu r n2 = ( 1;- 2) C uu r n3 = ( - 3;6) D uu r n4 = ( 3;6) r n = ( 4;- 2) có vectơ pháp tuyến d ? Trong vectơ sau, vectơ A ur u1 = ( 2;- 4) B uu r u2 = ( - 2;4) uu r u3 = ( 1;2) C r n = ( −2;3 ) Câu 14 Cho đường thẳng có vectơ pháp tuyến đường thẳng r u = ( 2; 3) A B r u = (3; − 2) Câu 15 Cho đường thẳng có vectơ pháp tuyến đường thẳng r u = ( 0; 3) A B C r n = ( −2;0 ) r u = ( 0; –7 ) C D uu r u4 = ( 2;1) Vectơ sau vectơ phương r u = ( 3; ) D r u = ( –3; 3) Vectơ không vectơ phương r u = ( 8; ) D r u = ( 0; –5 ) VẬN DỤNG Câu 16 Vectơ vectơ phương đường thẳng song song với trục A ur u1 = ( 1;0) B uu r u2 = ( 0;- 1) C uu r u3 = ( - 1;1) D uu r u4 = ( 1;1) Câu 17 Vectơ vectơ phương đường thẳng song song với trục A ur u1 = ( 1;- 1) B uu r u2 = ( 0;1) C uu r u3 = ( 1;0) D Ox ? Oy ? uu r u4 = ( 1;1) Câu 18 Vectơ vectơ phương đường phân giác góc phần tư thứ nhất? A ur u1 = ( 11 ; ) B uu r u2 = ( 0;- 1) C uu r u3 = ( 1;0) D uu r u4 = ( - 1;1) Câu 19 Vectơ vectơ pháp tuyến đường thẳng song song với trục A ur n1 = ( 0;1) B uu r n2 = ( 1;0) C uu r n3 = ( - 1;0) D uu r n4 = ( 1;1) Câu 20 Vectơ vectơ pháp tuyến đường thẳng song song với trục A ur n1 = ( 1;1) B uu r n2 = ( 0;1) C uu r n3 = ( - 1;1) D Ox ? Oy ? uu r n4 = ( 1;0) Câu 21 Vectơ vectơ pháp tuyến đường phân giác góc phần tư thứ hai? A ur n1 = ( 11 ; ) Câu 22 Đường thẳng B uu r n2 = ( 0;1) C r u = ( 3; - 4) d có vectơ phương vectơ pháp tuyến là: A ur n1 = ( 4;3) uu r n3 = ( 1;0) B uu r n2 = ( - 4;- 3) Đường thẳng C uu r n3 = ( 3;4) D D D uu r n4 = ( - 1;1) vng góc với uu r n4 = ( 3;- 4) d có Câu 23 Đường thẳng r n = ( - 2;- 5) d có vectơ pháp tuyến vectơ phương là: A ur u1 = ( 5;- 2) B uu r u2 = ( - 5;2) C uu r u3 = ( 2;5) Câu 24 Tìm vectơ pháp tuyến đường thẳng qua hai điểm A r n = (4; 4) B r n = (1;1) D Đường thẳng C D A ( 1; ) , B ( 5;6 ) r n = ( −4; 2) D vng góc với d uu r u4 = ( 2;- 5) r n = (−1;1) r u = ( 3; −4 ) d ∆ có vectơ phương Đường thẳng vng góc với có vectơ pháp tuyến là: ur uu r uu r uu r n1 = ( 4; ) n2 = ( −4; −3) n3 = ( 3; ) n4 = ( 3; −4 ) A B C D r n = ( −2; −5 ) d d ∆ Câu 26 Đường thẳng có vectơ pháp tuyến Đường thẳng vng góc với có vectơ phương là: ur uu r uu r uu r u1 = ( 5; −2 ) u2 = ( −5; ) u3 = ( 2;5 ) u4 = ( 2; −5 ) A B C D r u = ( 3; −4 ) d d ∆ Câu 27 Đường thẳng có vectơ phương Đường thẳng song song với có vectơ pháp tuyến là: ur uu r uu r uu r n1 = ( 4; ) n2 = ( −4;3) n3 = ( 3; ) n4 = ( 3; −4 ) A B C D r n = ( −2; −5 ) d d ∆ Câu 28 Đường thẳng có vectơ pháp tuyến Đường thẳng song song với có vectơ phương là: ur uu r uu r uu r u1 = ( 5; −2 ) u2 = ( −5; −2 ) u3 = ( 2;5 ) u4 = ( 2; −5 ) A B C D Câu 25 Đường thẳng d có Câu 29 Vectơ vectơ phương đường thẳng song song với trục A ur u1 = ( 1;0 ) B uu r u2 = ( 0; −1) C ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN D D D C A C B 11 A 12 D 13 C 14 C 15 C 16 A 17 C 21 A 22 D 23 C 24 D 25 D 26 C 27 A C uu r u3 = ( −1;1) Ox ? D uu r u4 = ( 1;1) B B 10 B 18 D 19 A 20 D 28 A 29 A Viết phương trình đường thẳng Phương pháp giải Để viết phương trình tổng quát đường thẳng - Điểm D ta cần xác định A(x0;y0) Ỵ D - Một vectơ pháp tuyến u r n ( a;b) D Khi phương trình tổng qt D a ( x - x0 ) + b( y - y0 ) = Để viết phương trình tham số đường thẳng - Điểm D A(x0;y0) Ỵ D - Một vectơ phương r u ( a;b) Khi phương trình tham số của D D ïìï x = x0 + at , tỴ R í ïï y = y0 + bt ỵ Để viết phương trình tắc đường thẳng - Điểm ta cần xác định D ta cần xác định A(x0;y0) Î D - Một vectơ phương r u ( a;b) , ab ¹ Phương trình tắc đường thẳng (trường hợp ab = Đường thẳng qua điểm D D x - x0 y - y0 = a b đường thẳng khơng có phương trình tắc) M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k có phương trình y = k ( x − x0 ) + y0 Chú ý: Nếu hai đường thẳng song song với chúng có VTCP VTPT Hai đường thẳng vng góc với VTCP đường thẳng VTPT đường thẳng ngược lại Nếu D có VTCP r u = (a;b) u r n = (- b;a) D VTPT A VÍ DỤ MINH HỌA Viết phương trình đường thẳng qua điểm biết VTPT Ví dụ 1: Đường thẳng qua A x − 2y −5 = B A ( −1; ) , nhận 2x + y = r n = ( 1; −2 ) C làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là: x − y −1 = D x − 2y + = Lời giải Chọn D Gọi ( d) đường thẳng qua nhận r n = ( 1; −2 ) làm VTPT ⇒ ( d ) : x + − ( y − 2) = ⇔ x − y + = Ví dụ 2: Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ qua pháp tuyến A C ∆ : x + 2y + = x = − 2t ∆: y = −3 + t B D nhận vectơ r n ( 1; ) x = 1+ t ∆: y = −3 + 2t ∆: M ( 1; − 3) x −1 y + = −2 Lời giải Chọn C Vì ∆ nhận vectơ r n ( 1; ) làm vectơ pháp tuyến nên VTCP Vậy phương trình tham số đường thẳng ∆ ∆ r u ( −2;1) x = − 2t y = −3 + t Viết phương trình đường thẳng qua điểm biết VTCP Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng ( d) qua M ( –2;3) có VTCP r u = ( 1; −4 ) làm vectơ A x = −2 + 3t y = − 4t B x = −2 + t y = − 4t C x = − 2t y = −4 + 3t D x = − 2t y = −4 + t Lời giải Chọn B Đường thẳng x = −2 + t y = − 4t ( d) qua M ( –2;3) có VTCP r u = ( 1; −4 ) Ví dụ 2: Viết phương trình tắc đường thẳng ∆ qua vectơ phương A C ∆: ∆ : 2x − y − = x = 1+ t ∆: y = −3 + 2t B ∆: D nên có phương trình: M ( 1; − 3) nhận vectơ r u ( 1; ) làm x −1 y + = x +1 y − = Lời giải Chọn B Đường thẳng ∆ qua x −1 y + = M ( 1; − 3) nhận vectơ r u ( 1; ) làm vectơ phương có phương trình tắc Viết phương trình đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng cho trước ( d ) : x − y +1 = Ví dụ 1: Cho đường thẳng có phương trình: x − 2y −3 = 2x + y −1 = A B Đường thẳng ( ∆) qua x − 2y +3 = C Lời giải M ( 1; −1) song song với D Chọn A Do ( ∆) Mà Vậy ( d) song song với nên có phương trình dạng: M ( 1; −1) ∈ ( ∆ ) ⇒ − ( −1) + c = ⇔ c = −3 ( ∆) : x − y − = x − y + c = ( c ≠ 1) x + y +1 = ( d) B C D 1 N − ;− ÷ 3÷ 1 N − ; ÷ 3÷ hoặc 1 N − ;− ÷ 3÷ 1 N − ; ÷ 3÷ 1 N ;− ÷ 3÷ 1 N ; ÷ ÷ 3 hoặc 4 1 N ; ÷ ÷ 3 4 1 N ; ÷ ÷ 3 Lời giải Chọn A - x2 ( E ) : + y = ⇒ a = 4, b = ⇔ c2 = ⇒ c = x + y = N ( x0 ; y0 ) ∈ ( E ) ⇒ MF1 = + x0 F1 F2 = - Gọi theo ( F1F2 ) ( hệ thức lượng MF2 = − ; x0 Xét tam giác tam giác ta F1MF2 có: = MF + MF − MF1MF2cos60 ⇔ ⇔ ) 2 2 = + x0 ÷ + − x − + x − x0 ÷ ÷ ÷ 0 ÷ ÷ ÷ ÷ 2 2 x0 = − y0 = − 3 ⇔ ⇔ 3 y = ⇔ 12 = + x02 − − x02 ÷ ⇔ x02 = ⇔ x02 = 32 ⇒ y02 = x0 = 9 Vậy có tất điểm thỏa 1 N − ;− ÷ 3÷ 1 N − ; ÷ 3÷ 1 N ;− ÷ 3÷ 4 1 N ; ÷ ÷ 3 Câu 46 Viết phương trình tất tiếp tuyến elíp tuyến qua điểm A C d : y −3 = d : y +3 = Chọn A và A ( 4;3) d :x−4 = d : x−4 =0 B d : y −3 = d : y +3 = D Lời giải ( E) và : x y + =1 16 d :x+4=0 d :x+4=0 , biết tiếp - Giả sử đường thẳng có phương trình là: d - Để có véc tơ pháp tuyến a ( x − ) + b ( y − ) = ( *) ( E) tiếp tuyến a 16 + b = ( 4a + 3b ) d , hay: r n = ( a; b ) , lớn A C ( 0;3) Chọn A d điều kiện cần đủ : Câu 47 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ B ( −3; −2 ) A ( 4;3) ax + by − 4a − 3b ( 1) a = ⇔ d : y − = ⇔ 16a + 9b = 16a + 24ab + 9b ⇔ 24ab = ⇒ b = ⇔ d : x − = A ( 3; −2 ) qua Tìm B ( E) C ( 0; ) Oxy điểm C ( E) : cho elíp x y2 + =1 cho tam giác C ( 3;0 ) C Lời giải ABC D hai điểm có diện tích C ( 2;0 ) ( E) A B - , có hồnh độ hoành độ đỉnh bán trục lớn , y+2=0 C chúng nằm đường thẳng có hồnh độ tung độ C dương nằm cung phần tư thứ ABC AB = - Tam giác có cố định Vì tam giác có diện tích lớn C AB khoảng cách từ đến lớn ( 0;3) C - Dễ nhận thấy trùng với đỉnh bán trục lớn F1 ( −4;0 ) F2 ( 4;0 ) A ( 0;3) Oxy Câu 48 Trong mặt phẳng , cho hai điểm , điểm MF1 = 3MF2 ( E) M Điểm thuộc sau thỏa 25 551 25 551 25 25 551 551 M − ; M ; M − ; − M ÷ ÷ ÷ ; ÷ 8 ÷ ÷ ÷ ÷ A B C D Lời giải Chọn B x2 y 2 2 ( E ) a + b = ( 1) c = ⇔ c = 16 = a − b ( ) - Giả sử : Theo giả thiết : - ( E) A ( 0;3) qua a = 25 ⇒ ( E ) : suy : vào ( 3) MF2 = − , y02 = ⇔ ta có OM + MF1.MF2 M ∈( E) ( Oxy Theo tính chất ) ( ) cho ( E) 18 có phương trình : F1 , F2 ( E) A1 ( 0;3) x2 y + =1 Thay Khẳng định hai tiêu điểm ( E) A2 ( 0; −3) D Các đỉnh nằm trục lớn Lời giải Chọn A Dễ dàng thấy B, C, D đáp án sai M ( x0 ; y0 ) ∈ ( E ) ⇒ ta có tiêu điểm C Độ dài trục lớn ( E) 4 25 x0 ⇒ MF1 = 3MF2 ⇔ + x0 = − x0 ÷ ⇒ x0 = 5 số không đổi với F1 0; − , F2 0; B x02 y02 + = ( 3) 25 551 551 ⇒ y0 = ± 8 Câu 49 Trong mặt phẳng sau đúng? A ta có x y + =1 25 - M thuộc bán kính qua tiêu x0 , thay vào ( 2) ( E ) ⇒ M ( x0 ; y0 ) MF1 = + = ⇔ b2 = b2 x02 y02 + = 1(*) Phương án A: Gọi - Theo công thức bán kính qua tiêu : 5 ⇒ MF1.MF2 = + x0 ÷ − x0 ÷ = − x02 ⇒ MF1 = + x0 MF2 = − x0 ÷ ÷ 3 3 - Vậy : x2 y2 x2 OM + MF1MF2 = x02 + y02 + − x02 = + + y02 = + + ÷ = + = 13 9 Câu 50 Trong mặt phẳng Oxy cho ( E) có phương trinh: x y + =1 Có F1 F2 F1 , F2 ( E) 60o M điểm thuộc nhìn đoạn góc ? (Biết tiêu điểm elip) A B Chọn D ⇒ MF1 = + C Lời giải D 5 x0 , MF2 = − x0 ⇒ MF1.MF2 = + x0 ÷ − x = − x0 ÷ ÷ ÷ 3 3 Ta có : - Theo hệ thức hàm số cos ta có : ⇔ ( F1 F2 ) = MF12 + MF12 − MF1MF2 cos60 = ( MF1 + MF2 ) − 3MF1MF2 ( ⇔ ) 2 = 62 − + x0 ÷ − x0 ÷ = 36 − − x02 ÷ = + x02 ÷ ÷ 3 165 ⇒ y = − x = − 33 = 33 ⇒ x0 = ± ⇔ 20 = + x0 ⇔ x0 = 0 ÷ 9 5 5 ( ⇒ y0 = ± 3 - Như có điểm thỏa mãn ) Chương CHUYÊN ĐỀ GĨC §3 KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng : a) Công thức tính khoảng cách từ điểm tới đường thẳng : D : ax + by + c = Cho đường thẳng d(M ,(D)) = điểm M ( x0;y0 ) Khi khoảng cách từ M đến (D) ax0 + by0 + c a2 + b2 tính cơng thức: b) Vị trí hai điểm đường thẳng V: ax + by + c = Cho đường thẳng - M, N phía với - M, N khác phía với M ( xM ;yM ) Ï D, N ( xN ;yN ) Ï D Khi đó: D Û ( axM + byM + c ) ( axN + byN + c ) > D Û ( axM + byM + c ) ( axN + byN + c ) < Chú ý: Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng : D1 : a1x + by + c1 = a1x + by + c1 a12 + b12 =± D : a2x + by + c2 = là: a2x + by + c2 a22 + b22 Góc hai đường thẳng: a) Định nghĩa: Hai đường thẳng a b cắt tạo thành bốn góc Số đo nhỏ góc gọi số đo góc hai đường thẳng a b Khi a b a b , hay đơn giản góc song song trùng với , ta quy ước góc chúng b) Cơng thức xác định góc hai đường thẳng 00 Góc xác định hai đường thẳng D : a2x + by + c2 = Câu 1: D1 D2 D : a1x + by + c1 = có phương trình cos( D1; D ) = xác định công thức Góc hai đường thẳng xác định theo cơng thức: ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = a1a2 + b1b2 cos ( ∆1 , ∆ ) = B a1a2 + b1b2 cos ( ∆1 , ∆ ) = a +b + a +b C 2 cos ( ∆1 , ∆ ) = a1a2 + bb a12 + b12 a22 + b22 ∆ : a2 x + b2 y + c2 = cos ( ∆1 , ∆ ) = a12 + b12 a22 + b22 A và D a1a2 + b1b2 a12 + b12 a22 + b22 a1a2 + b1b2 + c1c2 a + b2 Lời giải Chọn C cos ( ∆1 , ∆ ) Câu 2: r r n ∆1 n ∆2 r r a1a2 + b1b2 = cos n ∆1 , n ∆2 = r r = n ∆1 n ∆2 a12 + b12 + a12 + b12 ( ) Tìm cơsin góc A 10 đường thẳng 10 10 B ∆1 10 x + y − = : C 10 10 D ∆2 : x = + t y = 1− t Lời giải Chọn C Véctơ pháp tuyến cos ( ∆1 , ∆ ) Câu 3: A uur uuu r ur uu r | n1.n2 | r= =| cos n1 , n2 |= uur uuu | n1 | | n2 | 10 ( ur uu r n1 (2;1), n2 (1;1) ) Tìm cơsin góc 10 10 ∆1 , ∆ B đường thẳng ∆1 : C Lời giải x + 2y − = D ∆2 : 3 x− y =0 Chọn A Véctơ pháp tuyến cos ( ∆1 , ∆ ) Câu 4: A ur uu r n1 (1; 2), n2 (1; −1) uur uuu r ur uu r | n1.n2 | 10 r= =| cos n1 , n2 |= uur uuu = | n1 | | n2 | 10 10 ( ) Tìm cơsin 13 ∆1 , ∆ đường thẳng B 13 ∆1 : x + y − 10 = ∆2 13 C : D 2x − 3y + = 13 Lời giải Chọn D Véctơ pháp tuyến cos ( ∆1 , ∆ ) Câu 5: 60° ur uu r n1 (2;3), n2 (2; −3) uur uuu r ur uu r | n1.n2 | r= =| cos n1 , n2 |= uur uuu | n1 | | n2 | 13 ( Tìm góc A ∆1 , ∆ ) đường thẳng B 125° ∆1 : 2x + y + = C 145° ∆2 : D y− =0 30° Lời giải Chọn D Véctơ pháp tuyến cos ( ∆1 , ∆ ) Câu 6: ∆1 , ∆ uur uuu r ur uu r | n1.n2 | r= =| cos n1 , n2 |= uur uuu | n1 | | n2 | ⇒ ( ∆1 , ∆ ) = 30° ( ) Tìm góc hai đường thẳng A 45° ur uu r n1 (1; 3), n2 (0;1) B 125° ∆1 : x + 3y = C 30° ∆2 : x + 10 = D Lời giải Chọn D Véctơ pháp tuyến ∆1 , ∆ ur uu r n1 (1; 3), n2 (1;0) 60° cos ( ∆1 , ∆ ) Câu 7: uur uuu r ur uu r | n1.n2 | r= =| cos n1 , n2 |= uur uuu | n1 | | n2 | ⇒ ( ∆1 , ∆ ) = 60° ( Tìm góc A 60° ) đường thẳng B 0° ∆1 : x − y − 10 = 90° C ∆2 x − 3y + = : D 45° Lời giải Chọn D Véctơ pháp tuyến cos ( ∆1 , ∆ ) Câu 8: A ur uu r n1 (2; −1), n2 (1; −3) uur uuu r ur uu r | n1.n2 | r= =| cos n1 , n2 |= uur uuu | n1 | | n2 | ⇒ ( ∆1 , ∆ ) = 45° ( ) Tìm cơsin góc ∆1 , ∆ B đường thẳng ∆1 : x + y − = C ∆2 : 2x − y + = D Lời giải Chọn A Véctơ pháp tuyến cos ( ∆1 , ∆ ) Câu 9: ∆1 , ∆ ur uu r n1 (1; 2), n2 (2; −4) uur uuu r ur uu r | n1.n2 | r= =| cos n1 , n2 |= uur uuu | n1 | | n2 | ( ) Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng ∆2 : x − y + = A 30° Tính góc tạo B 135° ∆1 ∆1 : x + y − = ∆2 C 45° D 60° Lời giải Chọn C ( ∆1 ,Δ ) r r n ∆1 nΔ2 r r = cos n ∆1, n Δ2 = r r = ⇒ ( ∆1 ,Δ ) = 45 ° n ∆1 nΔ2 ( ) Câu 10: Cho hai đường thẳng d2 d1 : x + y + = 0; d : x − y + = Số đo góc d1 A 30° 60° B C 45° D 90° Lời giải Chọn D Véctơ pháp tuyến đường thẳng Véctơ pháp tuyến đường thẳng Ta có d2 r n1 = ( 1; ) r n = ( 2; −1) r r n1.n = ⇒ d1 ⊥ d Câu 11: Tìm góc 90° A d1 đường thẳng 60° B ∆1 : x − y + 15 = C 0° x = 10 − 6t ∆2 : y = + 5t D 45° Lời giải Chọn A Vectơ pháp tuyến đường thẳng Vectơ pháp tuyến đường thẳng Ta có ur uu r n1.n2 = ⇒ ∆1 ⊥ ∆ A B ∆2 là ur n1 = (6; −5) uu r n2 = (5; 6) Câu 12: Tìm cơsin góc đường thẳng 56 65 ∆1 63 13 ∆1 : 3x + y + = C 65 D Lời giải Chọn D Vectơ pháp tuyến đường thẳng Vectơ pháp tuyến đường thẳng ∆1 ∆2 là x = 15 + 12t ∆2 : y = + 5t ur n1 = (3; 4) uu r n2 = (5; −12) 33 65 Gọi ϕ góc gữa Câu 13: Cho đoạn thẳng m d Định A C ur uu r n1.n2 33 ⇒ cos ϕ = ur uu r = n1 n2 65 ∆1 , ∆ để 10 ≤ m ≤ 40 m > 40 AB với A ( 1; ) , B ( −3; 4) AB đoạn thẳng đường thẳng d : 4x − y + m = có điểm chung B D m > 40 m < 10 m < 10 Lời giải Chọn A Đường thẳng d đoạn thẳng hai phía đường thẳng AB có điểm chung ⇔ A, B nằm d ⇔ (4 − 14 + m)(−12 − 28 + m) ≤ ⇔ 10 ≤ m ≤ 40 Câu 14: Cặp đường thẳng phân giác góc hợp ∆:x+ y =0 Ox đường thẳng A B C D (1 + 2) x + y = (1 + 2) x + y = (1 + 2) x − y = x + (1 + 2) y = trục hoành ; ; ; ; x − (1 − 2) y = x + (1 − 2) y = x + (1 − 2) y = x + (1 − 2) y = ? Lời giải Chọn D Gọi ⇒ M ( x; y ) x+ y = y điểm thuộc đường phân giác ⇒ x + (1 ± 2) y = Câu 15: Cho đường thẳng A B A x = + t d y = − 3t : nằm phía m < 13 B ⇒ d ( M , ∆) = d ( M , Ox ) m ≥ 13 d điểm C A ( ; ) , B (−2 ; m) m > 13 D Định m = 13 m để Lời giải Chọn A d : 3( x − 2) + 1( y − 1) = Phương trình tổng quát đường thẳng d : 3x + y − = A, B hay phía với d ⇔ (3 x A + y A − 7)(3 xB + yB − 7) > ⇔ −2( −13 + m) > ⇔ m < 13 Câu 16: Cặp đường thẳng phân giác góc hợp ∆1 : x + y − = ∆2 : 2x − y + = đường thẳng A C 3x + y = 3x + y = và x − 3y = −x + 3y − = B D 3x + y = 3x + y + = x + 3y − = x − 3y − = Lời giải Chọn C Gọi ⇒ M ( x; y ) x + 2y −3 điểm thuộc đường phân giác = 2x − y + − x + y − = ⇒ ⇒ x + y − = ± ( x − y + 3) 3 x + y = Câu 17: Cho hai đường thẳng d2 A π ⇒ d ( M , ∆1 ) = d ( M , ∆ ) B d1 : x − y − = 0; d : 3x − y + 17 = π − C 3π Số đo góc − D π d1 Lời giải Chọn A cos ( d1 , d ) = π ⇒ ( d1 , d ) = Câu 18: Cho đường thẳng A B A m− B điểm d A ( 1;3) , B ( 2; m ) Định C m > −1 Lời giải m=− D m để Chọn B A, B nằm hai phía đường thẳng d ⇔ (3 + 12 − 5)(6 + 4m − 5) > ⇔ m > − Câu 19: Cho ∆ABC với Đường thẳng A Cạnh AC AB C Cạnh d A ( 1;3) , B (−2; 4), C (−1;5) cắt cạnh đường thẳng ∆ABC d : 2x − 3y + = ? B Không cạnh D Cạnh BC Lời giải Chọn B Thay điểm Thay điểm Thay điểm A B C Suy điểm cạnh điểm điểm vào phương trình đường thẳng vào phương trình đường thẳng vào phương trình đường thẳng A B nằm phía d d d d ta ta ta nên d −1 −10 −11 không cắt AB A C và C B nằm phía nằm phía d d nên nên d d không cắt cạnh không cắt cạnh AC BC ∆1 : x + y + = ∆ : y = −10 ∆1 Δ2 Câu 20: Cho hai đường thẳng Góc 30° 45° 88°57 '52 '' 1°13'8'' A B C Lời giải Chọn B Véctơ pháp tuyến đường thẳng Véctơ pháp tuyến đường thẳng ∆1 ∆2 là r n1 = ( 1;1) r n = ( 0;1) D r r n1.n r r = cos n1 , n = r r = ⇒ ( ∆1 , ∆ ) = 45° n1 n ( cos ( ∆1 , ∆ ) Ta có ABC Câu 21: Cho tam giác ABC có ) A ( 0;1) , B ( 2;0 ) , C ( −2; −5 ) Tính diện tích S tam giác S= A B S =5 S =7 C S= D Lời giải Chọn C Ta có ⇒ p= AB = ; AC = 40 = 10 BC = 41 ; + 10 + 41 p ( p − AB ) ( p − AC ) ( p − BC ) = S= AB Câu 22: Cho đoạn thẳng m d Định để A m3 C x = m + 2t d : y = 1− t D Khơng có Lời giải Chọn D Phương trình tổng quát đường thẳng Đường thẳng ⇔ A, B d đoạn thẳng ⇔ (3 − m)(3 − m) < vô nghiệm Câu 23: Đường thẳng ∆ : 3x − y + = A d ax + by − = 0, a, b ∈ ¢ có điểm chung nằm hai phía đường thẳng ⇔ (1 + − m − 2)(−3 + − m − 2) < thẳng AB d : x + 2y − m − = góc B −4 45° qua điểm Khi C a −b M ( 1;1) tạo với đường D m Lời giải Chọn D Gọi đường thẳng Ta có ( ∆, d ) = 45° ⇔ d có véctơ pháp tuyến r r cos n ∆ , n d ( ) r n ∆ = ( a; b ) với a , b ∈ ¢ r r n ∆ n d ⇔ r r = = cos 45° n∆ nd a = 2b ⇔ ⇔ = a = − b 2 2 2 ⇔ 3a − b = a + b ⇔ 2a − 3ab − 2b = 10 a + b 3a − b Với Với a = 2b A chọn a=− b Câu 24: Cho m=0 chọn d : 3x − y = m=0 B = 1; A = ⇒ d : x + y − = B = −2; A = ⇒ d : x − y + = d ' : mx + y − = B D m= Tìm m=± m=0 m cos ( d , d ' ) = để m= C Lời giải Chọn C Véctơ pháp tuyến đường thẳng Véctơ pháp tuyến đường thẳng cos ( d , d ' ) = Ta có r r ⇔ cos n d , n d ' 10 ( ) 10 d d' là ur d = ( 3; −1) ur d ' = ( m;1) r r n d n d ' ⇔ r r = = 10 nd nd ' 10 m = 3m − 1 ⇔ ⇔ = m = 2 10 ⇔ 3m − = m + ⇔ 8m − 6m = 10 + m 4 ABC Câu 25: Cho tam giác ABC có A ( 0;1) , B ( −2;0 ) , C ( 2;5 ) Tính diện tích S tam giác A S =3 B S =5 S= C S= D Lời giải Chọn A AB = Ta có BC = 41 p ( p − AB ) ( p − AC ) ( p − BC ) = Câu 26: Có hai giá trị x+ y = A ; + 20 + 41 ⇒p= S= AC = 20 ; −1 m1 , m2 góc để đường thẳng 60° Tổng m1 + m2 B x + my − = bằng: C −4 hợp với đường thẳng D Lời giải Chọn C r r cos ( d , d ' ) = 60° ⇔ cos n d , n d ' ( Ta có ⇔ m +1 + m2 ⇒ m1 + m2 = − = ) r r n d nd ' 1 ⇔ r r = = nd nd ' 2 2 ⇔ m + = m + ⇔ m2 + 4m + = b = −4 a a Câu 27: Xác định giá trị để góc tạo hai đường thẳng x + y + 12 = 45° đường thẳng A a = ; a = −14 góc B a = ; a = 14 C Lời giải Chọn A Véctơ pháp tuyến đường thẳng a = 1; a = −14 d1 x = + at y = − 2t r n1 = ( 2; a ) D a = −2; a = −14 ... 28 A 29 A Viết phương trình đường thẳng Phương pháp giải Để viết phương trình tổng quát đường thẳng - Điểm D ta cần xác định A(x0;y0) Ỵ D - Một vectơ pháp tuyến u r n ( a;b) D Khi phương trình... vectơ phương r u ( a;b) , ab ¹ Phương trình tắc đường thẳng (trường hợp ab = Đường thẳng qua điểm D D x - x0 y - y0 = a b đường thẳng khơng có phương trình tắc) M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k có phương. .. đường thẳng A d d B C D d d x− y−3= có vectơ pháp tuyến có vectơ phương k= có hệ số góc 2x − y −1 = d : 3x + y + 2018 = r n = ( 3;5 ) Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau: r u = ( 5; −3) song song