Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng §1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A LÝ THUYẾT Vectơ phương đường thẳng r Vectơ ur ≠ đgl vectơ phương đường thẳng ∆ giá song song trùng với ∆ r r Nhận xét: – Nếu u VTCP ∆ ku (k ≠ 0) VTCP ∆ – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm VTCP Vectơ pháp tuyến đường thẳng r Vectơ nr ≠ đgl vectơ pháp tuyến đường thẳng ∆ giá vng góc với ∆ r r Nhận xét: – Nếu n VTPT ∆ kn (k ≠ 0) VTPT ∆ – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm VTPT r r – Nếu u VTCP n VTPT r r ∆ u ⊥ n Phương trình tham số đường thẳng Cho đường thẳng ∆ qua M ( x0 ; y0 ) có VTCP r u = (u1; u2 ) Phương trình tham số ∆: x = x0 + tu1 y = y0 + tu2 (1) ( t tham số) Nhận xét: – M(x; y) ∈ ∆ ⇔ ∃ t ∈ R: x = x0 + tu1 y = y0 + tu2 – Gọi k hệ số góc ∆ thì: · + k = tanα, với α = xAv ,α≠ 900 u2 +k= u , với u1 ≠ Phương trình tắc đường thẳng Cho đường thẳng ∆ qua M ( x0 ; y0 ) có VTCP r u = (u1; u2 ) r n = ( a; b ) – Nếu ∆ qua M ( x0 ; y0 ) có VTPT phương trình ∆ là: a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) = Các trường hợp đặc biệt: • ∆ qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): Phương trình ∆: x y + = (phương a b trình đường thẳng theo đoạn chắn) • ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k: Phương trình ∆: y − y0 = k ( x − x0 ) (phương trình đường thẳng theo hệ số góc) Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1 y + c1 = ∆2: a2 x + b2 y + c2 = Toạ độ giao điểm ∆1 ∆2 nghiệm hệ phương trình: a1x + b1 y + c1 = a2 x + b2 y + c2 = (1) a b ⇔ a1 ≠ b1 (nếu 2 • ∆1 cắt ∆2 ⇔ hệ (1) có nghiệm a2 , b2 ≠ ) a b c • ∆1 // ∆2 ⇔ hệ (1) vô nghiệm⇔ a1 = b1 ≠ c1 (nếu 2 a2 , b2 , c2 ≠ ) • ∆1 ≡ ∆2 ⇔ hệ (1) có vơ số nghiệm a b c ⇔ a1 = b1 = c1 (nếu 2 a2 , b2 , c2 ≠ ) Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng r ∆1: a1x + b1 y + c1 = (có VTPT n1 = ( a1; b1 ) ) r ∆2: a2 x + b2 y + c2 = (có VTPT n2 = (a2 ; b2 ) ) r r r r (n1, n2 ) ≤ 900 · , ∆ ) = (n1, n2 ) (∆ r r r r 180 − ( n1, n2 ) (n1, n2 ) > 90 r r a1b1 + a2b2 · , ∆ ) = cos(n·r , nr ) = n1.n2 = cos(∆ r r 2 n1 n2 a1 + b12 a22 + b22 Chú ý: • ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ a1a2 + b1b2 = • Cho ∆1: y = k1x + m1 , ∆2: y = k2 x + m2 thì: + ∆1 // ∆2 ⇔ k1 = k2 + ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1 k2 = –1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = điểm M ( x0 ; y0 ) d (M , ∆) = ax0 + by0 + c a + b2 • Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng Phương trình tắc ∆: Cho đường thẳng ∆ : ax + by + c = hai điểm M ( xM ; yM ), N ( xN ; y N ) ∉ ∆ (2) (u1 ≠ 0, u2 ≠ 0) - M, N nằm phía ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) > Chú ý: Trong trường hợp u1 = u2 = đường thẳng khơng có phương trình tắc -M, N nằm khác phía ∆ Phương trình tổng quát đường thẳng ⇔ (axM + byM + c)(axN + by N + c ) < PT ax + by + c = với a + b2 ≠ đgl phương trình tổng • Phương trình đường phân giác góc tạo quát đường thẳng hai đường thẳng Nhận xét: – Nếu ∆ có phương trình ax + by + c = ∆ Cho hai đường thẳng ∆ 1: a1x + b1 y + c1 = có: r a ∆ : x + b2 y + c2 = cắt VTPT n = (a; b) VTCP r r Phương trình đường phân giác góc tạo u = ( −b; a ) u = (b; −a ) x − x0 y − y0 = u1 u2 hai đường thẳng ∆ ∆ là: a1x + b1 y + c1 a12 + b12 =± Ví dụ 2: Cho tam giác ABC biết A(1;4), B(3;2), C(7;3) Lập phương trình tổng quát đường thẳng chứa đường cao AH đường trung tuyến AM tam giác a2 x + b2 y + c2 a22 + b22 B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Viết phương trình tham số đường thẳng Phương pháp: muốn viết phương trình tham số đường thẳng ∆ cần tìm yếu tố: r Véc tơ phương đường thẳng ∆ u (u1; u2 ) Tìm điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc ∆ Chú ý: r Nếu ∆ có hệ số góc k chọn u (1; k ) r uuuu r Biết hai điểm M, N thuộc ∆ chọn u = MN r r Nếu ∆ có véc tơ pháp tuyến n(a; b) chọn u (b; −a) Ví dụ 1: Lập phương trình tham số đường thẳng ∆ trường hợp sau: ∆ qua hai điểm A(1;-4), B(-3;5) a) ∆ qua điểm M(1;-2) có véc tơ pháp b) r tuyến n(4; −3) Ví dụ 2: Cho biết trung điểm cạnh AB, BC, CA tam giác M(3;-2), N(-1;1), P(5;2) Hãy lập phương trình tham số đường thẳng chứa cạnh tam giác Ví dụ 3: Lập phương trình tham số đường thẳng d trường hợp sau: a) d qua điểm M(3;-5) có hệ số góc k=-3 b) d qua điểm N(0;-4) song song với đường Dạng 3: Xét vị trí tương đối hai đường thẳng Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng m n có phương trình tổng qt là: (m) : x − y − = , (n) : x − y − 10 = a) Tìm giao điểm m n b) Tính góc m n Ví dụ 2: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng cho phương trình sau đây: a) (d1) : x − y + = 0; (d ) : x + y + = b) (d3 ) : x + y + = 0; ( d ) : x + y − = c) x = −6 + 10t ( d5 ) : x + y − = 0; (d ) : y = − 8t Dạng 4: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Ví dụ 1: Trong mp Oxy cho hai điểm M(2;5) N(5;1) Lập phương trình đường thẳng qua điểm M cho khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng Ví dụ 2: Dạng 5: Phương trình đường phân giác Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng ∆1, ∆ có phương trình ∆1 : x − y − = 0; ∆ : x + y − = Hãy lập phương trình đường phân giác góc hợp thành đường thẳng Ví dụ 2: Trong mp tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(6;-3), B(-4;3), C(9;2) Viết phương trình đường thẳng d · chứa phân giác góc BAC ( cách) C BÀI TẬP TỰ LUYỆN x = −1 + 2t thẳng ∆ có phương trình y = 10 − t Bài 1: Cho đường thẳng d: x-2y+2=0 điểm M(1;4) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua d Bài 2: Trong mp Oxy cho đường thẳng d có phương trình Dạng2: Viết phương trình tổng quát đường thẳng tổng quát 3x+4y-12=0 Phương pháp: muốn viết phương trình tổng quát a) Xác định tọa độ giao điểm A, B d đường thẳng ∆ cần tìm yếu tố: với trục Ox, Oy r Véc tơ pháp tuyến đường thẳng ∆ n(a; b) b) Tính tọa độ hình chiều H gốc O d Tìm điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc ∆ c) Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d Áp dụng công thức a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = sau chuyển qua gốc O Bài 3: Trong mp Oxy cho tam giác ABC biết phương trình dạng ax + by + c = đường thẳng BC, CA, AB là: BC: x-3y-6=0; Nhận xét: CA: x+y-6=0; AB: 3x+y-8=0 Nếu đường thẳng ∆ song song trùng với a) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C tam giác ax + by + c = đường d có phương trình ∆ có b) Chứng minh tam giác ABC vng B Tính phương trình tổng quát ax + by + c ' = lúc ta diện tích tam giác cần tìm c’ c) Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao BH Nếu đường thẳng ∆ vuông góc với đường d có tam giác ABC tìm tọa độ chân đường cao H phương trình ax + by + c = ∆ có phương trình Bài 4: Lập phương trình đường thẳng đối xứng với đường tổng quát bx − ay + c '' = lúc ta cần tìm c” thẳng d: x-2y-5=0 qua A(2;1) Có thể chuyển phương trình tham số sang phương Bài 5: Ba trung điểm cạnh tam giác trình tổng quát cách khử tham số sau: M1 (2;1), M (5;3), M (3; −4) Tìm phương trình cạnh tam x = x0 + tu1 x − x0 y − y0 ⇔ = ⇔ u2 ( x − x0 ) − u1( y − y0 ) = giác y = y + tu u1 u2 Bài : Lập phương trình đường thẳng qua P(6;4) tạo với Ví dụ 1: Lập phương trình tổng quát đường thẳng d hai trục toạ độ tam giác có diện tích trường hợp sau: Bài 7: Viết phương trình tổng quát đường thẳng ∆ a) dr qua điểm A(2;-3) có véc tơ pháp tuyến cho n(1; −2) a) ∆ song song với đường thẳng d1 có phương trình b) dr qua điểm B(4;-2) có véc tơ pháp tuyến 3x-4y+2=0 cắt trục Ox, Oy A, B u (4; −3) cho AB=5 b) Đường ∆ qua điểm I(3;1) cắt trục Ox, Oy C D tam giác CDE cân E với E(2;-2) Bài 8: Lập phương trình đường thẳng ∆ qua Q(2;3) cắt hai tia Ox ,Oy hai điểm M, N ( ≠ O) cho OM+ON nhỏ Bài 9: Cho M(2;3), viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai tia Ox ,Oy hai điểm hai điểm A, B cho tam giác ABC có diện tích nhỏ Bài 10: Cho P(-2;3) Tìm phương trình đường thẳng qua P cách dều hai điểm A(5;-1), B(3;7) Bài 11: Lập phương trình đường thẳng qua P(1;-2) cách Q(-1;1) khoảng d = 5 Bài 12: Cho hai điểm A(0;5), B(4;1) Tìm ∆ : x4y+7=0 điểm C cho ∆ ABC cân C Bài 13: Cho ∆ : 2x+y-1=0 Tìm ∆ điểm có khoảng cách đến d: 4x+3y-10=0 Bài 14: Trong mp Oxy cho hai đường thẳng ∆, ∆ ' có phương trình: ∆ : x + y − = 0; ∆ ' : x − y + = a) Tính góc ∆, ∆ ' b) Tính khoảng cách từ điểm M(5;3) đến ∆, ∆ ' c) Viết phương trình đường phân giác góc hợp ∆, ∆ ' Bài 15: Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua điểm A(0;1) tạo với đường thẳng ∆ : x+2y+3=0 góc ϕ = 45o Bài 16: a) (CĐKTKT-2004) Lập phương trình đường thẳng qua A(1;1) tạo với đường thẳng d: 2x+3y+1=0 góc 45o b) Lập phương trình đường thẳng qua A(-2;0) tạo Bài 22: Trong mp với hệ toạ độ đề vng góc Oxy xét tam giác ABC với phương trình đường thẳng AB x-2y+7= 0, đường trung tuyến kẻ từ A, B có phương trình x+y-5 =0 2x+y-11= Hãy tính diện tích tam giác ABC lập phương trình hai đường thẳng AC, BC Bài 23:(KB-2004) Cho A(1;1), B(4;-3) Tìm C thuộc đường thẳng d: x-2y-1=0 cho khoảng cách từ C đến AB Bài 24: Cho A(1;2), B(2;5) Điểm M di động d: x-2y2=0 Tìm giá trị nhỏ : a) MA+MB uuur uuur b) MA + MB 2.Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn MA − MB Bài 25: cho đường thẳng ∆ m : (m − 2) x + (m − 1) y + 2m − = hai điểm A(2;3), B(1;0) a) Chứng minh ∆ m qua điểm cố định với m b) Xác định m để ∆ m có điểm chung với đoạn AB c) Tìm m để khoảng cách từ A đến ∆ m lớn Ghi chú: Nguyễn Mộng Hy: Trần Thành Minh: §2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN A LÝ THUYẾT Phương trình đường trịn Phương trình đường trịn có tâm I(a; b) bán kính R: ( x − a ) + ( y − b)2 = R Nhận xét: Phương trình x + y + 2ax + 2by + c = , với x = + 3t a + b − c > , phương trình đường trịn tâm I(–a; – với đường thẳng y = − 2t góc 60o b), bán kính R = a + b − c A ( ;3), B (1; 2), C ( − 4;3) Bài 17: Cho tam giác ABC với Viết Phương trình tiếp tuyến đường trịn: M ( x0 ; y0 ) uuur ( tiếp tuyến qua M nhận IM véc tơ pháp tuyến) có phương trình đường phân giác góc A dạng: ( x0 − a)( x − x0 ) + ( y0 − b)( y − y0 ) = Bài 18: (KA-2004) Cho tam giác ABC có: A(-6;-3), B(3 Điều kiện tiếp xúc: Cho đường trịn (C) có tâm I, bán 4;3), C(9;2) kính R đường thẳng ∆ a) Viết phương trình cạnh ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d ( I , ∆) = R b) Viết phương trình đường phân giác góc A B CÁC DẠNG TOÁN tam giác ABC Bài 19: Cho hai đường thẳng ∆, ∆ ' có phương trình: Dạng 1:Nhận dạng phương trình bậc hai phương x = − 2t x = −5 + 4m trình đường trịn ∆: ;∆': y = − + t y = − + m Ví dụ 1: Hãy xét xem phương trình bậc hai sau a) Tìm giao điểm C ∆, ∆ ' đây, phương trình phương trình đường trịn? Tìm tâm ∆ , ∆ ' bán kính có: b) Viết PTTQ đường thẳng d qua I(2;-3) cắt A, B cho I trung điểm AB a) x + y − x + y + 100 = Bài 20: Trong mp với hệ toạ độ đề vng góc Oxy cho b) x + y − x + y − 36 = tam giác ABC có đỉnh A(1;0) hai đường cao vẽ từ hai B, c) x + y + x − y − 118 = C có phương trình tương ứng x-2y+1= 3x+y-1= Ví dụ 2: Cho phương trình đường bậc hai Cm : Tính diện tích tam giác ABC Bài 21: (CĐSPVP-2002) Trong mp với hệ toạ độ đề x + y + 4mx − 2my + 2m + = (1) vng góc Oxy cho tam giác ABC điểm M(-1;1) trung a) Với giá trị m (1) phương trình đường điểm AB Hai cạnh AC BC theo thứ tự nằm hai tròn? đường thẳng : 2x+y-2=0 ,và x+3y-3=0 b) Nếu (1) phương trình đường trịn, tìm tọa độ a) Xác định toạ độ ba đỉnh A,B,C tam giác viết tâm bán kính đường trịn theo m phương trình đường cao CH c) Tìm tập hợp tâm đường trịn Cm b) Tính diện tích tam giác ABC Dạng2: Lập phương trình đường trịn Phương pháp: Tìm tọa độ tâm I(a;b) bán kính R đường trịn Khi phương trình đường tròn: b) Cho A(3;-1) Chứng minh A điểm đường trịn Viết phương trình đường thẳng d qua A 2 cắt (C) theo dây cung có độ dài nhỏ ( x − a ) + ( y − b) = R c) Cho d’: 3x-4y=0, chứng minh d’ cắt (C) Tính độ Giả sử phương trình đường trịn có dạng: dài dây cung x + y + 2ax + 2by + c = (*), tùy điều kiện bào Bài 7: Viết phương trình đường trịn trường hợp toán đưa hệ với ẩn số a,b,c giải hệ sau: phương trình tìm a,b,c vào (*) a) Có bán kính 5, tâm thuộc Ox qua A(2;4) Ví dụ 1: Trong mp(Oxy) cho hai điểm A(-2;0), B(0;4) Viết b) Có tâm I(2;-1) tiếp xúc ngồi với đường trịn phương trình đường tròn (C) qua ba điểm O, A, B ( x − 5) + ( y − 3) = Ví dụ 2: Trong mp Oxy, viết phương trình đường trịn c) Tiếp xúc với hai trục có tâm nằm đường qua điểm M(1;2), N(5;2), P(1;-2) ( cách ) thẳng ∆ : x − y − = Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến đường trịn d) Qua A(0;2), B(-1;1) có tâm đường thẳng Phương pháp: 2x+3y=0 Nếu biết tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) đường trịn (C) uuur e) Qua A(5;3) tiếp xúc với đường thẳng d: tiếp tuyến qua M nhận IM véc tơ pháp tuyến có x+3y+2=0 T(1;-1) dạng: ( x0 − a)( x − x0 ) + ( y0 − b)( y − y0 ) = Bài 8: 2.Nếu ta chưa biết tiếp điểm ta sử dụng điều kiện tiếp xúc: a) Viết phương trình tiếp tuyến với đường trịn ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d ( I , ∆) = R x + y = biết tiếp tuyến có hệ số góc Ví dụ 1: Cho đường tròn x + y − x + y − 20 = điểm b) Viết phương trình tiếp tuyến với đường trịn M(4;2) x + ( y − 1) = 25 biết tiếp tuyến vng góc với đường a) Chứng tỏ điểm M nằm đường tròn thẳng 3x-4y=0 b) Lập phương trình tiếp tuyến đường trịn M Bài 9: Cho hai đường tròn (C ) : x + y = Ví dụ 2: Cho đường trịn (C) có phương trình (C ') : ( x − 2)2 + ( y − 3)2 = Viết phương trình tiếp tuyến chung x2 + y − x + y = a) Chứng tỏ điểm M(4;7) nằm đường trịn hai đường trịn b) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) Bài 10: Cho (Cm ) : x + y + 2mx − 2(m + 1) y − 2m − = qua điểm M a) Chứng minh (Cm) đường tròn với m C BÀI TẬP TỰ LUYỆN b) Viết phương trình (Cm) có bán kính nhỏ Bài 1: Viết phương trình đường trịn trường hợp c) Chứng minh có hai đường trịn (Cm) tiếp xúc với sau: đường thẳng x+y+5=0 a) Đi qua điểm A(-1;3), B(1;-5) có tâm Bài 11: Cho đường tròn (C) x + y − x + y − = trục tung a) Tìm độ dài dây cung mà (C) chắn trục Ox b) Qua điểm A(0;6), B(4;0), C(3;0) b) Tìm độ dài tiếp tuyến vẽ từ A(-2;3) đến đường tròn c) Qua điểm A(2;-1) tiếp xúc với hai trục Ox, Oy (C) d) Có tâm điểm M(-4;2) tiếp xúc với đường c) Tìm tâm bán kính đường trịn (C’): thẳng có phương trình 3x+4y-16=0 x + y + x + y + 13 = Chứng minh (C) (C’) tiếp e) Qua hai điểm A(2;3), B(-1;1) có tâm I(a;b) nằm đường thẳng x-3y-11=0 xúc T Viết phương trình tiếp tuyến chung Bài 2: Trong mp Oxy cho hai điểm A(8;0), B(0;6) T a) Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác Bài 12: Cho đường tròn (C) x + y + x − y + = OAB a) Điểm M(-1;1) hay ngồi đường trịn? Lập b) Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác phương trình đường thẳng chứa dây cung qua M OAB có độ dài ngắn Bài 3: Trong mp Oxy cho đường trịn (C) có phương trình b) Lập phương trình đường thẳng qua O cắt (C) x + y − x + y + = điểm A(1;3) theo dây cung có độ dài a) Xác định tâm I bán kính R đường trịn Bài 13: Lập phương trình đường trịn: b) Chứng tỏ điểm A bên ngồi đường trịn a) Qua A(1;2) tiếp xúc với hai trục tọa độ c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua A b) Tiếp xúc với hai đường thẳng song song ∆ : x − y − = 0, ∆ ' : x − y + = có tâm Oy Bài 4: Cho đường thẳng ∆ : 3x − y − 31 = điểm M(1;-7) c) Tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x + y − = điểm a) Chứng tỏ điểm M thuộc đường thẳng ∆ T(2;1) có bán kính b) Lập phương trình đường trịn có bán kính R=5 d) Tiếp xúc với hai đường thẳng tiếp xúc với đường thẳng ∆ điểm M cho x − y + = 0, x + y + = qua gốc O Bài 5: Cho họ đường trịn (Cm ) có phương trình 2 Bài 14: Cho đường tròn (C) ( x − 2)2 + ( y + 1) = x + y − 2( m + 1) x − 2( m + 2) y + 6m + = ( m tham số) a) Tìm Oy điểm từ kẻ hai tiếp tuyến với a) Tìm tâm bán kính đường trịn thuộc họ cho (C) hai tiếp tuyến vng góc với m=3 b) Tìm (C) điểm gần gốc O b) Tìm tập hợp tâm đường tròn thuộc họ cho Bài 6: Cho đường tròn (C) x + y − x + y − = a) Tìm tâm bán kính (C) Bài 15: Cho hai đường tròn (C ) : x + y − x − y + = 0, (C ') : x + y + x + y − = a) Chứng minh hai đường tròn tiếp xúc ngồi Tìm tọa độ tiếp điểm T b) Viết phương trình tiếp tuyến chung T Bài 16: Cho đường tròn ( x − 3)2 + ( y + 2)2 = điểm M(-3;1) a) Chứng minh M ngồi đường trịn b) Tính phương tích M đường trịn tính độ dài tiếp tuyến MT Bài 17: Cho hai đường tròn (C ) : x + y − x − y + = 0, (C ') : x + y − x + y − = Chứng minh hai đường tròn có hai tiếp tuyến chung Bài 18: viết phương trình tiếp tuyến đường tròn a e điểm Fi là: x ± = • Với M ∈ (E) ta có: MF1 MF2 = =e d ( M , ∆1 ) d ( M , ∆ ) (e < 1) B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Xác định yếu tố elip Ví dụ 1: Xác định độ dài trục, tọa độ tiêu điểm, tọa độ đỉnh, tâm sai vẽ elip có phương trình: a) ( E ) : x + 25 y = 225 b) x2 y + =1 Dạng 2: Lập phương trình tắc Elip Ví dụ 1: Lập phương trình tắc Elip (E) (C ) : x + y − x − y − = 0, a) Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng 3x+y=0 trường hợp sau: a) Độ dài trục lớn 10 tiêu cự b) Biết tiếp tuyến xuất phát từ điểm A(3;-2) b) Một tiêu điểm F2 (0; 2) điểm M (1;2 ) nằm c) Gọi tiếp điểm câu b) T1,T2 Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác AT1T2 đường elip thẳng qua hai tiếp điểm T1, T2 Ví dụ 2: lập phương trình elip biết Bài 19: Cho hai đường tròn (C ) : x + y − x − y − = 0, a) (E) có đỉnh (5;0) tiêu cự 2 b) (E) có đỉnh (0;3) qua điểm M(4;1) (C ') : x + y − x − y + 16 = a) Chứng minh hai đường tròn cắt nhau; c) (E) qua hai điểm M (1; ), N (− 2; ) 2 b) Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm hai đường trịn; Dạng 3: Tìm điểm thuộc elip c) Tìm phương trình tiếp tuyến chung chúng Cần nhớ: Bài 20: Biện luận theo m vị trí tương đối đường thẳng x2 y M ( x0 ; y0 ) ∈ ( E ) ⇔ 02 + 02 = ⇔ MF1 + MF2 = 2a ∆ đường tròn (C): a b a) ∆ : x + y + m = 0,(C ) : ( x − 2)2 + y = 10 c c MF1 = a + xM , MF2 = a − xM 2 b) ∆ : x − my + m − = 0,(C ) : x + y − x − y + = a a §3 PHƯƠNG TRÌNH ELIP x2 y + =1 Ví dụ 1: Cho elip (E): A LÝ THUYẾT Định nghĩa a) Tìm (E) điểm M có hồnh độ b) Tìm tọa độ giao điểm (E) đường Cho F1, F2 cố định với F1F2 = 2c (c > 0) M ∈ ( E ) ⇔ MF1 + MF2 = 2a (a > c) thẳng y = x − c) Tìm (E) điểm M cho góc F1, F2: tiêu điểm, F1F2 = 2c : tiêu cự · MF = 90o Phương trình tắc elip F x2 y d) Tìm (E) điểm M cho + =1 2 a2 2 b2 F1M − F2 M = ( a > b > 0, b = a − c ) • Toạ độ tiêu điểm: • Với M(x; y) ∈ (E), MF1, MF2 đgl bán kính qua tiêu điểm M F1 (−c;0), F2 (c;0) MF1 = a + c c x, MF2 = a − x a a Ví dụ 2: Cho elip ( E ) : x + y = có tiêu điểm F1, F2 M điểm (E) a) Tìm (E) điểm M cho F1M = F2 M b) Chứng minh: F1M F2 M + OM = a + b Dạng 4: Tập hợp điểm elip Phương pháp: Để chứng minh tập hợp điểm M elip Hình dạng elip • (E) nhận trục toạ độ làm trục đối xứng gốc có hai cách Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến hai điểm toạ độ làm tâm đối xứng A ( − a ;0), A ( a ;0), B (0; − b ), B (0; b ) cố định F1, F2 số • Toạ độ đỉnh: 2 Chứng minh tỉ số khoảng cách từ M đến • Độ dài trục: trục lớn: A1A2 = 2a , điểm cố định F đến đường thẳng cố định ∆ B B = b trục nhỏ: số e1) c) Định m để MNPQ hình vng c) Khoảng cách từ đỉnh trục lớn tới đỉnh Bài 15: Cho elip ( E ) : x + y = 45 có tiêu điểm F1, F2 M nằm trục bé tiêu cự Bài 6: Cho đoạn AB có độ dài khơng đổi Điểm điểm (E) A(0;a) di động trục tung điểm B(b;0) di động a) Chứng minh: chu vi tam giác F1MF2 khơng đổi Tìm trục hồnh M điểm chia đoạn AB theo tỉ số -2 Tìm tọa M để diện tích tam giác F1MF2 độ M, suy M di động elip 1 b) Tìm M cho T = F1M + F2 M + F M + F M lớn x2 2 Bài 7: Cho elip ( E ) : + y = Tìm : Bài 16: Cho đường trịn tâm O, bán kính AB a) (E) điểm N có tung độ gấp đơi hồnh độ đường kính trục Ox Gọi M, N hai điểm di động b) (E) điểm P cho F· 1PF2 = 90o tiếp tuyến đường trịn A B, có tung độ m,n thỏa mãn điều kiện mn=4 c) Tọa độ đỉnh hình hình vng nội tiếp (E) biết a) Chứng minh MN tiếp tuyến đường trịn (O); hình vng có cạnh song song với Ox, Oy b) AN BM cắt I Chứng minh I di động Bài 8: Cho elip (E) có độ dài trục lớn qua điểm elip M( ; 2) c) Gọi H, K trung điểm AM BN Chứng minh đường trịn đường kính HK qua hai a) Lập phương trình (E) tiêu điểm E b) Tính độ dài dây cung (E) vng góc với trục Bài 17: Cho điểm M di động ( E ) : x + 16 y = 144 H lớn tiêu điểm; c) Tìm (E) điểm M cách tâm O khoảng K hình chiếu M hai trục Tìm M để diện tích tứ 26 giác OHMK lớn Bài 18: Cho M, N hai điểm Elip Bài 9: Lập phương trình (E) biết: ( E ) : x + y = 36 không trùng với đỉnh Gọi I a) Tiêu cự khoảng cách từ đỉnh đến tiêu trung điểm MN điểm 5; a) Chứng minh rằng: tích hệ số góc đường MN b) Độ dài trục nhỏ tiêu điểm có tọa độ đường OI có giá trị khơng đổi (2;0) b) Viết phương trình đường MN biết I có tọa độ (1;1) c) Một tiêu điểm F2 (5;0) khoảng cách hai §4 PHƯƠNG TRÌNH HYPEBOL đỉnh A LÝ THUYẾT Bài 10: Lập phương trình (E) biết: Định nghĩa a) Độ dài trục lớn qua điểm (2 2;2) ; Cho F1, F2 cố định với F1F2 = 2c (c > 0) M ∈ ( H ) ⇔ MF1 − MF2 = 2a (a < c) b) Qua hai điểm P(2 2; ), Q(2; ) 3 F F = c F1, F2: tiêu điểm, : tiêu cự 2 Phương trình tắc hypebol (1; ) c) Có tiêu cự qua điểm x2 a − y2 b2 =1 ( a, b > 0, b = c − a ) F1 (−c;0), F2 (c;0) • Toạ độ tiêu điểm: MF , MF • Với M(x; y) ∈ (H), đgl bán kính qua tiêu điểm M Phương pháp: Để chứng minh tập hợp (H) điểm M Hypebol ta có hai cách: Cách 1: • Tìm hai điểm cố định F1, F2 c c MF1 = a + x , MF2 = a − x a a • Chứng minh MF1 − MF2 = 2a (2a < F1F2 ) Hình dạng hypebol Khi M di động hypebol có hai tiêu • (H) nhận trục toạ độ làm trục đối xứng gốc điểm F1, F2 có trục thực 2a toạ độ làm tâm đối xứng Cách 2: • Toạ độ đỉnh: A1(− a;0), A2 (a;0) o Tìm điểm cố định F đường thẳng ∆ cố • Độ dài trục: trục thực: 2a, trục ảo: 2b định ( F ∉ ∆) • Hypebol gồm hai nhánh: nhánh trái gồm điểm MF o Chứng minh d ( M , ∆) = e > Khi M di có x ≤ −a , nhánh phải gồm điểm có x ≥ a c động hypebol (H) có tiêu điểm F, • Tâm sai (H): e = (e > 1) a đường chuẩn ∆ tâm sai e • Hình chữ nhật sở: tạo đường thẳng Ví dụ 1: Cho điểm A cố định đường thẳng ∆ cố định x = ± a , y = ±b không qua A M điểm di động cho với m b dương, đường trịn C(M;m) ln tiếp xúc với ∆ đường • Phương trình đường tiệm cận: y = ± x a trịn C’(M;2m) ln qua A Hãy chứng tỏ M di động Đường chuẩn hypebol hypebol • Phương trình đường chuẩn ∆i ứng với tiêu C BÀI TẬP TỰ LUYỆN a Bài 1: Cho hai đường trịn ngồi Tìm quỹ tích tâm điểm Fi là: x ± = e đường tròn tiếp xúc với hai đường trịn MF1 MF2 Bài 2: Lập phương trình tắc hypebol biết: = =e • Với M ∈ (H) ta có: (e d ( M , ∆1 ) d ( M , ∆ ) a) Nửa trục thực 4, tiêu cự 10 > 1) b) Tiêu cự 13 , tiệm cận y = x B CÁC DẠNG TOÁN ( 10;6) c) Tâm sai hypebol qua điểm e = Dạng 1: Xác định yếu tố hypebol Bài 3: Trong hệ tọa độ Oxy cho A1(− a;0), A2 (a;0) Gọi (C) Ví dụ 1: Tìm độ dài trục, tọa độ tiêu điểm, tọa độ đường tròn thay đổi qua A1, A2 ; MM’ đường kính đỉnh, phương trình tiệm cận vẽ Hypebol có (C) ln song song với Ox Tìm quỹ tích điểm M phương trình sau: 2 M’ x y − =1 a) x − 16 y = 144 b) Bài 4: Tìm quỹ tích tâm đường tròn chắn hai trục Ox, Oy hai đoạn thẳng có độ dài 2a 2b Dạng2: Lập phương trình tắc hypebol Bài 5: Chứng minh tích khoảng cách từ điểm Ví dụ 1: Lập phương trình tắc Hypebol (H) cho tùy ý hypebol đến hai đường tiệm cận số tiêu cự 20 tiệm cận có phương trình 4xđổi 3y=0 x2 y Bài 6: Cho Hypebol ( H ) : − = có tiêu điểm F1, F2 , Ví dụ 2: Lập phương trình tắc hypebol biết: a b a) (H) có độ dài trục thực 6, tiêu điểm (4;0) điểm M thuộc (H) Chứng minh: tích khoảng cách từ M b) (H) có đỉnh (5;0), tiệm cận y=2x đến hai tiệm cận có giá trị khơng đổi c) (H) có tiệm cận y = − x qua điểm x2 y Bài 7: Cho Hypebol ( H ) : − = Một đường d có M (4; 2) d) (H) qua hai điểm M (1; 3), N ( − 2; 2) phương trình y=x+m cắt (H) M,N hai tiệm cận P,Q Chứng minh: MP=NQ e) (H) có tiêu điểm F2 (3;0) qua điểm (3; ) Bài 8: xác định độ dài trục, tọa độ đỉnh, tiêu điểm, tiệm cận vẽ hypebol sau; Dạng 3: Tìm điểm thuộc hypebol x2 y Cần nhớ: − =1 a) b) x − y = 36 x02 M ( x0 ; y0 ) ∈ ( H ) ⇔ c c MF1 = a + xM , MF2 = a − xM a a Ví dụ 1: Cho hypebol ( H ) : a − y02 b = ⇔ MF1 − MF2 = 2a x2 y2 − =1 a) Tìm (H) điểm M có tung độ b) Tìm (H) điểm M cho góc F· 1MF2 = 90o c) Tìm (H) điểm M cho F1M = F2 M Dạng 4: Tập hợp điểm hypebol Bài 9: Cho hypebol (H): x − a) b) c) d) y2 = Tìm (H): Điểm M có hồnh độ Điểm N cách hai trục tọa độ Điểm P cho F· 1PF2 = 90o Tọa độ đỉnh hình chữ nhật sở (H) biết hình chữ nhật có cạnh song song với trục tọa độ có diện tích e) Tìm điểm Q cho F2Q = F1Q Bài 10: Cho hypebol (H) có độ dài trục thực qua điểm M ( 5; 2) a) Lập phương trình (H) b) Tính độ dài dây cung (H) vng góc với trục thực tiêu điểm; c) Tìm giao điểm (H) với đường trịn đường kính F1F2 với F1, F2 tiêu điểm (H) Bài 11: Lập phương trình tắc hypebol (H) biết: a) Tiêu cự có độ dài khoảng cách từ đỉnh trục thực đến tiêu điểm 1; b) Độ dài trục ảo tiêu điểm (3;0) c) Một tiêu điểm F2 (5;0) tiệm cận y=2x; d) Một tiệm cận y = 3x qua điểm (3; 15) e) Một tiêu điểm (2;0) qua điểm (3; 2) Bài 12: Lập phương trình tắc hypebol (H) biết a) (H) qua điểm ( 3;1) góc F· 1MF2 = 90o b) Một tiêu điểm có tọa độ (2;0) khoảng cách từ đến tiệm cận 1; c) Một tiêu điểm có tọa độ (3;0) dây cung qua tiêu điểm vuông góc với Ox có độ dài 5; d) Một tiệm cận có hệ số góc b) Viết phương trình đường trịn qua giao điểm (H) (E) Bài 18: Cho hai điểm A1(−2;0), A2 (2;0) Gọi (I) đường tròn di động qua A1, A2 MM’ đường kính (I) phương với Ox Chứng minh tập hợp điểm M, M’ hypebol Bài 19: Cho đường tròn tâm O, bán kính Gọi A A’ hai điểm đường trịn có hồnh độ -1 Đường thẳng di động x=m ( m khác 0, -1;1) cắt đường trịn M, M’ (M có tung độ dương) a) Tìm tọa độ M M’; b) Viết phương trình đường thẳng AM A’M’ Chứng minh giao điểm AM, A’M’ di động hypebol cố định §5 PHƯƠNG TRÌNH PARABOL A LÝ THUYẾT Định nghĩa: Cho điểm F đường thẳng ∆ không chứa F ( P ) = { M / MF = d ( M , ∆)} khoảng cách từ tiêu điểm đến tiệm cận Bài 13: Cho đường trịn tâm I(-6;0) có bán kính điểm J(6;0) (M) đường trịn di động ln qua J tiếp xúc với (I) Chứng minh tập hợp tâm đường tròn (M) hypebol Viết phương trình hypebol Bài 14: Cho Hypebol ( H ) : x − y = 36 a) Xác định tiêu điểm, độ dài trục tiệm cận b) M điểm tùy ý (H) Chứng minh: ( F1M + F2 M ) − 4OM số c) Cho đường thẳng d thay đổi x+y+m=0 Chứng minh: d cắt (H) hai điểm phân biệt P,Q Tính PQ theo m Bài 15: Cho Hypebol ( H ) có đỉnh có tọa độ (1;0) tiêu điểm ( 5;0) a) Viết phương trình (H) b) Định m để hai đường d: mx-y=0 d’: x+my=0 cắt (H) c) Gọi M, P N,Q giao điểm d d’ với (H) Tứ giác MNPQ hình gì? Tính diện tích m = Bài 16: Cho hypebol (H): x − y = 20 đường thẳng d: 2x-y+m=0 a) Định m để d cắt (H) hai điểm M, N phân biệt b) Tìm tập hợp trung điểm MN; c) Gọi P, Q đối xứng M, N qua O Định m để tứ giác MNPQ hình thoi Bài 17: Cho Hypebol ( H ) : x − y = 12 a) Tìm tọa độ đỉnh, tiêu điểm, đường tiệm cận (H) b) Tìm (H) điểm M cho F· 1MF2 = 1200 • F gọi tiêu điểm, ∆ đường chuẩn (P) • p = d ( F , ∆) : tham số tiêu Phương trình tắc parabol: Với p p F ( ;0), ∆ : x = − 2 ( p > 0) M ( x; y ) ∈ ( P ) ⇔ y = px Hình dạng parabol: • O đỉnh parabol • (P) có trục đối xứng Ox • Dây cung vng góc với trục đối xứng F có độ dài 2p Tính chất thường dùng để vẽ (P) • MF = MK = p + xM B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Xác định yếu tố parabol Ví dụ 1: Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn parabol a) y = x b) y + x = Dạng2: Lập phương trình tắc parabol Ví dụ 1: Lập phương trình tắc parabol (P) trường hợp sau: a) (P) có tiêu điểm F ( 3;0) b) (P) có đường chuẩn x=-3 Ví dụ 2: Lập phương trình tắc parabol (P) biết: a) Tiêu điểm F(5;0) b) (P) qua điểm (2;-4) c) (P) qua điểm M có hồnh độ cách tiêu điểm F khoảng Ví dụ 3: Cho điểm F(4;0) Gọi (M) đường trịn tâm M di động ln tiếp xúc với trục tung qua F Chứng minh tập hợp điểm M parabol viết phương trình 1 c) Tìm M thuộc (H) cho T = F1M − F2 M + F M − F M Dạng 3: Tìm điểm thuộc parabol lớn Ví dụ 1: Cho parabol (P): y = x d) Cho điểm M thuộc (H), tính tích khoảng cách từ a) Tìm (P) điểm M cách F khoảng 4; M đến hai tiệm cận b) Tìm (P) điểm M khác O cho khoảng cách Bài 17: Cho elip (E) hypebol (H) biết chúng có tiêu từ M đến Oy gấp hai lần khoảng cách từ M đến Ox điểm F(2;0), tiệm cận (H) chứa đường chéo hình Dạng 4: Tập hợp điểm parabol chữ nhật sở (E) hợp với Ox góc 30o a) Viết phương trình tắc (H) (E) Phương pháp: Để chứng minh tập hợp (P) điểm M parabol ta chứng minh M cách điểm cố định F đường thẳng ∆ cố định không qua F Khi M di động parabol (P) Khi M di động parabol (P) có tiêu điểm F đường chuẩn ∆ a) Qua điểm có tung độ cách tiêu điểm khoảng b) Qua hai điểm M, N có tung độ -1;3 M, N, F thẳng hàng; c) Qua điểm M có tung độ cách đường chuẩn ( P ) = {M / MF = d ( M , ∆)} khoảng Ví dụ 1: Cho điểm A cố định đường thẳng d cố định không qua A Xét đường trịn (C) thay đổi có tâm M, biết (C) qua A (C) tiếp xúc với d Hãy chứng tỏ m di động parabol C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho đường tròn (O) tiếp xúc với đường thẳng d Tìm quỹ tích tâm đường tròn tiếp xúc với đường tròn (O) tiếp xúc với đường thẳng d hai điểm phân biệt Bài 2: Viết phương trình parabol biết: a) Ox trục đối xứng tiêu điểm F(4;0) b) Ox trục đối xứng tiêu điểm F(-2;0) Bài 3: Vẽ parabol x = −8 y Bài 4: Cho parabol (P) có phương trình y = x a) Tìm độ dài bán kính qua tiêu điểm ứng với điểm M(x;y) thuộc (P) b) Tìm điểm nằm (P) cách tiêu điểm khoảng Bài 5: Lập phương trình đường thẳng chứa dây parabol y = x nhận điểm I(3;1) làm trung điểm Bài 6: Cho parabol (P): y = x a) Xác định đường chuẩn tiêu điểm (P) b) Cho đường thẳng ∆ : x − y + = Tính khoảng cách ngắn ∆ (P) Viết tiếp tuyến với (P) A(2;2) Bài 7: Cho (P): y = x đường thẳng d qua tiêu Bài 11: Cho Parabol ( P) : y = px AB dây cung di động (P) a) Biết đường thẳng AB có hệ số góc khơng đổi k khác Chứng minh: trung điểm I AB di động đường thẳng cố định b) Viết phương trình đường AB biết trung điểm đoạn AB có tọa độ (2;4) Bài 12: Cho đường tròn (C ) : x + y − x = đường trịn (M) di động tâm M ln tiếp xúc với (C) trục Oy hai điểm phân biệt Chứng minh M di động parabol cố định viết phương trình Bài 13: Cho đường tròn (O) : x + y = M điểm tùy ý (O) có hình chiếu lên Ox H Gọi A điểm (O) có tung độ -2 a) Gọi (x0;y0) tọa độ M, viết phương trình OM AH; b) Suy giao điểm I OM AH di động parabol Bài 14: Cho Parabol ( P) : y = x Một đường d qua tiêu điểm F có hệ số góc k khác cắt (P) M,N a) Cm tích khoảng cách từ M, N đến trục Ox có giá trị khơng đổi b) Tìm k cho FM=4FN c) Chứng minh góc MON ln tù Bài 15: Cho Parabol ( P) : y = x điểm F có hệ số góc (k ≠ 0) a) Xác định tiêu điểm F đường chuẩn ∆ (P) k b) Một đường thẳng quay quanh tiêu điểm F có hệ số a) Viết phương trình đường thẳng d viết phương góc k khác cắt (P) M, N Chứng minh: tích trình tung độ giao điểm d (P) Chứng minh d khoảng cách từ M,N đến trục tung có giá trị khơng ln cắt (P) hai điểm M, N tích khoảng cách đổi từ M N đến trục đối xứng parabol có giá trị c) Gọi H, K hình chiếu M, N đường khơng đổi chuẩn Tính diện tích hình thang MNKH theo k b) Định k để MN=20 c) Gọi H K hình chiếu M, N lên đường chuẩn ∆ Chứng minh đường tròn đường kính MN ln tiếp xúc với đường chuẩn Bài 8: Cho parabol (P) y = x a) Tìm độ dài dây cung AB parabol biết hồnh độ A B 1; b) Tìm (P) điểm cách tiêu điểm F khoảng 5; c) Tìm m để đường thẳng d : x + y + m = có với (P) điểm chung Bài 9: Cho Parabol ( P) : y = x a) Tìm (P) điểm cách d: 3x-4y+10=0 khoảng ngắn b) Cho A B hai điểm (P) có tung độ -2 M điểm cung AB có tung độ y với −2 ≤ y ≤ Tính diện tích tam giác MAB theo y Tìm y để diện tích tam giác MAB nhỏ c) Tìm m cho đường y=x+m cắt (P) hai điểm M, N FM=2FN Bài 10: Lập phương trình tắc parabol: Bài 16: Cho Parabol ( P) : y = x a) Tìm tiêu điểm F đường chuẩn; b) Một đường thẳng qua F có hệ số góc m cắt (P) M, N Tìm tọa độ trung điểm I MN Suy I di động parabol cố định Bài 17: Cho Parabol ( P) : y = x Hai đường thẳng qua O vuông góc với có hệ số góc k , − k ( k ≠ 0) cắt P M,N a) Tìm tọa độ điểm M, N b) Chứng minh M, N qua điểm cố định c) Chứng minh trung điểm đoạn MN thuộc parabol cố định Bài 18: Cho Parabol ( P) : y = x đường thẳng d di động có phương trình y=m m ≠ a) Xác định tiêu điểm F đường chuẩn ∆ b) d cắt đường chuẩn ∆ , Oy, (P) K,H,M Tìm tọa độ điểm c) Gọi I trung điểm OH Viết phương trình IM chứng tỏ đường thẳng IM cắt (P) điểm d) Chứng minh MI ⊥ KF Suy MI phân giác góc KMF Bài 19: Trong mp(Oxy), cho A(1;1), A’(1;-1) Gọi M điểm di động Oy có tung độ m a) Viết phương trình hai đường cao tam giác MAA’; b) Chứng minh trực tâm H tam giác MAA’ thuộc parabol cố định 10 ... trình 3x+4y-16=0 x + y + x + y + 13 = Chứng minh (C) (C’) tiếp e) Qua hai điểm A(2 ;3) , B(-1;1) có tâm I(a;b) nằm đường thẳng x-3y-11=0 xúc ngồi T Viết phương trình tiếp tuyến chung Bài 2: Trong. .. (3; 0) c) Một tiêu điểm F2 (5;0) tiệm cận y=2x; d) Một tiệm cận y = 3x qua điểm (3; 15) e) Một tiêu điểm (2;0) qua điểm (3; 2) Bài 12: Lập phương trình tắc hypebol (H) biết a) (H) qua điểm ( 3; 1)... chứa cạnh tam giác Ví dụ 3: Lập phương trình tham số đường thẳng d trường hợp sau: a) d qua điểm M (3; -5) có hệ số góc k= -3 b) d qua điểm N(0;-4) song song với đường Dạng 3: Xét vị trí tương đối